OPR1.
OPR2. точна горна границаи е обозначен суп А.
OPR2'. 
UTV. OPR2. — OPR2’.
=> OPR2 е изпълнен, т.е. M = sup A – най-малката от всички горни граници => M – горна граница на множество A => 
(т.е. 1) OPR2’ е завършен).
Dm 2) от противното, т.е. горната граница на множеството A и M не е най-малката горна граница - противоречие, тъй като M е горната граница => свойство 2) OPR2’ е изпълнено.
<= выполнено ОПР2’, т.е. 
защото М отгоре. Лице на набор A, sl-but, M – най-малката горна граница на набор A => OPR2 е изпълнена.
Номер на билет 2 страница 2
OPR3.
OPR4. точен долен ръби е обозначен инф А.
OPR4'. 
UTV. OPR4. ó OPR4'
Доказателството е подобно с UTV. OPR2. — OPR2’.
ТЕОРЕМА!!!
ДОК-ВО!!!
коментар:ако множество A не е ограничено отгоре => то няма горни граници => 
Билет № 1 „ОГРАНИЧЕНИ И НЕОГРАНИЧЕНИ НАБОРИ. ПРИМЕРИ".
OPR1:номер Име. ограничен отгоре, Ако . В този случай M е върха. ръб на мн-ва А.
Пример: И се ограничава отгоре. M = 3 – горна граница. Всяко число, по-голямо от 3, е горната граница.
OPR2:номер Име. ограничен отдолу, Ако . В този случай m е долната. ръб на мн-ва А.
Пример:
N – ограничен отдолу. m = 1 – долна граница. Всяко число по-малко от 1 ще бъде долната граница.
OPR3:номер Име. ограничено, ако е ограничена отгоре и отдолу, т.е. .
OPR3':номер Име. ограничено, Ако
НИЕ ДОКАЗВАМЕ, ЧЕ OPR3 — OPR3’
=> N.D. OPR3 => OPR3’
Имаме: Нека
Тези. Свършен OPR3'
<= Н.Д. ОПР3’ =>OPR3
Имаме: ,т.е. Свършен OPR3.
OPR4. Mn – в A се нарича неограничен, Ако
Билет № 3 „ЧИСЛОВИ ПОРЕДИЦИ“.
OPR.Ако на всяко естествено число поставим едно число по някакъв закон, то числото е множеството от числа 
, наречена числова последователност. нека обозначим номера на последния. ; числа - елементи на последователността
Пример:
OPR.Числото a се нарича граница на последното. , ако (за всяко положително число)
Посочва се от:
Пример:
Предназначение: квартал т.а.
Билет No4 „Б.М. ПОСЛЕДНИТЕ И ТЕХНИТЕ СВЕТЦИ (2 ТЕОРЕМИ).“
OPR.Последното се нарича безкрайно малко (безкрайно малко) ако
Пример: б.м.последен
SV-VA:
ТЕОРЕМА_1!!!нека бъде - б.м. след раждане, тогава:
1) След раждане 
б.м.последен
2) След раждане 
б.м.последен
ДОК-ВО!!!
1) дадено: b.m, т.е.
Дм, какво б.м. след раждане, т.е.
Нека го изберем и етикетираме.
защото б.м. => за номер 
,
Б.м. => за номер 
защото поставете номер =>
2) Хм, какво б.м.последен
Нека го изберем и етикетираме.
Б.м. => за номер,
Б.м. => за номер
номер на билет 4 страница 2
защото put number => def. б.м. за , т.е. б.м.
ТЕОРЕМА_2!!!
Нека b.m.last, ограничено. положително след раждане, тогава 
b.m.положителна последователност
OPR.След раждане. ограничено Ако
ДОК-ВО!!!
Ние го оправяме.
Лимит. =>
Б.м.последно => за
Последица:
Нека б.м.трае. Тогава за 
последно б.м.
Наистина, помислете след раждане.
Човек след раждане. 
b.m, t.k b.m.
Пример:
ЧЕ. според ТЕОРЕМА_2!!! 
коментар:
От ТЕОРЕМА_1!!! Следва това
1) сумата от всяко крайно число на b.m. след раждане. има b.m.last.
2) произведението на произволен краен брой б.м. след раждане. има б.м. след раждане.
