Bernoullis ligning er en af ​​de mest kendte ulineære differentialligninger af første orden. Det er skrevet i skemaet

Hvor -en(x) Og b(x) er kontinuerlige funktioner. Hvis m= 0, så bliver Bernoullis ligning en lineær differentialligning. I tilfældet hvornår m= 1, bliver ligningen en adskillelig ligning. Generelt, hvornår m≠ 0,1, Bernoullis ligning reduceres til en lineær differentialligning ved hjælp af substitutionen

Ny differentialligning for funktionen z(x) har formen

og kan løses ved hjælp af metoderne beskrevet på siden Førsteordens lineære differentialligninger.

BERNOULI METODE.

Den betragtede ligning kan løses ved Bernoullis metode. For at gøre dette leder vi efter en løsning på den oprindelige ligning i form af et produkt af to funktioner: hvor u, v- funktioner fra x. Differentier: Erstat i den oprindelige ligning (1): (2) Som v Lad os tage enhver løsning, der ikke er nul, til ligningen: (3) Ligning (3) er en ligning med adskillelige variable. Efter at vi fandt dens særlige løsning v = v(x), erstatte det med (2). Da det opfylder ligning (3), bliver udtrykket i parentes nul. Vi får: Dette er også en adskillelig ligning. Vi finder dens generelle løsning, og med den løsningen til den oprindelige ligning y = uv.

64. Ligning i totale differentialer. Integrerende faktor. Løsningsmetoder

Første ordens differentialligning af formen

hedder ligning i totale differentialer, hvis dens venstre side repræsenterer den totale differential af en eller anden funktion, dvs.

Sætning. For at ligning (1) kan være en ligning i totale differentialer, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at betingelsen er opfyldt i et eller andet simpelt sammenhængende domæne for ændring af variable.

Det generelle integral af ligning (1) har formen eller

Eksempel 1. Løs differentialligning.

Løsning. Lad os kontrollere, at denne ligning er en total differentialligning:

altså betingelse (2) er opfyldt. Således er denne ligning en ligning i totale differentialer og

derfor, hvor er stadig en udefineret funktion.

Integrering får vi. Den partielle afledte af den fundne funktion skal være lig med, hvilket giver hvorfra så at Således,.

Generelt integral af den oprindelige differentialligning.

Ved integration af nogle differentialligninger kan termerne grupperes på en sådan måde, at der opnås let integrerbare kombinationer.

65. Almindelige differentiallineære ligninger af højere orden: homogene og inhomogene. Lineær differentialoperator, dens egenskaber (med bevis).

Lineær differentialoperator og dens egenskaber. Det sæt af funktioner, der har på intervallet ( -en , b ) intet mindre n afledte, danner et lineært rum. Overvej operatøren L n (y ), som viser funktionen y (x ), der har afledte, til en funktion, der har k - n derivater.

Lineære differentialligninger af 1. orden
og Bernoullis ligning

En førsteordens lineær differentialligning er en ligning, der er lineær med hensyn til en ukendt funktion og dens afledte. Det ser ud som om

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

hvor p(x) og q(x) er givet funktioner af x, kontinuert i det område, hvori ligning (1) skal integreres.

Hvis q(x)\equiv0 , så kaldes ligning (1). lineær homogen. Det er en adskillelig ligning og har en generel løsning

y=C\exp\!\venstre(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Den generelle løsning til den inhomogene ligning kan findes metode til variation af en vilkårlig konstant, som består i, at løsningen til ligning (1) søges i formen

y=C(x)\exp\!\venstre(-\int(p(x))\,dx\højre), hvor C(x) er en ny ukendt funktion af x.

Eksempel 1. Løs ligningen y"+2xy=2xe^(-x^2).

Løsning. Lad os bruge metoden med konstant variation. Overvej den homogene ligning y"+2xy=0, svarende til denne inhomogene ligning. Dette er en ligning med adskillelige variable. Dens generelle løsning har formen y=Ce^(-x^2) .

Vi leder efter en generel løsning til den inhomogene ligning på formen y=C(x)e^(-x^2), hvor C(x) er en ukendt funktion af x. Ved at substituere får vi C"(x)=2x, hvorfra C(x)=x^2+C. Så den generelle løsning af den inhomogene ligning vil være y=(x^2+C)e^(-x^2), hvor C er integrationskonstanten.

