Udtrykkene 5a 2 x, 2a 3 (-3)x 2, b 2 x er produkter af tal, variable og deres potenser. Sådanne udtryk kaldes monomialer. Tal, variable og deres potenser betragtes også som monomer.
For eksempel er udtrykkene - 8, 35,y og y 2 - monomialer.
Standard form for monomial kaldes en monomial i form af produktet af en numerisk faktor i første omgang og potenser af forskellige variable. Enhver monomial kan reduceres til en standardform ved at multiplicere alle de variable og tal, der er inkluderet i den. Her er et eksempel på at reducere en monomial til standardform:
4x 2 y 4 (-5) yx 3 = 4(-5)x 2 x 3 y 4 y = -20x 5 y 5
Den numeriske faktor for et monomial skrevet i standardform kaldes koefficientmonomial. For eksempel er koefficienten af monomial -12сx 6 y 5 lig med -12. Koefficienterne for monomialerne x 3 og -xy betragtes som lig med 1 og -1, da x 7 = 1x 7 og -xy = -1xy
Ved monomiets kraft kald summen af eksponenterne for alle de variable, der er inkluderet i den. Hvis et monomial ikke indeholder variable, det vil sige, at det er et tal, anses dets grad for at være lig nul.
For eksempel er graden af monomial 8x 3 yz 2 6, grad af monomial 6x er 1, grad af monomial -10 er 0.
Polynomium kaldes summen af monomer.
De monomer, der udgør et polynomium, kaldes medlemmer af polynomiet. Så vilkårene for polynomiet 4x 2 y - 5xy + 3x -1 er 4x 2 y, -5xy, 3x og -1.
Hvis et polynomium består af to led, så kaldes det et binomium, hvis det består af tre, kaldes det et trinomium. Et monomial betragtes som et polynomium bestående af et led.
I polynomiet 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 er vilkårene 7x 3 y 2 og - 2y 2 x 3 lignende led, fordi de har samme bogstavdel. Begreberne -12 og 6, som ikke har en bogstavdel, ligner også hinanden. Lignende udtryk i et polynomium kaldes lignende udtryk i et polynomium, og reduktionen af lignende udtryk i et polynomium kaldes en reduktion af lignende udtryk i et polynomium.
Lad os som eksempel give lignende udtryk i polynomiet 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 = 5x 3 y 2 + 4x 2 y -6.
Polynomiet kaldes polynomium standard visning , hvis hver af dens termer er et monomial af standardform, og dette polynomium ikke indeholder lignende udtryk.
Ethvert polynomium kan reduceres til standardform. For at gøre dette skal du præsentere hvert af dets medlemmer i en standardform og medbringe lignende vilkår.
Polynomisk grad standardform er den største af beføjelserne af de monomialer, der er inkluderet i den.
Graden af et vilkårligt polynomium er graden af et identisk ens polynomium af standardform.
Lad os f.eks. finde graden af polynomiet 8x 4 y 2 - 12 + 4x 2 y - 3y 2 x 4 + 6 - 5y 2 x 4:
8x 4 y 2 - 12 + 4x 2 y - 3y 2 x 4 + 6 - 5y 2 x 4 = 4x 2 y -6.
Bemærk, at det oprindelige polynomium inkluderer monomer af sjette grad, men når lignende udtryk blev reduceret, blev de alle reduceret, og resultatet var et polynomium af tredje grad, hvilket betyder, at det oprindelige polynomium har grad 3!
Spørgsmål til noter
Givet et polynomium P(x) = 2x 3 - 6x 2 - 5x + 4. Beregn P(1).
Bestem graden af polynomiet: 3a 4 - 5a 3 - 2a 5
- polynomier. I denne artikel vil vi skitsere alle de indledende og nødvendige oplysninger om polynomier. Disse omfatter for det første definitionen af et polynomium med tilhørende definitioner af termerne i polynomiet, især det frie udtryk og lignende udtryk. For det andet vil vi dvæle ved polynomier af standardformen, give den tilsvarende definition og give eksempler på dem. Til sidst vil vi introducere definitionen af graden af et polynomium, finde ud af, hvordan man finder det og tale om koefficienterne for polynomiets termer.
Sidenavigation.
