Каква е средната линия на триъгълник? Правоъгълен триъгълник

Средната линия на трапеца и особено неговите свойства се използват много често в геометрията за решаване на проблеми и доказване на определени теореми.

е четириъгълник само с 2 страни, успоредни една на друга. Паралелните страни се наричат основи (на фигура 1 - ADИ пр.н.е.), другите две са странични (на фигурата ABИ CD).

Средна линия на трапеце сегмент, свързващ средните точки на неговите страни (на фигура 1 - KL).

Свойства на средната линия на трапец

Доказателство на теоремата за средната линия на трапеца

Докажиче средната линия на трапец е равна на половината от сбора на неговите основи и е успоредна на тези основи.

Даден е трапец ABCDсъс средна линия KL. За доказване на разглежданите свойства е необходимо да се начертае права линия през точките БИ Л. На фигура 2 това е права линия BQ. И също така продължете основата ADдо пресечната точка с линията BQ.

Помислете за получените триъгълници L.B.C.И LQD:

По дефиниция на средната линия KLточка Ле средата на отсечката CD. От това следва, че сегментите C.L.И LDса равни.
∠BLC = ∠QLD, тъй като тези ъгли са вертикални.
∠BCL = ∠LDQ, тъй като тези ъгли лежат напречно на успоредни прави ADИ пр.н.е.и секанс CD.

От тези 3 равенства следва, че разгледаните по-рано триъгълници L.B.C.И LQDравни на 1 страна и два съседни ъгъла (виж фиг. 3). следователно ∠LBC = ∠ LQD, BC=DQи най-важното - BL=LQ => KL, която е средната линия на трапеца ABCD, също е средната линия на триъгълника ABQ. Според свойството на средната линия на триъгълник ABQполучаваме.

Понякога темите, които се обясняват в училище, не винаги са ясни от първия път. Това важи особено за предмет като математиката. Но всичко става много по-сложно, когато тази наука започне да се разделя на две части: алгебра и геометрия.

Всеки ученик може да има способности в една от двете области, но особено в началните класове е важно да се разберат основите както на алгебрата, така и на геометрията. В геометрията една от основните теми се счита за раздела за триъгълниците.

Как да намерим средната линия на триъгълник? Нека да го разберем.

Основни понятия

Като начало, за да разберете как да намерите средната линия на триъгълник, е важно да разберете какво е това.

Няма ограничения за изчертаване на средната линия: триъгълникът може да бъде всякакъв (равнобедрен, равностранен, правоъгълен). И всички свойства, които се отнасят до средната линия, ще бъдат в сила.

Средната линия на триъгълник е отсечка, свързваща средните точки на двете му страни. Следователно всеки триъгълник може да има 3 такива линии.

Имоти

За да знаете как да намерите средната линия на триъгълник, нека обозначим неговите свойства, които трябва да се запомнят, в противен случай без тях ще бъде невъзможно да се решат проблеми с необходимостта да се посочи дължината на средната линия, тъй като всички получени данни трябва да бъдат обосновани и се аргументира с теореми, аксиоми или свойства.

По този начин, за да отговорите на въпроса: „Как да намерите средната линия на триъгълник ABC?“, Достатъчно е да знаете една от страните на триъгълника.

Да дадем пример

Разгледайте снимката. Показва триъгълник ABC със средна линия DE. Обърнете внимание, че тя е успоредна на основата AC в триъгълника. Следователно, каквато и да е стойността на AC, средната линия DE ще бъде наполовина по-голяма. Например AC=20 означава DE=10 и т.н.

По тези прости начини можете да разберете как да намерите средната линия на триъгълник. Запомнете неговите основни свойства и дефиниция и тогава никога няма да имате проблеми с намирането на значението му.

Средна линия на триъгълника

Имоти

Средната линия на триъгълника е успоредна на третата страна и равна на половината от нея.
когато се начертаят и трите средни линии, се образуват 4 равни триъгълника, подобни (дори хомотетични) на оригиналния с коефициент 1/2.
средната линия отрязва триъгълник, който е подобен на този, и неговата площ е равна на една четвърт от площта на оригиналния триъгълник.

Средна линия на четириъгълника

Средна линия на четириъгълника- сегмент, свързващ средината на противоположните страни на четириъгълник.

Имоти

Първата линия свързва 2 противоположни страни. Вторият свързва 2 други противоположни страни. Третият свързва центровете на два диагонала (не всички четириъгълници имат центрове, които се пресичат)

Ако в изпъкнал четириъгълник средната линия образува равни ъгли с диагоналите на четириъгълника, тогава диагоналите са равни.
Дължината на средната линия на четириъгълник е по-малка от половината от сумата на другите две страни или равна на нея, ако тези страни са успоредни и само в този случай.
Средите на страните на произволен четириъгълник са върхове на успоредник. Площта му е равна на половината от площта на четириъгълника, а центърът му лежи в точката на пресичане на средните линии. Този успоредник се нарича успоредник на Вариньон;
Пресечната точка на средните линии на четириъгълник е тяхната обща среда и разполовява отсечката, свързваща средите на диагоналите. В допълнение, това е центроидът на върховете на четириъгълника.
В произволен четириъгълник векторът на средната линия е равен на половината от сбора на векторите на основите.

