Gradsformler bruges i processen med reduktion og forenkling komplekse udtryk, i løsning af ligninger og uligheder.
Nummer c er n-te potens af et tal -en Hvornår:
Operationer med grader.
1. Multiplikation af potenser af c samme grundlag deres indikatorer summerer op:
en m·a n = a m + n.
2. Når man dividerer grader med samme grundtal, trækkes deres eksponenter fra:
3. Graden af produktet af 2 eller flere faktorer er lig med produktet af graderne af disse faktorer:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Graden af en brøk er lig med forholdet mellem graderne af udbyttet og divisoren:
(a/b) n = a n/b n .
5. Når en potens hæves til en potens, ganges eksponenterne:
(a m) n = a m n .
Hver formel ovenfor er sand i retningerne fra venstre mod højre og omvendt.
For eksempel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operationer med rødder.
1. Roden af produktet af flere faktorer er lig med produktet af rødderne af disse faktorer:
2. Root of attitude lig med forholdet udbytte og divisor af rødder:
3. Når du hæver en rod til en magt, er det nok at hæve det radikale tal til denne magt:
4. Hvis du øger graden af roden ind nén gang og samtidig bygge ind n potens er et radikalt tal, så ændres værdien af roden ikke:
5. Hvis du reducerer graden af roden ind n udtræk roden på samme tid n-potens af et radikalt tal, så ændres værdien af roden ikke:
En grad med negativ eksponent. Potensen af et bestemt tal med en ikke-positiv (heltal) eksponent er defineret som én divideret med potensen af det samme tal med en eksponent lig med absolut værdi ikke-positiv indikator:
Formel en m:a n =a m - n kan bruges ikke kun til m> n, men også med m< n.
For eksempel. -en4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Til formel en m:a n =a m - n blev fair når m=n, tilstedeværelsen af nul grader er påkrævet.
En grad med et nulindeks. Styrken af ethvert tal, ikke lig med nul, med en nul eksponent er lig med en.
For eksempel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Grad med en brøkeksponent. At hæve et reelt tal EN i den grad m/n, skal du udtrække roden n grad af m-potens af dette tal EN.
1. Roden til produktets kraft er ikke negative tal lig med produktet rødder af samme grad fra faktorer: hvor (reglen for at udvinde en rod fra et produkt).
2. Hvis , så y (reglen for at udtrække roden af en brøk).
3. Hvis så (reglen for at udtrække en rod fra en rod).
4. Hvis så reglen for at hæve roden til en magt).
5. Hvis så hvor, dvs. eksponenten af roden og eksponenten af det radikale udtryk kan ganges med det samme tal.
6. Hvis så 0, dvs. svarer til et større positivt radikalt udtryk og højere værdi rod
7. Alle ovenstående formler bruges ofte i omvendt rækkefølge(dvs. fra højre mod venstre). For eksempel,
(regel for multiplikation af rødder);
(regel om roddeling);
8. Reglen for at fjerne multiplikatoren under rodtegnet. På
9. Omvendt problem- indtastning af en multiplikator under rodens fortegn. For eksempel,
10. Eliminering af irrationalitet i nævneren af en brøk.
Lad os se på nogle typiske tilfælde.
For eksempel,
11. Anvendelse af forkortede multiplikationsidentiteter på operationer med aritmetiske rødder:
12. Faktoren foran roden kaldes dens koefficient. For eksempel her er 3 koefficienten.
13. Rødder (radikaler) kaldes ens, hvis de har samme rodindeks og samme radikale udtryk og kun adskiller sig i koefficienten. For at bedømme, om disse rødder (radikaler) ligner hinanden eller ej, skal du reducere dem til deres enkleste form.
For eksempel, og ligner, siden
ØVELSER MED LØSNINGER
1. Forenkle udtryk:
Løsning. 1) Det nytter ikke at gange det radikale udtryk, da hver af faktorerne repræsenterer kvadratet af et heltal. Lad os bruge reglen til at udtrække roden af et produkt:
I fremtiden vil vi udføre sådanne handlinger mundtligt.
2) Lad os prøve, hvis det er muligt, at repræsentere det radikale udtryk som et produkt af faktorer, som hver især er terningen af et heltal, og anvende reglen om produktets rod:
2. Find værdien af udtrykket:
Løsning. 1) Ifølge reglen for at udtrække roden af en brøk, har vi:
3) Transformer de radikale udtryk og udtræk roden:
3. Forenkle hvornår
Løsning. Når man uddrager en rod fra en rod, multipliceres røddernes indikatorer, men det radikale udtryk forbliver uændret
Hvis der er en koefficient foran roden, der er placeret under roden, skal du, før du udfører operationen med at udtrække roden, indtaste denne koefficient under tegnet på det radikal, foran hvilket det vises.
Baseret på ovenstående regler, lad os udtrække de sidste to rødder:
4. Hæv til en magt:
Løsning. Når man hæver en rod til en potens, forbliver rodens eksponent uændret, og eksponenterne for det radikale udtryk ganges med eksponenten.
(da det er defineret, da);
Hvis givet rod har en koefficient, så hæves denne koefficient til en potens separat, og resultatet skrives som koefficienten for roden.
Her brugte vi reglen om, at indikatoren for roden og indikatoren for det radikale udtryk kan ganges med det samme tal (vi ganges med, dvs. divideret med 2).
For eksempel eller
4) Udtrykket i parentes, der repræsenterer summen af to forskellige radikaler, er kuberet og forenklet:
Da vi har:
5. Fjern irrationalitet i nævneren:
Løsning. For at eliminere (ødelægge) irrationalitet i nævneren af en brøk, skal du finde det enkleste udtryk, som i et produkt med en nævner giver rationelt udtryk, og gange tælleren og nævneren for denne brøk med den fundne faktor.
For eksempel, hvis nævneren af en brøk indeholder et binomium, så skal brøkens tæller og nævner ganges med udtrykket konjugeret med nævneren, det vil sige, at summen skal ganges med den tilsvarende forskel og omvendt.
