Lad os nu beskæftige os med multiplikation og division.
Lad os sige, at vi skal gange +3 med -4. Hvordan gør man det?
Lad os overveje en sådan sag. Tre personer kom i gæld og havde hver $4 i gæld. Hvad er den samlede gæld? For at finde det, skal du lægge alle tre gæld sammen: 4 dollars + 4 dollars + 4 dollars = 12 dollars. Vi besluttede, at tilføjelsen af tre tal 4 betegnes som 3x4. Siden i I dette tilfælde vi taler om gæld, der er et "-"-tegn før den 4. Vi ved, at den samlede gæld er $12, så vores problem bliver nu 3x(-4)=-12.
Vi får det samme resultat, hvis hver af de fire personer ifølge problemet har en gæld på $3. Med andre ord, (+4)x(-3)=-12. Og da rækkefølgen af faktorerne ikke betyder noget, får vi (-4)x(+3)=-12 og (+4)x(-3)=-12.
Lad os opsummere resultaterne. Når du ganger et positivt tal og et negativt tal, vil resultatet altid være et negativt tal. Den numeriske værdi af svaret vil være den samme som ved positive tal. Produkt (+4)x(+3)=+12. Tilstedeværelsen af "-" tegnet påvirker kun tegnet, men påvirker ikke den numeriske værdi.
Hvordan ganges to negative tal?
Desværre er det meget svært at komme med et passende eksempel fra det virkelige liv om dette emne. Det er let at forestille sig en gæld på 3 eller 4 dollars, men det er absolut umuligt at forestille sig -4 eller -3 personer, der kom i gæld.
Måske går vi en anden vej. I multiplikation, når tegnet for en af faktorerne ændres, ændres produktets fortegn. Hvis vi ændrer tegnene for begge faktorer, skal vi ændre to gange arbejdsmærke, først fra positiv til negativ, og derefter omvendt, fra negativ til positiv, det vil sige, at produktet vil have et indledende tegn.
Derfor er det ret logisk, selvom det er lidt mærkeligt, at (-3) x (-4) = +12.
Skilt position når det ganges, ændres det sådan:
- positivt tal x positivt tal = positivt tal;
- negativt tal x positivt tal = negativt tal;
- positivt tal x negativt tal = negativt tal;
- negativt tal x negativt tal = positivt tal.
Med andre ord, gange to tal med identiske tegn, får vi et positivt tal. At gange to tal med forskellige tegn, får vi et negativt tal.
Den samme regel gælder for handlingen modsat multiplikation - for.
Du kan nemt verificere dette ved at køre inverse multiplikationsoperationer. I hvert af eksemplerne ovenfor, hvis du ganger kvotienten med divisor, vil du få udbyttet og sikre dig, at det har samme fortegn, for eksempel (-3)x(-4)=(+12).
Da vinteren er på vej, er det tid til at tænke over, hvad du skal skifte din jernhests sko til, for ikke at glide på isen og føle dig sikker på isen. vinterveje. Du kan for eksempel købe Yokohama dæk på hjemmesiden: mvo.ru eller nogle andre, det vigtigste er at de er af høj kvalitet, du kan finde ud af mere information og priser på hjemmesiden Mvo.ru.
I denne artikel vil vi beskæftige os med gange tal med forskellige fortegn. Her vil vi først formulere reglen for at gange positive og negative tal, begrunde den og derefter overveje anvendelsen af denne regel ved løsning af eksempler.
Sidenavigation.
Regel for at gange tal med forskellige fortegn
At multiplicere et positivt tal med et negativt tal, såvel som et negativt tal med et positivt tal, udføres som følger: reglen for at gange tal med forskellige fortegn: for at gange tal med forskellige fortegn, skal du gange og sætte et minustegn foran det resulterende produkt.
Lad os skrive denne regel ned i bogstavform. For ethvert positivt reelt tal a og ethvert negativt reelt tal −b er ligheden a·(−b)=−(|a|·|b|) , og også for et negativt tal −a og et positivt tal b er ligheden (−a)·b=−(|a|·|b|) .
Reglen for at gange tal med forskellige fortegn er fuldstændig i overensstemmelse med egenskaber ved operationer med reelle tal. På deres grundlag er det faktisk let at vise, at for reelle og positive tal a og b en kæde af ligheder af formen a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, hvilket beviser, at a·(−b) og a·b er modsatte tal, hvilket indebærer ligheden a·(−b)=−(a·b) . Og deraf følger gyldigheden af den pågældende multiplikationsregel.
Det skal bemærkes, at den angivne regel for multiplikation af tal med forskellige fortegn gælder for begge reelle tal, både for rationelle tal og for heltal. Dette følger af, at operationer med rationelle tal og heltal har de samme egenskaber, som blev brugt i beviset ovenfor.
Det er klart, at multiplikation af tal med forskellige fortegn ifølge den resulterende regel kommer ned til at gange positive tal.
