Какъв е минус модулът x? Методическа разработка на „Уравнения с модул

Абсолютната стойност на число ае разстоянието от началото до точката А(а).

За да разберем това определение, нека заместим променливата апроизволно число, например 3 и опитайте да го прочетете отново:

Абсолютната стойност на число 3 е разстоянието от началото до точката А(3 ).

Става ясно, че модулът не е нищо повече от обикновено разстояние. Нека се опитаме да видим разстоянието от началото до точка A( 3 )

Разстояние от началото до точка A( 3 ) е равно на 3 (три единици или три стъпки).

Модулът на числото се обозначава с две вертикални линии, например:

Модулът на числото 3 се означава по следния начин: |3|

Модулът на числото 4 се означава по следния начин: |4|

Модулът на числото 5 се означава по следния начин: |5|

Потърсихме модула на числото 3 и открихме, че е равно на 3. Така че го записваме:

Чете се като: „Модулът на числото три е три“

Сега нека се опитаме да намерим модула на числото -3. Отново се връщаме към определението и заместваме числото -3 в него. Само вместо точка Аизползвайте нова точка б. Точка Авече използвахме в първия пример.

Модул на числото - 3 е разстоянието от началото до точка б(—3 ).

Разстоянието от една точка до друга не може да бъде отрицателно. Следователно модулът на всяко отрицателно число, което е разстояние, също няма да бъде отрицателен. Модулът на числото -3 ще бъде числото 3. Разстоянието от началото до точката B(-3) също е равно на три единици:

Чете се като: „Модулът от минус три е три.“

Модулът на числото 0 е равен на 0, тъй като точката с координата 0 съвпада с началото на координатите, т.е. разстояние от началото до точката О(0)е равно на нула:

„Модулът на нула е нула“

Правим изводи:

Модулът на числото не може да бъде отрицателен;
При положително число и нула модулът е равен на самото число, а при отрицателно число – обратното число;
Противоположните числа имат равни модули.

Противоположни числа

Наричат се числа, които се различават само по знаци противоположност. Например числата −2 и 2 са противоположни. Те се различават само по знаци. Числото −2 има знак минус, а 2 има знак плюс, но ние не го виждаме, защото плюс, както казахме по-рано, традиционно не се пише.

Още примери за противоположни числа:

Противоположните числа имат равни модули. Например, нека намерим модулите за −2 и 2

Фигурата показва, че разстоянието от началото до точките A(−2)И B(2)равно на две стъпки.

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група VKontakte и започнете да получавате известия за нови уроци

Модулът е едно от онези неща, за които сякаш всички са чували, но в действителност никой не разбира. Затова днес ще има голям урок, посветен на решаването на уравнения с модули.

Ще кажа веднага: урокът няма да е труден. И като цяло модулите са относително проста тема. „Да, разбира се, не е сложно! Поразява ме!“ - ще кажат много студенти, но всички тези мозъчни счупвания се случват поради факта, че повечето хора нямат знания в главите си, а някакви глупости. И целта на този урок е да превърнем глупостите в знания :)

Малко теория

И така, да вървим. Да започнем с най-важното: какво е модул? Нека ви напомня, че модулът на едно число е просто същото число, но взето без знака минус. Това е например $\left| -5 \right|=5$. Или $\left| -129,5 \надясно|=$129,5.

Толкова ли е просто? Да, просто. Тогава каква е абсолютната стойност на положително число? Тук е още по-просто: модулът на положително число е равен на самото това число: $\left| 5 \right|=5$; $\ляво| 129,5 \right|=$129,5 и т.н.

\[\ляво| -a \дясно|=\ляво| a\right|\]

Друг важен факт: модулът никога не е отрицателен. Каквото и число да вземем – било то положително или отрицателно – модулът му винаги се оказва положителен (или в краен случай нула). Ето защо модулът често се нарича абсолютна стойност на число.

Освен това, ако комбинираме дефиницията на модула за положително и отрицателно число, получаваме глобална дефиниция на модула за всички числа. А именно: модулът на числото е равен на самото число, ако числото е положително (или нула), или равен на противоположното число, ако числото е отрицателно. Можете да напишете това като формула:

Има и модул нула, но той винаги е равен на нула. Освен това нулата е единственото число, което няма противоположност.

