Lektionens emne: "Homogene trigonometriske ligninger"
(10. klasse)
Mål: introducere begrebet homogen trigonometriske ligninger I og II grader; formulere og udarbejde en algoritme til løsning af homogene trigonometriske ligninger af grader I og II; lære eleverne at løse homogene trigonometriske ligninger af grader I og II; udvikle evnen til at identificere mønstre og generalisere; stimulere interessen for emnet, udvikle en følelse af solidaritet og sund konkurrence.
Lektionstype: lektion i dannelse af ny viden.
Form: arbejde i grupper.
Udstyr: computer, multimedieinstallation
Under timerne
Organisering af tid
Hils på studerende, mobilisering af opmærksomhed.
Ved lektionen rating system vidensvurdering (læreren forklarer videnvurderingssystemet og udfylder vurderingsarket af en uafhængig ekspert udvalgt af læreren blandt eleverne). Lektionen ledsages af et oplæg. .
Opdatering af grundlæggende viden.
Hjemmearbejde kontrolleres og bedømmes af en uafhængig ekspert og konsulenter før undervisningen og afsluttes evalueringspapir.
Læreren opsummerer lektierne.
Lærer: Vi fortsætter med at studere emnet "Trigonometriske ligninger". I dag i lektionen vil vi introducere dig til en anden type trigonometriske ligninger og metoder til at løse dem, og derfor vil vi gentage, hvad vi har lært. Når man løser alle typer trigonometriske ligninger, reduceres de til at løse de enkleste trigonometriske ligninger.
Individuelle lektier udført i grupper kontrolleres. Forsvar af præsentationen "Løsninger af de enkleste trigonometriske ligninger"
(Gruppens arbejde vurderes af en uafhængig ekspert)
Motivation til læring.
Lærer: Vi har arbejde at gøre for at løse krydsordet. Når vi har løst det, finder vi ud af navnet på en ny type ligninger, som vi skal lære at løse i dag i klassen.
Spørgsmål projiceres ind på tavlen. Eleverne gætter, og en uafhængig ekspert indtaster scorerne for de elever, der svarer, på resultatarket.
Efter at have løst krydsordet, vil børnene læse ordet "homogen".
Assimilering af ny viden.
Lærer: Emnet for lektionen er "Homogene trigonometriske ligninger."
Lad os skrive lektionens emne ned i en notesbog. Homogene trigonometriske ligninger er af første og anden grad.
Lad os skrive definitionen ned homogen ligning første grad. Jeg viser et eksempel på løsning af denne type ligning; du laver en algoritme til at løse en homogen trigonometrisk ligning af første grad.
Formens ligning EN sinx + b cosx = 0 kaldes en homogen trigonometrisk ligning af første grad.
Lad os overveje løsningen til ligningen, når koefficienterne EN Og V er forskellige fra 0.
Eksempel: sinx + cosx = 0
R 
dividere begge sider af ligningsleddet med cosx, får vi
Opmærksomhed! Du kan kun dividere med 0, hvis dette udtryk ikke bliver til 0 nogen steder. Lad os analysere. Hvis cosinus er lig med 0, så vil sinus også være lig med 0, givet at koefficienterne er forskellige fra 0, men vi ved at sinus og cosinus går til nul i forskellige punkter. Derfor kan denne operation udføres, når man løser denne type ligning.
Algoritme til løsning af en homogen trigonometrisk ligning af første grad: at dividere begge sider af ligningen med cosx, cosx 0
Formens ligning EN sin mx +b cos mx = 0 også kaldet en homogen trigonometrisk ligning af første grad og løser også divisionen af begge sider af ligningen med cosinus mx.
Formens ligning -en synd 2 x+b sinx cosx +c cos2x = 0 kaldes en homogen trigonometrisk ligning af anden grad.
Eksempel : synd 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0
Koefficient a er forskellig fra 0, og derfor er cosx, ligesom den foregående ligning, ikke lig med 0, og derfor kan man bruge metoden til at dividere begge sider af ligningen med cos 2 x.
