10 неравенства с решения. Интервален метод: решаване на най-простите строги неравенства

Всяко неравенство, което включва функция под корена, се нарича ирационален. Има два вида такива неравенства:

В първия случай коренът по-малко функция g (x), във втория - повече. Ако g(x) - постоянен, неравенството е силно опростено. Моля, обърнете внимание: външно тези неравенства са много сходни, но техните схеми за решаване са коренно различни.

Днес ще научим как да решаваме ирационални неравенства от първи тип - те са най-прости и разбираеми. Знакът за неравенство може да бъде строг или нестрог. За тях е вярно следното твърдение:

Теорема. Всякакви неща ирационално неравенствотип

Еквивалентно на системата от неравенства:

Не е слаб? Нека да видим откъде идва тази система:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - тук всичко е ясно. Това е първоначалното неравенство на квадрат;
2. f(x) ≥ 0 е ОДЗ на корена. Нека ви напомня: аритметика корен квадратенсъществува само от неотрицателничисла;
3. g(x) ≥ 0 е диапазонът на корена. Като повдигаме неравенството на квадрат, изгаряме негативите. В резултат на това може да има допълнителни корени. Неравенството g(x) ≥ 0 ги отрязва.

Много ученици се „закачат“ за първото неравенство на системата: f (x) ≤ g 2 (x) - и напълно забравят другите две. Резултатът е предвидим: грешно решение, загубени точки.

Тъй като ирационалните неравенства са достатъчни сложна тема, нека разгледаме 4 примера наведнъж. От основни до наистина сложни. Всички проблеми са взети от приемни изпитиМосковски държавен университет на име М. В. Ломоносов.

Примери за решаване на проблеми

Задача. Решете неравенството:

Пред нас е класика ирационално неравенство: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 е константа. Ние имаме:

От трите неравенства в края на решението останаха само две. Тъй като винаги е в сила неравенството 2 ≥ 0. Нека пресечем останалите неравенства:

И така, x ∈ [−1,5; 0,5]. Всички точки са защриховани, защото неравенствата не са строги.

Задача. Решете неравенството:

Прилагаме теоремата:

Нека решим първото неравенство. За да направим това, ще разкрием квадрата на разликата. Ние имаме:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Сега нека решим второто неравенство. Там също квадратен тричлен:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪

Къде може да бъде $b$ в ролята? редовен номер, и може би нещо по-твърдо. Примери? Да моля:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ четворка ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(x))). \\\край (подравняване)\]

Мисля, че смисълът е ясен: има експоненциална функция $((a)^(x))$, тя се сравнява с нещо и след това се иска да се намери $x$. В особено клинични случаи, вместо променливата $x$, те могат да поставят някаква функция $f\left(x \right)$ и по този начин да усложнят малко неравенството.

Разбира се, в някои случаи неравенството може да изглежда по-сериозно. Ето например:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Или дори това:

Като цяло сложността на такива неравенства може да бъде много различна, но в крайна сметка те все пак се свеждат до простата конструкция $((a)^(x)) \gt b$. И ние по някакъв начин ще разберем такава конструкция (в особено клинични случаи, когато нищо не идва на ум, логаритмите ще ни помогнат). Затова сега ще ви научим как да решавате такива прости конструкции.

Решаване на прости експоненциални неравенства

Нека разгледаме нещо много просто. Например това:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Очевидно числото отдясно може да бъде пренаписано като степен на две: $4=((2)^(2))$. Така първоначалното неравенство може да бъде пренаписано в много удобна форма:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

И сега ме сърбят ръцете да "задраскам" двойките в основите на степените, за да получа отговора $x \gt 2$. Но преди да зачеркнем нещо, нека си припомним силите на две:

\[((2)^(1))=2;\квад ((2)^(2))=4;\квад ((2)^(3))=8;\квад ((2)^( 4))=16;...\]

Както виждаме, отколкото по-голям бройе в експонента, толкова по-голямо е изходното число. „Благодаря, Кап!“ - ще възкликне един от учениците. Различно ли е? За съжаление се случва. Например:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ дясно))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

И тук всичко е логично: какво по-голяма степен, колкото пъти числото 0,5 се умножи по себе си (т.е. разделено наполовина). Така получената редица от числа намалява, а разликата между първата и втората редица е само в основата:

• Ако основата на степен $a \gt 1$, тогава с увеличаването на експонентата $n$ числото $((a)^(n))$ също ще нараства;
• И обратно, ако $0 \lt a \lt 1$, тогава с нарастване на показателя $n$ числото $((a)^(n))$ ще намалява.

Обобщавайки тези факти, получаваме най-важното твърдение, на което се основава цялото решение експоненциални неравенства:

Ако $a \gt 1$, тогава неравенството $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентно на неравенството $x \gt n$. Ако $0 \lt a \lt 1$, тогава неравенството $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентно на неравенството $x \lt n$.

С други думи, ако основата повече от един, можете просто да го премахнете - знакът за неравенство няма да се промени. И ако основата е по-малка от единица, тогава тя също може да бъде премахната, но в същото време ще трябва да промените знака за неравенство.

Моля, обърнете внимание, че не сме разгледали опциите $a=1$ и $a\le 0$. Защото в тези случаи възниква несигурност. Да кажем как да решим неравенство от вида $((1)^(x)) \gt 3$? Едно на която и да е сила отново ще даде едно - никога няма да получим три или повече. Тези. няма решения.

СЪС негативни причиниоще по-интересно. Помислете например за това неравенство:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

На пръв поглед всичко е просто:

нали Но не! Достатъчно е да замените вместо $x$ двойка четни единици и двойка нечетни числаза да се уверите, че решението е неправилно. Разгледайте:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Стрелка надясно ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Стрелка надясно ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Стрелка надясно ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Както можете да видите, знаците се редуват. Но има още дробни степении други калай. Как, например, бихте наредили да изчислите $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (минус две на степен седем)? Няма начин!

Следователно, за определеност приемаме, че във всички експоненциални неравенства (и уравнения, между другото също) $1\ne a \gt 0$. И тогава всичко се решава много просто:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]

Като цяло, запомнете отново основното правило: ако основата в експоненциалното уравнение е по-голяма от единица, можете просто да я премахнете; и ако основата е по-малка от единица, тя също може да бъде премахната, но знакът на неравенството ще се промени.

