Omnibus N 9-10 2007.
Marine sjæl af rutelys.
Tradition er en mystisk ting. Først bliver det nøje observeret, forsøger at fastholde alle nuancerne, det bringes til punktet af overtro, så pludselig opdager de, at det ikke lever op til forventningerne til det, ikke opfylder logikken, har ingen videnskabelig begrundelse- og de bryder med traditionen, og mærker efterfølgende med vemod, at med dens tab er noget smukt og nødvendigt forsvundet. . .
Allerede for ganske nylig var der tradition for at give sporvognsruter ikke kun en digital, men også en farvebetegnelse – rutelys var tændt på begge sider af rutenummeret, foran og bagved bilen. Gader med sporvognstrafik blev kendetegnet ved en særlig festlig elegance; chauffører, passagerer, banearbejdere, vognmænd og sporvogne navigerede sporvognsstrømmen ved hjælp af rutelys; mange kunne ikke forestille sig en sporvogn uden farvet lys. Moskva-systemet af rutelys blev bygget på en unik overensstemmelse mellem tal og farver. "1" er altid rød, "2" er grøn, "5" er oliven, "7" er blå og så videre. Men i Leningrad "talte" lysene ind et andet sprog,
og at læse dem "i Moskva" førte oftest til nonsens, da der ikke var 10 lys, som i Moskva, men kun fem. De var godt differentierede, og deres kombinationer så altid meget smukke ud. Men ud af fem lys er 25 forskellige kombinationer af to mulige, mens ruterne i St. Petersborg-Leningrad til sidst blev omkring 70, så ruteskiltene kunne gentages. For eksempel to hvide - 9, 43; rød og gul - 1, 51, 64; blå og rød - 33, 52, 54; to røde - 5, 36, 39, 45, 47. Og kun rute N 20 blev udpeget til det samme af Moskva- og St. Petersborg-systemerne: grøn og hvid.
Det skete, at rutelysene i St. Petersborg ændrede sig. Hvis det skete, at det efter at have ændret en af ruterne fungerede på en ret lang strækning med en anden rute, der havde samme farver, så skulle sammensætningen af lysene for en af disse ruter ændres.
Rute N 4 løb fra Dekabristov-øen til Volkov-kirkegården og var markeret med to gule (orange) lys. Derefter blev ruten lukket og åbnet under samme nummer et andet sted med andre lys: blå + blå, da den delte en strækning med den 35. sporvogn (to gule).
Rute N 43 havde oprindeligt lys: rød + hvid. Da den blev forlænget til havnen i 1985, ændrede lysene sig: hvid + hvid, da ruten begyndte at dele en strækning med sporvogn N 28 (rød + hvid). Rute 3 var markeret med grønne og hvide farver. Da lysene blev restaureret i 2007, blev kombinationen udskiftet med gul + grøn. Samtidig ændrede kombinationerne sig på en række andre ruter: 48 (var: hvid + hvid, nu: blå + blå); 61 (var: hvid + hvid, nu: hvid + gul) osv.
St. Petersborgs system af rutelys, så enkelt i udseende og så indviklet, er forbundet med traditionen med primært europæiske sporvognsbyer. Således indeholdt et brev til avisen "Novoe Vremya" allerede i 1907 en anmodning fra "almindelige mennesker". Vasilyevsky Island"indføre farvet lys på sporvogne, "som i udlandet, især i Frankfurt am Main." På nuværende tidspunkt er rester af de tidligere systemer blevet bevaret i form af farvet diagonal belysning på sporvognsruteskilte i Amsterdam. Denne tradition har til gengæld, er sandsynligvis , stiger til lysene marine navigation. Hvorfor specifikt til havet, og f.eks. ikke til jernbanen? Ja, fordi rutelys, ligesom havlys, ikke forbyder eller tvinger nogen til at gøre noget, men blot hjælper dem med at finde vej i mørket.
Marine navigationslys er dechifreret i specielle maritime bøger - havretninger. Rutelys er også beskrevet i byguider. Den første af dem var "Mobilguiden til sporvogne i Sankt Petersborg", udgivet af forlaget E.I. Marcus (1910).
Sammensætningen af farverne i St. Petersborg rutelys (hvid, rød, orange eller gul, grøn, blå) adskiller sig lidt fra farverne på havlys (hvid, rød, orange, grøn, blå, lilla).
Hvis man ser godt efter, kan man finde andre ligheder, men det er meget vigtigere at forstå, hvorfor et så slapt system af rutelys, der kræver konstant justering, har slået rod i det forsigtige St. Petersborg. Svaret er enkelt: St. Petersborg er trods alt en badeby, og det ligeligt Karakteriseret af både strengheden af arkitektoniske former og karnevallets letsindighed, og derfor lyser rutens muntre farver.
I 2007 kom traditionen til ny runde. LED rutelys er nu installeret på vogne. De vil skinne ikke kun i aftenskumringen, men også i dagslys.
