Betingelse for at vektorer er vinkelrette
Vektorer er vinkelrette, hvis og kun hvis deres prikprodukt er nul.
Givet to vektorer a(xa;ya) og b(xb;yb). Disse vektorer vil være vinkelrette, hvis udtrykket xaxb + yayb = 0.
Vektorer er parallelle, hvis deres krydsprodukt er nul
Ligning af en ret linje på et plan. Grundlæggende problemer på en lige linje på et fly.
Enhver ret linje på planet kan specificeres med en førsteordens ligning Ax + By + C = 0, og konstanterne A og B er ikke lig med nul på samme tid, dvs. A2 + B2 0. Denne førsteordens ligning kaldes linjens generelle ligning. Afhængigt af værdierne af konstanterne A, B og C er følgende specielle tilfælde mulige: - C = 0, A 0, B 0 – den rette linje går gennem origo - A = 0, B 0 , C 0 (Af
C = 0) - ret linje parallel med Oy-aksen - B = 0, A 0, C 0 ( Ax + C = 0) - ret linje parallel med Oy-aksen - B = C = 0, A 0 - lige linje falder sammen med Oy-aksen - A = C = 0, B 0 – den rette linje falder sammen med Ox-aksen Ligningen for den rette linje kan præsenteres i forskellige former afhængig af givne begyndelsesbetingelser.
Hvis mindst en af koefficienterne A, B, C for niveau Ax+By+C=0 er lig med 0, skal niveau
hedder ufuldstændig. Ved formen af ligningen af en ret linje kan man bedømme dens position på
fladhed OXU. Mulige tilfælde:
1 C=0 L: Ax+By=0 t. O(0,0) opfylder denne ligning, hvilket betyder, at den er lige
går gennem oprindelsen
2 A=0 L: Ву+С=0 - normal rotation n=(0,B) er vinkelret på OX-aksen herfra
det følger, at den rette linje er parallel med OX-aksen
3 V = 0 L: Ay+C=0 0 - nominel værdi n=(A,0) er vinkelret på OY-aksen herfra
det følger, at den rette linie er parallel med op-forstærkerens akse
4 A=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - passerer ikke gennem origo) og skærer hinanden
begge akser.
Ligning for en ret linje på et plan, der går gennem to givne punkter og: 
Vinkel mellem fly.
Beregning af determinanter
Beregningen af determinanter er baseret på deres kendte egenskaber, som gælder for determinanter for alle ordener. Disse er egenskaberne:
1. Hvis du omarrangerer to rækker (eller to kolonner) af determinanten, vil determinanten skifte fortegn.
2. Hvis de tilsvarende elementer i to kolonner (eller to rækker) af determinanten er lige store eller proportionale, så er determinanten lig nul.
3. Værdien af determinanten ændres ikke, hvis du bytter rækker og kolonner, og bevarer deres rækkefølge.
4. Hvis alle elementerne i en række (eller kolonne) har en fælles faktor, kan den tages ud af determinanttegnet.
5. Værdien af determinanten ændres ikke, hvis de tilsvarende elementer i en anden række (eller kolonne) lægges til elementerne i en række (eller kolonne), ganget med det samme tal.
Matrixen og handlingerne over dem
Matrix- et matematisk objekt skrevet i form af en rektangulær tabel med tal (eller elementer i en ring) og tillader algebraiske operationer (addition, subtraktion, multiplikation osv.) mellem det og andre lignende objekter. Typisk er matricer repræsenteret som todimensionelle (rektangulære) tabeller. Nogle gange overvejes multidimensionelle matricer eller ikke-rektangulære matricer.
Typisk er matrixen angivet med et stort bogstav i det latinske alfabet og fremhævet med runde parenteser "(...)" (også markeret med firkantede parenteser "[...]" eller dobbelte lige linjer "||...||").
Tallene, der udgør matricen (matrixelementer), er ofte angivet med det samme bogstav som selve matricen, men med små bogstaver (f.eks. er a11 et element i matrix A).