Kommentar. Det kan vise sig, at differentialligningen er lineær i x som funktion af y. Den normale form for en sådan ligning er

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Eksempel 2. Løs ligningen \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Løsning. Denne ligning er lineær, hvis vi betragter x som en funktion af y:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Vi bruger metoden til variation af en vilkårlig konstant. Først løser vi den tilsvarende homogene ligning

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

som er en ligning med adskillelige variable. Dens generelle løsning har formen x=Ce^(\sin(y)),~C=\tekst(konst).

Vi leder efter en generel løsning på ligningen på formen , hvor C(y) er en ukendt funktion af y. Udskiftning, får vi

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2y eller C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Herfra har vi integreret med dele

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(aligned)

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

At erstatte denne ligning i x=C(y)e^(\sin(y)), får vi en generel løsning til den oprindelige ligning, og derfor til denne ligning:

x=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Den oprindelige ligning kan også integreres som følger. Vi tror

y=u(x)v(x),

hvor u(x) og v(x) er ukendte funktioner af x, hvoraf den ene, for eksempel v(x), kan vælges vilkårligt.

Substitution af y=u(x)v(x) til , efter transformation får vi

vu"+(pv+v")u=q(x).

Ved at bestemme v(x) ud fra betingelsen v"+pv=0, finder vi så ud fra vu"+(pv+v")u=q(x) funktion u(x) og følgelig løsningen y=uv til ligningen \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Som v(x) kan vi tage enhver hyppig løsning af ligningen v"+pv=0,~v\ikke\equiv0.

Eksempel 3. Løs Cauchy-problemet: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Løsning. Vi leder efter en generel løsning på ligningen på formen y=u(x)v(x) ; vi har y"=u"v+uv". Ved at erstatte udtrykket for y og y" i den oprindelige ligning, vil vi have

x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) eller x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Vi finder funktionen v=v(x) ud fra betingelsen x(x-1)v"+v=0. Tager vi enhver bestemt løsning af den sidste ligning, for eksempel v=\frac(x)(x-1) og erstatter vi det, får vi ligningen u"=2x-1, hvorfra vi finder funktionen u(x)=x^2-x+C. Derfor er den generelle løsning på ligningen x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) vilje

y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1), eller y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Ved at bruge startbetingelsen y|_(x=2)=4 får vi ligningen for at finde C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, hvorfra C=0; så løsningen på det angivne Cauchy-problem vil være funktionen y=x^2.

Eksempel 4. Det er kendt, at der er en sammenhæng mellem strøm i og elektromotorisk kraft E i et kredsløb med modstand R og selvinduktans L E=Ri+L\frac(di)(dt), hvor R og L er konstanter. Hvis vi betragter E som en funktion af tiden t, får vi en lineær inhomogen ligning for strømstyrken i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Find den aktuelle styrke i(t) for tilfældet hvornår E=E_0=\tekst(konst) og i(0)=I_0.

Løsning. Vi har \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Den generelle løsning af denne ligning har formen i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Ved at bruge startbetingelsen (13) får vi fra C=I_0-\frac(E_0)(R), så den ønskede løsning bliver

i(t)=\frac(E_0)(R)+\venstre(I_0-\frac(E_0)(R)\højre)\!e^(-(R/L)t).

Dette viser, at ved t\to+\infty tenderer strømstyrken i(t) til en konstant værdi \frac(E_0)(R) .

Eksempel 5. En familie C_\alfa af integralkurver af den lineære inhomogene ligning y"+p(x)y=q(x) er givet.

Vis, at tangenterne i de tilsvarende punkter til kurverne C_\alpha defineret af den lineære ligning skærer hinanden i et punkt (fig. 13).

Løsning. Betragt tangenten til enhver kurve C_\alpha i punktet M(x,y) Ligningen for tangenten i punktet M(x,y) har formen

\eta-q(x)(\xi-x)=y, hvor \xi,\eta er de aktuelle koordinater for tangentpunktet.

Per definition er x konstant i de tilsvarende punkter, og y er variabel. Tager vi to vilkårlige tangenter til linjerne C_\alpha i de tilsvarende punkter, for koordinaterne til punktet S i deres skæringspunkt, får vi

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Dette viser, at alle tangenter til kurverne C_\alpha i de tilsvarende punkter (x er fast) skærer hinanden i samme punkt

S\!\venstre(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\højre).

