Lineær afhængighed Og lineær uafhængighed vektorer.
Grundlag for vektorer. Affint koordinatsystem

Der er en vogn med chokolade i auditoriet, og hver besøgende i dag får et sødt par - analytisk geometri med lineær algebra. Denne artikel vil dække to sektioner på én gang. højere matematik, og vi vil se, hvordan de klarer sig i én indpakning. Tag en pause, spis en Twix! ... for fanden, sikke noget sludder. Selvom, okay, jeg ikke scorer, bør du i sidste ende have en positiv holdning til at studere.

Lineær afhængighed af vektorer, lineær vektoruafhængighed, basis af vektorer og andre udtryk har ikke kun en geometrisk fortolkning, men frem for alt en algebraisk betydning. Selve begrebet "vektor" fra synspunktet lineær algebra- det er ikke altid den "almindelige" vektor, som vi kan afbilde på et fly eller i rummet. Du behøver ikke lede langt efter bevis, prøv at tegne en vektor af femdimensionelt rum . Eller vejrvektoren, som jeg lige har været på Gismeteo for: – temperatur og Atmosfæretryk henholdsvis. Eksemplet er naturligvis forkert set ud fra ejendommenes synspunkt vektor rum, men ikke desto mindre er der ingen, der forbyder at formalisere disse parametre som en vektor. Efterårets pust...

Nej, jeg vil ikke kede dig med teori, lineære vektorrum, opgaven er at forstå definitioner og teoremer. De nye termer (lineær afhængighed, uafhængighed, lineær kombination, basis osv.) gælder for alle vektorer fra et algebraisk synspunkt, men geometriske eksempler vil blive givet. Alt er således enkelt, tilgængeligt og overskueligt. Ud over opgaver analytisk geometri vi ser på nogle typiske opgaver algebra For at mestre materialet er det tilrådeligt at sætte sig ind i lektionerne Vektorer til dummies Og Hvordan beregner man determinanten?

Lineær afhængighed og uafhængighed af planvektorer.
Plangrundlag og affint koordinatsystem

Overvej dit fly computer skrivebord(bare et bord, natbord, gulv, loft, hvad end du kan lide). Opgaven vil bestå af følgende handlinger:

1) Vælg flybasis. Groft sagt har en bordplade en længde og en bredde, så det er intuitivt, at der skal to vektorer til for at konstruere grundlaget. En vektor er tydeligvis ikke nok, tre vektorer er for meget.

2) Baseret på det valgte grundlag sæt koordinatsystem(koordinatgitter) for at tildele koordinater til alle objekter på bordet.

Bliv ikke overrasket, i første omgang vil forklaringerne være på fingrene. Desuden på din. Placer venligst venstre pegefinger på kanten af ​​bordpladen, så han kigger på skærmen. Dette vil være en vektor. Placer nu lillefinger højre hånd på kanten af ​​bordet på samme måde - så den er rettet mod monitorskærmen. Dette vil være en vektor. Smil, du ser godt ud! Hvad kan vi sige om vektorer? Data vektorer collineær, hvilket betyder lineær udtrykt gennem hinanden:
, godt, eller omvendt: , hvor er et eller andet tal forskelligt fra nul.

Du kan se et billede af denne handling i klassen. Vektorer til dummies, hvor jeg forklarede reglen for at gange en vektor med et tal.

Vil dine fingre sætte grundlaget på computerbordets plan? Tydeligvis ikke. Kollineære vektorer rejser frem og tilbage på tværs alene retning, og et plan har længde og bredde.

Sådanne vektorer kaldes lineært afhængig.

Reference: Ordene "lineær", "lineært" betegner det faktum, at i matematiske ligninger, indeholder udtryk ikke kvadrater, terninger, andre potenser, logaritmer, sinus osv. Der er kun lineære (1. grads) udtryk og afhængigheder.

To plan vektorer lineært afhængig hvis og kun hvis de er collineære.

