Разлагане на квадратни скоби. Урок "Разлагане на разлики на n-ти степени"

Имайки предвид умножението на полиноми, си спомнихме няколко формули, а именно: формули за (a + b)², за (a – b)², за (a + b) (a – b), за (a + b)³ и за (a – b)³.

Ако се окаже, че даден полином съвпада с една от тези формули, тогава ще бъде възможно да се разложи на фактори. Например полиномът a² – 2ab + b², както знаем, е равен на (a – b)² [или (a – b) · (a – b), т.е. успяхме да разложим a² – 2ab + b² на 2 фактора ]; Също

Нека да разгледаме втория от тези примери. Виждаме, че полиномът, даден тук, отговаря на формулата, получена чрез повдигане на квадрат на разликата на две числа (квадрата на първото число, минус произведението от две по първото число и второто, плюс квадрата на второто число): x 6 е квадратът на първото число и следователно , самото първо число е x 3, квадратът на второто число е последният член на дадения полином, т.е. 1, самото второ число следователно също е 1; произведението на две по първото число, а второто е членът –2x 3, защото 2x 3 = 2 x 3 1. Следователно нашият полином е получен чрез повдигане на квадрат разликата на числата x 3 и 1, т.е. той е равен на (x 3 – 12 . Нека да разгледаме друг 4-ти пример. Виждаме, че този многочлен a 2 b 2 – 25 може да се разглежда като разликата на квадратите на две числа, а именно квадратът на първото число е a 2 b 2, следователно самото първо число е ab, квадратът на второто число е 25, защо самото второ число е 5. Следователно нашият полином може да се счита за получен от умножаването на сумата от две числа по тяхната разлика, т.е.

(ab + 5) (ab – 5).

Понякога се случва в даден полином членовете да не са подредени в реда, в който сме свикнали, например.

9a 2 + b 2 + 6ab – мислено можем да пренаредим втория и третия член и тогава ще ни стане ясно, че нашият тричлен = (3a + b) 2.

... (мислено пренаредете първия и втория член).

25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2 и т.н.

Нека разгледаме друг полином

a 2 + 2ab + 4b 2 .

Виждаме, че неговият първи член е квадратът на числото a, а третият член е квадратът на числото 2b, но вторият член не е произведението на две от първото число и второто - такова произведение би било равно на 2 a 2b = 4ab. Следователно е невъзможно да се приложи формулата за квадрат на сумата от две числа към този полином. Ако някой напише, че a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, тогава това би било неправилно - човек трябва внимателно да обмисли всички членове на полинома, преди да приложи факторизиране към него с помощта на формули.

40. Комбинация от двете техники. Понякога, когато разлагате полиноми на множители, трябва да комбинирате както техниката за изваждане на общия множител извън скоби, така и техниката за използване на формули. Ето примери:

1. 2a 3 – 2ab 2. Нека първо извадим общия множител 2a извън скобите и ще получим 2a (a 2 – b 2). Факторът a 2 – b 2 от своя страна се разлага по формулата на фактори (a + b) и (a – b).

Понякога трябва да използвате техниката за разлагане на формулата няколко пъти:

1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

Виждаме, че първият фактор a 2 + b 2 не отговаря на нито една от познатите формули; Освен това, припомняйки специални случаи на деление (т. 37), ще установим, че a 2 + b 2 (сумата от квадратите на две числа) изобщо не може да бъде разложено на множители. Вторият от получените множители a 2 – b 2 (разликата на квадрат на две числа) се разлага на множители (a + b) и (a – b). Така,

41. Приложение на частни случаи на деление. Въз основа на параграф 37 можем веднага да напишем, че напр.

Разлагането на полиноми на множители е трансформация на идентичност, в резултат на която полином се трансформира в произведение на няколко фактора - полиноми или мономи.

Има няколко начина за разлагане на полиноми.

Метод 1. Изваждане на общия множител извън скоби.

Тази трансформация се основава на разпределителния закон на умножението: ac + bc = c(a + b). Същността на трансформацията е да се изолира общият фактор в двата разглеждани компонента и да се „извади“ извън скоби.

Нека разложим на множители полинома 28x 3 – 35x 4.

Решение.

1. Намерете общ делител на елементите 28x3 и 35x4. За 28 и 35 ще бъде 7; за x 3 и x 4 – x 3. С други думи, нашият общ множител е 7х3.