I mere svære sager De ødelægger irrationalitet ikke med det samme, men i flere trin.
1) Udtrykket skal indeholde
Ved at gange brøkens tæller og nævner med får vi:
2) Ved at gange tælleren og nævneren af brøken med partialkvadraten af summen får vi:
3) Lad os bringe brøkerne til en fællesnævner:
Beslutter dette eksempel, skal vi huske på, at hver brøk har betydning, det vil sige, at nævneren for hver brøk er ikke-nul. Udover,
Når man konverterer udtryk, der indeholder radikaler, begås der ofte fejl. De er forårsaget af manglende evne til at anvende begrebet korrekt (definition) aritmetisk rod og absolut værdi.
Multiplikation af rødder regler
Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget. »
Og for dem, der "i høj grad. ")
I den forrige lektion fandt vi ud af, hvad en kvadratrod er. Det er tid til at finde ud af, hvilke der findes formler for rødder hvad er egenskaber ved rødder, og hvad kan man gøre med alt dette.
Formler for rødder, egenskaber ved rødder og regler for arbejde med rødder- det er stort set det samme. Formler til kvadratrødder overraskende lidt. Hvilket bestemt gør mig glad! Eller rettere sagt, du kan skrive en masse forskellige formler, men til praktisk og selvsikkert arbejde med rødder er kun tre nok. Alt andet udspringer af disse tre. Selvom mange mennesker bliver forvirrede i de tre rodformler, ja.
Lad os starte med den enkleste. Her er hun:
Lad mig minde dig om (fra forrige lektion): a og b er ikke-negative tal! Ellers giver formlen ingen mening.
Det her røddernes egenskab , som du kan se, er enkel, kort og harmløs. Men der er så mange gode ting, du kan gøre med denne rodformel! Lad os se på eksempler alle disse nyttige ting.
Den første nyttige ting. Denne formel tillader os formere rødder.
Hvordan formerer man rødder?
Ja, meget simpelt. Lige til formlen. For eksempel:
Det ser ud til, at de har mangedoblet det, hvad så? Er der meget glæde?! Jeg er enig, lidt. Hvordan kan du lide dette eksempel?
Rødderne udvindes ikke ligefrem fra faktorerne. Og resultatet er fremragende! Det er bedre, ikke? For en sikkerheds skyld, lad mig fortælle dig, at der kan være så mange multiplikatorer, som du vil. Formlen til at multiplicere rødder virker stadig. For eksempel:
Så med multiplikation er alt klart, hvorfor er dette nødvendigt? røddernes egenskab- også forståeligt.
Den anden nyttige ting. Indtastning af et tal under rodtegnet.
Hvordan indtaster man et tal under roden?
Lad os antage, at vi har dette udtryk:
Er det muligt at skjule toeren inde i roden? Let! Hvis du laver en rod fra to, vil formlen for at gange rødder fungere. Hvordan kan du lave en rod fra to? Ja, heller ingen spørgsmål! To er kvadratroden af fire!
Forresten kan en rod laves ud fra et hvilket som helst ikke-negativt tal! Dette vil være kvadratroden af kvadratet af dette tal. 3 er roden af 9. 8 er roden af 64. 11 er roden af 121. Nå, og så videre.
Det er selvfølgelig ikke nødvendigt at beskrive så detaljeret. Nå, til at begynde med. Det er nok at indse, at evt ikke-negativt tal, ganget med roden, kan indtastes under roden. Men - glem det ikke! - under roden bliver dette nummer firkant dig selv. Denne handling - at indtaste et tal under roden - kan også kaldes at gange tallet med roden. I generel opfattelse kan skrives:
Fremgangsmåden er enkel, som du kan se. Hvorfor er det nødvendigt?
Som enhver transformation udvider denne procedure vores muligheder. Muligheder for at gøre et grusomt og ubehageligt udtryk til et blødt og luftigt). Her er en enkel en til dig eksempel:
Som du kan se, egenskab af rødder, som giver dig mulighed for at indtaste en multiplikator under rodens tegn, er ganske velegnet til forenkling.
Derudover gør tilføjelse af en multiplikator til roden det nemt og enkelt at sammenligne værdier forskellige rødder. Uden nogen beregninger eller lommeregner! Den tredje nyttige ting.
Hvordan sammenligner man rødder?
Denne færdighed er meget vigtig i seriøse opgaver, når du afslører moduler og andre fede ting.
Sammenlign disse udtryk. Hvilken er større? Uden lommeregner! Hver med en lommeregner. øh-øh. Kort sagt, alle kan gøre det!)
Det kan du ikke sige med det samme. Hvad hvis du indtaster tal under rodtegnet?
Lad os huske (hvad hvis du ikke vidste det?): hvis tallet under rodtegnet er større, så er selve roden større! Derfor det rigtige svar med det samme, uden nogen komplekse beregninger og beregninger:
Fantastisk, ikke? Men det er ikke alt! Husk at alle formler virker både fra venstre mod højre og fra højre mod venstre. Indtil videre har vi brugt formlen til at gange rødder fra venstre mod højre. Lad os køre denne egenskab af rødder omvendt, fra højre mod venstre. Sådan her:
Og hvad er forskellen? Giver dette noget? Sikkert! Nu vil du selv se.
Antag, at vi skal udtrække (uden en lommeregner!) kvadratroden af tallet 6561. Nogle mennesker vil på dette stadium falde i en ulige kamp med opgaven. Men vi er vedholdende, vi giver ikke op! Den fjerde nyttige ting.
Hvordan udvinder man rødder fra store tal?
Lad os huske formlen for udvinding af rødder fra et produkt. Den jeg skrev lige ovenfor. Men hvor er vores arbejde!? Vi har et stort antal 6561, og det er det. Ja, arbejdet er her ikke. Men hvis vi har brug for det, gør vi det Lad os gøre det! Lad os faktorere dette tal. Vi har ret.
