Ligningerne har de samme eksponenter. Eksponentialligninger

Løsning af eksponentialligninger. Eksempler.

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")

Hvad er der sket eksponentiel ligning? Dette er en ligning, hvor de ukendte (x'er) og udtryk med dem er med indikatorer nogle grader. Og kun der! Det er vigtigt.

Der er du eksempler på eksponentialligninger:

3 x 2 x = 8 x+3

Bemærk! I basis af grader (nedenfor) - kun tal. I indikatorer grader (over) - en bred vifte af udtryk med et X. Hvis der pludselig dukker et X op i ligningen et andet sted end en indikator, for eksempel:

dette vil allerede være en ligning af blandet type. Sådanne ligninger har ikke klare regler for løsning af dem. Vi vil ikke overveje dem lige nu. Her vil vi beskæftige os med løsning af eksponentialligninger i sin reneste form.

Faktisk løses selv rene eksponentielle ligninger ikke altid klart. Men der er visse typer eksponentielle ligninger, der kan og bør løses. Det er disse typer, vi vil overveje.

Løsning af simple eksponentialligninger.

Lad os først løse noget meget grundlæggende. For eksempel:

Selv uden nogen teorier, ved simpel udvælgelse er det klart, at x = 2. Ikke mere, vel!? Ingen anden værdi af X virker. Lad os nu se på løsningen på denne vanskelige eksponentielle ligning:

Hvad har vi gjort? Vi smed faktisk simpelthen de samme baser ud (tripler). Fuldstændig smidt ud. Og den gode nyhed er, at vi rammer sømmet på hovedet!

Faktisk, hvis der i en eksponentiel ligning er venstre og højre det samme tal i enhver potens, kan disse tal fjernes, og eksponenterne kan udlignes. Matematik tillader. Det er tilbage at løse en meget enklere ligning. Fantastisk, ikke?)

Men lad os huske bestemt: Du kan kun fjerne baser, når basistallene til venstre og højre er i glimrende isolation! Uden nogen naboer og koefficienter. Lad os sige i ligningerne:

2 x +2 x+1 = 2 3, eller

toer kan ikke fjernes!

Nå, vi har mestret det vigtigste. Hvordan man bevæger sig fra onde eksponentielle udtryk til enklere ligninger.

"Det er tiderne!" - du siger. "Hvem ville give sådan en primitiv lektion om prøver og eksamener!?"

Jeg må være enig. Ingen vil. Men nu ved du, hvor du skal sigte, når du skal løse vanskelige eksempler. Det skal bringes til den form, hvor det samme grundtal er til venstre og højre. Så bliver alt nemmere. Faktisk er dette en klassiker inden for matematik. Vi tager det originale eksempel og transformerer det til det ønskede os sind. Efter matematikkens regler, selvfølgelig.

Lad os se på eksempler, der kræver en ekstra indsats for at reducere dem til de enkleste. Lad os ringe til dem simple eksponentialligninger.

Løsning af simple eksponentialligninger. Eksempler.

Ved løsning af eksponentialligninger er hovedreglerne handlinger med grader. Uden viden om disse handlinger vil intet fungere.

Til handlinger med grader skal man tilføje personlig iagttagelse og opfindsomhed. Har vi brug for de samme grundtal? Så vi leder efter dem i eksemplet i eksplicit eller krypteret form.

Lad os se, hvordan dette gøres i praksis?

Lad os få et eksempel:

2 2x - 8 x+1 = 0

Det første skarpe blik er kl grunde. De... De er forskellige! To og otte. Men det er for tidligt at blive modløs. Det er tid til at huske det

To og otte er slægtninge i grad.) Det er sagtens muligt at skrive:

8 x+1 = (2 3) x+1

Hvis vi husker formlen fra operationer med grader:

(a n) m = a nm ,

dette fungerer godt:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Det oprindelige eksempel begyndte at se sådan ud:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Vi overfører 2 3 (x+1) til højre (ingen har annulleret matematikkens elementære operationer!), får vi:

2 2x = 2 3(x+1)

Det er praktisk talt alt. Fjernelse af baserne:

Vi løser dette monster og får

Dette er det rigtige svar.

I dette eksempel hjalp det os at kende tos kræfter. Vi identificeret i otte er der en krypteret to. Denne teknik (kodning af fælles baser under forskellige tal) er en meget populær teknik i eksponentialligninger! Ja, og også i logaritmer. Du skal kunne genkende potenser af andre tal i tal. Dette er ekstremt vigtigt for at løse eksponentielle ligninger.

Faktum er, at det ikke er et problem at hæve et hvilket som helst tal til enhver magt. Multiplicer, selv på papiret, og det er det. For eksempel kan enhver hæve 3 til femte potens. 243 vil fungere, hvis du kender multiplikationstabellen.) Men i eksponentialligninger er det meget oftere ikke nødvendigt at hæve til en potens, men omvendt... Find ud af hvilket tal i hvilken grad er gemt bag tallet 243, eller f.eks. 343... Ingen lommeregner vil hjælpe dig her.

Du skal kende nogle tals kræfter ved synet, ikke sandt... Lad os øve os?

Bestem hvilke potenser og hvilke tal tallene er:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Svar (i et rod, selvfølgelig!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Hvis man ser godt efter, kan man se et mærkeligt faktum. Der er væsentligt flere svar end opgaver! Nå, det sker... For eksempel 2 6, 4 3, 8 2 - det er alle 64.

Lad os antage, at du har noteret dig informationen om kendskab til tal.) Lad mig også minde dig om, at vi bruger til at løse eksponentialligninger alle lager af matematisk viden. Inklusiv dem fra junior- og middelklassen. Du gik ikke direkte i gymnasiet, vel?)

For eksempel, når man løser eksponentialligninger, hjælper det ofte at sætte den fælles faktor ud af parentes (hej til 7. klasse!). Lad os se på et eksempel:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Og igen, det første blik er på fundamentet! Grundlaget for graderne er forskellige... Tre og ni. Men vi ønsker, at de skal være de samme. Nå, i dette tilfælde er ønsket fuldstændig opfyldt!) Fordi:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Brug de samme regler for håndtering af grader:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Det er fantastisk, du kan skrive det ned:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Vi gav et eksempel af samme årsager. Så hvad er det næste!? Du kan ikke smide treere ud... blindgyde?

Slet ikke. Husk den mest universelle og magtfulde beslutningsregel alle sammen matematiske opgaver:

Hvis du ikke ved, hvad du har brug for, så gør hvad du kan!

Se, alt ordner sig).

