Разбрахме, че има X- множество, на което формулата, която определя функцията, има смисъл. IN математически анализтози набор често се означава като г (област на функция ). На свой ред мн Yозначен като д (функционален диапазон ) и в същото време гИ днаречени подмножества Р(комплекти реални числа).

Ако дадена функция е дадена с формула, тогава, при липса на специални уговорки, се разглежда обхватът на нейната дефиниция най-големият набор, на който тази формула има смисъл, тоест най-големият набор от стойности на аргументи, който води до реални стойности на функцията . С други думи, наборът от стойности на аргументи, върху които работи „функцията“.

За общо разбиранеПримерът все още няма формула. Функцията е посочена като двойки отношения:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

Намерете областта на дефиниране на тези функции.

отговор. Първият елемент от двойката е променлива х. Тъй като спецификацията на функцията съдържа и вторите елементи на двойките - стойностите на променливата г, тогава функцията има смисъл само за тези стойности на x, които съответстват на определена стойностигра. Тоест, ние вземаме всички X на тези двойки във възходящ ред и получаваме от тях домейна на дефиниция на функцията:

{2, 4, 5, 6, 7} .

Същата логика работи, ако функцията е дадена с формула. Само вторите елементи по двойки (т.е. стойностите на i) се получават чрез заместване на определени x стойности във формулата. Въпреки това, за да намерим домейна на функция, не е нужно да минаваме през всички двойки X и Y.

Пример 0.Как да намерим домейна на дефиниция на функцията i е равно на корен квадратен от x минус пет (радикален израз x минус пет) ()? Просто трябва да решите неравенството

х - 5 ≥ 0 ,

защото за да получим реална стойностиграта, радикалният израз трябва да бъде по-голям или равен на нула. Получаваме решението: областта на дефиниране на функцията е всички стойности на x, по-големи или равни на пет (или x принадлежи към интервала от пет включително до плюс безкрайност).

На чертежа по-горе е фрагмент от числовата ос. На него областта на дефиниране на разглежданата функция е защрихована, докато в посока „плюс“ щриховката продължава безкрайно по самата ос.

Ако използвате компютърни програми, които произвеждат някакъв отговор въз основа на въведените данни, може да забележите, че за някои стойности на въведените данни програмата извежда съобщение за грешка, тоест, че с такива данни отговорът не може да бъде изчислен. Това съобщение се предоставя от авторите на програмата, ако изразът за изчисляване на отговора е доста сложен или засяга някои тесни предметна област, или предоставени от авторите на езика за програмиране, ако става въпрос за общоприети норми, например, които не могат да бъдат разделени на нула.

Но и в двата случая отговорът (стойността на някакъв израз) не може да бъде изчислен поради причината, че изразът няма смисъл за някои стойности на данни.

Пример (все още не съвсем математически): ако програмата изведе името на месеца въз основа на номера на месеца в годината, тогава при въвеждане на „15“ ще получите съобщение за грешка.

Най-често изразът, който се изчислява, е просто функция. Следователно те не са валидни стойностиданните не са включени област на функция . И при ръчни изчисления е също толкова важно да се представи домейнът на функция. Например изчислявате определен параметър на определен продукт, като използвате формула, която е функция. За някои стойности на входния аргумент няма да получите нищо на изхода.

Област на дефиниране на константа

Определена константа (константа). за всякакви реални стойности х Р реални числа. Това може да се запише и така: областта на дефиниране на тази функция е цялата числова ос ]- ∞; + ∞[ .

Пример 1. Намерете домейна на функция г = 2 .

Решение. Областта на дефиниране на функцията не е посочена, което означава, че по силата на горната дефиниция се има предвид естествената област на дефиниция. Изразяване f(х) = 2, дефинирани за всякакви реални стойности х, следователно, тази функцияопределени за целия набор Р реални числа.

Следователно на горния чертеж числовата линия е защрихована по целия път от минус безкрайност до плюс безкрайност.

Зона за определяне на корена пта степен

В случая, когато функцията е дадена с формулата и п- естествено число:

Пример 2. Намерете домейна на функция .

Решение. Както следва от дефиницията, корен от четна степен има смисъл, ако радикалният израз е неотрицателен, т.е. ако - 1 ≤ х≤ 1. Следователно областта на дефиниране на тази функция е [- 1; 1].

Защрихованата област на числовата линия на чертежа по-горе е областта на дефиниране на тази функция.

