Докато събирането и изваждането на комплексни числа е по-удобно да се прави в алгебрична форма, умножението и делението се извършват по-лесно с помощта на тригонометрична форма на комплексни числа.
Нека вземем две произволни комплексни числа, дадени в тригонометрична форма:
Умножавайки тези числа, получаваме:
Но според тригонометричните формули
Така при умножаване на комплексни числа се умножават техните модули, а аргументите
сгънете. Тъй като в този случай модулите се преобразуват отделно, а аргументите - отделно, извършването на умножение в тригонометрична форма е по-лесно, отколкото в алгебрична форма.
От равенство (1) следват следните отношения:
Тъй като делението е действие, обратно на умножението, получаваме това
С други думи, модулът на частното е равен на отношението на модулите на делителя и делителя, а аргументът на частното е разликата между аргументите на делителя и делителя.
Нека сега се спрем на геометричния смисъл на умножението на комплексни числа. Формули (1) - (3) показват, че за да намерите продукта, първо трябва да увеличите модула на броя пъти, без да променяте неговия аргумент, и след това да увеличите аргумента на полученото число с, без да променяте неговия модул. Първата от тези операции геометрично означава хомотетия по отношение на точка O с коефициент, а втората означава завъртане спрямо точка O на ъгъл, равен на Като се има предвид, че тук единият фактор е постоянен, а другият променлив, можем да формулираме резултата както следва: формула
Комплексно число е число от вида , където и са реални числа, т.нар имагинерна единица. Номерът се нарича реална част() комплексно число, числото се нарича въображаема част () комплексно число.
Комплексните числа са представени от сложна равнина:
Както бе споменато по-горе, буквата обикновено обозначава набор от реални числа. многоили комплексни числаобикновено се обозначава с „удебелена“ или удебелена буква. Следователно буквата трябва да бъде поставена на чертежа, като се посочва фактът, че имаме сложна равнина.
Алгебрична форма на комплексно число. Събиране, изваждане, умножение и деление на комплексни числа
Събиране на комплексни числа
За да съберете две комплексни числа, трябва да съберете техните реални и имагинерни части:
z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i*(b 1 + b 2).
За комплексните числа е валидно правилото от първи клас: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 – сумата не се променя от пренареждането на членовете.
Изваждане на комплексни числа
Действието е подобно на събирането, единствената особеност е, че изместеното трябва да се постави в скоби, а след това скобите да се отворят по стандартния начин със смяна на знака:
z 1 + z 2 = (a 1 – a 2) + i*(b 1 – b 2)
Умножение на комплексни числа
Основно равенство на комплексни числа:
Произведение на комплексни числа:
z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)*(a 2 + i*b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 *b 2 = a 1 *a 2 - b 1 *b 2 +i*(a 1 *b 2 +a 2 *b 1).
Подобно на сумата, произведението на комплексните числа е комутабельно, т.е. равенството е вярно: .
Деление на комплексни числа
Извършва се разделяне на числата чрез умножаване на знаменателя и числителя по спрегнатия израз на знаменателя.
2 Въпрос. Сложна равнина. Модул и аргументи на комплексни числа
Всяко комплексно число z = a + i*b може да бъде свързано с точка с координати (a;b) и обратно, всяка точка с координати (c;d) може да бъде свързано с комплексно число w = c + i* d. Така се установява взаимно еднозначно съответствие между точките на равнината и множеството от комплексни числа. Следователно комплексните числа могат да бъдат представени като точки на равнина. Обикновено се нарича равнината, на която са изобразени комплексни числа сложна равнина.
По-често обаче комплексните числа се изобразяват като вектор с начало в точка O, а именно комплексното число z = a + i*b се изобразява като радиус вектор на точка с координати (a;b). В този случай изображението на комплексни числа от предишния пример ще бъде така: 
Образът на сбора от две комплексни числа е вектор, равен на сбора от векторите, представляващи числата и . С други думи, когато се добавят комплексни числа, векторите, които ги представят, също се добавят.
Нека комплексното число z = a + i*b бъде представено чрез радиус вектор. След това се нарича дължината на този вектор модулчисло z и се означава с |z| .
|
|
Ъгълът, образуван от радиус вектора на число с оста, се нарича аргументчисла и се означава с arg z. Числовият аргумент не се определя еднозначно, а с точност до кратно на . Въпреки това, обикновено аргументът е посочен в диапазона от 0 или в диапазона от -до. Освен това числото има недефиниран аргумент.
Използвайки тази връзка, можете да намерите аргумента на комплексно число:
Освен това първата формула е валидна, ако изображението на числото е в първата или четвъртата четвърт, а втората, ако е във втората или третата. Ако , тогава комплексното число е представено от вектор на оста Oy и неговият аргумент е равен на /2 или 3*/2.