Hvad er der i denne eksponentielle ligning Kan gøre? Ja, i venstre side beder den bare om at blive taget ud af beslag! Den samlede multiplikator på 3 2x antyder tydeligt dette. Lad os prøve, og så får vi se:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Eksemplet bliver ved med at blive bedre og bedre!

Vi husker, at for at eliminere grunde har vi brug for en ren grad, uden nogen koefficienter. Tallet 70 generer os. Så vi dividerer begge sider af ligningen med 70, får vi:

Ups! Alt blev bedre!

Dette er det endelige svar.

Det sker dog, at taxa på samme grundlag opnås, men deres eliminering er ikke mulig. Dette sker i andre typer eksponentialligninger. Lad os mestre denne type.

Udskiftning af en variabel ved løsning af eksponentialligninger. Eksempler.

Lad os løse ligningen:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Først - som sædvanligt. Lad os gå videre til én base. Til en toer.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Vi får ligningen:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Og det er her, vi hænger ud. De tidligere teknikker vil ikke virke, uanset hvordan du ser på det. Vi bliver nødt til at trække en anden kraftfuld og universel metode ud af vores arsenal. Det hedder variabel udskiftning.

Essensen af ​​metoden er overraskende enkel. I stedet for et komplekst ikon (i vores tilfælde - 2 x) skriver vi et andet, enklere (for eksempel - t). Sådan en tilsyneladende meningsløs erstatning fører til fantastiske resultater!) Alt bliver bare klart og forståeligt!

Så lad

Så 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

I vores ligning erstatter vi alle potenser med x'er med t:

Nå, går det op for dig?) Har du glemt andengradsligningerne endnu? Løser vi gennem diskriminanten, får vi:

Det vigtigste her er ikke at stoppe, som det sker... Dette er ikke svaret endnu, vi skal bruge x, ikke t. Lad os vende tilbage til X'erne, dvs. vi foretager en omvendt udskiftning. Først for t 1:

Det er,

En rod blev fundet. Vi leder efter den anden fra t 2:

Hm... 2 x til venstre, 1 til højre... Problem? Slet ikke! Det er nok at huske (fra operationer med beføjelser, ja...), at en enhed er nogen tal til nul potens. Nogen. Uanset hvad der er nødvendigt, installerer vi det. Vi skal bruge en toer. Midler:

Det er det nu. Vi har 2 rødder:

Dette er svaret.

På løsning af eksponentialligninger til sidst ender man nogle gange med en form for akavet udtryk. Type:

Syv kan ikke konverteres til to gennem en simpel magt. De er ikke pårørende... Hvordan kan vi være det? Nogen kan være forvirret... Men den person, der læste på dette websted emnet "Hvad er en logaritme?" , smiler bare sparsomt og skriver med fast hånd det helt rigtige svar ned:

Der kan ikke være et sådant svar i opgave "B" på Unified State Examination. Der kræves et bestemt nummer. Men i opgave "C" er det nemt.

Denne lektion giver eksempler på løsning af de mest almindelige eksponentialligninger. Lad os fremhæve hovedpunkterne.

Praktiske tips:

1. Først og fremmest ser vi på grunde grader. Vi spekulerer på, om det er muligt at lave dem identisk. Lad os prøve at gøre dette ved aktivt at bruge handlinger med grader. Glem ikke, at tal uden x'er også kan konverteres til potenser!

2. Vi forsøger at bringe eksponentialligningen til formen, når der til venstre og højre er det samme tal i enhver potens. Vi bruger handlinger med grader Og faktorisering. Hvad der kan tælles i tal, tæller vi.

3. Hvis det andet tip ikke virker, så prøv at bruge variabel erstatning. Resultatet kan være en ligning, der let kan løses. Oftest - firkantet. Eller fraktioneret, som også reduceres til kvadratisk.

4. For at kunne løse eksponentialligninger skal du kende potenserne af nogle tal ved synet.

Som sædvanlig bliver du i slutningen af ​​lektionen inviteret til at bestemme lidt.) På egen hånd. Fra simpelt til komplekst.

Løs eksponentialligninger:

Sværere:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Find produktet af rødder:

2 3'ere + 2 x = 9

sket?

Nå, så et meget komplekst eksempel (selvom det kan løses i sindet...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Hvad er mere interessant? Så er her et dårligt eksempel til dig. Ret fristende for øget sværhedsgrad. Lad mig antyde, at i dette eksempel er det, der redder dig, opfindsomhed og den mest universelle regel for at løse alle matematiske problemer.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Et enklere eksempel til afslapning):

9 2 x - 4 3 x = 0

Og til dessert. Find summen af ​​ligningens rødder:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ja Ja! Dette er en ligning af blandet type! Hvilket vi ikke overvejede i denne lektion. Hvorfor overveje dem, de skal løses!) Denne lektion er ganske nok til at løse ligningen. Nå, du har brug for opfindsomhed... Og må syvende klasse hjælpe dig (dette er et tip!).

Svar (i uorden, adskilt af semikolon):

1; 2; 3; 4; der er ingen løsninger; 2; -2; -5; 4; 0.

Er alt vellykket? Store.

Der er et problem? Intet problem! Special Section 555 løser alle disse eksponentialligninger med detaljerede forklaringer. Hvad, hvorfor og hvorfor. Og selvfølgelig er der yderligere værdifuld information om at arbejde med alle mulige eksponentielle ligninger. Ikke kun disse.)

Et sidste sjovt spørgsmål at overveje. I denne lektion arbejdede vi med eksponentialligninger. Hvorfor sagde jeg ikke et ord om ODZ her? I ligninger er dette i øvrigt en meget vigtig ting...

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

Denne lektion er beregnet til dem, der lige er begyndt at lære eksponentielle ligninger. Lad os som altid starte med definitionen og enkle eksempler.

Hvis du læser denne lektion, så formoder jeg, at du allerede har mindst en minimal forståelse af de simpleste ligninger - lineære og kvadratiske: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ osv. At kunne løse sådanne konstruktioner er absolut nødvendigt for ikke at "hænge sig fast" i det emne, der nu skal diskuteres.

Altså eksponentielle ligninger. Lad mig give dig et par eksempler:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Nogle af dem kan virke mere komplekse for dig, mens andre tværtimod er for simple. Men de har alle en vigtig egenskab til fælles: deres notation indeholder eksponentialfunktionen $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Lad os derfor introducere definitionen:

En eksponentiel ligning er enhver ligning, der indeholder en eksponentiel funktion, dvs. udtryk for formen $((a)^(x))$. Ud over den angivne funktion kan sådanne ligninger indeholde alle andre algebraiske konstruktioner - polynomier, rødder, trigonometri, logaritmer osv.