Така, ако разгледаме функцията $y=\left| x \right|$ и опитайте да начертаете неговата графика, ще получите нещо подобно:

Графика на модула и пример за решаване на уравнението

От тази снимка веднага става ясно, че $\left| -m \дясно|=\ляво| m \right|$ и графиката на модула никога не пада под оста x. Но това не е всичко: червената линия маркира правата $y=a$, която при положително $a$ ни дава два корена едновременно: $((x)_(1))$ и $((x) _(2)) $, но ще говорим за това по-късно. :)

В допълнение към чисто алгебричната дефиниция има геометрична. Да кажем, че има две точки на числовата ос: $((x)_(1))$ и $((x)_(2))$. В този случай изразът $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ е просто разстоянието между посочените точки. Или, ако предпочитате, дължината на отсечката, свързваща тези точки:

Модулът е разстоянието между точките на числова ос

Това определение също предполага, че модулът винаги е неотрицателен. Но стига дефиниции и теория - да преминем към реалните уравнения :)

Основна формула

Добре, подредихме определението. Но това не го направи по-лесно. Как да решим уравнения, съдържащи точно този модул?

Спокойно, само спокойно. Да започнем с най-простите неща. Помислете за нещо подобно:

\[\ляво| x\надясно|=3\]

Така че модулът на $x$ е 3. На какво може да бъде равно $x$? Е, съдейки по дефиницията, ние сме доста доволни от $x=3$. Наистина ли:

\[\ляво| 3\надясно|=3\]

Има ли други номера? Cap сякаш намеква, че има. Например $x=-3$ също е $\left| -3 \right|=3$, т.е. изискваното равенство е изпълнено.

Така че може би, ако търсим и мислим, ще намерим повече числа? Но нека си признаем: няма повече числа. Уравнение $\left| x \right|=3$ има само два корена: $x=3$ и $x=-3$.

Сега нека усложним малко задачата. Нека функцията $f\left(x \right)$ виси под знака за модул вместо променливата $x$ и поставете произволно число $a$ на мястото на тройката отдясно. Получаваме уравнението:

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=a\]

И така, как можем да разрешим това? Нека ви напомня: $f\left(x \right)$ е произволна функция, $a$ е произволно число. Тези. Каквото и да било! Например:

\[\ляво| 2x+1 \надясно|=5\]

\[\ляво| 10x-5 \right|=-65\]

Нека обърнем внимание на второто уравнение. Веднага можете да кажете за него: той няма корени. Защо? Всичко е правилно: защото изисква модулът да е равен на отрицателно число, което никога не се случва, тъй като вече знаем, че модулът винаги е положително число или, в краен случай, нула.

Но с първото уравнение всичко е по-забавно. Има два варианта: или има положителен израз под знака за модул и след това $\left| 2x+1 \right|=2x+1$ или този израз все още е отрицателен и след това $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. В първия случай нашето уравнение ще бъде пренаписано, както следва:

\[\ляво| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

И изведнъж се оказва, че подмодулният израз $2x+1$ наистина е положителен - той е равен на числото 5. Т.е. можем безопасно да решим това уравнение - полученият корен ще бъде част от отговора:

Тези, които са особено недоверчиви, могат да опитат да заменят намерения корен в оригиналното уравнение и да се уверят, че под модула наистина има положително число.

Сега нека да разгледаме случая на отрицателен подмодулен израз:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Стрелка надясно 2x+1=-5\]

Опа! Отново всичко е ясно: приехме, че $2x+1 \lt 0$, и в резултат получихме, че $2x+1=-5$ - наистина, този израз е по-малък от нула. Решаваме полученото уравнение, като вече знаем със сигурност, че намереният корен ще ни подхожда:

Общо отново получихме два отговора: $x=2$ и $x=3$. Да, количеството изчисления се оказа малко по-голямо, отколкото в много простото уравнение $\left| x \right|=3$, но нищо фундаментално не се е променило. Така че може би има някакъв универсален алгоритъм?

Да, такъв алгоритъм съществува. И сега ще го анализираме.

Отървете се от знака за модул

Нека ни е дадено уравнението $\left| f\left(x \right) \right|=a$ и $a\ge 0$ (в противен случай, както вече знаем, няма корени). След това можете да се отървете от знака за модул, като използвате следното правило:

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Така нашето уравнение с модул се разделя на две, но без модул. Това е цялата технология! Нека се опитаме да решим няколко уравнения. Да започнем с това

\[\ляво| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Нека разгледаме отделно кога има десет плюс отдясно и отделно кога има минус. Ние имаме:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Дясна стрелка 5x=-14\Дясна стрелка x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\край (подравняване)\]

Това е всичко! Имаме два корена: $x=1,2$ и $x=-2,8$. Цялото решение отне буквално два реда.

Добре, няма въпрос, нека да разгледаме нещо малко по-сериозно:

\[\ляво| 7-5x\надясно|=13\]

Отново отваряме модула с плюс и минус:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Стрелка надясно -5x=-20\Стрелка надясно x=4. \\\край (подравняване)\]

Отново няколко реда - и отговорът е готов! Както казах, няма нищо сложно в модулите. Просто трябва да запомните няколко правила. Затова продължаваме напред и започваме с наистина по-сложни задачи.

