Геометрично представяне на определение на комплексно число. Геометрично представяне на комплексни числа

Геометрично представяне на комплексни числа. Тригонометрична форма комплексно число.

2015-06-04

Реална и имагинерна ос
Аргумент на комплексното число
Основен аргументкомплексно число
Тригонометрична форма на комплексно число

Задаването на комплексно число $z = a+bi$ е еквивалентно на задаване на две реални числа $a,b$ - реалната и имагинерната част на това комплексно число. Но подредена двойка числа $(a,b)$ е изобразена в декартова система правоъгълна системакоординати от точка с координати $(a, b)$. Така тази точка може да служи като образ за комплексното число $z$: между комплексни числа и точки координатна равнинаустановява се кореспонденция едно към едно.

Когато се използва координатната равнина за представяне на комплексни числа, оста $Ox$ обикновено се нарича реална ос (тъй като реалната част от числото се приема за абсцисата на точката), а оста $Oy$ е въображаемата ос (тъй като имагинерната част от числото се приема за ордината на точката).

Комплексното число $z$, представено от точката $M(a,b)$, се нарича афикс на тази точка. В същото време реални числаса представени от точки, лежащи на реалната ос, а всички чисто имагинерни числа $bi$ (за $a = 0$) са представени от точки, лежащи на имагинерната ос. Числото нула е представено от точка O.

Фиг.1
На фиг. 1, изображения на числата $z_(1) = 2 + 3i, z_(2)=1 =1,z_(3) = 4i, z_(4) = -4 + i, z_(5) = -2, z_( 6) = - 3 – 2i, z_(7) = -5i, z_(8) = 2 – 3i$.

Две комплексно спрегнати числа са представени от точки, симетрични спрямо оста $Ox$ (точки $z_(1)$ и $z_(8)$ на фиг. 1).

ориз. 2
Често свързана с комплексно число $z$ е не само точката $M$, представляваща това число, но и векторът $\vec(OM)$, водещ от $O$ към $M$; Представянето на числото $z$ като вектор е удобно от гледна точка на геометричната интерпретация на действието събиране и изваждане на комплексни числа. На фиг. 2 и е показано, че векторът, представляващ сумата от комплексни числа $z_(1), z_(2)$, се получава като диагонал на успоредник, построен върху векторите $\vec(OM_(1)), \vec (OM_(2)) $ представляващи условия. Това правило за добавяне на вектори е известно като правилото на паралелограма (например за добавяне на сили или скорости в курс по физика). Изваждането може да се сведе до събиране с противоположен вектор(фиг. 2, b).

ориз. 3
Както е известно, позицията на точка в равнина може да се определи и чрез нейните полярни координати $r, \phi$. По този начин комплексното число - афиксът на точка - също ще бъде определено чрез указване на $r$ и $\phi$. От фиг. 3 е ясно, че $r = OM = \sqrt(x^(2) + y^(2))$ е в същото време модулът на комплексното число $z$: полярният радиус на точката, представляваща числото $z$, равен на модултози номер.

Полярният ъгъл на точка $M$ се нарича аргумент на числото $z$, представено от тази точка.

Аргументът на комплексно число (като полярния ъгъл на точка) не е еднозначно дефиниран; ако $\phi_(0)$ е една от неговите стойности, тогава всичките му стойности се изразяват с формулата
$\phi = \phi_(0) + 2k \pi (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$

Всички стойности на аргумента се обозначават колективно със символа $Arg \: z$.

И така, всяко комплексно число може да бъде свързано с двойка реални числа: модул и аргумент даден номер, а аргументът е дефиниран двусмислено. Напротив, при даден модул $|z| = r$ и аргументът $\phi$ съответства единствено число$z$ с дадения модул и аргумент. Специални свойстваима числото нула: неговият модул равно на нула, на аргумента не се приписва конкретно значение.