Област на степенна функция

Област на степенна функция с цяло число

Ако а- положителен, тогава областта на дефиниране на функцията е множеството от всички реални числа, т.е. ]- ∞; + ∞[ ;

Ако а- отрицателни, тогава областта на дефиниране на функцията е множеството ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , тоест цялата числова линия с изключение на нулата.

В съответния чертеж по-горе цялата числова линия е защрихована и точката, съответстваща на нулата, е изчертана (не е включена в областта на дефиниране на функцията).

Пример 3. Намерете домейна на функция .

Решение. Първи мандат цяла степен x е равно на 3, а степента на x във втория член може да бъде представена като единица - също цяло число. Следователно областта на дефиниране на тази функция е цялата числова ос, т.е. ]- ∞; + ∞[ .

Област на степенна функция с дробен показател

В случай, че функцията е дадена по формулата:

ако е положителен, тогава областта на дефиниране на функцията е множеството 0; + ∞[ .

Пример 4. Намерете домейна на функция .

Решение. И двата члена в израза на функцията са мощностни функциис положителни дробни показатели. Следователно областта на дефиниране на тази функция е множеството - ∞; + ∞[ .

Област на експоненциални и логаритмични функции

Област на експоненциалната функция

В случай, че функцията е дадена с формула, областта на дефиниране на функцията е цялата числова ос, т.е. ] - ∞; + ∞[ .

Област на логаритмичната функция

Логаритмичната функция е дефинирана при условие, че нейният аргумент е положителен, т.е. нейната област на дефиниране е множеството ]0; + ∞[ .

Намерете сами домейна на функцията и след това вижте решението

Област на тригонометрични функции

Функционален домейн г= cos( х) - също много Р реални числа.

Функционален домейн г= tg( х) - комплект Р реални числа, различни от числа .

Функционален домейн г= ctg( х) - комплект Р реални числа, с изключение на числата.

Пример 8. Намерете домейна на функция .

Решение. Външна функция - десетичен логаритъми домейнът на неговата дефиниция е предмет на условията на домейна на дефиницията логаритмична функцияизобщо. Тоест нейният аргумент трябва да е положителен. Аргументът тук е синус от "х". Завъртайки въображаем компас около кръг, виждаме, че условието sin х> 0 е нарушено с "x" равно на нула, "пи", две, умножено по "пи" и изобщо равно на произведението pi и всяко четно или нечетно цяло число.

По този начин областта на дефиниция на тази функция е дадена от израза

,

Къде к- цяло число.

Област на дефиниране на обратни тригонометрични функции

Функционален домейн г= arcsin( х) - набор [-1; 1].

Функционален домейн г= arccos( х) - също множеството [-1; 1].

Функционален домейн г= арктан( х) - комплект Р реални числа.

Функционален домейн г= arcctg( х) - също много Р реални числа.

Пример 9. Намерете домейна на функция .

Решение. Да решим неравенството:

Така получаваме областта на дефиниция на тази функция - отсечката [- 4; 4].

Пример 10. Намерете домейна на функция .

Решение. Нека да решим две неравенства:

Решение на първото неравенство:

Решение на второто неравенство:

Така получаваме областта на дефиниране на тази функция - сегмента.

Обхват на фракцията

Ако функцията е дадена дробен израз, в която променливата е в знаменателя на дробта, тогава областта на дефиниране на функцията е множеството Р реални числа, с изключение на тези х, при което знаменателят на дробта става нула.

Пример 11. Намерете домейна на функция .

Решение. Решавайки равенството на знаменателя на дробта на нула, намираме областта на дефиниране на тази функция - множеството ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

Как?
Примери за решения

Ако нещо липсва някъде, значи има нещо някъде

Продължаваме да изучаваме раздела „Функции и графики“, а следващата станция от нашето пътуване е. Активна дискусия тази концепциязапочна в статията за множествата и продължи в първия урок за функционални графики, където разгледах елементарни функции и по-специално техните области на дефиниция. Затова препоръчвам на манекените да започнат с основите на темата, тъй като няма да се спирам отново на някои основни точки.

Предполага се, че читателят познава областта на дефиницията следните функции: линеен, квадратичен, кубична функция, полиноми, експоненциал, синус, косинус. Те са определени на (наборът от всички реални числа). За тангенси, арксинуси, така да бъде, прощавам ти =) - по-редките графики не се запомнят веднага.