Orenburg 250 300 200 300 600 Ordre 600 500 200 100 c1 = 250; c2 = 200; с3 = 150. b) Tabel 22 Filialer Moskva St. Petersborg Tver Tula Indkøbsvolumen Leverandør Gdansk 200 300 250 150 550 Krasnodar 300 400 300 250 650 Orenburg 150 0 250 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c1 = 200; c2 = 100; c3 = 150. c) Tabel 23 Filialer Moskva St. Petersborg Tver Tula Indkøbsvolumen Leverandør Gdansk 200 300 250 150 650 Krasnodar 250 400 300 250 750 Orenburg 150 250 0 0 0 0 0 7 1 = 200; c2 = 100; c3 = 150. Opgave 2. Fire butikker “Liga-plus”, “Umka”, “Gurman” og “Uley” sælger mejeriprodukter leveret af tre mejerier. Det første anlæg har en aftale med Gurman brand store om en fast levering af sine produkter. Tariffer for levering af mejeriprodukter og mængden af fast levering (i kasser) er angivet i tabellerne efter option. Find den optimale plan for levering af mejeriprodukter. a) Tabel 24 Butik "Liga-plus" "Gourmand" "Umka" "Beehive" Indkøbsvolumen Anlæg 1 5 8 6 10 700 200 2 9 6 7 5 800 3 6 7 5 8 500 800 400 0 600 T2. “Liga-plus” “Gourmand” “Umka” “Bikube” Indkøbsvolumen Anlæg 1 5 10 7 400 300 5 2 6 8 5 8 600 3 7 9 6 4 900 500 700 200 500 TIL AFSNIT 3 OPGAVE T 2 OPGAVE “KOM” Opgave nr. I a) Kommissionen består af en formand, dennes stedfortræder og yderligere fem personer. På hvor mange måder kan medlemmer af kommissionen fordele ansvaret mellem sig? b) Mesterskabet, hvor 16 hold deltager, afholdes i to runder (dvs. hvert hold møder hvert andet hold to gange). Bestem, hvor mange møder der skal holdes. c) To tårne af forskellig farve placeres på skakbrættet, så hver kan tage den anden. Hvor mange sådanne steder er der? II a) På hvor mange måder kan du vælge tre vagthavende officerer fra en gruppe på 20 personer? b) Låsen åbner kun, hvis der ringes til et bestemt trecifret nummer. Forsøget består i at taste tre cifre tilfældigt ud af de givne fem cifre. Det var kun muligt at gætte tallet ved det sidste af alle mulige forsøg. Hvor mange forsøg gik forud for det vellykkede? c) Rækkefølgen af præstationer for de otte deltagere i konkurrencen bestemmes ved lodtrækning. Hvor mange forskellige udfald af lodtrækningen er mulige? III a) Hvor mange forskellige lydkombinationer kan bruges på ti udvalgte klavertangenter, hvis hver lydkombination kan indeholde fra tre til ti lyde? b) Fra en gruppe på 15 personer udvælges fire deltagere i 800 + 400 + 200 + 100 stafetten. På hvor mange måder kan atleter arrangeres i henhold til stafettens stadier? c) En bogreol rummer 30 bind. På hvor mange måder kan de arrangeres uden at første og andet bind står ved siden af hinanden? IV a) Der er 10 røde og 5 lyserøde nelliker i en vase. På hvor mange måder kan du vælge fem nelliker af samme farve fra en vase? b) Et hold på fem personer konkurrerer i en svømmekonkurrence, hvor 20 andre atleter deltager. På hvor mange måder kan de pladser, som medlemmerne af dette hold besætter, fordeles? c) Metrotoget gør 16 stop, hvor alle passagerer stiger af. På hvor mange måder kan 100 passagerer, der gik ombord på toget ved endestationen, fordeles mellem disse stop? Fortsættelse af tabellen. 26 Mulighed V a) Tal sporvognsruter nogle gange angivet med to farvede lys. Hvor mange forskellige ruter kan markeres, hvis der bruges otte farver lys? b) På hvor mange måder kan to tårne placeres på et skakbræt, så det ene ikke kan erobre det andet? (Et tårn kan tage et andet, hvis det er på samme vandrette eller lodrette skakbræt). c) Hvor meget trecifrede tal deleligt med 3 kan bestå af tallene 0, 1, 2, 3, 4, 5, hvis hvert tal ikke må indeholde identiske tal? TIL AFSNIT “SANDSYNSTEORI”: Opgave 4 Tabel 27 Opgavemulighed a) Klassisk og statistisk definition sandsynligheder I To kastet terning. Find sandsynligheden for, at summen af point på de rullede sider er lige, og en sekser vises på siden af en af terningerne II Ved transport af en kasse, der indeholdt 21 standard- og 10 ikke-standarddele, gik en del tabt, og det vides ikke hvilken. Den del, der blev fjernet tilfældigt (efter transport af kassen) viste sig at være standard. Find sandsynligheden for, at følgende gik tabt: a) en standarddel; b) ikke-standard del III En terning, hvis kanter alle er malede, saves i tusinde terninger af samme størrelse, som derefter blandes grundigt. Find sandsynligheden for, at en terning tegnet tilfældigt har: a) en farvet flade; b) to malede kanter; c) tre farvede ansigter IV I konvolutten er der blandt 100 fotografier et eftersøgt. 10 kort trækkes tilfældigt fra kuverten. Find sandsynligheden for, at den ønskede vil være blandt dem V Der er fem ens dele i kassen, tre af dem er malet. To genstande blev fjernet tilfældigt. Find sandsynligheden for, at der blandt to udvundne produkter vil være: a) ét malet produkt; b) to malede produkter; c) mindst et malet produkt b) Sætninger om addition og multiplikation af sandsynligheder I 15 lærebøger er tilfældigt arrangeret på en bibliotekshylde, 5 af dem er indbundet. Bibliotekaren udvælger tre lærebøger tilfældigt. Find sandsynligheden for, at mindst en af de optagne lærebøger bliver indbundet Fortsættelse af tabellen. 