Lad os fortsætte med at tale om løsning af ligninger. I denne artikel vil vi gå i detaljer om rationelle ligninger og løsningsprincipper rationelle ligninger med én variabel. Lad os først finde ud af, hvilken type ligninger der kaldes rationelle, give en definition af hele rationelle og fraktionelle rationelle ligninger og give eksempler. Dernæst vil vi få algoritmer til løsning af rationelle ligninger, og selvfølgelig overveje løsninger typiske eksempler med alle nødvendige forklaringer.
Sidenavigation.
Ud fra de angivne definitioner giver vi flere eksempler på rationelle ligninger. For eksempel er x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , alle rationelle ligninger.
Ud fra de viste eksempler er det klart, at rationelle ligninger, såvel som ligninger af andre typer, kan være med én variabel, eller med to, tre osv. variabler. I følgende punkter vi vil tale om at løse rationelle ligninger med én variabel. Løsning af ligninger i to variable og dem et stort antal fortjener særlig opmærksomhed.
Ud over at dividere rationelle ligninger med antallet af ukendte variable, er de også opdelt i heltal og brøk. Lad os give de tilsvarende definitioner.
Definition.
Den rationelle ligning kaldes hel, hvis både dens venstre og højre del er heltal rationelle udtryk.
Definition.
Hvis mindst en af delene af en rationel ligning er et brøkudtryk, kaldes en sådan ligning brøkdel rationel(eller fraktionel rationel).
Det er klart, at hele ligninger ikke indeholder division med en variabel, tværtimod indeholder rationelle brøkligninger nødvendigvis division med en variabel (eller en variabel i nævneren). Så 3 x+2=0 og (x+y)·(3·x2−1)+x=−y+0,5– det er hele rationelle ligninger, begge deres dele er hele udtryk. A og x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 er eksempler på rationelle brøkligninger.
Afsluttende dette punkt, lad os være opmærksomme på, at de lineære ligninger og andengradsligninger kendt til dette punkt er hele rationelle ligninger.
Løsning af hele ligninger
En af de vigtigste tilgange til at løse hele ligninger er at reducere dem til ækvivalente algebraiske ligninger. Dette kan altid gøres ved at udføre følgende ækvivalente transformationer af ligningen:
- først overføres udtrykket fra højre side af den oprindelige heltalsligning til venstre side Med modsat fortegn for at få nul på højre side;
- efter dette, på venstre side af ligningen den resulterende standard visning.
Resultatet er algebraisk ligning, hvilket svarer til den oprindelige heltalsligning. Altså i det meste simple sager at løse hele ligninger reduceres til at løse lineære eller andengradsligninger, og i almindelig sag– at løse en algebraisk ligning af grad n. For klarhedens skyld, lad os se på løsningen til eksemplet.
Eksempel.
Find rødderne til hele ligningen 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.
Løsning.
Lad os reducere løsningen af hele denne ligning til løsningen af en ækvivalent algebraisk ligning. For at gøre dette overfører vi først udtrykket fra højre side til venstre, som et resultat når vi frem til ligningen 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Og for det andet transformerer vi udtrykket dannet på venstre side til et standardform polynomium ved at udfylde det nødvendige: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Således reduceres løsning af den oprindelige heltalsligning til løsning af andengradsligningen x 2 −5·x−6=0.
Vi beregner dens diskriminant D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, den er positiv, hvilket betyder, at ligningen har to reelle rødder, som vi finder ved hjælp af formlen for rødderne af en andengradsligning:
For at være helt sikker, lad os gøre det kontrollere de fundne rødder af ligningen. Først tjekker vi roden 6, erstatter den i stedet for variablen x i den oprindelige heltalsligning: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, hvilket er det samme, 63=63. Det er rigtigt numerisk lighed, derfor er x=6 faktisk roden til ligningen. Nu tjekker vi roden −1, det har vi 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, hvorfra 0=0 . Når x=−1, bliver den oprindelige ligning også til en korrekt numerisk lighed, derfor er x=−1 også en rod af ligningen.
Svar:
6 , −1 .
Her skal det også bemærkes, at udtrykket "grad af hele ligningen" er forbundet med repræsentationen af en hel ligning i form af en algebraisk ligning. Lad os give den tilsvarende definition:
Definition.
Styrken i hele ligningen kaldes graden af en ækvivalent algebraisk ligning.
Ifølge denne definition har hele ligningen fra det foregående eksempel anden grad.
Dette kunne have været enden på at løse hele rationelle ligninger, hvis ikke for én ting…. Som bekendt er løsning af algebraiske ligninger med højere grad end den anden forbundet med betydelige vanskeligheder, og for ligninger med højere grad end den fjerde er der ingen generelle formler rødder. Derfor, at løse hele ligninger af den tredje, fjerde og mere høje grader Ofte må man ty til andre løsningsmetoder.
I sådanne tilfælde en tilgang til at løse hele rationelle ligninger baseret på faktoriseringsmetode. I dette tilfælde overholdes følgende algoritme:
- først sikrer de, at der er et nul på højre side af ligningen, for at gøre dette overfører de udtrykket fra højre side af hele ligningen til venstre;
- derefter præsenteres det resulterende udtryk på venstre side som et produkt af flere faktorer, hvilket giver os mulighed for at gå videre til et sæt af flere simplere ligninger.