Случаят на променлива от дясната страна

Сега разгледайте това уравнение:

\[\ляво| 3x-2 \надясно|=2x\]

Това уравнение е фундаментално различно от всички предишни. как? И фактът, че вдясно от знака за равенство е изразът $2x$ - и не можем да знаем предварително дали е положителен или отрицателен.

Какво да направите в този случай? Първо, трябва да разберем това веднъж завинаги ако дясната страна на уравнението се окаже отрицателна, тогава уравнението няма да има корени- вече знаем, че модулът не може да бъде равен на отрицателно число.

И второ, ако дясната част все още е положителна (или равна на нула), тогава можете да действате точно по същия начин, както преди: просто отворете модула отделно със знак плюс и отделно със знак минус.

Така формулираме правило за произволни функции $f\left(x \right)$ и $g\left(x \right)$ :

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Във връзка с нашето уравнение получаваме:

\[\ляво| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Е, все някак ще се справим с изискването $2x\ge 0$. В крайна сметка можем глупаво да заместим корените, които получаваме от първото уравнение и да проверим дали неравенството е валидно или не.

Така че нека решим самото уравнение:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Стрелка надясно 3x=0\Стрелка надясно x=0. \\\край (подравняване)\]

Е, кой от тези два корена удовлетворява изискването $2x\ge 0$? Да и двете! Следователно отговорът ще бъде две числа: $x=(4)/(3)\;$ и $x=0$. Това е решението :)

Подозирам, че някои от учениците вече започват да скучаят? Е, нека да разгледаме още по-сложно уравнение:

\[\ляво| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Въпреки че изглежда зло, всъщност това все още е същото уравнение във формата „модул е равно на функция“:

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

И се решава по абсолютно същия начин:

\[\ляво| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Ще се занимаваме с неравенството по-късно - то е някак си твърде зло (всъщност е просто, но няма да го решаваме). Засега е по-добре да се справите с получените уравнения. Нека разгледаме първия случай - това е, когато модулът е разширен със знак плюс:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Е, няма смисъл да съберете всичко отляво, да донесете подобни и да видите какво ще се случи. И ето какво се случва:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\край (подравняване)\]

Изваждаме общия множител $((x)^(2))$ извън скобите и получаваме много просто уравнение:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Тук се възползвахме от едно важно свойство на произведението, в името на което разложихме оригиналния полином: произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула.

Сега нека се справим с второто уравнение по абсолютно същия начин, което се получава чрез разширяване на модула със знак минус:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\наляво(-3x+2 \надясно)=0. \\\край (подравняване)\]

Отново същото: произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула. Ние имаме:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Е, имаме три корена: $x=0$, $x=1,5$ и $x=(2)/(3)\;$. Е, кое от този набор ще влезе в окончателния отговор? За да направите това, не забравяйте, че имаме допълнително ограничение под формата на неравенство:

Как да вземем предвид това изискване? Нека просто заместим намерените корени и да проверим дали неравенството е валидно за тези $x$ или не. Ние имаме:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Стрелка надясно x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\край (подравняване)\]

Така коренът $x=1,5$ не ни устройва. И в отговор ще има само два корена:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Както можете да видите, дори в този случай нямаше нищо сложно - уравненията с модули винаги се решават с помощта на алгоритъм. Просто трябва да имате добро разбиране на полиномите и неравенствата. Затова преминаваме към по-сложни задачи - вече ще има не един, а два модула.

Уравнения с два модула

Досега сме изучавали само най-простите уравнения - имаше един модул и нещо друго. Изпратихме това „нещо друго“ в друга част от неравенството, далеч от модула, така че накрая всичко да се сведе до уравнение от вида $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ или още по-просто $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Но детската градина свърши - време е да помислим за нещо по-сериозно. Нека започнем с уравнения като това:

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Това е уравнение във формата „модул е равен на модул“. Основно важният момент е липсата на други условия и фактори: само един модул отляво, още един модул отдясно - и нищо повече.

Сега някой ще си помисли, че такива уравнения са по-трудни за решаване от това, което сме изучавали досега. Но не: тези уравнения са още по-лесни за решаване. Ето формулата:

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Всичко! Ние просто приравняваме подмодулни изрази, като поставяме знак плюс или минус пред един от тях. И тогава решаваме получените две уравнения - и корените са готови! Без допълнителни ограничения, без неравности и т.н. Всичко е много просто.