Примери за решения

И така, нека да разгледаме няколко прости експоненциални неравенства:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\край (подравняване)\]

Основната задача във всички случаи е една и съща: да се намалят неравенствата до най-простата форма $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Точно това ще направим сега с всяко неравенство, като в същото време ще повторим свойствата на степените и експоненциалните функции. Така че, да тръгваме!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Какво можете да правите тук? Е, отляво вече го имаме експоненциален израз- няма нужда да променяте нищо. Но отдясно има някакви глупости: дроб и дори корен в знаменателя!

Все пак нека си припомним правилата за работа с дроби и степени:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\край (подравняване)\]

Какво означава? Първо, можем лесно да се отървем от дробта, като я превърнем в степен с отрицателен показател. И второ, тъй като знаменателят има корен, би било хубаво да го превърнем в степен - този път с дробен показател.

Нека приложим тези действия последователно към дясната страна на неравенството и да видим какво ще се случи:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Не забравяйте, че при повишаване на степен на степен показателите на тези степени се събират. И като цяло, когато работите с експоненциални уравнения и неравенства, е абсолютно необходимо да знаете поне най-простите правила за работа със степени:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\край (подравняване)\]

всъщност, последното правилопросто го приложихме. Следователно нашето първоначално неравенство ще бъде пренаписано както следва:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Сега се отърваваме от двете в основата. Тъй като 2 > 1, знакът за неравенство ще остане същият:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Това е решението! Основната трудност изобщо не е в експоненциалната функция, а в компетентната трансформация на оригиналния израз: трябва внимателно и бързо да го доведете до най-простата му форма.

Разгледайте второто неравенство:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

да, да Тук ни очакват десетични дроби. Както съм казвал много пъти, във всички изрази със степени трябва да се отървете от десетичните знаци - това често е единственият начин да видите бързо и просто решение. Тук ще се отървем от:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Дясна стрелка ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\край (подравняване)\]

Тук отново имаме най-простото неравенство и дори с основа 1/10, т.е. по-малко от едно. Е, премахваме основите, като едновременно с това променяме знака от „по-малко“ на „повече“ и получаваме:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\край (подравняване)\]

Получихме окончателния отговор: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Моля, обърнете внимание: отговорът е точно набор и в никакъв случай конструкция от формата $x \lt -1$. Защото формално такава конструкция изобщо не е множество, а неравенство по отношение на променливата $x$. Да, много е просто, но не е отговорът!

Важна забележка. Това неравенство може да се реши по друг начин - чрез редуциране на двете страни на степен с основа, по-голяма от единица. Разгледайте:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Дясна стрелка ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

След такава трансформация отново ще получим експоненциално неравенство, но с основа 10 > 1. Това означава, че можем просто да зачеркнем десетката - знакът на неравенството няма да се промени. Получаваме:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\край (подравняване)\]

Както можете да видите, отговорът беше абсолютно същият. В същото време се спасихме от необходимостта да сменяме табелата и като цяло да запомним някакви правила :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Нека обаче това не ви плаши. Без значение какво има в индикаторите, самата технология за решаване на неравенството остава същата. Следователно нека първо отбележим, че 16 = 2 4. Нека пренапишем първоначалното неравенство, като вземем предвид този факт:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Ура! Имаме обичайното квадратно неравенство! Знакът не се е променил никъде, тъй като основата е две - число, по-голямо от едно.

Нули на функция на числовата ос

Подреждаме знаците на функцията $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - очевидно нейната графика ще бъде парабола с клонове нагоре, така че ще има „плюсове ” отстрани. Интересуваме се от областта, където функцията е по-малка от нула, т.е. $x\in \left(2;5 \right)$ е отговорът на първоначалния проблем.

И накрая, разгледайте друго неравенство:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Отново виждаме експоненциална функция с десетична дроб в основата. Нека преобразуваме тази дроб в обикновена дроб:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

IN в този случайИзползвахме забележката, дадена по-рано - намалихме основата до числото 5 > 1, за да опростим нашето по-нататъшно решение. Нека направим същото с дясната страна:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ надясно))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Нека пренапишем първоначалното неравенство, като вземем предвид и двете трансформации:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]

Базите от двете страни са еднакви и надвишават единица. Няма други термини отдясно и отляво, така че просто „задраскваме“ петиците и получаваме много прост израз:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Тук трябва да сте по-внимателни. Много студенти обичат просто да вземат квадратен корен от двете страни на неравенството и да напишат нещо като $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. При никакви обстоятелства не трябва да се прави това , тъй като коренът на точен квадрат е модул и в никакъв случай оригинална променлива:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\надясно|\]

Работата с модули обаче не е най-приятното изживяване, нали? Така че няма да работим. Вместо това просто преместваме всички членове наляво и решаваме обичайното неравенство, като използваме интервалния метод:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\край (подравняване)$

Отново маркираме получените точки на числовата линия и гледаме знаците:

Моля, обърнете внимание: точките са защриховани

Тъй като решихме, че не строго неравенство, всички точки на графиката са защриховани. Следователно отговорът ще бъде: $x\in \left[ -1;1 \right]$ не е интервал, а сегмент.

Като цяло бих искал да отбележа, че няма нищо сложно в експоненциалните неравенства. Смисълът на всички трансформации, които извършихме днес, се свежда до прост алгоритъм:

• Намерете базата, към която ще намалим всички степени;
• Внимателно извършете трансформациите, за да получите неравенство от вида $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Разбира се, вместо променливите $x$ и $n$ може да има много повече сложни функции, но значението няма да се промени;
• Зачертайте основите на степените. В този случай знакът за неравенство може да се промени, ако основата $a \lt 1$.

Всъщност това е универсален алгоритъм за решаване на всички подобни неравенства. И всичко останало, което ще ви кажат по тази тема, са само специфични техники и трикове, които ще опростят и ускорят трансформацията. Сега ще говорим за една от тези техники :)

Метод на рационализация

Нека разгледаме друг набор от неравенства:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\текст( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

И така, какво е толкова специално за тях? Те са леки. Въпреки това, спри! Повишено ли е числото π на някаква степен? Що за глупости?

Как да повдигна числото $2\sqrt(3)-3$ на степен? Или $3-2\sqrt(2)$? Писателите на проблеми явно са изпили твърде много глог преди да седнат на работа :)

Всъщност в тези задачи няма нищо страшно. Нека ви напомня: експоненциалната функция е израз на формата $((a)^(x))$, където основата $a$ е всяка положително число, с изключение на един. Числото π е положително - това вече го знаем. Числата $2\sqrt(3)-3$ и $3-2\sqrt(2)$ също са положителни - това лесно се вижда, ако ги сравните с нула.