Lad os først finde ud af, hvad dette tal præcist er deleligt med? Hvad, ved du ikke!? Har du glemt tegnene på delelighed!? Forgæves. Gå til Special Section 555, emnet "Brøker", de er der. Dette tal er deleligt med 3 og 9. Fordi summen af tallene (6+5+6+1=18) er divideret med disse tal. Dette er et af tegnene på delelighed. Vi behøver ikke at dividere med tre (nu vil du forstå hvorfor), men vi dividerer med 9. I hvert fald i et hjørne. Vi får 729. Så vi har fundet to faktorer! Den første er ni (vi valgte den selv), og den anden er 729 (sådan blev det). Du kan allerede nu skrive:
Forstår du ideen? Vi vil gøre det samme med nummeret 729. Det er også deleligt med 3 og 9. Vi dividerer ikke med 3 igen, vi dividerer med 9. Vi får 81. Og vi kender dette tal! Vi skriver ned:
Alt blev nemt og elegant! Roden skulle udvindes stykke for stykke, men nåja. Du kan gøre dette med hvem som helst store tal. Gang dem og gå videre!
Forresten, hvorfor skulle du ikke dividere med 3 Gættede du? Ja, for roden af tre kan ikke udtrækkes nøjagtigt! Det giver mening at indregne det i sådanne faktorer, at roden kan udvindes godt fra mindst én. Disse er 4, 9, 16 godt, og så videre. Divider dit enorme tal med disse tal et efter et, og du vil være heldig!
Men ikke nødvendigvis. Du er måske ikke heldig. Lad os sige, at tallet 432, når det faktoriseres og bruger rodformlen for produktet, vil give følgende resultat:
Nå okay. I hvert fald forenklede vi udtrykket. I matematik er det kutyme at forlade det meste lille antal af det mulige. I processen med at løse alt afhænger af eksemplet (måske kan alt forkortes uden forenkling), men i svaret skal du give et resultat, der ikke kan forenkles yderligere.
Ved du forresten, hvad vi gjorde med roden af 432?
Vi tog faktorerne ud under rodtegnet ! Dette er hvad denne operation kaldes. Ellers får du en opgave - " fjern faktoren fra under rodtegnet"Men mænd ved det ikke engang.) Her er en anden ansøgning til dig egenskaber ved rødder. Nyttig ting femte.
Hvordan fjerner man multiplikatoren fra under roden?
Let. Faktor det radikale udtryk og udtræk de rødder, der udvindes. Lad os se:
Intet overnaturligt. Det er vigtigt at vælge de rigtige multiplikatorer. Her har vi udvidet 72 som 36·2. Og alt blev godt. Eller de kunne have udvidet det anderledes: 72 = 6·12. Og hvad!? Roden kan ikke udtrækkes fra hverken 6 eller 12. Hvad skal man gøre?!
Det er ok. Enten se efter andre nedbrydningsmuligheder, eller fortsæt med at nedbryde alt, indtil det stopper! Sådan her:
Som du kan se, lykkedes alt. Dette er i øvrigt ikke den hurtigste, men den mest pålidelig måde. Opdel tallet i de mindste faktorer, og saml så de samme i bunker. Metoden bruges også med succes, når der multipliceres ubelejlige rødder. For eksempel skal du beregne:
Gang alt - du får et vanvittigt tal! Og hvordan trækker man roden ud af det?! Factoring igen? Nej, vi har ikke brug for ekstra arbejde. Vi indregner det straks i faktorer og samler de samme i grupper:
Det er alt. Det er selvfølgelig ikke nødvendigt at udvide det hele vejen. Alt er bestemt af dine personlige evner. Vi bragte eksemplet til det punkt, hvor alt er klart for dig Det betyder, at vi allerede kan tælle. Det vigtigste er ikke at lave fejl. Ikke mennesket for matematik, men matematik for mennesket!)
Lad os anvende viden i praksis? Lad os starte med noget simpelt:
GRAD MED RATIONEL INDIKATOR,
POWER FUNKTION IV
§ 82. Multiplikation og division af rødder
1. Multiplicere rødder. I § 79 reglen for gange rødder med identisk indikatorer:
Til at formere rødder med forskellige indikatorer, først skal de bringes til overordnet indikator, og gange derefter som rødder med samme indikatorer.
Lad for eksempel du skal gange n √ -en på m √ b . Ved at bruge sætning 3 i §80 kan vi skrive:
For eksempel √ 3 3 √ 9 = 6 √ 3 3 6 √ 9 2 = 6 √ 3 3 9 2 = 6 √ 3 3 3 4 = 6 √ 3 7 = 3 6 √ 3
Som en generel indikator for rødder n √ -en på m √ b Det er mest bekvemt at vælge det mindste fælles multiplum af tal n Og m . For eksempel, hvis du skal gange 4 √ 2 med 6 √ 32, så er det praktisk at vælge tallet 12, som er det mindste fælles multiplum af tallene 4 og 6, som en fælles indikator for disse rødder.
Sætning 3 § 80 giver: 4 √ 2 = 12 √ 2 3 ; 6 √ 32 = 12 √ 32 2 = 12 √ 2 10.
4 √ 2 6 √ 32 = 12 √ 2 3 12 √ 2 10 = 12 √ 2 13 = 2 12 √ 2
2. Inddeling af rødder. I § 79 blev der opnået en regel for at dividere rødder med de samme eksponenter:
For at adskille rødder med forskellige indikatorer skal de først bringes til en fælles indikator og derefter opdeles som rødder med de samme indikatorer.
oldskola1.narod.ru
Multiplikation af rødder: grundlæggende regler
Hilsen, katte! I sidste gang Vi diskuterede i detaljer, hvad rødder er (hvis du ikke kan huske det, anbefaler jeg at læse det). Hovedkonklusionen af den lektion: der er kun én universel definition rødder, hvilket er hvad du skal vide. Resten er noget pjat og spild af tid.