Билет № 5 „BB СЕКВЕНЦИИ И ТЯХНАТА ВРЪЗКА С BM СЕКВЕНЦИИ.“
OPR.нека се казва б.б.последно, ако
Нека обозначим
ТЕОРЕМА!!!Нека b.b.last., тогава b.m.last.
ДОК-ВО!!!
Фиксирана След раждане
ЧЕ. 
б.м. след раждане.
ВРЪЗКА НА BB С BM ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТИ.
Б.б. след раждане. б.м. след раждане. Обратна връзка.
Билет 18 свойства на граници на функции (а) уникалност на границата. B) ограничени функции, които имат ограничение.)
Уникалност на границата
ТЕОРЕМА!!!Ако f-i има лимит при K®0, тогава той е уникален
ДОК-ВО!!!(от противоположната страна)
Позволявам 
И 
Rassm 
хняма " н
защото 
Þ за дадена (X n ) последователност 
Þ за дадена ( X n ) последователност 
Че. 
( f(x)-ch.p-t)противоположно, защото не може да има
b¹c 2 различни граници Þ in = c
.С
Последствия
Въпрос № 22 2-ри прекрасен лимит
Последствия 
(an-no a x =lna)
Bil22str4
Билет 23 свойства bm функции 
билет 24 bb функции и връзката им с bb 
Билет 26. еквивалентност bm f-ii. (таблица, т.) 
билет 26 стр.2 
Билет 25. Сравнение на bm f-y. 
Билет 28. Nepr-t f-ii на точка. 
победи.28 
БИЛЕТ 30. класификация на точките на прекъсване на функция (дефиниция и примери)
Нека f(x) def. в някои U(a) (m.b. с изключение на самия t.a.). т.а. Наречен точка на пречупване функции f(x), ако f не е константа в t.a. нека t.a. е точката на прекъсване на функцията f(x).
Деф. 1) t.a.-точка на прекъсване 1-ви вид, ако (т.е. съществителните са крайни едностранни)
2) Ако в допълнение, тогава t.a- подвижна точка на прекъсване.
3) т.а. - точка на прекъсване 2-ри вид , ако не е руптура от 1-ви вид.
Примери. 1)y=sgn(x). х=0-т.р. от 1-ви вид, т.к
2)y= , x=0 –t. устройство веднъж, защото
3) y= x=0 – т.р. от 2-ри вид, т.к
, 
Точка на прекъсване от 2-ри род.
3).
, 
x=0 е точка на прекъсване от 2-ри род.
4).
Няма точка x=0 - точка на прекъсване от 2-ри род.
, . Точка x=0 е точка на прекъсване от 2-ри род.
Билет № 2 „ГОРНА И ДОЛНА ГРАНИЦА НА ЧИСЛОВОТО МНОЖЕСТВО. ТЕОРЕМА ЗА СЪЩЕСТВУВАНЕТО НА ТОЧНИ ДОЛНА И ГОРНА ГРАНИЦА НА МНОЖЕСТВО.
OPR1. M – горната граница на множеството A ó ако .
OPR2.най-малкото от всички горни лица на множеството А, нар точна горна границаи е обозначен суп А.
OPR2'.Числото M се нарича точен горен ръб на числото A ако
UTV. OPR2. — OPR2’.
=> OPR2 е изпълнен, т.е. M = sup A – най-малката от всички горни граници => M – горна граница на множество A => (т.е. 1) OPR2’ е завършен).
Dm 2) от противното, т.е. горната граница на множеството A и M не е най-малката горна граница - противоречие, тъй като M е горната граница => свойство 2) OPR2’ е изпълнено.
<= выполнено ОПР2’, т.е.
Ясно е, че M е най-малката горна граница.
Dm от противоречие, т.е. Нека M е не-малкото горно лице. Обозначаване според св. 2) за това противоречие.
защото М отгоре. Лице на набор A, sl-but, M – най-малката горна граница на набор A => OPR2 е изпълнена.
Номер на билет 2 страница 2
OPR3. m – долна граница на множество A ó ако .
OPR4.най-голямото от всички долни лица на множеството А, нар точен долен ръби е обозначен инф А.