Оказва се, че всички тези „плашещи“ неравенства се решават не по-различно от простите, разгледани по-горе? И по същия начин ли се решават? Да, това е абсолютно правилно. Въпреки това, използвайки техния пример, бих искал да разгледам една техника, която значително спестява време самостоятелна работаи изпити. Ще говорим за метода на рационализация. И така, внимание:

Всяко експоненциално неравенство от формата $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентно на неравенството $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ дясно) \gt 0 $.

Това е целият метод. :) Мислехте ли, че ще има някаква друга игра? Нищо подобно! Но този прост факт, написан буквално в един ред, значително ще опрости нашата работа. Разгледайте:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Така че няма повече експоненциални функции! И не е нужно да помните дали знакът се променя или не. Но възниква нов проблем: какво да правя с шибания множител \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Не знаем за какво става въпрос точна стойностчислата π. Капитанът обаче сякаш намеква за очевидното:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\приблизително 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

По принцип точната стойност на π всъщност не ни интересува - за нас е важно само да разберем, че във всеки случай $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, т.е. това е положителна константа и можем да разделим двете страни на неравенството на нея:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Както виждате, в определен момент трябваше да разделим на минус едно - и знакът на неравенството се промени. Накрая разширих квадратичния трином с помощта на теоремата на Виета - очевидно е, че корените са равни на $((x)_(1))=5$ и $((x)_(2))=-1$ . Тогава всичко се решава класически методинтервали:

Решаване на неравенство по интервалния метод

Всички точки се премахват, тъй като първоначалното неравенство е строго. Интересуваме се от областта с отрицателни стойности, така че отговорът е $x\in \left(-1;5 \right)$. Това е решението :)

Да преминем към следващата задача:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Всичко тук като цяло е просто, защото вдясно има единица. И ние си спомняме, че едно е всяко число, повдигнато на нулева степен. Дори ако това число е ирационален израз, стоящ в основата отляво:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\\край (подравняване)\]

Е, нека рационализираме:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Остава само да разбера знаците. Коефициентът $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ не съдържа променливата $x$ - той е просто константа и трябва да намерим нейния знак. За да направите това, имайте предвид следното:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrix)\]

Оказва се, че вторият фактор не е просто константа, а отрицателна константа! И при разделяне на него знакът на първоначалното неравенство се променя на противоположния:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Сега всичко става напълно очевидно. корени квадратен тричлен, стоящ отдясно: $((x)_(1))=0$ и $((x)_(2))=2$. Маркираме ги на числовата ос и разглеждаме знаците на функцията $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Случаят, когато се интересуваме от страничните интервали

Интересуват ни интервалите, отбелязани със знак плюс. Остава само да напиша отговора:

Да преминем към следващия пример:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ надясно))^(16-x))\]

Е, тук всичко е напълно очевидно: основите съдържат степени с едно и също число. Затова ще напиша всичко накратко:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ ляво (16-x \ дясно))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Както можете да видите, по време на процеса на трансформация трябваше да умножим по отрицателно число, така че знакът за неравенство се е променил. В самия край отново приложих теоремата на Виета, за да факторизирам квадратичния трином. В резултат на това отговорът ще бъде следният: $x\in \left(-8;4 \right)$ - всеки може да провери това, като начертае числова линия, маркира точките и преброи знаците. Междувременно ще преминем към последното неравенство от нашия „набор“:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Както можете да видите, в основата отново има ирационално число, а вдясно е пак един. Следователно пренаписваме нашето експоненциално неравенство, както следва:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ надясно))^(0))\]

Прилагаме рационализация:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Съвсем очевидно е обаче, че $1-\sqrt(2) \lt 0$, тъй като $\sqrt(2)\приблизително 1,4... \gt 1$. Следователно вторият фактор отново е отрицателна константа, на която могат да бъдат разделени двете страни на неравенството:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\край (матрица)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Преместете се в друга база

Отделен проблем при решаването на експоненциални неравенства е търсенето на „правилната“ основа. За съжаление, не винаги е очевидно на пръв поглед върху дадена задача какво да се вземе за основа и какво да се направи според степента на тази основа.

Но не се притеснявайте: тук няма магия или „тайна“ технология. В математиката всяко умение, което не може да бъде алгоритмизирано, може лесно да се развие чрез практика. Но за това ще трябва да решавате проблеми различни нивасложност. Например така:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ край (подравняване)\]

Трудно? Страшно? По-лесно е, отколкото да удариш пиле в асфалта! Нека опитаме. Първо неравенство:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Е, мисля, че тук всичко е ясно:

Пренаписваме първоначалното неравенство, като свеждаме всичко до основа две:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Да, да, чухте правилно: току-що приложих метода на рационализация, описан по-горе. Сега трябва да работим внимателно: успяхме дробно рационално неравенство(това е нещо, което има променлива в знаменателя), така че преди да приравните нещо към нула, трябва да приведете всичко до общ знаменатели се отървете от постоянния фактор.

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Сега използваме стандартен методинтервали. Нули в числителя: $x=\pm 4$. Знаменателят отива на нула само при $x=0$. Има общо три точки, които трябва да бъдат маркирани на числовата ос (всички точки са закачени, защото знакът за неравенство е строг). Получаваме:

повече труден случай: три корена

Както може би се досещате, засенчването маркира тези интервали, на които изразът отляво заема отрицателни стойности. Следователно крайният отговор ще включва два интервала наведнъж:

Краищата на интервалите не са включени в отговора, тъй като първоначалното неравенство е строго. Не се изисква допълнителна проверка на този отговор. В това отношение експоненциалните неравенства са много по-прости от логаритмичните: няма ODZ, няма ограничения и т.н.

Да преминем към следващата задача:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Тук също няма проблеми, тъй като вече знаем, че $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, така че цялото неравенство може да бъде пренаписано както следва:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Моля, обърнете внимание: в третия ред реших да не губя време за дреболии и веднага да разделя всичко на (−2). Minul влезе в първата скоба (сега има плюсове навсякъде), а две беше намалено с постоянен коефициент. Точно това трябва да направите, когато подготвяте реални дисплеи на независими и тестове— няма нужда да се описва всяко действие и трансформация.