27 Mulighed for opgave II Der er 10 dele i en kasse, hvoraf 4 er malet. Montøren tog 3 dele tilfældigt. Find sandsynligheden for, at mindst en af de optagne dele er malet III For at signalere en ulykke er der installeret to uafhængigt fungerende alarmer. Sandsynligheden for, at den første alarm går i gang under en ulykke er 0,95, og sandsynligheden for, at den anden alarm går i gang under en ulykke er 0,9. Find sandsynligheden for, at der kun vil gå én alarm under en ulykke IV To skytter skyder mod et mål. Sandsynligheden for at ramme målet med det første skud for den første skytte er 0,7, og for den anden - 0,8. Find sandsynligheden for, at kun én af skytterne under den første salve rammer målet V. Fra partiet vælger købmanden de produkter af højeste kvalitet. Sandsynligheden for at at et produkt taget tilfældigt vil være af højeste karakter er 0,8. Find sandsynligheden for, at ud af tre kontrollerede produkter kun to produkter er af højeste karakter c) Sandsynlighed for forekomsten af mindst én hændelse I B elektriske kredsløb tre elementer er forbundet i serie og fungerer uafhængigt af hinanden. Fejlsandsynlighederne for henholdsvis det første, andet og tredje element er lig med p1 = 0,1; p2 = 0,15; p3 = 0,2, find sandsynligheden for, at der ikke vil være nogen strøm i kredsløbet II Enheden indeholder to uafhængigt fungerende elementer. Fejlsandsynlighederne for elementer er henholdsvis 0,05 og 0,08. Find sandsynligheden for enhedsfejl, hvis det er nok til, at mindst ét element svigter III For at ødelægge broen er det nok at blive ramt af én luftbombe. Find sandsynligheden for, at broen bliver ødelagt, hvis der kastes fire bomber på den, hvis sandsynlighed er henholdsvis lig med: 0,3; 0,4; 0,6; 07 IV Sandsynligheden for, at mindst én skytte rammer skiven med tre skud, er 0,875. Find sandsynligheden for et hit med ét skud V Sandsynlighed vellykket implementeringøvelser for hver af de to atleter er 0,5. Atleter udfører øvelsen på skift, hver med to forsøg. Den første person, der gennemfører øvelsen, modtager en præmie. Find sandsynligheden for, at atleter modtager en præmie d) Formel fuld sandsynlighed Jeg faldt ned i en urne med to kugler hvid kugle, hvorefter den ene kugle trækkes tilfældigt fra den. Find sandsynligheden for, at den udtrukne kugle bliver hvid, hvis alle mulige antagelser om kuglernes oprindelige sammensætning (baseret på farve) er lige mulige Tabel fortsat. 27 End of Tab Mulighed for opgave II Der er fem rifler i pyramiden, hvoraf tre er udstyret optisk syn . Sandsynligheden for, at en skytte vil ramme målet, når han skyder fra en riffel med et optisk sigte, er 0,95; for en riffel uden et optisk sigte er denne sandsynlighed 0,7. Find sandsynligheden for at blive ramt, hvis skytten affyrer et skud fra et tilfældigt taget riffel III Den første urne indeholder 10 bolde, hvoraf 8 er hvide, den anden urne indeholder 20 bolde, hvoraf 4 er hvide. Der blev trukket en kugle tilfældigt fra hver urne, og derefter blev der trukket en kugle tilfældigt fra disse to kugler. Find sandsynligheden for, at der trækkes en hvid kugle IV Hver af de tre urner indeholder 6 sorte kugler og 4 hvide kugler. Den ene kugle trækkes tilfældigt fra den første urne og placeres i den anden urne, hvorefter den ene kugle trækkes tilfældigt fra den anden urne og placeres i den tredje urne. Find sandsynligheden for, at en tilfældigt trukket kugle fra den tredje urne viser sig at være hvid V Æsken indeholder 12 dele fremstillet på fabrik 1, 20 dele fremstillet på fabrik 2 og 18 dele fremstillet på fabrik 3. Sandsynligheden for, at delen fremstillet kl. plante 1 af fremragende kvalitet, lig med 0,9; for dele fremstillet på fabrik 2 og 3 er disse sandsynligheder henholdsvis 0,6 og 0,9. Find sandsynligheden for, at en tilfældig udtrukket del vil være af fremragende kvalitet e) Grundformler for sandsynlighedsteori I Der er 10 rifler i pyramiden, hvoraf 4 er udstyret med et optisk sigte. Sandsynligheden for, at en skytte rammer et mål, når han affyrer en riffel med et kikkertsigte, er 0,95; for en riffel uden optisk sigte er denne sandsynlighed 0,8. Skytten ramte målet med en riffel taget tilfældigt. Hvad er mere sandsynligt: skytten skød fra en riffel med eller uden et optisk sigte? II I gennemsnit er 50 % af patienterne med sygdom A indlagt på et specialiseret hospital, 30 % med sygdom B, 20 % med sygdom C. Sandsynligheden for en fuldstændig helbredelse af sygdom A er 0,7; for sygdom B og C er disse sandsynligheder henholdsvis 0,8 og 0,9. Patienten indlagt på hospitalet blev udskrevet rask. Find sandsynligheden for, at denne patient led af sygdom A III. To lige store modstandere spiller skak. Hvad er mere sandsynligt: a) at vinde et spil ud af to eller to spil ud af fire; b) vinde mindst to spil ud af fire eller mindst tre ud af fem? Ingens optegnelser tages i betragtning IV Der er fem børn i familien. Find sandsynligheden for, at blandt disse børn: a) to drenge; b) ikke mere end to drenge; c) mere end to drenge; d) ikke mindre end to og ikke mere end tre drenge. Sandsynligheden for at få en dreng antages at være 0,51 V. En mønt kastes fem gange. Find sandsynligheden for, at hoveder vises: a) mindre end to gange; b) mindst to gange Opgave 5 Tabel 28 Mulighed Opgave a) Diskrete stokastiske variable, numeriske karakteristika for diskrete stokastiske variable I 1.1 Diskret stokastisk variabel X er givet ved fordelingsloven X 0,1 0,3 0,6 0,8 P 0,2 0 ,1 0,4 a fordeling. polygon. 1.2 Lærebogen er udgivet i et oplag på 100.000 eksemplarer. Sandsynligheden for, at lærebogen er indbundet forkert, er 0,0001. Find sandsynligheden for, at oplaget indeholder fem defekte bøger. 1.3 For en diskret stokastisk variabel X fra afsnit 1.1. finde: a) matematisk forventning og varians; b) initial øjeblikke af det første, anden og tredje orden; c) centrale momenter af første, anden, tredje og fjerde orden. 1.4 Brug Chebyshevs ulighed, estimer for den diskrete stokastiske variabel X fra afsnit 1.1 sandsynligheden for, at │ X – M(X) │< 0,2
II 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,10 0,15 0,20 0,25
P 0,1 0,3 0,2 0,4
Построить многоугольник распределения.
