I denne lektion vil alle være i stand til at studere emnet "Rektangulær parallelepipedum". I begyndelsen af lektionen vil vi gentage, hvad vilkårlige og lige parallelepipeder er, husk egenskaberne for deres modsatte flader og diagonaler af parallelepipedet. Derefter vil vi se på, hvad en cuboid er og diskutere dens grundlæggende egenskaber.
Emne: Vinkelrette linjer og planer
Lektion: Cuboid
En overflade sammensat af to lige store parallelogrammer ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 og fire parallelogrammer ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 kaldes parallelepipedum(fig. 1).
Ris. 1 Parallelepiped
Det vil sige: vi har to lige store parallelogrammer ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 (baser), de ligger i parallelle planer Så laterale ribben AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 er parallelle. Således kaldes en overflade sammensat af parallelogrammer parallelepipedum.
Således er overfladen af et parallelepipedum summen af alle de parallelogrammer, der udgør parallelepipedet.
1. De modsatte flader af et parallelepipedum er parallelle og lige store.
(formerne er ens, dvs. de kan kombineres ved at overlappe hinanden)
For eksempel:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 ( lige parallelogrammer a-priory),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (da AA 1 B 1 B og DD 1 C 1 C er modsatte flader af parallelepipedet),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (da AA 1 D 1 D og BB 1 C 1 C er modsatte flader af parallelepipedet).
2. Diagonalerne af et parallelepipedum skærer hinanden i et punkt og er halveret af dette punkt.
Diagonalerne af parallelepipedummet AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B skærer hinanden i et punkt O, og hver diagonal er delt i to af dette punkt (fig. 2).
Ris. 2 Diagonalerne af et parallelepipedum skærer hinanden og er delt i to af skæringspunktet.
3. Der er tre firdobler af lige store og parallelle kanter af et parallelepipedum: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, СС 1, DD 1.
Definition. Et parallelepipedum kaldes lige, hvis dets sidekanter er vinkelrette på baserne.
Lad sidekanten AA 1 være vinkelret på bunden (fig. 3). Det betyder, at lige linje AA 1 er vinkelret på rette linier AD og AB, som ligger i grundplanet. Det betyder, at sidefladerne indeholder rektangler. Og baserne indeholder vilkårlige parallelogrammer. Lad os betegne ∠DÅRLIG = φ, vinklen φ kan være en hvilken som helst.
Ris. 3 Højre parallelepipedum
Så et højre parallelepipedum er et parallelepipedum, hvor sidekanterne er vinkelrette på parallelepipedets baser.
Definition. Parallepipedet kaldes rektangulært, hvis dens sidekanter er vinkelrette på bunden. Baserne er rektangler.
Den parallellepipedede ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 er rektangulær (fig. 4), hvis:
1. AA 1 ⊥ ABCD (lateral kant vinkelret på bundens plan, det vil sige en lige parallelepipedum).
2. ∠DÅRLIG = 90°, dvs. basen er et rektangel.
Ris. 4 Rektangulær parallelepipedum
Et rektangulært parallelepipedum har alle egenskaberne for et vilkårligt parallelepipedum. Men der er yderligere ejendomme, som er afledt af definitionen rektangulær parallelepipedum.
Så, cuboid er et parallelepipedum, hvis sidekanter er vinkelrette på bunden. Grundlaget for en kuboid er et rektangel.
1. I et rektangulært parallelepipedum er alle seks flader rektangler.
ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 er per definition rektangler.
2. Laterale ribber er vinkelrette på bunden. Så det er det sideflader rektangulært parallelepipedum - rektangler.
3. Alle dihedrale vinkler rektangulære lige linjer med parallelepipedum.
Lad os for eksempel betragte den dihedriske vinkel på et rektangulært parallelepipedum med kant AB, dvs. den dihedriske vinkel mellem planerne ABC 1 og ABC.
AB er en kant, punkt A 1 ligger i det ene plan - i planet ABB 1, og punkt D i det andet - i planet A 1 B 1 C 1 D 1. Så kan den dihedriske vinkel, der overvejes, også betegnes på følgende måde: ∠A 1 ABD.