Kryds fingre på bordet, så der er en anden vinkel mellem dem end 0 eller 180 grader. To plan vektorerlineær Ikke afhængige, hvis og kun hvis de ikke er collineære. Så grundlaget er opnået. Der er ingen grund til at være flov over, at grundlaget viste sig at være "skævt" med ikke-vinkelrette vektorer af forskellig længde. Meget snart vil vi se, at ikke kun en vinkel på 90 grader er egnet til dens konstruktion, og ikke kun enhedsvektorer af samme længde

Nogen plan vektor den eneste måde udvides efter grundlaget:
, hvor er reelle tal. Numrene kaldes vektor koordinater på dette grundlag.

Det siges også vektorpræsenteret som lineær kombination basisvektorer. Det vil sige, at udtrykket hedder vektor nedbrydningpå grundlag eller lineær kombination basisvektorer.

For eksempel kan vi sige, at vektoren er dekomponeret langs en ortonormal basis af planet, eller vi kan sige, at den er repræsenteret som en lineær kombination af vektorer.

Lad os formulere definition af grundlag formelt: Grundlaget for flyet kaldes et par lineært uafhængige (ikke-kollineære) vektorer, , hvori nogen en plan vektor er en lineær kombination af basisvektorer.

Et væsentligt punkt i definitionen er det faktum, at vektorerne er taget V i en bestemt rækkefølge . Baser – det er to helt forskellige baser! Som de siger, kan du ikke erstatte lillefingeren på din venstre hånd i stedet for lillefingeren på din højre hånd.

Vi har fundet ud af grundlaget, men det er ikke nok at sætte et koordinatgitter og tildele koordinater til hvert element på dit computerbord. Hvorfor er det ikke nok? Vektorerne er frie og vandrer gennem hele flyet. Så hvordan tildeler du koordinater til de små beskidte pletter på bordet, der er tilbage fra en vild weekend? Der er brug for et udgangspunkt. Og sådan et vartegn er et punkt, som alle kender - oprindelsen af ​​koordinater. Lad os forstå koordinatsystemet:

Jeg starter med "skole"-systemet. Allerede i den indledende lektion Vektorer til dummies Jeg fremhævede nogle forskelle mellem det rektangulære koordinatsystem og det ortonormale grundlag. Her er standardbilledet:

Når de taler om rektangulært koordinatsystem, så betyder de oftest oprindelsen af ​​koordinater, koordinatakser og skaler langs akserne. Prøv at skrive "rektangulært koordinatsystem" i en søgemaskine, og du vil se, at mange kilder vil fortælle dig om koordinatakser, du kender fra 5.-6. klasse, og hvordan du plotter punkter på et fly.

På den anden side ser det ud til at rektangulært system koordinater kan bestemmes fuldstændigt gennem et ortonormalt grundlag. Og det er næsten rigtigt. Ordlyden lyder på følgende måde:

oprindelse, Og ortonormale grundlaget er lagt Kartesisk rektangulært plan koordinatsystem . Det vil sige det rektangulære koordinatsystem helt bestemt er defineret af et enkelt punkt og to enheder ortogonale vektorer. Derfor ser du tegningen, som jeg gav ovenfor - i geometriske problemer Ofte (men ikke altid) tegnes både vektorer og koordinatakser.

Jeg tror, ​​at alle forstår det ved at bruge et punkt (oprindelse) og et ortonormalt grundlag ENHVER PUNKT på flyet og ENHVER VEKTOR på flyet koordinater kan tildeles. Billedligt talt, "alt på et fly kan nummereres."

Er de forpligtede koordinatvektorer blive isoleret? Nej, de kan have en vilkårlig længde, der ikke er nul. Overvej punkt og to ortogonal vektor vilkårlig ikke-nul længde:

Et sådant grundlag kaldes ortogonal. Oprindelsen af ​​koordinater med vektorer er defineret af et koordinatgitter, og ethvert punkt på planet, enhver vektor har sine koordinater på en given basis. For eksempel eller. Den åbenlyse ulempe er, at koordinatvektorerne V almindelig sag have andre længder end enhed. Hvis længderne er lig med enhed, opnås det sædvanlige ortonormale grundlag.

! Bemærk : i den ortogonale basis, såvel som nedenfor i de affine baser af plan og rum, betragtes enheder langs akserne BETINGET. For eksempel indeholder en enhed langs x-aksen 4 cm, en enhed langs ordinataksen indeholder 2 cm. Denne information er nok til om nødvendigt at konvertere "ikke-standard" koordinater til "vores sædvanlige centimeter".