Hvert matrixelement har 2 nedskrevne (aij) - det første "i" angiver rækkenummeret, hvori elementet er placeret, og det andet "j" angiver kolonnenummeret. De siger "dimensionel matrix", hvilket betyder, at matrixen har m rækker og n kolonner. Altid i samme matrix
Operationer på matricer
Lad aij være elementerne i matrix A, og bij være elementerne i matrix B.
Lineære operationer:
At multiplicere en matrix A med et tal λ (symbol: λA) består i at konstruere en matrix B, hvis elementer opnås ved at gange hvert element i matricen A med dette tal, det vil sige, at hvert element i matricen B er lig med
Addition af matricer A + B er operationen med at finde en matrix C, hvis alle elementer er lig med den parvise sum af alle tilsvarende elementer i matricer A og B, det vil sige, at hvert element i matrix C er lig med
Subtraktion af matricer A − B er defineret på samme måde som addition; dette er operationen til at finde en matrix C, hvis elementer
Addition og subtraktion er kun tilladt for matricer af samme størrelse.
Der er en nulmatrix Θ sådan, at tilføjelse af den til en anden matrix A ikke ændrer A, dvs
Alle elementer i nulmatrixen er lig med nul.
Ikke-lineære operationer:
Matrixmultiplikation (betegnelse: AB, sjældnere med et multiplikationstegn) er operationen til at beregne en matrix C, hvis elementer er lig med summen af produkterne af elementer i den tilsvarende række af den første faktor og kolonne i den anden .cij = ∑ aikbkj k
Den første faktor skal have det samme antal kolonner som antallet af rækker i den anden. Hvis matrix A har dimension B - , så er dimensionen af deres produkt AB = C. Matrixmultiplikation er ikke kommutativ.
Matrix multiplikation er associativ. Kun kvadratiske matricer kan hæves til potenser.
Matrixtransposition (symbol: AT) er en operation, hvor matricen reflekteres i forhold til hoveddiagonalen, dvs.
Hvis A er en størrelsesmatrix, så er AT en størrelsesmatrix
Afledt af en kompleks funktion
Den komplekse funktion har formen: F(x) = f(g(x)), dvs. er en funktion af en funktion. For eksempel, y = sin2x, y = ln(x2+2x) osv.
Hvis funktionen g(x) i punktet x har den afledede g"(x), og i punktet u = g(x) har funktionen f(u) den afledede f"(u), så er den afledte af kompleks funktion f(g(x)) i punkt x eksisterer og er lig med f"(u)g"(x).
Implicit funktionsafledt
I mange problemer er funktionen y(x) angivet implicit. For eksempel til funktionerne nedenfor
det er umuligt at opnå afhængigheden y(x) eksplicit.
Algoritmen til at beregne den afledte y"(x) fra en implicit funktion er som følger:
Du skal først differentiere begge sider af ligningen med hensyn til x, idet du antager, at y er en differentierbar funktion af x og bruger reglen til at beregne den afledede af en kompleks funktion;
Løs den resulterende ligning for den afledte y"(x).
Lad os se på et par eksempler for at illustrere.
Differentier funktionen y(x) givet af ligningen.
Lad os differentiere begge sider af ligningen med hensyn til variablen x:
hvad der fører til resultatet
Lapitals regel
L'Hopitals regel. Lad funktionen f(x) og g(x) have i miljøet. t-ki x0 pr-nye f' og g' med undtagelse af muligheden for netop denne t-tu x0. Lad lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0, så f(x)/g(x) for x®x0 giver 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4), når det falder sammen med grænsen for forholdet mellem funktionen lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim(x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)
44
.1.(Kriterium for monotoniteten af en funktion med en afledt på intervallet) Lad funktionen 
kontinuerlig på
(a,b), og har en afledt f"(x) i hvert punkt. Derefter
1)f stiger med (a,b) hvis og kun hvis
2) falder med (a,b) hvis og kun hvis
2. (Tilstrækkelig betingelse for den strenge monotoni af en funktion, der har en afledt på intervallet) Lad funktionen 
er kontinuert på (a,b), og har en afledt f"(x) i hvert punkt. Derefter
1) hvis så f stiger strengt på (a,b);
2) hvis så f falder strengt på (a,b).