1.2 Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо
один от другого. Вероятность отказа любого элемента в момент вре-
мени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут
ровно три элемента.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1 найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) indledende øjeblikke første, anden og tredje orden; c) centrale momenter af første, anden, tredje og fjerde orden. 1.4. Brug Chebyshevs ulighed, estimer for den diskrete stokastiske variabel X fra afsnit 1.1 sandsynligheden for, at │ X – M(X) │< 0,7
III 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,2 0,4 0,5 0,6
P 0,3 0,1 0,2 0,4
Построить многоугольник распределения.
1.2 Станок штампует детали. Вероятность того, что изготовленная
деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что
среди отобранных 200 деталей окажется ровно 4 бракованных.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1. найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого,
второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ-
го, третьего и четвертого порядков.
1.4 Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу-
чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,5
Продолжение табл. 28
Вариант Задание
IV 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,2 0,6 0,9 1,2
P 0,3 0,1 0,2 0,4
Построить многоугольник распределения.
1.2 Завод направил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения
изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет
повреждено изделий: а) ровно 3; б) менее трех; в) более трех; г) хотя
бы одно.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1 найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого,
второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ-
го, третьего и четвертого порядков.
1.4. Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу-
чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,6
V 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,3 0,4 0,7 0,10
P 0,4 0,1 0,2 0,3
Построить многоугольник распределения.
1.2 Магазин получил 1000 бутылок mineralvand. Sandsynligheden for at flasken går i stykker er 0,003. Find sandsynligheden for, at butikken modtager ødelagte flasker: a) præcis 2; b) mindre end to; c) mere end to; d) mindst én. 1.3 For en diskret stokastisk variabel X fra paragraf 1.1, find: a) matematisk forventning og varians; b) indledende momenter af første, anden og tredje orden; c) centrale momenter af første, anden, tredje og fjerde orden. 1.4 Brug Chebyshevs ulighed, estimer for den diskrete stokastiske variabel X fra afsnit 1.1. sandsynlighed for, at │ X – M(X) │< 0,1
б) Непрерывные случайные величины, числовые характеристики непрерыв-
ных случайных величин, распределения непрерывной случайной величины.
I 1.1 Дана функция распределения непрерывной случайной величины X
0, x ≤ 0;
F(X)= sin x, 0 < x ≤ Π /2;
1, x >Π/2. Find fordelingstætheden f(x). 1.2 Tilfældig værdi X er specificeret ved fordelingstætheden f(x) = 2x på intervallet (0; 1); uden for dette interval f(x) = 0. Find den matematiske forventning og varians for værdien X. 1.3 Den stokastiske variabel X er specificeret ved fordelingstætheden f(x) = 0,5x i intervallet (0; 2), uden for denne interval f(x) = 0. Find de indledende og centrale momenter af første, anden, tredje og fjerde orden. 1.4 Find spredningen og standardafvigelsen af en stokastisk variabel X, fordelt ensartet i intervallet (2; 8) Fortsættelse af tabel. 28 Mulighedsopgave II 1.1 Givet fordelingsfunktionen af en kontinuert stokastisk variabel X 0, x ≤ 0; F(X) = sin 2x, 0< x ≤ Π /4;
1, x >Π/4. Find fordelingstætheden f(x). 1.2 Den stokastiske variabel X er specificeret ved fordelingstætheden f(x) = (1/2)x på intervallet (0; 2); uden for dette interval f(x) = 0. Find den matematiske forventning og varians for værdien X. 1.3 Den stokastiske variabel X er givet ved fordelingstætheden f(x) = 2x i intervallet (0; 1), uden for dette interval f(x) = 0 Find de indledende og centrale momenter af første, anden, tredje og fjerde orden. 1.4 Stofvariable X og Y er uafhængige og fordelt ensartet: X i intervallet (a, b), Y i intervallet (c, d). Find den matematiske forventning og varians for produktet XY III 1.1 Givet fordelingsfunktionen af en kontinuert stokastisk variabel X 0, x≤0; F(X) = cos 2x, 0
Tidligere var sporvognsnumre angivet med to farvede lanterner. Hvor mange forskellige ruter kan markeres med otte lys? forskellige farver?
Svar:
formlen vil være: 8²=64 64 forskellige ruter.