Polynomium og dets udtryk - definitioner og eksempler
I klasse 7 studeres polynomier umiddelbart efter monomialer, dette er forståeligt, da polynomisk definition gives gennem monomialer. Lad os give denne definition for at forklare, hvad et polynomium er.
Definition.
Polynomium er summen af monomer; Et monomial betragtes som et specialtilfælde af et polynomium.
Den skriftlige definition giver dig mulighed for at give så mange eksempler på polynomier, som du vil. Enhver af monomialerne 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12 osv. er et polynomium. Også per definition er 1+x, a 2 +b 2 og polynomier.
For at gøre det nemmere at beskrive polynomier introduceres en definition af et polynomium.
Definition.
Polynomiske termer er de konstituerende monomer i et polynomium.
For eksempel består polynomiet 3 x 4 −2 x y+3−y 3 af fire led: 3 x 4 , −2 x y , 3 og −y 3 . Et monomial betragtes som et polynomium bestående af et led.
Definition.
Polynomier, der består af to og tre led, har specielle navne - binomial Og trinomial henholdsvis.
Så x+y er et binomium, og 2 x 3 q−q x x x+7 b er et trinomium.
I skolen skal vi oftest arbejde med lineær binomial a x+b , hvor a og b er nogle tal, og x er en variabel, samt c kvadratisk trinomium a·x 2 +b·x+c, hvor a, b og c er nogle tal, og x er en variabel. Her er eksempler på lineære binomialer: x+1 , x 7,2−4 , og her er eksempler firkantede trinomialer: x 2 +3 x−5 og 
.
Polynomier i deres notation kan have lignende udtryk. For eksempel, i polynomiet 1+5 x−3+y+2 x er de tilsvarende led 1 og −3, samt 5 x og 2 x. De har deres eget specielle navn - lignende udtryk for et polynomium.
Definition.
Lignende udtryk for et polynomium lignende udtryk i et polynomium kaldes.
I det foregående eksempel er 1 og −3, såvel som parret 5 x og 2 x, lignende udtryk for polynomiet. I polynomier, der har lignende udtryk, kan du reducere lignende udtryk for at forenkle deres form.
Polynomium af standardform
For polynomier er der som for monomer en såkaldt standardform. Lad os give udtryk for den tilsvarende definition.
Baseret denne definition, kan vi give eksempler på polynomier af standardform. Så polynomierne 3 x 2 −x y+1 og 
skrevet i standardform. Og udtrykkene 5+3 x 2 −x 2 +2 x z og x+x y 3 x z 2 +3 z er ikke polynomier af standardformen, da det første af dem indeholder lignende udtryk 3 x 2 og −x 2 , og i den anden - en monomial x·y 3 ·x·z 2, hvis form er forskellig fra standarden.
Bemærk, at du om nødvendigt altid kan reducere polynomiet til standardform.
Et andet begreb relateret til polynomier af standardformen er begrebet et frit udtryk for et polynomium.
Definition.
Frit udtryk for et polynomium er medlem af et polynomium af standardform uden en bogstavdel.
Med andre ord, hvis et polynomium af standardform indeholder et tal, kaldes det et frit medlem. For eksempel er 5 det frie led af polynomiet x 2 z+5, men polynomiet 7 a+4 a b+b 3 har ikke et frit led.
Grad af et polynomium - hvordan finder man det?
En anden vigtig medfølgende definition er at bestemme graden af et polynomium. Først definerer vi graden af et polynomium af standardformen. Denne definition er baseret på graderne af monomierne, der er i dets sammensætning.
Definition.
Graden af et polynomium af standardform er den største af potenserne af monomialerne, der er inkluderet i dens notation.
Lad os give eksempler. Graden af polynomiet 5 x 3 −4 er lig med 3, da monomierne 5 x 3 og −4, der er inkluderet i det, har henholdsvis grader 3 og 0, det største af disse tal er 3, som er graden af polynomiet Per definition. Og graden af polynomiet 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x lig med det største af tallene 2+3=5, 4+1=5 og 1, det vil sige 5.
Lad os nu finde ud af, hvordan man finder graden af et polynomium vilkårlig type.
Definition.
Graden af et polynomium af vilkårlig form kald graden af det tilsvarende polynomium af standardform.
