Числов модул ае разстоянието от началото до точката А(а).
За да разберем това определение, нека заместим променливата апроизволно число, например 3 и опитайте да го прочетете отново:
Числов модул 3 е разстоянието от началото до точката А(3 ).
Става ясно, че модулът не е нищо повече от обикновено разстояние. Нека се опитаме да видим разстоянието от началото до точка A( 3 )
Разстояние от началото до точка A( 3 ) е равно на 3 (три единици или три стъпки).
Модулът на числото се означава с две вертикални линии, Например:
Модулът на числото 3 се означава по следния начин: |3|
Модулът на числото 4 се означава по следния начин: |4|
Модулът на числото 5 се означава по следния начин: |5|
Потърсихме модула на числото 3 и открихме, че е равно на 3. Така че го записваме:
Чете се като: „Модулът на числото три е три“
Сега нека се опитаме да намерим модула на числото -3. Отново се връщаме към определението и заместваме числото -3 в него. Само вместо точка Аизползваме нова точка б. Точка Авече използвахме в първия пример.
Модул на числото - 3 е разстоянието от началото до точка б(—3 ).
Разстоянието от една точка до друга не може да бъде отрицателно. Следователно, модулът на който и да е отрицателно число, като разстояние, също няма да бъде отрицателно. Модулът на числото -3 ще бъде числото 3. Разстоянието от началото до точката B(-3) също е равно на три единици:
Чете се като: „Модулът от минус три е три.“
Модулът на числото 0 е равен на 0, тъй като точката с координата 0 съвпада с началото, т.е. разстояние от началото до точката О(0)е равно на нула:
„Модулът на нула е нула“
Правим изводи:
- Модулът на числото не може да бъде отрицателен;
- За положително числои нула, модулът е равен на самото число, а за отрицателно – обратното число;
- Противоположни числаимат равни модули.
Противоположни числа
Наричат се числа, които се различават само по знаци противоположност. Например числата −2 и 2 са противоположни. Те се различават само по знаци. Числото −2 има знак минус, а 2 има знак плюс, но ние не го виждаме, защото плюс, както казахме по-рано, традиционно не се пише.
Още примери за противоположни числа:
Противоположните числа имат равни модули. Например, нека намерим модулите за −2 и 2
Фигурата показва, че разстоянието от началото до точките A(−2)И B(2)е равно на две стъпки.
Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група VKontakte и започнете да получавате известия за нови уроци
Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес имейли т.н.
Как използваме вашата лична информация:
- Събрани от нас лична информацияни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални предложения, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияза да подобрим услугите, които предоставяме и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на информация на трети лица
Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- При необходимост, в съответствие със закона, съдебна процедура, В изпитание, и/или въз основа на публични искания или искания от държавни агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.
Как използваме вашата лична информация:
- Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на информация на трети лица
Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
Цели на урока
Запознайте учениците с това математическа концепция, като модул на число;
Да научи учениците на умения за намиране на модули на числа;
Затвърдяване на научения материал чрез изпълнение на различни задачи;
Задачи
Затвърдете знанията на децата за модула на числата;
Използване на разтвора тестови задачипроверява как учениците са усвоили изучавания материал;
Продължете да внушавате интерес към уроците по математика;
Образовайте учениците логическо мислене, любопитство и постоянство.
План на урока
1. Общи понятияи дефиниране на модула на число.
2. Геометрично значениемодул.
3. Модулът на числото и неговите свойства.
4. Решаване на уравнения и неравенства, които съдържат модул на число.
5. Исторически фонотносно термина „модул на число“.
6. Задание за затвърдяване на знанията по разгледаната тема.
7. Домашна работа.
Общи понятия за модула на числото
Модулът на числото обикновено се нарича самото число, ако го няма отрицателна стойност, или същото число е отрицателно, но с обратен знак.
Тоест модулът на неотрицателното реално число a е самото число:
И модулът на отрицателно реално число x ще бъде противоположното число:
В запис ще изглежда така:
За повече достъпно разбиранеДа дадем пример. Така, например, модулът на числото 3 е 3, а също и модулът на числото -3 е 3.