2. Всеки от елементите представяме като произведение на фактори, един от които
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Изваждаме общия множител извън скоби
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Метод 2. Използване на формули за съкратено умножение. „Майсторството“ да използвате този метод е да забележите една от съкратените формули за умножение в израза.

Нека разложим полинома на множители x 6 – 1.

Решение.

1. Можем да приложим формулата за разликата на квадратите към този израз. За да направите това, представете си x 6 като (x 3) 2, а 1 като 1 2, т.е. 1. Изразът ще приеме формата:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Можем да приложим формулата за сбор и разлика на кубове към получения израз:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Така,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Метод 3. Групиране. Методът на групиране включва комбиниране на компонентите на полином по такъв начин, че да е лесно да се извършват операции върху тях (събиране, изваждане, изваждане на общ фактор).

Нека разложим полинома на множители x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Решение.

1. Нека групираме компонентите по следния начин: 1-ви с 2-ри и 3-ти с 4-ти
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. В получения израз изваждаме общите множители извън скоби: x 2 в първия случай и 5 във втория.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Изваждаме общия множител x – 3 извън скобите и получаваме:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Така,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Да осигурим материала.

Разложете полинома на множители a 2 – 7ab + 12b 2.

Решение.

1. Нека представим монома 7ab като сумата 3ab + 4ab. Изразът ще приеме формата:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Нека отворим скобите и да получим:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Нека групираме компонентите на полинома по следния начин: 1-ва с 2-ра и 3-та с 4-та. Получаваме:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Нека извадим общите фактори извън скобите:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Нека извадим общия множител (a – 3b) извън скобите:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Така,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Когато се решават уравнения и неравенства, често е необходимо да се разлага на множители полином, чиято степен е три или по-висока. В тази статия ще разгледаме най-лесния начин да направите това.

Както обикновено, нека се обърнем към теорията за помощ.

Теорема на Безузаявява, че остатъкът при деление на полином на бином е .

Но за нас е важна не самата теорема, а следствие от него:

Ако числото е корен на полином, тогава полиномът се дели на бинома без остатък.

Изправени сме пред задачата по някакъв начин да намерим поне един корен на полинома, след което да разделим полинома на , където е коренът на полинома. В резултат на това получаваме полином, чиято степен е с единица по-малка от степента на първоначалния. И след това, ако е необходимо, можете да повторите процеса.

Тази задача се разделя на две: как да намерите корена на полином и как да разделите полином на бином.

Нека разгледаме по-отблизо тези точки.

1. Как да намерим корена на полином.

Първо проверяваме дали числата 1 и -1 са корени на многочлена.

Тук ще ни помогнат следните факти:

Ако сумата от всички коефициенти на полином е нула, тогава числото е коренът на полинома.

Например в полином сумата от коефициентите е нула: . Лесно е да проверите какъв е коренът на полином.

Ако сборът от коефициентите на полином при четни степени е равен на сбора от коефициентите при нечетни степени, тогава числото е коренът на полинома.Свободният член се счита за коефициент за четна степен, тъй като , a е четно число.

Например в полином сумата от коефициентите за четни степени е: , а сумата от коефициентите за нечетни степени е: . Лесно е да проверите какъв е коренът на полином.

Ако нито 1, нито -1 са корени на полинома, тогава продължаваме напред.

За намален полином от степен (т.е. полином, в който водещият коефициент - коефициентът at - е равен на единица), формулата на Vieta е валидна:

Къде са корените на многочлена.

Има и формули на Виета относно останалите коефициенти на полинома, но ние се интересуваме от тази.

От тази формула на Виета следва, че ако корените на полином са цели числа, тогава те са делители на неговия свободен член, който също е цяло число.

Въз основа на това, трябва да разделим свободния член на полинома на множители и последователно, от най-малкия към най-големия, да проверим кой от множителите е коренът на полинома.

Помислете например за полинома

Делители на свободния член: ; ; ;

Сумата от всички коефициенти на полином е равна на , следователно числото 1 не е коренът на полинома.

Сума на коефициентите за четни степени:

Сума на коефициентите за нечетни степени:

Следователно числото -1 също не е корен на полинома.

Нека проверим дали числото 2 е коренът на полинома: следователно числото 2 е коренът на полинома. Това означава, че според теоремата на Безу полиномът се дели на бином без остатък.

2. Как се разделя многочлен на бином.

Полиномът може да бъде разделен на бином чрез колона.