Så hvis et polynomium ikke er skrevet i standardform, og du skal finde dets grad, skal du reducere det oprindelige polynomium til standardform og finde graden af det resulterende polynomium - det vil være det påkrævede. Lad os se på eksempelløsningen.
Eksempel.
Find graden af polynomiet 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.
Løsning.
Først skal du repræsentere polynomiet i standardform:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2.
Det resulterende polynomium af standardform inkluderer to monomialer −2·a 2 ·b 2 ·c 2 og y 2 · z 2 . Lad os finde deres potenser: 2+2+2=6 og 2+2=4. Det er klart, at den største af disse potenser er 6, som per definition er potensen af et polynomium af standardformen −2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2, og derfor graden af det oprindelige polynomium., 3 x og 7 af polynomiet 2 x−0,5 x y+3 x+7 .
Bibliografi.
- Algebra: lærebog for 7. klasse almen uddannelse institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigeret af S. A. Telyakovsky. - 17. udg. - M.: Uddannelse, 2008. - 240 s. : syg. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasse. Kl. 14. Del 1. Lærebog for elever uddannelsesinstitutioner/ A. G. Mordkovich. - 17. udg., tilføje. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Algebra og startede matematisk analyse. 10. klasse: lærebog. til almen uddannelse institutioner: basis og profil. niveauer / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; redigeret af A. B. Zhizhchenko. - 3. udg. - M.: Uddannelse, 2010.- 368 s. : syg. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual for dem, der går ind på tekniske skoler): Proc. godtgørelse.- M.; Højere skole, 1984.-351 s., ill.
I 7. klasse bliver eleverne introduceret til nye begreber og emner som led i et algebraforløb. Nye døre åbner sig for dem i en fascinerende labyrint kaldet matematik. Dette inkluderer studiet af monomer og polynomier, såvel som deres anvendelse.
Hvad er det?
Lad os først forstå begreberne. Der er mange specifikke udtryk i matematik, hvoraf mange har deres egne faste navne. Et af disse ord er monomial. Det her matematisk udtryk, bestående af et produkt af tal, variable, som hver især kan indgå i produktet i et vist omfang. Polynomium, ifølge definitionen er dette algebraisk udtryk, som er summen af monomer. Der er ofte behov for at medbringe monomial til sin standardform. For at gøre dette skal du gange alle de numeriske faktorer, der er til stede i monomialet, og sætte det resulterende tal på førstepladsen. Gang derefter alle potenser, der har samme bogstavgrundlag. Et polynomium bringes også til en standardform, det er et produkt, der består af en numerisk faktor og potenser af forskellige variable.
Undersøiske sten
Det ser ud til, at intet ved første øjekast er fatalt kompliceret, men for moderne skolebørn Der er en række omstændigheder, der kan forplumre billedet. Et stort antal af genstande skolepensum, total mangel undervisningstimer, humanitært lager hos mange børn kan såvel som grundlæggende træthed gøre det meget svært at lære nyt stof. Det sker ofte, at et barn, der ikke har forstået noget, er flov eller bange for at spørge læreren, men han er ude af stand til at mestre emnet på egen hånd, og vanskeligheder begynder.
Løsning af problemet
Der er flere måder at undgå disse faldgruber på. For det første bør forældre til skolebørn være opmærksomme på, hvordan deres barn klarer programmet generelt og med de dækkede emner i særdeleshed. Dette bør ikke tage form af streng overvågning eller kontrol med barnet, men målet bør være at udvikle en ansvarlig og seriøs tilgang til læring. Nøglen til dette er et tillidsfuldt forhold, men ikke frygt.
En ret almindelig situation i skolen, når et barn ikke forstår nyt emne til det sidste er han bange for latterliggørelsen af sine klassekammerater og lærerens misbilligelse, så han foretrækker at tie om sin tøven. Forholdet til lærere varierer desværre, det er ikke alle lærere, der formår at finde en tilgang til børn, som praksis viser. Og der er flere udgangsmuligheder:
- besøg ekstra klasser i skolen, hvis nogen;
- lektioner med en vejleder;
- træning via internettet ved hjælp af særlige pædagogiske ressourcer.