OPR4'.Числото m се нарича точен инфимум на множеството A if
UTV. OPR4. ó OPR4'
Доказателството е подобно с UTV. OPR2. — OPR2’.
ТЕОРЕМА!!!Всяко непразно множество, ограничено отгоре (отдолу), има точна горна (долна) граница.
ДОК-ВО!!!Непразно множество A – ограничено. отгоре, тогава множеството A има поне една горна граница. Нека Y е множеството от всички горни лица на множеството A, т.е. , а множеството Y е непразно, защото множество A има поне една горна граница.
ЧЕ. непразни последователности A и Y и непрекъснати според произхода. валиден числа, т.е. горна граница на mn-va A. M = sup A.
коментар:ако множество A не е ограничено отгоре => то няма горни граници => няма точна горна граница. В този случай понякога се смята, че . По същия начин, ако множеството A не е ограничено. отдолу, понякога се смята, че
Съществуването на всяко множество, ограничено отгоре (отдолу) с точна горна (точна долна) граница, не е очевидно и изисква доказателство. Нека докажем следната основна теорема.
Основна теорема 2.1. Ако множеството от числа, представими като безкрайни десетични дроби, е ограничено отгоре (съответно отдолу) и съдържа поне един елемент, то това множество има точна горна (съответно точна долна) граница.
Доказателство. Ще се съсредоточим само върху доказателството за съществуването на точна горна граница за всяко множество, ограничено отгоре, тъй като съществуването на точна долна граница за всяко множество, ограничено отдолу, се доказва по напълно подобен начин.
И така, нека множеството е ограничено отгоре, т.е. има число M такова, че всеки елемент x от множеството удовлетворява неравенството
Могат да се появят два случая:
1°. Сред елементите на множеството има поне едно неотрицателно число. 2°. Всички елементи на множеството са отрицателни числа. Ще разгледаме тези случаи отделно.
1°. Нека разгледаме само неотрицателните числа, които са част от множеството. Нека представим всяко от тези числа като безкрайна десетична дроб и да разгледаме целите части на тези десетични дроби. Поради неравенството всички цели числа не надвишават числото M и следователно има най-голямата от целите части, която означаваме с Нека оставим сред неотрицателните числа на множеството онези, чиято цяла част е равна и изхвърлим всички останали числа. За съхранени числа вземете предвид първите десетични знаци след десетичната запетая. Означаваме най-големия от тези знаци с Нека оставим сред неотрицателните числа на множеството тези, чиято цяла част е равна и първият десетичен знак е равен и изхвърлете всички останали числа. За съхранени числа вземете предвид втория знак след десетичната запетая. Ние обозначаваме най-големия от тези знаци с Продължавайки подобни разсъждения по-нататък, ние последователно ще определим десетичните знаци на определено число
Нека докажем, че това число x е точната горна граница на множеството, за да направим това, е достатъчно да докажем две твърдения: 1) всеки елемент x от множеството удовлетворява неравенството 2) каквото и число x да е по-малко от x, има поне един елемент x от множеството, който удовлетворява неравенството
Нека първо докажем твърдение 1). Тъй като x, по конструкция, е неотрицателно число, тогава всеки отрицателен елемент x от множеството със сигурност удовлетворява неравенството
Следователно за нас е достатъчно да докажем, че всеки неотрицателен елемент x от множеството удовлетворява неравенството
Да предположим, че някакъв неотрицателен елемент не удовлетворява неравенството Тогава, съгласно правилото за подреждане, има число, такова че Но последните отношения противоречат
противоречат на факта, че най-големият от десетичните знаци на онези елементи, чиято цяла част и първите десетични знаци са съответно равни, се приема като
Полученото противоречие доказва твърдение 1).
Нека сега докажем твърдение 2). Нека x е произволно число, което отговаря на условието. Необходимо е да се докаже, че има поне един елемент x от множеството, удовлетворяващ неравенството
Ако числото x е отрицателно, тогава неравенството със сигурност е изпълнено от неотрицателен елемент x от множеството (по предположение съществува поне един такъв елемент).