Vi får tg 2 x + 2tgx – 3 = 0
Vi løser ved at indføre en ny variabel lad tgx = a, så får vi ligningen
a 2 + 2a – 3 = 0
D = 4 – 4 (–3) = 16
a 1 = 1 a 2 = –3
Tilbage til udskiftning
Svar:
Hvis koefficienten a = 0, så vil ligningen have formen 2sinx cosx – 3cos2x = 0, vi løser det ved hjælp af subtraktionsmetoden fælles multiplikator cosx uden for parentes. Hvis koefficienten c = 0, så har ligningen formen sin2x +2sinx cosx = 0, vi løser det ved at tage den fælles faktor sinx ud af parentes. Algoritme til løsning af en homogen trigonometrisk ligning af første grad:
Se om ligningen indeholder asin2 x-leddet.
Hvis udtrykket asin2 x er indeholdt i ligningen (dvs. en 0), så løses ligningen ved at dividere begge sider af ligningen med cos2x og derefter indføre en ny variabel.
Hvis udtrykket asin2 x ikke er indeholdt i ligningen (dvs. a = 0), så løses ligningen ved faktorisering: cosx er taget ud af parentes. Homogene ligninger på formen a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 løses på samme måde
Algoritmen til løsning af homogene trigonometriske ligninger er skrevet i lærebogen på side 102.
Idrætsminut
Dannelse af færdigheder til at løse homogene trigonometriske ligninger
Åbning af problembøger side 53
1. og 2. gruppe beslutter nr. 361-v
3. og 4. gruppe beslutter nr. 363-v
Vis løsningen på tavlen, forklar, suppler. En uafhængig ekspert evaluerer.
Løsningseksempler fra opgavebog nr. 361-v
sinx – 3cosx = 0
vi dividerer begge sider af ligningen med cosx 0, får vi 
nr. 363-v
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
divider begge sider af ligningen med cos2x, vi får tg2x + tanx – 2 = 0
løses ved at indføre en ny variabel
lad tgx = a, så får vi ligningen
a2 + a – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
tilbage til udskiftning
Selvstændigt arbejde.
Løs ligningerne.
2 cosx – 2 = 0
2cos2x – 3cosx +1 = 0
3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0
Ved afslutningen selvstændigt arbejde skifte job og gensidig kontrol. De rigtige svar projiceres på tavlen.
Så overdrager de det til en uafhængig ekspert.
Gør det selv løsning
Opsummering af lektionen.
Hvilken type trigonometriske ligninger lærte vi om i klassen?
Algoritme til løsning af trigonometriske ligninger af første og anden grad.
Lektier: § 20.3 læst. nr. 361(d), 363(b), øget sværhedsgrad desuden nr. 380(a).
Krydsord.
Hvis du kommer ind sande ord, så får du navnet på en af typerne af trigonometriske ligninger.
Værdien af den variabel, der gør ligningen til ægte ligestilling? (Rod)
Måleenhed for vinkler? (Radian)
Numerisk faktor i et produkt? (koefficient)
Filial af matematik studerer trigonometriske funktioner? (Trigonometri)
Hvilken matematisk model nødvendigt for at introducere trigonometriske funktioner? (Cirkel)
Hvilken trigonometrisk funktion er lige? (Cosinus)
Hvad kaldes en ægte ligestilling? (Identitet)
Ligestilling med en variabel? (ligningen)
Ligninger der har identiske rødder? (tilsvarende)
Sæt af rødder til en ligning ? (Løsning)
Evalueringspapir
№
n\n
Efternavn, fornavn på læreren
Præsentation
Kognitiv aktivitet
studerer
Løsning af ligninger
Uafhængig
Job
Hjemmearbejde – 12 point (3 ligninger 4 x 3 = 12 blev tildelt til lektier)
Præsentation – 1 point
Elevaktivitet – 1 svar – 1 point (maks. 4 point)
Løsning af ligninger 1 point
Selvstændigt arbejde – 4 point
Gruppevurdering:
"5" - 22 point eller mere
“4” – 18 – 21 point
“3” – 12 – 17 point
Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.