Средна линия на трапец

Средна линия на трапец- сегмент, свързващ средните точки на страните на този трапец. Отсечката, свързваща средните точки на основите на трапеца, се нарича втора средна линия на трапеца.

Имоти

средната линия е успоредна на основите и равна на тяхната полусума.

Вижте също

Бележки

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е „средна линия“ в други речници:

СРЕДНА ЛИНИЯ- (1) трапецовидна отсечка, свързваща средните точки на страничните страни на трапеца. Средната линия на трапеца е успоредна на основите му и равна на тяхната полусума; (2) на триъгълник, сегмент, свързващ средните точки на две страни на този триъгълник: третата страна в този случай... ... Голяма политехническа енциклопедия

Триъгълник (трапец) е отсечка, свързваща средите на две страни на триъгълник (страни на трапец)... Голям енциклопедичен речник

средна линия- 24 централна линия: въображаема линия, минаваща през профила на резбата, така че дебелината на рамото да е равна на ширината на жлеба. Източник... Речник-справочник на термините на нормативната и техническата документация

Триъгълник (трапец), сегмент, свързващ средните точки на две страни на триъгълника (страни на трапеца). * * * СРЕДНА ЛИНИЯ СРЕДНА ЛИНИЯ на триъгълник (трапец), отсечка, свързваща средните точки на две страни на триъгълника (странични страни на трапеца) ... енциклопедичен речник

средна линия- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis 3 mm линия, dalijanti teniso стана paviršių išilgai pusiau. атитикменйс: англ. централна линия; средна линия vok. Mittellinie, ф рус. средна линия…Sporto terminų žodynas

средна линия- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti fechtavimosi kovos takelį į dvi lygias dalis. атитикменйс: англ. централна линия; средна линия vok. Mittellinie, ф рус. средна линия...Sporto terminų žodynas

средна линия- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti sporto aikšt(el)ę pusiau. атитикменйс: англ. централна линия; средна линия vok. Mittellinie, ф рус. средна линия…Sporto terminų žodynas

1) S. l. триъгълник, отсечка, свързваща средните точки на две страни на триъгълник (третата страна се нарича основа). С. л. на триъгълника е успореден на основата и равен на половината от нея; площ на частите на триъгълника, на които c го разделя. л.,..... Велика съветска енциклопедия

Отсечка от триъгълник, свързваща средните точки на двете страни на триъгълника. Третата страна на триъгълника се нарича основата на триъгълника. С. л. на триъгълник е успоредна на основата и равна на половината от дължината му. Във всеки триъгълник S. l. отрязва от...... Математическа енциклопедия

Триъгълник (трапец), сегмент, свързващ средните точки на две страни на триъгълника (страни на трапеца) ... Естествени науки. енциклопедичен речник

Книги

Химикал "Jotter Luxe K177 West M" (син) (1953203) , . Химикал в подаръчна кутия. Цвят на буквата: син. Линия: средна. Произведено във Франция...

Концепцията за средната линия на триъгълник

Нека въведем понятието средна линия на триъгълник.

Определение 1

Това е отсечка, свързваща средите на две страни на триъгълник (фиг. 1).

Фигура 1. Средна линия на триъгълника

Теорема за средната линия на триъгълника

Теорема 1

Средната линия на триъгълник е успоредна на една от страните му и равна на половината от нея.

Доказателство.

Нека ни е даден триъгълник $ABC$. $MN$ е средната линия (както на фигура 2).

Фигура 2. Илюстрация на теорема 1

Тъй като $\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$, тогава триъгълниците $ABC$ и $MBN$ са подобни според втория критерий за подобие на триъгълници . Средства

Освен това следва, че $\angle A=\angle BMN$, което означава $MN||AC$.

Теоремата е доказана.

Следствия от теоремата за средната линия на триъгълника

Следствие 1:Медианите на триъгълник се пресичат в една точка и се делят на пресечната точка в съотношение $2:1$, започвайки от върха.

Доказателство.

Да разгледаме триъгълник $ABC$, където $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ са неговите медиани. Тъй като медианите разделят страните наполовина. Да разгледаме средната линия $A_1B_1$ (фиг. 3).

Фигура 3. Илюстрация на следствие 1

Съгласно теорема 1, $AB||A_1B_1$ и $AB=2A_1B_1$, следователно, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Това означава, че триъгълниците $ABM$ и $A_1B_1M$ са подобни по първия критерий за подобие на триъгълници. Тогава

По същия начин е доказано, че

Теоремата е доказана.

Следствие 2:Трите средни линии на триъгълника го разделят на 4 триъгълника, подобни на оригиналния триъгълник с коефициент на подобие $k=\frac(1)(2)$.

Доказателство.