Нека вземем още една полезна формула. Нека z = a + i*b. тогава,
Докато събирането и изваждането на комплексни числа е по-удобно да се прави в алгебрична форма, умножението и делението се извършват по-лесно с помощта на тригонометрична форма на комплексни числа.
Нека вземем две произволни комплексни числа, дадени в тригонометрична форма:
Умножавайки тези числа, получаваме:
Но според тригонометричните формули
Така при умножаване на комплексни числа се умножават техните модули, а аргументите
сгънете. Тъй като в този случай модулите се преобразуват отделно, а аргументите - отделно, извършването на умножение в тригонометрична форма е по-лесно, отколкото в алгебрична форма.
От равенство (1) следват следните отношения:
Тъй като делението е действие, обратно на умножението, получаваме това
С други думи, модулът на частното е равен на отношението на модулите на делителя и делителя, а аргументът на частното е разликата между аргументите на делителя и делителя.
Нека сега се спрем на геометричния смисъл на умножението на комплексни числа. Формули (1) - (3) показват, че за да намерите продукта, първо трябва да увеличите модула на броя пъти, без да променяте неговия аргумент, и след това да увеличите аргумента на полученото число с, без да променяте неговия модул. Първата от тези операции геометрично означава хомотетия по отношение на точка O с коефициент, а втората означава завъртане спрямо точка O на ъгъл, равен на Като се има предвид, че тук единият фактор е постоянен, а другият променлив, можем да формулираме резултата както следва: формула
Ние дефинираме произведението на две комплексни числа подобно на произведението на реални числа, а именно: произведението се разглежда като число, съставено от умножено, точно както факторът е съставен от единица.
Векторът, съответстващ на комплексно число с модул и аргумент, може да се получи от единичен вектор, чиято дължина е равна на единица и чиято посока съвпада с положителната посока на оста OX, като се удължи с коефициент и се завърти в положителна посока под ъгъл
Продуктът на определен вектор по вектор е векторът, който ще се получи, ако към вектора се приложат гореспоменатите удължаване и завъртане, с помощта на които векторът се получава от единичен вектор, като последният очевидно съответства на истинска единица.
Ако модулите и аргументите са комплексни числа, съответстващи на вектори, тогава произведението на тези вектори очевидно ще съответства на комплексно число с модул и аргумент. Така стигаме до следната дефиниция на произведението на комплексни числа:
Произведението на две комплексни числа е комплексно число, чийто модул е равен на произведението на модулите на факторите и чийто аргумент е равен на сумата от аргументите на факторите.
Така в случай, че комплексните числа са записани в тригонометрична форма, ще имаме
Нека сега изведем правилото за съставяне на произведение за случая, когато комплексните числа не са дадени в тригонометрична форма:
Използвайки горната нотация за модули и аргументи на фактори, можем да напишем
според определението за умножение (6):
и накрая получаваме
В случай, че факторите са реални числа и произведението се свежда до произведението aag на тези числа. В случай на равенство (7) дава
т.е. квадратът на въображаемата единица е равен на
Изчислявайки последователно положителните цели числа, получаваме
и като цяло, с всякакъв общ положителен
Правилото за умножение, изразено чрез равенство (7), може да се формулира по следния начин: комплексните числа трябва да се умножават като буквени полиноми, като се брои
Ако a е комплексно число, тогава се казва, че комплексното число е спрегнато на a и се означава с a. Съгласно формули (3) имаме от равенство (7) следва
и следователно
т.е. произведението на спрегнатите комплексни числа е равно на квадрата на модула на всяко от тях.
Нека да отбележим и очевидни формули
От формули (4) и (7) веднага следва, че събирането и умножението на комплексни числа се подчиняват на комутативния закон, т.е. сборът не зависи от реда на членовете, а произведението не зависи от реда на фактори. Не е трудно да се провери валидността на комбинационните и дистрибутивните закони, изразени чрез следните тъждества:
Оставяме на читателя да направи това.
Забележете накрая, че произведението на няколко фактора ще има модул, равен на произведението на модулите на факторите, и аргумент, равен на сумата от аргументите на факторите. По този начин произведението на комплексните числа ще бъде равно на нула тогава и само ако поне един от факторите е равен на нула.
Произведението на две комплексни числа е подобно на произведението на две реални числа, а именно: произведението се разглежда като число, съставено от умножено, точно както факторът е съставен от единица. Векторът, съответстващ на комплексно число с модул r и аргумент j, може да се получи от единичен вектор, чиято дължина е равна на единица и чиято посока съвпада с положителната посока на оста OX, като се удължи с r пъти и се завърти в положителна посока от ъгъл j. Произведението на определен вектор a 1 от вектор a 2 е векторът, който се получава, ако към вектора a 1 приложим удължаване и завъртане, с помощта на които векторът a 2 се получава от единичен вектор, а последният очевидно съответства на реална единица. Ако (r 1 , ? 1), (r 2 , ? 2) са модулите и аргументите на комплексни числа, съответстващи на векторите a 1 и a 2, тогава произведението на тези вектори очевидно ще съответства на комплексно число с модула r 1 r 2 и аргумент (j 1 + j 2). По този начин произведението на две комплексни числа е комплексно число, чийто модул е равен на произведението на модулите на факторите и чийто аргумент е равен на сумата от аргументите на факторите.
