План:

Въведение

• 1 Сумата от първите n членове на редицата
  • 1.1 Някои стойности на частична сума
  • 1.2 Формула на Ойлер
  • 1.3 Теоретико-числови свойства на частични суми
• 2 Сходимост на редове
  • 2.1 Доказателството на Оресме
  • 2.2 Алтернативно доказателство за разминаване
• 3 Частични суми
• 4 свързани реда
  • 4.1 Серия на Дирихле
  • 4.2 Редуващи се серии
  • 4.3 Случайна хармонична серия
  • 4.4 „Разредена” хармонична серия
Бележки

Въведение

В математиката хармонична серия е сума, съставена от безкраен брой членове, реципрочните стойности на последователни числа от естествената серия:

.

Серията е кръстена хармоничен, тъй като всеки негов член, като се започне от втория, е хармонично средно на два съседни.

1. Сума от първите n члена на редицата

Индивидуалните членове на серията клонят към нула, но сумата им се разминава. n-тата частична сума s n на хармонична серия е n-то хармонично число:

1.1. Някои стойности на частична сума

1.2. Формула на Ойлер

През 1740 г. Л. Ойлер получава асимптотичен израз за сумата от първите n членове на серията:

,

където е константата на Ойлер-Машерони, а ln е натурален логаритъм.

Следователно, когато стойността е , за голямо n:

- Формула на Ойлер за сумата от първите n членове на хармоничната редица.

1.3. Теоретико-числови свойства на частични суми

2. Сходимост на редицата

при

Хармоничният ред се разминава много бавно (за да може частичната сума да надхвърли 100, са необходими около 10 43 елемента от реда).

Дивергенцията на хармоничната серия може да се демонстрира чрез сравняването й с телескопичната серия:

,

чиято частична сума очевидно е равна на:

.

2.1. Доказателството на Оресме

Доказателството за разминаване може да бъде конструирано чрез групиране на термините, както следва:

Последният ред очевидно се разминава. Това доказателство идва от средновековния учен Николас Орем (ок. 1350 г.).

2.2. Алтернативно доказателство за разминаване

Да предположим, че хармоничната редица се сближава до сумата:

След това, пренареждайки дробите, получаваме:

Нека го извадим от втората скоба:

Заменете втората скоба с:

Нека го преместим вляво:

Нека заместим обратно сумата на серията:

Това уравнение очевидно е невярно, тъй като едно е по-голямо от половината, една трета е по-голямо от една четвърт и т.н. По този начин нашето предположение за сходимостта на реда е погрешно и редът се разминава.

не е равно на 0, защото всяка от скобите е положителна.

Това означава, че S е безкрайност и нашите операции за добавяне или изваждане от двете страни на равенството са неприемливи.

3. Частични суми

нта частична сума на хармоничната серия,

Наречен н-та хармонично число.

Разлика между нтото хармонично число и натурален логаритъм нсе свежда до константата на Ойлер-Машерони.

Разликата между различните хармонични числа никога не е равна на цяло число и на никое хармонично число освен з 1 = 1 не е цяло число.

4. Свързани редове

4.1. Серия Дирихле

Обобщена хармонична серия (или серия на Дирихле) е серия

.

Обобщената хармонична серия се разминава за α≤1 и се сближава за α>1.

Сумата от обобщената хармонична серия от ред α е равна на стойността на дзета функцията на Риман:

За четните числа тази стойност е ясно изразена чрез числото pi, например , а вече при α=3 стойността й е аналитично неизвестна.

4.2. Редуващи се серии

Първите 14 частични суми от редуващите се хармонични серии (черни сегменти), показващи конвергенция към естествения логаритъм от 2 (червена линия).

За разлика от хармоничната серия, в която всички членове се вземат със знак „+“, серията

се сближава според критерия на Лайбниц. Затова казват, че такава серия има условна конвергенция. Сборът му е равен на натурален логаритъм от 2:

Тази формула е специален случай на серията Mercator ( Английски), ред на Тейлър за натурален логаритъм.

Подобна серия може да се получи от серията на Тейлър за арктангенса:

Това е известно като серията на Лайбниц.

4.3. Случайна хармонична серия

Бирон Шмуланд от Университета на Алберта изследва свойствата на произволна серия

Където с ннезависими, идентично разпределени случайни променливи, които приемат стойностите +1 и −1 с еднаква вероятност от ½. Показано е, че тази сума има вероятност 1, а сумата от серията е случайна променлива с интересни свойства. Например, функцията за плътност на вероятността, изчислена в точки +2 или −2, има стойност 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 ..., различаваща се от по-малко от 10 −42. Документът на Шмуланд обяснява защо тази стойност е близка до, но не равна на 1/8.

4.4. „Разредена” хармонична серия

серия Кемпнер ( Английски)

Ако разгледаме хармоничен ред, в който са останали само членове, чиито знаменатели не съдържат числото 9, тогава се оказва, че останалата сума се сближава с числото<80. , точнее - к 22,92067 66192 64150 34816. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, т.к. с ростом разрядов в числе n, все меньше слагаемых берется для суммы "истонченного" ряда. Т.е. в конечном счете мы отбрасываем подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.

1.1. Числова редица и нейната сума

Определение 1.Нека е дадена числова последователност. Да образуваме израз

(1)

което се нарича числова серия. Числа са наречени членове на номер, и изразът
 общ членред .

Пример 1.Намерете общия член на поредицата
.

при
,

при

Лесно е да се види, че общият термин на поредицата .