След това влиза в действие познатият метод на интервалите. Нули в числителя: но ги няма. Тъй като дискриминантът ще бъде отрицателен. На свой ред, знаменателят се нулира само при $x=0$ - както в последния път. Е, ясно е, че вдясно от $x=0$ дробта ще заеме положителни стойности, а отляво са отрицателни. Тъй като се интересуваме от отрицателни стойности, крайният отговор е: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]

Какво трябва да правите с десетичните дроби в експоненциалните неравенства? Точно така: отървете се от тях, превръщайки ги в обикновени. Тук ще преведем:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ ляво(\frac(4)(25) \дясно))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\вдясно))^(x)). \\\край (подравняване)\]

И така, какво получихме в основите на експоненциалните функции? И имаме две взаимно обратни числа:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ дясно))^(x))=((\ляво(((\ляво(\frac(4)(25) \дясно))^(-1)) \дясно))^(x))=((\ ляво(\frac(4)(25) \дясно))^(-x))\]

Така първоначалното неравенство може да се пренапише, както следва:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\край (подравняване)\]

Разбира се, когато се умножават степени с една и съща основа, техните показатели се събират, което се случи във втория ред. В допълнение, ние представихме единицата отдясно, също като степен в основата 4/25. Всичко, което остава, е да рационализираме:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Обърнете внимание, че $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, т.е. вторият фактор е отрицателна константа и при разделяне на него знакът за неравенство ще се промени:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

И накрая, последното неравенство от текущия „набор“:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

По принцип идеята за решението тук също е ясна: всичко експоненциални функции, включени в неравенството, трябва да бъдат намалени до основата „3“. Но за това ще трябва да побърквате малко с корени и правомощия:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\квад 81=((3)^(4)). \\\край (подравняване)\]

Като се вземат предвид тези факти, първоначалното неравенство може да се пренапише, както следва:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\край (подравняване)\]

Обърнете внимание на 2-ри и 3-ти ред на изчисленията: преди да направите нещо с неравенството, не забравяйте да го приведете във формата, за която говорихме от самото начало на урока: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Докато имате някои леви фактори, допълнителни константи и т.н. отляво или отдясно, не може да се извърши рационализация или „зачеркване“ на основанията! Безброй задачи са изпълнени неправилно поради липса на разбиране за това прост факт. Аз самият постоянно наблюдавам този проблем с моите ученици, когато току-що започваме да анализираме експоненциални и логаритмични неравенства.

Но да се върнем към нашата задача. Нека се опитаме да минем без рационализация този път. Нека си припомним: основата на степента е по-голяма от единица, така че тройките могат просто да бъдат задраскани - знакът за неравенство няма да се промени. Получаваме:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\край (подравняване)\]

Това е. Окончателен отговор: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Изолиране на стабилен израз и замяна на променлива

В заключение предлагам да решим още четири експоненциални неравенства, които вече са доста трудни за неподготвени ученици. За да се справите с тях, трябва да запомните правилата за работа със степени. По-специално, издаването общи факториизвън скоби.

Но най-важното е да се научите да разбирате какво точно може да бъде извадено от скоби. Такъв израз се нарича стабилен - той може да бъде обозначен с нова променлива и по този начин да се отърве от експоненциалната функция. И така, нека да разгледаме задачите:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Да започнем от първия ред. Нека запишем това неравенство отделно:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Обърнете внимание, че $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, така че дясната страна може да се пренапише:

Обърнете внимание, че в неравенството няма други експоненциални функции освен $((5)^(x+1))$. И като цяло, променливата $x$ не се появява никъде другаде, така че нека въведем нова променлива: $((5)^(x+1))=t$. Получаваме следната конструкция:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\край (подравняване)\]

Връщаме се към първоначалната променлива ($t=((5)^(x+1))$ и в същото време помним, че 1=5 0 . Ние имаме:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\край (подравняване)\]

Това е решението! Отговор: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Да преминем към второто неравенство:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Тук всичко е същото. Обърнете внимание, че $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Тогава лявата странаможе да се пренапише:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \надясно. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Стрелка надясно ((3)^(x))\ge 9\Стрелка надясно ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Стрелка надясно x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\край (подравняване)\]

Приблизително така трябва да съставите решение за реални тестове и самостоятелна работа.

Е, нека опитаме нещо по-сложно. Ето например неравенството:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Какъв е проблемът тук? Първо, основите на експоненциалните функции отляво са различни: 5 и 25. Въпреки това, 25 = 5 2, така че първият член може да се трансформира:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Както можете да видите, първо донесохме всичко до същата основа, и след това забеляза, че първият член може лесно да бъде намален до втория - просто трябва да разширите експонентата. Сега можете спокойно да въведете нова променлива: $((5)^(2x+2))=t$ и цялото неравенство ще бъде пренаписано, както следва:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\край (подравняване)\]

И отново, никакви затруднения! Краен отговор: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Нека да преминем към последното неравенство в днешния урок:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Първото нещо, на което трябва да обърнете внимание е, разбира се, десетичен знакв основата на първа степен. Необходимо е да се отървете от него и в същото време да приведете всички експоненциални функции към една и съща основа - числото „2“:

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Стрелка надясно ((16)^(x+1,5))=((\ляво(((2)^(4)) \дясно))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Страхотно, направихме първата стъпка – всичко доведе до една и съща основа. Сега трябва да изберете стабилен израз. Обърнете внимание, че $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Ако въведем нова променлива $((2)^(4x+6))=t$, тогава първоначалното неравенство може да се пренапише, както следва:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\край (подравняване)\]

Естествено може да възникне въпросът: как открихме, че 256 = 2 8? За съжаление, тук просто трябва да знаете правомощията на две (и в същото време правомощията на три и пет). Е, или разделете 256 на 2 (можете да разделите, тъй като 256 е четно число), докато получим резултата. Ще изглежда нещо подобно:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Същото важи и с три (числата 9, 27, 81 и 243 са неговите степени) и със седем (числата 49 и 343 също би било хубаво да запомните). Е, петте също имат „красиви“ степени, които трябва да знаете:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\край (подравняване)\]

Разбира се, ако желаете, всички тези числа могат да бъдат възстановени в ума ви, като просто ги умножите последователно едно по друго. Когато обаче трябва да решите няколко експоненциални неравенства и всяко следващо е по-трудно от предишното, последното нещо, за което искате да мислите, са степените на някои числа. И в този смисъл тези проблеми са по-сложни от „класическите“ неравенства, които се решават чрез интервалния метод.

След получаване първоначална информацияотносно неравенствата с променливи, преминаваме към въпроса за тяхното решение. Ще анализираме решаването на линейни неравенства с една променлива и всички методи за решаването им с алгоритми и примери. Ще се разглеждат само линейни уравнения с една променлива.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Какво е линейно неравенство?

Първо трябва да дефинирате линейно уравнение и да го разберете стандартен изгледи как ще се различава от другите. От училищния курс разбираме, че неравенства няма фундаментална разлика, така че са необходими множество дефиниции.