Den givne algoritme til at løse en hel ligning gennem faktorisering kræver en detaljeret forklaring ved hjælp af et eksempel.
Eksempel.
Løs hele ligningen (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 -10 x+13) .
Løsning.
Først som sædvanlig overfører vi udtrykket fra højre side til venstre side af ligningen, og vi glemmer ikke at ændre tegnet, vi får (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 -10 x+13)=0 . Her er det helt indlysende, at det ikke er tilrådeligt at transformere venstre side af den resulterende ligning til et polynomium af standardformen, da dette vil give en algebraisk ligning af formens fjerde grad x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, hvis løsning er svær.
På den anden side er det tydeligt, at vi på venstre side af den resulterende ligning kan x 2 −10 x+13 , og derved præsentere det som et produkt. Vi har (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Den resulterende ligning svarer til den originale hele ligning, og den kan til gengæld erstattes af et sæt af to andengradsligninger x 2 −10·x+13=0 og x 2 −2·x−1=0. At finde deres rødder ved kendte formler rødder gennem diskriminant er ikke svært, rødderne er lige. De er de ønskede rødder til den oprindelige ligning.
Svar:
Også nyttig til at løse hele rationelle ligninger metode til at indføre en ny variabel. I nogle tilfælde giver det dig mulighed for at flytte til ligninger, hvis grad er lavere end graden af den oprindelige hele ligning.
Eksempel.
Find de rigtige rødder til en rationel ligning (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).
Løsning.
At reducere hele denne rationelle ligning til en algebraisk ligning er mildt sagt ikke en særlig god idé, da vi i dette tilfælde kommer til behovet for at løse en fjerdegradsligning, der ikke har rationelle rødder. Derfor bliver du nødt til at lede efter en anden løsning.
Her er det let at se, at man kan indføre en ny variabel y og erstatte udtrykket x 2 +3·x med den. Denne udskiftning fører os til hele ligningen (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , som efter at have flyttet udtrykket −2·(y−4) til venstre side og efterfølgende transformation af udtrykket dannet der, reduceres til en andengradsligning y 2 +4·y+3=0. Rødderne til denne ligning y=−1 og y=−3 er lette at finde, for eksempel kan de vælges ud fra sætningen omvendt til Vietas sætning.
Nu går vi videre til anden del af metoden til at introducere en ny variabel, det vil sige at udføre en omvendt udskiftning. Efter at have udført den omvendte substitution får vi to ligninger x 2 +3 x=−1 og x 2 +3 x=−3, som kan omskrives som x 2 +3 x+1=0 og x 2 +3 x+3 =0. Ved at bruge formlen for rødderne til en andengradsligning finder vi rødderne til den første ligning. Og den anden andengradsligning ikke har rigtige rødder, da dens diskriminant er negativ (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).
Svar:
Generelt, når vi har at gøre med hele ligninger af høje grader, skal vi altid være parate til at søge ikke-standard metode eller kunstig modtagelse at løse dem.
Løsning af rationelle brøkligninger
For det første vil det være nyttigt at forstå, hvordan man løser rationelle brøkligninger af formen , hvor p(x) og q(x) er heltals rationelle udtryk. Og så vil vi vise, hvordan man reducerer løsningen af andre fraktioneret rationelle ligninger til løsningen af ligninger af den angivne type.
En af tilgangene til at løse ligningen er baseret på følgende udsagn: numerisk brøk u/v , hvor v er et ikke-nul tal (ellers vil vi støde på , som er udefineret), er lig med nul, hvis og kun hvis dets tæller lig med nul, det vil sige, hvis og kun hvis u=0. I kraft af denne erklæring reduceres løsning af ligningen til at opfylde to betingelser p(x)=0 og q(x)≠0.
Denne konklusion svarer til følgende Algoritme til løsning af en rationel brøkligning. For at løse en rationel brøkligning af formen skal du bruge
- løs hele den rationelle ligning p(x)=0 ;
- og kontroller, om betingelsen q(x)≠0 er opfyldt for hver fundne rod, mens
- hvis sandt, så er denne rod roden af den oprindelige ligning;
- hvis den ikke er opfyldt, så er denne rod uvedkommende, dvs. den er ikke roden til den oprindelige ligning.
Lad os se på et eksempel på brug af den annoncerede algoritme, når vi løser en rationel brøkligning.
Eksempel.
Find rødderne til ligningen.
Løsning.
Dette er en rationel brøkligning, og af formen , hvor p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.
Ifølge algoritmen til løsning af rationelle brøkligninger af denne type skal vi først løse ligningen 3 x−2=0. Det her lineær ligning, hvis rod er x=2/3.
Det er tilbage at kontrollere for denne rod, det vil sige, kontrollere om den opfylder betingelsen 5 x 2 −2≠0. Vi erstatter tallet 2/3 i udtrykket 5 x 2 −2 i stedet for x, og vi får . Betingelsen er opfyldt, så x=2/3 er roden af den oprindelige ligning.
Svar:
2/3 .