Разделете полинома на бином с помощта на колона:


Има и друг начин за разделяне на полином на бином - схема на Хорнер.


Гледайте това видео, за да разберете как да разделим полином на бином с колона и използвайки диаграмата на Хорнер.

Отбелязвам, че ако при разделяне на колона липсва някаква степен на неизвестното в оригиналния полином, на негово място пишем 0 - по същия начин, както при съставянето на таблица за схемата на Хорнер.

Така че, ако трябва да разделим полином на бином и в резултат на разделянето получим полином, тогава можем да намерим коефициентите на полинома, използвайки схемата на Хорнер:


Можем също да използваме Схема на Хорнерза да проверите дали дадено число е корен на полином: ако числото е корен на полином, тогава остатъкът при разделянето на полинома на е равен на нула, тоест в последната колона на втория ред на Схемата на Хорнер получаваме 0.

Използвайки схемата на Хорнер, ние „убиваме две птици с един камък“: едновременно проверяваме дали числото е корен на полином и разделяме този полином на бином.

Пример.Решете уравнението:

1. Нека запишем делителите на свободния член и потърсим корените на многочлена сред делителите на свободния член.

Делители на 24:

2. Да проверим дали числото 1 е корен на полинома.

Сумата от коефициентите на полином, следователно числото 1 е коренът на полинома.

3. Разделете оригиналния полином на бином, като използвате схемата на Horner.

А) Нека запишем коефициентите на оригиналния полином в първия ред на таблицата.

Тъй като съдържащият член липсва, в колоната на таблицата, в която трябва да бъде записан коефициентът, записваме 0. Отляво записваме намерения корен: числото 1.

Б) Попълнете първия ред на таблицата.

В последната колона, както се очакваше, получихме нула; разделихме оригиналния полином на бином без остатък. Коефициентите на полинома, получен от деленето, са показани в синьо във втория ред на таблицата:

Лесно е да се провери, че числата 1 и -1 не са корени на полинома

Б) Да продължим таблицата. Нека проверим дали числото 2 е корен на многочлена:

Така че степента на полинома, който се получава в резултат на делене на едно, е по-малка от степента на оригиналния полином, следователно броят на коефициентите и броят на колоните са с един по-малко.

В последната колона получихме -40 - число, което не е равно на нула, следователно полиномът се дели на бином с остатък и числото 2 не е корен на полинома.

В) Да проверим дали числото -2 е корен на многочлена. Тъй като предишният опит беше неуспешен, за да избегна объркване с коефициентите, ще изтрия реда, съответстващ на този опит:


Страхотен! Получихме нула като остатък, следователно полиномът беше разделен на бином без остатък, следователно числото -2 е коренът на полинома. Коефициентите на полинома, който се получава чрез разделяне на полином на бином, са показани в зелено в таблицата.

В резултат на разделянето получаваме квадратен тричлен , чиито корени могат лесно да бъдат намерени с помощта на теоремата на Vieta:

И така, корените на оригиналното уравнение са:

{}

Отговор: ( }

Понятията „полином“ и „факторизация на полином“ в алгебрата се срещат много често, защото трябва да ги знаете, за да извършвате лесно изчисления с големи многоцифрени числа. Тази статия ще опише няколко метода на разлагане. Всички те са доста лесни за използване, просто трябва да изберете правилния за всеки конкретен случай.

Концепцията за полином

Полиномът е сбор от мономи, тоест изрази, съдържащи само операцията умножение.

Например 2 * x * y е моном, но 2 * x * y + 25 е полином, който се състои от 2 монома: 2 * x * y и 25. Такива полиноми се наричат ​​биноми.

Понякога, за удобство при решаването на примери с многозначни стойности, изразът трябва да бъде трансформиран, например, разложен на определен брой фактори, тоест числа или изрази, между които се извършва действието на умножение. Има редица начини за разлагане на полином. Струва си да ги разгледаме, като започнем с най-примитивния, който се използва в началното училище.

Групиране (запис в общ вид)

Формулата за факторизиране на полином, използвайки метода на групиране, като цяло изглежда така:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Необходимо е мономите да се групират така, че всяка група да има общ фактор. В първата скоба това е факторът c, а във втората - d. Това трябва да се направи, за да се премести след това извън скобата, като по този начин се опростят изчисленията.