Определение 1

Линейно неравенство с една променлива x е неравенство от вида a · x + b > 0, когато вместо > се използва произволен знак за неравенство< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Определение 2

Неравенства a x< c или a · x >c, като x е променлива и a и c са някои числа, се извиква линейни неравенства с една променлива.

Тъй като нищо не се казва за това дали коефициентът може да бъде равен на 0, тогава строго неравенство от формата 0 x > c и 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Разликите им са:

• форма на запис a · x + b > 0 в първата, и a · x > c – във втората;
• допустимост коефициент a да е равен на нула, a ≠ 0 - в първия и a = 0 - във втория.

Смята се, че неравенствата a · x + b > 0 и a · x > c са еквивалентни, тъй като се получават чрез пренасяне на член от една част в друга. Решаването на неравенството 0 x + 5 > 0 ще доведе до факта, че то ще трябва да бъде решено и случаят a = 0 няма да работи.

Определение 3

Смята се, че линейните неравенства в една променлива x са неравенства от формата a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0И a x + b ≥ 0, където a и b са реални числа. Вместо x може да има редовно число.

Въз основа на правилото имаме, че 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 се наричат ​​сводими до линейни.

Как се решава линейно неравенство

Основният начин за решаване на такива неравенства е да се използват еквивалентни трансформации, за да се намерят елементарните неравенства x< p (≤ , >, ≥), p което е определено число, за a ≠ 0, и във формата a< p (≤ , >, ≥) за a = 0.

За да разрешите неравенства в една променлива, можете да използвате метода на интервала или да го представите графично. Всеки от тях може да се използва отделно.

Използване на еквивалентни трансформации

Да се ​​реши линейно неравенство от вида a x + b< 0 (≤ , >, ≥), трябва да се приложи еквивалентни трансформациинеравенства. Коефициентът може или не може да бъде равен на равно на нула. Нека разгледаме и двата случая. За да разберете, трябва да се придържате към схема, състояща се от 3 точки: същността на процеса, алгоритъма и самото решение.

Определение 4

Алгоритъм за решаване на линейно неравенство a x + b< 0 (≤ , >, ≥) за a ≠ 0

• числото b ще бъде преместено в дясната страна на неравенството c противоположен знак, което ще ни позволи да стигнем до еквивалента на x< − b (≤ , > , ≥) ;
• Двете страни на неравенството ще бъдат разделени на число, което не е равно на 0. Освен това, когато a е положителен, знакът остава; когато a е отрицателен, той се променя на противоположния.

Нека разгледаме приложението на този алгоритъм за решаване на примери.

Пример 1

Решете неравенството от вида 3 x + 12 ≤ 0.

Решение

Това линейно неравенство има a = 3 и b = 12. Това означава, че коефициентът a на x не е равен на нула. Нека приложим горните алгоритми и да го решим.

Необходимо е да преместим член 12 в друга част от неравенството и да сменим знака пред него. Тогава получаваме неравенство от вида 3 x ≤ − 12. Необходимо е да разделите двете части на 3. Знакът няма да се промени, тъй като 3 е положително число. Получаваме, че (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, което дава резултата x ≤ − 4.

Неравенство от вида x ≤ − 4 е еквивалентно. Тоест решението за 3 x + 12 ≤ 0 е всяко реално число, което е по-малко или равно на 4. Отговорът се записва като неравенството x ≤ − 4, или числов интервалот формата (− ∞ , − 4 ] .

Целият алгоритъм, описан по-горе, е написан така:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

отговор: x ≤ − 4 или (− ∞ , − 4 ] .

Пример 2

Посочете всички налични решения на неравенството − 2, 7 · z > 0.

Решение

От условието виждаме, че коефициентът a за z е равен на - 2,7, а b изрично липсва или е равен на нула. Можете да не използвате първата стъпка от алгоритъма, но веднага да преминете към втората.

Разделяме двете страни на уравнението на числото - 2, 7. Тъй като числото е отрицателно, е необходимо да се обърне знакът за неравенство. Тоест, получаваме, че (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Ще напишем целия алгоритъм кратка форма:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

отговор: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Пример 3

Решете неравенството - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Решение

Съгласно условието виждаме, че е необходимо да се реши неравенството с коефициент a за променливата x, който е равен на - 5, с коефициент b, който съответства на дробта - 15 22. Необходимо е да решите неравенството, като следвате алгоритъма, а именно: преместете - 15 22 в друга част с противоположен знак, разделете двете части на - 5, сменете знака на неравенството:

5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

При последния преход за дясната страна се използва правилото за разделяне на числото с различни знаци 15 22: - 5 = - 15 22: 5, след което извършваме разделянето обикновена дробкъм естественото число - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

отговор: x ≥ - 3 22 и [ - 3 22 + ∞) .

Нека разгледаме случая, когато a = 0. Линеен изразот формата a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Всичко се основава на определяне на решението на неравенството. За всяка стойност на x получаваме числено неравенство под формата b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Ще разгледаме всички преценки под формата на алгоритъм за решаване на линейни неравенства 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Определение 5

Числово неравенство от вида b< 0 (≤ , >, ≥) е вярно, тогава първоначалното неравенство има решение за всяка стойност и е невярно, когато първоначалното неравенство няма решения.

Пример 4

Решете неравенството 0 x + 7 > 0.

Решение

Това линейно неравенство 0 x + 7 > 0 може да приеме произволна стойност x. Тогава получаваме неравенство от вида 7 > 0. Последното неравенство се счита за вярно, което означава, че всяко число може да бъде негово решение.

отговор: интервал (− ∞ , + ∞) .

Пример 5

Намерете решение на неравенството 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Решение

Когато заместваме променливата x на произволно число, получаваме, че неравенството приема формата − 12, 7 ≥ 0. Това е неправилно. Тоест 0 x − 12, 7 ≥ 0 няма решения.

отговор:няма решения.

Нека разгледаме решаването на линейни неравенства, при които и двата коефициента са равни на нула.

Пример 6

Определете неразрешимото неравенство от 0 x + 0 > 0 и 0 x + 0 ≥ 0.

Решение

Когато заместваме произволно число вместо x, получаваме две неравенства от вида 0 > 0 и 0 ≥ 0. Първото е неправилно. Това означава, че 0 x + 0 > 0 няма решения, но 0 x + 0 ≥ 0 има безкраен бройрешения, тоест произволен брой.

отговор: неравенството 0 x + 0 > 0 няма решения, но 0 x + 0 ≥ 0 има решения.