Lad os tage punkt A på kant AB. AA 1 - vinkelret på kant AB i planet АВВ-1, AD vinkelret på kant AB i ABC fly. Så, ∠A 1 AD - lineær vinkel givet dihedral vinkel. ∠A 1 AD = 90°, hvilket betyder, at den dihedriske vinkel ved kanten AB er 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
På samme måde er det bevist, at alle dihedriske vinkler på et rektangulært parallelepipedum er rigtige.
Firkantet diagonal af en kasse lig med summen kvadrater af dens tre dimensioner.
Bemærk. Længderne af de tre kanter, der udgår fra det ene toppunkt af en kuboid, er målene på cuboiden. De kaldes undertiden længde, bredde, højde.
Givet: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - rektangulært parallelepipedum (fig. 5).
Bevise: .
Ris. 5 Rektangulær parallelepipedum
Bevis:
Ret linje CC 1 er vinkelret på plan ABC, og derfor på lige linje AC. Det betyder, at trekanten CC 1 A er retvinklet. Ifølge Pythagoras sætning:
Overvej den retvinklede trekant ABC. Ifølge Pythagoras sætning:
Men f.Kr. og e.Kr. - modsatte sider rektangel. Så BC = AD. Derefter:
Fordi , A , At. Da CC 1 = AA 1, var det det, der skulle bevises.
Diagonalerne på et rektangulært parallelepipedum er lige store.
Lad os betegne dimensionerne af parallelepipedum ABC som a, b, c (se fig. 6), så AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Definition
Polyeder vi vil kalde en lukket overflade, der består af polygoner og afgrænser en bestemt del af rummet.
De segmenter, der er siderne af disse polygoner, kaldes ribben polyhedron, og polygonerne selv er kanter. Polygonernes hjørner kaldes polyederhjørner.
Vi vil kun overveje konvekse polyedre(dette er et polyeder, der er placeret på den ene side af hvert plan, der indeholder dets ansigt).
Polygonerne, der udgør et polyeder, danner dets overflade. Den del af rummet, der er afgrænset af et givet polyeder, kaldes dets indre.
Definition: prisme
Lad os overveje to ens polygon\(A_1A_2A_3...A_n\) og \(B_1B_2B_3...B_n\) placeret i parallelle planer, således at segmenterne \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) parallel. Et polyeder dannet af polygonerne \(A_1A_2A_3...A_n\) og \(B_1B_2B_3...B_n\) , samt parallelogrammer \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), kaldes (\(n\)-gonal) prisme.
Polygoner \(A_1A_2A_3...A_n\) og \(B_1B_2B_3...B_n\) kaldes prismebaser, parallelogrammer \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– sideflader, segmenter \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- laterale ribben.
Prismets sidekanter er således parallelle og ens med hinanden.
Lad os se på et eksempel - et prisme \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), ved hvis basis ligger en konveks femkant.
Højde Prismer er en vinkelret faldet fra et hvilket som helst punkt på en base til planet for en anden base.
Hvis sidekanterne ikke er vinkelrette på basen, kaldes et sådant prisme tilbøjelig(fig. 1), i Ellers – lige. I et lige prisme er sidekanterne højder, og sidefladerne er lige store rektangler.
Hvis bunden af et lige prisme ligger regulær polygon, så kaldes prismet korrekt.
Definition: volumenbegreb
Enheden for volumenmåling er en enhedsterning (en terning, der måler \(1\ gange1\ gange1\) enheder\(^3\), hvor enhed er en bestemt måleenhed).
Vi kan sige, at volumenet af et polyeder er mængden af plads, som dette polyeder begrænser. Ellers: dette er mængden numerisk værdi som viser hvor mange gange en enhedsterning og dens dele passer ind i et givet polyeder.
Volumen har de samme egenskaber som areal:
1. Bind lige tal er lige.
2. Hvis et polyeder er sammensat af flere ikke-skærende polyedre, så er dets volumen lig med summen af disse polyedres volumener.
3. Volumen er en ikke-negativ størrelse.
4. Volumen måles i cm\(^3\) ( kubikcentimeter), m\(^3\) ( Kubikmeter) etc.
Sætning
1. Arealet af prismets laterale overflade er lig med produktet af basens omkreds og prismets højde.
Det laterale overfladeareal er summen af arealerne af prismets sideflader.