Да разгледаме триъгълник $ABC$ със средни линии $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ (фиг. 4)

Фигура 4. Илюстрация на следствие 2

Да разгледаме триъгълника $A_1B_1C$. Тъй като $A_1B_1$ е средната линия, тогава

Ъгъл $C$ е общият ъгъл на тези триъгълници. Следователно триъгълниците $A_1B_1C$ и $ABC$ са подобни според втория критерий за сходство на триъгълници с коефициент на сходство $k=\frac(1)(2)$.

По същия начин се доказва, че триъгълниците $A_1C_1B$ и $ABC$ и триъгълниците $C_1B_1A$ и $ABC$ са подобни с коефициент на подобие $k=\frac(1)(2)$.

Да разгледаме триъгълника $A_1B_1C_1$. Тъй като $A_1B_1,\ (\A)_1C_1,\ B_1C_1$ са средните линии на триъгълника, тогава

Следователно, според третия критерий за подобие на триъгълници, триъгълниците $A_1B_1C_1$ и $ABC$ са подобни с коефициент на подобие $k=\frac(1)(2)$.

Теоремата е доказана.

Примерни задачи върху понятието средна линия на триъгълник

Пример 1

Даден е триъгълник със страни $16$ cm, $10$ cm и $14$ cm. Намерете периметъра на триъгълника, чиито върхове лежат в средите на страните на дадения триъгълник.

Решение.

Тъй като върховете на желания триъгълник лежат в средните точки на страните на дадения триъгълник, тогава неговите страни са средните линии на оригиналния триъгълник. По следствие 2 намираме, че страните на търсения триъгълник са равни на $8$ cm, $5$ cm и $7$ cm.

Отговор:$20$ виж

Пример 2

Даден е триъгълник $ABC$. Точките $N\ и\ M$ са среди съответно на страни $BC$ и $AB$ (фиг. 5).

Фигура 5.

Периметърът на триъгълника $BMN=14$ cm Намерете периметъра на триъгълника $ABC$.

Решение.

Тъй като $N\ и\ M$ са среди на страните $BC$ и $AB$, то $MN$ е средната линия. Средства

По теорема 1 $AC=2MN$. Получаваме:

Средна линия на триъгълника

Имоти

Средната линия на триъгълника е успоредна на третата страна и равна на половината от нея.
когато се начертаят и трите средни линии, се образуват 4 равни триъгълника, подобни (дори хомотетични) на оригиналния с коефициент 1/2.
средната линия отрязва триъгълник, който е подобен на този, и неговата площ е равна на една четвърт от площта на оригиналния триъгълник.

Средна линия на четириъгълника

Средна линия на четириъгълника- сегмент, свързващ средината на противоположните страни на четириъгълник.

Имоти

Ако в изпъкнал четириъгълник средната линия образува равни ъгли с диагоналите на четириъгълника, тогава диагоналите са равни.
Дължината на средната линия на четириъгълник е по-малка от половината от сумата на другите две страни или равна на нея, ако тези страни са успоредни и само в този случай.
Средите на страните на произволен четириъгълник са върхове на успоредник. Площта му е равна на половината от площта на четириъгълника, а центърът му лежи в точката на пресичане на средните линии. Този успоредник се нарича успоредник на Вариньон;
Пресечната точка на средните линии на четириъгълник е тяхната обща среда и разполовява отсечката, свързваща средите на диагоналите. В допълнение, това е центроидът на върховете на четириъгълника.
В произволен четириъгълник векторът на средната линия е равен на половината от сбора на векторите на основите.

Средна линия на трапец

Имоти

средната линия е успоредна на основите и равна на тяхната полусума.

Вижте също

Бележки

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Средна смъртоносна доза
Средна линия на трапец

Вижте какво е „средна линия“ в други речници:

СРЕДНА ЛИНИЯ- на триъгълник (трапец) сегмент, свързващ средните точки на две страни на триъгълника (страни на трапеца) ... Голям енциклопедичен речник

средна линия- триъгълник (трапец), сегмент, свързващ средните точки на две страни на триъгълника (страни на трапеца). * * * СРЕДНА ЛИНИЯ СРЕДНА ЛИНИЯ на триъгълник (трапец), отсечка, свързваща средните точки на две страни на триъгълника (странични страни на трапеца) ... енциклопедичен речник

средна линия- 1) S. l. триъгълник, отсечка, свързваща средните точки на две страни на триъгълник (третата страна се нарича основа). С. л. на триъгълника е успореден на основата и равен на половината от нея; площ на частите на триъгълника, на които c го разделя. л.,..... Велика съветска енциклопедия

СРЕДНА ЛИНИЯ- сегмент от триъгълник, свързващ средните точки на двете страни на триъгълника. Третата страна на триъгълника се нарича основата на триъгълника. С. л. на триъгълник е успоредна на основата и равна на половината от дължината му. Във всеки триъгълник S. l. отрязва от...... Математическа енциклопедия

СРЕДНА ЛИНИЯ- триъгълник (трапец), сегмент, свързващ средните точки на две страни на триъгълника (страни на трапеца) ... Естествени науки. енциклопедичен речник

Книги

Химикал "Jotter Luxe K177 West M" (син) (1953203) , . Химикал в подаръчна кутия. Цвят на буквата: син. Линия: средна. Произведено във Франция...