Ligninger med brøker i sig selv er ikke vanskelige og er meget interessante. Lad os se på typerne af brøkligninger og hvordan man løser dem.
Sådan løses ligninger med brøker - x i tælleren
Hvis der er givet en brøkligning, hvor det ukendte er i tælleren, kræver løsningen ikke yderligere betingelser og løses uden unødigt besvær. Den generelle form for en sådan ligning er x/a + b = c, hvor x er det ukendte, a, b og c er almindelige tal.
Find x: x/5 + 10 = 70.
For at løse ligningen skal du af med brøker. Multiplicer hvert led i ligningen med 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x og 5 annulleres, 10 og 70 ganges med 5 og vi får: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.
Find x: x/5 + x/10 = 90.
Dette eksempel er en lidt mere kompliceret version af den første. Der er to mulige løsninger her.
- Mulighed 1: Vi slipper for brøker ved at gange alle led i ligningen med en større nævner, det vil sige med 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
- Mulighed 2: Tilføj venstre side af ligningen. x/5 + x/10 = 90. Fællesnævneren er 10. Divider 10 med 5, gange med x, vi får 2x. Divider 10 med 10, gange med x, vi får x: 2x+x/10 = 90. Derfor 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.
Vi støder ofte på brøkligninger, hvor x'erne er på hver sin side af lighedstegnet. I sådanne situationer er det nødvendigt at flytte alle brøkerne med X'er til den ene side og tallene til den anden.
- Find x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
- Flyt 2x/5 til højre med det modsatte fortegn: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
- Vi reducerer 5x/5 og får: x = 130.
Sådan løses en ligning med brøker - x i nævneren
Denne type brøkligninger kræver skrivning af yderligere betingelser. Angivelse af disse betingelser er en obligatorisk og integreret del af en korrekt beslutning. Ved ikke at tilføje dem risikerer du, da svaret (selvom det er korrekt) måske simpelthen ikke tælles med.
Den generelle form for brøkligninger, hvor x er i nævneren, er: a/x + b = c, hvor x er det ukendte, a, b, c er almindelige tal. Bemærk, at x muligvis ikke er et tal. For eksempel kan x ikke være lig med nul, da det ikke kan divideres med 0. Det er netop den yderligere betingelse, vi skal specificere. Dette kaldes rækken af tilladte værdier, forkortet VA.
Find x: 15/x + 18 = 21.
Vi skriver straks ODZ for x: x ≠ 0. Nu hvor ODZ er angivet, løser vi ligningen i henhold til standardskemaet, idet vi slipper for brøker. Gang alle led i ligningen med x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.
Ofte er der ligninger, hvor nævneren ikke kun indeholder x, men også en anden operation med den, for eksempel addition eller subtraktion.
Find x: 15/(x-3) + 18 = 21.
Vi ved allerede, at nævneren ikke kan være lig med nul, hvilket betyder x-3 ≠ 0. Vi flytter -3 til højre, ændrer "-" tegnet til "+", og vi får, at x ≠ 3. ODZ er angivet.
Vi løser ligningen, gange alt med x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.
Flyt X'erne til højre, tal til venstre: 24 = 3x => x = 8.
Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.
Indsamling og brug af personlige oplysninger
Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.
Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.
Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.
Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:
- Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, e-mailadresse mv.
Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:
- De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig med unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
- Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
- Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
- Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.
Videregivelse af oplysninger til tredjemand
Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.
Undtagelser:
- Om nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, i retssager og/eller på grundlag af offentlige anmodninger eller anmodninger fra regeringsorganer i Den Russiske Føderation - om at videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
- I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.
Beskyttelse af personlige oplysninger
Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.
Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau
For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.