I dag går vi videre. Vi lærer at formere rødder, vi vil studere nogle problemer forbundet med multiplikation (hvis disse problemer ikke løses, kan de blive fatale i eksamen), og vi vil øve os ordentligt. Så køb popcorn, gør dig godt tilpas - og lad os komme i gang :)
Du har heller ikke røget det endnu, vel?
Lektionen viste sig at være ret lang, så jeg delte den op i to dele:
For dem, der ikke kan vente med at hoppe direkte til anden del, er du velkommen. Lad os starte med resten i rækkefølge.
Grundlæggende regel for multiplikation
Lad os starte med det enkleste – klassiske kvadratrødder. De samme som er betegnet $\sqrt$ og $\sqrt $. Alt er indlysende for dem:
Multiplikationsregel. For at gange en kvadratrod med en anden, multiplicerer du blot deres radikale udtryk og skriver resultatet under den fælles radikal:
Ingen yderligere begrænsninger er pålagt tallene til højre eller venstre: hvis grundfaktorerne eksisterer, så eksisterer produktet også.
Eksempler. Lad os se på fire eksempler med tal på én gang:
Som du kan se, er hovedbetydningen af denne regel at forenkle irrationelle udtryk. Og hvis vi i det første eksempel selv ville have udtrukket rødderne af 25 og 4 uden nye regler, så bliver det svært: $\sqrt $ og $\sqrt $ betragtes ikke af sig selv, men deres produkt viser sig at være et perfekt kvadrat, så dets rod er lig med et rationelt tal.
Jeg vil især fremhæve den sidste linje. Der er begge radikale udtryk brøker. Takket være produktet annulleres mange faktorer, og hele udtrykket bliver til et passende antal.
Selvfølgelig vil tingene ikke altid være så smukke. Nogle gange vil der være fuldstændig lort under rødderne - det er ikke klart, hvad man skal gøre med det, og hvordan man transformerer det efter multiplikation. Lidt senere, når du begynder at studere irrationelle ligninger og uligheder, vil der generelt være alle mulige variabler og funktioner. Og meget ofte regner problemskribenter med, at du vil opdage nogle annullerende vilkår eller faktorer, hvorefter problemet vil blive forenklet mange gange.
Derudover er det slet ikke nødvendigt at gange præcis to rødder. Du kan gange tre, fire eller endda ti på én gang! Dette ændrer ikke reglen. Tag et kig:
Og igen en lille bemærkning om det andet eksempel. Som du kan se, er der i den tredje faktor under roden en decimalbrøk - i processen med beregninger erstatter vi den med en almindelig, hvorefter alt nemt reduceres. Så: Jeg anbefaler stærkt at slippe af med decimalbrøker i evt irrationelle udtryk(dvs. indeholdende mindst ét radikalt symbol). Dette vil spare dig for en masse tid og nerver i fremtiden.
Men det var det lyrisk digression. Lad os nu se på mere almindelig sag- når rodindikatoren er vilkårligt antal$n$, og ikke kun de "klassiske" to.
Tilfældet med en vilkårlig indikator
Så vi har sorteret kvadratrødderne fra. Hvad skal man gøre med kubiske? Eller endda med rødder af vilkårlig grad $n$? Ja, alt er det samme. Reglen forbliver den samme:
For at gange to rødder af grad $n$, er det nok at gange deres radikale udtryk og derefter skrive resultatet under et radikal.
Generelt, intet kompliceret. Bortset fra at mængden af beregninger kan være større. Lad os se på et par eksempler:
Eksempler. Beregn produkter:
Og igen, opmærksomhed på det andet udtryk. Vi formerer os terningrødder, slip af med decimal og som et resultat får vi produktet af tallene 625 og 25 i nævneren. Dette er ganske stort antal- Personligt kan jeg ikke regne lige ud, hvad det er lig.
Så vi isolerede simpelthen den nøjagtige terning i tælleren og nævneren og brugte derefter en af nøgleegenskaberne (eller, hvis du foretrækker det, definitionen) af $n$th-roden:
Sådanne "magien" kan spare dig for en masse tid på eksamen eller prøvearbejde, så husk:
Skynd dig ikke at gange tal ved hjælp af radikale udtryk. Tjek først: hvad hvis den nøjagtige grad af et udtryk er "krypteret" der?
På trods af det indlysende i denne bemærkning, må jeg indrømme, at de fleste uforberedte studerende ikke kan se de nøjagtige grader på et skarpt område. I stedet multiplicerer de alt, og undrer sig så: hvorfor fik de så brutale tal?
Dog alt dette baby snak i forhold til det, vi vil studere nu.
Multiplikation af rødder med forskellige eksponenter
Okay, nu kan vi multiplicere rødder med de samme indikatorer. Hvad hvis indikatorerne er forskellige? Lad os sige, hvordan man gange en almindelig $\sqrt $ med noget lort som $\sqrt $? Er det overhovedet muligt at gøre dette?
Ja selvfølgelig kan du det. Alt foregår efter denne formel:
Denne formel virker dog kun hvis radikale udtryk er ikke-negative. Dette er en meget vigtig bemærkning, som vi vender tilbage til lidt senere.
Lad os nu se på et par eksempler:
Som du kan se, intet kompliceret. Lad os nu finde ud af, hvor ikke-negativitetskravet kom fra, og hvad der vil ske, hvis vi overtræder det.
Det er nemt at multiplicere rødder
Hvorfor skal radikale udtryk være ikke-negative?
Selvfølgelig kan du være ligesom skolelærere og citer smart lærebogen:
Ikke-negativitetskravet er relateret til forskellige definitioner rødder af lige og ulige grader (følgelig er deres definitionsdomæner også forskellige).