В случай, че комплексните числа са записани в тригонометрична форма, имаме
r 1 (cos? 1 + i sin? 1) * r 2 (cos? 2 + i sin? 2) = r 1 r 2.
В случая (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = x + yi, използвайки нотацията на модули и аргументи на фактори, можем да напишем:
a 1 = r 1 cos? 1 ; b 1 = r 1 sin? 1 ; a 2 = r 2 cos? 2 ; b 2 = r 2 sin? 2 ;
според определението за умножение:
x = r 1 r 2 cos(? 1 + ? 2); y = r 1 r 2 sin(? 1 + ? 2),
x = r 1 r 2 (cos? 1 cos? 2 - sin? 1 sin? 2) = = r 1 cos? 1 r 2 cos? 2 - r 1 грях? 1 r 2 грях? 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2
y = r 1 r 2 (sin? 1 cos? 2 + cos? 1 sin? 2) = = r 1 sin? 1 r 2 cos? 2 + r 1 cos? 1 r 2 грях? 2 = b 1 a 2 + a 1 b 2,
и накрая получаваме:
(a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)i.
В случая b 1 = b 2 = 0 множителите са реални числа a 1 и a 2 и произведението се свежда до произведението a 1 a 2 на тези числа. В случай
a 1 = a 2 = 0 и b 1 = b 2 = 1,
равенството (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)I дава: i???i = i 2 = -1, т.е. квадратът на въображаемата единица е -1. Изчислявайки последователно положителните цели числа i, получаваме:
i 2 = -1; i 3 = -i; i 4 = 1; i 5 = i; i 6 = -1; ...
и като цяло за всяко положително k:
i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i
Правилото за умножение, изразено чрез равенството (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)I може да бъде формулиран по следния начин: комплексните числа трябва да се умножават като азбучни полиноми, като се брои i 2 = -1.
От горните формули веднага следва, че събирането и умножението на комплексни числа се подчиняват на комутативния закон, т.е. сборът не зависи от реда на членовете, а произведението не зависи от реда на факторите. Не е трудно да се провери валидността на комбинационните и дистрибутивните закони, изразени чрез следните тъждества:
(? 1 + ? 2) + ? 3 = ? 1 + (? 2 + ? 3); (? 1 ? 2)? 3 = ? 1 (? 2 ? 3); (? 1 + ? 2)? = ? 1 ? + ? 2 ? .
Произведението от няколко фактора ще има модул, равен на произведението на модулите на факторите и аргумент, равен на сумата от аргументите на факторите. По този начин произведението на комплексните числа ще бъде равно на нула тогава и само ако поне един от факторите е равен на нула.
Пример: дадени комплексни числа z 1 = 2 + 3i, z 2 = 5 - 7i. намирам:
а) z 1 + z 2; b) z 1 - z 2; в) z 1 z 2 .
а) z 1 + z 2 = (2 + 3i) + (5 - 7i) = 2 + 3i + 5 - 7i = (2 + 5) + (3i - 7i) = 7 - 4i; b) z 1 - z 2 = (2 + 3i) - (5 - 7i) = 2 + 3i - 5 + 7i = (2 - 5) + (3i + 7i) = - 3 + 10i; c) z 1 z 2 = (2 + 3i)(5 - 7i) = 10 - 17i + 15i - 21i 2 = 10 - 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (- 14i + 15i) = 31 + i (тук се има предвид, че i 2 = - 1).
Пример: следвайте тези стъпки:
а) (2 + 3i) 2; b) (3 - 5i) 2; в) (5 + 3i) 3 .
а) (2 + 3i) 2 = 4 + 2Х2Ч3i + 9i 2 = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i; б) (3 - 5i) 2 = 9 - 2Х3Ч5i + 25i 2 = 9 - 30i - 25 = - 16 - 30i; в) (5 + 3i) 3 = 125 + 3Х25Ч3i + 3Ч5Ч9i 2 + 27i 3 ; тъй като i 2 = - 1 и i 3 = - i, получаваме (5 + 3i) 3 = 125 + 225i - 135 - - 27i = - 10 + 198i.
Пример: извършване на действия
а) (5 + 3i)(5 - 3i); б) (2 + 5i)(2 - 5i); в) (1 + i) (1 - i).
а) (5 + 3i)(5 - 3i) = 5 2 - (3i) 2 = 25 - 9i 2 = 25 + 9 = 34; б) (2 + 5i)(2 - 5i) = 2 2 - (5i) 2 = 4 + 25 = 29; в) (1 + i)(1 - i) = 1 2 - i 2 = 1 + 1 = 2.