Алгоритъм за разлагане с помощта на конкретен пример

Най-простият пример за факторизиране на полином с помощта на метода на групиране е даден по-долу:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

В първата скоба трябва да вземете термините с коефициента a, които ще бъдат общи, а във втората - с коефициента b. Обърнете внимание на знаците + и - в готовия израз. Поставяме пред монома знака, който беше в първоначалния израз. Тоест, трябва да работите не с израза 25a, а с израза -25. Знакът минус изглежда е „залепен“ към израза зад него и винаги се взема предвид при изчисляването.

В следващата стъпка трябва да извадите множителя, който е често срещан, извън скобите. Точно за това е групирането. Да поставите извън скобата означава да напишете пред скобата (без знака за умножение) всички онези фактори, които се повтарят точно във всички членове, които са в скобата. Ако в една скоба има не 2, а 3 или повече члена, общият множител трябва да се съдържа във всеки от тях, в противен случай той не може да бъде изваден от скобата.

В нашия случай има само 2 термина в скоби. Общият множител се вижда веднага. В първата скоба е a, във втората е b. Тук трябва да обърнете внимание на цифровите коефициенти. В първата скоба и двата коефициента (10 и 25) са кратни на 5. Това означава, че не само a, но и 5a могат да бъдат извадени от скобата. Преди скобата напишете 5a и след това разделете всеки от членовете в скоби на общия фактор, който е изваден, и също напишете частното в скоби, без да забравяте за знаците + и - Направете същото с втората скоба, вземете извън 7b, както и 14 и 35, кратно на 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Имаме 2 члена: 5a(2c - 5) и 7b(2c - 5). Всеки от тях съдържа общ множител (целият израз в скоби тук е един и същ, което означава, че е общ множител): 2c - 5. Той също трябва да бъде изваден от скобите, тоест членовете 5a и 7b остават във втората скоба:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Така че пълният израз е:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Така полиномът 10ac + 14bc - 25a - 35b се разлага на 2 фактора: (2c - 5) и (5a + 7b). Знакът за умножение между тях може да се пропуска при писане

Понякога има изрази от този тип: 5a 2 + 50a 3, тук можете да поставите извън скоби не само a или 5a, но дори 5a 2. Винаги трябва да се опитвате да поставите най-големия общ множител извън скобата. В нашия случай, ако разделим всеки член на общ множител, получаваме:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(при изчисляване на частното на няколко степени с равни основи, основата се запазва и показателят се изважда). Така единицата остава в скобата (в никакъв случай не забравяйте да я напишете, ако извадите някой от членовете от скобата) и частното при деление: 10а. Оказва се, че:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Квадратни формули

За по-лесно изчисление бяха изведени няколко формули. Те се наричат ​​формули за съкратено умножение и се използват доста често. Тези формули помагат на множителите на полиноми, съдържащи степени. Това е друг ефективен начин за факторизиране. И така, ето ги:

  • a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -формула, наречена „квадрат на сумата“, тъй като в резултат на разлагането на квадрат се взема сумата от числата, затворени в скоби, т.е. стойността на тази сума се умножава сама по себе си 2 пъти и следователно е множител.
  • a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - формулата за квадрат на разликата, тя е подобна на предишната. Резултатът е разликата, оградена в скоби, съдържаща се в степента на квадрат.
  • a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- това е формула за разликата на квадратите, тъй като първоначално полиномът се състои от 2 квадрата на числа или изрази, между които се извършва изваждане. Може би от трите споменати той се използва най-често.

Примери за изчисления по квадратни формули

Изчисленията за тях са съвсем прости. Например:

  1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - използвайте формулата „квадрат на сумата“.
  2. 25x 2 е квадрат на 5x. 20xy е двойното произведение на 2*(5x*2y), а 4y 2 е квадрат на 2y.
  3. Така, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y).Този полином се разлага на 2 фактора (факторите са еднакви, така че се записва като израз с квадратна степен).

Действията, използващи формулата за квадратна разлика, се извършват подобно на тези. Останалата формула е разликата на квадратите. Примери за тази формула са много лесни за дефиниране и намиране сред други изрази. Например:

  • 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Тъй като 25a 2 = (5a) 2 и 400 = 20 2
  • 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Тъй като 36x 2 = (6x) 2 и 25y 2 = (5y 2)
  • c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). Тъй като 169b 2 = (13b) 2

Важно е всеки от членовете да е квадрат на някакъв израз. След това този полином трябва да бъде факторизиран с помощта на формулата за разликата на квадратите. За това не е необходимо втората степен да е над числото. Има полиноми, които съдържат големи степени, но все пак отговарят на тези формули.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

В този пример 8 може да бъде представено като (4) 2, тоест квадрат на определен израз. 25 е 5 2, а 10а е 4 - това е двойното произведение на членовете 2 * a 4 * 5. Тоест този израз, въпреки наличието на степени с големи експоненти, може да се разложи на 2 фактора, за да се работи впоследствие с тях.