За да се постигне недвусмисленост в дефиницията на аргумента на сложно число, можете да се съгласите да наречете една от стойностите на аргумента основната. Означава се със символа $arg \: z$. Обикновено основната стойност на аргумента се избира да бъде стойност, която удовлетворява неравенствата
$0 \leq arg \: z (в други случаи неравенствата $- \pi

Нека обърнем внимание и на стойностите на аргумента на реални и чисто въображаеми числа:
$arg \: a = \begin(cases) 0, & \text(if) a>0, \\
\pi, & \text(if) a $arg \: bi = \begin(cases) \frac(\pi)(2), & \text(if) b > 0, \\
\frac(3 \pi)(2), & \text(if) b

Реални и имагинерни части на комплексно число (както Декартови координатиточки) се изразяват чрез неговия модул и аргумент ( полярни координатиточки) по формулите:
$a = r \cos \phi, b = r \sin \phi$, (1)
и комплексно число може да се запише в следната тригонометрична форма:
$z = r(\cos \phi \phi + i \sin \phi)$ (2)
(ще наричаме писане на число във формата $z = a + bi$ запис в алгебрична форма).

Условието за равенство на две числа, дадени в тригонометрична форма, е следното: две числа $z_(1)$ и $z_(2)$ са равни тогава и само ако техните модули са равни и аргументите са равни или се различават с цяло число периоди $2 \pi $.

Преходът от записване на число в алгебрична форма към записването му в тригонометрична форма и обратно се извършва по формули (4):
$r = \sqrt(a^(2) + b^(2)), \cos \phi = \frac(a)(r)= \frac(a)(\sqrt(a^(2) + b^ (2)), \sin \phi = \frac(b)(r) = \frac(b)(\sqrt(a^(2) + b^(2))), tg \phi = \frac( b )(a)$ (3)
и формули (1). Когато дефинирате аргумент (основната му стойност), можете да използвате стойността на един от тригонометрични функции$\cos \phi$ или $\sin \phi$ и вземете предвид знака на секундата.

Пример. Запишете следните числа в тригонометрична форма:
а)$6 + 6i$; б) $3i$; в) $-10$.
Решение, а) Имаме
$r = \sqrt(6^(2) + (-6)^(2)) = 6 \sqrt(2)$,
$\cos \phi = \frac(6)(6 \sqrt(2)) = \frac(1)(\sqrt(2)) = \frac(\sqrt(2))(2)$,
$\sin \phi = - \frac(6)(6 \sqrt(2)) = - \frac(1)(\sqrt(2)) = - \frac(\sqrt(2))(2)$,
откъдето $\phi = \frac(7 \pi)(4)$ и, следователно,
$6-6i = 6 \sqrt(2) \left (\cos \frac(7 \pi)(4) + i \sin \frac(7 \pi)(4) \right)$;
b) $r = 3, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = \pi /2$;
$3i = 3 \left (\cos \frac(\pi)(2) + i \sin \frac(\pi)(2) \right)$
c) $r = 10, \cos \phi = -1, \sin \phi = 0, \phi = \pi$;
$-10 = 10 (\cos \pi + i \sin \pi)$

Комплексни числа, представянето им в равнина. Алгебрични операциинад комплексни числа. Сложно сдвояване. Модул и аргумент на комплексно число. Алгебрични и тригонометрична формакомплексно число. Корени на комплексни числа. Експоненциална функциясложен аргумент. Формула на Ойлер. Демонстративна формакомплексно число.

При изучаване на един от основните методи на интеграция: интеграция рационални дроби– за извършване на строги доказателства е необходимо да се вземат предвид полиноми в сложната област. Затова нека първо изучим някои свойства на комплексните числа и операциите върху тях.

Определение 7.1. Комплексното число z е подредена двойка реални числа (a,b) : z = (a,b) (терминът „подреден“ означава, че при записването на комплексно число редът на числата a и b е важен: (a ,b)≠(b,a )). В този случай първото число a се нарича реална част от комплексното число z и се обозначава a = Re z, а второто число b се нарича имагинерна част от z: b = Im z.

Определение 7.2. Две комплексни числа z 1 = (a 1 , b 1) и z 2 = (a 2 , b 2) са равни тогава и само ако техните реални и имагинерни части са равни, т.е. a 1 = a 2 , b 1 = b 2 .

Операции с комплексни числа.

1. Сумакомплексни числа z 1 =(a 1, b 1) И z 2 =(a 2, b 2 z =(а,б) така че a = a 1 + a 2, b = b 1 + b 2.Свойства на добавянето: а) z 1 + z 2 = z 2 + z 1; б) z 1 +(z 2 + z 3) = (z 1 + z 2) + z 3; в) има комплексно число 0 = (0,0): z + 0 =zза всяко комплексно число z.