Og det andet spørgsmål, som faktisk allerede er besvaret, er om vinklen mellem basisvektorerne skal være lig med 90 grader? Ingen! Som definitionen siger, skal basisvektorerne være kun ikke-kollineær. Derfor kan vinklen være alt undtagen 0 og 180 grader.

Et punkt på flyet kaldte oprindelse, Og ikke-kollineær vektorer, , sæt affint plan koordinatsystem :

Nogle gange kaldes et sådant koordinatsystem skrå system. Som eksempler viser tegningen punkter og vektorer:

Som du forstår, er det affine koordinatsystem endnu mindre praktisk at formlerne for længderne af vektorer og segmenter, som vi diskuterede i den anden del af lektionen, fungerer ikke i det; Vektorer til dummies, mange lækre formler relateret til skalært produkt af vektorer. Men reglerne for at tilføje vektorer og gange en vektor med et tal, formler til at dividere et segment i denne relation, samt nogle andre typer problemer, som vi snart vil overveje, er gyldige.

Og konklusionen er, at det mest bekvemme specielle tilfælde af et affint koordinatsystem er det kartesiske rektangulære system. Derfor skal du oftest se hende, min kære. ...Men alt i dette liv er relativt - der er mange situationer, hvor en skrå vinkel (eller en anden, f.eks. polar) koordinatsystem. Og humanoider kan godt lide sådanne systemer =)

Lad os gå videre til den praktiske del. Alle problemer i denne lektion gælder både for det rektangulære koordinatsystem og for det generelle affine tilfælde. Der er ikke noget kompliceret her, alt materialet er tilgængeligt selv for et skolebarn.

Hvordan bestemmer man kollinearitet af planvektorer?

Typisk ting. For to plan vektorer var kollineære, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at deres tilsvarende koordinater er proportionale I det væsentlige er dette en koordinat-for-koordinat-detaljering af det åbenlyse forhold.

Eksempel 1

a) Tjek om vektorerne er kollineære .
b) Danner vektorerne et grundlag? ?

Løsning:
a) Lad os finde ud af, om der er for vektorer proportionalitetskoefficient, således at lighederne er opfyldt:

Jeg vil helt sikkert fortælle dig om den "foppish" version af at anvende denne regel, som fungerer ganske godt i praksis. Ideen er straks at lave andelen og se, om den er korrekt:

Lad os lave en proportion ud fra forholdet mellem de tilsvarende koordinater af vektorerne:

Lad os forkorte:
, således er de tilsvarende koordinater proportionale, derfor,

Forholdet kunne laves omvendt, dette er en tilsvarende mulighed:

Til selvtest kan du bruge det faktum, at kollineære vektorer er lineært udtrykt gennem hinanden. I I dette tilfælde der er ligheder . Deres gyldighed kan let verificeres gennem elementære operationer med vektorer:

b) To plane vektorer danner grundlag, hvis de ikke er kollineære (lineært uafhængige). Vi undersøger vektorer for kollinearitet . Lad os skabe et system:

Af den første ligning følger det at , af den anden ligning følger det at , hvilket betyder systemet er inkonsekvent(ingen løsninger). De tilsvarende koordinater af vektorerne er således ikke proportionale.

Konklusion: vektorerne er lineært uafhængige og danner en basis.

En forenklet version af løsningen ser sådan ud:

Lad os lave en proportion ud fra de tilsvarende koordinater af vektorerne :
, hvilket betyder, at disse vektorer er lineært uafhængige og danner et grundlag.

Normalt afvises denne mulighed ikke af anmeldere, men der opstår et problem i tilfælde, hvor nogle koordinater er lig med nul. Sådan her: . Eller sådan her: . Eller sådan her: . Hvordan arbejder man igennem proportioner her? (du kan faktisk ikke dividere med nul). Det er af denne grund, at jeg kaldte den forenklede løsning "fjolig".

Svar: a), b) form.

Lille kreativt eksempel Til selvstændig beslutning:

Eksempel 2

Ved hvilken værdi af parameteren er vektorerne vil de være collineære?

I prøveopløsningen findes parameteren gennem proportionen.