Det modsatte er generelt set ikke sandt. Afledten af en strengt monoton funktion kan forsvinde. Men det sæt af punkter, hvor den afledede ikke er nul, skal være tæt på intervallet (a,b). Mere præcist gør den det.
3. (Kriterium for den strenge monotoni af en funktion, der har en afledt på intervallet) Lad og den afledte f"(x) er defineret overalt i intervallet. Så stiger f strengt på intervallet (a,b), hvis og kun hvis følgende to betingelser er opfyldt:
Punktprodukt af vektorer. Vinkel mellem vektorer. Betingelsen for parallelitet eller vinkelrethed af vektorer.
Det skalære produkt af vektorer er produktet af deres længder og cosinus af vinklen mellem dem:
Følgende udsagn er bevist på nøjagtig samme måde som i planimetri:
Skalarproduktet af to ikke-nul vektorer er nul, hvis og kun hvis vektorerne er vinkelrette.
Det skalære kvadrat af en vektor, det vil sige skalarproduktet af sig selv og sig selv, er lig med kvadratet af dens længde.
Skalarproduktet af to vektorer og givet ved deres koordinater kan beregnes ved hjælp af formlen
Vektorer er vinkelrette, hvis og kun hvis deres prikprodukt er nul. Eksempel. Givet to vektorer og . Disse vektorer vil være vinkelrette, hvis udtrykket x1x2 + y1y2 = 0. Vinklen mellem vektorer, der ikke er nul, er vinklen mellem rette linjer, for hvilke disse vektorer er guider. Per definition anses vinklen mellem en hvilken som helst vektor og nulvektoren som lig med nul. Hvis vinklen mellem vektorerne er 90°, kaldes sådanne vektorer vinkelrette. Vi vil betegne vinklen mellem vektorerne som følger:
Denne artikel afslører betydningen af vinkelretheden af to vektorer på et plan i tredimensionelt rum og at finde koordinaterne for en vektor vinkelret på en eller et helt par af vektorer. Emnet er anvendeligt til problemer, der involverer ligninger af linjer og planer.
Vi vil overveje den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for vinkelretheden af to vektorer, løse metoden til at finde en vektor vinkelret på en given, og berøre situationer med at finde en vektor, der er vinkelret på to vektorer.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Nødvendig og tilstrækkelig betingelse for vinkelretheden af to vektorer
Lad os anvende reglen om vinkelrette vektorer på planet og i tredimensionelt rum.
Definition 1
Forudsat at vinklen mellem to vektorer, der ikke er nul, er lig med 90° (π 2 radianer) kaldes vinkelret.
Hvad betyder det, og i hvilke situationer er det nødvendigt at vide om deres vinkelrethed?
Etablering af vinkelrethed er muligt gennem tegningen. Når du plotter en vektor på et plan fra givne punkter, kan du geometrisk måle vinklen mellem dem. Selvom vektorernes vinkelrethed er etableret, vil den ikke være helt nøjagtig. Oftest tillader disse opgaver dig ikke at gøre dette ved hjælp af en vinkelmåler, så denne metode er kun anvendelig, når intet andet er kendt om vektorerne.
De fleste tilfælde af at bevise vinkelretheden af to ikke-nul vektorer på et plan eller i rummet udføres ved hjælp af nødvendig og tilstrækkelig betingelse for vinkelretheden af to vektorer.
Sætning 1
Skalarproduktet af to ikke-nul vektorer a → og b → lig med nul for at opfylde ligheden a → , b → = 0 er tilstrækkelig for deres vinkelrethed.
Bevis 1
Lad de givne vektorer a → og b → være vinkelrette, så vil vi bevise ligheden a ⇀ , b → = 0 .
Fra definitionen af prikprodukt af vektorer vi ved, at det er lig produktet af længderne af givne vektorer og cosinus af vinklen mellem dem. Ved betingelse er a → og b → vinkelrette, hvilket betyder, baseret på definitionen, at vinklen mellem dem er 90 °. Så har vi a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .
Anden del af beviset
Forudsat at a ⇀, b → = 0, beviser vinkelretheden af a → og b →.
Faktisk er beviset det modsatte af det forrige. Man ved, at a → og b → ikke er nul, hvilket betyder, at vi ud fra ligheden a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ finder cosinus. Så får vi cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Da cosinus er nul, kan vi konkludere, at vinklen a →, b → ^ af vektorerne a → og b → er lig med 90 °. Per definition er dette en nødvendig og tilstrækkelig egenskab.
Vinkelrette tilstand på koordinatplanet
Kapitel skalært produkt i koordinater viser uligheden (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , gyldig for vektorer med koordinater a → = (a x , a y) og b → = (b x , b y), på planet og (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y for vektorer a → = (a x , a y , a z) og b → = (b x , b y , b z) i rummet. Den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for vinkelretheden af to vektorer i koordinatplanet er a x · b x + a y · b y = 0, for tredimensionelt rum a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.
Lad os omsætte det i praksis og se på eksempler.
Eksempel 1
Tjek egenskaben for vinkelrethed af to vektorer a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).
Løsning
For at løse dette problem skal du finde det skalære produkt. Hvis den ifølge betingelsen er lig med nul, så er de vinkelrette.
(a →, b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Betingelsen er opfyldt, hvilket betyder, at de givne vektorer er vinkelrette på planet.
Svar: ja, de givne vektorer a → og b → er vinkelrette.
Eksempel 2
Koordinatvektorer i → , j → , k → er givet. Tjek om vektorerne i → - j → og i → + 2 · j → + 2 · k → kan være vinkelrette.
Løsning
For at huske hvordan vektorkoordinater bestemmes, skal du læse artiklen om vektorkoordinater i et rektangulært koordinatsystem. Således finder vi, at de givne vektorer i → - j → og i → + 2 · j → + 2 · k → har tilsvarende koordinater (1, - 1, 0) og (1, 2, 2). Vi erstatter de numeriske værdier og får: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .
Udtrykket er ikke lig med nul, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, hvilket betyder, at vektorerne i → - j → og i → + 2 j → + 2 k → er ikke vinkelrette, da betingelsen ikke er opfyldt.
Svar: nej, vektorerne i → - j → og i → + 2 · j → + 2 · k → er ikke vinkelrette.
Eksempel 3
Givet vektorer a → = (1, 0, - 2) og b → = (λ, 5, 1). Find værdien af λ, hvor disse vektorer er vinkelrette.
Løsning
Vi bruger betingelsen om vinkelrethed af to vektorer i rummet i kvadratisk form, så får vi
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
Svar: vektorerne er vinkelrette ved værdien λ = 2.
Der er tilfælde, hvor spørgsmålet om vinkelrethed er umuligt selv under en nødvendig og tilstrækkelig betingelse. Givet de kendte data på de tre sider af en trekant på to vektorer, er det muligt at finde vinkel mellem vektorer og tjek det ud.
Eksempel 4
Givet en trekant A B C med siderne A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm Tjek vektorerne A B → og A C → for vinkelret.
Løsning
Hvis vektorerne A B → og A C → er vinkelrette, anses trekanten A B C for at være rektangulær. Derefter anvender vi Pythagoras sætning, hvor B C er trekantens hypotenus. Ligheden B C 2 = A B 2 + A C 2 skal være sand. Det følger, at 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Det betyder, at A B og A C er ben i trekanten A B C, derfor er A B → og A C → vinkelrette.
Det er vigtigt at lære at finde koordinaterne for en vektor vinkelret på en given. Dette er muligt både i planet og i rummet, forudsat at vektorerne er vinkelrette.
Find en vektor vinkelret på en given vektor i et plan.
En ikke-nul vektor a → kan have et uendeligt antal vinkelrette vektorer på planet. Lad os afbilde dette på koordinatlinjen.