Indsamling og brug af personlige oplysninger
Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.
Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.
Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.
Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:
- Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse E-mail etc.
Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:
- Samlet af os personlig information giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
- Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
- Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål såsom revision, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
- Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.
Videregivelse af oplysninger til tredjemand
Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.
Undtagelser:
- Hvis det er nødvendigt i overensstemmelse med loven, retslig procedure, V forsøg, og/eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra regerings kontorer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
- I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.
Beskyttelse af personlige oplysninger
Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.
Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau
For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.
Den sidste detalje, hvordan man løser opgaver C1 fra Unified State Examination i matematik - løsning af homogene trigonometriske ligninger. Vi vil fortælle dig, hvordan du løser dem i denne sidste lektion.
Hvad er disse ligninger? Lad os skrive dem ind generel opfattelse.
$$a\sin x + b\cos x = 0,$$
hvor 'a' og 'b' er nogle konstanter. Denne ligning kaldes en homogen trigonometrisk ligning af første grad.
Homogen trigonometrisk ligning af første grad
For at løse en sådan ligning skal du dividere den med `\cos x`. Så vil det tage formen
$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$
Svaret på en sådan ligning skrives let ved hjælp af arctangensen.
Bemærk at `\cos x ≠0`. For at bekræfte dette, erstatter vi nul i stedet for cosinus i ligningen og finder ud af, at sinus også skal være lig med nul. De kan dog ikke være lig med nul på samme tid, hvilket betyder, at cosinus ikke er nul.
Nogle af spørgsmålene på dette års rigtige eksamen involverede en homogen trigonometrisk ligning. Følg linket til. Vi tager en lidt forenklet version af problemet.
Første eksempel. Løsning af en homogen trigonometrisk ligning af første grad
$$\sin x + \cos x = 0.$$
Divider med `\cos x`.
$$\tg x + 1 = 0,$$
$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$
Jeg gentager, en lignende opgave var på Unified State Exam :) selvfølgelig skal du stadig vælge rødderne, men dette burde heller ikke forårsage særlige vanskeligheder.
Lad os nu gå videre til næste type ligninger.
Homogen trigonometrisk ligning af anden grad
Generelt ser det sådan ud:
$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$
hvor 'a, b, c' er nogle konstanter.
Sådanne ligninger løses ved at dividere med `\cos^2 x` (som igen ikke er nul). Lad os se på et eksempel med det samme.
Andet eksempel. Løsning af en homogen trigonometrisk ligning af anden grad
$$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$
Divider med `\cos^2 x`.
$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$
Lad os erstatte `t = \tg x`.
$$t^2 - 2t -3 = 0,$$
$$t_1 = 3,\t_2 = -1.$$
Omvendt udskiftning
$$\tg x = 3, \text( eller ) \tg x = -1,$$
$$x = \arctan(3)+\pi k, \text( eller ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$
Svaret er modtaget.
Tredje eksempel. Løsning af en homogen trigonometrisk ligning af anden grad
$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$
Alt ville være fint, men denne ligning er ikke homogen - `-2` på højre side forstyrrer os. Hvad skal man gøre? Lad os bruge den grundlæggende trigonometriske identitet og skrive '-2' ved hjælp af den.
$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ),$$
$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0,$$
$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$
Divider med `\cos^2 x`.
$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$
Erstatning `t= \tg x`.
$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$
$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3),\ t_2 = -\sqrt(3).$$
Efter at have udført den omvendte substitution får vi:
$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text( eller ) \tg x = -\sqrt(3).$$
$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$
Det her sidste eksempel i denne lektion.
Lad mig som sædvanlig minde dig om: træning er alt for os. Uanset hvor genial en person er, vil færdigheder ikke udvikle sig uden træning. Under eksamen er dette fyldt med angst, fejltagelser og tab af tid (fortsæt selv denne liste). Sørg for at studere!