Ved at eliminere argumentet x i systemet får vi ligningen for punkternes sted S\kolon f(\xi,\eta)=0.

Eksempel 6. Find løsningen på ligningen y"-y=\cos(x)-\sin(x), der opfylder betingelsen: y er begrænset til y\to+\infty .

Løsning. Den generelle løsning til denne ligning er y=Ce^x+\sin(x) . Enhver løsning til ligningen opnået fra den generelle løsning for C\ne0 vil være ubegrænset, da for x\to+\infty er funktionen \sin(x) begrænset og e^x\to+\infty . Det følger heraf, at denne ligning har en unik løsning y=\sin(x) , afgrænset til x\to+\infty , som fås fra den generelle løsning ved C=0 .

Bernoullis ligning

Bernoullis differentialligning ligner

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, hvor n\ne0;1 (for n=0 og n=1 er denne ligning lineær).

Brug af variabel udskiftning z=\frac(1)(y^(n-1)) Bernoullis ligning er reduceret til en lineær ligning og integreret som en lineær.

Eksempel 7. Løs Bernoullis ligning y"-xy=-xy^3.

Løsning. Divider begge sider af ligningen med y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

At lave en variabel ændring \frac(1)(y^2)=z\Højrepil-\frac(2y")(y^3)=z", hvor \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Efter substitution bliver den sidste ligning til en lineær ligning

-\frac(z")(2)-xz=-x eller z"+2xz=2x, hvis generelle løsning er z=1+Ce^(-x^2).

Herfra får vi det generelle integral af denne ligning

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2) eller y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Kommentar. Bernoullis ligning kan også integreres ved hjælp af metoden til variation af en konstant, ligesom en lineær ligning, og ved at bruge substitutionen y(x)=u(x)v(x) .

Eksempel 8. Løs Bernoullis ligning xy"+y=y^2\ln(x). .

Løsning. Lad os anvende metoden til variation af en vilkårlig konstant. Den generelle løsning af den tilsvarende homogene ligning xy"+y=0 har formen y=\frac(C)(x). Vi leder efter den generelle løsning af ligningen på formen y=\frac(C(x)) (x) , hvor C(x) - ny ukendt funktion Substituere i den oprindelige ligning, vil vi have

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

For at finde funktionen C(x) får vi en ligning med separerbare variable, hvorfra vi ved at adskille variablerne og integrere

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Højrepil~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

Så den generelle løsning til den oprindelige ligning y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Nogle ikke-lineære førsteordensligninger kan reduceres til lineære ligninger eller Bernoulli-ligninger ved hjælp af en vellykket fundet ændring af variable.

Eksempel 9. Løs ligningen y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Løsning. Lad os skrive denne ligning i formen y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

At dividere begge sider af ligningen med 2\cos^2\frac(y)(2), vi får \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operatørnavn(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Udskiftning \operatørnavn(tg)\frac(y)(2)=z\Højrepil\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2)) reducerer denne ligning til lineær \frac(dz)(dx)+z=-x, hvis generelle løsning er z=1-x+Ce^(-x) .

Ved at erstatte z med dets udtryk i form af y, får vi det generelle integral af denne ligning \operatørnavn(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

I nogle ligninger kan den ønskede funktion y(x) være under integraletegnet. I disse tilfælde er det nogle gange muligt at reducere denne ligning til en differentialligning ved differentiering.

Eksempel 10. Løs ligningen x\int\grænser_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\grænser_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Løsning. Ved at differentiere begge sider af denne ligning med hensyn til x, får vi

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x) eller \int\grænser_(0)^(x)y(t)\,dx=\int\grænser_(0)^(x)ty(t)\,dt+x^2y(x).

Hvis vi igen differentierer med hensyn til x, vil vi have en lineær homogen ligning med hensyn til y(x)\kolon

y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x) eller x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.

At adskille variablerne og integrere, finder vi y=\frac(C)(x^3)e^(-1/x). Denne løsning, som let kan verificeres, opfylder den oprindelige ligning.