2. Prismevolumen lig med produktet grundareal pr. prismehøjde: \
Definition: parallelepipedum
Parallelepiped er et prisme med et parallelogram i bunden.
Alle flader af et parallelepipedum (der er \(6\) af dem: \(4\) sideflader og \(2\) baser) er parallelogrammer, og de modsatte flader ( parallel ven ven) er lige store parallelogrammer (fig. 2).
Diagonal af et parallelepipedum er et segment, der forbinder to hjørner af et parallelepipedum, som ikke ligger på samme flade (der er \(8\) af dem: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) etc.).
Rektangulær parallelepipedum er et ret parallelepipedum med et rektangel ved sin base.
Fordi Da dette er et ret parallelepipedum, er sidefladerne rektangler. Dette betyder, at generelt er alle flader af et rektangulært parallelepipedum rektangler.
Alle diagonaler i et rektangulært parallelepipedum er lige store (dette følger af trekanters lighed \(\trekant ACC_1=\trekant AA_1C=\trekant BDD_1=\trekant BB_1D\) etc.).
Kommentar
Således har et parallelepipedum alle egenskaberne for et prisme.
Sætning
Det laterale overfladeareal af et rektangulært parallelepipedum er \
Firkant fuld overflade rektangulært parallelepipedum er lig med \
Sætning
Rumfanget af en kuboid er lig med produktet af dens tre kanter, der kommer ud fra et toppunkt (tre dimensioner af cuboid): \
Bevis
Fordi I et rektangulært parallelepipedum er sidekanterne vinkelrette på basen, så er de også dens højder, det vil sige \(h=AA_1=c\) Fordi basen er altså et rektangel \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Det er her denne formel kommer fra.
Sætning
Diagonalen \(d\) af et rektangulært parallelepipedum findes ved hjælp af formlen (hvor \(a,b,c\) er dimensionerne af parallelepipedet) \
Bevis
Lad os se på fig. 3. Fordi basen er et rektangel, så er \(\trekant ABD\) rektangulær, derfor ifølge Pythagoras sætning \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .
Fordi alle laterale kanter er så vinkelrette på baserne \(BB_1\perp (ABC) \Højrepil BB_1\) vinkelret på enhver ret linje i dette plan, dvs. \(BB_1\perp BD\) . Det betyder, at \(\trekant BB_1D\) er rektangulær. Derefter ved Pythagoras sætning \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.
Definition: terning
terning er et rektangulært parallelepipedum, hvis flader alle er lige store kvadrater.
De tre dimensioner er således lig med hinanden: \(a=b=c\) . Så følgende er sande
Sætninger
1. Rumfanget af en terning med kant \(a\) er lig med \(V_(\text(terning))=a^3\) .
2. Terningens diagonal findes ved hjælp af formlen \(d=a\sqrt3\) .
3. Samlet overfladeareal af en terning \(S_(\text(fuld terning))=6a^2\).
Et parallelepipedum er geometrisk figur, hvoraf alle 6 flader er parallellogrammer.
Afhængigt af typen af disse parallelogrammer er der følgende typer parallelepipedum:
- lige;
- tilbøjelig;
- rektangulær.
Et ret parallelepipedum er et firkantet prisme, hvis kanter danner en vinkel på 90° med bundens plan.
Et rektangulært parallelepipedum er et firkantet prisme, hvis flader alle er rektangler. Cube er en sort firkantet prisme, hvor alle flader og kanter er ens med hinanden.
En figurs egenskaber forudbestemmer dens egenskaber. Disse omfatter følgende 4 udsagn:
Det er nemt at huske alle de givne egenskaber, de er nemme at forstå og er logisk udledt baseret på typen og funktionerne geometrisk krop. Enkelte udsagn kan dog være utrolig nyttige til at beslutte typiske opgaver Unified State Exam og vil spare den nødvendige tid til at bestå testen.
Parallelepiped formler
For at finde svar på problemet er det ikke nok kun at kende figurens egenskaber. Du skal muligvis også bruge nogle formler til at finde arealet og volumen af et geometrisk legeme.