Следователно търсената серия може да бъде записана по следния начин

.

Нека построим поредица от членовете на редица (1) по този начин :

;

;

;

Всеки член на тази редица представлява сумата от съответното число на първите членове на числовата редица.

Определение 2.Сума от първо Пчленове на серия (1) се нарича н -та частична сумачислова серия .

Определение 3.Цифрови серии Наречен конвергентен, Ако
, където числото Наречен сума на серията, и пишете
. Ако

границата на частичните суми е безкрайна или не съществува, тогава серията се нарича разнопосочни.

Пример 2. Проверете серията за сходимост
.

За да се изчисли н-та частична сума нека си представим общ термин
ред под формата на сбор от прости дроби

Сравняване на коефициенти при еднакви градуси н, получаваме система от линейни алгебрични уравнения за неизвестни коефициенти АИ IN

От тук намираме това
, А
.

Следователно общият термин на поредицата има формата

След това частичната сума могат да бъдат представени във формата

След отваряне на скобите и въвеждане на подобни условия, той ще приеме формата

.

Нека изчислим сбора на редицата

Тъй като границата е равна на крайно число, този ред се събира .

Пример 2. Проверете серията за сходимост

- безкрайна геометрична прогресия.

Както е известно, сборът от първите Пчленове на геометричната прогресия при р 1 е равно
.

Тогава имаме следните случаи :

1. Ако
, Че

2. Ако
, Че
, т.е. редът се разминава.

3. Ако
, тогава сериалът трябва да се гледа тогава
, т.е. редът се разминава.

4. Ако
, тогава сериалът трябва да се гледа тогава
, ако частичната сума има четен брой членове и
, ако числото е нечетно, т.е.
не съществува, следователно серията се разминава.

Определение 4.Разлика между сумата на серията Си частична сума Наречен останалата част от поредицатаи е обозначен
, т.е.
.

Тъй като за конвергентни серии
, Че
,

тези. ще бъде б.м.в. при
. Така че стойността е приблизителна стойност на сумата от серията.

От дефиницията на сумата на ред следват свойствата на конвергентните редове:

1. Ако редовете И конвергират, т.е. имат съответните суми СИ Q, тогава серията се събира, където
, а сборът му е равен А С + б Q.

2. Ако серията се сближава , тогава серията, получена от това, се събира

серии чрез изпускане или добавяне на краен брой членове. Обратното също е вярно.

1.2. Необходим знак за конвергенция. Хармонични серии

Теорема. Ако редът се сближава, тогава общият член на реда клони към нула като
, т.е.
.

Наистина имаме

Тогава , което трябваше да се докаже.

Последица.Ако
, тогава серията се разминава . Обратното, най-общо казано, не е вярно, както ще бъде показано по-долу.

Определение 5.Вижте серия Наречен хармоничен.

За тази серия необходимата характеристика е изпълнена, тъй като
.

В същото време е разнопосочна. Нека го покажем

Така хармоничната серия се разминава.

Тема 2 : Достатъчни признаци за сходимост на редовете

с положителни условия

2.1. Знаци за сравнение

Нека са дадени две серии с положителни членове:

Знак за сравнение.Ако за всички членове на серии (1) и (2), започвайки от определено число, неравенството
и серия (2) се сближава, тогава серия (1) също се сближава. По същия начин, ако
и серия (2) се разминава, тогава серия (1) също се разминава.

Позволявам И съответно частични суми на редове (1-2) и Q сбор от редове (2). Тогава за достатъчно големи Пние имаме

защото
и тогава ограничено
, т.е. серия (1) се сближава.

Втората част на знака се доказва по подобен начин.

Пример 3.Проверете серията за конвергенция

.

Нека сравним с членовете на поредицата
.

Започвайки с
, ние имаме
.

От поредицата се сближава
, тогава тази серия също се събира.

На практика често е по-удобно да се използва така нареченият ограничаващ критерий за сравнение, който следва от предишния.

Граница на сравнение. Ако за две серии (1-2) с положителни членове условието е изпълнено

, Че

от сходимостта на ред (1) следва сходимостта на ред (2), а от разминаването на ред (1) следва дивергенцията на ред (2) , тези. редовете се държат по същия начин.

Пример 4.Проверете серията за конвергенция
.

Като серия за сравнение, нека вземем хармоничната серия,

което е различно.

и следователно нашите серии се разминават.

Коментирайте.Често е удобно да използвате т.нар обобщен хармониченред , която, както ще бъде показано по-долу, се сближава при
и се разминава при
.

Хармонична серия- сума, съставена от безкраен брой членове, обратни на последователни числа от естествения ред:

texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): \sum_(k=1)^\mathcal(\infty) \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1 ) (3) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(k) + \cdots .

Сумата от първите n членове на редицата

Индивидуалните членове на серията клонят към нула, но сумата им се разминава. n-тата частична сума s n на хармонична серия е n-то хармонично число:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): s_n=\sum_(k=1)^n \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1)(3 ) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(n)

Някои стойности на частична сума

Формула на Ойлер

При Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc значение Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): \varepsilon _n \rightarrow 0, следователно, за големи Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc :

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): s_n\approx \ln(n) + \gamma- Формула на Ойлер за сумата на първия Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): nчленове на хармоничната редица.

По-точна асимптотична формула за частичната сума на хармоничната серия:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): s_n \asymp \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \frac(1)(12n^2) + \frac(1)( 120n ^4) - \frac(1)(252n^6) \dots = \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \sum_(k=1)^(\infty) \frac ( B_(2k))(2k\,n^(2k)), Където Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте математика/README - помощ при настройката.): B_(2k)- Числата на Бернули.