En førsteordens lineær differentialligning er en ligning, der er lineær med hensyn til en ukendt funktion og dens afledte. Det ser ud som om

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

hvor p(x) og q(x) er givet funktioner af x, kontinuert i det område, hvori ligning (1) skal integreres.

Hvis q(x)\equiv0 , så kaldes ligning (1). lineær homogen. Det er en adskillelig ligning og har en generel løsning

Y=C\exp\!\venstre(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Den generelle løsning til den inhomogene ligning kan findes metode til variation af en vilkårlig konstant, som består i, at løsningen til ligning (1) søges i formen

Y=C(x)\exp\!\venstre(-\int(p(x))\,dx\right), hvor C(x) er en ny ukendt funktion af x.

Eksempel 1. Løs ligningen y"+2xy=2xe^(-x^2) .

Løsning. Lad os bruge metoden med konstant variation. Overvej den homogene ligning y"+2xy=0, svarende til denne inhomogene ligning. Dette er en ligning med adskillelige variable. Dens generelle løsning har formen y=Ce^(-x^2) .

Vi leder efter en generel løsning til den inhomogene ligning på formen y=C(x)e^(-x^2), hvor C(x) er en ukendt funktion af x. Ved at substituere får vi C"(x)=2x, hvorfra C(x)=x^2+C. Så den generelle løsning af den inhomogene ligning vil være y=(x^2+C)e^(-x^ 2) , hvor C - integrationskonstant.

Kommentar. Det kan vise sig, at differentialligningen er lineær i x som funktion af y. Den normale form for en sådan ligning er

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Eksempel 2. Løs ligningen \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Løsning. Denne ligning er lineær, hvis vi betragter x som en funktion af y:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Vi bruger metoden til variation af en vilkårlig konstant. Først løser vi den tilsvarende homogene ligning

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

som er en ligning med adskillelige variable. Dens generelle løsning har formen x=Ce^(\sin(y)),~C=\tekst(konst).

Vi leder efter en generel løsning til ligningen på formen x=C(y)e^(\sin(y)), hvor C(y) er en ukendt funktion af y. Udskiftning, får vi

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2y eller C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Herfra har vi integreret med dele

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(aligned)

Så,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Ved at erstatte denne ligning med x=C(y)e^(\sin(y)), får vi en generel løsning til den oprindelige ligning, og derfor til denne ligning:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Den oprindelige ligning kan også integreres som følger. Vi tror

Y=u(x)v(x),

hvor u(x) og v(x) er ukendte funktioner af x, hvoraf den ene, for eksempel v(x), kan vælges vilkårligt.

Substitution af y=u(x)v(x) til , efter transformation får vi

Vu"+(pv+v")u=q(x).

Ved at bestemme v(x) ud fra betingelsen v"+pv=0, finder vi så ud fra vu"+(pv+v")u=q(x) funktionen u(x) og følgelig løsningen y=uv af ligningen \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Som v(x) kan vi tage enhver hyppig løsning af ligningen v"+pv=0,~v\ikke\equiv0.

Eksempel 3. Løs Cauchy-problemet: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Løsning. Vi leder efter en generel løsning på ligningen på formen y=u(x)v(x) ; vi har y"=u"v+uv". Ved at erstatte udtrykket for y og y" i den oprindelige ligning, vil vi have

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) eller x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Vi finder funktionen v=v(x) fra betingelsen x(x-1)v"+v=0. Tager vi en hvilken som helst bestemt løsning af den sidste ligning, for eksempel v=\frac(x)(x-1) og erstatter vi det, får vi ligningen u"=2x-1, hvorfra vi finder funktionen u(x)=x^2-x+C. Derfor er den generelle løsning på ligningen x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) vilje

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1), eller y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Ved at bruge startbetingelsen y|_(x=2)=4 får vi ligningen for at finde C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, hvorfra C=0; så løsningen på det angivne Cauchy-problem vil være funktionen y=x^2.

Eksempel 4. Det er kendt, at der er en sammenhæng mellem strøm i og elektromotorisk kraft E i et kredsløb med modstand R og selvinduktans L E=Ri+L\frac(di)(dt), hvor R og L er konstanter. Hvis vi betragter E som en funktion af tiden t, får vi en lineær inhomogen ligning for strømstyrken i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Find den aktuelle styrke i(t) for tilfældet hvornår E=E_0=\tekst(konst) og i(0)=I_0.