Instruktioner
Den måske mest åbenlyse pointe her er selvfølgelig. Numeriske brøker udgør ingen fare (brøkligninger, hvor alle nævnere kun indeholder tal, vil generelt være lineære), men hvis der er en variabel i nævneren, så skal denne tages i betragtning og skrives ned. For det første er det, at x, som vender nævneren til 0, ikke kan være det, og generelt er det nødvendigt separat at angive, at x ikke kan være lig med dette tal. Selv hvis du lykkes, når du erstatter i tælleren, konvergerer alt perfekt og opfylder betingelserne. For det andet kan vi ikke gange begge sider af ligningen med , som er lig med nul.
Herefter reduceres en sådan ligning til at flytte alle dens led til venstre side, så 0 forbliver til højre.
Det er nødvendigt at bringe alle led til en fællesnævner, hvor det er nødvendigt at gange tællerne med de manglende udtryk.
Dernæst løser vi den sædvanlige ligning skrevet i tælleren. Vi kan tage fælles faktorer ud af parentes, bruge forkortet multiplikation, bringe lignende, beregne rødderne af en andengradsligning gennem diskriminanten osv.
Resultatet skulle være en faktorisering i form af et produkt af parenteser (x-(i-te rod)). Dette kan også omfatte polynomier, der ikke har rødder, for eksempel et kvadratisk trinomium med en diskriminant mindre end nul (hvis problemet selvfølgelig kun involverer reelle rødder, som det oftest er tilfældet).
Det er bydende nødvendigt at faktorisere nævneren og finde de parenteser, der allerede er indeholdt i tælleren. Hvis nævneren indeholder udtryk som (x-(tal)), så er det bedre ikke at gange parenteserne i den direkte, når man reducerer til en fællesnævner, men at lade dem være et produkt af de oprindelige simple udtryk.
Identiske parenteser i tæller og nævner kan forkortes ved først, som nævnt ovenfor, at nedskrive betingelserne på x.
Svaret er skrevet i krøllede parenteser, som et sæt af x-værdier, eller blot som en opregning: x1=..., x2=... osv.
Kilder:
- Fraktionelle rationelle ligninger
Noget du ikke kan undvære i fysik, matematik, kemi. Mindst. Lad os lære det grundlæggende i at løse dem.
Instruktioner
Den mest generelle og simple klassifikation kan opdeles efter antallet af variabler, de indeholder, og i hvilke grader disse variabler står.
Løs ligningen med alle dens rødder eller bevis, at der ikke er nogen.
Enhver ligning har ikke mere end P-rødder, hvor P er maksimum af en given ligning.
Men nogle af disse rødder kan falde sammen. Så f.eks. bliver ligningen x^2+2*x+1=0, hvor ^ er ikonet for eksponentiering, foldet ind i kvadratet af udtrykket (x+1), det vil sige til produktet af to identiske parenteser, som hver giver x=- 1 som løsning.
Hvis der kun er én ukendt i en ligning, betyder det, at du eksplicit vil kunne finde dens rødder (virkelige eller komplekse).
Til dette har du højst sandsynligt brug for forskellige transformationer: forkortet multiplikation, beregning af diskriminanten og rødderne af en andengradsligning, overførsel af led fra en del til en anden, reduktion til en fællesnævner, multiplikation af begge dele af ligningen med det samme udtryk, ved en firkant osv.
Transformationer, der ikke påvirker ligningens rødder, er identiske. De bruges til at forenkle processen med at løse en ligning.
Du kan også bruge den grafiske metode i stedet for den traditionelle analytiske og skrive denne ligning i formularen og derefter udføre dens undersøgelse.
Hvis der er mere end én ukendt i en ligning, så vil du kun være i stand til at udtrykke den ene af dem i form af den anden, og derved vise et sæt løsninger. Det er for eksempel ligninger med parametre, hvor der er et ukendt x og en parameter a. At løse en parametrisk ligning betyder for alle a at udtrykke x i form af a, det vil sige at overveje alle mulige tilfælde.
Hvis ligningen indeholder afledte eller differentialer af ukendte (se billede), tillykke, dette er en differentialligning, og du kan ikke undvære højere matematik).