2. Работатакомплексни числа z 1 =(a 1, b 1) И z 2 =(a 2, b 2) се нарича комплексно число z =(а,б) така че a = a 1 a 2 – b 1 b 2, b = a 1 b 2 + a 2 b 1.Свойства на умножението: а) z 1 z 2 = z 2 z 1; б) z 1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z 3, V) ( z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

Коментирайте. Подмножество на множеството от комплексни числа е множеството от реални числа, определени като комплексни числа от вида ( а, 0). Вижда се, че дефиницията на операциите с комплексни числа запазва известните правила за съответните операции с реални числа. В допълнение, реалното число 1 = (1,0) запазва свойството си, когато се умножи по произволно комплексно число: 1∙ z = z.

Определение 7.3.Комплексно число (0, b) се нарича чисто въображаемо. По-специално се извиква числото (0,1). имагинерна единицаи се обозначава със символа аз.

Свойства на въображаемата единица:

1) i∙i=i² = -1; 2) чисто въображаемо число (0, b) може да се представи като произведение на реално число ( б, 0) и аз: (б, 0) = b∙i.

Следователно всяко комплексно число z = (a,b) може да бъде представено като: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

Определение 7.4. Извиква се нотация под формата z = a + ib алгебрична формаписане на комплексно число.

Коментирайте. Алгебричната нотация на комплексни числа ви позволява да извършвате операции с тях според нормални правилаалгебра.

Определение 7.5. Комплексно число се нарича комплексно спрегнато на z = a + ib.

3. Изважданекомплексни числа се дефинира като обратна операция на събиране: z =(а,б) се нарича разлика на комплексни числа z 1 =(a 1, b 1) И z 2 =(a 2, b 2), Ако a = a 1 – a 2, b = b 1 – b 2.

4. дивизиякомплексни числа се дефинира като операция, обратно на умножението: номер z = a + ibнаречено частно на деление z 1 = a 1 + ib 1И z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0), ако z 1 = z∙z 2 .Следователно реалната и въображаемата част на коефициента могат да бъдат намерени чрез решаване на системата от уравнения: a 2 a – b 2 b = a 1, b 2 a + a 2 b = b 1.

Геометрична интерпретация на комплексни числа.

Комплексно число z =(а,б) може да се представи като точка на равнина с координати ( а,б) или вектор с начало в началото и край в точка ( а,б).

В този случай се нарича модулът на резултантния вектор модулкомплексно число и ъгъл образуван от векторс положителна посока на оста x, - аргументчисла. Като се има предвид това a = ρ cos φ, b = ρгрях φ, Къде ρ = |z| - модул z,и φ = arg z е неговият аргумент, можете да получите друга форма на запис на комплексно число:

Определение 7.6.Тип запис

z = ρ(тъй като φ + iгрях φ ) (7.1)

наречен тригонометрична формаписане на комплексно число.

На свой ред модулът и аргументът на комплексно число могат да бъдат изразени чрез АИ b: . Следователно аргументът на комплексно число не е еднозначно определен, но до член, който е кратен на 2π.

Лесно е да се провери, че операцията за добавяне на комплексни числа съответства на операцията за добавяне на вектори. Нека разгледаме геометричната интерпретация на умножението. Нека тогава

Следователно модулът на произведението на две комплексни числа е равно на произведениетотехните модули, а аргументът е сумата от техните аргументи. Съответно при разделяне модулът на частното равно на съотношениетомодули на делителя и делителя, а аргументът е разликата на техните аргументи.

Специален случай на операцията за умножение е степенуването:

- Формулата на Моавър.

Използвайки получените отношения, ние изброяваме основните свойства на комплексно спрегнатите числа:

Комплексни числа

Основни понятия

Първоначалните данни за числеността са от каменно-медната епоха – палеомелита. Това са „един“, „няколко“ и „много“. Те бяха записани под формата на резки, възли и др. Развитието на трудовите процеси и появата на собствеността принудиха човека да измисли числата и техните имена. Първият появил се естествени числа Н, получени чрез преброяване на т. Тогава, наред с необходимостта да броят, хората са имали нужда да измерват дължини, площи, обеми, време и други величини, където е трябвало да вземат предвид части от използваната мярка. Така се появиха дробите. Формално обосноваване на концепциите за дробни и отрицателно числое извършено през 19 век. Набор от цели числа З– това са естествени числа, естествени числа със знак минус и нула. Цяло и дробни числаобразува набор рационални числа Q,но също така се оказа недостатъчен за изучаване на непрекъснато променящите се променливи. Битието отново показа несъвършенството на математиката: невъзможността да се реши уравнение от вида X 2 = 3, поради което се появиха ирационалните числа азОбединение на множеството от рационални числа QИ ирационални числа аз– набор от реални (или реални) числа Р. В резултат на това числовата линия беше запълнена: всяко реално число съответстваше на точка от нея. Но на много Рняма начин да се реши уравнение от вида X 2 = – А 2. Следователно отново възникна необходимостта да се разшири понятието число. Така се появяват комплексните числа през 1545г. Техният създател J. Cardano ги нарече „чисто негативни“. Името "въображаем" е въведено през 1637 г. от французина Р. Декарт, през 1777 г. Ойлер предлага използването на първата буква френски номер азза обозначаване на имагинерната единица. Този символ влезе в обща употреба благодарение на К. Гаус.

През 17-ти и 18-ти век дискусията за аритметичната природа на имагинерите и тяхната геометрична интерпретация продължава. Датчанинът G. Wessel, французинът J. Argan и германецът K. Gauss независимо предложиха да представят комплексно число като точка в координатната равнина. По-късно се оказа, че е още по-удобно да се представи число не чрез самата точка, а чрез вектор, който отива към тази точка от началото.

Едва към края на 18-ти и началото на 19-ти век комплексните числа заемат полагащото им се място в математически анализ. Първото им използване е на теория диференциални уравненияи в теорията на хидродинамиката.

Определение 1.Комплексно числосе нарича израз на формата , където хИ гса реални числа и аз– имагинерна единица, .

Две комплексни числа и равенако и само ако , .

Ако , тогава номерът се извиква чисто въображаемо; ако , тогава числото е реално число, това означава, че множеството Р СЪС, Къде СЪС– набор от комплексни числа.

Конюгаткъм комплексно число се нарича комплексно число.

Геометрично представяне на комплексни числа.

Всяко комплексно число може да бъде представено с точка М(х, г) самолет Окси.Двойка реални числа също означава координатите на радиус вектора , т.е. между набора от вектори на равнината и набора от комплексни числа може да се установи взаимно еднозначно съответствие: .

Определение 2.Реална част X.

Обозначение: х= Re z(от латински Realis).

Определение 3.Въображаема часткомплексното число е реално число г.

Обозначение: г= Im z(от латински Imaginarius).

Re zсе отлага върху оста ( О), Im zсе отлага върху оста ( о), тогава векторът, съответстващ на комплексното число, е радиус векторът на точката М(х, г), (или М(Re z, Im z)) (фиг. 1).

Определение 4.Нарича се равнина, чиито точки са свързани с набор от комплексни числа сложна равнина. Абсцисната ос се нарича реална ос, тъй като съдържа реални числа. Нарича се ординатната ос въображаема ос, то съдържа чисто въображаеми комплексни числа. Означава се множеството от комплексни числа СЪС.

Определение 5.Модулкомплексно число z = (х, г) се нарича дължина на вектора: , т.е. .

Определение 6.Аргументкомплексно число е ъгълът между положителната посока на оста ( о) и вектор: .

Забележка 3.Ако точката zлежи на реалната или въображаема ос, тогава можете да го намерите директно.

Комплексни числа и
координирам
самолет

Геометричният модел на множеството R от реални числа е числовата ос. Всяко реално число съответства на една точка

на
числова ос и всяка точка от правата
само един съвпада
реално число!

Чрез добавяне на още едно измерение към числовата линия, съответстваща на множеството от всички реални числа - линията, съдържаща множеството от чисти числа

Чрез добавяне към числовата ос, съответстваща на множеството
от всички реални числа още едно измерение -
права линия, съдържаща набор от чисто въображаеми числа –
получаваме координатна равнина, в която всеки
комплексното число a+bi може да бъде свързано
точка (a; b) от координатната равнина.
i=0+1i съответства на точка (0;1)
2+3i съответства на точка (2;3)
-i-4 съответства на точка (-4;-1)
5=5+1i съответства на меланхолия (5;0)

Геометричен смисъл на операцията спрежение

! Операцията на свързване е аксиална
симетрия спрямо абсцисната ос.
!! Конюгирани един с друг
комплексните числа са на еднакво разстояние от
произход.
!!! Вектори, изобразяващи
спрегнати числа, наклонени към оста
абсцисата под същия ъгъл, Но
разположени според различни страниот
тази ос.

Изображение на реални числа

Изображение на комплексни числа

Алгебрична
начин
изображения:
Комплексно число
изобразено е a+bi
равнинна точка
с координати
(a;b)

Примери за изобразяване на комплексни числа в координатната равнина

(Интересуваме се
комплексни числа
z=x+yi , за което
х=-4. Това е уравнението
директен,
успоредна ос
ордината)
при
X= - 4
Валиден
част е -4
0
X

Начертайте в координатната равнина множеството от всички комплексни числа, за които:

Въображаема част
е дори
недвусмислен
естествено
номер
(Интересуваме се
комплексни числа
z=x+yi, за което
y=2,4,6,8.
Геометрично изображение
се състои от четири
права, успоредна
ос x)
при
8
6
4
2
0
X

Съществуват следните форми на комплексни числа: алгебричен(x+iy), тригонометричен(r(cos+isin )), показателен(re i ).

Всяко комплексно число z=x+iy може да бъде представено върху Самолет XOUпод формата на точка A(x,y).

Равнината, върху която са изобразени комплексните числа, се нарича равнина на комплексната променлива z (поставяме символа z на равнината).

Оста OX е реалната ос, т.е. съдържа реални числа. OU е имагинерна ос с имагинерни числа.

x+iy- алгебрична форма на запис на комплексно число.

Нека изведем тригонометричната форма на запис на комплексно число.

Заместваме получените стойности в първоначалната форма: , т.е.

r(cos+исин) - тригонометрична форма на запис на комплексно число.

Експоненциалната форма на запис на комплексно число следва от формулата на Ойлер:
,Тогава

z= повторно аз - експоненциална форма на запис на комплексно число.

Операции с комплексни числа.

1. допълнение. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 . изваждане. z 1 -z 2 =(x1+iy1)-(x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);

3. умножение. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 . разделение. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

Две комплексни числа, които се различават само по знака на имагинерната единица, т.е. z=x+iy (z=x-iy) се наричат спрегнати.

работа.

z1=r(cos +исин ); z2=r(cos +исин ).

Това произведение z1*z2 на комплексни числа се намира: , т.е. модулът на произведението е равен на произведението на модулите, а аргументът на произведението е равен на сумата от аргументите на факторите.

;
;

Частно.

Ако комплексните числа са дадени в тригонометрична форма.

Ако комплексните числа са дадени в експоненциална форма.

степенуване.

1. Комплексно число, дадено в алгебричен форма.

z=x+iy, тогава z n се намира от Биномна формула на Нютон:

- броят комбинации от n елемента от m (броят начини, по които могат да бъдат взети n елемента от m).

;
.

n!=1*2*…*n; 0!=1;

Кандидатствайте за комплексни числа.

В получения израз трябва да замените степените i с техните стойности: i 0 =1 От тук дообщ случай

получаваме: i 4k =1

i 1 =i i 4k+1 =i

i 2 =-1 i 4k+2 =-1

i 3 =-i i 4k+3 =-i.

Пример

i 31 = i 28 i 3 =-i

2. i 1063 = i 1062 i=i форма.

тригонометричен +исин z=r(cos

- ), това.

Формулата на Моавър

3. Тук n може да бъде „+“ или „-“ (цяло число). Ако е дадено комплексно число показателен

форма:

Извличане на корен.
.

Разгледайте уравнението:
.

Неговото решение ще бъде n-ти корен от комплексното число z: Коренът n-та от комплексно число z има точно n решения (стойности). Корен оттекуща дата

n-та степен има само едно решение. В сложните има n решения. i 1063 = i 1062 i=i Ако е дадено комплексно число

тригонометричен +исин форма:

), тогава n-тият корен от z се намира по формулата:

, където k=0,1…n-1.

Редове. Цифрови серии.

Нека променливата a приема последователно стойностите a 1, a 2, a 3,…, a n. Такъв преномериран набор от числа се нарича последователност. Тя е безкрайна. Числова серия е изразът a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…=