Обхватът на дефиницията изглежда просто нещо и възниква логичен въпрос: за какво ще бъде статията? В този урок ще разгледам често срещани проблеми при намиране на домейна на функция. Освен това ще повторим неравенства с една променлива, чиито умения за решаване ще бъдат необходими при други задачи висша математика. Материалът, между другото, е изцяло учебен материал, така че ще бъде полезен не само за ученици, но и за ученици. Информацията, разбира се, не претендира за енциклопедичност, но тук не са пресилени „мъртви“ примери, а печени кестени, които са взети от реални практически работи.

Нека започнем с едно бързо гмуркане в темата. Накратко за основното: говорим за функция на една променлива. Неговата област на дефиниране е много значения на "x", за което съществуватзначения на "играчи". Нека помислим условен пример:

Областта на дефиниране на тази функция е обединение на интервали:
(за тези, които са забравили: - икона за обединение). С други думи, ако вземете произволна стойност на “x” от интервала, или от, или от, тогава за всяко такова “x” ще има стойност “y”.

Грубо казано, където е областта на дефиницията, има графика на функцията. Но полуинтервалът и точката "tse" не са включени в областта на дефиницията и там няма графика.

Как да намеря домейна на функция? Много хора помнят детските стихчета: „камък, ножици, хартия“ и в в този случайможе безопасно да се перифразира: „корен, дроб и логаритъм“. По този начин, ако вие житейски пътсрещне дроб, корен или логаритъм, веднага трябва да сте много, много внимателни! Тангенс, котангенс, арксинус, аркосинус са много по-рядко срещани и ние също ще говорим за тях. Но първо, скици от живота на мравките:

Домейн на функция, която съдържа дроб

Да предположим, че ни е дадена функция, съдържаща някаква дроб. Както знаете, не можете да разделите на нула: , така че тези Стойностите „X“, които превръщат знаменателя в нула, не са включени в обхвата на тази функция.

Няма да се спирам на най-много прости функциикато и т.н., тъй като всеки вижда перфектно точки, които не са включени в неговата област на дефиниране. Нека да разгледаме по-смислени дроби:

Пример 1

Намерете домейна на функция

Решение: В числителя няма нищо специално, но знаменателят трябва да е различен от нула. Нека го зададем равно на нула и се опитаме да намерим „лошите“ точки:

Полученото уравнение има два корена: . Стойности на данните не са в обхвата на функцията. Наистина, заместете или във функцията и ще видите, че знаменателят отива на нула.

отговор: обхват на дефиницията:

Записът гласи така: „домейнът на дефиницията е всички реални числа с изключение на набора, състоящ се от стойности " Нека ви напомня, че символът обратна наклонена черта в математиката означава логическо изваждане, а фигурните скоби означават множество. Отговорът може да бъде еквивалентно написан като обединение на три интервала:

На който му харесва.

По точки функция толерира безкрайни почивкии прави линии, дадени чрез уравнения са вертикални асимптотиза графиката на тази функция. Това обаче е малко по-различна тема и няма да се спирам повече на нея.

Пример 2

Намерете домейна на функция

Задачата е по същество устна и много от вас почти веднага ще намерят областта на дефиниция. Отговорът е в края на урока.

Дробта винаги ли ще бъде „лоша“? не Например функция е дефинирана на цялата числова ос. Без значение каква стойност на „x“ вземем, знаменателят няма да стигне до нула, освен това винаги ще бъде положителен: . По този начин обхватът на тази функция е: .

Всички функции като определени и непрекъснатона .

Ситуацията е малко по-сложна, когато знаменателят е зает квадратен тричлен:

Пример 3

Намерете домейна на функция

Решение: Нека се опитаме да намерим точките, в които знаменателят отива на нула. За това ние ще решим квадратно уравнение:

Дискриминантът се оказа отрицателен, което означава истински коренине и нашата функция е дефинирана на цялата числова ос.

отговор: обхват на дефиницията:

Пример 4

Намерете домейна на функция

Това е пример за независимо решение. Решението и отговорът са в края на урока. Съветвам ви да не бъдете мързеливи с прости проблеми, тъй като ще се натрупат недоразумения с по-нататъшни примери.

