Сега нека се справим с умножение и деление.
Да кажем, че трябва да умножим +3 по -4. Как да стане това?
Да разгледаме такъв случай. Трима души задлъжняха и всеки имаше $4 дългове. Какъв е общият дълг? За да го намерите, трябва да съберете трите дълга: 4 долара + 4 долара + 4 долара = 12 долара. Решихме, че събирането на три числа 4 се означава като 3x4. Тъй като в в този случайговорим за дълг, има знак "-" преди 4. Знаем, че общият дълг е $12, така че нашият проблем сега става 3x(-4)=-12.
Ще получим същия резултат, ако според задачата всеки от четиримата има дълг от $3. С други думи, (+4)x(-3)=-12. И тъй като редът на факторите няма значение, получаваме (-4)x(+3)=-12 и (+4)x(-3)=-12.
Нека обобщим резултатите. Когато умножите едно положително число и едно отрицателно число, резултатът винаги ще бъде отрицателно число. Числената стойност на отговора ще бъде същата като при положителните числа. Продукт (+4)x(+3)=+12. Наличието на знака „-“ засяга само знака, но не влияе върху числовата стойност.
Как да умножим две отрицателни числа?
За съжаление е много трудно да се измисли подходящ пример от реалния живот по тази тема. Лесно е да си представим дълг от 3 или 4 долара, но е абсолютно невъзможно да си представим -4 или -3 души, които са задлъжнели.
Може би ще тръгнем по друг път. При умножение, когато знакът на един от множителите се промени, знакът на продукта се променя. Ако променим знаците и на двата фактора, трябва да променим два пъти работен знак, първо от положителен към отрицателен, а след това обратно, от отрицателен към положителен, тоест продуктът ще има начален знак.
Следователно е съвсем логично, макар и малко странно, че (-3) x (-4) = +12.
Позиция на знаккогато се умножи, се променя така:
- положително число x положително число = положително число;
- отрицателно число x положително число = отрицателно число;
- положително число x отрицателно число = отрицателно число;
- отрицателно число x отрицателно число = положително число.
С други думи, умножение на две числа с идентични знаци, получаваме положително число. Умножение на две числа с различни знаци, получаваме отрицателно число.
Същото правило важи и за действието, противоположно на умножението – за.
Можете лесно да проверите това, като стартирате операции обратно умножение. Във всеки от примерите по-горе, ако умножите частното по делителя, ще получите дивидента и ще се уверите, че има същия знак, например (-3)x(-4)=(+12).
Тъй като идва зимата, е време да помислите с какво да смените обувките на железния си кон, за да не се подхлъзнете на леда и да се чувствате уверени на леда. зимни пътища. Можете например да закупите гуми Yokohama на уебсайта: mvo.ru или някои други, основното е, че те са с високо качество, можете да намерите повече информация и цени на уебсайта Mvo.ru.
В тази статия ще се занимаваме с умножение на числа с различни знаци. Тук първо ще формулираме правилото за умножаване на положителни и отрицателни числа, ще го обосновем и след това ще разгледаме приложението на това правило при решаване на примери.
Навигация в страницата.
Правило за умножение на числа с различни знаци
Умножаването на положително число с отрицателно число, както и отрицателно число с положително число, се извършва по следния начин: правилото за умножение на числа с различни знаци: за да умножите числа с различни знаци, трябва да умножите и да поставите знак минус пред получения продукт.
Нека запишем това правило в буквена форма. За всяко положително реално число a и всяко отрицателно реално число −b, равенството a·(−b)=−(|a|·|b|) , а също и за отрицателно число −a и положително число b равенството (−a)·b=−(|a|·|b|) .
Правилото за умножение на числата с различни знаци е напълно в съответствие с свойства на операциите с реални числа. Наистина, на тяхна основа е лесно да се покаже, че за реални и положителни числа a и b верига от равенства от вида a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, което доказва, че a·(−b) и a·b са противоположни числа, което предполага равенството a·(−b)=−(a·b) . А от него следва и валидността на въпросното правило за умножение.
Трябва да се отбележи, че посоченото правило за умножение на числа с различни знаци е валидно и за двете реални числа, както за рационални числа, така и за цели числа. Това следва от факта, че операциите с рационални и цели числа имат същите свойства, които бяха използвани в горното доказателство.
Ясно е, че умножаването на числа с различни знаци според полученото правило се свежда до умножаване на положителни числа.