Остава да разгледаме случая, когато числото x, което удовлетворява условието, е неотрицателно. Нека следва от условието и правилото за подреждане, че има такъв брой, че
От друга страна, от конструкцията на число (2.9) следва, че за всяко число има неотрицателен елемент от множеството, така че цялата част и всички първи десетични знаци да са същите като тези на числото x. С други думи, за число има елемент x, такъв че
Ограничен комплект. Прецизни ръбове
Формулата на Моавър
Намерен е от A. Moivre през 1707 г.; съвременната му нотация е предложена от Л. Ойлер през 1748 г.
z n =r n e вй =r n(тъй като нй +iгрях нй). (3)
Формула (3) се доказва чрез индукция върху н.
Умножение на комплексни числа
Тя очевидно е права. Да приемем, че е вярно за някои н, нека го докажем за н+1. Ние имаме:
За дадено ще намерим такова, което удовлетворява уравнението, с други думи, ще намерим корена н-та степен на комплексно число. Ние имаме r n e in j =r e iг Þ n j=y+2p k, kÎЗ , r=откъде да вземем формулите
които се използват за изчисляване на корена н-та степен на комплексно число. Процес на намиране на корена н-та степен на комплексно число zможе да се опише по следния начин. Ако това число не е равно на 0, тогава ще има точно такива корени н. Всички те ще бъдат върховете на правилното н– квадрат, вписан в окръжност с радиус . Един от върховете на този многоъгълник има аргумент, равен на.
Пример. Изчисли. Следователно в този случай той приема три стойности:
Ориз. 1.7
Коментирайте: Знаци за сравнение по-малко от, по-голямо от (<, >) не са дефинирани в ° С .
1.3. Горни и долни граници на множеството от реални числа
Ограничението и границите на множеството.
Задайте E, ограничено отгоре:$b"хÎ E: x£ b.
b - горна граница на комплекта:"xÎE:x£ b.
Ограничено множество:$а"хÎ д: х³ а.
а - инфимум на множеството:"xÎE: x ³ a.
Супремумът на множеството: b =суп E е число, което отговаря на две свойства:
1)(b - горен ръб)"хÎ E: x£ b.
2) (не по-малко) "e>0 $ хÎ E: x > b-д.
Точният инфимум се определя по подобен начин а =инф д.Ограничено множествоE:$b"хÎ E: .
коментар:Ако b =суп д, Че -b=инф E¢, Където E¢- огледало към дняколко, E¢={xÎR:(-х)ÎE} .
Теорема 1. Непразно множество, ограничено отгоре, има супремум.
Доказателство:Позволявам bгорна граница на комплекта дИ аÎ д.Нека означим с [ а 1 ,b 1 ] отсечка, ако съдържа точки от д.Иначе чрез [ а 1 ,b 1 ] означават сегмента
Ориз. 1.8
Нека отбележим свойствата на този конструиран сегмент:
1) "xÎE: x£ b 1 .
2) дÇ[ а 1 ,b 1 ] № Æ .
Повтаряме тази процедура за [ а 1 ,b 1 ] и т.н. В резултат на това получаваме последователност от вложени сегменти [ a k, b k], отговарящ на следните свойства:
1)"xÎE: x £ b k .
2) дÇ[ ак, b k ] ¹ Æ .
Доказателството за това се извършва чрез индукция. Да приемем, че отсечката [ a k, b k]с посочените свойства. Разделете го наполовина с точка. През [ a k + 1 ,b k + 1 ] означават, че един от сегментите , който има непразно пресичане с д. Ако и двете съдържат
Ориз. 1.9
точки от д,Че [ a k + 1 ,b k + 1 ] нека има дясна отсечка. Полученият сегмент има свойства 1), 2). Дължините на тези сегменти b k - a k =(б-а)/ 2кклони към 0, така че има едно число ° Собщи за всички тези сегменти. Това число е точната горна граница на този набор. Наистина ли:
1) "хÎ E: x £ c.
Да приемем обратното: $ хÎ E:x>c, нека вземем, защото съществува тогава, откъдето следва b n< x , което противоречи на условието хÎ[ a n , b n].
Ориз. 1.10
2)"e> 0$ xÎE: x > c -д.
За всяко д има n: b n - a n< д . Да изберем всеки хÎ[ a n , b n] . Поради свойство 1) ще бъде вярно х< c, Освен това
c-x£ b n - a n< e . По този начин, необходимите х.
Ориз. 1.11
По същия начин може да се докаже, че на непразно множество, ограничено отдолу, има инфимум.