Løsning. Vi har \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Den generelle løsning af denne ligning har formen i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Ved at bruge startbetingelsen (13) får vi fra C=I_0-\frac(E_0)(R), så den ønskede løsning bliver

I(t)=\frac(E_0)(R)+\venstre(I_0-\frac(E_0)(R)\højre)\!e^(-(R/L)t).

Dette viser, at ved t\to+\infty tenderer strømstyrken i(t) til en konstant værdi \frac(E_0)(R) .

Eksempel 5. En familie C_\alfa af integralkurver af den lineære inhomogene ligning y"+p(x)y=q(x) er givet.

Vis, at tangenterne i de tilsvarende punkter til kurverne C_\alpha defineret af den lineære ligning skærer hinanden i et punkt (fig. 13).

Løsning. Betragt tangenten til enhver kurve C_\alpha i punktet M(x,y) Ligningen for tangenten i punktet M(x,y) har formen

\eta-q(x)(\xi-x)=y, hvor \xi,\eta er de aktuelle koordinater for tangentpunktet.

Per definition er x konstant i de tilsvarende punkter, og y er variabel. Tager vi to vilkårlige tangenter til linjerne C_\alpha i de tilsvarende punkter, for koordinaterne til punktet S i deres skæringspunkt, får vi

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Dette viser, at alle tangenter til kurverne C_\alpha i de tilsvarende punkter ( x er fast) skærer hinanden i samme punkt

S\!\venstre(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\højre).

Ved at eliminere argumentet x i systemet får vi ligningen for punkternes sted S\kolon f(\xi,\eta)=0.

Eksempel 6. Find løsningen på ligningen y"-y=\cos(x)-\sin(x), der opfylder betingelsen: y er begrænset til y\to+\infty .

Løsning. Den generelle løsning til denne ligning er y=Ce^x+\sin(x) . Enhver løsning til ligningen opnået fra den generelle løsning for C\ne0 vil være ubegrænset, da for x\to+\infty er funktionen \sin(x) begrænset og e^x\to+\infty . Det følger heraf, at denne ligning har en unik løsning y=\sin(x) , afgrænset til x\to+\infty , som fås fra den generelle løsning ved C=0 .

Bernoullis ligning

Bernoullis differentialligning ligner

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, hvor n\ne0;1 (for n=0 og n=1 er denne ligning lineær).

Brug af variabel udskiftning z=\frac(1)(y^(n-1)) Bernoullis ligning er reduceret til en lineær ligning og integreret som en lineær.

Eksempel 7. Løs Bernoullis ligning y"-xy=-xy^3.

Løsning. Divider begge sider af ligningen med y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

At lave en variabel ændring \frac(1)(y^2)=z\Højrepil-\frac(2y")(y^3)=z", hvor \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Efter substitution bliver den sidste ligning til en lineær ligning

-\frac(z")(2)-xz=-x eller z"+2xz=2x, hvis generelle løsning er z=1+Ce^(-x^2).

Herfra får vi det generelle integral af denne ligning

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2) eller y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Kommentar. Bernoullis ligning kan også integreres ved hjælp af metoden til variation af en konstant, ligesom en lineær ligning, og ved at bruge substitutionen y(x)=u(x)v(x) .

Eksempel 8. Løs Bernoullis ligning xy"+y=y^2\ln(x). .

Løsning. Lad os anvende metoden til variation af en vilkårlig konstant. Den generelle løsning af den tilsvarende homogene ligning xy"+y=0 har formen y=\frac(C)(x). Vi leder efter den generelle løsning af ligningen på formen y=\frac(C(x)) (x) , hvor C(x) - ny ukendt funktion Substituere i den oprindelige ligning, vil vi have

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

For at finde funktionen C(x) får vi en ligning med separerbare variable, hvorfra vi ved at adskille variablerne og integrere

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Højrepil~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

Så den generelle løsning til den oprindelige ligning y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Nogle ikke-lineære førsteordensligninger kan reduceres til lineære ligninger eller Bernoulli-ligninger ved hjælp af en vellykket fundet ændring af variable.

