Полярна координатна система (полярни координати)

Полярна координатна система в равнина е комбинация от точка O, наречена полюс, и полуправа OX, наречена полярна ос. Освен това е уточнено мащабен сегментза измерване на разстояния от точки на равнината до полюса. По правило върху полярната ос се избира вектор \vec(i), приложен към точка O, чиято дължина се приема като стойност на мащабния сегмент, а посоката на вектора определя положителната посока на полярната ос (фиг. 2.28а).

Позиция на точка М в полярна системакоординати се определя от разстоянието r ( полярен радиус) от точка М до полюса (т.е. r=\vert\overrightarrow(OM)\vert) и ъгъла \varphi (полярния ъгъл) между полярната ос и вектора \горна дясна стрелка(OM). Полярният радиус и полярният ъгъл са полярни координатиточки M, което се записва като M(r,\varphi) . Полярният ъгъл се измерва в радиани и се измерва от полярната ос:

В положителна посока (обратно на часовниковата стрелка), ако стойността на ъгъла е положителна;

В отрицателна посока (по часовниковата стрелка), ако стойността на ъгъла е отрицателна.

Полярният радиус се определя за всяка точка в равнината и приема неотрицателни стойности r\geqslant0. Полярният ъгъл \varphi се определя за всяка точка в равнината, с изключение на полюса O, и приема стойностите -\pi<\varphi\leqslant\pi , Наречен основни стойности на полярния ъгъл. В някои случаи е препоръчително да се приеме, че полярният ъгъл е дефиниран до членовете 2\pi n , където n\in\mathbb(Z) . В този случай стойностите \varphi+2\pi n на полярния ъгъл за всички n\in\mathbb(Z) съответстват на една и съща посока на радиус вектора.

Полярната координатна система Or\varphi може да се асоциира с правоъгълна координатна система O\vec(i)\vec(j), чийто начало O съвпада с полюса, а абсцисната ос (по-точно положителната полуабциса ос) съвпада с полярната ос. Ординатната ос е завършена перпендикулярно на абсцисната ос, така че да се получи дясна правоъгълна координатна система (фиг. 2.28, b). Дължините на базисните вектори се определят от мащабния сегмент на полярната ос.

Напротив, ако на равнината е дадена дясна правоъгълна координатна система, тогава, приемайки положителната полуос на абсцисата за полярна ос, получаваме полярна координатна система (свързана с дадената правоъгълна).

Нека изведем формули, свързващи правоъгълните координати x,y на точка M, различна от точка O, и нейните полярни координати r,\varphi. Съгласно фиг. 2.28,b получаваме

\begin(cases)x=r\cdot\cos\varphi,\\y=r\cdot\sin\varphi.\end(cases)

Тези формули ви позволяват да намерите правоъгълни координати от известни полярни координати. Обратният преход се извършва по формулите:

\left\(\begin(aligned)r&= \sqrt(x^2+y^2),\\ \cos\varphi&= \frac(x)(r)=\frac(x)(\sqrt(x^ 2+y^2)),\\ \sin\varphi&= \frac(y)(r)=\frac(y)(\sqrt(x^2+y^2)).\end(aligned)\right .

Последните две равенства определят полярния ъгъл до член 2\pi n , където n\in\mathbb(Z) . За x\ne0 от тях следва, че \име на оператора(tg)\frac(y)(x)\varphi~(-\pi<\varphi\leqslant\pi) се намира по формулите (фиг. 2.29):

\varphi=\left\(\begin(aligned)\operatorname(arctg)\frac(y)(x),\quad&x>0,\\\pi+\operatorname(arctg)\frac(y)(x),\ quad&x<0,\,y\geqslant0,\\-\pi+\operatorname{arctg}\frac{y}{x},\quad&x<0,\,y<0,\\\frac{\pi}{2},\quad&x=0,\,y>0,\\-\frac(\pi)(2),\quad&x=0,\,y<0.\end{aligned}\right.

Пример 2.9.В полярната координатна система Or\varphi :

а) начертайте координатни линии r=1,~r=2,~r=3,~\varphi=\frac(\pi)(4),~\varphi=\frac(\pi)(2);

б) изобразете точки M_1,~M_2 с полярни координати r_1=3,~\varphi_1=\frac(9\pi)(4),~r_2=3,~\varphi=-\frac(7\pi)(4). Намерете главните стойности на полярните ъгли на тези точки;

в) намерете правоъгълните координати на точките M_1,~M_2.