Този метод е обсъден в училищен курсматематика. Интервалният метод е в състояние да разреши различни видовенеравенства, също линейни.

Интервалният метод се използва за линейни неравенства, когато стойността на коефициента x не е равна на 0. В противен случай ще трябва да изчислите, като използвате различен метод.

Определение 6

Интервалният метод е:

• въвеждане на функцията y = a · x + b ;
• търсене на нули за разделяне на областта на дефиницията на интервали;
• дефиниране на знаци за техните понятия за интервали.

Нека съставим алгоритъм за решаване на линейни уравнения a x + b< 0 (≤ , >, ≥) за a ≠ 0, използвайки интервалния метод:

• намиране на нулите на функцията y = a · x + b за решаване на уравнение от вида a · x + b = 0 . Ако a ≠ 0, тогава решението ще бъде единичен корен, който ще приеме обозначението x 0;
• построяване на координатна права с изображение на точка с координата х 0; при строго неравенство точката се отбелязва с пунктирана точка;
• определяне на знаците на функцията y = a · x + b на интервали; за това е необходимо да се намерят стойностите на функцията в точки на интервала;
• решаване на неравенство със знаци > или ≥ на координатната линия, добавяне на засенчване върху положителния интервал,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Нека да разгледаме няколко примера за решаване на линейни неравенства с помощта на интервалния метод.

Пример 6

Решете неравенството − 3 x + 12 > 0.

Решение

От алгоритъма следва, че първо трябва да намерите корена на уравнението − 3 x + 12 = 0. Получаваме, че − 3 · x = − 12 , x = 4 . Необходимо е да начертаете координатна линия, където маркираме точка 4. Ще бъде пробита, защото неравенството е строго. Разгледайте чертежа по-долу.

Необходимо е да се определят знаците на интервалите. За да го определим в интервала (− ∞, 4), е необходимо да изчислим функцията y = − 3 x + 12 при x = 3. От тук получаваме, че − 3 3 + 12 = 3 > 0. Знакът на интервала е положителен.

Определяме знака от интервала (4, + ∞), след което заместваме стойността x = 5. Имаме, че − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Решаваме неравенството със знака >, като защриховането се извършва върху положителния интервал. Разгледайте чертежа по-долу.

От чертежа става ясно, че търсеното решение има формата (− ∞ , 4) или x< 4 .

отговор: (− ∞ , 4) или x< 4 .

За да разберете как да изобразите графично, трябва да разгледате пример 4 линейни неравенства: 0,5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 и 0, 5 x − 1 ≥ 0. Техните решения ще бъдат стойностите на x< 2 , x ≤ 2 , x >2 и x ≥ 2. За да направите това, нека начертаем графика линейна функция y = 0,5 x − 1, дадено по-долу.

Ясно е, че

Определение 7

• решаване на неравенството 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• решението 0, 5 x − 1 ≤ 0 се счита за интервал, където функцията y = 0, 5 x − 1 е по-ниска от O x или съвпада;
• решението 0, 5 · x − 1 > 0 се счита за интервал, функцията се намира над O x;
• решението 0, 5 · x − 1 ≥ 0 се счита за интервал, където графиката над O x или съвпада.

Значение графично решениенеравенства е да се намерят интервалите, които трябва да бъдат изобразени на графика. В този случай откриваме, че лявата страна има y = a · x + b, а дясната страна има y = 0 и съвпада с O x.

Определение 8

Начертава се графиката на функцията y = a x + b:

• при решаване на неравенството a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• при решаване на неравенството a · x + b ≤ 0 се определя интервалът, където графиката е изобразена под оста O x или съвпада;
• при решаване на неравенството a · x + b > 0 се определя интервалът, където графиката е изобразена над O x;
• При решаване на неравенството a · x + b ≥ 0 се определя интервалът, където графиката е над O x или съвпада.

Пример 7

Решете неравенството - 5 · x - 3 > 0 с помощта на графика.

Решение

Необходимо е да се построи графика на линейната функция - 5 · x - 3 > 0. Тази линия намалява, защото коефициентът на x е отрицателен. За да определим координатите на точката на нейното пресичане с O x - 5 · x - 3 > 0, получаваме стойността - 3 5. Нека го изобразим графично.

Решавайки неравенството със знака >, тогава трябва да обърнете внимание на интервала над O x. Нека маркираме необходимата част от самолета в червено и да я получим

Необходимата междина е част O x червена. Така че е отворено номер лъч- ∞ , - 3 5 ще бъде решението на неравенството. Ако според условието имаме нестрого неравенство, то стойността на точката - 3 5 също би била решение на неравенството. И ще съвпадне с O x.

отговор: - ∞ , - 3 5 или x< - 3 5 .

Графичен методрешението се използва, когато лявата страна ще съответства на функцията y = 0 x + b, тоест y = b. Тогава правата линия ще бъде успоредна на O x или съвпадаща при b = 0. Тези случаи показват, че неравенството може да няма решения или решението може да бъде произволно число.

Пример 8

Определете от неравенствата 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Решение

Представянето на y = 0 x + 7 е y = 7, тогава ще бъде дадено координатна равнинас права линия, успоредна на O x и разположена над O x. Така че 0 х + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Графиката на функцията y = 0 x + 0 се счита за y = 0, т.е. правата линия съвпада с O x. Това означава, че неравенството 0 x + 0 ≥ 0 има много решения.

отговор: Второто неравенство има решение за всяка стойност на x.

Неравенства, които се свеждат до линейни

Решението на неравенствата може да се сведе до решението линейно уравнение, които се наричат ​​неравенства, свеждащи се до линейни.

Тези неравенства бяха разгледани в училищния курс, тъй като бяха частен случай на решаване на неравенства, което доведе до отваряне на скоби и довеждане подобни условия. Например, помислете, че 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Дадените по-горе неравенства винаги се свеждат до формата на линейно уравнение. След това се отварят скобите и се дават подобни условия и се прехвърлят от различни части, променяйки знака на противоположния.

Когато редуцираме неравенството 5 − 2 x > 0 до линейно, ние го представяме по такъв начин, че да има формата − 2 x + 5 > 0, а за намаляване на второто получаваме, че 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Необходимо е да отворите скобите, да въведете подобни термини, да преместите всички термини в лявата страна и да въведете подобни термини. Изглежда така:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Това води решението до линейно неравенство.

Тези неравенства се считат за линейни, тъй като имат един и същ принцип на решение, след което е възможно да се сведат до елементарни неравенства.