Нека се опитаме да разрешим този проблем:

\[\ляво| 2x+3 \дясно|=\ляво| 2x-7 \right|\]

Елементарно Уотсън! Разширяване на модулите:

\[\ляво| 2x+3 \дясно|=\ляво| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Нека разгледаме всеки случай поотделно:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\ляво(2x-7 \дясно)\Дясна стрелка 2x+3=-2x+7. \\\край (подравняване)\]

Първото уравнение няма корени. Защото кога $3=-7$? При какви стойности на $x$? „Какво, по дяволите, е $x$? Накаменен ли си? Там изобщо няма $x$“, казвате вие. И ще бъдеш прав. Получихме равенство, което не зависи от променливата $x$, а в същото време самото равенство е неправилно. Затова няма корени. :)

С второто уравнение всичко е малко по-интересно, но и много, много просто:

Както можете да видите, всичко беше решено буквално в няколко реда - не очаквахме нищо друго от линейно уравнение.

В резултат крайният отговор е: $x=1$.

И как? Труден? Разбира се, че не. Нека опитаме нещо друго:

\[\ляво| x-1 \дясно|=\ляво| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

Отново имаме уравнение от вида $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Затова незабавно го пренаписваме, разкривайки знака на модула:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Може би сега някой ще попита: „Ей, какви глупости? Защо „плюс-минус“ се появява в израза отдясно, а не вляво?“ Спокойно, сега ще обясня всичко. Наистина, по добър начин трябваше да пренапишем нашето уравнение, както следва:

След това трябва да отворите скобите, да преместите всички членове от едната страна на знака за равенство (тъй като уравнението очевидно ще бъде квадратно и в двата случая) и след това да намерите корените. Но трябва да признаете: когато „плюс-минус“ се появява пред три термина (особено когато един от тези термини е квадратен израз), изглежда някак си по-сложно от ситуацията, когато „плюс-минус“ се появява само преди два термина.

Но нищо не ни пречи да пренапишем оригиналното уравнение, както следва:

Какво стана? Нищо особено: те просто размениха лявата и дясната страна. Малко нещо, което в крайна сметка ще направи живота ни малко по-лесен.

Като цяло решаваме това уравнение, като разглеждаме опции с плюс и минус:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\край (подравняване)\]

Първото уравнение има корени $x=3$ и $x=1$. Вторият обикновено е точен квадрат:

\[((x)^(2))-2x+1=((\ляво(x-1 \дясно))^(2))\]

Следователно има само един корен: $x=1$. Но ние вече получихме този корен по-рано. Така само две числа ще влязат в крайния отговор:

\[((x)_(1))=3;\квадрат ((x)_(2))=1.\]

Мисията е завършена! Можете да вземете пай от рафта и да го изядете. Те са 2, твоята е средната :)

Важна забележка. Наличието на еднакви корени за различни варианти на разширение на модула означава, че оригиналните полиноми са факторизирани и сред тези фактори определено ще има общ. Наистина ли:

\[\begin(align)& \left| x-1 \дясно|=\ляво| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \ляво| x-1 \дясно|=\ляво| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\край (подравняване)\]

Едно от свойствата на модула: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (т.е. модулът на произведението е равен на произведението на модулите), така че оригиналното уравнение може да бъде пренаписано, както следва:

\[\ляво| x-1 \дясно|=\ляво| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \надясно|\]

Както виждате, наистина имаме общ фактор. Сега, ако съберете всички модули от едната страна, можете да извадите този фактор от скобата:

\[\begin(align)& \left| x-1 \дясно|=\ляво| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \вдясно|; \\& \ляво| x-1 \дясно|-\ляво| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \ляво| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\край (подравняване)\]

Е, сега не забравяйте, че произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(align) \right.\]

Така първоначалното уравнение с два модула е сведено до двете най-прости уравнения, за които говорихме в самото начало на урока. Такива уравнения се решават буквално в няколко реда :)

Тази забележка може да изглежда ненужно сложна и неприложима на практика. В действителност обаче може да срещнете много по-сложни проблеми от тези, които разглеждаме днес. В тях модулите могат да се комбинират с полиноми, аритметични корени, логаритми и др. И в такива ситуации възможността да се намали общата степен на уравнението, като се извади нещо извън скоби, може да бъде много, много полезно :)

Сега бих искал да анализирам друго уравнение, което на пръв поглед може да изглежда налудничаво. Много студенти се забиват в него, дори и тези, които смятат, че разбират добре модулите.

Това уравнение обаче е дори по-лесно за решаване от това, което разгледахме по-рано. И ако разберете защо, ще получите още един трик за бързо решаване на уравнения с модули.