Eksempel 9. Løs ligningen y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Løsning. Lad os skrive denne ligning i formen y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

At dividere begge sider af ligningen med 2\cos^2\frac(y)(2), vi får \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operatørnavn(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Udskiftning \operatørnavn(tg)\frac(y)(2)=z\Højrepil\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2)) reducerer denne ligning til lineær \frac(dz)(dx)+z=-x, hvis generelle løsning er z=1-x+Ce^(-x) .

Ved at erstatte z med dets udtryk i form af y, får vi det generelle integral af denne ligning \operatørnavn(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

I nogle ligninger kan den ønskede funktion y(x) være under integraletegnet. I disse tilfælde er det nogle gange muligt at reducere denne ligning til en differentialligning ved differentiering.

Eksempel 10. Løs ligningen x\int\grænser_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\grænser_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Løsning. Ved at differentiere begge sider af denne ligning med hensyn til x, får vi

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x) eller kilde til information

Karakteristika for Bernoullis ligning

Definition 1

Første ordens differentialligning med standardformen $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)\cdot y^(n)$, hvor $P\left(x\right) )$ og $Q\left(x\right)$ er kontinuerte funktioner, og $n$ er et bestemt tal, kaldet Jacob Bernoullis differentialligning.

I dette tilfælde pålægges der begrænsninger på antallet $n$:

• $n\ne 0$, da differentialligningen ved $n = 0$ er lineær inhomogen, og en anden speciel løsningsmetode er ikke nødvendig i dette tilfælde;
• $n\ne 1$, da hvis vi har en som $n$, er differentialligningen en lineær homogen, hvis løsningsmetode også er kendt.

Derudover er den trivielle løsning af Bernoullis differentialligning $y=0$ ikke specifikt overvejet.

Matematiker Jacob Bernoullis differentialligning må ikke forveksles med Bernoullis lov, opkaldt efter hans nevøs onkel, kendt som Daniel Bernoulli.

Note 1

Daniel Bernoulli er fysiker, det mest berømte mønster, han fandt, er at beskrive forholdet mellem hastigheden af ​​væskestrømning og tryk. Bernoullis lov gælder også for laminære gasstrømme. Det bruges generelt i hydraulik og væskedynamik.

Løsning af Bernoulli-ligningen ved reduktion til en lineær inhomogen

Hovedmetoden til løsning af Bernoullis differentialligning er, at den gennem transformationer reduceres til en lineær inhomogen. Disse transformationer er som følger:

1. Vi multiplicerer ligningen med tallet $y^(-n) $ og får $y^(-n) \cdot y"+P\left(x\right)\cdot y^(1-n) =Q\venstre (x\ højre)$.
2. Vi anvender erstatningen $z=y^(1-n) $ og differentierer denne lighed som en kompleks potensfunktion; vi får $z"=\venstre(1-n\højre)\cdot y^(-n) \cdot y"$, hvorfra $\frac(z")(1-n) =y^(-n) \ cdot y"$.
3. Vi erstatter værdierne $y^(1-n) $ og $y^(-n) \cdot y"$ i denne differentialligning og får $\frac(z")(1-n) +P\venstre (x\right )\cdot z=Q\left(x\right)$ eller $z"+\left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot z=\left(1) -n\højre )\cdot Q\venstre(x\højre)$.

Den resulterende differentialligning er lineær inhomogen med hensyn til funktionen $z$, som vi løser som følger:

1. Vi beregner integralet $I_(1) =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $, skriv en bestemt løsning på formen $v\left(x\ right)=e ^(-I_(1) ) $, vi udfører simplificerende transformationer og vælger den enkleste ikke-nul-mulighed for $v\left(x\right)$.
2. Vi beregner integralet $I_(2) =\int \frac(\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $, hvorefter vi skriver udtrykket på formen $u\left(x,C\right)=I_(2) +C$.
3. Vi skriver den generelle løsning af en lineær inhomogen differentialligning på formen $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.
4. Vi vender tilbage til funktionen $y$, erstatter $z$ med $y^(1-n)$, og udfører om nødvendigt simplificerende transformationer.

Eksempel:

Find den generelle løsning til differentialligningen $\frac(dy)(dx) +\frac(y)(x) =y^(2) \cdot \left(4-x^(2) \right)$. Skriv en bestemt løsning ned, der opfylder startbetingelsen $y=1$ for $x=1$.

I dette tilfælde har vi Bernoullis differentialligning præsenteret i standardform.