I de to første tilfælde er der ulemper, der ligger i tid og økonomiske ressourcer, især når det kommer til vejledning. Den tredje er praktisk, fordi denne træningsmulighed:
- gratis;
- du kan studere på et hvilket som helst passende tidspunkt;
- der er intet psykisk ubehag for eleven, frygt for latterliggørelse mv.
- Du kan altid se videolektionen igen, hvis noget ikke er klart første gang.
Utvivlsomt positive aspekter der er mere her, så forældre bør være opmærksomme på, at deres barn kan tilbydes netop en sådan mulighed for yderligere aktiviteter. Det er meget muligt, at eleven først ikke vil acceptere dette forslag med entusiasme, men efter at have prøvet det, vil han sætte pris på dets fordele. Fra år til år stiger belastningen af fag i skolen, i 7. klasse er det allerede ret alvorligt.
På vores onlineressource kan et barn nemt finde en lektion om et emne, der kan være svært for ham, for eksempel "Polynomial. Reduktion til en standardform." Efter at have fundet ud af det, yderligere materiale han vil være i stand til at forstå og mestre meget lettere og lettere.
Monomial – er produktet af to eller flere faktorer, som hver er enten et tal, et bogstav eller en potens af et bogstav.
For eksempel, 3a 2 b 4 ,b d 3 , – 17 a b c- monomialer.
Ental eller et enkelt bogstav kan også betragtes som et monomial. Enhver faktor i en monomial kaldes koefficient. Ofte kaldes koefficienten kun numerisk faktor. Monomialerne kaldes lignende, hvis de er ens eller kun adskiller sig i koefficienter. Derfor, hvis to eller flere monomialer har identiske bogstaver eller deres grader, de ligner også hinanden.
Kraften af en monomial er summen af eksponenterne for alle dets bogstaver.
Tilføjelse af monomialer. Hvis der blandt summen af monomialer er lignende, kan summen reduceres til mere enkel udsigt:
et x 3 y 2 – 5 b 3 x 3 y 2 +c 5 x 3 y 2 = (a – 5 b 3 +c 5 ) x 3 y 2 .
Denne operation kaldes medbringelse af lignende medlemmer . Den handling, der udføres her, kaldes også bracketing.
Multiplikation af monomialer. Produktet af flere monomialer kan forenkles, hvis det kun indeholder potenser af de samme bogstaver eller numeriske koefficienter. I dette tilfælde tilføjes eksponenterne, og de numeriske koefficienter ganges.
EKSEMPEL: 5 a x 3 z 8 (– 7a 3 x 3 y 2 ) = –35 a 4 x 6 y 2 z 8 .
Opdeling af monomialer. Kvotienten af to monomialer kan forenkles, hvis udbytte og divisor har nogle potenser af de samme bogstaver eller numeriske koefficienter. I dette tilfælde trækkes divisoreksponenten fra divisoreksponenten, og den numeriske koefficient for divisoren divideres med divisorens numeriske koefficient.
EKSEMPEL: 35 a 4 x 3 z 9: 7 a x 2 z 6 = 5a 3 x z 3 .
Polynomium- Det her algebraisk sum monomialer. Polynomisk grad er den største af potenserne af de monomialer, der indgår i et givet polynomium.
Et polynomium bestående af to led kaldes et binomium, og et polynomium bestående af tre led kaldes et trinomium. Monomier betragtes normalt som særlig situation polynomier - de anses for at være polynomier bestående af et medlem.
Hvis alle medlemmer af et polynomium er monomer af standardform, og der ikke er nogen lignende medlemmer blandt dem, så kaldes et sådant polynomium et polynomium af standardform.
Lad os repræsentere polynomiet Zab-a 2 + b-2ab + 5b i standardform.
For at gøre dette er det nok at give lignende udtryk, dvs. lignende udtryk for dette polynomium: Зab – а 2 + b - 2аb + 5b_ = аb - а 2 + 6b.
Hvis et polynomium af standardform indeholder én variabel, så er dets udtryk normalt arrangeret i faldende rækkefølge efter dets potenser. I dette tilfælde placeres polynomiets frie led, altså det udtryk, der ikke indeholder et bogstav, på sidstepladsen.
For eksempel skrives polynomiet 5x 2 + 1 - x 3 + 4x som følger: -x 3 + 5x 2 + 4x - 1.