За да се реши този вид неравенство, е необходимо да се сведе до линейно. Трябва да се направи по следния начин:

Определение 9

• отворени скоби;
• събирайте променливи отляво и числа отдясно;
• дайте подобни условия;
• разделете двете страни на коефициента на x.

Пример 9

Решете неравенството 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Решение

Отваряме скобите, след което получаваме неравенство от вида 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. След като редуцираме подобни членове, имаме, че 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. След като преместим членовете отляво надясно, откриваме, че 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Следователно има неравенство под формата 32 ≤ 0 от това, получено чрез изчисляване на 0 x + 32 ≤ 0. Вижда се, че неравенството е невярно, което означава, че даденото с условие неравенство няма решения.

отговор: няма решения.

Струва си да се отбележи, че има много други видове неравенства, които могат да бъдат сведени до линейни или неравенства от типа, показан по-горе. Например 5 2 x − 1 ≥ 1 е експоненциално уравнение, което се свежда до линейно решение 2 x − 1 ≥ 0 . Тези случаи ще бъдат разгледани при решаване на неравенства от този тип.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Представени са основните видове неравенства, включително неравенствата на Бернули, Коши - Буняковски, Минковски, Чебишев. Разглеждат се свойствата на неравенствата и действията върху тях. Дадени са основните методи за решаване на неравенства.

Формули за основни неравенства

Формули за универсални неравенства

Универсалните неравенства са изпълнени за всякакви стойности на количествата, включени в тях. Основните видове универсални неравенства са изброени по-долу.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | а - б | ≥ | |a| - |b| |

3)
Равенство възниква само когато a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Неравенството на Коши-Буняковски

Равенството е в сила тогава и само ако α a k = β b k за всички k = 1, 2, ..., n и някои α, β, |α| + |β| > 0 .

5) Неравенството на Минковски, за p ≥ 1

Формули на изпълними неравенства

Удовлетворимите неравенства са изпълнени, когато определени стойностиколичествата, включени в тях.

1) Неравенството на Бернули:
.
В повече общ изглед:
,
където , числа със същия знак и по-големи от -1 : .
Лема на Бернули:
.
Вижте "Доказателства за неравенства и лема на Бернули".

2)
за a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Неравенството на Чебишев
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n И 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n И b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Обобщени неравенства на Чебишев
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n И 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n и k естествено
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n И b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Свойства на неравенствата

Свойствата на неравенствата са набор от онези правила, които са изпълнени при преобразуването им. По-долу са свойствата на неравенствата. Разбираемо е, че първоначалните неравенства са изпълнени за стойности на x i (i = 1, 2, 3, 4), принадлежащи към някакъв предварително определен интервал.

1) Когато редът на страните се промени, знакът за неравенство се променя на противоположния.
Ако x 1< x 2 , то x 2 >х 1.
Ако x 1 ≤ x 2, тогава x 2 ≥ x 1.
Ако x 1 ≥ x 2, тогава x 2 ≤ x 1.
Ако x 1 > x 2, тогава x 2< x 1 .

2) Едно равенство е еквивалентно на две слаби неравенства различен знак.
Ако x 1 = x 2, тогава x 1 ≤ x 2 и x 1 ≥ x 2.
Ако x 1 ≤ x 2 и x 1 ≥ x 2, тогава x 1 = x 2.

3) Свойство на транзитивност
Ако x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Ако x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Ако x 1 ≤ x 2 и x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Ако x 1 ≤ x 2 и x 2 ≤ x 3, тогава x 1 ≤ x 3.

4) Едно и също число може да се добави (извади) към двете страни на неравенството.
Ако x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Ако x 1 ≤ x 2, тогава x 1 + A ≤ x 2 + A.
Ако x 1 ≥ x 2, тогава x 1 + A ≥ x 2 + A.
Ако x 1 > x 2, тогава x 1 + A > x 2 + A.

5) Ако има две или повече неравенства със знак на една и съща посока, тогава лявата и дясната им страна могат да бъдат добавени.
Ако x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ако x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ако x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ако x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, тогава x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Подобни изрази важат за знаците ≥, >.
Ако първоначалните неравенства съдържат признаци на нестроги неравенства и поне едно строго неравенство (но всички знаци имат една и съща посока), тогава добавянето води до строго неравенство.

6) И двете страни на неравенството могат да бъдат умножени (разделени) по положително число.
Ако x 1< x 2 и A >0, след това A x 1< A · x 2 .
Ако x 1 ≤ x 2 и A > 0, тогава A x 1 ≤ A x 2.
Ако x 1 ≥ x 2 и A > 0, тогава A x 1 ≥ A x 2.
Ако x 1 > x 2 и A > 0, тогава A · x 1 > A · x 2.

7) И двете страни на неравенството могат да бъдат умножени (разделени) по отрицателно число. В този случай знакът на неравенството ще се промени на обратното.
Ако x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
Ако x 1 ≤ x 2 и A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Ако x 1 ≥ x 2 и A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Ако x 1 > x 2 и A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Ако има две или повече неравенства с положителни членове, със знака на една и съща посока, тогава техните лява и дясна страна могат да се умножат една по друга.
Ако x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 след това x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ако x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 след това x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ако x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 след това x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ако x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0, тогава x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Подобни изрази важат за знаците ≥, >.
Ако оригиналните неравенства съдържат признаци на нестроги неравенства и поне едно строго неравенство (но всички знаци имат една и съща посока), тогава умножението води до строго неравенство.

9) Нека f(x) е монотонно нарастваща функция. Тоест, за всеки x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2).
Ако x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
След това тази функция може да се приложи към двете страни на неравенството, което няма да промени знака на неравенството.
Ако x 1 ≤ x 2, тогава f(x 1) ≤ f(x 2) .
Ако x 1 ≥ x 2, тогава f(x 1) ≥ f(x 2) .

Ако x 1 > x 2, тогава f(x 1) > f(x 2).< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Ако x 1< x 2 , то f(x 1) >10) Нека f(x) е монотонно намаляваща функция, тоест за всяко x 1 > x 2, f(x 1)
f(x 2) .
Ако x 1 ≤ x 2, тогава f(x 1) ≥ f(x 2) .
Ако x 1 ≥ x 2, тогава f(x 1) ≤ f(x 2) .< f(x 2) .

Ако x 1 > x 2 тогава f(x 1)

Методи за решаване на неравенства

Интервалният метод е приложим, ако неравенството включва една променлива, която означаваме с x и има формата:
f(x) > 0
където f(x) - непрекъсната функция, имайки крайно числоточки на прекъсване. Знакът за неравенство може да бъде всичко: >, ≥,<, ≤ .