Тази серия се разминава, но грешката в нейните изчисления никога не надвишава половината от първия изхвърлен член.

Теоретико-числови свойства на частични суми

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): \forall n>1\;\;\;\;s_n\notin\mathbb(N)

Разминаване на сериите

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте математика/README - помощ при настройката.): s_n\rightarrow \inftyпри Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): n\rightarrow \infty

Хармоничната серия се разминавамного бавно (за да надхвърли частичната сума 100, са необходими около 10 43 елемента от серията).

Дивергенцията на хармоничната серия може да се демонстрира чрез сравняването й с телескопичната серия:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте математика/README - помощ при настройката.): v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac(1)(n)\right)\underset(+\infty ) (\sim)\frac (1)(n) ,

чиято частична сума очевидно е равна на:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): \sum_(i=1)^(n-1) v_i= \ln n \sim H_n .

Доказателството на Оресме

Доказателството за разминаване може да бъде конструирано чрез групиране на термините, както следва:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \begin(align) \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k) & () = 1 + \left[\frac(1)( 2) \right] + \left[\frac(1)(3) + \frac(1)(4)\right] + \left[\frac(1)(5) + \frac(1)(6) + \ frac(1)(7) + \frac(1)(8)\right] + \left[\frac(1)(9)+\cdots\right] +\cdots \\ & () > 1 + \left [\frac(1)(2)\right] + \left[\frac(1)(4) + \frac(1)(4)\right] + \left[\frac(1)(8) + \ frac(1)(8) + \frac(1)(8) + \frac(1)(8)\right] + \left[\frac(1)(16)+\cdots\right] +\ cdots \ \ & () = 1 + \ \frac(1)(2)\ \ \ + \quad \frac(1)(2) \ \quad + \ \qquad\quad\frac(1)(2)\ qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac(1)(2) \ \quad + \ \cdots. \край (подравняване)

Последният ред очевидно се разминава. Това доказателство идва от средновековния учен Николас Орем (ок. 1350 г.).

Алтернативно доказателство за разминаване

Разлика между Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): nтото хармонично число и натурален логаритъм Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): nсе свежда до константата на Ойлер-Машерони.

Разликата между различните хармонични числа никога не е равна на цяло число и на никое хармонично число освен Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте математика/README - помощ при настройката.): H_1=1, не е цяло число.

Свързани серии

Серия Дирихле

Обобщена хармонична серия (или серия на Дирихле) е серия

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k^\alpha)=1 + \frac(1)(2^\alpha) + \frac ( 1)(3^\alpha) + \frac(1)(4^\alpha) + \cdots +\frac(1)(k^\alpha) + \cdots .

Обобщената хармонична серия се разминава при Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \alpha \leqslant 1и се сближава при Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \alpha > 1 .

Сума от обобщени хармонични редове от ред Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \alphaравна на стойността на дзета функцията на Риман:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): \sum_(k=1)^\mathcal(1) \frac(1)(k^\alpha)=\zeta(\alpha)

За четни числа тази стойност е изрично изразена чрез pi, например, Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \zeta(2)=\frac(\pi^2)(6), а вече при α=3 стойността му е аналитично неизвестна.

Друга илюстрация на дивергенцията на хармоничната серия може да бъде връзката Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \zeta(1+\frac(1)(n)) \sim n .

Редуващи се серии

За разлика от хармоничната серия, в която всички членове се вземат със знак „+“, серията

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): \sum_(n = 1)^\infty \frac((-1)^(n + 1))(n) \;=\; 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)(4) \,+\, \frac(1) (5) \,-\, \cdots Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)( 4) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \cdots \;=\; \ln 2.

Тази формула е специален случай на серията Mercator ( Английски), ред на Тейлър за натурален логаритъм.

Подобна серия може да бъде получена от серията на Тейлър за арктангенса:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): \sum_(n = 0)^\infty \frac((-1)^(n))(2n+1) \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac(1)(3) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \frac(1)(7) \,+\, \cdots \;\ ;=\;\; \frac(\pi)(4).

Тази връзка е известна като серията на Лайбниц.

Случайна хармонична серия

През 2003 г. бяха изследвани свойствата на произволна серия

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте математика/README - помощ при настройката.): \sum_(n=1)^(\infty)\frac(s_(n))(n),

Където Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): s_n- независими, идентично разпределени случайни променливи, които приемат стойности +1 и −1 с еднаква вероятност от ½. Показано е, че тази редица се сближава с вероятност 1, а сумата от серията е случайна променлива с интересни свойства. Например функцията за плътност на вероятността, изчислена в точки +2 или −2, има стойността:

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,

различаващ се от ⅛ с по-малко от 10 −42.

„Разредена” хармонична серия

серия Кемпнер ( Английски)

Ако разгледаме хармоничен ред, в който са останали само членове, чиито знаменатели не съдържат числото 9, тогава се оказва, че останалата сума се сближава с числото<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): n, все по-малко и по-малко членове се вземат за сбора на „изтънената“ серия. Това означава, че в крайна сметка огромното мнозинство от членовете, образуващи сумата от хармоничната серия, се изхвърлят, за да не надвишат геометричната прогресия, ограничаваща отгоре.