Givet en ikke-nul vektor a → liggende på den rette linje a. Så bliver en given b →, placeret på enhver linje vinkelret på linje a, vinkelret på a →. Hvis vektoren i → er vinkelret på vektoren j → eller en af vektorerne λ · j → med λ lig med et hvilket som helst reelt tal bortset fra nul, så find koordinaterne for vektoren b → vinkelret på a → = (a x , a y ) reduceres til et uendeligt sæt af løsninger. Men det er nødvendigt at finde vektorens koordinater vinkelret på a → = (a x , a y) . For at gøre dette er det nødvendigt at nedskrive betingelsen for vinkelrethed af vektorer i følgende form: a x · b x + a y · b y = 0. Vi har b x og b y, som er de ønskede koordinater for den vinkelrette vektor. Når a x ≠ 0, er værdien af b y ikke-nul, og b x kan beregnes ud fra uligheden a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. For a x = 0 og a y ≠ 0, tildeler vi b x enhver anden værdi end nul, og finder b y fra udtrykket b y = - a x · b x a y .
Eksempel 5
Givet en vektor med koordinater a → = (- 2 , 2) . Find en vektor vinkelret på denne.
Løsning
Lad os betegne den ønskede vektor som b → (b x , b y) . Dens koordinater kan findes ud fra den betingelse, at vektorerne a → og b → er vinkelrette. Så får vi: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Lad os tildele b y = 1 og erstatte: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Derfor får vi fra formlen b x = - 2 - 2 = 1 2. Det betyder, at vektoren b → = (1 2 , 1) er en vektor vinkelret på a → .
Svar: b → = (1 2, 1) .
Hvis der rejses spørgsmål om tredimensionelt rum, løses problemet efter samme princip. For en given vektor a → = (a x , a y , a z) er der et uendeligt antal vinkelrette vektorer. Vil rette dette på et tredimensionalt koordinatplan. Givet en → liggende på linjen a. Planet vinkelret på lige a er betegnet med α. I dette tilfælde er enhver ikke-nul vektor b → fra planen α vinkelret på a →.
Det er nødvendigt at finde koordinaterne for b → vinkelret på den ikke-nul vektor a → = (a x , a y , a z) .
Lad b → være givet med koordinaterne b x , b y og b z . For at finde dem er det nødvendigt at anvende definitionen af betingelsen om vinkelrethed af to vektorer. Ligheden a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 skal være opfyldt. Ud fra betingelsen er a → ikke-nul, hvilket betyder, at en af koordinaterne har en værdi, der ikke er lig med nul. Lad os antage, at a x ≠ 0, (a y ≠ 0 eller a z ≠ 0). Derfor har vi ret til at dividere hele uligheden a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 med denne koordinat, vi får udtrykket b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Vi tildeler enhver værdi til koordinaterne b y og b x, beregner værdien af b x baseret på formlen, b x = - a y · b y + a z · b z a x. Den ønskede vinkelrette vektor vil have værdien a → = (a x, a y, a z).
Lad os se på beviset ved hjælp af et eksempel.
Eksempel 6
Givet en vektor med koordinater a → = (1, 2, 3) . Find en vektor vinkelret på den givne.
Løsning
Lad os betegne den ønskede vektor med b → = (b x , b y , b z) . Ud fra betingelsen om, at vektorerne er vinkelrette, skal skalarproduktet være lig nul.
a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
Hvis værdien af b y = 1, b z = 1, så er b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Det følger, at koordinaterne for vektoren b → (- 5 , 1 , 1) . Vektor b → er en af vektorerne vinkelret på den givne.
Svar: b → = (-5, 1, 1).
At finde koordinaterne for en vektor vinkelret på to givne vektorer
Vi skal finde vektorens koordinater i det tredimensionelle rum. Den er vinkelret på de ikke-kollineære vektorer a → (a x , a y , a z) og b → = (b x , b y , b z) . Forudsat at vektorerne a → og b → er kollineære, vil det være tilstrækkeligt at finde en vektor vinkelret på a → eller b → i opgaven.