Ok så. Vi har ordnet definitionen. Nu er spørgsmålet: hvordan løser man alt det lort? Svaret er både enkelt og komplekst.

Lad os starte med de gode nyheder: Ud fra min erfaring med at undervise mange elever kan jeg sige, at de fleste af dem finder eksponentielle ligninger meget lettere end de samme logaritmer, og endnu mere trigonometri.

Men der er dårlige nyheder: nogle gange bliver forfattere af problemer til alle slags lærebøger og eksamener ramt af "inspiration", og deres stofbetændte hjerne begynder at producere så brutale ligninger, at løsningen af ​​dem bliver problematisk ikke kun for eleverne - selv mange lærere blive hængende i sådanne problemer.

Men lad os ikke tale om triste ting. Og lad os vende tilbage til de tre ligninger, der blev givet helt i begyndelsen af ​​historien. Lad os prøve at løse hver af dem.

Første ligning: $((2)^(x))=4$. Nå, til hvilken styrke skal du hæve tallet 2 for at få tallet 4? Sandsynligvis den anden? For jo $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - og vi fik den korrekte numeriske lighed, dvs. faktisk $x=2$. Nå, tak, Cap, men denne ligning var så enkel, at selv min kat kunne løse den :)

Lad os se på følgende ligning:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Men her er det lidt mere kompliceret. Mange elever ved, at $((5)^(2))=25$ er multiplikationstabellen. Nogle har også mistanke om, at $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ i det væsentlige er definitionen af ​​negative potenser (svarende til formlen $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Endelig er det kun nogle få udvalgte, der indser, at disse fakta kan kombineres og give følgende resultat:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2)))\]

Således vil vores oprindelige ligning blive omskrevet som følger:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Højrepil ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Men dette er allerede fuldstændigt løseligt! Til venstre i ligningen er der en eksponentiel funktion, til højre i ligningen er der en eksponentiel funktion, der er intet andet andre steder end dem. Derfor kan vi "kassere" baserne og dumt sidestille indikatorerne:

Vi har fået den enkleste lineære ligning, som enhver elev kan løse på blot et par linjer. Okay, i fire linjer:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Hvis du ikke forstår, hvad der skete i de sidste fire linjer, skal du sørge for at vende tilbage til emnet "lineære ligninger" og gentage det. For uden en klar forståelse af dette emne, er det for tidligt for dig at tage på eksponentielle ligninger.

\[((9)^(x))=-3\]

Så hvordan kan vi løse dette? Første tanke: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, så den oprindelige ligning kan omskrives som følger:

\[((\venstre(((3)^(2)) \højre))^(x))=-3\]

Så husker vi, at når man hæver en potens til en potens, ganges eksponenterne:

\[((\venstre(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Højrepil ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Og for sådan en beslutning vil vi modtage en ærligt fortjent to. For med en Pokémons ligevægt sendte vi minustegnet foran de tre til kraften af ​​netop denne tre. Men det kan du ikke. Og det er derfor. Tag et kig på de forskellige magter af tre:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Da jeg kompilerede denne tablet, perverterede jeg ikke noget: Jeg så på positive potenser, og negative, og endda brøkdele... ja, hvor er mindst ét ​​negativt tal her? Han er væk! Og det kan det ikke være, fordi eksponentialfunktionen $y=((a)^(x))$ for det første altid kun tager positive værdier (uanset hvor meget man ganges eller divideres med to, vil det stadig være en positivt tal), og for det andet er bunden af ​​en sådan funktion - tallet $a$ - per definition et positivt tal!

Nå, hvordan løser man så ligningen $((9)^(x))=-3$? Men ingen måde: der er ingen rødder. Og i den forstand minder eksponentielle ligninger meget om andengradsligninger – der er muligvis heller ingen rødder. Men hvis antallet af rødder i andengradsligninger bestemmes af diskriminanten (positiv diskriminant - 2 rødder, negativ - ingen rødder), så afhænger alt i eksponentialligninger af, hvad der er til højre for lighedstegnet.

Lad os derfor formulere nøglekonklusionen: Den enkleste eksponentielligning af formen $((a)^(x))=b$ har en rod, hvis og kun hvis $b>0$. Når du kender denne simple kendsgerning, kan du nemt afgøre, om den ligning, du foreslår, har rødder eller ej. De der. Er det overhovedet værd at løse det eller straks skrive ned, at der ikke er nogen rødder.

Denne viden vil hjælpe os mange gange, når vi skal løse mere komplekse problemer. For nu, nok af teksterne - det er tid til at studere den grundlæggende algoritme til løsning af eksponentielle ligninger.

Sådan løses eksponentialligninger

Så lad os formulere problemet. Det er nødvendigt at løse eksponentialligningen:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Ifølge den "naive" algoritme, som vi brugte tidligere, er det nødvendigt at repræsentere tallet $b$ som en potens af tallet $a$:

Derudover, hvis der i stedet for variablen $x$ er et udtryk, får vi en ny ligning, som allerede kan løses. For eksempel:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Højrepil ((2)^(x))=((2)^(3))\Højrepil x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Højrepil ((3)^(-x))=((3)^(4))\Højrepil -x=4\Højrepil x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Højrepil ((5)^(2x))=((5)^(3))\Højrepil 2x=3\Højrepil x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

Og mærkeligt nok virker denne ordning i omkring 90% af tilfældene. Hvad så med de resterende 10%? De resterende 10% er let "skizofrene" eksponentielle ligninger af formen:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Nå, til hvilken styrke skal du hæve 2 for at få 3? Først? Men nej: $((2)^(1))=2$ er ikke nok. Anden? Nej enten: $((2)^(2))=4$ er for meget. Hvilken en så?