Det er kun tilbage at overveje eksempler på anvendelsen af den adskilte multiplikationsregel, når man multiplicerer tal med forskellige fortegn.
Eksempler på at gange tal med forskellige fortegn
Lad os se på flere løsninger eksempler på at gange tal med forskellige fortegn. Lad os starte med simpel sag, for at fokusere på regeltrinene snarere end de beregningsmæssige kompleksiteter.
Eksempel.
Gang det negative tal −4 med det positive tal 5.
Løsning.
Ifølge reglen for at gange tal med forskellige fortegn, skal vi først gange de absolutte værdier af de oprindelige faktorer. Modulet for −4 er 4, og modulet af 5 er 5, og multiplicering af de naturlige tal 4 og 5 giver 20. Til sidst er det tilbage at sætte et minustegn foran det resulterende tal, vi har -20. Dette fuldender multiplikationen.
Kort fortalt kan løsningen skrives som følger: (−4)·5=−(4·5)=−20.
Svar:
(−4)·5=−20.
Når du multiplicerer brøker med forskellige fortegn, skal du kunne gange almindelige brøker, gange decimaler og deres kombinationer med naturlige og blandede tal.
Eksempel.
Gang tal med forskellige fortegn 0, (2) og .
Løsning.
Ved at konvertere en periodisk decimalbrøk til en almindelig brøk, og også ved at konvertere fra et blandet tal til en uægte brøk, fra det originale produkt 
vi kommer til produktet af almindelige brøker med forskellige tegn på formen. Dette produkt er ifølge reglen om at gange tal med forskellige fortegn lig med . Tilbage er blot at gange de almindelige brøker i parentes, vi har 
.
Almindelige brøktal møder først skolebørn i 5. klasse og ledsager dem hele deres liv, da det i hverdagen ofte er nødvendigt at overveje eller bruge en genstand ikke som en helhed, men i separate stykker. Begynd at studere dette emne - deler. Andele er lige dele, hvori dette eller hint objekt er opdelt. Det er trods alt ikke altid muligt at udtrykke for eksempel længden eller prisen på et produkt som et helt tal; dele eller brøkdele af et eller andet mål bør tages i betragtning. Formet fra verbet "at splitte" - at opdele i dele og have arabiske rødder, opstod selve ordet "brøkdel" i det russiske sprog i det 8. århundrede.
Brøkudtryk lang tid betragtes som den sværeste gren af matematik. I det 17. århundrede, da de første lærebøger om matematik dukkede op, blev de kaldt "brudte tal", hvilket var meget svært for folk at forstå.
Moderne look simple brøkrester, hvis dele er adskilt præcist vandret linje, bidrog først til Fibonacci - Leonardo af Pisa. Hans værker er dateret til 1202. Men formålet med denne artikel er enkelt og tydeligt at forklare læseren, hvordan blandede brøker ganges med forskellige nævnere.
Multiplikation af brøker med forskellige nævnere
I første omgang er det værd at bestemme typer af fraktioner:
- korrekt;
- ukorrekt;
- blandet.
Dernæst skal du huske, hvordan brøktal ganges med samme nævnere. Selve reglen for denne proces er let at formulere uafhængigt: resultatet af multiplikation simple brøker med samme nævnere er et brøkudtryk, hvis tæller er produktet af tællere, og nævneren er produktet af disse brøkers nævnere. Det vil sige i bund og grund ny nævner der er en firkant af en af de oprindeligt eksisterende.
Ved multiplikation simple brøker med forskellige nævnere for to eller flere faktorer ændres reglen ikke:
en/b * c/d = a*c / b*d.
Den eneste forskel er det dannet nummer under brøklinjen vil være produktet af forskellige tal og naturligvis kvadratet af et numerisk udtryk det er umuligt at navngive det.
Det er værd at overveje multiplikationen af brøker med forskellige nævnere ved hjælp af eksempler:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Eksemplerne bruger metoder til at reducere brøkudtryk. Du kan kun reducere tællertal med nævnertal ved siden af hinanden værd multiplikatorer Du kan ikke forkorte over eller under brøklinjen.
Sammen med simple brøktal, er der et begreb om blandede brøker. Et blandet tal består af et heltal og en brøkdel, det vil sige, at det er summen af disse tal:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Hvordan fungerer multiplikation?
Der er givet flere eksempler til overvejelse.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Eksemplet bruger multiplikation af et tal med almindelig brøkdel , kan reglen for denne handling skrives som:
en* b/c = a*b /c.
Faktisk er et sådant produkt summen af identiske fraktionerede rester, og antallet af led indikerer dette naturligt tal. Særlig situation:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Der er en anden løsning til at gange et tal med en brøkrest. Du skal bare dividere nævneren med dette tal:
d* e/f = e/f: d.
Denne teknik er nyttig at bruge, når nævneren divideres med et naturligt tal uden en rest eller, som man siger, med et helt tal.