Den største eksponent, som en variabel optræder for i dette polynomium, er 3. De siger, at -x 3 + - 5x 2 + 4x - 1 - polynomium af tredje grad.
Multiplikation af summer og polynomier. Produktet af summen af to eller flere udtryk ved ethvert udtryk er lig med summen af produkterne af hvert af udtrykkene ved dette udtryk.
19. Lad os tage formlen
vi læser det sådan her: "forskellen mellem tallene a og b." Vi kan erstatte tallet a med nul i denne formel; så vil hun henvende sig til
0 – b eller bare i –b.
At trække b fra nul betyder, ifølge hvad vi ved om at trække relative tal fra, at lægge tallet b taget med det modsatte fortegn til nul. Derfor skal udtrykket –b forstås som det omvendte tegn på tallet b. Hvis f.eks. b = +5, så er –b = –5; hvis b = –4, så –b = +4 osv. Hvis vi skriver udtrykket +a, så skal det forstås som et tal, lig med tallet en. Hvis a = +5, så er +a = +5; hvis a = –4, så +a = 4 osv.
Derfor formlen
vi kan forstå uden forskel på resultat eller i betydningen
eller i betydningen
Således kan vi altid erstatte subtraktion med addition og forstå enhver forskel som summen af to tal:
a – b er summen af tallene a og (–b)
x – y er summen af tallene x og (–y)
–a – b er summen af tallene (–a) og (–b) osv.
De formler, hvor der ud fra et aritmetisk synspunkt finder flere additioner og subtraktioner sted, f.eks.
a – b + c + d – e – f,
vi kan nu, fra et algebras synspunkt, kun forstå som en sum, nemlig:
a – b + c + d – e – f = (+a) + (–b) + (+c) + (+d) + (–e) + (–f).
Derfor er det accepteret lignende udtryk kaldet ved navnet "algebraisk sum".
20. Lad os tage en algebraisk sum
a – b – c eller –3bc² + 2ab – 4a²b osv.
Det er sædvanligt at kalde disse udtryk ved navn polynomium, og dette ord erstatter ordet "sum" eller navnet "algebraisk sum". Vi ved det
a – b – c = (+a) + (–b) + (–c)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b), osv.
Hver for sig kaldes hvert led et medlem af polynomiet.
Det første polynomium
består af tre led: (+a), (–b) og (+c).
Det andet polynomium
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b,
består af fire led: (–abc), (–3bc²), (+2ab) og (–4a²b).
Beløbene kan omarrangeres i vilkårlig rækkefølge:
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc.
Denne egenskab for en sum kan nu udtrykkes anderledes: vilkårene for et polynomium kan omarrangeres i en hvilken som helst rækkefølge. Dette blev gjort ovenfor for polynomiet –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b, desuden på en sådan måde, at udtrykket (+2ab) nu er foran. Dette gjorde det muligt at forenkle udtrykket noget: du behøver ikke at skrive + tegnet foran. Naturligvis skal sådanne omarrangeringer foretages med det samme, uden først at sætte (som ovenfor) hvert led i parentes.
Et andet eksempel:
1 – 3a + 2a² – a³ + 3a 4 = 3a 4 – a³ + 2a² – 3a + 1.
Det første led i dette polynomium var oprindeligt (+1) - + tegnet var underforstået før enheden; når vi flytter dette medlem til et andet sted end det første (ovenfor flyttede vi det til sidste plads), så kan dette +-tegn ikke springes over.
Vi kan bemærke, at vi i det foregående eksempel, ved at omarrangere polynomiets vilkår, opnåede en vis rækkefølge: i første omgang er udtrykket med bogstavet a til 4. potens, i det næste sted er udtrykket med bogstavet a til 3. potens, så kommer udtrykket med bogstavet a til 3. potens 2. grad, derefter - a i 1. grad og til sidst et led, hvor der slet ikke er bogstavet a.
Denne opstilling af vilkårene for et polynomium er udtrykt med ordene "polynomiet er arrangeret i faldende potenser af bogstavet a."
Her er andre eksempler på dette arrangement:
3x 5 – 2ax 3 + b (i faldende potenser af bogstavet x)
a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4 (i faldende potenser af bogstavet a)
3ab 5 – 4a 3 b 3 + 5a 4 b 2 – 2a 6 (i faldende potenser af bogstavet b)
4x 4 – 3x 3 + 2x 3 (i faldende potenser af bogstavet x).