Kyndige studerende har sikkert allerede gættet: i sådanne tilfælde, når det ikke er muligt at løse det "smukt", kommer det "tunge artilleri" - logaritmer - i spil. Lad mig minde dig om, at ved hjælp af logaritmer kan ethvert positivt tal repræsenteres som en potens af ethvert andet positivt tal (undtagen ét):

Kan du huske denne formel? Når jeg fortæller mine elever om logaritmer, advarer jeg altid: denne formel (det er også den logaritmiske hovedidentitet eller, hvis du vil, definitionen af ​​en logaritme) vil forfølge dig i meget lang tid og "dukke op" i de fleste tilfælde uventede steder. Nå, hun dukkede op. Lad os se på vores ligning og denne formel:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Hvis vi antager, at $a=3$ er vores oprindelige tal til højre, og $b=2$ er selve bunden af ​​den eksponentielle funktion, som vi så gerne vil reducere den højre side til, får vi følgende:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Højrepil 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Højrepil ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Højrepil x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Vi fik et lidt mærkeligt svar: $x=((\log )_(2))3$. I en anden opgave ville mange komme i tvivl med et sådant svar og ville begynde at dobbelttjekke deres løsning: hvad nu hvis en fejl havde sneget sig ind et sted? Jeg skynder mig at behage dig: der er ingen fejl her, og logaritmer i rødderne af eksponentialligninger er en helt typisk situation. Så væn dig til det :)

Lad os nu løse de resterende to ligninger analogt:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Højrepil ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Højrepil x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Højrepil ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Højrepil 2x=( (\log )_(4))11\Højrepil x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

Det er alt! Det sidste svar kan i øvrigt skrives anderledes:

Vi introducerede en multiplikator til logaritmens argument. Men ingen forhindrer os i at tilføje denne faktor til basen:

Desuden er alle tre muligheder korrekte - de er bare forskellige former for at skrive det samme tal. Hvilken du skal vælge og skrive ned i denne løsning er op til dig at beslutte.

Vi har således lært at løse enhver eksponentiel ligning af formen $((a)^(x))=b$, hvor tallene $a$ og $b$ er strengt taget positive. Men den barske virkelighed i vores verden er, at sådanne simple opgaver vil blive stødt på meget, meget sjældent. Oftere end ikke vil du støde på noget som dette:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Så hvordan kan vi løse dette? Kan dette overhovedet løses? Og hvis ja, hvordan?

Gå ikke i panik. Alle disse ligninger reduceres hurtigt og nemt til de simple formler, som vi allerede har overvejet. Du skal bare huske et par tricks fra algebrakurset. Og selvfølgelig er der ingen regler for at arbejde med grader. Jeg vil fortælle dig om alt dette nu :)

Konvertering af eksponentialligninger

Den første ting at huske: enhver eksponentiel ligning, uanset hvor kompleks den måtte være, skal på den ene eller anden måde reduceres til de simpleste ligninger - dem, som vi allerede har overvejet, og som vi ved, hvordan de skal løse. Med andre ord ser skemaet til løsning af enhver eksponentiel ligning sådan ud:

  1. Skriv den oprindelige ligning ned. For eksempel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
  2. Gør noget mærkeligt lort. Eller endda noget lort kaldet "konverter en ligning";
  3. Ved output, få de enkleste udtryk af formen $((4)^(x))=4$ eller noget andet i den stil. Desuden kan en begyndelsesligning give flere sådanne udtryk på én gang.

Alt er klart med det første punkt – selv min kat kan skrive ligningen på et stykke papir. Det tredje punkt ser også ud til at være mere eller mindre klart - vi har allerede løst en hel masse af sådanne ligninger ovenfor.

Men hvad med det andet punkt? Hvilken slags transformationer? Konverter hvad til hvad? Og hvor?

Nå, lad os finde ud af det. Først og fremmest vil jeg gerne bemærke følgende. Alle eksponentialligninger er opdelt i to typer:

  1. Ligningen er sammensat af eksponentielle funktioner med samme grundtal. Eksempel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
  2. Formlen indeholder eksponentielle funktioner med forskellige baser. Eksempler: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ og $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.

Lad os starte med ligninger af den første type – de er de nemmeste at løse. Og i løsningen af ​​dem vil vi blive hjulpet af en sådan teknik som at fremhæve stabile udtryk.

Isolering af et stabilt udtryk

Lad os se på denne ligning igen:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Hvad ser vi? De fire er hævet i forskellig grad. Men alle disse potenser er simple summer af variablen $x$ med andre tal. Derfor er det nødvendigt at huske reglerne for at arbejde med grader:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(align)\]

Kort sagt kan addition konverteres til et produkt af potenser, og subtraktion kan nemt konverteres til division. Lad os prøve at anvende disse formler til graderne fra vores ligning:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Lad os omskrive den oprindelige ligning under hensyntagen til denne kendsgerning, og derefter samle alle termerne til venstre:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+(4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -elleve; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

De første fire led indeholder elementet $((4)^(x))$ - lad os tage det ud af parentesen:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Tilbage er at dividere begge sider af ligningen med brøken $-\frac(11)(4)$, dvs. i det væsentlige gange med den inverterede brøk - $-\frac(4)(11)$. Vi får:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \venstre(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(align)\]

Det er alt! Vi har reduceret den oprindelige ligning til dens enkleste form og opnået det endelige svar.

Samtidig opdagede vi i processen med at løse (og tog den endda ud af parentesen) den fælles faktor $((4)^(x))$ - dette er et stabilt udtryk. Den kan udpeges som en ny variabel, eller du kan blot udtrykke den omhyggeligt og få svaret. Under alle omstændigheder er nøgleprincippet for løsningen som følger:

Find i den oprindelige ligning et stabilt udtryk, der indeholder en variabel, der let kan skelnes fra alle eksponentielle funktioner.

Den gode nyhed er, at næsten hver eksponentiel ligning giver dig mulighed for at isolere et så stabilt udtryk.

Men den dårlige nyhed er, at disse udtryk kan være ret vanskelige og kan være ret svære at identificere. Så lad os se på endnu et problem:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Måske vil nogen nu have et spørgsmål: "Pasha, er du stenet? Der er forskellige baser her – 5 og 0,2.” Men lad os prøve at konvertere effekten til base 0,2. Lad os for eksempel slippe af med decimalbrøken ved at reducere den til en almindelig:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\venstre(x+1 \højre)))=((\venstre(\frac(2)(10) ) \højre))^(-\venstre(x+1 \højre)))=((\venstre(\frac(1)(5) \højre))^(-\venstre(x+1 \højre)) )\]

Som du kan se, dukkede 5-tallet stadig op, dog i nævneren. Samtidig blev indikatoren omskrevet til negativ. Lad os nu huske en af ​​de vigtigste regler for at arbejde med grader:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\venstre(x+1 \højre)))=((\venstre(\frac(5)(1) \højre))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Her lå jeg selvfølgelig lidt. Fordi for en fuldstændig forståelse skulle formlen for at slippe af med negative indikatorer skrives sådan:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\venstre(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Højrepil ((\venstre(\frac(1)(5) \right))^(-\venstre(x+1 \right)))=((\venstre(\frac(5)(1) \ højre))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