Du kan nærme dig at løse en rationel brøkligning fra en lidt anden position. Denne ligning svarer til heltalsligningen p(x)=0 på variablen x i den oprindelige ligning. Det vil sige, at du kan holde dig til dette Algoritme til løsning af en rationel brøkligning :
- løs ligningen p(x)=0 ;
- find ODZ for variabel x;
- slå rødder tilhørende området acceptable værdier, - de er de ønskede rødder til den oprindelige rationelle brøkligning.
Lad os for eksempel løse en rationel brøkligning ved hjælp af denne algoritme.
Eksempel.
Løs ligningen.
Løsning.
Først løser vi andengradsligningen x 2 −2·x−11=0. Dens rødder kan beregnes ved hjælp af rodformlen for den lige anden koefficient, vi har D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Og .
For det andet finder vi ODZ for variablen x for den oprindelige ligning. Den består af alle tal, for hvilke x 2 +3·x≠0, hvilket er det samme som x·(x+3)≠0, hvorfra x≠0, x≠−3.
Det er tilbage at kontrollere, om rødderne fundet i det første trin er inkluderet i ODZ. Åbenbart ja. Derfor har den oprindelige rationelle brøkligning to rødder.
Svar:
Bemærk, at denne tilgang er mere rentabel end den første, hvis ODZ er let at finde, og er især fordelagtig, hvis rødderne af ligningen p(x) = 0 er irrationelle, for eksempel eller rationelle, men med en ret stor tæller og /eller nævner, for eksempel 127/1101 og −31/59. Dette skyldes det faktum, at kontrol af betingelsen q(x)≠0 i sådanne tilfælde vil kræve betydelig beregningsindsats, og det er lettere at udelukke fremmede rødder ved hjælp af ODZ.
I andre tilfælde, når man løser ligningen, især når rødderne af ligningen p(x) = 0 er heltal, er det mere rentabelt at bruge den første af de givne algoritmer. Det vil sige, at det er tilrådeligt straks at finde rødderne af hele ligningen p(x)=0 og derefter kontrollere, om betingelsen q(x)≠0 er opfyldt for dem, i stedet for at finde ODZ'en og derefter løse ligningen p(x)=0 på denne ODZ. Dette skyldes, at det i sådanne tilfælde normalt er nemmere at tjekke end at finde DZ.
Lad os overveje løsningen af to eksempler for at illustrere de specificerede nuancer.
Eksempel.
Find rødderne til ligningen.
Løsning.
Lad os først finde rødderne til hele ligningen (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, sammensat ved hjælp af brøkens tæller. Den venstre side af denne ligning er et produkt, og den højre side er nul, derfor, ifølge metoden til at løse ligninger gennem faktorisering, svarer denne ligning til et sæt af fire ligninger 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tre af disse ligninger er lineære og en er kvadratisk; vi kan løse dem. Fra den første ligning finder vi x=1/2, fra den anden - x=6, fra den tredje - x=7, x=−2, fra den fjerde - x=−1.
Med de fundne rødder er det ret nemt at kontrollere, om nævneren af brøken på venstre side af den oprindelige ligning forsvinder, men at bestemme ODZ er tværtimod ikke så simpelt, da du for dette skal løse en algebraisk ligning af femte grad. Lad os derfor give op finde ODZ til fordel for at tjekke rødderne. For at gøre dette erstatter vi dem én efter én i stedet for variablen x i udtrykket x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, opnået efter substitution, og sammenlign dem med nul: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112=
122+1/32≠0
;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0
;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0.
Således er 1/2, 6 og −2 de ønskede rødder af den oprindelige rationelle brøkligning, og 7 og −1 er uvedkommende rødder.
Svar:
1/2 , 6 , −2 .
Eksempel.
Find rødderne til en rationel brøkligning.
Løsning.
Lad os først finde rødderne til ligningen (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Denne ligning svarer til et sæt af to ligninger: kvadrat 5 x 2 −7 x−1=0 og lineær x−2=0. Ved at bruge formlen for rødderne til en andengradsligning finder vi to rødder, og fra den anden ligning har vi x=2.
At kontrollere, om nævneren går til nul ved de fundne værdier af x, er ret ubehageligt. Og at bestemme intervallet af tilladte værdier for variablen x i den oprindelige ligning er ret simpelt. Derfor vil vi handle gennem ODZ.
I vores tilfælde består ODZ af variablen x i den oprindelige rationelle brøkligning af alle tal undtagen dem, for hvilke betingelsen x 2 +5·x−14=0 er opfyldt. Rødderne til denne andengradsligning er x=−7 og x=2, hvorfra vi drager en konklusion om ODZ: den består af alle x således, at .
Det er tilbage at kontrollere, om de fundne rødder og x=2 tilhører rækken af acceptable værdier. Rødderne hører til, derfor er de rødder til den oprindelige ligning, og x=2 hører ikke til, derfor er det en uvedkommende rod.
Svar:
Det vil også være nyttigt at dvæle separat ved de tilfælde, hvor der i en rationel brøkligning af formen er et tal i tælleren, det vil sige, når p(x) er repræsenteret af et eller andet tal. Hvori
- hvis dette tal er ikke-nul, så har ligningen ingen rødder, da en brøk er lig med nul, hvis og kun hvis dens tæller er lig med nul;
- hvis dette tal er nul, så er roden af ligningen et hvilket som helst tal fra ODZ.