Така че уравнението е:

\[\ляво| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Не, това не е печатна грешка: това е плюс между модулите. И трябва да намерим при колко $x$ сумата от два модула е равна на нула :)

Какъв е проблемът все пак? Но проблемът е, че всеки модул е положително число или, в краен случай, нула. Какво се случва, ако съберете две положителни числа? Очевидно отново положително число:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\край (подравняване)\]

Последният ред може да ви накара да се замислите: единственият път, когато сборът на модулите е нула, е ако всеки модул е нула:

А кога модулът е равен на нула? Само в един случай - когато подмодулният израз е равен на нула:

\[((x)^(2))+x-2=0\Дясна стрелка \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Така имаме три точки, в които първият модул се нулира: 0, 1 и −1; както и две точки, в които вторият модул се нулира на нула: −2 и 1. Трябва обаче и двата модула да бъдат нулирани едновременно, така че сред намерените числа трябва да изберем тези, които са включени в двата комплекта. Очевидно има само едно такова число: $x=1$ - това ще бъде окончателният отговор.

Метод на разцепване

Е, вече покрихме куп проблеми и научихме много техники. Мислите ли, че това е всичко? Но не! Сега ще разгледаме крайната техника - и в същото време най-важната. Ще говорим за разделяне на уравнения с модул. За какво изобщо ще говорим? Нека се върнем малко назад и да разгледаме едно просто уравнение. Например това:

\[\ляво| 3x-5 \надясно|=5-3x\]

По принцип ние вече знаем как да решим такова уравнение, защото то е стандартна конструкция от вида $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Но нека се опитаме да погледнем това уравнение от малко по-различен ъгъл. По-точно, разгледайте израза под знака за модул. Нека ви напомня, че модулът на всяко число може да бъде равен на самото число или може да бъде противоположен на това число:

\[\ляво| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Всъщност тази неяснота е целият проблем: тъй като числото под модула се променя (зависи от променливата), не ни е ясно дали е положително или отрицателно.

Но какво ще стане, ако първоначално изисквате това число да е положително? Например изискваме $3x-5 \gt 0$ - в този случай гарантирано ще получим положително число под знака на модула и можем напълно да се отървем от същия модул:

Така нашето уравнение ще се превърне в линейно, което лесно може да бъде решено:

Вярно е, че всички тези мисли имат смисъл само при условие $3x-5 \gt 0$ - ние сами въведохме това изискване, за да разкрием недвусмислено модула. Следователно, нека заместим намереното $x=\frac(5)(3)$ в това условие и да проверим:

Оказва се, че за посочената стойност на $x$ нашето изискване не е изпълнено, т.к изразът се оказа равен на нула и трябва да е строго по-голям от нула. тъжно :(

Но няма страшно! В края на краищата има още една опция $3x-5 \lt 0$. Освен това: има и случай $3x-5=0$ - това също трябва да се има предвид, в противен случай решението ще бъде непълно. И така, разгледайте случая $3x-5 \lt 0$:

Очевидно модулът ще се отвори със знак минус. Но тогава възниква странна ситуация: и отляво, и отдясно в оригиналното уравнение ще стърчи един и същ израз:

Чудя се при колко $x$ изразът $5-3x$ ще бъде равен на израза $5-3x$? Дори капитан Очевидност би се задавил със слюнка от подобни уравнения, но знаем: това уравнение е тъждество, т.е. вярно е за всяка стойност на променливата!

Това означава, че всеки $x$ ще ни подхожда. Имаме обаче ограничение:

С други думи, отговорът няма да бъде едно число, а цял интервал:

И накрая, остава още един случай за разглеждане: $3x-5=0$. Тук всичко е просто: под модула ще има нула, а модулът на нула също е равен на нула (това следва директно от определението):

Но тогава първоначалното уравнение $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ ще бъде пренаписано както следва:

Вече получихме този корен по-горе, когато разгледахме случая $3x-5 \gt 0$. Освен това този корен е решение на уравнението $3x-5=0$ - това е ограничението, което ние сами въведохме, за да нулираме модула :).

Така, освен с интервала, ще се задоволим и с числото, лежащо в самия край на този интервал:

Комбиниране на корени в уравнения по модул

Общ окончателен отговор: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Не е много обичайно да видите такива глупости в отговора на доста просто (по същество линейно) уравнение с модул, наистина? Е, свикнете с това: трудността на модула е, че отговорите в такива уравнения могат да бъдат напълно непредвидими.

Нещо друго е много по-важно: току-що анализирахме универсален алгоритъм за решаване на уравнение с модул! И този алгоритъм се състои от следните стъпки:

Приравнете всеки модул в уравнението на нула. Получаваме няколко уравнения;
Решете всички тези уравнения и маркирайте корените на числовата ос. В резултат на това правата линия ще бъде разделена на няколко интервала, на всеки от които всички модули се разкриват уникално;
Решете оригиналното уравнение за всеки интервал и комбинирайте отговорите си.