От това следва, че под модул на число разбираме абсолютна стойност, тоест нея абсолютна стойност, но без да се взема предвид неговия знак. Казано по-просто, необходимо е да премахнете знака от номера.
Модулът на число може да бъде обозначен и да изглежда така: |3|, |x|, |a| и т.н.
Така, например, модулът на числото 3 се обозначава с |3|.
Също така трябва да се помни, че модулът на числото никога не е отрицателен: |a|≥ 0.
|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12,45 и т.н.
Геометрично значение на модула
Модулът на числото е разстоянието, което се измерва в единични сегменти от началото до точката. Тази дефиниция разкрива модул с геометрична точкавизия.
Нека вземем координатна права и обозначим две точки върху нея. Нека тези точки съответстват на числа като −4 и 2.
Сега нека обърнем внимание на тази фигура. Виждаме, че точка А, посочена на координатната линия, съответства на числото -4 и ако се вгледате внимателно, ще видите, че тази точка се намира на разстояние 4 единични сегмента от референтната точка 0. От това следва, че дължината на отсечката OA е равна на четири единици. В този случай дължината на сегмента OA, тоест числото 4, ще бъде модулът на числото -4.
Идентифициран и записан в в този случаймодул на числото по следния начин: |−4| = 4.
Сега нека вземем и обозначим точка B на координатната линия.
Тази точка B ще съответства на числото +2 и, както виждаме, тя се намира на разстояние два единични сегмента от началото. От това следва, че дължината на отсечката OB е равна на две единици. В този случай числото 2 ще бъде модулът на числото +2.
В записа ще изглежда така: |+2| = 2 или |2| = 2.
Сега да обобщим. Ако вземем някакво неизвестно число a и го обозначим на координатната линия като точка A, тогава в този случай разстоянието от точка A до началото, тоест дължината на сегмента OA, е точно модулът на числото „a ”.
Писмено ще изглежда така: |a| = ОА.
Модулът на числото и неговите свойства
Сега нека се опитаме да изолираме свойствата на модула, да разгледаме всички възможни случаи и да ги напишем с помощта на буквални изрази:
Първо, модулът на числото е неотрицателно число, което означава, че модулът на положително число е равен на самото число: |a| = a, ако a > 0;
Второ, модулите, които се състоят от противоположни числа, са равни: |a| = |–a|. Тоест, това свойство ни казва, че противоположните числа винаги имат еднакви модули, точно както на координатна права, въпреки че имат противоположни числа, те са на същото разстояние от референтната точка. От това следва, че модулите на тези противоположни числа са равни.
Трето, модулът на нула е равен на нула, ако това число е нула: |0| = 0, ако a = 0. Тук можем да кажем с увереност, че модулът на нула е нула по дефиниция, тъй като съответства на началото на координатната права.
Четвъртото свойство на модула е, че модулът на произведението на две числа равно на произведениетомодули на тези числа. Сега нека разгледаме по-отблизо какво означава това. Ако следваме определението, тогава вие и аз знаем, че модулът на произведението на числата a и b ще бъде равен на a b, или −(a b), ако a b ≥ 0, или – (a b), ако a b е по-голямо от 0. B записът ще изглежда така: |a b| = |a| |b|.
Петото свойство е, че модулът на частното на числата равно на отношениетомодули на тези числа: |a: b| = |a| : |b|.
И следните свойства на числовия модул:
Решаване на уравнения и неравенства, които включват модула на число
Когато започвате да решавате задачи, които имат числов модул, трябва да запомните, че за да решите такава задача, е необходимо да разкриете знака на модула, като използвате знания за свойствата, на които тази задача съответства.
Задача 1
Така например, ако под знака на модула има израз, който зависи от променлива, тогава модулът трябва да бъде разширен в съответствие с дефиницията:
Разбира се, при решаване на задачи има случаи, когато модулът се разкрива еднозначно. Ако например вземем
, тук виждаме, че такъв израз под знака за модул е неотрицателен за всякакви стойности на x и y.