Eksempel.
Løsning.
Da tælleren for brøken på venstre side af ligningen indeholder et tal, der ikke er nul, kan værdien af denne brøk for enhver x ikke være lig med nul. Derfor har denne ligning ingen rødder.
Svar:
ingen rødder.
Eksempel.
Løs ligningen.
Løsning.
Tælleren for brøken på venstre side af denne rationelle brøkligning indeholder nul, så værdien af denne brøk er nul for enhver x, som den giver mening. Med andre ord er løsningen til denne ligning en hvilken som helst værdi af x fra ODZ for denne variabel.
Det er tilbage at bestemme dette interval af acceptable værdier. Det inkluderer alle værdier af x, for hvilke x 4 +5 x 3 ≠0. Løsningerne til ligningen x 4 +5 x 3 =0 er 0 og −5, da denne ligning er ækvivalent med ligningen x 3 (x+5)=0, og den igen svarer til kombinationen af to ligninger x 3 =0 og x +5=0, hvorfra disse rødder er synlige. Derfor er det ønskede interval af acceptable værdier enhver x undtagen x=0 og x=−5.
En rationel brøkligning har således uendeligt mange løsninger, som er alle tal undtagen nul og minus fem.
Svar:
Endelig er det tid til at tale om løsning af rationelle brøkligninger vilkårlig type. De kan skrives som r(x)=s(x), hvor r(x) og s(x) er rationelle udtryk, og mindst et af dem er fraktioneret. Når vi ser fremad, så lad os sige, at deres løsning kommer ned på at løse ligninger af den form, vi allerede kender.
Det er kendt, at overførsel af et led fra en del af ligningen til en anden med det modsatte fortegn fører til en ækvivalent ligning, derfor er ligningen r(x)=s(x) ækvivalent med ligningen r(x)−s(x) )=0.
Vi ved også, at enhver , identisk med dette udtryk, er mulig. Således kan vi altid transformere det rationelle udtryk på venstre side af ligningen r(x)−s(x)=0 til en identisk lige rationel brøkdel af formen .
Så vi flytter fra den oprindelige rationelle brøkligning r(x)=s(x) til ligningen, og dens løsning, som vi fandt ud af ovenfor, reduceres til at løse ligningen p(x)=0.
Men her er det nødvendigt at tage højde for det faktum, at når du erstatter r(x)−s(x)=0 med , og derefter med p(x)=0, kan intervallet af tilladte værdier for variablen x udvides .
Følgelig kan den oprindelige ligning r(x)=s(x) og ligningen p(x)=0, som vi nåede frem til, vise sig at være ulige, og ved at løse ligningen p(x)=0 kan vi få rødder det vil være uvedkommende rødder af den oprindelige ligning r(x)=s(x) . Du kan identificere og ikke inkludere uvedkommende rødder i svaret enten ved at udføre en kontrol eller ved at kontrollere, at de tilhører ODZ i den oprindelige ligning.
Lad os opsummere disse oplysninger i algoritme til løsning af rationel brøkligning r(x)=s(x). For at løse den rationelle brøkligning r(x)=s(x) skal du bruge
- Få nul til højre ved at flytte udtrykket fra højre side med det modsatte fortegn.
- Udfør operationer med brøker og polynomier i venstre side af ligningen og transformer den derved til en rationel brøkdel af formen.
- Løs ligningen p(x)=0.
- Identificer og eliminer uvedkommende rødder, hvilket gøres ved at erstatte dem i den oprindelige ligning eller ved at kontrollere deres tilhørsforhold til ODZ af den oprindelige ligning.
For større klarhed vil vi vise hele kæden af løsning af rationelle brøkligninger:
.
Lad os se på løsningerne i flere eksempler med en detaljeret forklaring af løsningsprocessen for at tydeliggøre den givne informationsblok.
Eksempel.
Løs en rationel brøkligning.
Løsning.
Vi vil handle i overensstemmelse med den netop opnåede løsningsalgoritme. Og først flytter vi vilkårene fra højre side af ligningen til venstre, som et resultat går vi videre til ligningen.
I det andet trin skal vi konvertere det rationelle brøkudtryk på venstre side af den resulterende ligning til form af en brøk. For at gøre dette udfører vi en cast rationelle brøker Til fællesnævner og forenkle det resulterende udtryk: . Så kommer vi til ligningen.
På næste fase vi skal løse ligningen −2·x−1=0. Vi finder x=−1/2.
Det er tilbage at kontrollere, om det fundne tal −1/2 ikke er en uvedkommende rod af den oprindelige ligning. For at gøre dette kan du kontrollere eller finde VA af variablen x i den oprindelige ligning. Lad os demonstrere begge tilgange.
Lad os starte med at tjekke. Vi erstatter tallet −1/2 i den oprindelige ligning i stedet for variablen x, og vi får det samme, −1=−1. Substitutionen giver den korrekte numeriske lighed, så x=−1/2 er roden af den oprindelige ligning.