Интервалният метод е както следва.

1) Намерете областта на дефиниция на функцията f(x) и я маркирайте с интервали на числовата ос.

2) Намерете точките на прекъсване на функцията f(x).

Например, ако това е дроб, тогава намираме точките, в които знаменателят отива на нула. Маркираме тези точки на числовата ос.
3) Решете уравнението
f(x) = 0.

Отбелязваме корените на това уравнение върху числовата ос.

4) В резултат на това числовата ос ще бъде разделена на интервали (сегменти) по точки. В рамките на всеки интервал, включен в областта на дефиниция, ние избираме всяка точка и в тази точка изчисляваме стойността на функцията. Ако тази стойност е по-голяма от нула, тогава поставяме знак "+" над сегмента (интервала).
Ако тази стойност е по-малка от нула, тогава поставяме знак "-" над сегмента (интервал). 5) Ако неравенството има формата: f(x) > 0, тогава изберете интервали със знака "+".Решението на неравенството е да се комбинират тези интервали, които не включват техните граници.
Ако неравенството има формата: f(x) ≥ 0, тогава към решението добавяме точки, в които f(x) = 0.< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Тоест някои интервали може да имат затворени граници (границата принадлежи на интервала). друга част може да има

отворени граници

(границата не принадлежи на интервала). По същия начин, ако неравенството има формата: f(x)Ако неравенството има формата: f(x) ≤ 0, тогава към решението добавяме точки, в които f(x) = 0. Решаване на неравенства с помощта на техните свойстваТози метод е приложим за неравенства с всякаква сложност. Състои се в прилагане на свойствата (представени по-горе), за да се доведат до повече неравенствата

прост изглед
и вземете решение. Напълно възможно е това да доведе не до едно, а до система от неравенства. това

универсален метод

. Отнася се за всякакви неравенства.

Използвана литература: И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.Например неравенството е изразът \(x>5\). Видове неравенства:И Ако \(a\) и \(b\) са числа или , тогава неравенството се извиква.

числови
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

. Всъщност това е просто сравняване на две числа. Такива неравенства се разделят на

верен неверен. Такива неравенства са разделени на видове в зависимост от съдържанието:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Променлива само на първа степен
\(3x^2-x+5>0\)				Има променлива във втората степен (квадрат), но няма по-високи степени (трета, четвърта и т.н.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... и така нататък.

Какво е решението на едно неравенство?

Ако заместите число вместо променлива в неравенство, то ще се превърне в числово.

Ако дадена стойност за x превръща оригиналното неравенство в истинско числово, тогава то се извиква решение на неравенството. Ако не, тогава тази стойност не е решение. И така решаване на неравенство– трябва да намерите всички негови решения (или да покажете, че няма такива).

например,ако заместим числото \(7\) в линейното неравенство \(x+6>10\), получаваме правилното числено неравенство: \(13>10\). И ако заместим \(2\), ще има неправилно числено неравенство \(8>10\). Тоест \(7\) е решение на първоначалното неравенство, но \(2\) не е.

Неравенството \(x+6>10\) обаче има и други решения. Наистина, ще получим правилните числени неравенства, когато заместим \(5\), и \(12\), и \(138\)... И как можем да намерим всички възможни решения? За това те използват За нашия случай имаме:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Тоест всяко число, по-голямо от четири, е подходящо за нас. Сега трябва да запишете отговора. Решенията на неравенствата обикновено се записват числено, като допълнително се маркират върху числовата ос със засенчване. За нашия случай имаме:

отговор: \(x\in(4;+\infty)\)

Кога се променя знакът на неравенството?

Има един голям капан в неравенствата, в който учениците наистина „обичат“ да попадат:

При умножаване (или деление) на неравенство с отрицателно число, то се обръща („повече“ с „по-малко“, „повече или равно“ с „по-малко или равно“ и т.н.)

защо се случва това За да разберем това, нека разгледаме трансформациите числено неравенство\(3>1\). Вярно е, три наистина е по-голямо от едно. Първо, нека се опитаме да го умножим по всяко положително число, например две:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Както виждаме, след умножението неравенството остава вярно. И без значение по какво положително число умножаваме, винаги ще получим истинско неравенство. Сега нека се опитаме да умножим по отрицателно число, например минус три:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Резултатът е неправилно неравенство, защото минус девет е по-малко от минус три! Тоест, за да стане неравенството вярно (и следователно преобразуването на умножението с минус е било „законно“), трябва да обърнете знака за сравнение по следния начин: \(−9<− 3\).
С разделянето ще се получи по същия начин, можете да го проверите сами.

Правилото, написано по-горе, важи за всички видове неравенства, не само за числовите.

Пример: Решете неравенството \(2(x+1)-1<7+8x\)
Решение:

\(2x+2-1<7+8x\)	Нека преместим \(8x\) наляво и \(2\) и \(-1\) надясно, като не забравяме да променим знаците
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Нека разделим двете страни на неравенството на \(-6\), като не забравяме да променим от „по-малко“ на „повече“
	Нека отбележим цифров интервал върху оста. Неравенство, следователно ние „изваждаме“ самата стойност \(-1\) и не я приемаме като отговор
	Нека запишем отговора като интервал

отговор: \(x\in(-1;\infty)\)

Неравенства и увреждания

Неравенствата, точно като уравненията, могат да имат ограничения върху , тоест върху стойностите на x. Съответно тези стойности, които са неприемливи според DZ, трябва да бъдат изключени от обхвата на решенията.

Пример: Решете неравенството \(\sqrt(x+1)<3\)

Решение: Ясно е, че за да бъде лявата страна по-малка от \(3\), радикалният израз трябва да е по-малък от \(9\) (в края на краищата от \(9\) само \(3\)). Получаваме:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

всички? Всяка стойност на x, по-малка от \(8\), ще ни подхожда? не! Защото ако вземем, например, стойността \(-5\), която изглежда отговаря на изискването, това няма да е решение на първоначалното неравенство, тъй като ще ни доведе до изчисляване на корен от отрицателно число.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Следователно трябва да вземем предвид и ограниченията за стойността на X - не може да има отрицателно число под корена. Така имаме второто изискване за x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

И за да бъде x крайното решение, то трябва да отговаря на двете изисквания едновременно: трябва да е по-малко от \(8\) (за да бъде решение) и по-голямо от \(-1\) (за да е допустимо по принцип). Начертавайки го на числовата ос, имаме крайния отговор:

отговор: \(\ляво[-1;8\дясно)\)