Домейн на функция с корен

Функцията квадратен корен е дефинирана само за тези стойности на "x", когато радикалният израз е неотрицателен: . Ако коренът се намира в знаменателя , тогава условието очевидно е затегнато: . Подобни изчисления са валидни за всеки корен с положителна четна степен: , обаче коренът е вече от 4-та степен в функционални изследванияне си спомням

Пример 5

Намерете домейна на функция

Решение: радикалният израз трябва да е неотрицателен:

Преди да продължа с решението, нека ви припомня основните правила за работа с неравенства, познати от училище.

апелирам специално внимание! Сега разглеждаме неравенствата с една променлива- тоест за нас има само едно измерение по оста. Моля, не бъркайте с неравенства на две променливи, където геометрично всички координатна равнина. Има обаче и приятни съвпадения! И така, за неравенството следните трансформации са еквивалентни:

1) Условията могат да се прехвърлят от част на част чрез промяна на техните (условията) знаци.

2) И двете страни на неравенството могат да се умножат по положително число.

3) Ако двете страни на неравенството се умножат по отрицателенномер, тогава трябва да промените знак за самото неравенство. Например, ако е имало „повече“, тогава ще стане „по-малко“; ако е било „по-малко или равно“, тогава ще стане „по-голямо или равно“.

В неравенството преместваме „тройката“ в дясната страна с промяна на знака (правило № 1):

Нека умножим двете страни на неравенството по –1 (правило № 3):

Нека умножим двете страни на неравенството по (правило № 2):

отговор: обхват на дефиницията:

Отговорът може да бъде написан и с еквивалентна фраза: „функцията е дефинирана в .“
Геометрично зоната на дефиниране се изобразява чрез засенчване на съответните интервали по абсцисната ос. В този случай:

Напомням ви още веднъж геометричен смисълобласт на дефиниция – графика на функция съществува само в защрихованата област и отсъства при .

В повечето случаи е подходящо чисто аналитично определяне на областта на дефиниране, но когато функцията е много сложна, трябва да начертаете ос и да направите бележки.

Пример 6

Намерете домейна на функция

Това е пример, който можете да решите сами.

Когато под квадратния корен има квадратен бином или трином, ситуацията става малко по-сложна и сега ще анализираме подробно техниката на решение:

Пример 7

Намерете домейна на функция

Решение: радикалният израз трябва да е строго положителен, тоест трябва да решим неравенството. На първата стъпка се опитваме да разложим на множители квадратния трином:

Дискриминантът е положителен, търсим корени:

И така, параболата пресича оста x в две точки, което означава, че част от параболата е разположена под оста (неравенство), а част от параболата е разположена над оста (неравенството, от което се нуждаем).

Тъй като коефициентът е , клоновете на параболата сочат нагоре. От горното следва, че неравенството е изпълнено на интервалите (клоновете на параболата вървят нагоре до безкрайност), а върхът на параболата се намира на интервала под оста x, което съответства на неравенството:

! Забележка: Ако не разбирате напълно обясненията, моля начертайте втората ос и цялата парабола! Препоръчително е да се върнете към статията и ръководството Горещи формули за училищен курс по математика.

Моля, обърнете внимание, че самите точки са премахнати (не са включени в решението), тъй като нашето неравенство е строго.

отговор: обхват на дефиницията:

Като цяло много неравенства (включително разглежданото) се решават от универсалното интервален метод, познат отново от училищна програма. Но в случаите на квадратни биноми и триноми, според мен, е много по-удобно и по-бързо да се анализира местоположението на параболата спрямо оста. И ние ще анализираме основния метод - интервалния метод - подробно в статията. Функционални нули. Интервали на постоянство.

Пример 8

Намерете домейна на функция

Това е пример, който можете да решите сами. Примерът коментира подробно логиката на разсъжденията + втория метод за решаване и още един важна трансформациянеравенство, без да знае за което ученикът ще куца с единия крак..., ...хм... относно крака може би се развълнувах, по-скоро с единия пръст. Палец.

Може ли функция за квадратен корен да бъде дефинирана върху цялата числова ос? Със сигурност. Всички познати лица: . Или подобна сума с показател: . Наистина, за всякакви стойности на "x" и "ka": , следователно също и .

Но по-малко очевиден пример: . Тук дискриминантът е отрицателен (параболата не пресича оста х), докато клоновете на параболата са насочени нагоре, следователно областта на дефиниция: .

Обратният въпрос: може ли областта на дефиниция на функция да бъде празен? Да, и един примитивен пример веднага се предлага , където радикалният израз е отрицателен за всяка стойност на „x“, а домейнът на дефиниция: (икон празен комплект). Такава функция изобщо не е дефинирана (разбира се, графиката също е илюзорна).