Træningsopgaver
Løs ligningerne:
- `10^(\sin x) = 2^(\sin x) \cdot 5^(-\cos x)`. Denne opgave er fra ægte Unified State-eksamen 2013. Ingen har annulleret kendskabet til gradernes egenskaber, men hvis du har glemt det, så tag et kig;
- `\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)`. Formlen fra lektion syv vil være praktisk.
- `\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.
Det er alt. Og som sædvanligt, endelig: Stil spørgsmål i kommentarerne, like, se videoer, lær hvordan du løser Unified State-eksamenen.
Ikke-lineære ligninger med to ubekendte
Definition 1. Lad A være nogle sæt talpar (x; y). De siger, at mængden A er givet numerisk funktion z fra to variable x og y, hvis der er angivet en regel, ved hjælp af hvilken hvert par tal fra sæt A er knyttet til et bestemt tal.
Dyrke motion numerisk funktion z fra to variable x og y ofte betegne Så:
Hvor f (x , y) – enhver anden funktion end en funktion
f (x , y) = økse+ved+c ,
hvor a, b, c – givne tal.
Definition 3. Løsning af ligning (2) ring til et par numre ( x; y), for hvilken formel (2) er en sand lighed.
Eksempel 1. Løs ligningen
Da kvadratet af ethvert tal er ikke-negativt, følger det af formel (4), at de ukendte x og y opfylder ligningssystemet
løsningen som er et talpar (6; 3).
Svar: (6; 3)
Eksempel 2. Løs ligningen
Derfor er løsningen til ligning (6). uendeligt sæt par af tal venlig
(1 + y ; y) ,
hvor y er et hvilket som helst tal.
lineær
Definition 4. Løsning af et ligningssystem
ring til et par numre ( x; y), når de indsættes i hver af ligningerne i dette system, opnås den korrekte lighed.
Systemer med to ligninger, hvoraf den ene er lineær, har formen
g(x , y)
Eksempel 4. Løs ligningssystem
Løsning . Lad os udtrykke det ukendte y fra den første ligning i system (7) gennem det ukendte x og erstatte det resulterende udtryk i systemets anden ligning:
Løsning af ligningen
x 1 = - 1 , x 2 = 9 .
Derfor,
y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .
Systemer af to ligninger, hvoraf den ene er homogen
Systemer af to ligninger, hvoraf den ene er homogen, har formen
hvor a, b, c er givet tal, og g(x , y) – funktion af to variable x og y.
Eksempel 6. Løs ligningssystem
Løsning . Lad os løse den homogene ligning
3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,
3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,
behandler det som en andengradsligning med hensyn til det ukendte x:
.
I tilfælde af x = - 5y, fra den anden ligning i system (11) får vi ligningen
5y 2 = - 20 ,
som ikke har rødder.
I tilfælde af
fra den anden ligning i system (11) får vi ligningen
,
hvis rødder er tal y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Ved at finde den tilsvarende værdi x for hver af disse værdier y får vi to løsninger til systemet: (- 2 ; 3), (2 ; - 3) .
Svar: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)
Eksempler på løsning af ligningssystemer af andre typer
Eksempel 8. Løs et ligningssystem (MIPT)
Løsning . Lad os introducere nye ukendte u og v, som udtrykkes gennem x og y ifølge formlerne:
For at omskrive system (12) i form af nye ubekendte, udtrykker vi først de ukendte x og y i form af u og v. Af system (13) følger det
Lad os løse det lineære system (14) ved at eliminere variablen x fra den anden ligning i dette system. Til dette formål udfører vi følgende transformationer på systemet (14):
- Vi vil lade den første ligning af systemet være uændret;
- fra den anden ligning trækker vi den første ligning og erstatter systemets anden ligning med den resulterende forskel.
Som et resultat heraf transformeres system (14) til et ækvivalent system
hvorfra vi finder
Ved hjælp af formlerne (13) og (15) omskriver vi det oprindelige system (12) i formen
Den første ligning for system (16) er lineær, så vi kan ud fra den udtrykke det ukendte u gennem det ukendte v og erstatte dette udtryk med systemets anden ligning.