Lignende spørgsmål
- Tænk på renæssancens arkitektoniske bygninger og skulpturer, som har noget til fælles med renæssancekatedralen og statuen af Verrocchio. Skriv deres navne ned.
- Indsæt i stedet for emner serienumre tilsvarende ord fra den foreslåede liste. Ordene er angivet i listen i ental, V nominativ kasus. BEMÆRK: der er flere ord på listen end huller i teksten! En klassificering, der adskiller personale i ____ partier afhængigt af grundene og betingelserne for at opnå ____ medlemskab, er blevet udbredt i _____. De første er kendetegnet ved, at de er dannet omkring en gruppe af politiske ___, og grundlaget for deres struktur er et udvalg af aktivister. Personalepartier dannes normalt "ovenfra" på baggrund af forskellige ___ fraktioner og sammenslutninger af partibureaukratiet. Sådanne parter aktiverer normalt kun deres aktiviteter i en periode på ___. Andre partier er centraliserede, veldisciplinerede organisationer. Stor betydning de understreger ___ sammenhold blandt partimedlemmer. Sådanne partier dannes oftest "nedefra" på grundlag af fagforeninger og andre ___ bevægelser, der afspejler forskellige sociale gruppers interesser. grupper 1) Sociologi 10) valg 2) offentlig 11) norm 3 faktor 12) parti 4) valg 13) parlamentarisk 5) national 14) konsensus 6) samfund 15) ideologisk 7) masse 16) system 8) rigsret 17) leder 9) Statskundskab
- nr. 1 Løs: 28/5*4 Nr. 2 Tallet a er markeret på koordinatlinjen _______o____|___|___|___________> a -1 0 1 1) a; a -1;\frac(1)(a) 2) a;\frac(1)(a);a-1 3) a-1;\frac(1)(a);a 4)a-1; a;\frac(1)(a)
- er tallet 2008*2011*2012*2014+1 et perfekt kvadrat?
- Der er 300 lejligheder i den nybyggede bygning. Den første dag blev 120 lejligheder beboet, den anden - en tredjedel af de resterende Hvor mange lejligheder er tilbage, der skal bebos?
- Tolik gangede det femcifrede tal med summen af dets cifre. Derefter gangede Tolik resultatet med summen af hans (resultatets) tal. Overraskende nok viste det sig igen at være et femcifret tal. Hvilket tal gangede Tolik for første gang? (Find alle mulige svar.)
Kombinatoriske problemer
| Parameternavn | Betyder |
| Artiklens emne: | Kombinatoriske problemer |
| Rubrik (tematisk kategori) | Matematik |
1. En dags skema indeholder 5 lektioner. Bestem antallet af sådanne skemaer, når du vælger mellem elleve discipliner.
Svar: 55.440.
2. Kommissionen består af en formand, en suppleant og yderligere fem personer. På hvor mange måder kan udvalgsmedlemmer fordele ansvar mellem sig?
Svar: 42.
3. På hvor mange måder kan du vælge tre vagthavende officerer fra en gruppe på 20 personer?
Svar: 1 140.
4. Hvor mange forskellige lydkombinationer kan spilles på ti udvalgte klavertangenter, hvis hver lydkombination kan indeholde fra tre til ti lyde?
Svar: 968.
5. Der er 10 røde og 5 lyserøde nelliker i en vase. På hvor mange måder kan du vælge fem nelliker af samme farve fra en vase?
Svar: 253.
6. Sporvogns rutenumre er nogle gange angivet med to farvede lys. Hvor mange forskellige ruter kan markeres, hvis der bruges otte farver lanterner?
Svar: 64.
7. Mesterskabet, som omfatter 16 hold, spilles i to runder (dvs. hvert hold spiller to gange mod hvert andet hold). Bestem, hvor mange møder der skal holdes.
Svar: 240.
8.
Låsen åbner kun, hvis der ringes til et bestemt trecifret nummer.
Opslået på ref.rf
Forsøget består i at taste tre cifre tilfældigt ud af de givne fem cifre.
Opslået på ref.rf
Det var kun muligt at gætte tallet ved det sidste af alle mulige forsøg. Hvor mange forsøg gik forud for det vellykkede?
Svar: 124.
9. Fra en gruppe på 15 personer udvælges fire deltagere i 800+400+200+100 stafetten. På hvor mange måder kan atleter arrangeres i henhold til stafettens stadier?
Svar: 32.760.
10. Et hold på fem konkurrerer i en svømmekonkurrence med 20 andre atleter, der konkurrerer. På hvor mange måder kan de pladser, som medlemmerne af dette hold besætter, fordeles?
Svar: 25!/20!.
11. På hvor mange måder kan to tårne placeres på et skakbræt, så det ene ikke kan erobre det andet? (Et tårn kan tage et andet, hvis det er på den samme vandrette eller lodrette linje på skakbrættet.)
Svar: 3 126.
12. To tårne af forskellig farve er placeret på skakbrættet, så hver kan fange den anden. Hvor mange sådanne steder er der?
Svar: 896.
13. Rækkefølgen for de otte deltagere i konkurrencen bestemmes ved lodtrækning. Hvor mange forskellige udfald af lodtrækningen er mulige?
Svaret er 8!.
14. Tredive personer er opdelt i tre grupper på ti personer hver. Hvor meget skal det være forskellige sammensætninger grupper?
Svar˸ 30!/(10!).
15. Hvor mange firecifrede tal, der er delelige med 5, kan laves af cifrene 0, 1, 3, 5, 7, hvis hvert tal ikke må indeholde de samme cifre?
Svar: 42.