Остава само да разгледаме примери за прилагане на разглобеното правило за умножение при умножаване на числа с различни знаци.
Примери за умножение на числа с различни знаци
Нека да разгледаме няколко решения примери за умножение на числа с различни знаци. Да започнем с прост случай, за да се съсредоточите върху стъпките на правилата, а не върху сложността на изчисленията.
Пример.
Умножете отрицателното число −4 по положителното число 5.
Решение.
Според правилото за умножение на числа с различни знаци, първо трябва да умножим абсолютните стойности на първоначалните множители. Модулът на −4 е 4, а модулът на 5 е 5 и умножаването на естествените числа 4 и 5 дава 20. Накрая остава да поставим знак минус пред полученото число, имаме −20. Това завършва умножението.
Накратко решението може да се запише по следния начин: (−4)·5=−(4·5)=−20.
отговор:
(−4)·5=−20.
Когато умножавате дроби с различни знаци, трябва да можете да умножавате обикновени дроби, да умножавате десетични числа и техните комбинации с естествени и смесени числа.
Пример.
Умножете числа с различни знаци 0, (2) и .
Решение.
Чрез преобразуване на периодична десетична дроб в обикновена дроб, а също и чрез преобразуване от смесено число в неправилна дроб от оригиналния продукт 
ще стигнем до произведението на обикновените дроби с различни знаци на формата . Това произведение, според правилото за умножение на числа с различни знаци, е равно на . Всичко, което остава, е да умножим обикновените дроби в скоби, които имаме 
.
Обикновените дробни числа за първи път се срещат с учениците в 5-ти клас и ги придружават през целия им живот, тъй като в ежедневието често е необходимо да се разглежда или използва обект не като цяло, а на отделни части. Започнете да изучавате тази тема - споделя. Акциите са равни части, на които е разделен този или онзи обект. В края на краищата, не винаги е възможно да се изрази, например, дължината или цената на даден продукт като цяло число, трябва да се вземат предвид части или части от някаква мярка. Образувана от глагола „разделяне“ - разделяне на части и имаща арабски корени, самата дума „фракция“ възниква на руски език през 8 век.
Дробни изрази за дълго времесмятан за най-трудния дял от математиката. През 17 век, когато се появяват първите учебници по математика, те се наричат „счупени числа“, което е много трудно за разбиране от хората.
Модерна визияпрости дробни остатъци, чиито части са разделени точно хоризонтална линия, първи допринесе за Фибоначи - Леонардо от Пиза. Неговите творби са датирани от 1202 г. Но целта на тази статия е просто и ясно да обясни на читателя как се умножават смесени дроби различни знаменатели.
Умножение на дроби с различни знаменатели
Първоначално си струва да се определи видове дроби:
- правилно;
- неправилно;
- смесен.
След това трябва да запомните как се умножават дробните числа същите знаменатели. Самото правило на този процес е лесно да се формулира независимо: резултатът от умножението прости дробис еднакви знаменатели е дробен израз, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите на тези дроби. Това е по същество, нов знаменателима квадрат на един от първоначално съществуващите.
При умножаване прости дроби с различни знаменателиза два или повече фактора правилото не се променя:
а/b * в/d = а*в / b*d.
Единствената разлика е, че образувано числопод дробната линия ще бъде произведението на различни числа и, естествено, квадратът на едно числено изражениеневъзможно е да го назовем.
Струва си да разгледаме умножението на дроби с различни знаменатели, като използваме примери:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Примерите използват методи за намаляване на дробни изрази. Можете да намалите само числата на числителите с числата на знаменателите едно до друго ценни множителиНе можете да съкращавате над или под дробната черта.
Заедно с простите дробни числа, има концепция за смесени дроби. Смесеното число се състои от цяло число и дробна част, т.е. това е сумата от тези числа:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Как работи умножението?
Дадени са няколко примера за разглеждане.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Примерът използва умножение на число по обикновени дробна част , правилото за това действие може да се запише като:
а* б/c = а*б /c.
Всъщност такъв продукт е сумата от еднакви дробни остатъци и броят на членовете показва това естествено число. Специален случай:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Има друго решение за умножаване на число с дробен остатък. Просто трябва да разделите знаменателя на това число:
г* д/f = д/е: г.
Тази техника е полезна за използване, когато знаменателят е разделен на естествено число без остатък или, както се казва, на цяло число.
Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби и получете продукта по описания по-горе начин:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Този пример включва начин за представяне на смесена дроб като неправилна дроб, тя може да бъде представена и като обща формула:
а bc = а*б+ c/c, където е знаменателят нова фракциясе формира чрез умножаване на цялата част със знаменателя и добавянето му с числителя на първоначалния дробен остатък, а знаменателят остава същият.
Този процес работи и в обратна страна. За да разделите цялата част и дробния остатък, трябва да разделите числителя на неправилна дроб на нейния знаменател с помощта на „ъгъл“.
Умножение неправилни дроби произведени по общоприет начин. Когато пишете под една дробна линия, трябва да намалите дробите, ако е необходимо, за да намалите числата с помощта на този метод и да улесните изчисляването на резултата.
В интернет има много помощници за решаване дори на сложни проблеми. задачи по математикав различни варианти на програмата. Достатъчен брой такива услуги предлагат своята помощ при броене на умножение на дроби с различни числав знаменатели – т. нар. онлайн калкулатори за пресмятане на дроби. Те са способни не само да се размножават, но и да произвеждат всички останали най-прости аритметични операциис обикновени дроби и смесени числа. Лесно е да работите с него; попълнете съответните полета на страницата на сайта и изберете знака математическа операцияи щракнете върху „изчисли“. Програмата изчислява автоматично.
Предмет аритметични операциис дробни числа е от значение за цялото обучение на ученици от средни и гимназиални училища. В гимназията вече не разглеждат най-простите видове, но цяло дробни изрази , но знанията за правилата за трансформация и изчисления, получени по-рано, се прилагат в оригиналния им вид. Добре научен основни познаниядават пълно доверие на успешно решениеповечето сложни задачи.
В заключение има смисъл да цитираме думите на Лев Николаевич Толстой, който пише: „Човекът е част. Не е във властта на човека да увеличи своя числител - своите заслуги - но всеки може да намали своя знаменател - своето мнение за себе си, и с това намаляване да се доближи до своето съвършенство.
) и знаменател по знаменател (получаваме знаменателя на произведението).
Формула за умножение на дроби:
Например:
Преди да започнете да умножавате числители и знаменатели, трябва да проверите дали дробта може да бъде намалена. Ако можете да намалите фракцията, ще ви бъде по-лесно да правите допълнителни изчисления.
Деление на обикновена дроб на дроб.
Деление на дроби с естествени числа.
Не е толкова страшно, колкото изглежда. Както в случая със събирането, ние преобразуваме цялото число в дроб с единица в знаменателя. Например:
Умножение на смесени дроби.
Правила за умножение на дроби (смесени):
- преобразуване на смесени дроби в неправилни дроби;
- умножаване на числителите и знаменателите на дроби;
- намаляване на фракцията;
- Ако получите неправилна дроб, ние преобразуваме неправилната дроб в смесена дроб.
Обърнете внимание!Да се размножава смесена фракцияв друга смесена дроб, първо трябва да ги преобразувате във формата на неправилни дроби и след това да ги умножите според правилото за умножение на обикновени дроби.
Вторият начин за умножаване на дроб с естествено число.
Може да е по-удобно да използвате втория метод на умножение обикновена дробна брой.
Обърнете внимание!За да умножите дроб по естествено число, трябва да разделите знаменателя на дроба на това число и да оставите числителя непроменен.
От примера, даден по-горе, става ясно, че тази опция е по-удобна за използване, когато знаменателят на дроб е разделен без остатък на естествено число.
Многоетажни дроби.
В гимназията често се срещат триетажни (или повече) фракции. Пример:
За да приведете такава фракция в обичайната й форма, използвайте разделяне на 2 точки:
Обърнете внимание!При разделяне на дроби редът на делене е много важен. Бъдете внимателни, тук е лесно да се объркате.
Моля, обърнете внимание Например:
Когато разделяте едно на която и да е дроб, резултатът ще бъде същата дроб, само обърната:
Практически съвети за умножение и деление на дроби:
1. Най-важното при работа с дробни изрази е точността и вниманието. Правете всички изчисления внимателно и точно, съсредоточено и ясно. По-добре е да напишете няколко допълнителни реда в черновата си, отколкото да се изгубите в умствени изчисления.
2. В задачи със различни видоведроби - преминават към формата на обикновени дроби.
3. Намаляваме всички дроби, докато вече не е възможно да се намали.
4. Трансформираме многостепенни дробни изрази в обикновени, използвайки деление на 2 точки.
5. Разделете единица на дроб наум, като просто обърнете дробта.