I dag vil vi studere homogene trigonometriske ligninger. Lad os først se på terminologien: hvad er en homogen trigonometrisk ligning. Det har følgende egenskaber:
- den skal indeholde flere udtryk;
- alle termer skal have samme grad;
- alle funktioner, der indgår i en homogen trigonometrisk identitet, skal nødvendigvis have samme argument.
Løsningsalgoritme
Lad os vælge vilkårene
Og hvis alt er klart med det første punkt, så er det værd at tale om det andet mere detaljeret. Hvad betyder samme grad betingelser? Lad os se på det første problem:
3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0
Det første led i denne ligning er 3cosx 3\cos x. Bemærk venligst, at der kun er én trigonometrisk funktion her - cosx\cos x - og ingen andre trigonometriske funktioner er til stede her, så graden af dette led er 1. Det samme med den anden - 5sinx 5\sin x - kun sinus er til stede her, dvs. graden af dette led er også lig med en. Så vi har foran os en identitet bestående af to elementer, som hver indeholder en trigonometrisk funktion, og kun ét. Dette er en førstegradsligning.
Lad os gå videre til det andet udtryk:
4synd2 x+sin2x−3=0
4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0
Det første medlem af denne konstruktion er 4synd2 x 4((\sin )^(2))x.
Nu kan vi skrive følgende løsning:
synd2 x=sinx⋅sinx
((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x
Med andre ord indeholder det første led to trigonometriske funktioner, dvs. graden er to. Lad os beskæftige os med det andet element - synd 2x\sin 2x. Lad os huske denne formel - formlen dobbelt vinkel:
sin2x=2sinx⋅cosx
\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x
Og igen, i den resulterende formel har vi to trigonometriske funktioner - sinus og cosinus. Effektværdien af dette konstruktionsudtryk er således også lig med to.
Lad os gå videre til det tredje element - 3. Fra matematikkurset Gymnasium Vi husker, at ethvert tal kan ganges med 1, så vi skriver det ned:
˜ 3=3⋅1
En enhed, der bruger hovedet trigonometrisk identitet kan skrives i følgende form:
1=synd2 x⋅ cos2 x
1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x
Derfor kan vi omskrive 3 som følger:
3=3(synd2 x⋅ cos2 x)=3synd2 x+3 cos2 x
3=3\venstre(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x
Vores term 3 er således opdelt i to elementer, som hver er homogene og har en anden grad. Sinus i det første led forekommer to gange, cosinus i det andet forekommer også to gange. Således kan 3 også repræsenteres som et led med en potenseksponent på to.
Det samme med det tredje udtryk:
synd3 x+ synd2 xcosx=2 cos3 x
Lad os tage et kig. Den første periode er synd3 x((\sin )^(3))x er en trigonometrisk funktion af tredje grad. Andet element - synd2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.
synd2 ((\sin )^(2)) er et led med potensværdi to ganget med cosx\cos x er det første led. I alt har det tredje led også en effektværdi på tre. Endelig er der et andet link til højre - 2cos3 x 2((\cos )^(3))x er et element af tredje grad. Vi har således foran os en homogen trigonometrisk ligning af tredje grad.
Vi har tre identiteter skrevet ned forskellige grader. Vær opmærksom igen på det andet udtryk. I den oprindelige post har et af medlemmerne et argument 2x 2x. Vi er tvunget til at slippe af med dette argument ved at transformere det ved hjælp af dobbeltvinkelsinusformlen, fordi alle funktioner, der indgår i vores identitet, nødvendigvis skal have det samme argument. Og dette er et krav for homogene trigonometriske ligninger.