Nå, er det blevet tydeligere? Personligt, da jeg læste dette sludder i 8. klasse, forstod jeg noget i stil med følgende: “Kravet om ikke-negativitet er forbundet med *#&^@(*#@^#)
%" - kort sagt, jeg forstod ikke en helvede ting den gang. :)
Så nu vil jeg forklare alt på en normal måde.
Lad os først finde ud af, hvor multiplikationsformlen ovenfor kommer fra. For at gøre dette, lad mig minde dig om én ting vigtig ejendom rod:
Vi kan med andre ord sagtens hæve det radikale udtryk til evt naturlig grad$k$ - i dette tilfælde skal rodeksponenten ganges med den samme potens. Derfor kan vi nemt reducere eventuelle rødder til en fælles eksponent og derefter gange dem. Det er her multiplikationsformlen kommer fra:
Men der er et problem, der skarpt begrænser brugen af alle disse formler. Overvej dette nummer:
Ifølge den netop angivne formel kan vi tilføje en hvilken som helst grad. Lad os prøve at tilføje $k=2$:
Vi fjernede minus, netop fordi firkanten brænder minus (som enhver anden lige grad). Lad os nu gøre det omvendt konvertering: "reducere" to i eksponent og potens. Enhver lighed kan trods alt læses både fra venstre mod højre og fra højre mod venstre:
Men så viser det sig at være noget lort:
Dette kan ikke ske, fordi $\sqrt \lt 0$ og $\sqrt \gt 0$. Det betyder, at for lige potenser og negative tal virker vores formel ikke længere. Herefter har vi to muligheder:
- At ramme muren og slå fast, at matematik er en dum videnskab, hvor "der er nogle regler, men disse er upræcise";
- Gå ind yderligere begrænsninger, hvor formlen vil virke 100 %.
- Fjern alle negativerne fra radikalerne. Minusser findes kun i rødder med ulige multiplicitet - de kan placeres foran roden og om nødvendigt reduceres (for eksempel hvis der er to af disse minusser).
- Udfør multiplikation i henhold til reglerne diskuteret ovenfor i dagens lektion. Hvis indikatorerne for rødderne er de samme, multiplicerer vi blot de radikale udtryk. Og hvis de er forskellige, bruger vi den onde formel \[\sqrt[n]\cdot \sqrt[p] =\sqrt>\cdot ^ >>\].
- 3. Nyd resultatet og gode karakterer. :)
- Under roden er det ikke specifikt nummer eller grad, og variablen er $a$. Ved første øjekast er dette lidt usædvanligt, men i virkeligheden, når man løser det matematiske problemer Oftest vil du skulle beskæftige dig med variabler.
- I sidste ende lykkedes det at "reducere" den radikale indikator og graden i radikale udtryk. Dette sker ret ofte. Og det betyder, at det var muligt at forenkle beregningerne markant, hvis man ikke brugte grundformlen.
- Afsavn kørekort for fuldskab i 2018 Kørsel i tilstand alkoholforgiftning- en af de mest alvorlige overtrædelser af reglerne Trafik. Lov af 23. juli 2013 nr. 196-FZ […]
I den første mulighed bliver vi nødt til konstant at fange "ikke-fungerende" sager - det er svært, tidskrævende og generelt ugh. Derfor foretrak matematikere den anden mulighed :)
Men bare rolig! I praksis påvirker denne begrænsning ikke beregningerne på nogen måde, fordi alle de beskrevne problemer kun vedrører rødder af ulige grad, og der kan tages minusser fra dem.
Lad os derfor formulere endnu en regel, som generelt gælder for alle handlinger med rødder:
Før du multiplicerer rødder, skal du sikre dig, at de radikale udtryk er ikke-negative.
Eksempel. I tallet $\sqrt$ kan du fjerne minus fra under rodtegnet - så vil alt være normalt:
Mærker du forskellen? Hvis du efterlader et minus under roden, så forsvinder det, når det radikale udtryk er firkantet, og lortet begynder. Og hvis du først tager minus, så kan du firkante/fjerne firkanten, indtil du er blå i ansigtet - tallet forbliver negativt :)
Således er den mest korrekte og mest pålidelige måde at multiplicere rødder på som følger:
Godt? Skal vi øve os?
Eksempel 1: Forenkle udtrykket:
Dette er den enkleste mulighed: rødderne er de samme og mærkelige, det eneste problem er, at den anden faktor er negativ. Vi tager dette minus ud af billedet, hvorefter alt nemt beregnes.
Eksempel 2: Forenkle udtrykket:
Mange her ville blive forvirrede over, hvad der skete til sidst irrationelt tal. Ja, det sker: Vi kunne ikke helt slippe af med roden, men i det mindste forenklede vi udtrykket markant.
Eksempel 3: Forenkle udtrykket:
Jeg vil gerne henlede din opmærksomhed på denne opgave. Der er to punkter her:
For eksempel kan du gøre dette:
Faktisk blev alle transformationer kun udført med den anden radikal. Og hvis du ikke beskriver alle de mellemliggende trin i detaljer, vil mængden af beregninger i sidste ende blive reduceret betydeligt.
Faktisk har vi allerede stødt på lignende opgave ovenfor, når eksemplet $\sqrt \cdot \sqrt $ løses. Nu kan det skrives meget enklere:
Tilstedeværelsen af kvadratrødder i et udtryk komplicerer divisionsprocessen, men der er regler, der gør arbejdet med brøker meget lettere.
Det eneste du skal huske på hele tiden- radikale udtryk opdeles i radikale udtryk, og faktorer i faktorer. I processen med at dividere kvadratrødder forenkler vi brøken. Husk også, at roden kan være i nævneren.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Metode 1. Opdeling af radikale udtryk
Algoritme for handlinger:
Skriv en brøk
Hvis udtrykket ikke er repræsenteret som en brøk, er det nødvendigt at skrive det som sådan, fordi det er lettere at følge princippet om at dividere kvadratrødder.