Der er en elegant algebraisk måde at kontrollere vektorer for kollinearitet Lad os systematisere vores viden og tilføje det som det femte punkt:

For to plane vektorer er følgende udsagn ækvivalente:

2) vektorerne danner en basis;
3) vektorerne er ikke kollineære;

+ 5) determinanten sammensat af koordinaterne for disse vektorer er ikke-nul.

Henholdsvis, følgende modsatte udsagn er ækvivalente:
1) vektorer er lineært afhængige;
2) vektorer danner ikke et grundlag;
3) vektorerne er kollineære;
4) vektorer kan udtrykkes lineært gennem hinanden;
+ 5) en determinant sammensat af koordinaterne for disse vektorer, lig med nul .

Det håber jeg virkelig, virkelig dette øjeblik du forstår allerede alle de udtryk og udsagn, du støder på.

Lad os se nærmere på det nye, femte punkt: to plan vektorer er kollineære, hvis og kun hvis determinanten sammensat af koordinaterne for de givne vektorer er lig nul:. For at anvende denne funktion skal du selvfølgelig være i stand til det finde determinanter.

Lad os bestemme Eksempel 1 på den anden måde:

a) Lad os beregne determinanten, der består af vektorernes koordinater :
, hvilket betyder, at disse vektorer er kollineære.

b) To plane vektorer danner grundlag, hvis de ikke er kollineære (lineært uafhængige). Lad os beregne determinanten, der består af vektorkoordinater :
, hvilket betyder, at vektorerne er lineært uafhængige og danner et grundlag.

Svar: a), b) form.

Det ser meget mere kompakt og smukkere ud end en løsning med proportioner.

Ved hjælp af det betragtede materiale er det muligt at etablere ikke kun kollineariteten af ​​vektorer, men også at bevise paralleliteten af ​​segmenter og lige linjer. Lad os overveje et par problemer med specifikke geometriske former.

Eksempel 3

Hjørnerne på en firkant er givet. Bevis at en firkant er et parallelogram.

Bevis: Der er ingen grund til at lave en tegning i opgaven, da løsningen vil være rent analytisk. Lad os huske definitionen af ​​et parallelogram:
Parallelogram En firkant, hvis modsatte sider er parallelle i par kaldes.

Derfor er det nødvendigt at bevise:
1) parallelitet af modsatte sider og;
2) parallelitet af modsatte sider og.

Vi beviser:

1) Find vektorerne:

2) Find vektorerne:

Resultatet er den samme vektor ("skolestil" - lige store vektorer). Kolinearitet er ret indlysende, men det er bedre at formalisere beslutningen klart, med aftale. Lad os beregne determinanten, der består af vektorkoordinater:
, hvilket betyder, at disse vektorer er kollineære, og .

Konklusion: Modsatte sider firkanter er parallelle i par, hvilket betyder, at det per definition er et parallelogram. Q.E.D.

Flere figurer godt og anderledes:

Eksempel 4

Hjørnerne på en firkant er givet. Bevis, at en firkant er en trapez.

For en mere stringent formulering af beviset er det selvfølgelig bedre at få definitionen af ​​en trapezoid, men det er nok blot at huske, hvordan det ser ud.

Dette er en opgave, du selv skal løse. Fuldstændig løsning i slutningen af ​​lektionen.

Og nu er det tid til langsomt at bevæge sig fra flyet ud i rummet:

Hvordan bestemmer man kollinearitet af rumvektorer?

Reglen er meget ens. For at to rumvektorer kan være kollineære, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at deres tilsvarende koordinater er proportionale.

Eksempel 5

Find ud af, om følgende rumvektorer er kollineære:

A);
b)
V)

Løsning:
a) Lad os kontrollere, om der er en proportionalitetskoefficient for de tilsvarende koordinater af vektorerne:

Systemet har ingen løsning, hvilket betyder, at vektorerne ikke er kollineære.

"Simplificeret" formaliseres ved at kontrollere andelen. I dette tilfælde:
– de tilsvarende koordinater er ikke proportionale, hvilket betyder, at vektorerne ikke er kollineære.

Svar: vektorerne er ikke kollineære.

b-c) Dette er punkter til selvstændig beslutning. Prøv det på to måder.