Ved løsning bruges begrebet et vektorprodukt af vektorer.
Vektorprodukt af vektorer a → og b → er en vektor, der samtidigt er vinkelret på både a → og b →. For at løse dette problem bruges vektorproduktet a → × b →. For tredimensionelt rum har det formen a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
Lad os se på vektorproduktet mere detaljeret ved hjælp af et eksempelproblem.
Eksempel 7
Vektorerne b → = (0, 2, 3) og a → = (2, 1, 0) er givet. Find koordinaterne for enhver vektor vinkelret på dataene samtidigt.
Løsning
For at løse skal du finde vektorproduktet af vektorer. (Se afsnittet at beregne determinanten af en matrix for at finde vektoren). Vi får:
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →
Svar: (3 , - 6 , 4) - koordinater for en vektor, der samtidigt er vinkelret på det givne a → og b → .
Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter
ohm For at gøre dette introducerer vi først begrebet et segment.
Definition 1
Vi vil kalde et segment for en del af en linje, der er afgrænset af punkter på begge sider.
Definition 2
Enderne af et segment er de punkter, der begrænser det.
For at introducere definitionen af en vektor kalder vi en af enderne af segmentet for begyndelsen.
Definition 3
Vi vil kalde en vektor (dirigeret segment) et segment, hvori det er angivet, hvilket grænsepunkt der er dens begyndelse, og hvilket er dets ende.
Notation: \overline(AB) er en vektor AB, der starter ved punkt A og slutter ved punkt B.
Ellers med et lille bogstav: \overline(a) (fig. 1).
Definition 4
Vi vil kalde nulvektoren ethvert punkt, der hører til planet.
Symbol: \overline(0) .
Lad os nu introducere direkte definitionen af kollineære vektorer.
Vi vil også introducere definitionen af et skalært produkt, som vi får brug for senere.
Definition 6
Skalarproduktet af to givne vektorer er et skalartal (eller tal), der er lig med produktet af længderne af disse to vektorer med cosinus af vinklen mellem disse vektorer.
Matematisk kan det se sådan ud:
\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))
Prikproduktet kan også findes ved hjælp af vektorkoordinater som følger
\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3
Tegn på vinkelrethed gennem proportionalitet
Sætning 1
For at vektorer, der ikke er nul, skal være vinkelrette på hinanden, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at deres skalarprodukt af disse vektorer er lig med nul.
Bevis.
Nødvendighed: Lad os få vektorer \overline(α) og \overline(β), der har koordinater (α_1,α_2,α_3) henholdsvis (β_1,β_2,β_3), og de er vinkelrette på hinanden. Så skal vi bevise følgende lighed
Da vektorerne \overline(α) og \overline(β) er vinkelrette, er vinklen mellem dem 90^0. Lad os finde skalarproduktet af disse vektorer ved hjælp af formlen fra definition 6.
\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0
Tilstrækkelighed: Lad ligestillingen være sand \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Lad os bevise, at vektorerne \overline(α) og \overline(β) vil være vinkelrette på hinanden.
Per definition 6 vil ligheden være sand
|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
Cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ
Derfor vil vektorerne \overline(α) og \overline(β) være vinkelrette på hinanden.
Sætningen er bevist.
Eksempel 1
Bevis at vektorer med koordinater (1,-5,2) og (2,1,3/2) er vinkelrette.
Bevis.
Lad os finde skalarproduktet for disse vektorer ved at bruge formlen ovenfor
\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0
Det betyder, ifølge sætning 1, at disse vektorer er vinkelrette.
At finde en vinkelret vektor på to givne vektorer ved hjælp af krydsproduktet
Lad os først introducere begrebet et vektorprodukt.
Definition 7
Vektorproduktet af to vektorer vil være en vektor, der vil være vinkelret på begge givne vektorer, og dens længde vil være lig med produktet af længderne af disse vektorer med sinus af vinklen mellem disse vektorer, og også denne vektor med to initiale har samme orientering som det kartesiske koordinatsystem.
Betegnelse: \overline(α)x\overline(β)x.