På den anden side forhindrede intet os i at arbejde med kun brøker:

\[((\venstre(\frac(1)(5) \højre))^(-\venstre(x+1 \højre)))=((\venstre(((5)^(-1)) \ højre))^(-\venstre(x+1 \højre)))=((5)^(\venstre(-1 \højre)\cdot \venstre(-\venstre(x+1 \højre) \højre) ))=((5)^(x+1))\]

Men i dette tilfælde skal du være i stand til at hæve en magt til en anden magt (lad mig minde dig om: i dette tilfælde lægges indikatorerne sammen). Men jeg behøvede ikke at "vende" brøkerne - måske vil det være nemmere for nogle :)

Under alle omstændigheder vil den oprindelige eksponentielle ligning blive omskrevet som:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Så det viser sig, at den oprindelige ligning kan løses endnu mere simpelt end den tidligere betragtede: her behøver du ikke engang at vælge et stabilt udtryk - alt er blevet reduceret af sig selv. Det er kun tilbage at huske, at $1=((5)^(0))$, hvorfra vi får:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(align)\]

Det er løsningen! Vi fik det endelige svar: $x=-2$. Samtidig vil jeg gerne bemærke en teknik, der i høj grad forenklede alle beregninger for os:

I eksponentialligninger skal du sørge for at slippe af med decimalbrøker og omregne dem til almindelige. Dette vil give dig mulighed for at se de samme grader og i høj grad forenkle løsningen.

Lad os nu gå videre til mere komplekse ligninger, hvor der er forskellige baser, som slet ikke kan reduceres til hinanden ved hjælp af potenser.

Brug af egenskaben Degrees

Lad mig minde dig om, at vi har to mere særligt barske ligninger:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Den største vanskelighed her er, at det ikke er klart, hvad man skal give og til hvilket grundlag. Hvor er de stabile udtryk? Hvor er de samme grunde? Der er intet af dette.

Men lad os prøve at gå en anden vej. Hvis der ikke er færdige identiske baser, kan du forsøge at finde dem ved at faktorisere de eksisterende baser.

Lad os starte med den første ligning:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Højrepil ((21)^(3x))=((\venstre(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Men du kan gøre det modsatte - lav tallet 21 fra tallene 7 og 3. Dette er især nemt at gøre til venstre, da indikatorerne for begge grader er de samme:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(align)\]

Det er alt! Du tog eksponenten uden for produktet og fik straks en smuk ligning, der kan løses på et par linjer.

Lad os nu se på den anden ligning. Alt er meget mere kompliceret her:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\venstre(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

I dette tilfælde viste fraktionerne sig at være irreducerbare, men hvis noget kunne reduceres, så sørg for at reducere det. Ofte vil der dukke interessante grunde op, som du allerede kan arbejde med.

Desværre dukkede der ikke noget særligt op for os. Men vi ser, at eksponenterne til venstre i produktet er modsatte:

Lad mig minde dig om: For at slippe af med minustegnet i indikatoren skal du bare "vende" brøken. Nå, lad os omskrive den oprindelige ligning:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9) )(100); \\& ((\venstre(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

I anden linje tog vi simpelthen den samlede eksponent ud af produktet fra parentesen i henhold til reglen $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a) \cdot b \right))^ (x))$, og i den sidste gange de simpelthen tallet 100 med en brøk.

Bemærk nu, at tallene til venstre (ved bunden) og til højre er lidt ens. Hvordan? Ja, det er indlysende: de er magter af samme antal! Vi har:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\venstre(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\venstre(\frac(3)(10) \højre))^(2)). \\\end(align)\]

Derfor vil vores ligning blive omskrevet som følger:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=(\left(\frac(3) )(10)\højre))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=(\left(\frac(10) )(3) \højre))^(3\venstre(x-1 \højre)))=((\venstre(\frac(10)(3) \højre))^(3x-3))\]

I dette tilfælde kan du til højre også få en grad med samme base, for hvilken det er nok blot at "vende" brøken:

\[((\venstre(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Vores ligning vil endelig antage formen:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Det er løsningen. Hans hovedidé bunder i det faktum, at selv med forskellige baser forsøger vi, med krog eller skurk, at reducere disse baser til det samme. Elementære transformationer af ligninger og regler for at arbejde med potenser hjælper os med dette.

Men hvilke regler og hvornår skal man bruge? Hvordan forstår du, at du i en ligning skal dividere begge sider med noget, og i en anden skal du faktorisere bunden af ​​eksponentialfunktionen?

Svaret på dette spørgsmål vil komme med erfaring. Prøv din hånd med simple ligninger først, og komplicer derefter gradvist problemerne - og meget snart vil dine færdigheder være nok til at løse enhver eksponentiel ligning fra den samme Unified State-eksamen eller ethvert uafhængigt/testarbejde.

Og for at hjælpe dig med denne vanskelige opgave, foreslår jeg, at du downloader et sæt ligninger fra min hjemmeside for at løse det selv. Alle ligninger har svar, så du altid kan teste dig selv.

Foredrag: "Metoder til løsning af eksponentialligninger."

1 . Eksponentialligninger.

Ligninger, der indeholder ukendte i eksponenter, kaldes eksponentielle ligninger. Den enkleste af dem er ligningen ax = b, hvor a > 0, a ≠ 1.

1) Ved b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) For b > 0, ved at bruge monotoniteten af ​​funktionen og rodsætningen, har ligningen en unik rod. For at finde den skal b være repræsenteret på formen b = aс, аx = bс ó x = c eller x = logab.

Eksponentialligninger ved algebraiske transformationer fører til standardligninger, som løses ved hjælp af følgende metoder:

1) metode til reduktion til én base;

2) vurderingsmetode;

3) grafisk metode;

4) metode til at introducere nye variabler;

5) faktoriseringsmetode;

6) eksponentiel - potensligninger;

7) demonstrativ med en parameter.

2 . Metode til reduktion til én base.

Metoden er baseret på følgende egenskab ved grader: hvis to grader er lige store, og deres grundtal er ens, så er deres eksponenter lige store, dvs. man skal forsøge at reducere ligningen til formen

Eksempler. Løs ligningen:

1 . 3x = 81;

Lad os repræsentere højre side af ligningen på formen 81 = 34 og skrive ligningen svarende til den oprindelige 3 x = 34; x = 4. Svar: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">og lad os gå videre til ligningen for eksponenter 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Bemærk, at tallene 0,2, 0,04, √5 og 25 repræsenterer potenser af 5. Lad os udnytte dette og transformere den oprindelige ligning som følger:

, hvorfra 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, hvorfra vi finder løsningen x = -1. Svar: -1.