Der er en metode til at kontrollere rumlige vektorer for kollinearitet gennem en tredjeordens determinant, denne metode dækket i artiklen Vektorprodukt af vektorer.

I lighed med plantilfældet kan de betragtede værktøjer bruges til at studere paralleliteten af ​​rumlige segmenter og rette linjer.

Velkommen til andet afsnit:

Lineær afhængighed og uafhængighed af vektorer i tredimensionelt rum.
Rumlig basis og affint koordinatsystem

Mange af de mønstre, som vi undersøgte på flyet, vil være gyldige for rummet. Jeg forsøgte at minimere teorinoterne pga løveandel oplysninger er allerede blevet tygget op. Jeg anbefaler dog, at du læser den indledende del grundigt, da der vil dukke nye termer og begreber op.

Nu, i stedet for computerbordets plan, udforsker vi det tredimensionelle rum. Lad os først skabe dens grundlag. Nogen er nu indendørs, nogen er udendørs, men under alle omstændigheder kan vi ikke undslippe tre dimensioner: bredde, længde og højde. Derfor skal der tre til at konstruere et grundlag rumlige vektorer. En eller to vektorer er ikke nok, den fjerde er overflødig.

Og igen varmer vi op på fingrene. Ræk venligst hånden op og spred den ud forskellige sider tommelfinger, indeks og lange finger . Det vil være vektorer, de ser i forskellige retninger, det har de forskellige længder og har forskellige vinkler indbyrdes. Tillykke, grundlaget for tredimensionelt rum er klar! Det er der i øvrigt ingen grund til at demonstrere for lærerne, uanset hvor hårdt man vrider fingrene, men der er ingen flugt fra definitioner =)

Lad os derefter spørge vigtigt spørgsmål, danner tre vektorer et grundlag tredimensionelt rum ? Tryk venligst tre fingre fast på toppen af ​​computerens skrivebord. Hvad skete der? Tre vektorer er placeret i samme plan, og groft sagt har vi mistet en af ​​dimensionerne - højden. Sådanne vektorer er koplanar og det er helt indlysende, at grundlaget for tredimensionelt rum ikke er skabt.

Det skal bemærkes, at koplanære vektorer ikke behøver at ligge i det samme plan, som de kan være i parallelle planer(bare ikke gør dette med fingrene, kun Salvador Dali trak sig ud på denne måde =)).

Definition: vektorer kaldes koplanar, hvis der er et plan, som de er parallelle med. Det er logisk at tilføje her, at hvis et sådant plan ikke eksisterer, så vil vektorerne ikke være koplanære.

Tre koplanar vektor altid lineært afhængig, det vil sige, at de er lineært udtrykt gennem hinanden. Lad os for nemheds skyld igen forestille os, at de ligger i samme plan. For det første er vektorer ikke kun koplanære, de kan også være kollineære, så kan enhver vektor udtrykkes gennem enhver vektor. I det andet tilfælde, hvis for eksempel vektorerne ikke er kollineære, så udtrykkes den tredje vektor gennem dem på en unik måde: (og hvorfor er let at gætte ud fra materialerne i forrige afsnit).

Det modsatte er også sandt: tre ikke-koplanære vektorer er altid lineært uafhængige, det vil sige, at de på ingen måde kommer til udtryk gennem hinanden. Og det er klart, at kun sådanne vektorer kan danne grundlag for tredimensionelt rum.

Definition: Grundlaget for tredimensionelt rum kaldes en tripel af lineært uafhængige (ikke-koplanære) vektorer, taget i en bestemt rækkefølge, og enhver vektor af rummet den eneste måde er dekomponeret over en given basis, hvor er vektorens koordinater i denne basis

Lad mig minde dig om, at vi også kan sige, at vektoren er repræsenteret i formen lineær kombination basisvektorer.

Konceptet med et koordinatsystem introduceres på nøjagtig samme måde som for det plane tilfælde et punkt og tre lineære uafhængige vektorer:

oprindelse, Og ikke-koplanar vektorer, taget i en bestemt rækkefølge, sæt affint koordinatsystem af tredimensionelt rum :

Sikkert, koordinatgitter"skrå" og ubelejligt, men ikke desto mindre tillader det konstruerede koordinatsystem os helt bestemt Bestem koordinaterne for enhver vektor og koordinaterne for ethvert punkt i rummet. I lighed med et plan vil nogle formler, som jeg allerede har nævnt, ikke fungere i rummets affine koordinatsystem.