Kilder:
- Identitetstransformationer
Til at løse problemet med i fraktioner, skal du lære at regne med dem. De kan være decimaler, men oftest bruges naturlige brøker med tæller og nævner. Først efter dette kan du gå videre til at løse matematiske problemer med brøkstørrelser.
Du får brug for
- - lommeregner;
- - kendskab til fraktioners egenskaber;
- - evne til at udføre operationer med brøker.
Instruktioner
En brøk er en notation til at dividere et tal med et andet. Ofte kan dette ikke gøres fuldstændigt, hvorfor denne handling efterlades uafsluttet. Det tal, der er deleligt (det vises over eller før brøktegnet) kaldes tælleren, og det andet tal (under eller efter brøktegnet) kaldes nævneren. Hvis tælleren er større end nævneren, kaldes brøken en uegen brøk, og en hel del kan adskilles fra den. Hvis tælleren er mindre end nævneren, kaldes en sådan brøk egentlig, og dens heltal er lig med 0.
Opgaver er opdelt i flere typer. Bestem, hvilken af dem opgaven tilhører. Den enkleste mulighed er at finde brøkdelen af et tal udtrykt som en brøk. For at løse dette problem skal du bare gange dette tal med en brøk. Der blev for eksempel leveret 8 tons kartofler. I den første uge blev 3/4 af dets samlede solgt. Hvor mange kartofler er der tilbage? For at løse dette problem skal du gange tallet 8 med 3/4. Det viser sig 8∙3/4=6 t.
Hvis du skal finde et tal med dets del, skal du gange den kendte del af tallet med den omvendte brøkdel af den, der viser, hvad andelen af denne del er i tallet. Eksempelvis udgør 8 af dem 1/3 af det samlede antal elever. Hvor mange i? Da 8 personer er en del, der repræsenterer 1/3 af det samlede antal, så find den gensidige brøk, som er 3/1 eller blot 3. Så for at få antallet af elever i klassen 8∙3=24 elever.
Når du skal finde ud af, hvilken del af et tal et tal er fra et andet, skal du dividere det tal, der repræsenterer delen, med det, der er hele. For eksempel, hvis afstanden er 300 km, og bilen har kørt 200 km, hvilken del af den samlede distance vil det så være? Divider en del af stien 200 med den fulde vej 300, efter at have reduceret brøken får du resultatet. 200/300=2/3.
For at finde en ukendt brøkdel af et tal, når der er en kendt, skal du tage hele tallet som en konventionel enhed og trække den kendte brøk fra det. For eksempel, hvis 4/7 af lektionen allerede er bestået, er der så stadig tid tilbage? Tag hele lektionen som en enhed og træk 4/7 fra den. Få 1-4/7=7/7-4/7=3/7.
Ligninger, der indeholder en variabel i nævneren, kan løses på to måder:
Reduktion af brøker til en fællesnævner
Brug af den grundlæggende egenskab af proportion
Uanset den valgte metode, efter at have fundet ligningens rødder, er det nødvendigt at vælge fra de fundne gyldige værdier, det vil sige dem, der ikke vender nævneren til $0$.
1 vej. Reduktion af brøker til en fællesnævner.
Eksempel 1
$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$
Løsning:
1. Lad os overføre brøken fra højre side af ligningen til venstre
\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]
For at gøre dette korrekt skal du huske, at når du flytter elementer til en anden del af ligningen, ændres tegnet foran udtrykkene til det modsatte. Det betyder, at hvis der var et "+"-tegn foran brøken i højre side, så vil der være et "-"-tegn foran det i venstre side. Så i venstre side får vi forskellen på brøker.
2. Bemærk nu, at brøkerne har forskellige nævnere, hvilket betyder, at for at udligne forskellen er det nødvendigt at bringe brøkerne til en fællesnævner. Fællesnævneren vil være produktet af polynomierne i nævnerne af de oprindelige brøker: $(2x-1)(x+3)$
For at få et identisk udtryk skal tælleren og nævneren for den første brøk ganges med polynomiet $(x+3)$, og det andet med polynomiet $(2x-1)$.