5. 3x = 5. Per definition af logaritme er x = log35. Svar: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Lad os omskrive ligningen i formen 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, dvs..png" width="181" height="49 src="> Derfor x – 4 =0, x = 4. Svar: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Ved hjælp af potensers egenskaber skriver vi ligningen på formen 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 derefter 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, dvs. dvs. x+1 = 2, x =1. Svar: 1.

Problembank nr. 1.

Løs ligningen:

Test nr. 1.

1) 0 2) 4 3) -2 4) -4

A2 32x-8 = √3.

1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4

A3

1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) ingen rødder

1) 7;1 2) ingen rødder 3) -7;1 4) -1;-7

A5

1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0

A6

1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test nr. 2

A1

1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1

A2

1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11

A3

1) 2;-1 2) ingen rødder 3) 0 4) -2;1

A4

1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2

A5

1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Evalueringsmetode.

Rodsætning: hvis funktionen f(x) stiger (falder) på intervallet I, er tallet a en hvilken som helst værdi taget af f på dette interval, så har ligningen f(x) = a en enkelt rod på intervallet I.

Ved løsning af ligninger ved hjælp af estimeringsmetoden anvendes denne sætning og funktionens monotoniske egenskaber.

Eksempler. Løs ligninger: 1. 4x = 5 – x.

Løsning. Lad os omskrive ligningen som 4x +x = 5.

1. hvis x = 1, så er 41+1 = 5, 5 = 5 sandt, hvilket betyder, at 1 er roden af ​​ligningen.

Funktion f(x) = 4x – stiger på R, og g(x) = x – stiger på R => h(x)= f(x)+g(x) stiger på R, som summen af ​​stigende funktioner, så er x = 1 den eneste rod af ligningen 4x = 5 – x. Svar: 1.

2.

Løsning. Lad os omskrive ligningen i formen .

1. hvis x = -1, så , 3 = 3 er sandt, hvilket betyder, at x = -1 er roden af ​​ligningen.

2. bevise, at han er den eneste.

3. Funktion f(x) = - aftager på R, og g(x) = - x – aftager på R=> h(x) = f(x)+g(x) – aftager på R, som summen af faldende funktioner. Det betyder ifølge rodsætningen, at x = -1 er ligningens eneste rod. Svar: -1.

Problembank nr. 2. Løs ligningen

a) 4x + 1 =6 – x;

b)

c) 2x - 2 = 1 - x;

4. Metode til indførelse af nye variabler.

Metoden er beskrevet i afsnit 2.1. Introduktionen af ​​en ny variabel (substitution) udføres normalt efter transformationer (simplificering) af ligningens vilkår. Lad os se på eksempler.

Eksempler. R Løs ligningen: 1. .

Lad os omskrive ligningen anderledes: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> dvs..png" width="210" højde = "45">

Løsning. Lad os omskrive ligningen anderledes:

Lad os udpege https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - ikke egnet.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - irrationel ligning. Vi bemærker, at

Løsningen til ligningen er x = 2,5 ≤ 4, hvilket betyder, at 2,5 er roden af ​​ligningen. Svar: 2.5.

Løsning. Lad os omskrive ligningen i formen og dividere begge sider med 56x+6 ≠ 0. Vi får ligningen

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Rødderne til andengradsligningen er t1 = 1 og t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Løsning . Lad os omskrive ligningen i formen

og bemærk, at det er en homogen ligning af anden grad.

Divider ligningen med 42x, får vi

Lad os erstatte https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Svar: 0; 0,5.

Problembank nr. 3. Løs ligningen

b)

G)

Test nr. 3 med et valg af svar. Minimum niveau.

A1

1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2

A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.

1) 2;1 2) -1;0 3) ingen rødder 4) 0

1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5

A4 52x-5x - 600 = 0.

1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2

1) ingen rødder 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test nr. 4 med et valg af svar. Generelt niveau.

A1

1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0

A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0

1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1

1) 64 2) -14 3) 3 4) 8

1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0

A5

1) 0 2) 1 3) 0;1 4) ingen rødder

5. Faktoriseringsmetode.

1. Løs ligningen: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , hvorfra

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Løsning. Lad os sætte 6x ud af parenteser i venstre side af ligningen og 2x i højre side. Vi får ligningen 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Da 2x >0 for alle x, kan vi dividere begge sider af denne ligning med 2x uden frygt for at miste løsninger. Vi får 3x = 1ó x = 0.

3.

Løsning. Lad os løse ligningen ved hjælp af faktoriseringsmetoden.

Lad os vælge kvadratet af binomialet

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 er roden af ​​ligningen.

Ligning x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test nr. 6 Generelt niveau.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.

1) ½ 2) 2 3) -1; 3 4) 0,2

A2

1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0

A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.

1) 2 2) -1 3) 3 4) -3

A4

1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4

A5

1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponentiel – potensligninger.

Ved siden af ​​eksponentialligninger er de såkaldte eksponential-potensligninger, det vil sige ligninger på formen (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Hvis man ved, at f(x)>0 og f(x) ≠ 1, så løses ligningen, ligesom den eksponentielle, ved at sidestille eksponenterne g(x) = f(x).

Hvis betingelsen ikke udelukker muligheden for f(x)=0 og f(x)=1, så er vi nødt til at overveje disse tilfælde, når vi løser en eksponentiel ligning.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Løsning. x2 +2x-8 – giver mening for enhver x, da det er et polynomium, hvilket betyder, at ligningen er ækvivalent med totaliteten

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Eksponentialligninger med parametre.

1. For hvilke værdier af parameteren p har ligning 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) en unik løsning?

Løsning. Lad os introducere erstatningen 2x = t, t > 0, så vil ligning (1) have formen t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminerende af ligning (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Ligning (1) har en unik løsning, hvis ligning (2) har én positiv rod. Dette er muligt i følgende tilfælde.

1. Hvis D = 0, det vil sige p = 1, så vil ligning (2) have formen t2 – 2t + 1 = 0, derfor t = 1, derfor har ligning (1) en unik løsning x = 0.

2. Hvis p1, så 9(p – 1)2 > 0, så har ligning (2) to forskellige rødder t1 = p, t2 = 4p – 3. Betingelserne for problemet er opfyldt af et sæt systemer

Vi har erstattet t1 og t2 i systemerne

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Løsning. Lade så vil ligning (3) have formen t2 – 6t – a = 0. (4)

Lad os finde værdierne af parameteren a, for hvilken mindst en rod af ligning (4) opfylder betingelsen t > 0.