Det mest velkendte og bekvemme specielle tilfælde af et affint koordinatsystem, som alle gætter, er rektangulært rumkoordinatsystem:

Et punkt i rummet kaldet oprindelse, Og ortonormale grundlaget er lagt Kartesisk rektangulært rumkoordinatsystem . Kendte billede:

Inden vi går videre til praktiske opgaver, lad os igen systematisere informationen:

Til tre vektorer mellemrum følgende udsagn er ækvivalente:
1) vektorerne er lineært uafhængige;
2) vektorerne danner en basis;
3) vektorerne er ikke koplanære;
4) vektorer kan ikke udtrykkes lineært gennem hinanden;
5) determinanten, der er sammensat af koordinaterne for disse vektorer, er forskellig fra nul.

Jeg synes, de modsatte udsagn er forståelige.

Lineær afhængighed/uafhængighed af rumvektorer kontrolleres traditionelt ved hjælp af en determinant (punkt 5). Tilbage praktiske opgaver vil have en udtalt algebraisk karakter. Det er tid til at hænge geometristokken op og svinge baseballbattet i lineær algebra:

Tre vektorer af rummet er koplanære, hvis og kun hvis determinanten sammensat af koordinaterne for de givne vektorer er lig med nul: .

Jeg vil gerne henlede din opmærksomhed på en lille teknisk nuance: koordinaterne af vektorer kan skrives ikke kun i kolonner, men også i rækker (værdien af ​​determinanten vil ikke ændre sig på grund af dette - se egenskaber ved determinanter). Men det er meget bedre i spalter, da det er mere gavnligt til at løse nogle praktiske problemer.

Til de læsere, der lidt har glemt metoderne til at beregne determinanter, eller måske har lidt forståelse for dem, anbefaler jeg en af ​​mine ældste lektioner: Hvordan beregner man determinanten?

Eksempel 6

Tjek, om følgende vektorer danner grundlag for tredimensionelt rum:

Løsning: Faktisk handler hele løsningen om at beregne determinanten.

a) Lad os beregne determinanten, der består af vektorkoordinater (determinanten afsløres i den første linje):

, hvilket betyder, at vektorerne er lineært uafhængige (ikke koplanære) og danner grundlag for tredimensionelt rum.

Svar: disse vektorer danner et grundlag

b) Dette er et punkt for uafhængig beslutning. Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Mød og kreative opgaver:

Eksempel 7

Ved hvilken værdi af parameteren vil vektorerne være koplanære?

Løsning: Vektorer er koplanære, hvis og kun hvis determinanten sammensat af koordinaterne for disse vektorer er lig med nul:

Grundlæggende skal du løse en ligning med en determinant. Vi slår ned på nuller som drager på jerboaer - det er bedst at åbne determinanten i anden linje og straks slippe af med minusserne:

Vi udfører yderligere forenklinger og reducerer sagen til den enkleste lineære ligning:

Svar: kl

Det er nemt at kontrollere her for at gøre dette, skal du erstatte den resulterende værdi i den oprindelige determinant og sikre dig, at , åbner den igen.

Afslutningsvis, lad os se på en mere typisk opgave, som er mere algebraisk af natur og traditionelt indgår i forløbet af lineær algebra. Det er så almindeligt, at det fortjener sit eget emne:

Bevis at 3 vektorer danner grundlaget for tredimensionelt rum
og find koordinaterne for den 4. vektor i denne basis

Eksempel 8

Vektorer er givet. Vis, at vektorer danner basis i det tredimensionelle rum og find vektorens koordinater i dette grundlag.

Løsning: Først, lad os behandle tilstanden. Ved betingelse er fire vektorer givet, og som du kan se, har de allerede koordinater på et eller andet grundlag. Hvad dette grundlag er, er ikke af interesse for os. Er du interesseret? næste ting: tre vektorer kan godt danne et nyt grundlag. Og det første trin falder fuldstændig sammen med løsningen i eksempel 6, det er nødvendigt at kontrollere, om vektorerne virkelig er lineært uafhængige:

Lad os beregne determinanten, der består af vektorkoordinater:

, hvilket betyder, at vektorerne er lineært uafhængige og danner grundlag for tredimensionelt rum.