С нечетни корени и т.н. всичко е много по-добре - тук радикалното изразяване може да бъде отрицателно. Например функция е дефинирана на цялата числова ос. Функцията обаче има една точка, която все още не е включена в областта на дефиниция, тъй като знаменателят е зададен на нула. По същата причина за функцията точките са изключени.

Област на функция с логаритъм

Третата обща функция е логаритъмът. Като проба ще нарисувам натурален логаритъм, което се среща в приблизително 99 примера от 100. Ако определена функция съдържа логаритъм, тогава нейната област на дефиниция трябва да включва само тези стойности на „x“, които удовлетворяват неравенството. Ако логаритъма е в знаменателя: , тогава допълнителноналожено е условие (от ).

Пример 9

Намерете домейна на функция

Решение: в съответствие с горното ще съставим и решим системата:

Графично решениеза манекени:

отговор: обхват на дефиницията:

Ще се спра на още един техническа точка– Нямам посочен мащаб и деленията по оста не са отбелязани. Възниква въпросът: как да направите такива рисунки в тетрадка на карирана хартия? Трябва ли разстоянието между точките да се измерва с клетки стриктно в съответствие с мащаба? Тя е по-канонична и по-строга, разбира се, в мащаб, но схематичен чертеж, който фундаментално отразява ситуацията, също е напълно приемлив.

Пример 10

Намерете домейна на функция

За да разрешите проблема, можете да използвате метода от предишния параграф - анализирайте как е разположена параболата спрямо оста x. Отговорът е в края на урока.

Както можете да видите, в царството на логаритмите всичко е много подобно на ситуацията с квадратни корени: функцията (квадратен тричлен от пример № 7) е определен върху интервалите, а функцията (квадратен бином от пример № 6) на интервала . Неудобно е дори да се каже, че типовите функции са дефинирани на цялата числова ос.

Полезна информация : интересно типична функция, то е определено на цялата числова ос с изключение на точката. Съгласно свойството на логаритъма „двойката” може да се умножи извън логаритъма, но за да не се променя функцията, „x” трябва да бъде оградено под знака за модул: . Ето още един за теб" практическо приложение» модул =). Това е, което трябва да направите в повечето случаи, когато рушите дажестепен, например: . Ако основата на степента е очевидно положителна, например, тогава няма нужда от знак за модул и е достатъчно да използвате скоби: .

За да избегнем повторение, нека усложним задачата:

Пример 11

Намерете домейна на функция

Решение: в тази функция имаме корен и логаритъм.

Коренният израз трябва да е неотрицателен: , а изразът под знака за логаритъм трябва да е строго положителен: . Следователно е необходимо да се реши системата:

Много от вас знаят много добре или интуитивно се досещат, че системното решение трябва да удовлетворява на всичкисъстояние.

Като изследваме местоположението на параболата спрямо оста, стигаме до заключението, че неравенството е изпълнено от интервала (синьо засенчване):

Неравенството очевидно съответства на „червения“ полуинтервал.

Тъй като и двете условия трябва да бъдат изпълнени едновременно, тогава решението на системата е пресечната точка на тези интервали. " Общи интереси» се срещат на полуинтервала.

отговор: обхват на дефиницията:

Типичното неравенство, както е демонстрирано в пример № 8, не е трудно за разрешаване аналитично.

Намереният домейн няма да се промени за „подобни функции“, напр. или . Можете също така да добавите някои непрекъснати функции, например: или така: , или дори така: . Както се казва, коренът и логаритъма са упорити неща. Единственото нещо е, че ако една от функциите бъде „нулирана“ до знаменателя, тогава домейнът на дефиницията ще се промени (въпреки че в общ случайтова не винаги е вярно). Е, в теорията на матан за този словесен... о... има теореми.

Пример 12

Намерете домейна на функция

Това е пример, който можете да решите сами. Използването на чертеж е доста подходящо, тъй като функцията не е най-простата.

Още няколко примера за затвърждаване на материала:

Пример 13

Намерете домейна на функция

Решение: нека съставим и решим системата:

Всички действия вече са обсъдени в цялата статия. Нека изобразим интервала, съответстващ на неравенството на числовата линия и според второто условие елиминираме две точки:

Смисълът се оказа напълно без значение.