Vi bruger formlen for den trigonometriske hovedidentitet og skriver den endelige løsning ned
Vi har ordnet vilkårene, lad os gå videre til løsningen. Uanset effekteksponenten udføres løsning af ligheder af denne type altid i to trin:
1) bevise det
cosx≠0
\cos x\ne 0. For at gøre dette er det nok at huske formlen for den trigonometriske hovedidentitet (synd2 x⋅ cos2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) og indsæt i denne formel cosx=0\cos x=0. Vi får følgende udtryk:
synd2 x=1sinx=±1
\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end(align)
Substitution af de opnåede værdier, dvs. i stedet for cosx\cos x er nul, og i stedet sinx\sin x - 1 eller -1, ind i det oprindelige udtryk, får vi det forkerte numerisk lighed. Dette er begrundelsen for det
cosx≠0
2) det andet trin følger logisk af det første. Fordi
cosx≠0
\cos x\ne 0, dividerer vi begge vores sider af strukturen med cosn x((\cos )^(n))x, hvor n n - det er det effekteksponent homogen trigonometrisk ligning. Hvad giver det os:
\[\begin(array)(·(35)(l))
sinxcosx=tgxcosxcosx=1
\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end(align) \\() \\ \end(array)\]
Takket være dette er vores besværlige indledende konstruktion reduceret til ligningen n n-grad med hensyn til tangent, hvis løsning let kan skrives ved hjælp af en variabelændring. Det er hele algoritmen. Lad os se, hvordan det fungerer i praksis.
Vi løser reelle problemer
Opgave nr. 1
3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0
Vi har allerede fundet ud af, at dette er en homogen trigonometrisk ligning med en potenseksponent lig med én. Derfor, lad os først og fremmest finde ud af det cosx≠0\cos x\ne 0. Antag det modsatte, at
cosx=0→sinx=±1
\cos x=0\til \sin x=\pm 1.
Vi erstatter den resulterende værdi i vores udtryk, vi får:
3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0
\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end(align)
Ud fra dette kan vi sige det cosx≠0\cos x\ne 0. Divider vores ligning med cosx\cos x, fordi hele vores udtryk har en potensværdi, lig med én. Vi får:
3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5
\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end(align)
Dette er ikke en tabelværdi, så svaret vil inkludere arctgx arctgx:
x=arctg (−3 5 ) + π n,n∈Z
x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z
Fordi arctg arctg arctg er en ulige funktion, vi kan tage "minus" ud af argumentet og sætte det foran arctg. Vi får det endelige svar:
x=−arctg 3 5 + π n,n∈Z
x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\i Z
Opgave nr. 2
4synd2 x+sin2x−3=0
4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0
Som du husker, før du begynder at løse det, skal du udføre nogle transformationer. Vi udfører transformationerne:
4synd2 x+2sinxcosx−3 (synd2 x+ cos2 x)=0 4synd2 x+2sinxcosx−3 synd2 x−3 cos2 x=0synd2 x+2sinxcosx−3 cos2 x=0
\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2) ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\end (juster)
Vi fik en struktur bestående af tre elementer. I den første periode ser vi synd2 ((\sin )^(2)), dvs. dens effektværdi er to. I den anden periode ser vi sinx\sin x og cosx\cos x - igen er der to funktioner, de ganges, så den samlede grad er igen to. I det tredje link ser vi cos2 x((\cos )^(2))x - ligner den første værdi.
Lad os bevise det cosx=0\cos x=0 er ikke en løsning på denne konstruktion. For at gøre dette, lad os antage det modsatte:
\[\begin(array)(·(35)(l))
\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \venstre(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\end(array)\]
Det har vi bevist cosx=0\cos x=0 kan ikke være en løsning. Lad os gå videre til andet trin – dividere hele vores udtryk med cos2 x((\cos )^(2))x. Hvorfor kvadratisk? Fordi effekteksponenten af denne homogene ligning er lig med to:
synd2 xcos2 x+2sinxcosxcos2 x−3=0 t g2 x+2tgx−3=0
\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)(((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\end(align)
Er det muligt at bestemme dette udtryk bruger en diskriminant? Selvfølgelig kan du. Men jeg foreslår at genkalde teoremet i overensstemmelse med Vietas teorem, og det får vi givet polynomium Lad os repræsentere det i form af to simple polynomier, nemlig:
(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z
\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\til x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ tekst( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(align)
Mange elever spørger, om det er værd at skrive separate koefficienter for hver gruppe af løsninger på identiteter eller ikke gider og skrive de samme overalt. Personligt synes jeg det er bedre og mere pålideligt at bruge forskellige bogstaver således at i tilfælde af at du indgår alvorlige teknisk universitet Med yderligere tests i matematik fandt eksaminatorerne ikke fejl ved besvarelsen.