Напишете отзив за статията "Harmonic Series"

Бележки

Вижте този шаблон Поредици и серии Последователности Редове, основни Цифрови серии (действия с числови серии) Функционална серия Други видове редове Признаци на конвергенция Вижте този шаблон Признаци за сходимост на редовете За всички редове Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): \sum^\infty_(n=1)a_n За положителни знаци редове За тези, които се редуват редове За редове от формата Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): \sum^\infty_(n=1)a_n b_n За функционални редове За редове на Фурие

Откъс, характеризиращ поредицата Harmonic

Ужасният ден беше към своя край. Седях до отворения прозорец, не чувствах и не чувах нищо. Светът стана замръзнал и безрадостен за мен. Изглеждаше, че той съществува отделно, не си проправя път в уморения ми мозък и не ме докосва по никакъв начин... На перваза на прозореца, играейки, неспокойните „римски“ врабчета все още крещяха. Отдолу се чуваха човешки гласове и обичайният дневен шум на оживен град. Но всичко това дойде при мен през някаква много плътна „стена“, която почти не пропускаше звуците... Моят обичаен вътрешен свят беше празен и глух. Той стана напълно чужд и мрачен... Милият, нежен баща вече не съществуваше. Той последва Джироламо...
Но все още имах Анна. И знаех, че трябва да живея, за да спася поне нея от изтънчен убиец, който се наричаше „наместник на Бога“, Светия папа... Трудно беше дори да си представим, ако Карафа беше просто неговият „вицекрал, ” тогава що за звяр трябва да се окаже този негов любим Бог?!. Опитах се да изляза от „замръзналото” си състояние, но както се оказа, не беше толкова лесно - тялото изобщо не се подчини, не искаше да оживее, а уморената Душа търсеше само покой. След това, като видях, че нищо добро не се получава, просто реших да се оставя на мира, оставяйки всичко да си върви.
Без да мисля нищо друго и без да решавам нищо, аз просто „отлетях” там, където се стремеше наранената ми Душа, за да се спася... Да си почина и забравя поне малко, отдалечавайки се от злия „земен” свят. където царуваше само светлина...
Знаех, че Карафа няма да ме остави дълго сама, въпреки това, което току-що преживях, напротив - щеше да сметне, че болката ме е отслабила и обезоръжила и може би в този момент щеше да се опита да ме принуди да се предам с нанасяйки някакъв вид - още един ужасяващ удар...
Дните минаваха. Но за моя голяма изненада Карафа не се появи... Това беше огромно облекчение, но за съжаление не ми позволи да се отпусна. Защото всеки момент очаквах каква нова подлост ще измисли неговата тъмна, зла душа за мен...
Болката постепенно се притъпява с всеки изминал ден, най-вече благодарение на един неочакван и радостен инцидент, който се случи преди няколко седмици и напълно ме зашемети - имах възможността да чуя починалия си баща!..
Не го виждах, но чувах и разбирах всяка дума много ясно, сякаш баща ми беше до мен. Отначало не повярвах, мислейки си, че просто бълнувам от пълно изтощение. Но обаждането се повтори... Това наистина беше бащата.
От радост не можех да дойда на себе си и все още се страхувах, че изведнъж, точно сега, той просто ще стане и ще изчезне!.. Но баща ми не изчезна. И след като се успокоих малко, най-накрая успях да му отговоря...
– Ти ли си наистина!? Къде си сега?.. Защо не мога да те видя?
– Дъщеря ми... Не виждаш, защото си напълно изтощена, скъпа. Анна вижда, че бях с нея. И ще видиш, скъпа. Просто ти трябва време да се успокоиш.
Чиста, позната топлина се разля по цялото ми тяло, обгръщайки ме в радост и светлина...
- Как си, татко!? Кажи ми как изглежда, този друг живот?.. Какъв е той?
– Чудесна е, скъпа!.. Само че все още е необичайна. И толкова различен от някогашния ни земен!.. Тук хората живеят в свои светове. И те са толкова красиви, тези „светове“!.. Но все не мога да го направя. Явно още ми е рано... – гласът замлъкна за секунда, сякаш решаваше дали да говори повече.
- Твоят Джироламо ме срещна, дъще... Той е толкова жив и любящ, колкото беше на Земята... Много му липсваш и копнее. И ме помоли да ти кажа, че и там те обича... И те чака, когато дойдеш... И майка ти е с нас. Всички те обичаме и те чакаме, скъпа. Наистина ни липсваш... Пази се, дъще. Не позволявайте на Карафа да има радостта да ви се подиграва.
– Ще дойдеш ли пак при мен, татко? Ще те чуя ли пак? – уплашен да не изчезне внезапно, молех се.
- Спокойно, дъще. Сега това е моят свят. И силата на Карафа не се простира върху него. Никога няма да оставя теб или Анна. Ще дойда при теб, когато се обадиш. Успокой се, скъпи.
- Как се чувстваш, татко? Усещаш ли нещо?.. – малко смутен от наивния си въпрос, все пак попитах.