отговор: област на дефиниция

Малка математическа игра на думи за вариант на 13-ия пример:

Пример 14

Намерете домейна на функция

Това е пример, който можете да решите сами. Тези, които са го пропуснали, нямат късмет ;-)

Последният раздел на урока е посветен на по-редки, но и „работещи“ функции:

Области за дефиниране на функции
с тангенси, котангенси, арксинуси, аркосинуси

Ако някоя функция включва , тогава от нейната област на дефиниция изключениточки , Къде З– набор от цели числа. По-специално, както е отбелязано в статията Графики и свойства на елементарни функции, функцията има следните стойности:

Тоест домейнът на дефиниция на допирателната: .

Нека не убиваме много:

Пример 15

Намерете домейна на функция

Решение: в този случай следните точки няма да бъдат включени в областта на дефиницията:

Нека хвърлим "двойката" от лявата страна в знаменателя на дясната страна:

В резултат на това :

отговор: обхват на дефиницията: .

По принцип отговорът може да се запише и като съюз безкраен бройинтервали, но дизайнът ще бъде много тромав:

Аналитичното решение е напълно съвместимо с геометрична трансформация на графиката: ако аргументът на функция се умножи по 2, тогава нейната графика ще се свие до оста два пъти. Забележете как периодът на функцията е намален наполовина и точки на прекъсванеудвоена честота. тахикардия.

Подобна историяс котангенс. Ако някоя функция включва , тогава точките се изключват от нейната област на дефиниция. По-конкретно, за функцията за автоматичен пакет заснемаме следните стойности:

С други думи:

В математиката има сравнително малък брой елементарни функции, чийто обхват е ограничен. Всички останали "сложни" функции са просто комбинации и комбинации от тях.

1. Дробна функция - ограничение на знаменателя.

2. Корен от четна степен - ограничение на радикалното изразяване.

3. Логаритми - ограничения върху основата на логаритъм и подлогаритмичен израз.

3. Тригонометрични tg(x) и ctg(x) - ограничение на аргумента.

За допирателната:

4. Обратни тригонометрични функции.

арксинус	аркосинус	Арктангенс, Арктангенс

След това се решават следните примери по темата „Област на дефиниране на функции“.

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Пример 6

Пример 7

Пример 8

Пример 9

Пример 10

Пример 11

Пример 12

Пример 13

Пример 14

Пример 15

Пример 16

Пример за намиране на областта на дефиниция на функция №1

Намиране на областта на дефиниция на всяка линейна функция, т.е. функции от първа степен:

y = 2x + 3 - уравнението определя права линия в равнина.

Нека да разгледаме внимателно функцията и да помислим какви числени стойности можем да заместим в уравнението вместо променливата x?

Нека се опитаме да заместим стойността x=0

Тъй като y = 2 0 + 3 = 3 - получихме числова стойност, следователно функцията съществува за дадената стойност на променливатах=0.

Нека се опитаме да заместим стойността x=10

тъй като y = 2·10 + 3 = 23 - функцията съществува за дадена стойност на променливата x = 10.

Нека се опитаме да заместим стойността x=-10

тъй като y = 2·(-10) + 3 = -17 - функцията съществува за дадена стойност на променливата x = -10.

Уравнението определя права линия в равнина, а правата линия няма нито начало, нито край, следователно съществува за всякакви стойности на x.

Имайте предвид, че без значение какви числови стойности заместваме в дадена функция вместо x, винаги ще получим числената стойност на променливата y.

Следователно функцията съществува за всяка стойност x ∈ R или я записваме така: D(f) = R

Форми на записване на отговора: D(f)=R или D(f)=(-∞:+∞)или x∈R или x∈(-∞:+∞)

Нека заключим:

За всяка функция от вида y = ax + b, домейнът на дефиниция е множеството от реални числа.

Пример за намиране на областта на дефиниция на функция № 2

Функция на формата:

y = 10/(x + 5) - уравнение на хипербола

Когато работите с дробна функция, не забравяйте, че не можете да делите на нула. Следователно функцията ще съществува за всички стойности на x, които не са

задайте знаменателя на нула. Нека се опитаме да заменим някои произволни стойности X.

При x = 0 имаме y = 10/(0 + 5) = 2 - функцията съществува.

За x = 10 имаме y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/3- функцията съществува.

При x = -5 имаме y = 10/(-5 + 5) = 10/0 - функцията не съществува в тази точка.