Nu vil vi vise, hvordan det sidste punkt i algoritmen udføres gennem ODZ. Området af tilladte værdier af den oprindelige ligning er mængden af alle tal undtagen −1 og 0 (ved x=−1 og x=0 forsvinder nævnerne af brøkerne). Roden x=−1/2 fundet i det foregående trin tilhører ODZ, derfor er x=−1/2 roden af den oprindelige ligning.
Svar:
−1/2 .
Lad os se på et andet eksempel.
Eksempel.
Find rødderne til ligningen.
Løsning.
Vi skal løse en rationel brøkligning, lad os gennemgå alle trinene i algoritmen.
Først flytter vi udtrykket fra højre side til venstre, vi får .
For det andet transformerer vi udtrykket dannet på venstre side: . Som et resultat kommer vi frem til ligningen x=0.
Dens rod er indlysende - den er nul.
På det fjerde trin er det tilbage at finde ud af, om den fundne rod er uvedkommende i forhold til den oprindelige rationelle fraktionelle ligning. Når det er substitueret i den oprindelige ligning, opnås udtrykket. Det giver selvfølgelig ikke mening, fordi det indeholder division med nul. Hvorfra konkluderer vi, at 0 er en uvedkommende rod. Derfor har den oprindelige ligning ingen rødder.
7, hvilket fører til lign. Heraf kan vi slutte, at udtrykket i nævneren for venstre side skal være lig med højre sides, dvs. Nu trækker vi fra begge sider af trippelen:. I analogi, hvorfra og videre.
Kontrollen viser, at begge fundne rødder er rødder af den oprindelige rationelle brøkligning.
Svar:
Bibliografi.
- Algebra: lærebog for 8. klasse. almen uddannelse institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigeret af S. A. Telyakovsky. - 16. udg. - M.: Uddannelse, 2008. - 271 s. : syg. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Algebra. 8. klasse. Kl. 14. Del 1. Lærebog for elever uddannelsesinstitutioner/ A. G. Mordkovich. - 11. udg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebra: 9. klasse: pædagogisk. til almen uddannelse institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigeret af S. A. Telyakovsky. - 16. udg. - M.: Uddannelse, 2009. - 271 s. : syg. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Oplæg og lektion om emnet: "Rationelle ligninger. Algoritme og eksempler på løsning af rationelle ligninger"
Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.
Pædagogiske hjælpemidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 8. klasse
En manual til lærebogen af Makarychev Yu.N. En manual til lærebogen af Mordkovich A.G.
Introduktion til irrationelle ligninger
Gutter, vi lærte at løse andengradsligninger. Men matematik er ikke begrænset til kun dem. I dag vil vi lære at løse rationelle ligninger. Begrebet rationelle ligninger ligner på mange måder begrebet rationelle tal. Kun ud over tal, har vi nu introduceret en eller anden variabel $x$. Og dermed får vi et udtryk, hvor operationerne addition, subtraktion, multiplikation, division og hæve til en heltalspotens er til stede.Lad $r(x)$ være rationelt udtryk. Et sådant udtryk kan være et simpelt polynomium i variablen $x$ eller et forhold mellem polynomier (en divisionsoperation er indført, som for rationelle tal).
Ligningen $r(x)=0$ kaldes rationel ligning.
Enhver ligning af formen $p(x)=q(x)$, hvor $p(x)$ og $q(x)$ er rationelle udtryk, vil også være rationel ligning.
Lad os se på eksempler på løsning af rationelle ligninger.
Eksempel 1.Løs ligningen: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.
Løsning.
Lad os flytte alle udtrykkene til venstre side: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Hvis venstre side af ligningen var repræsenteret almindelige tal, så ville vi bringe to brøker til en fællesnævner.
Lad os gøre dette: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Vi fik ligningen: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.
En brøk er lig med nul, hvis og kun hvis brøkens tæller er nul, og nævneren er ikke-nul. Derefter sidestiller vi separat tælleren med nul og finder rødderne af tælleren.
$3(x^2+2x-3)=0$ eller $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Lad os nu tjekke nævneren for brøken: $(x-3)*x≠0$.
Produktet af to tal er lig nul, når mindst et af disse tal er lig nul. Derefter: $x≠0$ eller $x-3≠0$.
$x≠0$ eller $x≠3$.
Rødderne opnået i tæller og nævner er ikke sammenfaldende. Så vi skriver begge rødder af tælleren ned i svaret.
Svar: $x=1$ eller $x=-3$.
Hvis en af tællerens rødder pludselig falder sammen med roden af nævneren, skal den udelukkes. Sådanne rødder kaldes uvedkommende!
Algoritme til løsning af rationelle ligninger:
1. Overfør alle udtryk indeholdt i ligningen til venstre side fra lighedstegnet.2. Konverter denne del af ligningen til algebraisk brøk: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Sæt lighedstegn mellem den resulterende tæller med nul, det vil sige løs ligningen $p(x)=0$.
4. Sæt lighedstegn mellem nævneren og nul, og løs den resulterende ligning. Hvis nævnerens rødder falder sammen med tællerens rødder, skal de udelukkes fra svaret.
Eksempel 2.
Løs ligningen: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.
Løsning.