– Усещам всичко, което усещах на Земята, само много по-ярко. Представете си рисунка с молив, която внезапно се изпълва с цветове – всичките ми чувства, всичките ми мисли са много по-силни и цветни. И още нещо... Усещането за свобода е невероятно!.. Изглежда, че съм същата, каквато съм била винаги, но в същото време съвсем различна... Не знам как да ви го обясня по-точно, скъпа... Сякаш мога веднага да прегърна всичко на света или просто да отлетя далече, далече, към звездите... Всичко изглежда възможно, сякаш мога да направя всичко, което поискам! Много е трудно да се каже, да се изрази с думи... Но повярвай ми, дъще, това е прекрасно! И още нещо... Сега помня целия си живот! Спомням си всичко, което някога ми се случи... Всичко е невероятно. Този „друг“ живот, както се оказа, не е толкова лош... Затова не бой се, дъще, ако трябва да дойдеш тук, всички ще те чакаме.
– Кажи ми, татко... Наистина ли и там чака прекрасен живот за хора като Карафа?.. Но в такъв случай това пак е ужасна несправедливост!.. Наистина ли отново всичко ще бъде като на Земята?!. .Наистина ли никога няма да получи възмездие?!!
- О, не, радост моя, тук няма място за Карафа. Чувал съм хора като него да отиват в ужасен свят, но още не съм бил там. Казват, че това заслужават!.. Исках да го видя, но още не ми стигна времето. Не се тревожи, дъще, той ще си получи заслуженото, когато дойде тук.
„Можеш ли да ми помогнеш оттам, татко?“ – попитах със скрита надежда.
– Не знам, скъпи… Още не съм разбрал този свят. Аз съм като дете, което прави първите си стъпки... Първо трябва да се "науча да ходя", преди да мога да ви отговоря... А сега трябва да тръгвам. Съжалявам скъпа. Първо трябва да се науча да живея между нашите два свята. И тогава ще идвам при вас по-често. Бъди смела, Изидора, и никога не се предавай на Карафа. Определено ще си получи заслуженото, повярвайте ми.
Гласът на баща ми стана по-тих, докато съвсем изтъня и изчезна... Душата ми се успокои. Наистина беше ТОЙ!.. И той заживя отново, само че вече в своя, все още непознат за мен, посмъртен свят... Но той все още мислеше и чувстваше, както самият той току-що беше казал - дори много по-светло, отколкото когато живееше на Земята. Вече не можех да се страхувам, че никога няма да разбера за него... Че ме е напуснал завинаги.
Но женската ми душа, въпреки всичко, все още тъгуваше за него... За това, че не можех просто да го прегърна като човек, когато се чувствах самотна... Че не успях да скрия меланхолията и страха си върху широките му гърди, желаещи спокойствие... Че силната му, нежна длан вече не можеше да гали уморената ми глава, сякаш казваше, че всичко ще се нареди и всичко непременно ще бъде наред... Отчаяно ми липсваха тези малки и на пръв поглед незначителни, но толкова скъпи, чисто „човешки” радости, а душата жадуваше за тях, не можеше да намери покой. Да, бях воин... Но бях и жена. Неговата единствена дъщеря, която винаги знаеше, че дори и най-лошото да се случи, баща ми винаги ще бъде до мен, винаги ще бъде с мен... И всичко това ми липсваше болезнено...
Някак си отърсвайки се от надигащата се тъга, си наложих да мисля за Карафа. Подобни мисли моментално ме отрезвиха и ме накараха да се събера вътрешно, тъй като прекрасно разбирах, че този „мир” е само временна почивка...
Но за моя най-голяма изненада Карафа все още не се появи...
Дните минаваха и безпокойството нарастваше. Опитах се да измисля някакво обяснение за отсъствието му, но, за съжаление, нищо сериозно не ми дойде наум... Усетих, че готви нещо, но не можах да позная какво. Изтощените нерви поддадоха. И за да не полудея съвсем от чакане, започнах всеки ден да се разхождам из двореца. Не ми беше забранено да излизам, но и не беше одобрено, затова, не искайки да продължавам да стоя затворена, реших за себе си, че ще изляза на разходка... въпреки факта, че може би на някой няма да му хареса. Дворецът се оказа огромен и необичайно богат. Красотата на стаите удивляваше въображението, но лично аз никога не бих могъл да живея в такъв грабващ окото лукс... Позлатата на стените и таваните беше потискаща, нарушаваше майсторството на удивителните стенописи, задушаваше се в искрящата среда на златото тонове. Отдадох почит с удоволствие на таланта на художниците, изрисували този прекрасен дом, любувайки се на техните творения с часове и искрено се възхищавах на най-фината изработка. Досега никой не ме е притеснявал, никой никога не ме е спирал. Въпреки че винаги имаше хора, които, като се срещнаха, се поклониха почтително и продължиха напред, всеки бързайки за работата си. Въпреки такава фалшива „свобода“ всичко това беше тревожно и всеки нов ден носеше все повече и повече тревога. Това „спокойствие“ не можеше да продължи вечно. И бях почти сигурна, че със сигурност ще ми „роди“ някакво ужасно и болезнено нещастие...