16. Hvor mange forskellige lysende ringe kan man lave ved at placere 10 forskellige farvede pærer rundt om en cirkel (ringene betragtes som ens, hvis farverne er i samme rækkefølge)?
Svaret er ˸ 9!.
17. Bogreolen rummer 30 bind. På hvor mange måder kan de arrangeres uden at første og andet bind står ved siden af hinanden?
18. Fire skytter skal ramme otte skiver (to hver). På hvor mange måder kan de fordele målene imellem sig?
Kombinatoriske problemer - koncept og typer. Klassificering og funktioner i kategorien "Problemer i kombinatorik" 2015, 2017-2018.
sæt af vektorer (b n ) der er en bijektion (bevis det!). Derfor,
C n m (n) er lig med antallet af vektorer b n. "Længden af vektoren" b n er lig med tallet 0 og 1, eller m + +n–
1. Antallet af vektorer er lig med antallet af måder, hvorpå m enheder kan placeres på m +n 1 steder, og dette vil være C n m +m- 1 .
Eksempel 9. Der er 7 typer kager i et konditori. Køber tager 4
kager. På hvor mange måder kan han gøre dette? (Det antages at
kager af hver type 4). | ||||||
Antallet af måder vil være C 4 | 210. |
|||||
7+ 4- 1 | 4! 6! 1 2 3 4 |
|||||
Eksempel 10. Lad V = (a,b,c). Prøvestørrelse m = 2. Liste permutationer, placeringer, kombinationer, placeringer med gentagelser, kombinationer med gentagelser.
1. Permutationer: ( abc ,bac ,bca ,acb ,cab ,cba ).P 3 =3!=6.
2. Placeringer: ((ab), (bc), (ac), (ba), (cb), (ca)).A 3 2 1 3 ! ! 6.
3. Kombinationer: ((ab), (ac), (bc)).C 2 | ||||||||||
1! 2! | ||||||||||
4. Placeringer med gentagelser: ((ab), (bc), (ac), (ba), (cb), (ca), (aa), (bb), |
||||||||||
(cc)). | (3)= 32 | |||||||||
Kombinationer | med gentagelser: | ((ab), | (bc), (ca), (aa), (bb), (cc)). |
|||||||
C2(3)C2 | ||||||||||
3+ 2- 1 | ||||||||||
1.2. Kombinatoriske problemer
1. En dags skema indeholder 5 lektioner. Bestem antallet af sådanne skemaer, når du vælger mellem elleve discipliner.
Svar: 55.440.
2. Kommissionen består af en formand, dennes stedfortræder og yderligere fem personer.
På hvor mange måder kan udvalgsmedlemmer fordele ansvar mellem sig?
3. På hvor mange måder kan du vælge tre vagthavende officerer fra en gruppe på 20
Svar: 1.140.
4. Hvor mange forskellige lydkombinationer kan spilles på ti udvalgte klavertangenter, hvis hver lydkombination kan indeholde fra tre til ti lyde?
Svar: 968.
5. Der er 10 røde og 5 lyserøde nelliker i en vase. På hvor mange måder kan du vælge fem nelliker af samme farve fra en vase?
Svar: 253.
6. Sporvognsrutenumre er nogle gange angivet med to farvede lys. Hvor mange forskellige ruter kan markeres, hvis der bruges otte farver lanterner?
7. Mesterskabet, hvor 16 hold deltager, afholdes i to runder (dvs.
hvert hold spiller mod hvert andet hold to gange). Bestem, hvor mange møder der skal holdes.
Svar: 240.
8. Låsen åbner kun, hvis der ringes til et bestemt trecifret nummer. Forsøget består i at taste tre cifre tilfældigt ud af de givne fem cifre. Det var kun muligt at gætte tallet ved det sidste af alle mulige forsøg. Hvor mange forsøg gik forud for det vellykkede?
Svar: 124.
9. Fra en gruppe på 15 personer udvælges fire stafetdeltagere
800+400+200+100. På hvor mange måder kan atleter arrangeres i henhold til stafettens stadier?
Svar: 32.760.
10. Et hold på fem personer konkurrerer i en svømmekonkurrence,
hvor 20 flere atleter deltager. På hvor mange måder kan de pladser, som medlemmerne af dette hold besætter, fordeles?
Svar: 25!/20!.
11. På hvor mange måder kan to tårne placeres på et skakbræt, så det ene ikke kan erobre det andet? (Et tårn kan tage et andet,
hvis hun er på det samme vandrette eller lodrette skakbræt.)
Svar: 3.126.
12. To tårne af forskellig farve placeres på et skakbræt, så hver kan tage den anden. Hvor mange sådanne steder er der?
Svar: 896.
13. Rækkefølgen af præstationer for de otte deltagere i konkurrencen bestemmes ved lodtrækning. Hvor mange forskellige udfald af lodtrækningen er mulige?
14. Tredive personer er opdelt i tre grupper på ti personer hver.
Hvor mange forskellige gruppesammensætninger kan der være?
Svar: 30!/(10!) 3.
15. Hvor mange firecifrede tal, der er delelige med 5, kan laves af cifrene 0, 1, 3, 5, 7, hvis hvert tal ikke må indeholde de samme cifre?
16. Hvor mange forskellige lysende ringe kan man lave ved at placere 10 forskellige farvede pærer rundt om en cirkel (ringene betragtes som ens, hvis farverne er i samme rækkefølge)?
17. En bogreol rummer 30 bind. På hvor mange måder kan de arrangeres uden at første og andet bind står ved siden af hinanden?
Svar: 30! 2 29!.