Lad os løse i henhold til algoritmens punkter.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Sæt lighedstegn mellem tælleren og nul: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Sæt lighedstegn mellem nævneren og nul:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ og $x=-1$.
En af rødderne $x=1$ falder sammen med tællerens rod, så skriver vi den ikke ned i svaret.
Svar: $x=-1$.
Det er praktisk at løse rationelle ligninger ved hjælp af ændring af variable-metoden. Lad os demonstrere dette.
Eksempel 3.
Løs ligningen: $x^4+12x^2-64=0$.
Løsning.
Lad os introducere erstatningen: $t=x^2$.
Så vil vores ligning have formen:
$t^2+12t-64=0$ - almindelig andengradsligning.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
Lad os introducere den omvendte substitution: $x^2=4$ eller $x^2=-16$.
Rødderne af den første ligning er et talpar $x=±2$. Den anden ting er, at den ikke har nogen rødder.
Svar: $x=±2$.
Eksempel 4.
Løs ligningen: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Løsning.
Lad os introducere en ny variabel: $t=x^2+x+1$.
Så vil ligningen have formen: $t=\frac(15)(t+2)$.
Dernæst vil vi fortsætte i henhold til algoritmen.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - rødderne falder ikke sammen.
Lad os introducere en omvendt substitution.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Lad os løse hver ligning separat:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nej rødder.
Og den anden ligning: $x^2+x-2=0$.
Rødder givet ligning der vil være tal $x=-2$ og $x=1$.
Svar: $x=-2$ og $x=1$.
Eksempel 5.
Løs ligningen: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.
Løsning.
Lad os introducere erstatningen: $t=x+\frac(1)(x)$.
Derefter:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ eller $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Vi fik ligningen: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Rødderne til denne ligning er parret:
$t=-3$ og $t=2$.
Lad os introducere den omvendte substitution:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Vi afgør separat.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Lad os løse den anden ligning:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Roden af denne ligning er tallet $x=1$.
Svar: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.
Problemer, der skal løses selvstændigt
Løs ligninger:1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.
I denne artikel vil jeg vise dig algoritmer til løsning af syv typer rationelle ligninger, som kan reduceres til kvadratisk ved at ændre variable. I de fleste tilfælde er de transformationer, der fører til udskiftning, meget ikke-trivielle, og det er ret svært at gætte om dem på egen hånd.
For hver type ligning vil jeg forklare, hvordan man laver en ændring af variabel i den, og derefter vise en detaljeret løsning i den tilsvarende video tutorial.
Du har mulighed for selv at blive ved med at løse ligningerne, og derefter tjekke din løsning med videolektionen.
Så lad os begynde.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Bemærk, at der i venstre side af ligningen er et produkt af fire parenteser, og på højre side er der et tal.
1. Lad os gruppere parenteserne i to, så summen af de frie led er den samme.
2. Gang dem.
3. Lad os introducere en ændring af variabel.
I vores ligning vil vi gruppere den første parentes med den tredje, og den anden med den fjerde, da (-1)+(-4)=(-7)+2:
På dette tidspunkt bliver den variable erstatning indlysende:
Vi får ligningen 
Svar: 
2 .
En ligning af denne type ligner den foregående med én forskel: på højre side af ligningen er produktet af tallet og . Og det er løst på en helt anden måde:
1. Vi grupperer parenteserne i to, så produktet af de frie vilkår er det samme.
2. Gang hvert par parenteser.
3. Vi tager x ud af hver faktor.
4. Divider begge sider af ligningen med .
5. Vi indfører en ændring af variabel.
I denne ligning grupperer vi den første parentes med den fjerde, og den anden med den tredje, da:
Bemærk, at i hver parentes er koefficienten ved og frileddet de samme. Lad os tage en faktor ud af hver parentes:
Da x=0 ikke er en rod af den oprindelige ligning, dividerer vi begge sider af ligningen med . Vi får:
Vi får ligningen: 
Svar: 
3
. 
Bemærk, at nævnerne for begge brøker er firkantede trinomialer, hvor den førende koefficient og den frie term er den samme. Lad os tage x ud af parentesen, som i ligningen for den anden type. Vi får:
Divider tælleren og nævneren for hver brøk med x:
Nu kan vi introducere en variabel erstatning:
Vi får en ligning for variablen t:
4 .
Bemærk, at koefficienterne i ligningen er symmetriske i forhold til den centrale. Denne ligning kaldes returneres .
For at løse det,
1. Divider begge sider af ligningen med (Det kan vi gøre, da x=0 ikke er en rod af ligningen.) Vi får:
2. Lad os gruppere termerne på denne måde:
3. Lad os i hver gruppe tage den fælles faktor ud af parentes:
4. Lad os introducere erstatningen:
5. Udtryk gennem t udtrykket:
Herfra 
Vi får ligningen for t:
Svar:
5. Homogene ligninger.
Ligninger, der har en homogen struktur, kan man støde på, når man løser eksponentiel, logaritmisk og trigonometriske ligninger, så du skal kunne genkende det.
Homogene ligninger har følgende struktur:
I denne lighed er A, B og C tal, og kvadratet og cirklen angiver identiske udtryk. Det vil sige, på venstre side af en homogen ligning er der en sum af monomialer, der har samme grad(V I dette tilfælde graden af monomialerne er 2), og der er ingen fri term.