Lad os introducere funktionen f(t) = t2 – 6t – a. Følgende tilfælde er mulige.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Case 2. Ligning (4) har en unik positiv løsning hvis

D = 0, hvis a = – 9, så vil ligning (4) have formen (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Tilfælde 3. Ligning (4) har to rødder, men en af ​​dem opfylder ikke uligheden t > 0. Dette er muligt, hvis

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

For a 0 har ligning (4) således en enkelt positiv rod . Så har ligning (3) en unik løsning

Når en< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

hvis en< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
hvis a = – 9, så er x = – 1;

hvis a  0, så

Lad os sammenligne metoderne til løsning af ligning (1) og (3). Bemærk, at når løsning af ligning (1) blev reduceret til en andengradsligning, hvis diskriminant er et perfekt kvadrat; Således blev rødderne af ligning (2) umiddelbart beregnet ved hjælp af formlen for rødderne af en andengradsligning, og derefter blev der draget konklusioner vedrørende disse rødder. Ligning (3) er blevet reduceret til en andengradsligning (4), hvis diskriminant ikke er et perfekt kvadrat, derfor er det tilrådeligt, når man løser ligning (3), at bruge sætninger om placeringen af ​​rødderne af et kvadratisk trinomium og en grafisk model. Bemærk, at ligning (4) kan løses ved hjælp af Vietas sætning.

Lad os løse mere komplekse ligninger.

Opgave 3: Løs ligningen

Løsning. ODZ: x1, x2.

Lad os introducere en erstatning. Lad 2x = t, t > 0, så som et resultat af transformationer vil ligningen have formen t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Lad os finde værdierne af a, for hvilke mindst en rod af ligningen (*) opfylder betingelsen t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Svar: hvis a > – 13, a  11, a  5, så hvis a – 13,

a = 11, a = 5, så er der ingen rødder.

Bibliografi.

1. Guzeev grundlaget for uddannelsesteknologi.

2. Guzeev-teknologi: fra reception til filosofi.

M. "Skoledirektør" nr. 4, 1996

3. Guzeev og organisatoriske træningsformer.

4. Guzeev og praksis med integreret pædagogisk teknologi.

M. "Public Education", 2001

5. Guzeev fra formerne af en lektion - seminar.

Matematik i skolen nr. 2, 1987 s. 9 – 11.

6. Seleuko uddannelsesteknologier.

M. "Public Education", 1998

7. Episheva skolebørn til at studere matematik.

M. "Oplysning", 1990

8. Ivanova forberede lektioner - workshops.

Matematik i skolen nr. 6, 1990 s. 37 – 40.

9. Smirnovs model for undervisning i matematik.

Matematik i skolen nr. 1, 1997 s. 32 – 36.

10. Tarasenko måder at organisere praktisk arbejde.

Matematik i skolen nr. 1, 1993 s. 27 – 28.

11. Om en af ​​typerne af individuelt arbejde.

Matematik i skolen nr. 2, 1994, s. 63 – 64.

12. Khazankins kreative evner hos skolebørn.

Matematik i skolen nr. 2, 1989 s. 10.

13. Scanavi. Forlag, 1997

14. og andre Algebra og begyndelsen af ​​analysen. Didaktiske materialer til

15. Krivonogov opgaver i matematik.

M. "First of September", 2002

16. Cherkasov. Håndbog for gymnasieelever og

ind på universiteterne. "A S T - presseskole", 2002

17. Zhevnyak for dem, der kommer ind på universiteter.

Minsk og Den Russiske Føderation "Review", 1996

18. Skriftlig D. Vi forbereder os til eksamen i matematik. M. Rolf, 1999

19. osv. At lære at løse ligninger og uligheder.

M. "Intellekt - Center", 2003

20. osv. Uddannelses- og træningsmaterialer til forberedelse til EGE.

M. "Intelligence - Center", 2003 og 2004.

21 og andre CMM-muligheder. Testcenter under Den Russiske Føderations Forsvarsministerium, 2002, 2003.

22. Goldberg-ligninger. "Quantum" nr. 3, 1971

23. Volovich M. Hvordan man med succes underviser i matematik.

Matematik, 1997 nr. 3.

24 Okunev til lektionen, børn! M. Education, 1988

25. Yakimanskaya - orienteret læring i skolen.

26. Liimets arbejder i klassen. M. Knowledge, 1975

I denne lektion vil vi se på løsning af mere komplekse eksponentialligninger og genkalde os de grundlæggende teoretiske principper vedrørende eksponentialfunktionen.

1. Eksponentialfunktionens definition og egenskaber, metoder til løsning af de simpleste eksponentialligninger

Lad os huske eksponentialfunktionens definition og grundlæggende egenskaber. Løsningen af ​​alle eksponentielle ligninger og uligheder er baseret på disse egenskaber.

Eksponentiel funktion er en funktion af formen , hvor grundtallet er graden og her x er den uafhængige variabel, argument; y er den afhængige variabel funktion.

Ris. 1. Graf over eksponentiel funktion

Grafen viser stigende og faldende eksponenter, der illustrerer eksponentialfunktionen med henholdsvis en grundtal større end én og mindre end én, men større end nul.

Begge kurver går gennem punktet (0;1)

Egenskaber for den eksponentielle funktion:

Domæne: ;

Område af værdier: ;

Funktionen er monoton, stiger med, aftager med.

En monoton funktion tager hver af dens værdier givet en enkelt argumentværdi.

Når argumentet stiger fra minus til plus uendeligt, øges funktionen fra nul inklusive til plus uendeligt. Tværtimod, når argumentet stiger fra minus til plus uendeligt, falder funktionen fra uendelig til nul, ikke inklusive.

2. Løsning af standardeksponentialligninger

Lad os minde dig om, hvordan du løser de enkleste eksponentialligninger. Deres løsning er baseret på monotoniteten af ​​den eksponentielle funktion. Næsten alle komplekse eksponentialligninger kan reduceres til sådanne ligninger.

Ligheden af ​​eksponenter med lige baser skyldes eksponentialfunktionens egenskab, nemlig dens monotoni.

Løsningsmetode:

Udlign grundlængderne for grader;

Sæt lighedstegn mellem eksponenterne.

Lad os gå videre til at overveje mere komplekse eksponentielle ligninger, vores mål er at reducere hver af dem til den enkleste.

Lad os slippe af med roden på venstre side og bringe graderne til samme base:

For at reducere en kompleks eksponentielligning til dens enkleste, anvendes substitution af variable ofte.