Eksempel 1
144 ÷ 36, skal dette udtryk omskrives som følger: 144 36
Brug ét rodtegn
Hvis både tæller og nævner indeholder kvadratrødder, er det nødvendigt at skrive deres radikale udtryk under samme rodtegn for at gøre løsningsprocessen nemmere.
Vi minder dig om, at et radikalt udtryk (eller tal) er et udtryk under rodtegnet.
Eksempel 2
144 36. Dette udtryk skal skrives som følger: 144 36
Adskil radikale udtryk
Bare divider et udtryk med et andet, og skriv resultatet under rodtegnet.
Eksempel 3
144 36 = 4, lad os skrive dette udtryk sådan her: 144 36 = 4
Forenkle det radikale udtryk (hvis nødvendigt)
Hvis det radikale udtryk eller en af faktorerne er et perfekt kvadrat, så forenkle udtrykket.
Husk, at et perfekt kvadrat er et tal, der er kvadratet af et heltal.
Eksempel 4
4 er et perfekt kvadrat, fordi 2 × 2 = 4. Derfor:
4 = 2 × 2 = 2. Derfor 144 36 = 4 = 2.
Metode 2. Faktorisering af det radikale udtryk
Algoritme for handlinger:
Skriv en brøk
Omskriv udtrykket som en brøk (hvis det er repræsenteret på den måde). Dette gør det meget nemmere at opdele udtryk med kvadratrødder, især ved factoring.
Eksempel 5
8 ÷ 36, omskriv det sådan her 8 36
Faktorer hvert af de radikale udtryk
Faktor tallet under roden som ethvert andet heltal, skriv kun faktorerne under rodtegnet.
Eksempel 6
8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6
Forenkle tælleren og nævneren af en brøk
For at gøre dette skal du fjerne faktorerne under rodtegnet, som er perfekte firkanter. Således vil faktoren for det radikale udtryk blive faktoren før rodtegnet.
Eksempel 7
2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2, det følger: 8 36 = 2 2 6
Rationaliser nævneren (slip af med roden)
I matematik er der regler, hvorefter at lade roden stå i nævneren er et tegn på dårlig form, dvs. det er forbudt. Hvis der er en kvadratrod i nævneren, så slip med den.
Gang tælleren og nævneren med den kvadratrod, du vil fjerne.
Eksempel 8
I udtrykket 6 2 3 skal du gange tælleren og nævneren med 3 for at slippe af med dem i nævneren:
6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3
Forenkle det resulterende udtryk (hvis nødvendigt)
Hvis tæller og nævner indeholder tal, der kan og bør reduceres. Forenkle sådanne udtryk, som du ville gøre med enhver brøk.
Eksempel 9
2 6 forenkler til 1 3 ; således forenkles 2 2 6 til 1 2 3 = 2 3
Metode 3: Opdeling af kvadratrødder med faktorer
Algoritme for handlinger:
Forenkle faktorer
Husk, at faktorer er tallene forud for rodtegnet. For at forenkle faktorerne skal du opdele eller reducere dem. Rør ikke ved radikale udtryk!
Eksempel 10
4 32 6 16 . Først reducerer vi 4 6: divider både tælleren og nævneren med 2: 4 6 = 2 3.
Forenkle kvadratrødder
Hvis tælleren er ligeligt delelig med nævneren, skal du dividere. Hvis ikke, så forenkle radikale udtryk som alle andre.
Eksempel 11
32 er deleligt med 16, så: 32 16 = 2
Multiplicer forenklede faktorer med forenklede rødder
Husk reglen: efterlad ikke rødder i nævneren. Derfor multiplicerer vi simpelthen tælleren og nævneren med denne rod.
Eksempel 12
2 3 × 2 = 2 2 3
Rationaliser nævneren (slip af med roden i nævneren)
Eksempel 13
4 3 2 7 . Du skal gange tælleren og nævneren med 7 for at slippe af med roden i nævneren.
4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7
Metode 4: Division med binomial med kvadratrod
Algoritme for handlinger:
Bestem om et binomium er i nævneren
Husk, at et binomium er et udtryk, der omfatter 2 monomialer. Denne metode virker kun i tilfælde, hvor nævneren har et binomium med en kvadratrod.
Eksempel 14
1 5 + 2 - der er et binomium i nævneren, da der er to monomer.
Find det konjugerede udtryk for binomialet
Husk, at det konjugerede binomiale er et binomium med de samme monomer, men med modsatte tegn. For at forenkle udtrykket og slippe af med roden i nævneren, skal du gange de konjugerede binomialer.
Eksempel 15
5 + 2 og 5 - 2 er konjugerede binomier.
Multiplicer tælleren og nævneren med binomialet, der er konjugatet af binomialet i nævneren
Denne mulighed hjælper med at slippe af med roden i nævneren, da produktet af konjugerede binomier er lig med forskellen mellem kvadraterne i hvert led af binomialerne: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2
Eksempel 16
1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .
Heraf følger: 1 5 + 2 = 5 - 2 23.
Råd:
- Hvis du arbejder med kvadratrødder blandede tal, og konverter dem derefter til en uægte brøk.
- Forskellen mellem addition og subtraktion fra division er, at radikale udtryk i tilfælde af division ikke anbefales at forenkles (på bekostning af komplette kvadrater).
- Efterlad aldrig (!) en rod i nævneren.
- Ingen decimaler eller blandet før roden - skal konverteres til almindelig brøk, og derefter forenkle.
- Er nævneren summen eller forskellen af to monomer? Multiplicer sådan et binomium med dets konjugerede binomium og slip af med roden i nævneren.
Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter
Hilsen, katte! Sidste gang diskuterede vi i detaljer, hvad rødder er (hvis du ikke kan huske det, anbefaler jeg at læse det). Det vigtigste ved den lektion: Der er kun én universel definition af rødder, som er hvad du behøver at vide. Resten er noget pjat og spild af tid.