! Vigtig : vektorkoordinater Nødvendigvis Skriv ned i kolonner determinant, ikke i strenge. Ellers vil der opstå forvirring i den videre løsningsalgoritme.

Basis(oldgræsk βασις, basis) - et sæt af vektorer i et vektorrum, således at enhver vektor i dette rum kan repræsenteres entydigt som en lineær kombination af vektorer fra dette sæt - basisvektorer

En basis i rummet Rn er ethvert system fra n-lineært uafhængige vektorer. Hver vektor fra Rn, der ikke er inkluderet i basis, kan repræsenteres som en lineær kombination af basisvektorer, dvs. fordelt på grundlaget.
Lade være grundlaget for rummet R n og . Så er der tal λ 1, λ 2, …, λ n sådan .
Ekspansionskoefficienterne λ 1, λ 2, ..., λ n kaldes vektorkoordinaterne i basis B. Hvis basis er givet, så bestemmes vektorkoefficienterne entydigt.

Kommentar. I hver n-dimensionelt vektorrum, kan du vælge et uendeligt antal forskellige baser. I forskellige baser har den samme vektor forskellige koordinater, men de eneste i det valgte grundlag. Eksempel. Udvid vektoren til dens basis.
Løsning. . Lad os erstatte koordinaterne for alle vektorer og udføre handlinger på dem:

Ved at sidestille koordinaterne får vi et ligningssystem:

Lad os løse det: .
Således får vi nedbrydningen: .
I basis har vektoren koordinater.

Slut på arbejde -

Dette emne hører til sektionen:

Vektor koncept. Lineære operationer på vektorer

En vektor er et rettet segment, der har en bestemt længde, det vil sige et segment af en bestemt længde, der har et af dets begrænsende punkter. Længden af ​​en vektor kaldes dens modul og er angivet med symbolet vektormodul kaldet nul, hvis dens begyndelse og slutning falder sammen, en nulvektor ikke har en specifik vektor.

Hvis du har brug for yderligere materiale om dette emne, eller du ikke fandt det, du ledte efter, anbefaler vi at bruge søgningen i vores database over værker:

Hvad vil vi gøre med det modtagne materiale:

Hvis dette materiale var nyttigt for dig, kan du gemme det på din side i i sociale netværk:

Grundlaget for rummet de kalder et sådant system af vektorer, hvor alle andre vektorer i rummet kan repræsenteres som en lineær kombination af vektorer, der indgår i basis.
I praksis er det hele gennemført ganske enkelt. Grundlaget kontrolleres som regel på et plan eller i rummet, og til dette skal du finde determinanten for en anden, tredje ordensmatrix sammensat af vektorkoordinater. Nedenfor er skrevet skematisk forhold, under hvilke vektorer danner grundlag

Til udvide vektor b til basisvektorer
e,e...,e[n] det er nødvendigt at finde koefficienterne x, ..., x[n], for hvilke den lineære kombination af vektorer e,e...,e[n] er lig med vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
For det vektorligning skal konverteres til systemet lineære ligninger og finde løsninger. Dette er også ret simpelt at implementere.
De fundne koefficienter x, ..., x[n] kaldes koordinater af vektor b i basis e,e...,e[n].
Lad os gå videre til den praktiske side af emnet.

Dekomponering af en vektor til basisvektorer

Opgave 1. Tjek om vektorerne a1, a2 danner basis på planet

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Løsning: Vi sammensætter en determinant ud fra vektorernes koordinater og beregner den

Determinant er ikke nul, derfor vektorerne er lineært uafhængige, hvilket betyder, at de danner en basis.

2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Løsning: Vi beregner determinanten, der består af vektorer

Determinanten er lig med 13 (ikke lig med nul) - heraf følger, at vektorerne a1, a2 er en basis på planet.

---=================---

Lad os se på typiske eksempler fra MAUP-programmet i disciplinen "Højere matematik".