Konverter blandede tal til uægte brøker og få produktet på den tidligere beskrevne måde:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Dette eksempel involverer en måde at repræsentere en blandet brøk som en uægte brøk, den kan også repræsenteres som generel formel:
-en bc = a*b+ c/c, hvor er nævneren ny fraktion dannes ved at gange hele delen med nævneren og lægge den sammen med tælleren for den oprindelige brøkrest, og nævneren forbliver den samme.
Denne proces fungerer også i modsatte side. For at adskille hele delen og brøkresten skal du dividere tælleren for en uægte brøk med dens nævner ved at bruge et "hjørne".
Multiplikation ukorrekte fraktioner produceret på en alment accepteret måde. Når du skriver under en enkelt brøklinje, skal du reducere brøker efter behov for at reducere tal ved hjælp af denne metode og gøre det lettere at beregne resultatet.
Der er mange hjælpere på internettet til at løse selv komplekse problemer. matematiske problemer i forskellige programvariationer. Et tilstrækkeligt antal af sådanne tjenester tilbyder deres hjælp til at tælle multiplikation af brøker med forskellige tal i nævnere - såkaldte online-beregnere til udregning af brøker. De er i stand til ikke kun at formere sig, men også producere alle de andre enkleste aritmetiske operationer med almindelige brøker og blandede tal. Det er nemt at arbejde med; du udfylder de relevante felter på siden og vælger tegnet matematisk operation og klik på "beregn". Programmet beregner automatisk.
Emne aritmetiske operationer med brøktal er relevant gennem hele uddannelsen af mellem- og gymnasieelever. I gymnasiet betragter de ikke længere den simpleste art, men hel brøkudtryk , men kendskabet til reglerne for transformation og beregninger, der er opnået tidligere, anvendes i sin oprindelige form. Godt lært basis viden give fuld tillid til vellykket beslutning mest komplekse opgaver.
Afslutningsvis giver det mening at citere ordene fra Lev Nikolaevich Tolstoj, der skrev: "Mennesket er en brøkdel. Det er ikke i en persons magt at øge sin tæller - sine fortjenester - men enhver kan reducere sin nævner - sin mening om sig selv, og med dette fald komme tættere på sin perfektion.
) og nævner for nævner (vi får produktets nævner).
Formel til at gange brøker:
For eksempel:
Før du begynder at gange tællere og nævnere, skal du kontrollere, om brøken kan reduceres. Hvis du kan reducere brøken, vil det være lettere for dig at foretage yderligere beregninger.
At dividere en almindelig brøk med en brøk.
At dividere brøker, der involverer naturlige tal.
Det er ikke så skræmmende, som det ser ud til. Som i tilfældet med addition, konverterer vi hele tallet til en brøk med én i nævneren. For eksempel:
Multiplicer blandede fraktioner.
Regler for at gange brøker (blandet):
- konvertere blandede fraktioner til ukorrekte fraktioner;
- gange tællere og nævnere af brøker;
- reducere fraktionen;
- Hvis du får en uægte brøk, så konverterer vi den uægte brøk til en blandet brøk.
Bemærk! At formere sig blandet fraktion til en anden blandet brøk, skal du først omregne dem til form af uægte brøker og derefter gange dem efter reglen for at gange almindelige brøker.
Den anden måde at gange en brøk med et naturligt tal.
Det kan være mere bekvemt at bruge den anden multiplikationsmetode almindelig brøk pr nummer.
Bemærk! For at gange en brøk med et naturligt tal, skal du dividere brøkens nævner med dette tal og lade tælleren være uændret.
Fra eksemplet ovenfor er det klart, at denne mulighed er mere praktisk at bruge, når nævneren af en brøk divideres uden en rest med et naturligt tal.
Fleretagers brøker.
I gymnasiet støder man ofte på tre-etagers (eller flere) brøker. Eksempel:
For at bringe en sådan brøk til sin sædvanlige form, brug division gennem 2 punkter:
Bemærk! Når man deler brøker, er rækkefølgen af division meget vigtig. Vær forsigtig, det er nemt at blive forvirret her.
Bemærk, For eksempel:
Når man dividerer en med en hvilken som helst brøk, vil resultatet være den samme brøk, kun omvendt:
Praktiske tips til at gange og dividere brøker:
1. Det vigtigste, når man arbejder med brøkudtryk, er nøjagtighed og opmærksomhed. Foretag alle beregninger omhyggeligt og præcist, koncentreret og klart. Det er bedre at skrive et par ekstra linjer i din kladde end at fare vild i hovedberegninger.
2. I opgaver med forskellige typer brøker - gå til form af almindelige brøker.
3. Vi reducerer alle fraktioner, indtil det ikke længere er muligt at reducere.
4. Vi transformerer brøkudtryk på flere niveauer til almindelige ved hjælp af division gennem 2 punkter.
5. Divider en enhed med en brøk i dit hoved, vend blot brøken om.