Решение.а) Координатните прави r=1,~r=2,~r=3 представляват окръжности със съответните радиуси, а правите \varphi=\frac(\pi)(4), \varphi=\frac(\pi)(2)И \varphi=\frac(3\pi)(4)- полуправ (фиг. 2.30, а).

б) Нека начертаем точките M_1\!\left(3,\frac(9\pi)(4)\right)И M_2\!\left(3,-\frac(7\pi)(4)\right)(Фиг. 2.30, b, c). Техните координати се различават по полярен ъгъл, но имат едно и също основно значение \varphi=\frac(\pi)(4). Следователно това е същата точка, която съвпада с точката M\!\left(3,\frac(\pi)(4)\right), показано на фиг. 2.30, а.

в) Като вземем предвид точка "b", нека намерим правоъгълните координати на точка M. Използвайки формули (2.17), получаваме:

x=r\cdot\cos\varphi=3\cdot\cos\frac(\pi)(4)=\frac(3\sqrt(2))(2);~y=r\cdot\sin\frac( \pi)(4)=\frac(3\sqrt(2))(2),това е M\!\left(\frac(3\sqrt(2))(2),\frac(3\sqrt(2))(2)\right).

Бележки 2.8

1. Основната стойност на полярния ъгъл може да бъде избрана по различен начин, например 0\leqslant\varphi<2\pi .

2. Разстояние между две точки M_1(r_1,\varphi_1)И M_2(r_2,\varphi_2)(дължина на отсечката M_1M_2) се изчислява по формулата

M_1M_2=\sqrt(r_1^2+r_2^2-2\cdot r_1\cdot r_2\cdot\cos(\varphi_2-\varphi_1)),

което следва от косинусовата теорема (фиг. 2.31).

3. Ориентираната площ S_(\ast)^(\land) на успоредник (фиг. 2.31), построен върху радиус-векторите и , се намира по формулата

S_(\ast\overrightarrow(OM_1),\overrightarrow(OM_2))^(\land)=\overrightarrow(OM_1)\land\overrightarrow(OM_2)=r_1\cdot r_2\cdot\sin(\varphi_2-\varphi_1) .

Положително е, ако \varphi_1<\varphi_2 (в този случай ориентацията на двойка радиус вектори \горна дясна стрелка(OM_1)И \стрелка надясно(OM_2)дясно) и отрицателно ако \varphi_1>\varphi_2(ориентация на двойка радиус вектори \горна дясна стрелка(OM_1)И \стрелка надясно(OM_2)наляво).

Пример 2.10.Дадени са полярни координати \varphi_A=\frac(\pi)(3),~r_A=4И \varphi_B=\frac(2\pi)(3),~r_B=2точки A и B (фиг. 2.32). Трябва да се намери:

а) скаларно произведение \bigl\langle\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB)\bigl\rangle;

б) дължината на отсечката AB;

в) външен продукт \overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB);

г) площ S_(OAB) на триъгълник OAB;

д) координати на центъра C на отсечка AB в правоъгълна координатна система, свързана с дадена полярна.

Решение.а) По дефиницията на скаларното произведение намираме

\left\langle\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB)\right\rangle=\left|\overrightarrow(OA)\right|(\cdot)\left|\overrightarrow(OB)\right|\!\cdot \cos\psi=r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-\varphi_A)=4\cdot2\cdot\cos\frac(\pi)(3)=4.

b) Намерете дължината на отсечката (вижте параграф 2 от забележки 2.8):

AB=\sqrt(r_A^2+r_B^2-2\cdot r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-\varphi_A))=\sqrt(4^2+2^2-2\cdot4\cdot2\ cdot\frac(1)(2))=2\sqrt(3).

в) Намираме външния продукт като ориентираната площ на успоредник, изграден върху векторите и:

\overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB)=r_A\cdot r_B\cdot\sin(\varphi_B-\varphi_A)=2\cdot4\cdot\sin\frac(\pi)(3)=4\sqrt( 3).