Теорема 2. Точният супремум (ако съществува) е уникален.
Доказателство: Нека има две точни лица b 2 ,б 1 , b 1 2 . Вземете e = b 2 - б 1 > 0. Чрез определяне на точната горна граница (за b 2)$хÎ E: x > b 2 - д = б 1, което на какво противоречи b 1 горен ръб.
Ориз. 1.12
Коментирайте.По подобен начин се доказва, че инфимумът е единствен.
Ако E не е ограничено отгоре, тогава напишетесуп E = +¥, по подобен начин, ако E не е ограничено отдолу, тогава напишетеинф E= -¥ .
Нека докажем друга теорема, която се основава на свойството за непрекъснатост на реалните числа.
Тема за съществуването на горно (долно) лице.Първо, нека въведем няколко определения.
Определение. Числен набор хсе нарича ограничена отгоре, ако има число M такова, че x ≤ Mза всеки елемент хот много х .
Определение. Числен набор хсе нарича ограничено отдолу, ако има число мтакова, че x ≥ mза всеки елемент хот много х .
Определение. Числен набор хсе нарича ограничено, ако е ограничено отгоре и отдолу.
В символна нотация тези дефиниции биха изглеждали така:
няколко хограничено отгоре ако ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M ,
ограничено отдолу ако ∃m ∀x ∈ X: x ≥ mИ
ограничено ако ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .
Определение.За произволен номер а Р неотрицателно число
нарича се абсолютна стойностили модул. За абсолютните стойности на числата е валидно следното неравенство: |a+b| < |а|, което следва от дефиницията на модула на число и от аксиомите за събиране и ред.
Теорема 4.3.1. Числен набор хе ограничено тогава и само ако има число C такова, че за всички елементи x от това множество неравенството ≤ C.
Доказателство. Нека комплектът хограничен. Да сложим C = max (m, M)- най-голямото от числата m и M. След това, използвайки свойствата на модула на реалните числа, получаваме неравенствата x ≤M≤M ≤C и x≥m≥ −m≥ −C, което означава, че ≤ C .
Обратно, ако неравенството ≤ C е в сила, тогава −C ≤ x ≤ C . Това се изисква, ако поставим M = C и m = −C .◄
Номер М, ограничаване на набора хотгоре, наречен горна граница на комплекта. Ако М- горна граница на комплекта х, след което произволно число М', което е по-голямо М, също ще бъде горната граница на този набор. По този начин можем да говорим за набор от горни граници за набора х. Нека обозначим множеството от горни граници с . Тогава, ∀x ∈ X и ∀M ∈неравенството ще бъде изпълнено x ≤M, следователно, по аксиомата за непрекъснатост има число такова, че x ≤ ≤ М. Този номер се нарича точна горна граница на числово множество X или горна граница на това множествоили супремума на множеството хи е обозначен =sup X. По този начин доказахме, че всяко непразно множество от числа, което е ограничено отгоре, винаги има горна граница.
Очевидно е, че равенството = sup Xе еквивалентно на две условия:
1) ∀x ∈ Xважи неравенството x ≤, т.е. - горна граница на комплекта х ;
2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ Xтака че неравенството xε > −ε е в сила, т.е. тази граница не може да бъде подобрена (намалена).
По подобен начин може да се докаже, че ако едно множество е ограничено отдолу, тогава то има инфимум това се нарича още инфимум на множеството X и се означава с inf X. Равенството =inf X е еквивалентно на условията:
1) ∀x ∈ Xнеравенството е в сила x ≥ ;
2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ Xтака че неравенството е в сила xε< + ε .
Ако набор X има най-големия елемент, тогава ще го наречем
максималния елемент на множеството X и означаваме = max X . Тогава
supX =. По същия начин, ако има най-малък елемент в множество, тогава ще го наречем минимален, ще обозначим minX и ще бъде най-ниската стойност на множеството х .
Нека формулираме няколко свойства на горните и долните лица:
Имот 1. Позволявам х- някакъв числов набор. Нека означим с −Xняколко (− x| x ∈ X ). Тогава sup (− X) = − inf XИ inf (− X) = − sup X .