Необходим критерий за сходимост на редовете (докаже).

Теорема 1.(необходимо условие за сходимост на редица от числа). Ако числовата серия се сближава, Че .

Доказателство.Серията се събира, т.е. има ограничение. Забележи това .

Нека помислим. Тогава . Оттук, .

Следствие 1.Ако условието не е изпълнено, след това сериала се разминава.

Бележка 1.Условието не е достатъчно за сходимост на редица от числа. Например, хармонична сериясе разминава, въпреки че се случва.

Определение 1.Цифрови серии a n +1 +a n+2 +…=, получени от даден ред чрез изхвърляне на първия Пчленове се нарича н-м остатъкътна този ред и е означено Rn.

Теорема 2.Ако числовата серия се сближава, тогава всеки остатък се сближава. обратно:Ако поне един остатък от серията се сближава, тогава самата серия се сближава. Освен това, за всяко nНА равенството S=S n+Rn .

Следствие 2.Конвергенцията или дивергенцията на редица от числа няма да се промени, ако премахнете или добавите първите няколко члена.

Следствие 3..

32. Критерии за сравнение и знак за положителни серии

Теорема 1(знак за сравняване на редове с положителни членове в неравенства) . ПозволявамИ - серии с неотрицателни членове, и за всяко nНА условие a n е изпълнено£ млрд. Тогава:

1) от конвергенцията на редас големи членове редът се сближавас по-малки членове;

2) от разминаването на сериятас по-малки членове серията се разминавас големи пишки.

Бележка 1.Теоремата е вярна, ако условието и н£ b nизпълнени от някакъв номер нÎ н .

Теорема 2(знак за сравнение на серии с положителни членове в гранична форма) .

ПозволявамИ - серия с неотрицателни членове и има . Тогава тези серии се сближават или разминават едновременно .

33. Тест на Д'Аламбер за сходимост на редица с положителен знак

Теорема 1(знак на Даламбер). Позволявам - съществува серия с положителни условия .

Тогава редът се събира при q<1 и се отклонява при q>1 .

Доказателство.Позволявам р<1. Зафиксируем число Ртакова, че р<стр< 1. По определению граница на числовата последователност, от някакво число нÎ ннеравенството е в сила a n +1 /a n<п,тези. a n +1 <p×a n .Тогава един Н +1 < p×a N, a N +2 <p 2 ×a N .Лесно е да се покаже чрез индукция, че за всяко кÎ ннеравенството е вярно , a N + k<p k ×a N.Но редът се събира като геометричен ред ( стр<1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд също се сближава. Следователно редът също се събира (по теорема 2.2).

Позволявам р>1. След това от някакъв номер нÎ ннеравенството е вярно a n +1 /a n>1, т.е. a n +1 >a n.Следователно от броя нподпоследователност ( a n) нараства и условието не е изпълнено. От тук, от следствие 2.1, следва, че редицата се разминава при р>1.

Бележка 1.С помощта на интегралния тест е лесно да се провери дали числовата серия се сближава ако А>1 и се разминава, ако а£1. Редете Наречен хармонична серия, и сериала с произволно аÎ РНаречен обобщени хармонични серии.

34. Редуващи се редове. Тест на Лайбниц за сходимост на знака на редуващи се серии

Изследването на серии с термини от произволни знаци е по-трудна задача, но в два случая има удобни знаци: за серии от редуващи се знаци - теоремата на Лайбниц; За абсолютно сходни редове прилагаме всеки знак за изучаване на редове с неотрицателни членове.

Определение 1.Нарича се числовата серия сигнализменен, ако всеки два съседни члена имат противоположни знаци, т.е. серията има формата или , където a n>0 за всеки нÎ н .

Теорема 1(Лайбниц). Алтернативен ред се събира, ако:

1) (a n) - ненарастваща последователност;

2) при.

В този случай модулът на сбора на редуващите се редове не надвишава модула на първия му член, т.е.|С|£ а 1 .

Редове за манекени. Примери за решения

Приветствам всички оцелели във втората година! В този урок, или по-скоро в поредица от уроци, ще научим как да управляваме редове. Темата не е много сложна, но овладяването й ще изисква знания от първата година, по-специално трябва да разберете какво е лимити да можете да намерите най-простите граници. Въпреки това, всичко е наред, докато обяснявам, ще предоставя подходящи връзки към необходимите уроци. За някои читатели темата за математическите серии, методите за решаване, знаците, теоремите може да изглежда странна и дори претенциозна, абсурдна. В този случай не е нужно да се „натоварвате“; ние приемаме фактите такива, каквито са, и просто се научаваме да решаваме типични, обичайни задачи.

1) Редове за манекени, а за самовари веднага съдържание :)

За супер бърза подготовка по тематаИма експресен курс в pdf формат, с помощта на който наистина можете да „повишите“ практиката си буквално за един ден.

Понятието числова серия

Общо взето числова серияможе да се напише така: .
Тук:
– икона за математическа сума;
– общ термин на поредицата(запомнете този прост термин);
– променлива „брояч“. Нотацията означава, че сумирането се извършва от 1 до „плюс безкрайност“, тоест първо имаме , след това , след това и така нататък - до безкрайност. Вместо променлива понякога се използва променлива или. Сумирането не започва непременно от единица; в някои случаи може да започне от нула, от две или от която и да е естествено число.

В съответствие с променливата „брояч“ всяка серия може да бъде разширена:
- и така нататък, до безкрайност.

Компоненти - Това ЦИФРИкоито се наричат членоверед. Ако всички те са неотрицателни (по-голямо или равно на нула), тогава такава серия се нарича редица от положителни числа.

Пример 1

Това, между другото, вече е „бойна“ задача - на практика доста често е необходимо да се запишат няколко термина от серия.

Първо тогава:
Тогава, тогава:
Тогава, тогава:

Процесът може да продължи безкрайно дълго, но според условието беше необходимо да напишем първите три термина от серията, така че записваме отговора:

Моля, обърнете внимание на фундаменталната разлика от числова последователност,
в който термините не се сумират, а се считат за такива.

Пример 2

Запишете първите три термина от поредицата

Това е пример, който трябва да решите сами, отговорът е в края на урока

Дори за сложна на пръв поглед серия не е трудно да се опише в разширена форма:

Пример 3

Запишете първите три термина от поредицата

Всъщност задачата се изпълнява устно: мислено заменете в общия термин на поредицатапърво, после и. В крайна сметка:

Оставяме отговора, както следва: По-добре е да не опростявате получените термини на серията, това е не изпълняватдействия: , , . Защо? Отговорът е във формата за учителя е много по-лесно и удобно да проверява.