Областта е положителна, тъй като векторите \горна дясна стрелка(OA)И \горна дясна стрелка(OB)образуват правилна двойка (\varphi_A<\varphi_B) .

г) Площта на триъгълника OAB се намира като половината от площта на успоредник, конструиран с помощта на радиус вектори \горна дясна стрелка(OA)И \горна дясна стрелка(OB).

защото S_(\ast\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB))=\left|\overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB)\right|=4\sqrt(3)(виж параграф "c"), тогава S_(OAB)=\frac(1)(2)\cdot4\sqrt(3)=2\sqrt(3).

д) Използвайки формули (2.17), намираме правоъгълните координати на точките A и B:

\begin(gathered)x_A=r_A\cdot\cos\varphi_A=4\cdot\frac(1)(2)=2,\quad y_A=r_A\cdot\sin\varphi_A=4\cdot\frac(\sqrt( 3))(2)=2\sqrt(3);\\ x_B=r_B\cdot\cos\varphi_B=2\cdot\frac(-1)(2)=-1,\quad y_B=r_B\cdot\ sin\varphi_B=2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)=\sqrt(3).\край (събран)

и след това координатите на средата C на сегмент AB (вижте параграф 3 от забележки 2.1):

x_C=\frac(x_A+x_b)(2)=\frac(2+(-1))(2)=\frac(1)(2);\quad y_C=\frac(y_A+y_B)(2) =\frac(2\sqrt(3)+\sqrt(3))(2)=\frac(3\sqrt(3))(2).

Пример 2.11.Точка A(4,-3) е маркирана в координатната равнина Oxy. Намирам:

а) полярни координати на точка А", изображението на точка А при въртене на радиус вектора \горна дясна стрелка(OA)от ъгъла \frac(\pi)(3) около началото (фиг. 2.33);

b) полярни координати на точка A_1, изображението на точка A, когато равнината е обърната спрямо окръжност с единичен радиус с център в началото (вижте пример b на трансформации на равнина в раздел 2.2.4).

Решение.а) Намерете полярните координати на точка А. Съгласно формули (2.17), като вземем предвид фиг. 2.29, получаваме:

r_A=\sqrt(x_A^2+y_A^2)=\sqrt(4^2+(-3)^2)=5;\quad\varphi_A=\име на оператор(arctg)\frac(y_A)(x_A)= \име на оператор(arctg)\frac(-3)(4)=-\име на оператор(arctg)\frac(3)(4),

тъй като точка А се намира в \text(IV) четвърт.

При завъртане на радиус вектора \горна дясна стрелка(OA)около полюса под ъгъл \frac(\pi)(3), полярният радиус не се променя, но полярният ъгъл се увеличава. Следователно полярните координати на точка A": r_(A")=r_(A)=5, \varphi_(A")=\varphi_(A)+\frac(\pi)(3)=\frac(\pi)(3)-\име на оператор(arctg)\frac(3)(4), а \varphi_(A") е основната стойност на полярния ъгъл (-\pi<\varphi_{A"}\leqslant\pi) .

б) При обръщане спрямо окръжност с радиус R, полярните координати r",\varphi" на изображението се изразяват чрез полярните координати r,\varphi на обратното изображение по следните формули:

r"=\frac(R^2)(r),\quad\varphi"=\varphi.

Следователно, като вземем предвид точка "а", намираме (за R=1):

r_(A_1)=\frac(1)(r_A)=\frac(1)(5),\quad\varphi_(A_1)=\varphi_(A)=-\име на оператор(arctg)\frac(3)(4 ).

Страница 1

Y-координатите на всяка точка в първия квадрант са положителни.

Точките в третия и четвъртия квадрант имат отрицателни Y-координати, а в третия квадрант X координатите на точките са отрицателни.

Координатното табло показва точните X- и Y-координати на текущото местоположение на курсора на ArchiCAD в използваната координатна система.

Във втория квадрант X-координатите на точките са положителни, а Y-координатите са отрицателни.

Трудността е, че местоположението на дамите се определя само от техните Y координати, а X координатите не присъстват изрично в представянето на позицията.

При търсене на решение програмата, показана на фиг. 4.7, тества различни стойности на Y-координатите на дамите. Къде в програмата е посочен редът на изброяване на алтернативните опции?