Имот 2.Позволявам х- някакво числово множество λ – реално число. Нека означим с λXняколко (λx | x ∈ X). Тогава, ако λ ≥ 0, тогава sup(λX) = λ supX , inf(λ X)= λ infXи ако λ < 0, то sup(λ X)=λ infX , inf(λ X)=λ supX .
Имот 3. Позволявам X1 и X2- числови множества. Нека означим с X1+X2няколко ( x1+ x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 )и чрез X1 − X2няколко (x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X2). Тогава sup(X1 + X2)=supX1+supX2, inf(X1+X2)=infX1 +inf X2, sup(X1 − X2) = sup X1 − inf X2и inf (X1 − X2) = inf X1 − sup X2 .
Имот 4. Нека X1 и X2 са набори от числа, чиито всички елементи са неотрицателни. Тогава sup (X1*X2) = sup X1 *sup X2, inf (X1*X2) = inf X1* inf X2.
Нека докажем, например, първото равенство на свойство 3. Нека x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 и x=x1+x2.Тогава x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X2И x ≤ sup X1 + sup X2, където sup(X1 + X2) ≤ sup X1 + sup X2.
За да докажете обратното неравенство, вземете числото г
Принципът на Архимед и съществуването на горна и долна граница могат да бъдат постулирани като аксиома вместо аксиома за непрекъснатост, тогава аксиомата за непрекъснатост ще следва от тази нова аксиома. (Опитайте се да го докажете сами).
МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ
Част I
ТЕОРИЯ ЗА ГРАНИЦИТЕ. Граница на последователността и граница на функцията. Теорема за съществуване на точен супремум.
Нека променливата х нприема безкрайна последователност от стойности
х 1 , х 2 , ..., х н , ..., (1)
и законът за промяна на променливата е известен х н, т.е. за всяко естествено число нможете да посочите подходящата стойност х н. Следователно се приема, че променливата х не функция на н:
х н = f(n)
Нека дефинираме едно от най-важните понятия на математическия анализ - границата на последователност или, което е същото, границата на променлива х н, преминавайки през последователността х 1 , х 2 , ..., х н , ... . .
Определение.Постоянно число аНаречен граница на последователността х 1 , х 2 , ..., х н , ... . или границата на променлива х н, ако за произволно малко положително число e съществува такова естествено число н(т.е. число н), че всички стойности на променливата х н, започвайки с х н, различавам се от апо абсолютна стойност по-малко от с e. Тази дефиниция е написана накратко, както следва:
| х н -а |< (2)
пред всички н н, или, което е същото,
Определяне на границата на Коши. Число A се нарича граница на функция f (x) в точка a, ако тази функция е дефинирана в някаква околност на точка a, с възможно изключение на самата точка a, и за всяко ε > 0 съществува δ > 0, така че за всички x, удовлетворяващи условието |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
Определяне на границата на Хайне. Число A се нарича граница на функция f (x) в точка a, ако тази функция е дефинирана в някаква околност на точка a, с възможно изключение на самата точка a, и за всяка последователност, такава че 
сближавайки се с число a, съответната последователност от функционални стойности се сближава с числото A.
Ако функция f (x) има граница в точка a, тогава тази граница е уникална.
Числото A 1 се нарича граница на функцията f (x) отляво в точка a, ако за всяко ε > 0 съществува δ > 
Числото A 2 се нарича граница на функцията f (x) отдясно в точка a, ако за всяко ε > 0 има δ > 0, така че неравенството е валидно за всички 
Границата отляво се обозначава с границата отдясно - Тези граници характеризират поведението на функцията отляво и отдясно на точка а. Те често се наричат еднопосочни ограничения. При обозначаването на едностранни граници за x → 0 първата нула обикновено се пропуска: и. И така, за функцията 
Ако за всяко ε > 0 съществува δ-околност на точка, така че за всички x, отговарящи на условието |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, тогава те казват, че функцията f (x) има безкрайна граница в точка a:
По този начин функцията има безкраен лимит в точката x = 0. Често се разграничават граници, равни на +∞ и –∞. Така,
Ако за всяко ε > 0 съществува δ > 0, такова че за всяко x > δ неравенството |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:
Теорема за съществуване на точен супремум
определение:АR mR, m е горното (долното) лице на А, ако аА аm (аm).
определение:Множество A е ограничено отгоре (отдолу), ако съществува m такова, че aA, am (am) е валидно.