18. Fire skytter skal ramme otte skiver (to hver). På hvor mange måder kan de fordele målene imellem sig?
Svar: 2.520.
19. Fra en gruppe på 12 personer udvælges to personer på vagt hver dag i 6 dage. Bestem mængden forskellige lister på vagt, hvis hver person er på vagt én gang.
Svar: 12!/(2!) 6.
20. Hvor mange firecifrede tal, der består af cifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5 indeholder cifferet 3 (cifrene gentages ikke i tal)?
Svar: 204.
21. Ti grupper studerer i ti på hinanden følgende klasseværelser. Hvor mange skemalægningsmuligheder er der i hvilke grupper nr. 1 og nr. 2 ville være i tilstødende klasseværelser?
Svar: 2 9!.
22. 16 skakspillere deltager i turneringen. Bestem antallet af forskellige skemaer for første runde (skemaer betragtes som forskellige, hvis deltagerne i mindst et spil er forskellige; brikkernes farve og brætnummer tages ikke i betragtning).
Svar: 2.027.025.
23. Seks kasser diverse materialer leveret til fem etager af byggepladsen. På hvor mange måder kan materialer fordeles mellem etager? I hvor mange varianter leveres den til femte sal? noget materiale?
Svar: 56 ; 6 45.
24. To postbude skal levere 10 breve til 10 adresser. Hvor mange
hvordan de kan fordele arbejdet? Svar: 210.
25. Metrotoget gør 16 stop, hvor alle passagerer stiger af. På hvor mange måder kan 100 passagerer, der stiger på toget ved endestationen, fordeles mellem disse stop?
Svar: 16100.
26. Hvor mange trecifrede tal, der er delelige med 3, kan laves af cifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, hvis hvert tal ikke må indeholde de samme cifre?
27. Mødet på 80 personer vælger en formand, en sekretær og tre medlemmer af revisionskommissionen. På hvor mange måder kan dette gøres?
Svar: 80!(3! 75!).
28. Af de 10 kvindelige tennisspillere og 6 tennisspillere udgøres 4 mixeddouble. På hvor mange måder kan dette gøres?
Svar: 10!/48.
29. Tre køretøjer nr. 1, 2, 3 skal levere varer til seks butikker. På hvor mange måder kan maskiner bruges, hvis bæreevnen af hver af dem tillader dem at tage varer til alle butikker på én gang, og hvis to maskiner
V den samme butik sendes ikke? Hvor mange rutemuligheder er mulige, hvis du beslutter dig for kun at bruge bil nr. 1?
Svar: 3 6 6!.
30. Fire drenge og to piger vælger idrætssektionen. Kun drenge optages i hockey- og boksningsafdelingen; rytmisk gymnastik- kun piger, og i ski- og skøjteafdelingen - både drenge og piger. På hvor mange måder kan disse seks personer fordeles på sektionerne?
Svar: 2304.
31. Fra et laboratorium, der beskæftiger 20 personer, skal 5 medarbejdere på forretningsrejse. Hvor mange forskellige sammensætninger af denne gruppe kan der være?
hvis lederen af laboratoriet, dennes stedfortræder og Chefingeniør Skulle de ikke tage afsted på samme tid?
Svar: 15.368.
32. Der er 10 personer, der studerer i en klaverklub; kunstnerisk ord–15, i vokalkredsen – 12, i fotokredsen – 20 personer.
På hvor mange måder kan et hold på fire læsere, tre pianister, fem sangere og en fotograf dannes?
Svar: 15!10/7!
33. Otteogtyve dominobrikker er fordelt på fire spillere. Hvor mange forskellige distributioner er mulige?
Svar: 28!/(74 .!}
34. Fra en gruppe på 15 personer bør der udvælges en værkfører og 4 teammedlemmer. På hvor mange måder kan dette gøres?
Svar: 15.015.
35. Fem elever skal opdeles i tre parallelle klasser.
På hvor mange måder kan dette gøres? Svar: 35.
36. Elevatoren stopper ved 10 etager. På hvor mange måder kan 8 passagerer i elevatoren fordeles mellem disse stop?
Svar: 108.
På hvor mange måder er det muligt at fordele materiale mellem forfattere, hvis to personer skriver tre kapitler hver, fire personer skriver to kapitler hver, to personer skriver et kapitel hver?
Svar: 16!/(26 32 ).
38. 8 tredjeklasses skakspillere deltager i en skakturnering, 6 –
anden og 2 første klasse. Bestem antallet af sådanne sammensætninger i første runde, så skakspillere af samme kategori møder hinanden (farven på brikkerne tages ikke i betragtning).
Svar: 420.
39. Af tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 laves alle slags femcifrede tal: dem, der ikke indeholder identiske cifre. Bestem antallet af tal i
som har tallene 2, 4 og 5 på samme tid.
Svar: 1800.
40. Syv æbler og to appelsiner skal lægges i to poser, så hver pose indeholder mindst én appelsin, og så antallet af frugter i dem er det samme. På hvor mange måder kan dette gøres?
Svar: 105.
41. Morsekodebogstaver er opbygget af symboler (prikker og bindestreger). Hvor mange bogstaver kan du tegne, hvis du kræver, at hvert bogstav ikke skal indeholde mere end fem tegn?
42. Køretøjets trailernummer består af to bogstaver og fire tal.
Hvor mange forskellige tal kan du lave med 30 bogstaver og 10 tal?
Svar: 9 106.
43. En gartner skal plante 10 træer inden for tre dage. På hvor mange måder kan han fordele sit arbejde over dagene, hvis han planter mindst et træ om dagen?