Opgave nr. 3
synd3 x+ synd2 xcosx=2 cos3 x
((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x
Vi ved allerede, at dette er en homogen trigonometrisk ligning af tredje grad, ingen specielle formler er nødvendige, og alt der kræves af os er at flytte udtrykket 2cos3 x 2((\cos )^(3))x til venstre. Lad os omskrive:
synd3 x+ synd2 xcosx−2 cos3 x=0
((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0
Vi ser, at hvert element indeholder tre trigonometriske funktioner, så denne ligning har en potensværdi på tre. Lad os løse det. Først og fremmest skal vi bevise det cosx=0\cos x=0 er ikke en rod:
\[\begin(array)(·(35)(l))
\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end(array)\]
Lad os erstatte disse tal i vores oprindelige konstruktion:
(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0-0=0±1=0
\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end(align)
Derfor, cosx=0\cos x=0 er ikke en løsning. Det har vi bevist cosx≠0\cos x\ne 0. Nu hvor vi har bevist dette, lad os dividere vores oprindelige ligning med cos3 x((\cos )^(3))x. Hvorfor i en terning? Fordi vi lige har bevist, at vores oprindelige ligning har den tredje potens:
synd3 xcos3 x+synd2 xcosxcos3 x−2=0 t g3 x+t g2 x−2=0
\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\end(align)
Lad os introducere en ny variabel:
tgx=t
Lad os omskrive konstruktionen:
t3 +t2 −2=0
((t)^(3))+((t)^(2))-2=0
Før os kubisk ligning. Hvordan løses det? Oprindeligt, da jeg lige skulle sammensætte denne videotutorial, planlagde jeg først at tale om faktorisering af polynomier og andre teknikker. Men i I dette tilfælde alt er meget enklere. Se, vores identitet givet, med udtrykket med i højeste grad omkostninger 1. Derudover er alle koefficienter heltal. Det betyder, at vi kan bruge en konsekvens fra Bezouts sætning, som siger, at alle rødder er divisorer af tallet -2, altså det frie led.
Spørgsmålet opstår: hvad er -2 divideret med? Da 2 er et primtal, er der ikke mange muligheder. Det kan være følgende tal: 1; 2; -1; -2. Negative rødder forsvinde med det samme. Hvorfor? Fordi begge er større end 0 i absolut værdi, derfor t3 ((t)^(3)) vil være større i modul end t2 ((t)^(2)). Og da terningen er en ulige funktion, vil tallet i terningen derfor være negativt, og t2 ((t)^(2)) - positiv, og hele denne konstruktion, med t=−1 t=-1 og t=−2 t=-2, vil ikke være mere end 0. Træk -2 fra det og få et tal, der bestemt er mindre end 0. Der er kun 1 og 2 tilbage. Lad os erstatte hvert af disse tal:
˜ t=1→ 1+1-2=0→0=0
˜t=1\til \text( )1+1-2=0\til 0=0
Vi har opnået den korrekte numeriske lighed. Derfor, t=1 t=1 er roden.
t=2→8+4-2=0→10≠0
t=2\til 8+4-2=0\til 10\ne 0
t=2 t=2 er ikke en rod.