\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]
Lad os udføre en transformation i tælleren for den første brøk - gange polynomier. Husk, at for at gøre dette skal du gange det første led af det første polynomium gange med hvert led i det andet polynomium, gange derefter det andet led i det første polynomium med hvert led i det andet polynomium og tilføj resultaterne
\[\venstre(2x+3\højre)\venstre(x+3\højre)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]
Lad os præsentere lignende udtryk i det resulterende udtryk
\[\venstre(2x+3\højre)\venstre(x+3\højre)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]
Lad os udføre en lignende transformation i tælleren for den anden brøk - multiplicer polynomier
$\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1=(2х)^2-х-10х+ 5=(2x)^2-11x+5$
Så vil ligningen antage formen:
\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]
Nu har brøkerne den samme nævner, hvilket betyder, at du kan trække fra. Husk, at når du trækker brøker med samme nævner fra tælleren i den første brøk, skal du trække tælleren fra den anden brøk, så nævneren efterlades den samme
\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]
Lad os omdanne udtrykket til tælleren. For at åbne parenteser foran et "-"-tegn, skal du ændre alle tegnene foran termerne i parentes til det modsatte
\[(2x)^2+9x+9-\venstre((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]
Lad os præsentere lignende udtryk
$(2x)^2+9x+9-\venstre((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $
Så vil brøken tage formen
\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]
3. En brøk er lig med $0$, hvis dens tæller er 0. Derfor sidestiller vi brøkens tæller til $0$.
\[(\rm 20х+4=0)\]
Lad os løse den lineære ligning:
4. Lad os prøve rødderne. Det betyder, at det er nødvendigt at kontrollere, om nævnerne i de oprindelige brøker bliver til $0$, når rødderne er fundet.
Lad os sætte betingelsen, at nævnerne ikke er lig med $0$
x$\ne 0,5$ x$\ne -3$
Dette betyder, at alle variable værdier er acceptable undtagen $-3$ og $0,5$.
Roden, vi fandt, er en acceptabel værdi, hvilket betyder, at den sikkert kan betragtes som roden af ligningen. Hvis den fundne rod ikke var en gyldig værdi, ville en sådan rod være fremmed og naturligvis ikke inkluderet i svaret.
Svar:$-0,2.$
Nu kan vi lave en algoritme til løsning af en ligning, der indeholder en variabel i nævneren
Algoritme til løsning af en ligning, der indeholder en variabel i nævneren
Flyt alle elementer fra højre side af ligningen til venstre. For at opnå en identisk ligning er det nødvendigt at ændre alle tegn foran udtrykkene på højre side til det modsatte
Hvis vi på venstre side modtager et udtryk med forskellige nævnere, reducerer vi dem til et fælles ved hjælp af en brøks grundegenskab. Udfør transformationer ved hjælp af identitetstransformationer og opnå en endelig brøk lig med $0$.
Sæt lighedstegn mellem tælleren og $0$ og find rødderne af den resulterende ligning.
Lad os prøve rødderne, dvs. find gyldige værdier af variabler, der ikke gør nævneren til $0$.
Metode 2. Vi bruger den grundlæggende egenskab af proportioner
Hovedegenskaben ved proportion er, at produktet af proportionens ekstreme led er lig med produktet af mellemleddet.
Eksempel 2
Vi bruger denne ejendom til at løse denne opgave
\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]
1. Lad os finde og sidestille produktet af forholdets ekstreme og mellemste led.
$\venstre(2x+3\højre)\cdot(\ x+3)=\venstre(x-5\højre)\cdot(2x-1)$
\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]
Efter at have løst den resulterende ligning, vil vi finde rødderne til originalen
2. Lad os finde de acceptable værdier af variablen.
Fra den tidligere løsning (metode 1) har vi allerede fundet ud af, at alle værdier er acceptable undtagen $-3$ og $0,5$.
Efter at have fastslået, at den fundne rod er en gyldig værdi, fandt vi ud af, at $-0,2$ vil være roden.