Кубични формули

Съществуват същите формули за разлагане на полиноми, съдържащи кубове. Те са малко по-сложни от тези с квадратите:

  • a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- тази формула се нарича сума от кубове, тъй като в първоначалната си форма полиномът е сумата от два израза или числа, затворени в куб.
  • a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) -формула, идентична на предишната, се обозначава като разлика на кубчета.
  • a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - куб от сума, в резултат на изчисления, сумата от числа или изрази се затваря в скоби и се умножава по себе си 3 пъти, т.е. намира се в куб
  • a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -формулата, съставена по аналогия с предишната, променяйки само някои знаци на математически операции (плюс и минус), се нарича „куб на разликата“.

Последните две формули практически не се използват за целите на факторизирането на полином, тъй като са сложни и е достатъчно рядко да се намерят полиноми, които напълно отговарят точно на тази структура, така че да могат да бъдат факторизирани с помощта на тези формули. Но все пак трябва да ги знаете, тъй като те ще са необходими, когато работите в обратна посока - при отваряне на скоби.

Примери за кубични формули

Да разгледаме един пример: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Тук са взети доста прости числа, така че веднага можете да видите, че 64a 3 е (4a) 3, а 8b 3 е (2b) 3. По този начин този полином се разширява според формулата за разлика на кубове на 2 фактора. Действията, използващи формулата за сумата от кубчета, се извършват по аналогия.

Важно е да се разбере, че не всички полиноми могат да бъдат разширени поне по един начин. Но има изрази, които съдържат по-големи степени от квадрат или куб, но те също могат да бъдат разширени в съкратени форми за умножение. Например: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Този пример съдържа колкото 12-та степен. Но дори то може да бъде разложено на множители с помощта на формулата за сбора на кубовете. За да направите това, трябва да си представите x 12 като (x 4) 3, тоест като куб от някакъв израз. Сега, вместо a, трябва да го замените във формулата. Е, изразът 125y 3 е куб от 5y. След това трябва да съставите продукта, като използвате формулата и да извършите изчисления.

Първоначално или в случай на съмнение винаги можете да проверите чрез обратно умножение. Просто трябва да отворите скобите в получения израз и да извършите действия с подобни термини. Този метод се прилага за всички изброени методи за намаляване: както за работа с общ множител и групиране, така и за работа с формули на кубове и квадратни степени.

Факторизирането на уравнение е процес на намиране на тези членове или изрази, които, когато се умножат, водят до първоначалното уравнение. Разлагането на множители е полезно умение за решаване на основни алгебрични задачи и става почти необходимо при работа с квадратни уравнения и други полиноми. Факторингът се използва за опростяване на алгебрични уравнения, за да ги направи по-лесни за решаване. Факторингът може да ви помогне да елиминирате определени възможни отговори по-бързо, отколкото бихте направили, като решите уравнение на ръка.

стъпки

Разлагане на числа и основни алгебрични изрази

  1. Факторинг числа.Концепцията за факторизиране е проста, но на практика факторирането може да бъде предизвикателство (ако е дадено сложно уравнение). Така че първо, нека разгледаме концепцията за разлагане на множители, използвайки числа като пример, да продължим с прости уравнения и след това да преминем към сложни уравнения. Факторите на дадено число са числа, които при умножаване дават първоначалното число. Например множителите на числото 12 са числата: 1, 12, 2, 6, 3, 4, тъй като 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

    • По същия начин можете да мислите за множителите на числото като за неговите делители, тоест числата, на които числото се дели.
    • Намерете всички множители на числото 60. Често използваме числото 60 (например 60 минути в час, 60 секунди в минута и т.н.) и това число има доста голям брой множители.
      • 60 множителя: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60.

  2. Помня:членове на израз, съдържащ коефициент (число) и променлива, също могат да бъдат факторизирани. За да направите това, намерете коефициентите за променливата. Знаейки как да разлагате членовете на уравненията, можете лесно да опростите това уравнение.