Това е всичко! Остава само един въпрос: какво да правим с корените, получени в стъпка 1? Да кажем, че имаме два корена: $x=1$ и $x=5$. Те ще разделят числовата линия на 3 части:

Разделяне на числовата линия на интервали с помощта на точки

И така, какви са интервалите? Ясно е, че те са три:

Най-ляво: $x \lt 1$ — самата единица не е включена в интервала;
Централна: $1\le x \lt 5$ - тук единица е включена в интервала, но пет не са включени;
Най-вдясно: $x\ge 5$ - пет са включени само тук!

Мисля, че вече разбирате модела. Всеки интервал включва левия край и не включва десния.

На пръв поглед подобно влизане може да изглежда неудобно, нелогично и като цяло някаква лудост. Но повярвайте ми: след малко практика ще откриете, че този подход е най-надеждният и не пречи на недвусмисленото отваряне на модулите. По-добре е да използвате такава схема, отколкото да мислите всеки път: дайте левия/десния край на текущия интервал или го „хвърлете“ в следващия.

Решаване на уравнения и неравенства с модулчесто създава затруднения. Въпреки това, ако разбирате добре какво е абсолютната стойност на число, И как правилно да разширяваме изрази, съдържащи знак за модул, тогава присъствието в уравнението израз под знака за модул, престава да бъде пречка за решаването му.

Малко теория. Всяко число има две характеристики: абсолютната стойност на числото и неговия знак.

Например числото +5 или просто 5 има знак „+“ и абсолютна стойност 5.

Числото -5 има знак "-" и абсолютна стойност 5.

Абсолютните стойности на числата 5 и -5 са 5.

Абсолютната стойност на число x се нарича модул на числото и се означава с |x|.

Както виждаме, модулът на числото е равен на самото число, ако това число е по-голямо или равно на нула, и на това число с обратен знак, ако това число е отрицателно.

Същото се отнася за всички изрази, които се появяват под знака за модул.

Правилото за разширяване на модула изглежда така:

|f(x)|= f(x), ако f(x) ≥ 0, и

|f(x)|= - f(x), ако f(x)< 0

Например |x-3|=x-3, ако x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, ако x-3<0.

За да решите уравнение, съдържащо израз под знака за модул, първо трябва разширяване на модул според правилото за разширяване на модула.

Тогава нашето уравнение или неравенство става в две различни уравнения, съществуващи на два различни числови интервала.

Едно уравнение съществува в числов интервал, на който изразът под знака за модул е неотрицателен.

И второто уравнение съществува в интервала, в който изразът под знака за модул е отрицателен.

Нека да разгледаме един прост пример.

Нека решим уравнението:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Да отворим модула.

|x-3|=x-3, ако x-3≥0, т.е. ако x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, ако x-3<0, т.е. если х<3

2. Получихме два числови интервала: x≥3 и x<3.

Нека разгледаме в какви уравнения се трансформира оригиналното уравнение на всеки интервал:

A) За x≥3 |x-3|=x-3 и нашето нараняване има формата:

внимание! Това уравнение съществува само в интервала x≥3!

Нека отворим скобите и представим подобни термини:

и реши това уравнение.

Това уравнение има корени:

x 1 =0, x 2 =3

внимание! тъй като уравнението x-3=-x 2 +4x-3 съществува само в интервала x≥3, ние се интересуваме само от онези корени, които принадлежат на този интервал. Това условие се изпълнява само от x 2 =3.

Б) При х<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

внимание! Това уравнение съществува само в интервала x<3!

Нека отворим скобите и представим подобни термини. Получаваме уравнението:

x 1 =2, x 2 =3

внимание! тъй като уравнението 3-x=-x 2 +4x-3 съществува само в интервала x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

И така: от първия интервал вземаме само корена x=3, от втория - корена x=2.

Модулът е абсолютната стойност на израза. За да посочите по някакъв начин модул, обичайно е да използвате прави скоби. Стойността, оградена в четни скоби, е стойността, която се взема по модул. Процесът на решаване на всеки модул се състои в отваряне на онези много прави скоби, които на математически език се наричат модулни скоби. Тяхното разкриване става съгласно определен брой правила. Също така, в реда на решаване на модулите, се намират наборите от стойности на тези изрази, които са били в модулните скоби. В повечето случаи модулът се разширява по такъв начин, че изразът, който е бил подмодулен, получава както положителни, така и отрицателни стойности, включително стойността нула. Ако изхождаме от установените свойства на модула, тогава в процеса се компилират различни уравнения или неравенства от оригиналния израз, които след това трябва да бъдат решени. Нека да разберем как да решаваме модули.