At løse homogen ligning, divider begge sider med
Opmærksomhed! Når du dividerer højre og venstre side af en ligning med et udtryk, der indeholder en ukendt, kan du miste rødder. Derfor er det nødvendigt at kontrollere, om rødderne af det udtryk, som vi deler begge sider af ligningen med, er rødderne af den oprindelige ligning.
Lad os gå den første vej. Vi får ligningen:
Nu introducerer vi variabel erstatning:
Lad os forenkle udtrykket og få biquadratisk ligning i forhold til t:
Svar: eller
7
. 
Denne ligning har følgende struktur:
For at løse det skal du vælge en komplet firkant i venstre side af ligningen.
For at vælge en fuld firkant skal du tilføje eller trække to gange produktet fra. Så får vi kvadratet af summen eller forskellen. Dette er afgørende for vellykket udskiftning af variabel.
Lad os starte med at finde det dobbelte af produktet. Dette vil være nøglen til at erstatte variablen. I vores ligning er to gange produktet lig med
Lad os nu finde ud af, hvad der er mere bekvemt for os at have - kvadratet af summen eller forskellen. Lad os først overveje summen af udtryk:
Store! Dette udtryk er nøjagtigt lig med det dobbelte af produktet. Derefter, for at få kvadratet af summen i parentes, skal du tilføje og trække dobbeltproduktet fra:
Et heltalsudtryk er et matematisk udtryk, der består af tal og bogstavelige variable ved hjælp af operationerne addition, subtraktion og multiplikation. Heltal inkluderer også udtryk, der involverer division med et hvilket som helst andet tal end nul.
Begrebet et fraktioneret rationelt udtryk
Et brøkudtryk er et matematisk udtryk, der udover operationerne addition, subtraktion og multiplikation udført med tal og bogstavvariable, samt division med et tal ikke lig med nul, også indeholder division i udtryk med bogstavvariable.
Rationelle udtryk er alle hele og brøkudtryk. Rationelle ligninger er ligninger, hvor venstre og højre side er rationelle udtryk. Hvis venstre og højre side i en rationel ligning er heltalsudtryk, så kaldes en sådan rationel ligning et heltal.
Hvis i en rationel ligning er venstre eller højre side brøkudtryk, så kaldes en sådan rationel ligning brøkdel.
Eksempler på rationelle brøkudtryk
1. x-3/x = -6*x+19
2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)
3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
Skema til løsning af en rationel brøkligning
1. Find fællesnævneren for alle brøker, der indgår i ligningen.
2. Gang begge sider af ligningen med en fællesnævner.
3. Løs den resulterende hele ligning.
4. Tjek rødderne og udelad dem, der får fællesnævneren til at forsvinde.
Da vi løser rationelle brøkligninger, vil der være variable i brøkernes nævnere. Det betyder, at de bliver en fællesnævner. Og i det andet punkt i algoritmen multiplicerer vi med en fællesnævner, så kan der opstå uvedkommende rødder. Ved hvilken fællesnævneren vil være lig med nul, hvilket betyder at gange med det vil være meningsløst. Derfor er det i slutningen nødvendigt at kontrollere de opnåede rødder.
Lad os se på et eksempel:
Løs den rationelle brøkligning: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
Vi vil holde os til almindelig ordning: Lad os først finde fællesnævneren for alle brøker. Vi får x*(x-5).
Gang hver brøk med en fællesnævner og skriv den resulterende hele ligning.
(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
Lad os forenkle den resulterende ligning. Vi får:
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
Vi får en simpel reduceret andengradsligning. Vi løser det med nogen af kendte metoder, får vi rødderne x=-2 og x=5.
Nu tjekker vi de opnåede løsninger:
Sæt tallene -2 og 5 ind i fællesnævneren. Ved x=-2 forsvinder fællesnævneren x*(x-5) ikke, -2*(-2-5)=14. Det betyder, at tallet -2 vil være roden til den oprindelige rationelle brøkligning.
Når x=5 bliver fællesnævneren x*(x-5). lig med nul. Derfor er dette tal ikke roden til den oprindelige rationelle brøkligning, da der vil være en division med nul.
\(\bullet\) En rationel ligning er en ligning repræsenteret i formen \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] hvor \(P(x), \Q(x)\ ) - polynomier (summen af "X'er" i forskellige potenser, ganget med forskellige tal).
Udtrykket i venstre side af ligningen kaldes et rationelt udtryk.
EA (interval af acceptable værdier) af en rationel ligning er alle værdierne af \(x\), hvor nævneren IKKE forsvinder, det vil sige \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) For eksempel ligninger \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] er rationelle ligninger.