I dag går vi videre. Vi lærer at formere rødder, vi vil studere nogle problemer forbundet med multiplikation (hvis disse problemer ikke løses, kan de blive fatale i eksamen), og vi vil øve os ordentligt. Så køb popcorn, sæt dig godt til rette, og lad os komme i gang :)
Du har heller ikke røget det endnu, vel?
Lektionen viste sig at være ret lang, så jeg delte den op i to dele:
- Først vil vi se på reglerne for multiplikation. Cap ser ud til at antyde: det er, når der er to rødder, mellem dem er der et "multiplicer"-tegn - og vi vil gøre noget med det.
- Lad os så se på den modsatte situation: der er én stor rod, men vi var ivrige efter at repræsentere den som et produkt af to enklere rødder. Hvorfor er det nødvendigt, er et separat spørgsmål. Vi vil kun analysere algoritmen.
For dem, der ikke kan vente med straks at gå videre til anden del, er du velkommen. Lad os starte med resten i rækkefølge.
Grundlæggende regel for multiplikation
Lad os starte med det enkleste – klassiske kvadratrødder. De samme, der er angivet med $\sqrt(a)$ og $\sqrt(b)$. Alt er indlysende for dem:
Multiplikationsregel. For at gange en kvadratrod med en anden, multiplicerer du blot deres radikale udtryk og skriver resultatet under den fælles radikal:
\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]
Ingen yderligere begrænsninger er pålagt tallene til højre eller venstre: hvis grundfaktorerne eksisterer, så eksisterer produktet også.
Eksempler. Lad os se på fire eksempler med tal på én gang:
\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]
Som du kan se, er hovedbetydningen af denne regel at forenkle irrationelle udtryk. Og hvis vi i det første eksempel selv ville have udvundet rødderne af 25 og 4 uden nye regler, så bliver tingene svære: $\sqrt(32)$ og $\sqrt(2)$ betragtes ikke af sig selv, men deres produkt viser sig at være et perfekt kvadrat, så dets rod er lig med et rationelt tal.
Jeg vil især fremhæve den sidste linje. Der er begge radikale udtryk brøker. Takket være produktet annulleres mange faktorer, og hele udtrykket bliver til et passende antal.
Selvfølgelig vil tingene ikke altid være så smukke. Nogle gange vil der være et komplet rod under rødderne - det er ikke klart, hvad man skal gøre med det, og hvordan man transformerer det efter multiplikation. Lidt senere, når du begynder at studere irrationelle ligninger og uligheder, vil der være alle mulige variabler og funktioner. Og meget ofte regner problemskribenter med, at du vil opdage nogle annullerende vilkår eller faktorer, hvorefter problemet vil blive forenklet mange gange.
Derudover er det slet ikke nødvendigt at gange præcis to rødder. Du kan gange tre, fire eller endda ti på én gang! Dette ændrer ikke reglen. Tag et kig:
\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]
Og igen en lille bemærkning om det andet eksempel. Som du kan se, er der i den tredje faktor under roden en decimalbrøk - i processen med beregninger erstatter vi den med en almindelig, hvorefter alt nemt reduceres. Så: Jeg anbefaler stærkt at slippe af med decimalbrøker i alle irrationelle udtryk (dvs. indeholdende mindst ét radikalt symbol). Dette vil spare dig for en masse tid og nerver i fremtiden.
Men dette var en lyrisk digression. Lad os nu overveje et mere generelt tilfælde - når rodeksponenten indeholder et vilkårligt tal $n$, og ikke kun de "klassiske" to.
Tilfældet med en vilkårlig indikator
Så vi har sorteret kvadratrødderne fra. Hvad skal man gøre med kubiske? Eller endda med rødder af vilkårlig grad $n$? Ja, alt er det samme. Reglen forbliver den samme:
For at gange to rødder af grad $n$, er det nok at gange deres radikale udtryk og derefter skrive resultatet under et radikal.
Generelt, intet kompliceret. Bortset fra at mængden af beregninger kan være større. Lad os se på et par eksempler:
Eksempler. Beregn produkter:
\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3)) ))=\sqrt(((\venstre(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]
Og igen, opmærksomhed på det andet udtryk. Vi multiplicerer terningrødderne, slipper af med decimalbrøken og ender med, at nævneren er produktet af tallene 625 og 25. Det er et ret stort tal - personligt kan jeg personligt ikke finde ud af, hvad det er lig fra toppen af mit hoved.
Derfor isolerede vi simpelthen den nøjagtige terning i tælleren og nævneren og brugte derefter en af nøgleegenskaberne (eller, hvis du foretrækker det, definitionen) af $n$th-roden:
\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\venstre| a\right|. \\ \end(align)\]
Sådanne "maskineri" kan spare dig for en masse tid på en eksamen eller test, så husk:
Skynd dig ikke at gange tal ved hjælp af radikale udtryk. Tjek først: hvad hvis den nøjagtige grad af et udtryk er "krypteret" der?
På trods af det indlysende i denne bemærkning, må jeg indrømme, at de fleste uforberedte studerende ikke kan se de nøjagtige grader på et skarpt område. I stedet multiplicerer de alt, og undrer sig så: hvorfor fik de så brutale tal?
Men alt dette er babysnak i forhold til det, vi vil studere nu.
Multiplikation af rødder med forskellige eksponenter
Okay, nu kan vi multiplicere rødder med de samme indikatorer. Hvad hvis indikatorerne er forskellige? Lad os sige, hvordan man multiplicerer en almindelig $\sqrt(2)$ med noget lort som $\sqrt(23)$? Er det overhovedet muligt at gøre dette?
Ja selvfølgelig kan du det. Alt foregår efter denne formel:
Regel for multiplikation af rødder. For at gange $\sqrt[n](a)$ med $\sqrt[p](b)$, er det nok at udføre følgende transformation:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n))))\]
Denne formel virker dog kun hvis radikale udtryk er ikke-negative. Dette er en meget vigtig bemærkning, som vi vender tilbage til lidt senere.