Процес на решение

Решаването на модул започва с написването на оригиналното уравнение с модула. За да отговорите на въпроса как да решавате уравнения с модул, трябва да го отворите напълно. За да се реши такова уравнение, модулът се разширява. Трябва да се вземат предвид всички модулни изрази. Необходимо е да се определи при какви стойности на неизвестните количества, включени в неговия състав, модулният израз в скоби става нула. За да направите това, достатъчно е да приравните израза в модулни скоби към нула и след това да изчислите решението на полученото уравнение. Намерените стойности трябва да бъдат записани. По същия начин вие също трябва да определите стойността на всички неизвестни променливи за всички модули в това уравнение. След това трябва да започнете да дефинирате и разглеждате всички случаи на съществуване на променливи в изрази, когато те са различни от стойността нула. За да направите това, трябва да запишете някаква система от неравенства, съответстваща на всички модули в първоначалното неравенство. Неравенствата трябва да бъдат написани така, че да покриват всички налични и възможни стойности за променлива, които се намират на числовата линия. След това трябва да начертаете същата тази числова линия за визуализация, върху която по-късно да нанесете всички получени стойности.

Вече почти всичко може да се направи в интернет. Модулът не прави изключение от правилото. Можете да го решите онлайн на един от многото съвременни ресурси. Всички онези стойности на променливата, които са в нулевия модул, ще бъдат специално ограничение, което ще се използва в процеса на решаване на модулното уравнение. В оригиналното уравнение трябва да отворите всички налични модулни скоби, като същевременно промените знака на израза, така че стойностите на желаната променлива да съвпадат с тези стойности, които се виждат на числовата линия. Полученото уравнение трябва да бъде решено. Стойността на променливата, която ще бъде получена по време на решаването на уравнението, трябва да бъде проверена спрямо ограничението, което е зададено от самия модул. Ако стойността на променливата напълно удовлетворява условието, тогава тя е правилна. Всички корени, които ще бъдат получени по време на решаването на уравнението, но няма да отговарят на ограниченията, трябва да бъдат отхвърлени.

Този онлайн математически калкулатор ще ви помогне решаване на уравнение или неравенство с модули. Програма за решаване на уравнения и неравенства с модулине само дава отговор на проблема, той води подробно решение с обяснения, т.е. показва процеса на получаване на резултата.

Тази програма може да бъде полезна за ученици от гимназията в общообразователните училища при подготовка за тестове и изпити, при проверка на знанията преди Единния държавен изпит и за родители за контрол на решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да купите нови учебници? Или просто искате да си свършите домашното по математика или алгебра възможно най-бързо? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробни решения.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или обучение на вашите по-малки братя или сестри, докато нивото на образование в областта на решаването на проблеми се повишава.

|x| или abs(x) - модул x

Въведете уравнение или неравенство с модули

Решете уравнение или неравенство

Беше открито, че някои скриптове, необходими за решаване на този проблем, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

JavaScript е деактивиран във вашия браузър.
За да се появи решението, трябва да активирате JavaScript.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.

защото Има много хора, желаещи да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля Изчакай сек...

Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачавие решавате какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Уравнения и неравенства с модули

В основния училищен курс по алгебра може да срещнете най-простите уравнения и неравенства с модули. За да ги решите, можете да използвате геометричен метод, базиран на факта, че $|x-a| $ е разстоянието на числовата права между точките x и a: $|x-a| = \rho (x;\; a) $. Например, за да решите уравнението $|x-3|=2$, трябва да намерите точки на числовата ос, които са отдалечени от точка 3 на разстояние 2. Има две такива точки: $x_1=1 $ и $x_2=5$ .

Решаване на неравенството \(|2x+7|

Но основният начин за решаване на уравнения и неравенства с модули е свързан с така нареченото „разкриване на модула по дефиниция“:
ако $a \geq 0 $, тогава $|a|=a $;
if \(a По правило уравнение (неравенство) с модули се свежда до набор от уравнения (неравенства), които не съдържат знака за модул.

В допълнение към горната дефиниция се използват следните твърдения:
1) Ако $c > 0$, тогава уравнението $|f(x)|=c $ е еквивалентно на набора от уравнения: $\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(масив)\right.
2) Ако \(c > 0 $, тогава неравенството $|f(x)| 3) Ако \(c \geq 0 $, тогава неравенството $|f(x)| > c $ е еквивалентно на набор от неравенства: $\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. $
4) Ако двете страни на неравенството $f(x) ПРИМЕР 1. Решете уравнението \(x^2 +2|x-1| -6 = 0$.