I dette tilfælde $n=2$, $P\left(x\right)=\frac(1)(x) $, $Q\left(x\right)=4-x^(2) $.

Vi præsenterer det i formen vedrørende erstatningen $z$:

$z"+\left(1-2\right)\cdot \frac(1)(x) \cdot z=\left(1-2\right)\cdot \left(4-x^(2) \right )$ eller $z"-\frac(1)(x) \cdot z=-\left(4-x^(2) \right)$.

Den resulterende differentialligning er lineær inhomogen med hensyn til funktionen $z$, som vi løser ved hjælp af metoden beskrevet ovenfor.

Vi beregner integralet $I_(1) =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $.

Vi har $I_(1) =\int \left(1-2\right)\cdot \frac(1)(x) \cdot dx =-\ln \left|x\right|$.

Vi skriver en bestemt løsning i formen $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ og udfører simplificerende transformationer: $v\left(x\right)=e^(\ln \left |x\ højre|)$; $\ln v\left(x\right)=\ln \venstre|x\højre|$; $v\left(x\right)=\venstre|x\højre|$.

For $v\left(x\right)$ vælger vi den enkleste ikke-nul mulighed: $v\left(x\right)=x$.

Vi beregner integralet $I_(2) =\int \frac(\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $.

Vi skriver udtrykket i formen $u\left(x,C\right)=I_(2) +C$, det vil sige $u\left(x,C\right)=\frac(x^(2) )(2) -4\cdot \ln \venstre|x\højre|+C$.

Vi skriver til sidst den generelle løsning af den lineære inhomogene differentialligning for funktionen $z$ på formen $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, dvs. $z=\frac(x^ (3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \venstre|x\højre|+C\cdot x$.

Nu vender vi tilbage til funktionen $y$, og erstatter $z$ med $y^(1-n)$:

$y^(1-2) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$ eller $\frac(1) (y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \venstre|x\højre|+C\cdot x$.

Dette er den generelle løsning af denne Bernoulli differentialligning, skrevet i implicit form.

For at finde en bestemt løsning bruger vi denne startbetingelse $y=1$ for $x=1$:

Derfor har den partielle løsning formen: $\frac(1)(y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+\frac (x )(2) $.

Løsning af Bernoullis differentialligning ved substitutionsmetode

Den anden mulige løsning på Bernoullis ligning er substitutionsmetoden.

Eksempel:

Find den generelle løsning til differentialligningen $y"+\frac(y)(x) =y^(2) \cdot \left(4-x^(2) \right)$ ved substitutionsmetode.

Vi anvender substitutionen $y=u\cdot v$.

Efter differentiering får vi:

Vi finder funktionen $v\left(x\right)$ fra ligningen $v"+\frac(v)(x) =0$; for at gøre dette flytter vi det andet led til højre.

Vi får:

$\frac(dv)(dx) =-\frac(v)(x) $;

adskille variablerne $\frac(dv)(v) =-\frac(dx)(x) $;

integrer $\ln \left|v\right|=-\ln \left|x\right|$, hvorfra $v=\frac(1)(x) $.

Funktionen $u\left(x\right)$ findes fra ligningen $u"\cdot \frac(1)(x) =u^(2) \cdot \frac(1)(x^(2) ) \cdot \ left(4-x^(2) \right)$, som tager højde for $v=\frac(1)(x) $ og $v"+\frac(v)(x) =0$.

Efter simple transformationer får vi: $u"=u^(2) \cdot \frac(1)(x) \cdot \left(4-x^(2) \right)$.

Vi adskiller variablerne: $\frac(du)(u^(2) ) =\frac(1)(x) \cdot \left(4-x^(2) \right)\cdot dx$.

Lad os integrere: $-\frac(1)(u) =4\cdot \ln \left|x\right|-\frac(x^(2) )(2) +C$ eller $\frac(1)( u ) =\frac(x^(2) )(2) -4\cdot \ln \venstre|x\højre|+C$.

Lad os vende tilbage til den gamle variabel. Vi tager højde for, at $y=u\cdot v$ eller $y=u\cdot \frac(1)(x) $, hvorfra $u=x\cdot y$.

Vi får den generelle løsning til denne differentialligning: $\frac(1)(y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C \cdot x $.