Lad os nu se på et par eksempler:
\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]
Som du kan se, intet kompliceret. Lad os nu finde ud af, hvor ikke-negativitetskravet kom fra, og hvad der vil ske, hvis vi overtræder det.
Det er nemt at multiplicere rødder Hvorfor skal radikale udtryk være ikke-negative?
Selvfølgelig kan du være som skolelærere og citere lærebogen med et smart udseende:
Kravet om ikke-negativitet er forbundet med forskellige definitioner af rødder af lige og ulige grader (følgelig er deres definitionsdomæner også forskellige).
Nå, er det blevet tydeligere? Personligt, da jeg læste dette sludder i 8. klasse, forstod jeg noget i retning af følgende: “Kravet om ikke-negativitet er forbundet med *#&^@(*#@^#)~%” - kort sagt, jeg gjorde det. forstår ikke noget på det tidspunkt :)
Så nu vil jeg forklare alt på en normal måde.
Lad os først finde ud af, hvor multiplikationsformlen ovenfor kommer fra. For at gøre dette, lad mig minde dig om en vigtig egenskab ved roden:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k))))\]
Med andre ord kan vi sagtens hæve det radikale udtryk til en hvilken som helst naturlig magt $k$ - i dette tilfælde vil eksponenten af roden skulle ganges med den samme potens. Derfor kan vi nemt reducere eventuelle rødder til en fælles eksponent og derefter gange dem. Det er her multiplikationsformlen kommer fra:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Men der er et problem, der skarpt begrænser brugen af alle disse formler. Overvej dette nummer:
Ifølge den netop angivne formel kan vi tilføje en hvilken som helst grad. Lad os prøve at tilføje $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\venstre(-5 \højre))^(2)))=\sqrt(((5)^(2))))\]
Vi fjernede minus, netop fordi firkanten brænder minus (som enhver anden lige grad). Lad os nu udføre den omvendte transformation: "reducer" de to i eksponenten og magten. Enhver lighed kan trods alt læses både fra venstre mod højre og fra højre mod venstre:
\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Højrepil \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](en); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Højrepil \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]
Men så viser det sig at være noget lort:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
Dette kan ikke ske, fordi $\sqrt(-5) \lt 0$, og $\sqrt(5) \gt 0$. Det betyder, at for lige potenser og negative tal virker vores formel ikke længere. Herefter har vi to muligheder:
- At ramme muren og slå fast, at matematik er en dum videnskab, hvor "der er nogle regler, men disse er upræcise";
- Indfør yderligere begrænsninger, hvorunder formlen vil blive 100 % fungerende.
I den første mulighed bliver vi nødt til konstant at fange "ikke-fungerende" sager - det er svært, tidskrævende og generelt ugh. Derfor foretrak matematikere den anden mulighed :)
Men bare rolig! I praksis påvirker denne begrænsning ikke beregningerne på nogen måde, fordi alle de beskrevne problemer kun vedrører rødder af ulige grad, og der kan tages minusser fra dem.
Lad os derfor formulere endnu en regel, som generelt gælder for alle handlinger med rødder:
Før du multiplicerer rødder, skal du sikre dig, at de radikale udtryk er ikke-negative.
Eksempel. I tallet $\sqrt(-5)$ kan du fjerne minus fra under rodtegnet - så vil alt være normalt:
\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Højrepil \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]
Mærker du forskellen? Hvis du efterlader et minus under roden, så forsvinder det, når det radikale udtryk er firkantet, og lortet begynder. Og hvis du først tager minus, så kan du firkante/fjerne, indtil du er blå i ansigtet - tallet forbliver negativt :)
Således er den mest korrekte og mest pålidelige måde at multiplicere rødder på som følger:
- Fjern alle negativerne fra radikalerne. Minusser findes kun i rødder med ulige multiplicitet - de kan placeres foran roden og om nødvendigt reduceres (for eksempel hvis der er to af disse minusser).
- Udfør multiplikation i henhold til reglerne diskuteret ovenfor i dagens lektion. Hvis indikatorerne for rødderne er de samme, multiplicerer vi blot de radikale udtryk. Og hvis de er forskellige, bruger vi den onde formel \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
- 3. Nyd resultatet og gode karakterer. :)
Godt? Skal vi øve os?
Eksempel 1: Forenkle udtrykket:
\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(align)\]
Dette er den enkleste mulighed: rødderne er de samme og mærkelige, det eneste problem er, at den anden faktor er negativ. Vi tager dette minus ud af billedet, hvorefter alt nemt beregnes.
Eksempel 2: Forenkle udtrykket:
\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( justere)\]
Her ville mange blive forvirrede over, at output viste sig at være et irrationelt tal. Ja, det sker: Vi kunne ikke helt slippe af med roden, men i det mindste forenklede vi udtrykket markant.
Eksempel 3: Forenkle udtrykket:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\venstre((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]
Jeg vil gerne henlede din opmærksomhed på denne opgave. Der er to punkter her:
- Roden er ikke et bestemt tal eller potens, men variablen $a$. Umiddelbart er dette lidt usædvanligt, men i virkeligheden skal man, når man løser matematiske problemer, oftest beskæftige sig med variable.
- I sidste ende lykkedes det at "reducere" den radikale indikator og graden i radikale udtryk. Dette sker ret ofte. Og det betyder, at det var muligt at forenkle beregningerne markant, hvis man ikke brugte grundformlen.
For eksempel kan du gøre dette:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\venstre(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(align)\]
Faktisk blev alle transformationer kun udført med den anden radikal. Og hvis du ikke beskriver alle de mellemliggende trin i detaljer, vil mængden af beregninger i sidste ende blive reduceret betydeligt.
Faktisk er vi allerede stødt på en lignende opgave ovenfor, da vi løste eksemplet $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Nu kan det skrives meget enklere:
\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\venstre(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]
Nå, vi har ordnet multiplikationen af rødder. Lad os nu overveje den omvendte operation: hvad skal man gøre, når der er et produkt under roden?