Тъй като е обичайно първо да се записва координатата X на точка, а след това координатата Y, изразът - r - / Q - P все още не определя необходимата стойност. Резултатът е равен на частното от разделянето на разликата в координатите по оста X на разликата в координатните стойности по оста Y, което според дефиницията дава обратната стойност на наклона на линията.

КООРДИНАТНИ СТОЙНОСТИ) и го поставя в таблицата с изходни съобщения и списъка с изходни данни. Впоследствие тази команда, съдържаща координатите X и Y на избраната позиция на екрана, ще бъде предадена на главния компютър.

Позицията на новата система XOt Y спрямо старата система xOy ще се определи, ако са известни координатите a и b на новото начало O според старата система и ъгълът a между осите Ox и OtX. Нека означим с x и y координатите на произволна точка M спрямо старата система, а с X и Y координатите на същата точка спрямо новата система. Нашата задача е да изразим старите координати x и y чрез новите X и Y. Получените трансформационни формули очевидно трябва да включват константите a, b и oc. Ще получим решение на този общ проблем, като разгледаме два специални случая.

Отнася се за два елемента в списъка с данни - X и Y. Процесорът на дисплея на нашия терминал има отделни команди за преместване на лъча на нова позиция в координатите X и Y. Следователно рутинната команда SET ORIGIN трябва да генерира две команди на процесора на дисплея. Освен това трябва да определите дали обектът, който се инициализира с командата SET ORIGIN, е сегмент или елемент. За да направите това, процедурата отправя запитване към корелационната таблица, като използва полето на командния параметър. При сегмент позицията на екрана се задава в абсолютни координати, при елемент - в относителни. Рутината, която изпълнява командата SET ORIGIN, трябва да зададе или изчисти специален бит за съответните команди на процесора на дисплея.

Програмата безкрайно ще изследва този безкраен регион на космоса, като никога не се приближава до целта. Пространството на състоянията на проблема с осемте дами, дефинирано както в този раздел, на пръв поглед съдържа капан от точно този вид. Но се оказва, че все още е ограничен, тъй като Y-координатите се избират от ограничен набор и следователно не повече от осем дами могат безопасно да бъдат поставени на дъската.

Процедурата, която изпълнява тази команда, предоставя четири типа средства за интерактивно генериране на обекти. Първият инструмент е обобщена процедура за чертане на прави линии. Рисуването се извършва чрез преместване на специален знак в началото на реда и след това преместването му в края на реда. Когато преместите етикет в края на ред, се генерира вектор, свързващ началото на реда и текущата позиция на етикета. Като пуснете клавиша на корпуса на светещата писалка, можете да преместите знака от единия край на линията, която рисувате, до другия. Когато потребителят посочи светлинния бутон ACCEPT, се генерира команда L4, с помощта на която координатите X, Y на начертаната линия се предават на главния компютър.

Страници: 1

Правоъгълна координатна система в равнина се образува от две взаимно перпендикулярни координатни оси OX и OY. Координатните оси се пресичат в точка O, която се нарича начало, и положителната посока е избрана на всяка ос. В дясна координатна система положителната посока на осите е избрана така, че когато оста OY е насочена нагоре, оста OX е насочена надясно.

Четирите ъгъла (I, II, III, IV), образувани от координатните оси X"X и Y"Y, се наричат координатни ъгли или квадранти

Позицията на точка А в равнината се определя от две координати x и y. Координатата x е равна на дължината на отсечката OB, координатата y е равна на дължината на отсечката OC в избраните мерни единици. Сегментите OB и OC се определят от линии, начертани от точка А, успоредни съответно на осите Y"Y и X"X. Координатата x се нарича абциса на точка A, координатата y се нарича ордината на точка A. Записва се така: .

Ако точка А лежи в координатния ъгъл I, тогава точка А има положителна абсциса и ордината. Ако точка А лежи в координатен ъгъл II, тогава точка А има отрицателна абциса и положителна ордината. Ако точка А лежи в координатен ъгъл III, тогава точка А има отрицателна абциса и ордината. Ако точка А лежи в координатен ъгъл IV, тогава точка А има положителна абциса и отрицателна ордината.