Или, например, да вземем
, виждаме, че този модулен израз не е положителен за никакви стойности на z.
Задача 2
Пред вас се показва координатна линия. На този ред е необходимо да маркирате числата, чийто модул ще бъде равен на 2.
Решение
Първо, трябва да начертаем координатна линия. Вече знаете, че за да направите това, първо на правата трябва да изберете началото, посоката и единичната отсечка. След това трябва да поставим точки от началото, които са равни на разстоянието на два единични сегмента.
Както можете да видите, има две такива точки на координатната линия, едната от които съответства на числото -2, а другата на числото 2.
Исторически сведения за модула на числата
Терминът "модул" идва от латинско имемодул, което в превод означава думата „мярка“. Този термин е въведен от английския математик Роджър Коутс. Но знакът за модул беше въведен благодарение на немски математикКарл Вайерщрас. Когато е написан, модулът се обозначава със следния символ: | |.
Въпроси за консолидиране на знанията по материала
В днешния урок се запознахме с такова понятие като модула на числото и сега нека проверим как сте усвоили тази тема, като отговорите на поставените въпроси:
1. Как се нарича числото, противоположно на положително число?
2. Как се нарича числото, противоположно на отрицателно число?
3. Назовете числото, противоположно на нулата. Съществува ли такъв номер?
4. Назовете число, което не може да бъде модул на число.
5. Определете модула на число.
домашна работа
1. Пред вас има числа, които трябва да подредите в низходящ ред на модулите. Ако изпълните задачата правилно, ще разберете името на човека, който пръв въвежда термина „модул“ в математиката.
2. Начертайте координатна права и намерете разстоянието от M (-5) и K (8) до началото.
Противоположни числа– това са числа, които се различават едно от друго само по знак. Изразяване -Аозначава, че това число противоположностномер А.
Например 7 и – 7;
41 и – 41 и др.
Числото 0 е обратното на себе си!
Тоест, за да се покаже противоположни числав математиката използват знака « – ».
Чрез добавяне на знак „–“ преди положително число 5 , получаваме отрицателно число – 5 .
Чрез добавяне на знак „–“ пред отрицателно число – 5 , получаваме обратното положително число 5 , тоест – (–5) = 5.
– (–a) = a
На координатна линия точките с противоположни координати са разположени на еднакво разстояние от началото.
AO = OC
BO = OD
Числов модул
Числов модул– това е разстоянието (в единични сегменти) от началото до точката, която представлява това число на координатната права.
Точките A (– 4) и B (4) са отдалечени от началото с 4 единични отсечки, а числата – 4 и 4 имат еднакви модули, равни на 4.
Модулът на числото a се означава с | a |
Тъй като модулът е разстояние и разстоянието не може да бъде отрицателно, тогава Модулът на числото не може да бъде отрицателно число!!!
Модулът на положително число и нула е едно и също число, а модулът на отрицателно число е противоположното му число:
| a | = a, ако a ≥ 0 (ако a – неотрицателно число)
| a | = – a, ако a< 0 (если а – отрицательное число)
Изводи
Свойства на числовия модул:
- Модулът на числото не може да бъде отрицателен. Модулът на числото винаги е или положително число, или равен на 0.
- Противоположните числа имат равни модули.
| – a | = | a | = а
Пример, | – 12 | = | 12 | = 12
Решаване на уравнения (примери)
1. – x = 7
вместо -х
и 7 записваме противоположните им числа със знака „–“.