Тези. Ако дадена функциядробна, тогава е необходимо знаменателят да се приравни на нула и да се намери точка, в която функцията не съществува.

В нашия случай:

x + 5 = 0 → x = -5 - в този момент дадената функция не съществува.

x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5

За по-голяма яснота, нека го изобразим графично:

На графиката виждаме също, че хиперболата се доближава възможно най-близо до правата линия x = -5, но не достига самата стойност -5.

Виждаме, че дадената функция съществува във всички точки на реалната ос, с изключение на точката x = -5

Формуляри за записване на отговорите: D(f)=R\(-5)или D(f)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) или х ∈ R\(-5)или х ∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)

Ако дадената функция е дробна, тогава наличието на знаменател налага условието знаменателят да не е равен на нула.

Пример за намиране на областта на дефиниция на функция №3

Нека разгледаме пример за намиране на областта на дефиниция на функция с корен от четна степен:

защото корен квадратенможем само да извличаме от неотрицателно число, следователно функцията под корена е неотрицателна.

2x - 8 ≥ 0

Нека решим едно просто неравенство:

2x - 8 ≥ 0 → 2x ≥ 8 → x ≥ 4

Посочената функция съществува само за намерените стойности на x ≥ 4 или D(f)= ∪ ∪

IN словесен начинКогато задавате функция, трябва внимателно да прочетете условието и да намерите ограничения за X там. Понякога очите търсят формули, но думите свистят покрай съзнанието, да...) Пример от предишния урок:

Функцията се определя от условието: всяка стойност на естествения аргумент x е свързана със сумата от цифрите, които съставляват стойността на x.

Тук трябва да се отбележи, че говорим самоО природни ценности X. Тогава D(f)незабавно записано:

D(f): x ∈ Н

Както можете да видите, обхватът на функцията не е такъв сложна концепция. Намирането на тази област се свежда до изследване на функцията, записване на система от неравенства и решаване на тази система. Разбира се, има всякакви системи, прости и сложни. но...

аз ще го отворя малка тайна. Понякога функция, за която трябва да намерите домейна на дефиницията, изглежда просто плашеща. Искам да пребледня и да заплача.) Но щом напиша системата от неравенства... И изведнъж системата се оказва елементарна! Освен това често колкото по-ужасна е функцията, толкова по-проста е системата...

Морал: очите се страхуват, главата решава!)

Всяка функция има две променливи - независима променлива и зависима променлива, чиито стойности зависят от стойностите на независимата променлива. Например във функцията г = f(х) = 2х + гНезависимата променлива е "x", а зависимата променлива е "y" (с други думи, "y" е функция на "x"). Валидните стойности на независимата променлива "x" се наричат ​​домейн на функцията, а валидните стойности на зависимата променлива "y" се наричат ​​домейн на функцията.

стъпки

част 1

Намиране на домейн на функция

Определете вида на предоставената ви функция.Диапазонът от стойности на функцията е всички валидни стойности "x" (положени по хоризонталната ос), които съответстват на валидни стойности "y". Функцията може да бъде квадратна или да съдържа дроби или корени. За да намерите домейна на функция, първо трябва да определите типа на функцията.

1. Изберете подходящия запис за обхвата на функцията.Обхватът на дефиницията е изписан в квадрат и/или скоби. Квадратна скобаприлага се, когато стойността е в обхвата на функцията; ако стойността не е в обхвата на дефиницията, се използва скоба. Ако функцията има няколко несъседни домейна, между тях се поставя символ „U“.

   • Например обхватът на [-2,10)U(10,2] включва стойностите -2 и 2, но не включва стойността 10.

2. Начертайте графика квадратична функция. Графиката на такава функция е парабола, чиито клонове са насочени нагоре или надолу. Тъй като параболата нараства или намалява по цялата ос Х, областта на дефиниране на квадратичната функция са всички реални числа. С други думи, домейнът на такава функция е множеството R (R означава всички реални числа).

   • За да разберете по-добре концепцията за функция, изберете произволна стойност на „x“, заменете я във функцията и намерете стойността на „y“. Двойка стойности "x" и "y" представляват точка с координати (x,y), която лежи върху графиката на функцията.
   • Начертайте тази точка върху координатната равнина и направете същия процес с различна стойност на x.
   • Като начертаете няколко точки върху координатната равнина, получавате обща идеяза формата на графиката на функция.