    • Например членът 12x може да бъде записан като произведение на 12 и x. Можете също да запишете 12x като 3(4x), 2(6x) и т.н., като разделите 12 на коефициентите, които работят най-добре за вас.
      • Можете да раздавате 12 пъти няколко пъти подред. С други думи, не трябва да спирате на 3(4x) или 2(6x); продължете разширяването: 3(2(2x)) или 2(3(2x)) (очевидно 3(4x)=3(2(2x)) и т.н.)

  3. Приложете разпределителното свойство на умножението към факторни алгебрични уравнения.Знаейки как да разлагате числа и изразни членове (коефициенти с променливи), можете да опростите прости алгебрични уравнения, като намерите общия множител на число и изразен член. Обикновено, за да опростите уравнение, трябва да намерите най-големия общ множител (НОД). Това опростяване е възможно поради разпределителното свойство на умножението: за всякакви числа a, b, c е вярно равенството a(b+c) = ab+ac.

    • Пример. Разложете уравнението на множители 12x + 6. Първо намерете gcd на 12x и 6. 6 е най-голямото число, което дели 12x и 6, така че можете да разложите това уравнение на множители по: 6(2x+1).
    • Този процес е верен и за уравнения, които имат отрицателни и дробни членове. Например x/2+4 може да се разложи на 1/2(x+8); например, -7x+(-21) може да се разложи на -7(x+3).

    Факторизиране на квадратни уравнения

    1. Уверете се, че уравнението е дадено в квадратна форма (ax 2 + bx + c = 0).Квадратните уравнения имат формата: ax 2 + bx + c = 0, където a, b, c са числени коефициенти, различни от 0. Ако ви е дадено уравнение с една променлива (x) и в това уравнение има един или повече членове с променлива от втори ред можете да преместите всички членове на уравнението от едната страна на уравнението и да го зададете равно на нула.

      • Например, дадено е уравнението: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Това може да се преобразува в уравнението x 2 + 6x + 9 = 0, което е квадратно уравнение.
      • Уравнения с променлива x от големи поръчки, например x 3, x 4 и др. не са квадратни уравнения. Това са кубични уравнения, уравнения от четвърти ред и т.н. (освен ако такива уравнения не могат да бъдат опростени до квадратни уравнения с променлива x, повдигната на степен 2).

    2. Квадратните уравнения, където a = 1, се разширяват в (x+d)(x+e), където d*e=c и d+e=b.Ако даденото ви квадратно уравнение има формата: x 2 + bx + c = 0 (т.е. коефициентът на x 2 е 1), тогава такова уравнение може (но не е гарантирано) да бъде разширено в горните фактори. За да направите това, трябва да намерите две числа, които при умножаване дават "c", а при събиране - "b". След като намерите тези две числа (d и e), заместете ги в следния израз: (x+d)(x+e), който при отваряне на скобите води до оригиналното уравнение.

      • Например, дадено е квадратно уравнение x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 и 3+2=5, така че можете да разложите това уравнение на (x+3)(x+2).
      • За отрицателни членове направете следните малки промени в процеса на разлагане на множители:
        • Ако едно квадратно уравнение има формата x 2 -bx+c, тогава то се разширява в: (x-_)(x-_).
        • Ако едно квадратно уравнение има формата x 2 -bx-c, тогава то се разширява в: (x+_)(x-_).
      • Забележка: интервалите могат да бъдат заменени с дроби или десетични знаци. Например, уравнението x 2 + (21/2)x + 5 = 0 се разширява в (x+10)(x+1/2).

    3. Факторизиране чрез проба и грешка.Простите квадратни уравнения могат да бъдат разложени на множители чрез просто заместване на числа във възможните решения, докато намерите правилното решение. Ако уравнението има формата ax 2 +bx+c, където a>1, възможните решения се записват във формата (dx +/- _)(ex +/- _), където d и e са ненулеви числени коефициенти , които при умножаване дават a. Или d, или e (или и двата коефициента) могат да бъдат равни на 1. Ако и двата коефициента са равни на 1, използвайте метода, описан по-горе.

      • Например, дадено е уравнението 3x 2 - 8x + 4. Тук 3 има само два фактора (3 и 1), така че възможните решения се записват като (3x +/- _)(x +/- _). В този случай, замествайки -2 с интервали, ще намерите правилния отговор: -2*3x=-6x и -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x и -2*-2=4, тоест такова разширение при отваряне на скобите ще доведе до членовете на оригиналното уравнение.