Arealet af baserne findes på samme måde som den tilsvarende indikator for et parallelogram eller rektangel. Du kan selv vælge bunden af parallelogrammet. Som regel er det lettere at arbejde med et prisme, når man løser problemer, hvis basis er et rektangel.
Formlen til at finde sidefladen af et parallelepipedum kan også være nødvendig i testopgaver.
Eksempler på løsning af typiske Unified State Exam-opgaver
Øvelse 1.
Givet: et rektangulært parallelepipedum med dimensionerne 3, 4 og 12 cm.
Nødvendig find længden af en af figurens hoveddiagonaler.
Løsning: Enhver løsning geometrisk problem skal begynde med konstruktionen af en korrekt og overskuelig tegning, hvorpå "givet" og den ønskede værdi vil blive angivet. Billedet nedenfor viser et eksempel korrekt design opgavens forhold.
Efter at have undersøgt tegningen lavet og husket alle egenskaberne ved den geometriske krop, kommer vi til den eneste den rigtige måde løsninger. Ved at anvende den 4. egenskab af et parallelepiped får vi følgende udtryk:
Efter simple udregninger får vi udtrykket b2=169, derfor b=13. Svaret på opgaven er fundet, du behøver ikke bruge mere end 5 minutter på at søge efter det og tegne det.
Instruktioner
Metode 2. Lad os antage, at det rektangulære parallelepipedum er en terning. En terning er et rektangulært parallelepipedum, hver flade er repræsenteret af en firkant. Derfor er alle dens sider lige. For derefter at beregne længden af dens diagonal vil det blive udtrykt som følger:
Kilder:
- rektangel diagonal formel
Parallelepiped - særlig situation et prisme, hvor alle seks flader er parallellogrammer eller rektangler. Parallelepiped med rektangulære kanter også kaldet rektangulær. Et parallelepipedum har fire krydsende diagonaler. Hvis der er givet tre kanter a, b, c, kan du finde alle diagonalerne af et rektangulært parallelepipedum ved at udføre yderligere konstruktioner.
Instruktioner
Find diagonalen af parallelepipedummet m. For at gøre dette skal du finde den ukendte hypotenuse i a, n, m: m² = n² + a². Erstatning kendte værdier, og beregn derefter kvadratroden. Det opnåede resultat vil være den første diagonal af parallelepipedummet m.
På samme måde tegner du sekventielt alle de tre andre diagonaler af parallelepipedet. For hver af dem skal du også udføre yderligere konstruktion af diagonaler af tilstødende ansigter. I betragtning af den dannede retvinklede trekanter og ved hjælp af Pythagoras sætning, find værdierne af de resterende diagonaler.
Video om emnet
Kilder:
- at finde et parallelepipedum
Hypotenusen er den modsatte side ret vinkel. Ben er siderne af en trekant, der støder op til en ret vinkel. Anvendt til trekanter ABC og ACD: AB og BC, AD og DC–, AC er den fælles hypotenuse for begge trekanter (den ønskede diagonal). Derfor er AC = kvadrat AB + kvadrat BC eller AC b = kvadrat AD + kvadrat DC. Udskift sidelængderne rektangel ind i ovenstående formel og beregn længden af hypotenusen (diagonal rektangel).
For eksempel siderne rektangel ABCD er lig med følgende værdier: AB = 5 cm og BC = 7 cm. Kvadratet af diagonalen AC af en given rektangel ifølge Pythagoras sætning: AC kvadrat = kvadrat AB + kvadrat BC = 52+72 = 25 + 49 = 74 sq.cm. Brug en lommeregner til at beregne værdien kvadrat rod 74. Du skal få 8,6 cm (afrundet værdi). Bemærk venligst, at ifølge en af ejendommene rektangel, dens diagonaler er lige store. Så længden af den anden diagonal BD rektangel ABCD er lig med længden af diagonalen AC. For ovenstående eksempel er denne værdi
a, mod bunden af PP;
med sin højde.
- hvad skal vi vide, hvilke data har vi?
- hvilke egenskaber har et rektangulært parallelepipedum?
- gælder Pythagoras sætning her? Hvordan?