3. Ако функцията съдържа дроб, задайте нейния знаменател на нула.Не забравяйте, че не можете да делите на нула. Следователно, като зададете знаменателя на нула, ще намерите стойности на "x", които не са в домейна на функцията.

   • Например, намерете домейна на функцията f(x) = (x + 1) / (x - 1) .
   • Тук знаменателят е: (x - 1).
   • Приравнете знаменателя на нула и намерете “x”: x - 1 = 0; х = 1.
   • Запишете областта на дефиниция на функцията. Домейнът на дефиниция не включва 1, т.е. включва всички реални числа с изключение на 1. Така дефинираният домейн на функцията е: (-∞,1) U (1,∞).
   • Нотацията (-∞,1) U (1,∞) се чете така: набор от всички реални числа с изключение на 1. Символът за безкрайност ∞ означава всички реални числа. В нашия пример всички реални числа, които са по-големи от 1 и по-малки от 1, са включени в домейна.

4. Ако функция съдържа квадратен корен, тогава радикалният израз трябва да е по-голям или равен на нула.Запомнете, че корен квадратен от отрицателни числане е извлечена. Следователно всяка стойност на „x“, при която радикалният израз става отрицателен, трябва да бъде изключена от областта на дефиниране на функцията.

   • Например, намерете домейна на функцията f(x) = √(x + 3).
   • Радикален израз: (x + 3).
   • Радикалният израз трябва да бъде по-голям или равен на нула: (x + 3) ≥ 0.
   • Намерете "x": x ≥ -3.
   • Домейнът на тази функция включва множеството от всички реални числа, които са по-големи или равни на -3. Така дефиниционната област е [-3,∞).

   Част 2

   Намиране на диапазона на квадратична функция

   1. Уверете се, че ви е дадена квадратична функция.Квадратната функция има формата: ax 2 + bx + c: f(x) = 2x 2 + 3x + 4. Графиката на такава функция е парабола, чиито клонове са насочени нагоре или надолу. има различни методинамиране на диапазона от стойности на квадратична функция.

      • Най-лесният начин да намерите обхвата на функция, съдържаща корен или дроб, е да начертаете графика на функцията с помощта на графичен калкулатор.

   2. Намерете координатата x на върха на графиката на функцията.За квадратична функция намерете координатата x на върха на параболата. Запомнете, че квадратичната функция е: ax 2 + bx + c. За да изчислите координатата x, използвайте следното уравнение: x = -b/2a. Това уравнение е производна на основната квадратична функция и описва тангенса, наклонкойто равно на нула(допирателната към върха на параболата е успоредна на оста X).

      • Например, намерете диапазона на функцията 3x 2 + 6x -2.
      • Изчислете координатата x на върха на параболата: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1

   3. Намерете y-координатата на върха на графиката на функцията.За да направите това, заменете намерената координата "x" във функцията. Търсена координата"y" представлява граничната стойност на обхвата на функцията.

      • Изчислете y координатата: y = 3x 2 + 6x – 2 = 3(-1) 2 + 6(-1) -2 = -5
      • Координатите на върха на параболата на тази функция са (-1,-5).

   4. Определете посоката на параболата, като включите поне една x стойност във функцията.Изберете всяка друга стойност на x и я включете във функцията, за да изчислите съответната стойност на y. Ако намерената стойност "y" е по-голяма от координатата "y" на върха на параболата, тогава параболата е насочена нагоре. Ако намерената стойност "y" е по-малка от координатата "y" на върха на параболата, тогава параболата е насочена надолу.

      • Заместете във функцията x = -2: y = 3x 2 + 6x – 2 = y = 3(-2) 2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
      • Координати на точка, лежаща върху параболата: (-2,-2).
      • Намерените координати показват, че клоните на параболата са насочени нагоре. По този начин диапазонът на функцията включва всички стойности на "y", които са по-големи или равни на -5.
      • Диапазон от стойности на тази функция: [-5, ∞)

   5. Домейнът на функция се записва подобно на домейна на функция.Квадратната скоба се използва, когато стойността е в обхвата на функцията; ако стойността не е в диапазона, се използва скоба. Ако функцията има няколко несъседни диапазона от стойности, между тях се поставя символ „U“.

      • Например диапазонът [-2,10)U(10,2] включва стойностите -2 и 2, но не включва стойността 10.
      • Със символа за безкрайност ∞ винаги се използват скоби.