Понякога възниква обратната задача

Пример 4

Тук няма ясен алгоритъм за решение, просто трябва да видите модела.
В такъв случай:

За да проверите, получената серия може да бъде „записана обратно“ в разширена форма.

Ето един пример, който е малко по-сложен за самостоятелно решаване:

Пример 5

Запишете сумата в свита форма с общия член на реда

Извършете проверка, като отново напишете серията в разширена форма

Сходимост на числови редове

Една от основните цели на темата е изследване на редове за сходимост. В този случай са възможни два случая:

1) Редетесе разминава. Това означава, че безкрайна сума е равна на безкрайност: или суми като цяло не съществува, както например в сериала
(ето, между другото, пример за серия с отрицателни членове). В началото на урока беше намерен добър пример за разминаваща се редица от числа: . Тук е съвсем очевидно, че всеки следващ член на поредицата е по-голям от предишния, следователно и следователно серията се разминава. Още по-тривиален пример: .

2) Редетесе сближава. Това означава, че една безкрайна сума е равна на някои крайно число: . Моля те: – този ред се събира и сумата му е нула. Като по-смислен пример можем да посочим безкрайно намаляващагеометрична прогресия, позната ни от училище: . Сумата от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия се изчислява по формулата: , където е първият член на прогресията, а е нейната основа, която обикновено се записва във формата правилнодроби В такъв случай: , . По този начин: Получава се крайно число, което означава, че редът се събира, което трябваше да се докаже.

Въпреки това, в по-голямата част от случаите намерете сумата на сериятане е толкова просто и следователно на практика за изследване на сходимостта на серия се използват специални признаци, които са доказани теоретично.

Има няколко признака за конвергенция на редовете: необходим тест за сходимост на редица, сравнителни тестове, тест на D'Alembert, тестове на Коши, Знак на Лайбници някои други признаци. Кога кой знак да използвате?Зависи от общия член на поредицата, образно казано, от „пълнежа” на поредицата. И много скоро ще подредим всичко.

! За да научите допълнително урока, трябва разбирам добрекакво е граница и е добре да можете да разкриете несигурността на даден тип. За да прегледате или проучите материала, вижте статията Ограничения. Примери за решения.

Необходим знак за сходимост на редица

Ако ред се сближава, тогава неговият общ член клони към нула: .

Обратното не е вярно в общия случай, т.е. ако , тогава серията може или да се сближава, или да се разминава. И затова този знак се използва за оправдание разминаванияред:

Ако общият термин на серията не клони към нула, тогава серията се разминава

Или накратко: ако , тогава серията се разминава. По-специално, възможна е ситуация, при която ограничението изобщо не съществува, като напр. лимит. Така те веднага оправдаха разминаването на една серия :)

Но много по-често границата на дивергентна серия е равна на безкрайност и вместо „x“ тя действа като „динамична“ променлива. Нека опресним знанията си: границите с “x” се наричат ​​граници на функциите, а границите с променливата “en” се наричат ​​граници на числовите редици. Очевидната разлика е, че променливата "en" приема дискретни (прекъснати) естествени стойности: 1, 2, 3 и т.н. Но този факт има малък ефект върху методите за решаване на граници и методите за разкриване на несигурности.

Нека докажем, че редицата от първия пример се разминава.
Често срещан член на поредицата:

Заключение: ред се разминава

Необходимата функция често се използва в реални практически задачи:

Пример 6

Имаме полиноми в числителя и знаменателя. Този, който внимателно прочете и разбра метода за разкриване на несигурността в статията Ограничения. Примери за решения, вероятно съм го разбрал когато най-високите степени на числителя и знаменателя равен, тогава границата е крайно число .

Разделете числителя и знаменателя на

Серия в процес на изследване се разминава, тъй като не е изпълнен необходимият критерий за сходимост на редицата.

Пример 7

Проверете серията за конвергенция

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока

И така, когато ни е дадена НЯКАКВА числова серия, Първопроверяваме (мислено или на чернова): общият му член клони ли към нула? Ако не, формулираме решение на базата на примери № 6, 7 и даваме отговор, че редицата се разминава.

Какви типове очевидно разминаващи се серии разгледахме? Веднага става ясно, че сериалите се харесват или се разминават. Сериите от примери № 6, 7 също се разминават: когато числителят и знаменателят съдържат полиноми и водещата степен на числителя е по-голяма или равна на водещата степен на знаменателя. Във всички тези случаи при решаване и изготвяне на примери използваме необходимия знак за сходимост на редицата.

Защо се нарича знакът необходимо? Разберете по най-естествения начин: за да се слее една серия, необходимо, така че неговият общ член клони към нула. И всичко би било страхотно, но има още не достатъчно. С други думи, ако общият член на ред клони към нула, ТОВА НЕ ОЗНАЧАВА, че редът се събира– може както да се събира, така и да се разминава!

Среща:

Тази серия се нарича хармонична серия. Моля, запомнете! Сред числовите серии той е примабалерина. По-точно балерина =)

Лесно е да се види това , НО. В теорията на математическия анализ е доказано, че хармонична серия се разминава.

Трябва също да запомните концепцията за обобщена хармонична серия:

1) Този ред се разминавапри . Например сериите , , се разминават.
2) Този ред се сближавапри . Например сериите , , , се събират. Още веднъж подчертавам, че в почти всички практически задачи за нас изобщо не е важно на какво се равнява сумата от например редицата, важен е самият факт на неговата конвергенция.