- Er der nok data til at anvende Pythagoras sætning, eller er der behov for andre beregninger?
Diagonal firkant, et kvadratisk parallelepipedum (se egenskaber ved et kvadratisk parallelepipedum) er lig med summen af kvadraterne af tre gange det forskellige sider(bredde, højde, tykkelse), og følgelig er diagonalen af et kvadratisk parallelepipedum lig med roden af denne sum.
Jeg husker skolens læseplan i geometri, vi kan sige dette: diagonalen af et parallelepiped er lig med kvadratroden opnået fra summen af dets tre sider (de er betegnet med små bogstaver a, b, c).
Længden af diagonalen af et rektangulært parallelepiped er lig med kvadratroden af summen af kvadraterne på dens sider.
Så vidt jeg ved siden skolepensum, klasse 9 hvis jeg ikke tager fejl, og hvis hukommelsen tjener, så er diagonalen af et rektangulært parallelepipedum lig med kvadratroden af summen af kvadraterne på alle tre sider.
kvadratet af diagonalen er lig med summen af kvadraterne af bredden, højden og længden, baseret på denne formel får vi svaret, diagonalen er lig kvadratroden af summen af dens tre forskellige dimensioner, de betegner bogstaverne nсz abc
Et rektangulært parallelepipedum (PP) er intet andet end et prisme, hvis basis er et rektangel. For en PP er alle diagonaler ens, hvilket betyder, at enhver af dens diagonaler beregnes ved hjælp af formlen:
En anden definition kan gives ved at betragte den kartesiske rektangulært system koordinater:
PP-diagonalen er radiusvektoren for ethvert punkt i rummet, givet af koordinater x, y og z in Cartesisk system koordinater Denne radiusvektor til punktet er trukket fra origo. Og koordinaterne for punktet vil være projektionerne af radiusvektoren (diagonalerne af PP) på koordinatakser. Fremskrivningerne falder sammen med hjørnerne af dette parallelepiped.
Et rektangulært parallelepipedum er en type polyeder bestående af 6 flader, i bunden af hvilke er et rektangel. En diagonal er et linjestykke, der forbinder modsatte hjørner parallelogram.
Formlen for at finde længden af en diagonal er, at kvadratet af diagonalen er lig med summen af kvadraterne af parallelogrammets tre dimensioner.
Jeg fandt en god diagram-tabel på internettet med en komplet liste over alt, hvad der er i parallelepipedet. Der er en formel til at finde diagonalen, som er angivet med d.
Der er et billede af kanten, toppunktet og andre vigtige ting for parallelepipedummet.
Hvis længden, højden og bredden (a,b,c) af et rektangulært parallelepipedum er kendt, vil formlen til beregning af diagonalen se sådan ud:
Typisk tilbyder lærere ikke deres elever en ren formel, men gør en indsats, så de kan udlede den på egen hånd ved at stille ledende spørgsmål:
Normalt, efter at have besvaret de stillede spørgsmål, kan eleverne nemt udlede denne formel på egen hånd.
Diagonalerne på et rektangulært parallelepipedum er lige store. Samt diagonalerne af dens modsatte flader. Længden af diagonalen kan beregnes ved at kende længden af kanterne på parallelogrammet, der udgår fra et toppunkt. Denne længde er lig med kvadratroden af summen af kvadraterne af længderne af dens kanter.
En cuboid er en af de såkaldte polyedre, som består af 6 flader, som hver er et rektangel. En diagonal er et segment, der forbinder modsatte hjørner af et parallelogram. Hvis længden, bredden og højden af et rektangulært parallelepipedum tages til at være henholdsvis a, b, c, vil formlen for dets diagonal (D) se sådan ud: D^2=a^2+b^2+c ^2.
Diagonal af et rektangulært parallelepipedum er et segment, der forbinder dets modsatte hjørner. Så det har vi cuboid med diagonal d og sider a, b, c. En af egenskaberne ved et parallelepipedum er, at kvadratet diagonal længde d er lig med summen af kvadraterne af dens tre dimensioner a, b, c. Derfor er konklusionen den diagonal længde kan nemt beregnes ved hjælp af følgende formel:
