Колко равни лица има паралелепипед?

Опция 1

1. Довършете изреченията

а) Правоъгълният паралелепипед е (плоска, обемна) фигура.

б) U паралелепипед_____ върхове, ________ръбове,______ лица.

в) Всеки ръб на паралелепипеда е _______________.

г) Върховете на правоъгълен паралелепипед_________________.

д) ръбове на правоъгълен паралелепипед____________________.

д) лица на правоъгълен паралелепипед____________________.

ж) За да изчислите обема на куб, ви трябва______________________.

2. Запишете фигурите, които саможе да има формата на правоъгълен паралелепипед:

А = 60 см, в = 70 см, с = 4 см. Изчислете:

2 3 g необходими?

5. От фигурите, показани на фигурата, изберете тези, които са мрежи на куба. Ако да, тогава изберете горния ръби го оцветете в синьо.

Тест "Правоъгълен паралелепипед"

Вариант 2

1. Довършете изреченията

а) Всяко лице на паралелепипеда е __________________.

б) Размерите на правоъгълен паралелепипед се наричат ​​_____.

V)U паралелепипед_______измервания.

G)MA - общ ръб на лицата __________________________.

д) Точка Р - общ връх на ребрата __________________________.

д) Точка____общ връх на ръбовете MA, MN И_____________________.

ж) Ако два куба имат еднакви ръбове, тогава техните обеми___________.

2.

а) диня; б) кутия; в) торта; г) молив; д) топка; е) къща; ж) парче сирене; з) стъкло

3. Маркирайте всички върхове на куба със син молив и всички лица на куба с червен молив.

4. Измервания на правоъгълен паралелепипед: А = 20 см, в = 30 см, с = 9 см. Изчислете:

а) дължината на всички ръбове на паралелепипеда;

б) обща повърхност;

в) обем на правоъгълен паралелепипед.

г) Колко боя е използвана, ако се знае, че на 1 дм 2 3 g необходими?

5. От показаните фигури на фигурата изберете тези, които са мрежи на куба. Ако да, тогава изберете горния ръб и го оцветете в червено.

Тест "Правоъгълен паралелепипед"

Вариант 3

1. Довършете изреченията

а) Правоъгълен паралелепипед, в който всички размери са равни, се нарича ________.

б) Лицата на куб са равни на ______________.

в) Всеки връх на куба принадлежи на _________ ръбове.

г) Ръбове, равни на ръба MN _________________________________.

д) ръбове, равни на ръба Г-Н_________________________________.

д) лица, равни на лица DPKC _______________________________.

ж) Ако една фигура е разделена на части, тогава нейният обем е ______________.

2. Запишете тези цифри, които НЕ саможе да има формата на правоъгълен паралелепипед:

а) диня; б) кутия; в) торта; г) молив; д) топка; е) къща; ж) парче сирене; з) стъкло

3. Оцветете горната и долната страна на куба в зелено, а дясната и лявата страна на куба в синьо.

Тип урок:формиране на нови знания.

Цели:

• да запознае учениците с разнообразието от геометрични тела, кои фигури се наричат ​​многоъгълници, кои фигури се наричат ​​правоъгълен паралелепипед;
• систематизиране на знанията за правоъгълник, куб;
• развитие на пространствено въображение и пространствено представяне;
• научите да анализирате получените данни и да правите заключения;
• повишаване на мотивацията за изучавания предмет.

Методи на обучение:

• Разговор (с елементи на проблемна ситуация).
• Фронтален лабораторна работа(изследователски метод).

Оборудване:проектор, диапозитиви с изображения на полиедри; модели на геометрични тела (картонени и рамкови). За всеки ученик: комплект цветна хартия; лепило; ножици; маркери; пластелин; дървени пръчки (по 12 броя - 3 групи с различна дължина); Кибритена кутияили кутия, покрита с бяла хартия.

Структура на урока:

1. Организационен момент, определяне на целта на урока (1 мин.)
2. Историческа справка– въвеждащ разговор (2 мин.)
3. Въведение в новия материал (26 мин.)
4. Първоначално консолидиране на изучения материал (5 мин.)
5. Домашна работа(3 мин.)
6. Обобщение на урока (3 мин.)

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

I. Поставяне на целта на урока

II. Малко историческа предистория

Заобиколени сме от много предмети. Те се различават по форма, размер, материал, от който са изработени, цвят,…. Хората се интересуват от различните качества на тези предмети. Математиците се интересуват от тяхната форма и размер.

Топките, с които сте играли много пъти, са със сферична форма, въпреки че всички са такива различни размери. Много небесни тела имат форма, близка до формата на топка, включително нашата планета. Чашата и моливът са във формата на цилиндър.

Моля, обърнете внимание, че формите на предметите са много разнообразни и не всяка форма има специално име.

Тъй като математиците изучават не самите обекти, а техните форми, вместо обекти, които тя разглежда геометрични тела: цилиндър, топка, куб и др. (образци на фигури на бюрото на учителя). Имената на много геометрични тела идват от древни времена и произлизат от съответните обекти. Например от Древна Гърцияидват термините „конус“ (предмет, използван за запушване на варел), „пирамида“ (огън, клада), „цилиндър“ (валяк), „ кубоид” (правоъгълни равнини).

Сред многото различни геометрични тела има голяма групаполиедри. Тези фигури (учителят показва фигурите) са полиедри. И ние ще отговорим на въпроса: "Защо тези тела се наричат ​​многостени?"

III. Въведение в новия материал

Смешни малки хора дойдоха да посетят децата: Пинокио, Молив, Незнайко, Самоделкин.

Учител:Мина време откакто не сме се виждали! Е, какво интересно ви се случи през това време? Какво ново научи? Какво научи?

Малките хора започнаха да се надпреварват да говорят какво знаят и могат по геометрия: какво е триъгълник, четириъгълник, многоъгълник, как се измерват дължина и площ.

Учител:Много добре! Колко много научихме! Можем да кажем, че вече сте запознати с геометрията. Дори не всички мои ученици се интересуват толкова от това.

Пинокио:И ние сме много заинтересовани!

Тогава той внезапно скочи до дъската и запя песен, която току-що беше измислил:

Geometry и аз сме на първо име:
Ние знаем как да сгъваме салове,
Ние знаем как да измерваме площ
И изчислете периметъра.
Можем да пеем песни за кръга...
Наистина ни харесва да можем!

Учител:Виждам, че ти, Пинокио, знаеш как да сгъваш не само салове, но и песни. Строили ли сте някога къщи от кубчета и блокове?

Молив:Не, още не сме направили това. Бяхме запознати само с плоски фигури.

Не знам:Какво е "плоско"? Ти не ни каза такава дума, Молив.

Молив:Вярно, не казах думата „плосък“. Но това са цифрите, с които сме работили досега. Триъгълник, четириъгълник, многоъгълник, кръг - всичко това са плоски фигури. Всяка такава фигура може да бъде изрязана от лист хартия, поставена изцяло на масата или прикрепена към дъската.

Учител:Задача за целия клас: изрежете плоска форма от цветна хартия и я поставете на масата.

Самоделкин:Но кубът не е плоска фигура, нали? Не можете ли да го поставите изцяло на масата? Както и да го поставите, той определено ще се издигне над масата.

Учител:Да, кубът със сигурност не е плосък. Само дето не го наричат ​​фигура. В геометрията има специално наименование - тяло. Кубът е геометрично тяло.

Молив:Топката също е геометрично тяло.

Не знам:Какви други геометрични тела има?

Учител:Момчета, помогнете Не знам, назовете геометричните тела. (Учениците се самоназовават, ако възникне затруднение, забавни хора им помагат.)

Не знам:Колко интересно! Куб, сфера, цилиндър, правоъгълен паралелепипед. Нека поговорим за правоъгълния паралелепипед по-подробно.

Пинокио:Какво можем да кажем за него? Както и да го кажеш, от всички страни е едно и също. Всички страни са правоъгълници.

Учител:Бяхте прав за правоъгълниците. Само че всеки такъв правоъгълник се нарича не страна, а лице на правоъгълен паралелепипед. Кажи ми, Пинокио, колко лица има един правоъгълен паралелепипед?

Пинокио:Четири.

Учител:Отговорете и на този въпрос, момчета. Съгласни ли сте с Буратино? (Учениците отговарят.)Само дето Пинокио ​​пак бързаше. И той отговори неправилно. Всъщност правоъгълният паралелепипед има шест страни. Помислете: лежи от едната страна, другата страна е отгоре, а отстрани има още четири.

Квадрат:Освен това всички лица са подредени по двойки. Вижте - срещуположните лица са равни правоъгълници.

Самоделкин:Вижте как нарисувах моя кубоид.

Учител:Всеки от вас има правоъгълен паралелепипед - това е кутия или кибритена кутия, покрита с бяла хартия. Оцветете ги. Равни ръбове - едноцветни. Кажете: „Колко маркера ще отнеме? различни цветовеза това? (Отговор: 3, учениците изпълняват задачата, под контрола и с помощта, ако е необходимо, на учителя и забавни хора.)

– Преброихме колко лица има един правоъгълен паралелепипед. Кажи ми, молив, какво още може да се изчисли от правоъгълен паралелепипед?

Молив:Ръбове и върхове. Лицата на кубоида са правоъгълници, а страните им се наричат ​​ръбове на кубоида.

Не знам:Колко ръба има един куб?

Молив:Направете си сметката, момчета.

Учител:Първо, използвайте флумастер (от цвета, който не сте използвали), за да подчертаете ребрата на вашия модел и след това пребройте броя им.

Самоделкин заключава:Правоъгълният паралелепипед има дванадесет ръба.

Не знам:Как преброихте толкова бързо?

Самоделкин:Представих си, че кубоидът е нашият клас. Подът му е правоъгълник. Вече има четири ребра. Таванът също е правоъгълник. Още четири ребра. Вече има осем ребра. И още четири в ъглите на стените. Това прави общо дванадесет!

Учител:Самоделкин много уместно отбеляза, че нашите хладна стаяима формата на правоъгълен паралелепипед. Назовете предметите, които имат еднаква форма (учениците дават примери).

В същото време веселите човечета взеха дванадесет железни (дървени) пръта и направиха от тях правоъгълен паралелепипед.

Учител:Опитайте и вие да направите правоъгълен паралелепипед от дванадесет пръчки, лежащи пред всеки от вас. (Учениците правят занаяти, а учителят и забавните мъже помагат на тези, които имат затруднения.)

Молив:Още не сме преброили колко върха има един правоъгълен паралелепипед.

Не знам:Къде са върховете на правоъгълен паралелепипед?

Молив:Където се събират три ребра.

Учител:Задача за целия клас: намерете върховете на вашия модел и пребройте колко са в правоъгълен паралелепипед.

Самоделкин:Правоъгълният паралелепипед има общо осем върха. Виж, начертах правоъгълен паралелепипед и поставих числа във всички върхове.

Учител:Браво, Самоделкин, добра рисунка. Представихте си, че правоъгълният паралелепипед е прозрачен. Сега виждаме всички негови лица, ръбове, върхове. Но изобразяването на полиедър като прозрачен не е много удобно. Резултатът е набор от линии, които са трудни за разбиране. Гледайки този чертеж, е невъзможно да разберете как линиите са разположени в пространството.
В геометрията, за да се улесни възприемането, линиите, които са скрити от окото на наблюдателя, се изобразяват не като твърди, а като щриховани. След това ще изобразим нашия полиедър, както е показано на дъската.

IV. Първично затвърдяване на изучения материал

– Прехвърлете този чертеж в тетрадката си и го маркирайте, показвайки ръб, лице, връх в чертежа.

G – ръб R – ребро B – отгоре

G – 6 R – 12 НА 8

V. Домашна работа

Докато момчетата обобщаваха знанията си по новия материал, Пинокио ​​изрязваше нещо от хартия.

Учител:Какво правиш, Пинокио?

Пинокио:Искам да залепя правоъгълен паралелепипед от хартия. Сега вече изрязах шест от лицата му (показва). Сега ще започна да ги лепя.

Учител:Отделно изрязаните ръбове трудно се слепват, за да образуват правоъгълен паралелепипед. Има по-удобен начин. Можете да изрежете подобна форма от хартия.

– Тук всички ръбове са свързани един с друг.

Пинокио:Това е сал от шест правоъгълника!

Учител:Можете да си го представите като сал, но в математиката това се нарича размахване. Ако го огънете по този начин, той ще образува правоъгълен паралелепипед. И за да можем да го залепим, е удобно да изрежем нашите плодове с допълнителни „езичета“ за залепване.

(Равните правоъгълници са маркирани с еднакви букви.)

Домашна работа:

1. Изрежете подобен сал (по-голям по размер) с „езици“ от хартия и се опитайте да залепите правоъгълен паралелепипед от него. И за да запомните по-добре думата успоредник, следната домашна работа:

2. От на тази дума(паралелограм) създайте възможно най-много нови думи, състоящи се от букви на дадена дума (и всяка буква в нова дума може да се използва веднъж)

VI. Обобщаване

Учител:Нашето пътуване приключи.

Пинокио:Знаем ли вече всичко за геометрията?

Учител:Какво говориш, Пинокио! Разбира се, че не. Геометрията е много голяма наукаи отнема много, много време, за да го изучаваме.

Не знам:Молив, ще учим ли геометрия отново?

Молив:Определено ще го направим! Сега да обобщим.

Учител:Моля, отговорете на следните въпроси. Какво геометрично тяло срещнахме днес в клас? (Правоъгълен паралелепипед.)

Пинокио:Какви фигури се наричат ​​полиедри? (Геометрично тяло, ограничено от всички страни с плоски многоъгълници.)
Дайте примери за тези фигури (Топка, цилиндър, конус, пирамида, куб, ...)

Не знам:Все още не разбирам как да избера правоъгълен паралелепипед от всички полиедри? (Това е полиедър, чиито лица са правоъгълници и са успоредни по двойки.)

Самоделкин:Покажете на вашия каркасен модел лицата, ръбовете и върховете на правоъгълен паралелепипед.

Молив:Колко лица, ръбове и върхове има един правоъгълен паралелепипед?

Веселите човечета се сбогуват с децата, като преди това са оказали помощ при оценяването на учениците за урока.

Програма на курса

Вестник бр.	Учебен материал
	Лекция 1. Проблемът на пропедевтиката в изучаването на геометрията и анализ на начините за решаването му в миналото и настоящето
	Лекция 2. Особености умствено развитиедеца 10–12 години във връзка с обучението по геометрия
	Лекция 3. Съдържание на курса по визуална геометрия и основата на методиката за изучаването му Тест № 1
	Лекция 4. Геометрична дейност: обучение за наблюдение и развитие пространствено въображение
	Лекция 5. Геометрични дейности: преподаваме графични действия, умения за проектиране, формиране на метрични изображения
	Лекция 6. Методика за организиране на геометрична дейност на учениците, използвайки примера за формиране на идеи за симетрията Тест No2
	Лекция 7. Приоритетни формиорганизация на възпитателната работа и форми на контрол образователни постижения
	Лекция 8. Компютърни технологиикогато изучавате визуална геометрия Финална работа

Лекция 4

Геометрична дейност: обучение за наблюдение и развитие на пространственото въображение

Изучаването на геометричните форми и пространствените отношения се основава на определени действиякоито учениците трябва да усвоят. Това са дейностите по наблюдение, въображение, измерване, конструиране и графични дейности. В тази лекция ще се съсредоточим върху първите две, а останалите ще разгледаме по-късно.

Наблюдение

Има дълбоко погрешно схващане, че няма нужда да преподавате наблюдение, просто трябва да кажете: „Вижте!“ И очите ще направят всичко необходимо. Защо тогава някои ученици лесно „четат“ необходимата им информация от геометричен чертеж, докато други гледат, но не виждат нищо? За съжаление, всичко не е толкова просто и възприятието, както например мисленето, изисква внимание към неговото развитие. Развитието на способността за наблюдение става в процеса на смислена дейност на възприятие, изследване на геометрични обекти, чрез формиране на визуални стандарти, които отразяват основните геометрични конфигурации, чрез запознаване с някои специални техники, които улесняват възприемането.

Искате ли да знаете повече?

Наблюдението е смислено, интерпретативно и целенасочено възприятие.

Наблюдателността е човешка способност, проявяваща се в способността да се забелязват значими, характерни, включително фини свойства на обекти и явления. Развитие на Н. - важна задачаформиране на когнитивна нагласа и адекватно възприятиереалност. Психология. Речник / Общ изд. А.В. Петровски, М.Г. Ярошевски. - М.: Политиздат, 1990.

Действията за наблюдение съставляват основното съдържание на задачите, чиято цел е:

• Създаване ментален образ геометричен обект;
• разпознаване на дадени конфигурации или фигури;
• сравнение на пряко възприемани обекти или групи от обекти.

Създаване на мисловен образ на геометричен обект - това е вероятно ключов моментза формиране на геометрични понятия, за изучаване на свойствата на геометричните фигури. И тук е изключително важно създаването на образа да става в процеса на правилно организирани, разнообразни дейности за цялостно изследване на обекта. Нека покажем това със следния пример.

Пример 1. Формиране на представа за правоъгълен паралелепипед.

Може да изглежда, че такива идеи се формират в предучилищна възраст, защото това е най-често срещаната геометрична фигура в света около нас. Но това не е вярно. За да проверите това, просто помолете петокласниците да отговорят на въпроса колко лица има един куб. А на въпроса за броя на ръбовете, отговорите ще бъдат много различни, дори ако кубът е в ръцете на всички. Ще видите, че не всеки може дори да преброи ребрата!

За да създадат изображение на паралелепипед, учениците трябва да извършат различни практически действия с модели на паралелепипед и под ръководството на учител, който ще ръководи и ръководи процеса на изпитване: посочва кои характеристики трябва да бъдат подчертани, да ги наименува и т.н. . Учениците трябва да вземат модела на паралелепипеда в ръцете си (може да бъде дървен блок, кибритена кутия, хартиен модел, залепен заедно от развитие и т.н.), да извършат следните действия:

1) прокарайте длан по повърхността му и почувствайте, че се състои от плоски части;

2) разгледайте отделни плоски части - лицата на паралелепипеда, определете тяхната форма;

3) фиксирайте противоположните ръбове, например с пръсти, визуално установете тяхното равенство;

4) фиксирайте всяко лице с пръсти (три пръста на едната ръка и три пръста на другата), определете броя на лицата;

5) преместете дланта си по повърхността на паралелепипеда, подчертавайки линията на счупване - ръба на паралелепипеда; изберете лицата, към чиито граници принадлежи това ребро; изберете други ръбове, принадлежащи на същите лица; изберете още няколко ръба на паралелепипеда;

6) изберете групи от равни ръбове на паралелепипеда и определете техния брой; кръг равни ръбовемолив от същия цвят;

7) изберете върховете на паралелепипеда; поставяйки го между дланите, определете характеристиките на местоположението на върховете;

8) фиксирайте всеки връх с един пръст и пребройте броя им;

9) избирайки един от върховете, определете броя на ръбовете, събиращи се в този връх; сравнете дължините на тези ребра (на око; като прокарате пръст по тях; чрез измерване); направете това за други върхове; забележете, че три ръба с различни дължини се събират във всеки връх;

10) фиксирайте вниманието върху лицата, събиращи се в един връх: техния брой, размери.

Каква е разликата между мисловен образ, създаден в резултат на такова цялостно и подробно изследване, и образ, който възниква по време на обикновен визуална демонстрация? Точно същото като между идеите за кола, едната от които се създава след гледане на снимка, а другата след тест драйв и възможност да се „разрови в двигателя“. Образът, който се създава в резултат на самостоятелно извършени действия, е изпълнен със знания за свойствата на обекта, в в противен случай- това е просто снимка.

Описаното изследване използва много различни дейности. И прости тактилни действия и движения, които се „използват“ за всяко дете от ранна детска възраст (например движения на ръцете, които фиксират един или друг елемент от изучавания обект, който е подчертан в момента, фокусирайки вниманието върху него; в същото време , учениците могат сами да измислят методи за фиксиране). Те помагат да се извършват и ръководят по-сложни действия, които съчетават визуално сравнение, сравнение и анализ на отделни елементи, определяне на техните количествени характеристики, синтез на тези елементи в едно цяло и идентифициране на ключови характеристики на обекта на изследване.

Всъщност наблюдението тук също действа като изследователски метод, тъй като предложеният набор от действия представлява план за систематично наблюдение. Накарайте учениците да направят описаното изследване и след това ги помолете да споделят какво знаят за кутията.

Решението на проблема сравнение на пряко възприемани обекти изисква от учениците да могат да забелязват общи черти и разлики в разглежданите обекти, да намират значими сред тях и по този начин служи за формиране на понятия.

Пример 2. Фигура 1 показва две групи линии. По какво линиите на една група се различават от линиите на друга?

Задачата за сравнение в тази задача е формулирана директно. Сравнявайки линиите от всяка група, учениците трябва да видят, че линиите от първата група нямат самопресечения, а линиите от втората група имат самопресечения.

Пример 3. Фигура 2 показва два успоредника. Покажете, че тези успоредници са равни по площ.

Тук проблемът за сравнение не е изрично формулиран, но е същността на проблема, тъй като за решаването му учениците трябва да забележат, че и двата паралелограмни данни могат да бъдат преначертани в един и същ правоъгълник. Това ще означава, че паралелограмите са еднакви по размер. Има друго решение, което е, че един от тези успоредници може да бъде преначертан в друг. Това може да се „види“ и на фигурата: мислено „отрязване“ на триъгълник от първия успоредник и „закрепването“ му към противоположната страна, получаваме втория успоредник.

Когато предизвикваме учениците задачата за разпознаване на геометрични обекти, Преследваме две цели - формиране на цялостен образ на обекта на изучаване, неговото разпознаване и разграничаване в различни пространствени позиции, в по-сложни конфигурации, както и развитие на геометрична бдителност и наблюдателност у учениците.

Пример 4. Намерете правоъгълниците на фигура 3.

Особеността на картината е, че съдържа две фигури, които не са правоъгълници, както и два квадрата. За да се справят с тази задача, учениците трябва, първо, да помнят, че квадратът е правоъгълник, и второ, да видят квадрат, разположен в необичайна позиция за тях. Особеността на възприемането на геометричните обекти е такава, че фигура 4 се възприема като ромб, ако учениците са запознати с ромба, в противен случай - като четириъгълник, който не е квадрат. Ако учениците не идентифицират тази фигура като квадрат, е необходимо да им се предложи мислено, а в случай на затруднение, практически, да я завъртят, така че квадратът да приеме по-познато хоризонтално-вертикално разположение за разпознаване.

Пример 5. Колко триъгълника са показани на фигура 4?

Това упражнение е насочено към развиване на способността за разпознаване на триъгълник в по-сложна конфигурация и в в такъв случайкакто като неразделна част от друга фигура, така и като обединение на други фигури.

Техники за подпомагане на възприятието

Нека сега да поговорим за техники, които могат да помогнат на учениците да решат разглежданите проблеми. Един от методите е моделиране на конфигурацията на предмета. Може да се използва при изпълнение на упражнението, описано в пример 5. За да може учителят да ръководи възприятието на учениците, като фокусира вниманието им върху определен триъгълник, научете ги да превключват погледа си от „големия“ триъгълник към „малките“ триъгълници които го съставят, той може да предложи на учениците модел, изработен от цветна хартия. Обучението за възприятие е, че чрез добавяне на два триъгълника заедно, учениците виждат един триъгълник, разделяйки ги, те отново виждат двата оригинални триъгълника.

Друг трик е подчертаване на конфигурационни елементи с цвят.Това може да бъде или оцветяване на фигурата, включена в конфигурацията, или проследяване на нейните контури. Така например, когато анализират чертежа от пример 3, учениците могат да маркират с цвят един от тези успоредници. При определено ниво на владеене на дадена техника, с нейните самостоятелно използванеНякои ученици рисуват върху един от успоредниците, други подчертават само очертанията му, а трети подчертават очертанията на два успоредника с моливи в два различни цвята. Творческото използване на усвоена техника играе важна роля при решаването на проблеми.

Пример 6. Колко диагонала има изпъкнал петоъгълник?

Статията е публикувана с подкрепата на уеб студиото SAIT.UA. Компанията Ви предлага услуги за изработка на корпоративни уеб сайтове, онлайн каталози, онлайн магазини, както и дизайн и поддръжка на уеб сайтове, графичен дизайн, медия планиране, хостинг, създаване на ексклузивни софтуерни продуктипо поръчка и др. Да знам подробна информацияМожете да намерите информация за уеб агенцията и контакти на уебсайта, който се намира на адрес: sait.ua.

Нека учениците начертаят от определен връх на петоъгълника с молив от същия цвят два диагонала, излизащи от него. И така нататък за всички върхове, всеки път преминавайки към нов връх, променяйки цвета на молива. Така те използват пет различни цветни молива и правят 10 реда. След това те ще забележат, че са начертали всеки диагонал два пъти (сегменти от два различни цвята). Следователно петоъгълникът има 5 диагонала. Описаният метод на решение позволява на учителя да зададе на учениците въпроса за броя на диагоналите на шестоъгълник, седмоъгълник или стоъгълник. Методът, който откриха, може лесно да се прехвърли към всеки многоъгълник: броят на диагоналите е равен на половината (всеки диагонал е начертан два пъти) от произведението на броя на върховете (броя използвани моливи) по броя на диагоналите, излизащи от един връх (има три по-малко числовърхове).

Друга техника за възприемане на сложни конфигурации е определянето логика на грубата сила. Тази техника (заедно с подчертаването с цвят) се използва например при изпълнение на задачата от пример 6. Логиката на изброяването тук се състои в последователно изчертаване на всички диагонали, излизащи от всеки връх на петоъгълника. Но нека да разгледаме друг пример.

Пример 7. На фигура 5 намерете всичките 35 триъгълника.

Това е пример за един от най трудни задачиза ученици от 5–6 клас, следователно броят на триъгълниците вече е посочен във формулировката; освен това ще стимулира действията за самоконтрол. Успешно изпълнениезадачите зависят от в по-голяма степензависи от това как ще бъде организиран изборът на триъгълници, включени в дадена конфигурация, а не от нивото на развитие на възприятието. Тук учителят трябва да помогне на учениците, като ги оборудва с логика за изброяване, която последователно разкрива всички триъгълници пред очите им. Предварителният етап от решаването на задачата се състои в подчертаване с цвят на фигурите, които съставляват петоъгълника: учениците трябва да оцветят първо вътрешния петоъгълник, след това с моливи от два други цвята две групи от еднакви „малки“ триъгълници.

Нека опишем една от опциите за решение. Нека поправим върха INКато отправна точка посоката на ходене е по часовниковата стрелка. Нека преброим броя на малките триъгълници - пет триъгълника, равен на триъгълник AVO, и пет равни триъгълника OBF. (Ако равни триъгълници преди това са били оцветени, например червено и синьо, тогава вместо да използвате буквени обозначения, е по-удобно да „маркирате“ триъгълниците по цвят - пет червени триъгълника и пет сини.) Броят на триъгълниците, съставени от две малки триъгълници (един червен и един син) , е равно на десет - две във всеки връх на петоъгълника. Броят на триъгълниците, съставени от три малки триъгълника (два червени и един син), е пет - по един във всеки връх на петоъгълника. Сега нека преброим броя на триъгълниците, които включват малък петоъгълник. Броят на триъгълниците, направени от петоъгълник и два сини триъгълника, е пет - по един във всеки връх на малкия петоъгълник. И накрая, броят на триъгълниците, съставени от петоъгълник, три сини и един червен триъгълник, те са пет - според броя на върховете на петоъгълника. Общо 35 триъгълника.

Въображение

Под въображение ще разбираме операциите по мислено манипулиране на геометрични изображения и създаване на нови изображения. Това не е творческо въображение, което създава принципно нови обекти; тези обекти са нови за учениците, тъй като те се раждат от тях независимо въз основа на трансформацията на вече познати обекти. Това е пресъздаващо въображение - представяне на нови обекти в съответствие с тяхното описание, чертеж, диаграма.

Искате ли да знаете повече?

Въображението е създаването на образи на обекти и явления, които никога преди не са били възприемани от човек. Развитието на въображението се улеснява от ситуации на непълнота, насърчаване на много въпроси, стимулиране на независимост, независимо развитие. Крутецки В.А. Психология. - М.: Образование, 1980.

Въображението се формира въз основа на възприятието, следователно, обогатявайки опита на възприятието и наблюдението, насърчавайки учениците да създават образи, учителят развива тяхното въображение. Всяко сложно действие, преди да стане собственост на ума, трябва да бъде реализирано външно. Овладяването на действията на въображението става в процеса на прехвърляне на практически действия във вътрешния план.

Искате ли да знаете повече?

Интериоризацията е трансформацията на структурата на обективната дейност в структурата на вътрешния план на съзнанието. Психология. Речник / Общ изд. А.В. Петровски, М.Г. Ярошевски. - М.: Политиздат, 1990.

Действията на въображението са съдържанието на задачи, чиято цел е:

• създаване на мисловен образ на геометричен обект въз основа на неговото описание;
• създаване на мислено триизмерно изображение на обект въз основа на рисунка
• чертеж на пространствено тяло или проекция;
• умствена операция на изображение.

Говорейки за създаване на мисловен образ въз основа на неговото описание , ще разгледаме два случая: първо, когато в хода на решаване на задача учениците трябва да конструират мислено нова картинкаот познати изображения като от строителни елементи, второ, като ние говорим заО геометрично местоположениеточки.

Нека дадем примери за две задачи, в които паралелепипедите действат като „елементи на конструктора“.

Пример 8. Има два начина да оформите паралелепипед от четири кубчета. Ще бъде ли еднаква повърхността на паралелепипеда в първия и втория случай?

Учениците трябва да сглобят наум паралелепипед от четири кубчета, но е доста трудно да се провери наум, че има само две такива възможности. Това трябва да се направи с помощта на истински кубчета.

Пример 9. Обемът на паралелепипеда е 64 cm3, ширината - 4 cm, височината - 2 cm. Определете обема на получения паралелепипед.

Тук умственото възпроизвеждане на ситуацията ви позволява да намерите повече рационален начинотколкото последователно изчисляване на дължината на голям паралелепипед, намаляването му с 3 cm и изчисляване на обема на нов паралелепипед. Докато търси и обсъжда начини за решаване на задачата, учителят предлага на учениците да си представят, че паралелепипедът, посочен в условието, е разрязан на два паралелепипеда и следователно дължината на „разрязания“ паралелепипед е 3 cm, за да се реши задачата , е необходимо да се намали обемът на оригиналния паралелепипед с обема на „изрязаните“ части.

В резултат на изпълнение на задачи по GMT учениците трябва да „видят“ фигурата като набор от точки с определено свойство, сякаш за да принуди точките да се слеят в една фигура.

Пример 10. Начертайте права линия и я означете с буквата a. Построете няколко точки, разположени от правата a на разстояние 2 cm. Къде се намират всички тези точки?

Когато конструират точки на 2 cm от правата, учениците трябва първо да „видят“, че точките образуват права, успоредна на правата А, и след това разберете, че има два реда, които удовлетворяват условието.

Задача създаване на мисловен образ на пространствено тяло въз основа на графичен образ се решава предимно за пространствени фигури. Преди да се запознаете с проекционния чертеж, който се използва в стереометрията, в курса по визуална геометрия е полезно да започнете да изучавате пространствени фигури с чертежи на стъкло, рамкови модели, както и твърди тела, направени от кубове или паралелепипеди, като постепенно абстрахирате изображения материални телаи замяната им с проекционен чертеж.

Пример 11. Колко върха, ребра и лица има многостенът (фиг. 6)?

Материалният обект е по-лесен за представяне. Използването на изображение на стъклен модел в началния етап на овладяване на действията за създаване на умствени пространствени образи и терминология, свързана с полиедри, позволява на учениците да „видят“ всички елементи на полиедъра, да определят техния брой, характеристики на местоположението и формата на лицата . На стъкления модел се виждат както ръбове, така и ръбове.

Пример 12. Фигура 7 показва каркасен модел на куб. Назовете ръбовете, излизащи от върха M.

Изображението на каркасния модел е по-абстрактно по природа, така че използването му е преходно по природа от изображението на стъкления модел към чертежа на проекцията. Краищата се виждат на теления модел, но ръбовете изглеждат прозрачни, всъщност не се виждат.

Пример 13. Засенчете видимите лица на куба (фиг. 8), като използвате различен цвят за всяко лице.

Проекционният чертеж вече е конвенционално изображение, което трябва да можете да разчетете. Учителят насочва вниманието на учениците към факта, че всички ръбове на видимо лице също са видими. Учениците последователно идентифицират контури, ограничени от плътни („видими“) линии. Пред очите им се появява куб с три видими лица в различни цветове.

Пример 14. Фигура 9 показва правоъгълен паралелепипед, обърнат към зрителя с ръб LN. Очертайте видимите ръбове с плътни линии, невидимите ръбове с прекъснати линии..

Учителят предлага на учениците определете кои лица имат ръб LNи дали ще се виждат. След това определят кои ръбове на тези лица се виждат и ги очертават с молив. След това, за да видят кои други ръбове се виждат, те могат да използват обектния модел на паралелепипеда, като го поставят пред тях, както е показано на фигурата.

За да хвърлите мислено куб от едно лице на друго, трябва да имате практически опит в извършването на тези действия. За да усвоят учениците действията на умствена манипулация на образа и неговата трансформация, те трябва да се научат да превеждат практически действия с предметни модели в вътрешен план. Най-простото от тези действия е промяна на пространственото положение на обект, например движение в дадена посока, завъртане. Характерен е както в самолета, така и в космоса.

Пример 15. Пирамидата ABCD беше поставена върху лист хартия с лице ABC. След това се претърколиха до ръба на BCD. После продължихме. Всяко лице оставя свой отпечатък върху листа (фиг. 10). Маркирайте следите на съответните върхове върху него с букви.

Учителят може да покани всеки ученик да извърши описаните действия с модела на пирамидата по следния начин: ученикът поставя пирамидата върху лист хартия и очертава очертанията на лицето с молив; завърта пирамидата на другата страна и я очертава отново, като се уверява, че пирамидата оставя същата следа като на снимката; обозначава върховете на своя чертеж. Докато задачата напредва (например след второто хвърляне), учителят може да помоли учениците следващия път да хвърлят наум пирамидата и след това да се тестват. След това всеки продължава своята „змия“ самостоятелно, като първо се опитва да изпълни действието мислено, а след това практически.

Следващият пример се отнася до графични действия за конструиране на фигура.

Пример 16. Фигура 11 показва как се конструира правоъгълник. Опишете предложения метод с думи и завършете конструкцията.