Lad os bruge egenskaben power:

Vi introducerer en erstatning. Lad det være så

Lad os gange den resulterende ligning med to og flytte alle led til venstre side:

Den første rod opfylder ikke området for y-værdier, så vi kasserer den. Vi får:

Lad os reducere graderne til samme indikator:

Lad os introducere en erstatning:

Lad det være så . Med en sådan udskiftning er det indlysende, at y påtager sig strengt positive værdier. Vi får:

Vi ved, hvordan man løser sådanne andengradsligninger, vi kan skrive svaret ned:

For at sikre dig, at rødderne findes korrekt, kan du kontrollere ved hjælp af Vietas sætning, dvs. finde summen af ​​rødderne og deres produkt og sammenligne dem med de tilsvarende koefficienter i ligningen.

Vi får:

3. Metode til løsning af homogene eksponentialligninger af anden grad

Lad os studere følgende vigtige type eksponentialligninger:

Ligninger af denne type kaldes homogene af anden grad med hensyn til funktionerne f og g. På dens venstre side er der et kvadratisk trinomium med hensyn til f med parameteren g eller et kvadratisk trinomium med hensyn til g med parameteren f.

Løsningsmetode:

Denne ligning kan løses som en andengradsligning, men det er nemmere at gøre det anderledes. Der er to sager at overveje:

I det første tilfælde får vi

I det andet tilfælde har vi ret til at dividere med højeste grad og få:

Det er nødvendigt at indføre en ændring af variable, vi får en andengradsligning for y:

Lad os bemærke, at funktionerne f og g kan være hvilke som helst, men vi er interesserede i tilfældet, når disse er eksponentielle funktioner.

4. Eksempler på løsning af homogene ligninger

Lad os flytte alle led til venstre side af ligningen:

Da eksponentielle funktioner opnår strengt positive værdier, har vi ret til straks at dividere ligningen med , uden at overveje tilfældet, når:

Vi får:

Lad os introducere en erstatning: (ifølge eksponentialfunktionens egenskaber)

Vi har en andengradsligning:

Vi bestemmer rødderne ved hjælp af Vietas sætning:

Den første rod opfylder ikke rækken af ​​værdier for y, vi kasserer den, vi får:

Lad os bruge egenskaberne for grader og reducere alle grader til simple baser:

Det er let at bemærke funktionerne f og g:

Da eksponentielle funktioner erhverver strengt positive værdier, har vi ret til straks at dividere ligningen med , uden at overveje tilfældet, når .

Gå til youtube-kanalen på vores hjemmeside for at holde dig opdateret med alle de nye videolektioner.

Lad os først huske de grundlæggende formler for magter og deres egenskaber.

Produkt af et nummer -en forekommer på sig selv n gange, kan vi skrive dette udtryk som a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Potens- eller eksponentialligninger– det er ligninger, hvor variablerne er i potenser (eller eksponenter), og grundfladen er et tal.

Eksempler på eksponentialligninger:

I dette eksempel er tallet 6 basen, det er altid nederst og variablen x grad eller indikator.

Lad os give flere eksempler på eksponentialligninger.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Lad os nu se på, hvordan eksponentielle ligninger løses?

Lad os tage en simpel ligning:

2 x = 2 3

Dette eksempel kan løses selv i dit hoved. Det kan ses, at x=3. Når alt kommer til alt, for at venstre og højre side skal være ens, skal du sætte tallet 3 i stedet for x.
Lad os nu se, hvordan man formaliserer denne beslutning:

2 x = 2 3
x = 3

For at løse sådan en ligning fjernede vi identiske grunde(altså toere) og skrev ned hvad der var tilbage, det er grader. Vi fik det svar, vi ledte efter.

Lad os nu opsummere vores beslutning.

Algoritme til løsning af eksponentialligningen:
1. Skal tjekkes det samme om ligningen har baser til højre og venstre. Hvis årsagerne ikke er de samme, leder vi efter muligheder for at løse dette eksempel.
2. Efter at baserne er blevet de samme, sidestille grader og løs den resulterende nye ligning.

Lad os nu se på et par eksempler:

Lad os starte med noget simpelt.

Baserne på venstre og højre side er lig med tallet 2, hvilket betyder, at vi kan kassere basen og sidestille deres potenser.

x+2=4 Den enkleste ligning opnås.
x=4 – 2
x=2
Svar: x=2

I det følgende eksempel kan du se, at baserne er forskellige: 3 og 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Flyt først de ni til højre, så får vi:

Nu skal du lave de samme bunde. Vi ved, at 9=3 2. Lad os bruge potensformlen (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Vi får 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Nu er det klart, at på venstre og højre side er baserne ens og lig med tre, hvilket betyder, at vi kan kassere dem og sidestille graderne.

3x=2x+16 får vi den enkleste ligning
3x - 2x=16
x=16
Svar: x=16.

Lad os se på følgende eksempel:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Først og fremmest ser vi på baserne, base to og fire. Og vi har brug for, at de er de samme. Vi transformerer de fire ved at bruge formlen (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Og vi bruger også en formel a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tilføj til ligningen:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Vi gav et eksempel af samme årsager. Men andre tal 10 og 24 generer os. Hvad skal vi gøre med dem? Hvis du ser godt efter kan du se, at vi i venstre side har 2 2x gentaget, her er svaret - vi kan sætte 2 2x ud af parentes:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Lad os beregne udtrykket i parentes:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Vi dividerer hele ligningen med 6:

Lad os forestille os 4=2 2:

2 2x = 2 2 baser er ens, vi kasserer dem og sætter lighedstegn mellem graderne.
2x = 2 er den enkleste ligning. Divider det med 2 og vi får
x = 1
Svar: x = 1.

Lad os løse ligningen:

9 x – 12*3 x +27= 0

Lad os transformere:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Vi får ligningen:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Vores baser er de samme, lig med tre. I dette eksempel kan du se, at de tre første har en grad to gange (2x) end den anden (kun x). I dette tilfælde kan du løse udskiftningsmetode. Vi erstatter tallet med den mindste grad:

Så 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Vi erstatter alle x potenser i ligningen med t:

t2 - 12t+27 = 0
Vi får en andengradsligning. Løser vi gennem diskriminanten, får vi:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Vender tilbage til variablen x.

Tag t 1:
t1 = 9 = 3 x

Det er,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

En rod blev fundet. Vi leder efter den anden fra t 2:
t2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Svar: x 1 = 2; x 2 = 1.

På hjemmesiden kan du stille de spørgsmål, du måtte have, i afsnittet HJÆLP BESLUT, vi vil helt sikkert svare dig.

Deltag i gruppen