Ако $x-1 \geq 0$, тогава $|x-1| = x-1$ и даденото уравнение приема формата
$x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Дясна стрелка x^2 +2x -8 = 0 $.
Ако $x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Стрелка надясно x^2 -2x -4 = 0 $.
Следователно даденото уравнение трябва да се разглежда поотделно във всеки от двата посочени случая.
1) Нека $x-1 \geq 0 $, т.е. $x\geq 1$. От уравнението $x^2 +2x -8 = 0$ намираме $x_1=2, \; x_2=-4$. Условието $x \geq 1 $ се изпълнява само от стойността $x_1=2$.
2) Нека $x-1 Отговор: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) $

ПРИМЕР 2. Решете уравнението $|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)$.

Първи начин(разширяване на модула по дефиниция).
Като разсъждаваме както в пример 1, стигаме до заключението, че даденото уравнение трябва да се разглежда отделно, ако са изпълнени две условия: $x^2-6x+7 \geq 0 $ или \(x^2-6x+7

1) Ако $x^2-6x+7 \geq 0 $, тогава $|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 $ и даденото уравнение приема формата $x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Дясна стрелка 3x^2-23x+30=0 $. След като решихме това квадратно уравнение, получаваме: $x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) $.
Нека да разберем дали стойността $x_1=6$ удовлетворява условието $x^2-6x+7 \geq 0$. За да направите това, заменете посочената стойност в квадратното неравенство. Получаваме: $6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 $, т.е. $7 \geq 0 $ е истинско неравенство. Това означава, че $x_1=6$ е коренът на даденото уравнение.
Нека да разберем дали стойността $x_2=\frac(5)(3)$ удовлетворява условието $x^2-6x+7 \geq 0$. За да направите това, заменете посочената стойност в квадратното неравенство. Получаваме: $\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 $, т.е. $\frac(25)(9) -3 \geq 0 $ е неправилно неравенство. Това означава, че $x_2=\frac(5)(3)$ не е корен на даденото уравнение.

2) Ако $x^2-6x+7 стойност \(x_3=3$ удовлетворява условието $x^2-6x+7 стойност \(x_4=\frac(4)(3) $ не удовлетворява условието \ (x^2-6x+7 И така, даденото уравнение има два корена: $x=6, \; x=3 $.

Втори начин.Ако е дадено уравнението $|f(x)| = h(x) $, тогава с $h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right $
И двете уравнения бяха решени по-горе (като се използва първият метод за решаване на даденото уравнение), техните корени са както следва: $6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3)$. Условието $\frac(5x-9)(3) \geq 0 $ от тези четири стойности е изпълнено само от две: 6 и 3. Това означава, че даденото уравнение има два корена: \(x=6 , \; x=3 \ ).

Трети начин(графика).
1) Нека построим графика на функцията $y = |x^2-6x+7| $. Първо, нека построим парабола $y = x^2-6x+7$. Имаме $x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 $. Графиката на функцията $y = (x-3)^2-2$ може да се получи от графиката на функцията $y = x^2$, като я преместите с 3 мащабни единици надясно (по дължината на оста x) и 2 мащабни единици надолу (по оста y). Правата x=3 е оста на параболата, която ни интересува. Като контролни точки за по-точно начертаване е удобно да се вземе точка (3; -2) - върхът на параболата, точка (0; 7) и точка (6; 7), симетрични спрямо нея спрямо оста на параболата .
За да построите сега графика на функцията $y = |x^2-6x+7| $, трябва да оставите непроменени онези части от построената парабола, които не лежат под оста x, и да отразявате тази част от парабола, която лежи под оста x спрямо оста x.
2) Нека построим графика на линейната функция $y = \frac(5x-9)(3)$. Удобно е да се вземат точки (0; –3) и (3; 2) като контролни точки.

Важно е точката x = 1.8 от пресечната точка на правата с абсцисната ос да се намира вдясно от лявата точка на пресичане на параболата с абсцисната ос - това е точката $x=3-\ sqrt(2) $ (тъй като \(3-\sqrt(2 ) 3) Съдейки по чертежа, графиките се пресичат в две точки - A(3; 2) и B(6; 7). Замествайки абсцисите на тези точки x = 3 и x = 6 в даденото уравнение, се убеждаваме, че и в двата случая се получава правилното числово равенство. Това означава, че нашата хипотеза е потвърдена - уравнението има два корена: x = 3 и x = 6. Отговор: 3;

Коментирайте. Графичният метод, въпреки цялата си елегантност, не е много надежден. В разглеждания пример това работи само защото корените на уравнението са цели числа.

ПРИМЕР 3. Решете уравнението $|2x-4|+|x+3| = 8$

Първи начин
Изразът 2x–4 става 0 в точката x = 2, а изразът x + 3 става 0 в точката x = –3. Тези две точки разделят числовата линия на три интервала: \(x

Помислете за първия интервал: $(-\infty; \; -3) $.
Ако x Разгледайте втория интервал: $[-3; \; 2) $.
Ако \(-3 \leq x Разгледайте третия интервал: \()