44. Fra en vase, der indeholder 10 røde og 4 lyserøde nelliker, skal du vælge en rød og to lyserøde blomster. På hvor mange måder kan dette gøres?
45. Tolv elever fik to versioner af testen.
På hvor mange måder kan eleverne sidde på to rækker, så de, der sidder ved siden af hinanden, ikke har de samme muligheder, men dem, der sidder ved siden af hinanden, har samme mulighed?
Svar: 2(6!)2.
46. Hver af de ti radiooperatører i punkt A forsøger at etablere kontakt til hver af de tyve radiooperatører i punkt B. Så mange som muligt forskellige muligheder sådan en forbindelse?
Svar: 2200.
47. Seks kasser af forskellige materialer leveres til otte etager på en byggeplads. På hvor mange måder kan materialer fordeles mellem etager? I
I hvor mange muligheder vil der ikke blive leveret mere end to materialer til ottende sal?
Svar: 86 ; 86 –13 75 .
48. På hvor mange måder kan to spillere dannes til én linje? fodboldhold så to spillere fra samme hold ikke står ved siden af hinanden?
Svar: 2(11!)2.
49. I reolen er der bøger om matematik og logik - i alt 20 bøger.
Vis hvad største antal muligheder for et sæt indeholdende 5 bøger om matematik og 5 bøger om logik er mulige i det tilfælde, hvor antallet af bøger på hylden for hvert emne er 10.
Svar: C 5 10–x C 5 10+x(C 5 10) 2.
50 . En elevator med 9 passagerer kan stoppe på ti etager. Passagerer går fra borde i grupper på to, tre og fire.
På hvor mange måder kan dette ske?
Svar: 10!/4.
51. "Tidligt om morgenen skyndte smilende Igor sig barfodet for at fiske."
Hvor mange forskellige meningsfulde sætninger kan laves ved at bruge en del af ordene i denne sætning, men uden at ændre deres rækkefølge?
52. I en skakkamp mellem to hold på 8 personer bestemmes deltagerne i partierne og farven på hver deltagers brikker ved lodtrækning. Hvad er antallet af forskellige udfald af lodtrækningen?
A 10 6.
Svar: 28 8!.
53. A og B og 8 andre personer står i kø. På hvor mange måder kan folk arrangeres i en kø, så A og B er adskilt fra hinanden af tre personer?
Svar: 6 8! 2!.
54. Hvor mange firecifrede tal kan man lave ud fra tallene 0, 1, 2, 3, 4, 5,
hvis a) tallene ikke gentages; b) tal kan gentages; c) kun ulige tal bruges og må gentages; d) skulle kun vise sig ulige tal og tal kan gentages.
Svar: a) 5 5 4 3=300; b) 56 = 1080; c) 34; d) 5 6 6 3 = 540.
55. Der studeres 10 fag i klassen. På hvor mange måder kan du oprette et skema for mandag, hvis der er 6 lektioner om mandagen, og alle er forskellige?
56. Der er m punkter på en linje og n punkter på en linje parallel med den.
Hvor mange trekanter med toppunkter i disse punkter kan du få?
Svar: mC n 2 nC m 2 .
57. Hvor mange femcifrede tal er der, der læses ens fra højre mod venstre og venstre mod højre, for eksempel 67876.
Svar: 9 10 10 = 900.
58. Hvor mange forskellige divisorer (inklusive 1 og selve tallet) har tallet?
35 54 ?
59. I en rektangulær matrix A = (a ij )m rækker og n kolonner. Hver n n = 2n –1.
61. Hvor mange firecifrede tal er der, hvor hvert efterfølgende ciffer er større end det foregående?
Svar: C 9 4 = 126.
62. Hvor mange firecifrede tal er der, hvor hvert efterfølgende ciffer er mindre end det foregående?
Svar: C 10 4 = 210.
63. Der er p hvide og q sorte kugler. På hvor mange måder kan de arrangeres i en række, så ingen 2
var der ingen sorte kugler i nærheden (q p + 1)?
Svar: C q .p 1
64. Der er p forskellige bøger i røde indbindinger og q forskellige bøger i blå indbindinger (q p + 1).
På hvor mange måder kan de placeres i en række, så der ikke står to blåindbundne bøger ved siden af hinanden?
Svar: C q p! q! .p 1
65. På hvor mange måder kan (1, 2, ...n) tal ordnes, så tallene 1, 2, 3 står ved siden af hinanden i stigende rækkefølge?
Svar: (n – 2)!.
66. Der skal være 4 talere på et møde: A, B, C og D, og B kan ikke tale før A.
På hvor mange måder kan deres rækkefølge bestemmes?
Svar: 12 = 3! + 2 2 +2.
67. På hvor mange måder kan m +n +s objekter fordeles i 3 grupper, så en gruppe indeholder m objekter, en anden -n og en tredje -s objekter.
Svar: (m + n + s)!.
68. Hvor mange heltallige ikke-negative løsninger har ligningen x 1 +x 2 + ... +x m =n?
Svar: C n .n m 1
69. Find antallet af vektorer = (1 2 ...n), hvis koordinater opfylder betingelserne:
1) i (0, 1);
2) i (0, 1, ...k – 1); 3)i (0, 1, ...ki – 1);
4) i (0, 1) og 1+2 + ... +n =r.
Svar: 1) 2n ; 2)kn; 3)k 1 k 2 ... k n; 4)
70. Hvad er antallet af matricer (a ij), hvor a ij (0,1) og hvori der er m rækker og n kolonner? 1) strenge kan
gentage; 2) strengene er parvis forskellige.
Svar: 1) 2m n ; 2).