Opgave 2. Vis, at vektorerne a1, a2, a3 danner grundlaget for et tredimensionelt vektorrum, og udvid vektoren b i henhold til dette grundlag (ved løsning af et lineært system algebraiske ligninger bruge Cramers metode).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Løsning: Overvej først systemet af vektorer a1, a2, a3 og kontroller determinanten af ​​matrix A

bygget på ikke-nul vektorer. Matrixen indeholder et nul-element, så det er mere hensigtsmæssigt at beregne determinanten som et skema i første kolonne eller tredje række.

Som et resultat af beregningerne fandt vi, at determinanten er forskellig fra nul, derfor vektorer a1, a2, a3 er lineært uafhængige.
Per definition danner vektorer et grundlag i R3. Lad os nedskrive skemaet for vektor b baseret på

Vektorer er ens, når deres tilsvarende koordinater er ens.
Derfor får vi fra vektorligningen et system af lineære ligninger

Lad os løse SLAE Cramers metode. For at gøre dette skriver vi ligningssystemet i formen

Hoveddeterminant SLAE er altid lig med determinanten sammensat af basisvektorer

Derfor tælles det i praksis ikke to gange. For at finde hjælpedeterminanter sætter vi en kolonne med frie termer i stedet for hver kolonne af hoveddeterminanten. Determinanter beregnes ved hjælp af trekantsreglen



Lad os erstatte de fundne determinanter i Cramers formel



Så udvidelsen af ​​vektoren b i form af basis har formen b=-4a1+3a2-a3. Koordinaterne for vektor b i basis a1, a2, a3 vil være (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Løsning: Vi kontrollerer vektorerne for et grundlag - vi sammensætter en determinant ud fra vektorernes koordinater og beregner den

Determinanten er derfor ikke lig med nul vektorer danner grundlag i rummet. Det er tilbage at finde tidsplanen for vektor b igennem dette grundlag. For at gøre dette skriver vi vektorligningen

og transformere til et system af lineære ligninger

Lad os skrive det ned matrix ligning

Dernæst finder vi hjælpedeterminanter for Cramers formler



Vi anvender Cramers formler



Så en given vektor b har et skema gennem to basisvektorer b=-2a1+5a3, og dens koordinater i basis er lig med b(-2,0, 5).

I vektorregning og dens anvendelser stor betydning har en dekomponeringsopgave, der består i at repræsentere en given vektor som summen af ​​flere vektorer kaldet komponenter af en given

vektor. Dette problem, som generelt har et uendeligt antal løsninger, bliver fuldstændigt defineret, hvis vi specificerer nogle elementer i komponentvektorerne.

2. Eksempler på nedbrydning.

Lad os overveje flere meget almindelige tilfælde af nedbrydning.

1. Dekomponér en given vektor c i to komponentvektorer, hvoraf den ene, for eksempel a, er givet i størrelse og retning.

Problemet kommer ned til at bestemme forskellen mellem to vektorer. Faktisk, hvis vektorerne er komponenter af vektoren c, så skal ligheden være opfyldt

Herfra bestemmes den anden komponentvektor

2. Nedbryd den givne vektor c i to komponenter, hvoraf den ene skal ligge i givet fly og den anden skal ligge på en given ret linje a.

For at bestemme komponentvektorerne flytter vi vektoren c, så dens begyndelse falder sammen med skæringspunktet for den givne rette linje med planet (punkt O - se fig. 18). Fra slutningen af ​​vektor c (punkt C) trækker vi en ret linje til

skæringspunktet med planet (B er skæringspunktet), og så trækker vi fra punkt C en ret linje parallelt

Vektorerne og vil være de ønskede, dvs. Naturligvis er den angivne ekspansion mulig, hvis den rette linje a og planet ikke er parallelle.

3. Givet tre koplanære vektorer a, b og c, og vektorerne er ikke kollineære. Det er nødvendigt at dekomponere vektoren c til vektorer

Lad os bringe alle tre givne vektorer til et punkt O. Så vil de på grund af deres koplanaritet være placeret i samme plan. På givet vektor med hvordan vi på diagonalen vil konstruere et parallelogram, hvis sider er parallelle med vektorernes virkningslinjer (fig. 19). Denne konstruktion er altid mulig (medmindre vektorerne er kollineære) og unikke. Fra Fig. 19 er det klart, at