Това са елементарни факти от теорията на редовете, които вече са доказани и когато решавате всеки практически пример, можете спокойно да се позовавате например на дивергенцията на ред или сходимостта на ред.

Като цяло въпросният материал е много подобен на изследване на неправилни интеграли, и ще е по-лесно за тези, които са учили тази тема. Е, за тези, които не са го учили, е двойно по-лесно :)

И така, какво да правим, ако общият член на поредицата КЪМНЕ към нула?В такива случаи, за да решите примери, трябва да използвате други, достатъчно признаци на конвергенция/дивергенция:

Критерии за сравнение за положителни числа

Обръщам внимание, че тук говорим само за положителни числа (с неотрицателни членове).

Има два знака за сравнение, единият от които просто ще нарека знак за сравнение, друг - граница на сравнение.

Нека първо разгледаме знак за сравнение, или по-скоро първата му част:

Помислете за две положителни числови серии и . Ако е известно, че сериалът – се сближава, и започвайки от някакво число, неравенството е изпълнено, след това серията също се сближава.

С други думи: От сходимостта на реда с по-големи членове следва сходимостта на реда с по-малки членове. На практика неравенството често е валидно за всички стойности:

Пример 8

Проверете серията за конвергенция

Първо, нека проверим(умствено или на чернова) изпълнение:
, което означава, че не е възможно да се „размине с малко кръв“.

Вглеждаме се в „опаковката“ на обобщената хармонична серия и, фокусирайки се върху най-високата степен, намираме подобна серия: От теорията е известно, че тя се сближава.

За всички естествени числа важи очевидното неравенство:

а по-големите знаменатели съответстват на по-малките дроби:
, което означава, въз основа на критерия за сравнение, изследваната серия се сближавазаедно с до .

Ако имате някакви съмнения, винаги можете да опишете подробно неравенството!Нека запишем построеното неравенство за няколко числа “en”:
Ако, тогава
Ако, тогава
Ако, тогава
Ако, тогава
….
и сега е абсолютно ясно, че неравенството изпълнено за всички естествени числа “en”.

Нека анализираме критерия за сравнение и решения пример от неформална гледна точка. И все пак, защо сериалът се сближава? Ето защо. Ако една серия се сближава, значи има някои финалколичество: . И тъй като всички членове на поредицата по-малкосъответните членове на серията, тогава е ясно, че сборът на серията не може да бъде по-голям от числото и още повече, че не може да бъде равен на безкрайност!

По подобен начин можем да докажем сходимостта на „подобни“ серии: , , и т.н.

! Забележка, че във всички случаи имаме „плюсове“ в знаменателите. Наличието на поне един минус може сериозно да усложни използването на въпросния продукт. знак за сравнение. Например, ако една редица се сравнява по същия начин с конвергентна редица (напишете няколко неравенства за първите членове), тогава условието изобщо няма да бъде изпълнено! Тук можете да избягвате и да изберете друга конвергентна серия за сравнение, например, но това ще доведе до ненужни резерви и други ненужни затруднения. Следователно, за да се докаже сходимостта на редица, е много по-лесно да се използва граница на сравнение(виж следващия параграф).

Пример 9

Проверете серията за конвергенция

И в този пример ви предлагам да помислите сами втора част от атрибута за сравнение:

Ако е известно, че сериалът – се разминава, и започвайки от някакво число (често от самото начало),неравенството е изпълнено, тогава серията също се разминава.

С други думи: От разминаването на ред с по-малки членове следва разминаването на ред с по-големи членове.

Какво трябва да се направи?
Необходимо е да се сравни изследваната серия с дивергентна хармонична серия. За по-добро разбиране изградете няколко конкретни неравенства и се уверете, че неравенството е справедливо.

Решението и примерният дизайн са в края на урока.

Както вече беше отбелязано, на практика критерият за сравнение, който току-що беше обсъден, рядко се използва. Истинският работен кон на числовите серии е граница на сравнение, а по честота на използване може да се мери само с знак на д'Аламбер.

Граничен тест за сравняване на числени положителни серии

Помислете за две положителни числови серии и . Ако границата на съотношението на общите членове на тези серии е равна на крайно ненулево число: , тогава двете серии се събират или разминават едновременно.

Кога се използва ограничаващият критерий?Ограничаващият критерий за сравнение се използва, когато “пълнежът” на серията е полином. Или един полином в знаменателя, или полиноми и в числителя, и в знаменателя. По желание полиномите могат да бъдат разположени под корените.

Нека се заемем с реда, за който предишният знак за сравнение е спрял.

Пример 10

Проверете серията за конвергенция

Нека сравним този ред с конвергентен ред. Използваме ограничаващия критерий за сравнение. Известно е, че серията се сближава. Ако можем да покажем, че това е равно краен, различен от нулачисло, ще се докаже, че редицата също се събира.

Получава се крайно ненулево число, което означава, че изследваната серия е такава се сближавазаедно с до .

Защо сериалът е избран за сравнение? Ако бяхме избрали някоя друга серия от „клетката“ на обобщената хармонична серия, тогава нямаше да успеем в границата краен, различен от нулачисла (можете да експериментирате).

Забележка: когато използваме ограничаващия критерий за сравнение, няма значение, в какъв ред да се състави връзката на общите членове, в разглеждания пример връзката може да се компилира обратно: - това няма да промени същността на въпроса.