Det omvendte "stigende graders"-arrangement bruges ofte, hvor graden af det valgte bogstav gradvist stiger, og i 1. led er dette bogstav enten slet ikke til stede, eller også er det til stede her mindste grad sammenlignet med andre medlemmer. I det andet af de foregående eksempler kunne vi sige, at her er polynomiet arrangeret i stigende potenser af bogstavet b. Her er eksempler:
3 – 2a + 3a 2 – 4a 3 (i stigende potenser af bogstavet a);
–x + x 2 – 3x 3 – 4x 4 (i stigende potenser af bogstavet x);
ax 2 – bx 3 + cx 5 – dx 6 (i stigende potenser af bogstavet x);
a 3 – 2ab + b 2 (i stigende potens af bogstavet b eller i faldende potens af bogstavet a);
3x 5 – 4yx 4 – 5y 3 x 2 – 6y 4 x (i faldende potens af bogstavet x eller i stigende potens af bogstavet y).
21. Et polynomium med to led kaldes binomial(f.eks. 3a + 2b), omkring tre led - et trinomium (f.eks. 2a² - 3ab + 4b²) osv. Det er muligt at tale om summen af et led (det andet led er nul), eller om en polynomium omkring et led. Så er navnet "polynomium" selvfølgelig upassende, og navnet "monomial" bruges. Hvert led i et polynomium, taget separat, er et monomial. Her er eksempler på de enkleste monomialer:
2; –3a; a²; 4x³; –5x4; ab; ab²; –3abc; etc.
Næsten alle de monomialer, der er skrevet ovenfor, er produkter af to eller flere faktorer, og de fleste af dem har både en numerisk faktor og en alfabetisk faktor. For eksempel har den monomiale –3abc en numerisk faktor –3 og bogstavfaktorerne a, b og c; i monomial 4x³ er der en numerisk faktor +4 (+ tegnet er underforstået) og en literal faktor x³ osv. Hvis vi skulle skrive et monomial med flere numeriske faktorer (og også alfabetiske), som følgende
,
så er det mere bekvemt at omarrangere faktorerne, så de numeriske faktorer er i nærheden, dvs.
,
gange disse numeriske faktorer og få
–4a²bc² (prikker, multiplikationstegn springes over).
Det er også kutyme, i langt de fleste tilfælde, at skrive den numeriske faktor foran. De skriver:
4a, ikke en 4
–3a²b, ikke a²(–3)b 
Den numeriske faktor for et monomial kaldes en koefficient.
Hvis en numerisk faktor ikke er skrevet i et monomial, for eksempel ab, så kan du altid antyde det. Ja
a = (+1) ∙ a; ab = (+1)ab;
–a = (–1) ∙ a; a³ = (–1) ∙ a³ osv.
Så monomialerne a², ab, ab² har hver en koefficient på 1 (mere præcist: +1). Hvis vi skriver monomialer –ab, –a², –ab² osv., så skal de have en koefficient på –1.
22. Mere komplekse eksempler polynomier og monomer.
(a + b)² + 3(a – b)² ... denne formel udtrykker summen af to led: den første er kvadratet af summen af tallene a og b, og den anden er produktet af tallet 3 med kvadratet af forskellen mellem de samme tal. Derfor skal denne formel genkendes som et binomial: det første led er (a + b)² og det andet 3(a – b)². Hvis vi tager udtrykket (a + b)² separat, så skal det i kraft af det foregående betragtes som et monomial, og dets koefficient = +1.
a(b – 1) – b(a – 1) – (a – 1)(b – 1) ... skal genkendes som et trinomium (summen af tre led): det første led er a(b – 1) ) og dets koefficient = +1, det andet led –b(a – 1), dets koefficient = –1, det tredje led –(a – 1)(b – 1), dets koefficient = – 1.
Nogle gange reduceres antallet af led i et polynomium kunstigt. Så trinomisk
kan f.eks. betragtes som et binomial, og f.eks. a + b betragtes som et led (et led). For at gøre dette tydeligere, brug parenteser:
Så har udtrykket (a + b) en implicit koefficient på +1
[faktisk (a + b) = (+1)(a + b)].