Først og fremmest ODZ-ligning– disse er alle \(x\) sådan at \(x\ne 3\) (skriv \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); i den anden ligning – disse er alle \(x\) sådan at \(x\ne -1; x\ne 1\) (skriv \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); og i den tredje ligning er der ingen begrænsninger på ODZ, det vil sige, at ODZ er alle \(x\) (de skriver \(x\in\mathbb(R)\)). \(\bullet\) Sætning:
1) Produktet af to faktorer er lig med nul, hvis og kun hvis en af dem er lig med nul, og den anden ikke mister betydning, derfor ligningen \(f(x)\cdot g(x)=0\ ) svarer til systemet \[\begin(cases) \venstre[ \begin(samlet)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(samlet) \right.\\ \ tekst(ODZ-ligninger)\end(cases)\] 2) En brøk er lig med nul, hvis og kun hvis tælleren er lig nul, og nævneren ikke er lig med nul, derfor er ligningen \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) svarer til et ligningssystem \[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]\(\bullet\) Lad os se på et par eksempler.
1) Løs ligningen \(x+1=\dfrac 2x\) . Lad os finde ODZ af denne ligning - dette er \(x\ne 0\) (da \(x\) er i nævneren).
Det betyder, at ODZ kan skrives som følger: .
Lad os flytte alle termerne til én del og bringe dem til en fællesnævner: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( cases) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(cases)\] Løsningen til den første ligning i systemet vil være \(x=-2, x=1\) . Vi ser, at begge rødder er ikke-nul. Derfor er svaret: \(x\in \(-2;1\)\) .
2) Løs ligningen \(\venstre(\dfrac4x - 2\højre)\cdot (x^2-x)=0\). Lad os finde ODZ af denne ligning. Vi ser, at den eneste værdi af \(x\), som venstre side ikke giver mening for, er \(x=0\) . Så ODZ kan skrives sådan: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Således svarer denne ligning til systemet:
\[\begin(cases) \left[ \begin(samlet)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(samlet) \right. \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(samlet)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(justed) \end(samlet) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(samlet)\begin(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(justed) \end(samlet) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(samlet) \begin(aligned) &x=2\\ &x=1 \end(aligned) \end(samlet) \right.\] Faktisk, på trods af at \(x=0\) er roden til den anden faktor, hvis du erstatter \(x=0\) i den oprindelige ligning, vil det ikke give mening, fordi udtryk \(\dfrac 40\) er ikke defineret.
Løsningen til denne ligning er således \(x\in \(1;2\)\) .
3) Løs ligningen \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] I vores ligning \(4x^2-1\ne 0\) , hvorfra \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , det vil sige \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
Lad os flytte alle udtryk til venstre og bringe dem til en fællesnævner:
\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(samlet) \begin( justeret) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(aligned)\end(samlet) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Venstre højrepil \quad x=-3\)
Svar: \(x\in \(-3\)\) .
Kommentar. Hvis svaret består af et begrænset sæt tal, så kan de skrives adskilt af semikolon i krøllede parenteser, som vist i de foregående eksempler.
Problemer, der kræver løsning af rationelle ligninger, støder på hvert år i Unified State Examination i matematik, så når de forbereder sig på at bestå certificeringstesten, bør kandidater helt sikkert gentage teorien om dette emne på egen hånd. Kandidater tager både det grundlæggende og profil niveau eksamen. At have mestret teorien og beskæftiget sig med praktiske øvelser om emnet "Rationelle ligninger", vil eleverne være i stand til at løse problemer med et vilkårligt antal handlinger og regne med at modtage konkurrenceresultater baseret på resultaterne af at bestå Unified State Exam.
Hvordan forbereder man sig til eksamen ved hjælp af Shkolkovo uddannelsesportal?
Nogle gange kan du finde en kilde, der fuldt ud præsenterer den grundlæggende teori til løsning matematiske problemer viser sig at være ret svært. Lærebogen er måske simpelthen ikke lige ved hånden. Og find nødvendige formler nogle gange kan det være ret svært selv på internettet.
Shkolkovo uddannelsesportal vil fritage dig for behovet for at søge det nødvendige materiale og vil hjælpe dig med at forberede dig godt til at bestå certificeringstesten.
Alle nødvendig teori om emnet "Rationelle ligninger" forberedte og præsenterede vores specialister maksimalt tilgængelig form. Efter at have studeret den præsenterede information, vil eleverne være i stand til at udfylde huller i viden.
Til vellykket forberedelse Til Unified State Examination for kandidater det er nødvendigt ikke kun at friske op på det grundlæggende teoretisk materiale om emnet "Rationelle ligninger", men at øve sig i at udføre opgaver på konkrete eksempler. Et stort udvalg af opgaver præsenteres i afsnittet "Katalog".
For hver øvelse på siden har vores eksperter skrevet en løsningsalgoritme og angivet det rigtige svar. Eleverne kan øve sig i at løse problemer varierende grader vanskeligheder afhængigt af træningsniveauet. Listen over opgaver i det tilsvarende afsnit suppleres og opdateres løbende.
Studer teoretisk materiale og finpuds problemløsningsfærdigheder om emnet "Rationelle ligninger", svarende til dem, der er inkluderet i Unified State Exam tests, kan gøres online. Om nødvendigt kan enhver af de præsenterede opgaver føjes til sektionen "Favoritter". Gentager igen grundlæggende teori om emnet "Rationelle ligninger", vil en gymnasieelev være i stand til at vende tilbage til problemet i fremtiden for at diskutere fremskridtet med dets løsning med læreren i en algebra-lektion.