Чертежът уточнява само крайната конфигурация, получена по време на строителството, етапите на изграждане са скрити от учениците. Учениците могат да изолират метода за изграждане на конфигурация само чрез използване на въображението си, въз основа на техните наблюдения и знания за свойствата на фигурите, включени в нея.

Учителят трябва да насочи умствената трансформация на ситуацията в правилната посока, опитвайки се да краен резултатконструкции водят учениците към неговата начална фаза, тук трябва да се движим в обратната посока, да решим " наобратно" Той може да покани учениците мислено да премахнат правоъгълника от този чертеж - в крайна сметка той се появи последен на чертежа. Сега всичко, което остава, е кръг и неговите два диаметъра. (До този момент учениците може да не видят, че диагоналите на правоъгълник са също диаметри на кръг.) Учителят насочва вниманието на учениците към факта, че правоъгълникът се появява, когато краищата на диаметрите са свързани последователно. И тук става очевидно, че конструкцията трябва да започне с начертаване на кръг и неговите диаметри.

Най-трудни за учениците са операциите за трансформиране на оригиналното изображение, при което то претърпява промени не само по отношение на пространственото разположение, но и структурни промени. Пример за такова действие е мисленото сгъване на куб.

Пример 17. Кои точки ще се подравнят при залепване на проявата, показана на фигура 12.

Изпълнението на тази задача задължително трябва да бъде предшествано от това, че учениците правят това сканиране от лист хартия. Необходимо е да поканите учениците да фиксират едно от лицата на куба като дъно и бавно да сгънат сканирането, като обръщат внимание на местоположението на лицата: кой от квадратите на сканирането образува горната страна, които формират страничните . След това трябва да повторите извършените действия отново, но сега обърнете внимание кои точки и кои сегменти са комбинирани.

Сгъвайки куб от различни разработки, учениците стигат до определена техника за мислено сгъване на куб, която се състои в това, че е удобно да си представите четири квадрата, подредени в ред, като негови странични лица.

Нека дадем пример за задача от друг тип, която също изисква при работа с изображение преход от равнината към пространството и обратно.

Пример 18. По повърхността на стъкления куб (фиг. 13) преминава прекъсната линиянаправени от тел. Начертайте тази полилиния върху изображението на куба отпред, отгоре и отляво.

Важна характеристика на тази задача е, че можете да я изпълните не само като разгънете мислено куба в желания ъгъл, но и като промените мислено позицията си спрямо куба - погледнете куба отгоре, „отидете“ надясно, и т.н.

Техники за подпомагане на вашето въображение

При овладяване на действията на въображението, както и при овладяване на действията на наблюдение, описаните по-горе техники, които улесняват възприятието, оказват значителна помощ: използвайте предметен модел, оцветяване. Това се вижда от примери 13 и 14. В пример 15 може да се използва и техниката на оцветяване - всяко лице на пирамидата може да бъде „боядисано“ в свой цвят; Преобръщайки лист хартия, такава пирамида ще остави „цветна следа“ върху него. Нека дадем пример, показващ целесъобразността на използването на логика за изброяване в някои случаи при анализиране на чертеж.

Пример 19. Колко кубчета са необходими за построяването на кулата, показана на фигура 14?

Когато броят кубчетата, учениците често забравят за тези, които не се виждат. За да предотврати това, учителят трябва да обсъди логиката на преизчисляването с учениците, като насочи вниманието им към характеристиките на дизайна, например симетрия. Логиката на преизчисляването винаги се основава на някакви умствени трансформации на дадена конфигурация (пренареждане на кубчета, разглобяване и т.н.). За да проверите намереното решение, е много полезно да помолите учениците да сглобят на практика конструкция от кубчета.

Методическа работилница

1. Изберете от литературата или създайте сами няколко задачи, насочени към развиване на наблюдателни действия и развитие на въображението.

2. Направете проучване. Разделете учениците на две групи с приблизително еднаква сила. Помолете първата група да класифицира определен набор от геометрични фигури според техните графично изображение, втората - същите фигури, но изрязани от хартия. Учениците трябва да изберат подобни фигури, да обяснят по какво си приличат и по какво другите фигури не им приличат. Изследваното множество може да включва например: изпъкнали и неизпъкнали многоъгълници; фигури, чиито граници се състоят от сегменти и дъги от окръжности. Учениците могат да предложат няколко причини за класификация, например за набора, описан по-горе - подчертаване на многоъгълници или подчертаване изпъкнали фигури. Сравнете резултатите от първата и втората група.

Литература

1. Венгер Л.А.Възприятие и учене. - М.: Образование, 1968.

2. Възраст и индивидуални характеристикивъображаемо мислене на учениците / Изд. И.С. Якиманская. - М.: Педагогика, 1980.

3. Възприятие и действие / Под. изд. А.В. Запорожец. - М.: Образование, 1967.

4. Галперин П.Я., Тализина Н.Ф.Оформяне на начален геометрични понятиявъз основа на организираното действие на ученика // Въпроси на психологията, 1957, № 1.

5. Зинченко В.П.Продуктивно възприятие // Въпроси на психологията, 1971, № 6.