Ifølge konsekvensen og den samme Bezouts sætning er ethvert polynomium, hvis rod er x0 ((x)_(0)), repræsentere det i formen:
Q(x)=(x= x0 )P(x)
Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)
I vores tilfælde i rollen x x er en variabel t t, og i rollen x0 ((x)_(0)) er en rod lig med 1. Vi får:
t3 +t2 −2=(t−1)⋅P(t)
((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)
Sådan finder du et polynomium P (t) P\venstre(t\højre)? Det er klart, at du skal gøre følgende:
P(t)= t3 +t2 −2 t−1
P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)
Lad os erstatte:
t3 +t2 +0⋅t−2t−1=t2 +2t+2
\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2
Så vores oprindelige polynomium er opdelt uden en rest. Således kan vi omskrive vores oprindelige lighed som:
(t−1)( t2 +2t+2)=0
(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0
Produktet er nul, når mindst én af faktorerne er nul. Vi har allerede overvejet den første multiplikator. Lad os se på den anden:
t2 +2t+2=0
((t)^(2))+2t+2=0
Erfarne studerende har sikkert allerede indset, at denne konstruktion ikke har nogen rødder, men lad os stadig beregne diskriminanten.
D=4−4⋅2=4−8=−4
D=4-4\cdot 2=4-8=-4
Diskriminanten er mindre end 0, derfor har udtrykket ingen rødder. I alt blev den enorme konstruktion reduceret til den sædvanlige lighed:
\[\begin(array)(·(35)(l))
t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(array)\]
Afslutningsvis vil jeg gerne tilføje et par kommentarer til den sidste opgave:
- vil betingelsen altid være opfyldt? cosx≠0\cos x\ne 0, og er det overhovedet værd at udføre denne kontrol? Selvfølgelig ikke altid. I tilfælde hvor cosx=0\cos x=0 er en løsning på vores lighed; vi bør tage den ud af parentes, og så vil en fuldgyldig homogen ligning forblive i parentes.
- Hvad er at dividere et polynomium med et polynomium. De fleste skoler studerer faktisk ikke dette, og når eleverne ser sådan et design for første gang, oplever de et lille chok. Men faktisk er dette en enkel og smuk teknik, der gør det meget nemmere at løse ligninger højere grader. Selvfølgelig vil en separat videotutorial blive dedikeret til det, som jeg vil udgive i den nærmeste fremtid.
Centrale punkter
Homogene trigonometriske ligninger er et yndet emne på alle slags tests. De kan løses meget enkelt – bare øv dig én gang. For at gøre det klart, hvad vi taler om, lad os introducere en ny definition.
En homogen trigonometrisk ligning er en, hvor hvert led, der ikke er nul, består af det samme antal trigonometriske faktorer. Disse kan være sinus, cosinus eller kombinationer heraf - løsningsmetoden er altid den samme.
Graden af en homogen trigonometrisk ligning er antallet af trigonometriske faktorer, der er inkluderet i termer, der ikke er nul. Eksempler:
sinx+15 cos x=0
\sin x+15\text( cos )x=0 - identitet af 1. grad;
2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0
2\text( sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2. grad;
sin3x+2sinxcos2x=0
\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3. grad;
sinx+cosx=1
\sin x+\cos x=1 - og denne ligning er ikke homogen, da der er en enhed til højre - et led, der ikke er nul, hvor der ikke er trigonometriske faktorer;
sin2x+2sinx−3=0
\sin 2x+2\sin x-3=0 - også inhomogen ligning. Element synd 2x\sin 2x er af anden grad (da den kan repræsenteres
sin2x=2sinxcosx
\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2\sin x er den første, og termen 3 er generelt nul, da der ikke er nogen sinus eller cosinus i den.
Generel løsningsordning
Løsningsskemaet er altid det samme:
Lad os lade som om cosx=0\cos x=0. Derefter sinx=±1\sin x=\pm 1 - dette følger af hovedidentiteten. Lad os erstatte sinx\sin x og cosx\cos x ind i det oprindelige udtryk, og hvis resultatet er nonsens (f.eks. udtrykket 5=0 5=0), gå til det andet punkt;
Vi dividerer alt med magten af cosinus: cosx, cos2x, cos3x... - afhænger af ligningens potensværdi. Vi opnår den sædvanlige lighed med tangenter, som sikkert kan løses efter at have erstattet tgx=t.
tgx=tDe fundne rødder vil være svaret på det oprindelige udtryk.