Правоъгълна координатна система в пространствотосе образува от три взаимно перпендикулярни координатни оси OX, OY и OZ. Координатните оси се пресичат в точка O, която се нарича начало, на всяка ос е избрана положителна посока, обозначена със стрелки, и мерна единица за сегментите на осите. Единиците обикновено са еднакви за всички оси (което не е задължително). OX - абсцисната ос, OY - ординатната ос, OZ - апликативната ос.

Ако палецът на дясната ръка се приеме като посока X, показалецът като посока Y и средният пръст като посока Z, тогава се формира дясна координатна система. Подобни пръсти на лявата ръка образуват лявата координатна система. С други думи, положителната посока на осите е избрана така, че когато оста OX се завърти обратно на часовниковата стрелка на 90°, нейната положителна посока съвпада с положителната посока на оста OY, ако това въртене се наблюдава от положителната посока на OZ ос. Невъзможно е да се комбинират дясната и лявата координатна система, така че съответните оси да съвпадат.

Положението на точка А в пространството се определя от три координати x, y и z. Координатата x е равна на дължината на сегмента OB, координатата y е дължината на сегмента OC, координатата z е дължината на сегмента OD в избраните мерни единици. Отсечките OB, OC и OD се определят от равнини, начертани от точка A, успоредни съответно на равнините YOZ, XOZ и XOY. Координатата x се нарича абсцисата на точка A, координатата y се нарича ордината на точка A, координатата z се нарича апликация на точка A. Записва се така: .

ОПР. Координатната система (O; , , ) се нарича. правоъгълен, ако: 1) базисните вектори имат единична дължина: = = =1;

2) базисните вектори са по двойки ортогонални (перпендикулярни): ⏊ ⏊ .

базисните вектори обикновено се наричат базисни вектори, а координатите са x, y, z. Координатните оси се наричат: Ox - абсцисната ос, Oy - ординатната ос, Oz - апликативната ос.

Теорема.Дължината на вектора =(X,Y,Z) е равна на корена от сумата на квадратите на неговите координати: | |= .

Документ. Векторът е представен от диагонала на правоъгълен паралелепипед със страни X, .

Дължините на страните на паралелепипеда са равни на |X|,|Y|,|Z|. е равно на сумата от квадратите на дължините на страните му (трябва да приложите Питагоровата теорема два пъти). От тук получаваме желаната формула.

Последица.разстоянието между точките A() и B() е равно на AB=.

Документ. AB=| |, a =().

13. Големината на векторната проекция върху оста. Насочващи косинуси.

Оста е права линия, на която е избрана посока. Нека посоката на оста е дадена от единичния вектор.

Нека е произволен вектор и нека A΄ и B΄ са ортогоналните проекции на точки A и B върху правата l. Име на вектора проекция на вектора върху оста l.

ОПР. Големината на проекцията на вектора върху оста l се нарича. координата на вектора на правата l спрямо основния вектор, т.е. такова число, че = , .

По този начин правим разлика между проекцията на вектор върху ос и големината на проекцията на вектор върху ос: първата е вектор, а втората е число. Когато вектор се прехвърля паралелно, векторът също се измества паралелно по оста l. Следователно големината на векторната проекция не зависи от избора на векторния представител. Също така проекционната величина на сумата от вектори е равна на сумата от техните проекционни величини.

Теорема.Големината на проекцията на вектор върху оста е равна на произведението от дължината на този вектор и косинуса на ъгъла между вектора и оста: =| |cosφ, където φ=<().

Док.Нека разгледаме два случая: 1) остър ъгъл, 2) тъп ъгъл.

Насочващи косинуси.

Нека α, β, γ са ъглите, които векторът =(X,Y,Z) сключва с координатните оси. Косинусите на тези ъгли, cosα, cosβ, cosγ се наричат. насочващи косинуси на вектора.

α=<(Ox. ); β=<(Oy ); γ=<(Oz, .

Ясно е, че координатите на един вектор са равни на величините на проекциите на този вектор върху координатните оси. Следователно X= = |cosα; Y= = |cosβ; Z= = |cosγ.

Оттук можем да намерим насочващите косинуси: cos = = ; cosβ= ; cosγ=