For at finde vektorproduktet vil vi bruge formlen
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x
Da vektoren af krydsproduktet af to vektorer er vinkelret på begge disse vektorer, vil det være vektoren. Det vil sige, at for at finde en vektor vinkelret på to vektorer, skal du blot finde deres vektorprodukt.
Eksempel 2
Find en vektor vinkelret på vektorer med koordinaterne \overline(α)=(1,2,3) og \overline(β)=(-1,0,3)
Lad os finde vektorproduktet af disse vektorer.
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x
Instruktioner
Hvis den oprindelige vektor er afbildet på tegningen i et rektangulært todimensionelt koordinatsystem, og en vinkelret skal konstrueres der, gå videre fra definitionen af vinkelret på vektorer på et plan. Den siger, at vinklen mellem et sådant par rettede segmenter skal være lig med 90°. Et uendeligt antal af sådanne vektorer kan konstrueres. Tegn derfor en vinkelret på den oprindelige vektor på et hvilket som helst passende sted på planet, læg et segment på det svarende til længden af et givet ordnet par punkter og tildel en af dens ender som begyndelsen af den vinkelrette vektor. Gør dette ved hjælp af en vinkelmåler og lineal.
Hvis den oprindelige vektor er givet ved todimensionelle koordinater ā = (X₁;Y₁), antag, at skalarproduktet af et par vinkelrette vektorer skal være lig med nul. Det betyder, at du skal vælge for den ønskede vektor ō = (X₂,Y₂) sådanne koordinater, at ligheden (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. Dette kan gøres sådan: vælg evt. ikke-nul værdi for X₂-koordinaten, og beregn Y₂-koordinaten ved hjælp af formlen Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. For eksempel vil der for vektoren ā = (15;5) være en vektor ō, med abscissen lig med en og ordinaten lig -(15*1)/5 = -3, dvs. ō = (1;-3).
For et tredimensionelt og ethvert andet ortogonalt koordinatsystem gælder den samme nødvendige og tilstrækkelige betingelse for vinkelret på vektorer - deres skalarprodukt skal være lig nul. Derfor, hvis det indledende rettede segment er givet af koordinaterne ā = (X₁,Y₁,Z₁), skal du vælge for det ordnede par af punkter ō = (X₂,Y₂,Z₂) vinkelret på det sådanne koordinater, der opfylder betingelsen (ā,ō ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Den nemmeste måde er at tildele enkeltværdier til X₂ og Y₂ og beregne Z₂ ud fra den forenklede lighed Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₂ 1)/Z1 = -(X1+Y1)/Z1. For eksempel vil denne for vektoren ā = (3,5,4) have følgende form: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Tag derefter abscissen og ordinaten for vinkelret vektor som én, og i dette tilfælde vil den være lig med -(3+5)/4 = -2.
Kilder:
- find vektoren, hvis den er vinkelret
De kaldes vinkelrette vektor, hvor mellem vinklen er 90º. Vinkelrette vektorer er konstrueret ved hjælp af tegneværktøjer. Hvis deres koordinater er kendt, så kan vektorernes vinkelrethed kontrolleres eller findes ved hjælp af analytiske metoder.
Du får brug for
- - vinkelmåler;
- - kompas;
- - lineal.
Instruktioner
Indstil den til vektorens startpunkt. Tegn en cirkel med en vilkårlig radius. Konstruer derefter to med centre i de punkter, hvor den første cirkel skærer linjen, som vektoren ligger på. Radierne af disse cirkler skal være lig med hinanden og større end den første konstruerede cirkel. Ved cirklernes skæringspunkter skal du konstruere en ret linje, der vil være vinkelret på den oprindelige vektor ved dens oprindelse, og plot på den en vektor vinkelret på denne.
Find en vektor vinkelret på den, hvis koordinater og er lig med (x;y). For at gøre dette skal du finde et par tal (x1;y1), der ville opfylde ligheden x x1+y y1=0. I dette tilfælde vil vektoren med koordinaterne (x1;y1) være vinkelret på vektoren med koordinaterne (x;y).