определение: SupA=m, ако 1) m е supremum на A
2) m’: m’
InfA = n, ако 1) n е ниската граница на A
2) n’: n’>n => n’ не е долната граница на A
Определение: SupA=m е такова число, че: 1) aA am
2) >0 a A, така че a a-
InfA = n е такова число, че: 1) 1) aA an
2) >0 a A, така че a E a+
Теорема:Всяко непразно множество AR, ограничено отгоре, има точен супремум и уникален.
Доказателство:
Нека построим числото m на числовата ос и докажем, че това е върховната сума на A.
[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - горна граница на A
Отсечка [[m],[m]+1] - разделена на 10 части
m 1 =max:aA)]
m 2 =max,m 1:aA)]
m k =max,m 1 ...m K-1:aA)]
[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - горен ръб A
Нека докажем, че m=[m],m 1 ...m K е супремумът и че е уникален:
k: тогава има точка, в която функцията достига своя максимум, има точка, в която функцията достига своя минимум.
Доказателство:
Нека функцията f(x) е непрекъсната на , тогава по теорема 1 тя е ограничена на този интервал. Следователно наборът от функционални стойности е ограничен. Тогава, по силата на принципа на supremum, това множество има точна горна и точна долна граница.
Означаваме: и показваме, че това ще бъде най-голямата стойност на функцията f(x) на отсечката : .
Да приемем обратното, т.е.
Тъй като , тогава f(x)< .
нека представим функцията 
. Функцията е непрекъсната на , тъй като -f(x) 0. Тогава, по силата на първата теорема на Вайерщрас, функцията е ограничена на .
Тъй като това неравенство е в сила, числото не е точната горна граница на набора от функционални стойности. Стигаме до противоречие, което означава, че предположението ни е неправилно. По същия начин може да се докаже, че непрекъсната функция достига своята минимална стойност на сегмент. Теоремата е доказана.
ДИФЕРЕНЦИРУЕМИ ФУНКЦИИ Теореми на Рол и Лагранж. Формула ТЕйлор с остатъчен член във форма на Лагранж.
Теорема на Рол. Ако функцията f(x) е непрекъсната в затворения интервал [a, b], има производна вътре в интервала и ако
f(a) = f(b)
тогава вътре в интервала [a, b] има поне една такава стойност x 0 (а< x 0 < b), что
f "(x 0 ) = 0.
Доказателство. Нека разгледаме два случая.
1. Функция f(x)е константа на интервала [ а, б]; Тогава f" (x) = 0за всеки x(a< x < b) , т.е. изявлението на теоремата на Рол се извършва автоматично.
2. Функция f(x)не е константа (Фигура 1); тогава достига най-голямата или най-малката си или и двете от тези стойности във вътрешната точка на интервала, защото f(b) = f(a), и ако е(а)- най-малката стойност, след това най-голямата стойност стойностна функция f(x)ще вземе вътре в интервала.
|
|
Тъй като по условие, f(x)има в точката х 0 производна, след това чрез теоремата за необходимия критерий за екстремум,
f "(x 0 ) = 0 ,
и теоремата на Рол е доказана.
Теоремата на Рол има проста геометрична интерпретация: ако е дадена дъга AB на крива y = f(x), във всяка точка на която има допирателна, а краищата A и B са на същото разстояние от оста Ox, тогава на тази дъга има поне една точка, в която допирателната t към кривата ще бъде успоредна на хордата, свиваща дъгата, и следователно на оста Ox(виж фигура 1).
Ако завъртим координатните оси на ъгъл а, тогава краищата АИ бдъги ABвече няма да е на същото разстояние от оста вол", но допирателна Tвсе още ще бъде успореден на хордата AB(виж фигура 1). Следователно е естествено да се очаква, че теоремата е валидна: Ако е дадена дъга AB на крива y = f(x) с непрекъснато променяща се допирателна, тогава върху тази дъга има поне една точка, в която допирателната е успоредна на хордата AB, която я обхваща(Фигура 2).
|
|
Теорема на Лагранж. Ако функцията f(x) е непрекъсната на затворен интервал[а, б] и вътре има производна f "(x), тогава има поне една такава стойност x 0 (а< x 0 < b), что
f(b) - f(a) = (b - a)f "(x).
Доказателство. Помислете за помощната функция
F(x) = f(x) - k(x - a),
Където 
- ъглов коефициент на хордата AB(виж фигура 2).
Тази функция удовлетворява всички условия на теоремата на Рол.
Всъщност кога х = ание имаме F(a) = f(a) - k(a - a) = f(a), при x = bние имаме
Освен това, тъй като функцията f(x)И k(x - a)непрекъснато на [ а, б] и диференцируеми в ( а, б), след това функцията F(x) = f(x) - k(x - a)е непрекъснат на [ а, б] и диференцируеми в ( а, б).
Следователно, по теоремата на Рол, в интервала ( а, б) има такава точка х 0 , Какво
F"(x 0 ) = 0 ,
f "(x 0 ) - k = 0
От тук имаме
f(b) - f(a) = (b - a)f " (x 0 ) ,
Q.E.D.
защото a + (b - a) = b, след това стойността а+(б - а), където Q е правилна положителна дроб (0 < < 1) , е равно на някакво число в интервала ( а, б), следователно формулата на Лагранж може да бъде записана във формата
f(b) - f(a) = (b - a)f "
Ако поставите a = x, b = x +х, където b - a =х, тогава формулата на Лагранж ще бъде записана във формата
y = f(x +x) - f(x) =xf"(x+х).
По-рано беше доказано, че ако една функция е равна на константа ° Сна всякаква стойност хв интервала (а, б), то неговата производна е равна на нула.
Нека сега докажем обратната теорема, която е следствие от теоремата на Лагранж:
Ако производната f "(x) изчезне за всякакви стойности на x в интервала (a, b), тогава в този интервал f (x) = C.
Всъщност, ако х 1 И х 2 - всякакви две стойности в интервала (а, б), тогава по теоремата на Лагранж имаме
f(x 2 ) - f(x 1 ) = (x 2 -х 1 )f"(x 0 ),
Където, х 1 < x 0 < x 2 . Но тъй като f"(x 0 ) = 0 , Че
f(x 2 ) - f(x 1 ) = 0,
което доказва нашата теорема.
Една важна теорема следва пряко от това:
Ако две функции f 1 (x) и f 2 (x) имат една и съща производна в интервала (a, b), тогава те се различават една от друга с постоянна стойност в този интервал.
Всъщност, помислете за функцията
(x) = f 2 (x)-f 1 (х).
Тогава за произволна стойност хот интервала (а, б)
"(x) = f 2 "(x)-f 1 "(x) = 0.
Но това означава, че (x) = Cи следователно
f 2 (x)-f 1 (x) = C.
Формула на Тейлър. Нека на интервалафункцията f(x) е диференцируема n пъти и са валидни следните равенства:
f(a) = f(b) = f "(a) = f ""(a)= ... = f (n-1) (а)=0
След това вътре в интервалаима поне една стойност с,при което
f (н) (c) = 0
Доказателство. от Теорема на Ролние имаме
f "(x 0 ) = 0 ,
Където а< x 0 < b . Тогава f "(x)на интервала удовлетворява теоремата на Рол, тъй като по условие f "(a) = 0И f "(x 0 ) = 0 , и следователно
f ""(x 1 ) = 0 ,
Където а< x 1 < x 0 .
Последователно прилагане на теоремата на Рол към функциите f ""(x), f """(x), ..., f (n-1) (х), най-накрая намираме:
f (н) (c) = 0,
Където а< c < x n-1 < b . Теоремата е доказана.
Нека сега изведем Формула на Тейлър с остатъчен член във форма на Лагранж.
Нека функцията f(x)диференцируеми нпъти на интервала.
Помислете за помощната функция
(x) = f(x) - P(x),
Нека разграничим нпо функцията (х). Тогава ще имаме
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(n-1) (x) = f (n-1) (x)-A n-1 - А н (x - a),
(н) (x) = f (н) (x)-A н
Ние изискваме функцията (х)отговаря на условията на обобщената теорема на Рол. Тогава ще имаме
(1)
.
Тъй като функцията (х)удовлетворява условията на обобщената теорема на Рол, тогава има такава стойност с< c < b) , Какво
(н) (c) = f (н) (в) - А н = 0 (2)