–(– x) = – 7
Нека използваме правилото, че – (–a) = a получаваме
x = – 7
2. – x = – 10
–(– x) = –(– 10)
х = 10
3. x = –(– 32)
х = 32
4. | x | = 4
x = 4 или x = – 4
Отговор: 4; – 4
5. | x | = 0
х = 0
Отговор: 0
6. | y | = – 8
модулът не може да бъде отрицателно число, което означава дадено уравнениеняма решение
Отговор: няма корени
7. | – x | = 12
Нека си спомним второто свойство на модула, това| - А| =
|А|
= а, тогава
| x | = 12
x = 12 или x = – 12
Отговор: 12; – 12
8. | y | – 2 = 12
подобни уравнения се решават като прости уравнения, само като се вземе предвид модула
| y | = 12 + 2
| y | = 14
y = 14 или y = – 14
Отговор: 14; – 14
9. 10 – 2| x | = 4
2| x | = 10 – 4
2| x | = 6
| x | = 6:2
| x | = 3
x = 3 или x = – 3
Отговор: 3; – 3
Тоест, когато решаваме уравнения, съдържащи модул, ще получим три вида отговор:
два корена (ако знакът за модул е положително число), един корен (ако е под знака за модул 0)
без корени (ако знакът за модул е отрицателно число).
Решаване на най-простите неравенства, съдържащи модул
В 5 клас решавахме примери с прости неравенства. Линейни неравенстваИма строги и нестроги.
Строги неравенства– това са неравенства със знаци по-големи от (>) или по-малки от (<).
x > a; х< a;
Нестроги неравенства– това са неравенства със знаци по-големи или равни на (≥) или по-малки или равни на (≤).
x ≥ a; x ≤ a.
Примери
1. Намерете всичко природни ценности x, за които неравенството x е вярно< 9
Решение.
Това неравенство ще бъде правилно за следните стойности на x: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8.
отговор: x = (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) – естествени решенияот това неравенство.
Забележка:
Числото 0 не е решение на това неравенство, тъй като 0 не е естествено число;
Числото 9 не е решение на това неравенство, тъй като това неравенство е строго, тоест х е строго по-малко от 9 и не може да бъде равно на 9.
2. Аудовлетворява неравенството А> 12?
Решение.
Тъй като неравенството е строго, числото 13 е най-малката естествена стойност на a, която удовлетворява това неравенство.
отговор: 13
3. Коя е най-малката естествена стойност Аудовлетворява неравенството А ≥ 12?
Решение.
Тъй като неравенството не е строго, числото 12 е най-малката естествена стойност на a, която удовлетворява това неравенство.
отговор: 12.
4. < x < 9
Решение.
Неравенството е двойно (чете се като „x е по-голямо от 2, но по-малко от 9“), строго, следователно 3; 4; 5; 6; 7; 8 – естествени решения на това двойно неравенство.
отговор: x = (3; 4; 5; 6; 7; 8)
5. Намерете всички естествени стойности на x, за които неравенство 2 е вярно< x ≤ 9.
Решение.
3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 – естествени решения на това двойно неравенство.
отговор: x = (3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)
6. Намерете всички цели числа, които удовлетворяват неравенството| x |< 5.
Решение.
| x |< 5 (читаем как «расстояние от начала отсчёта до точки изображающей х меньше 5»).
Неравенство | x |< 5 эквивалентно (също може да се напише) –5 < x < 5. Неравенство двойное, строгое, поэтому данное неравенство будет правильным при таких значениях x: –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4.
отговор: x = (–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4)
7. Намерете всички цели числа, които удовлетворяват неравенството| x | ≤ 5.
Решение.
Неравенство | x | ≤ 5 е еквивалентно на –5 ≤ x ≤ 5. Неравенството е двойно и не е строго, така че числата –5 и 5 ще бъдат включени в набора от числа, за които това неравенство ще бъде правилно. По този начин това неравенство ще бъде правилно за следните стойности на x: –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.
отговор: x = (–5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5)
8. Намерете всички цели числа, които удовлетворяват неравенството | x | > 2 и ги маркирайте на координатната права.
Решение.
Неравенство | x | > 2 е еквивалентно на x< – 2 или x >2. Нека означим на координатната права точките, чиито координати удовлетворяват това неравенство
Тъй като неравенството е строго, числата 2 и 2 не са включени в множеството от цели числа, за които това неравенство ще бъде вярно. И на координатната права ние означаваме тези точки като незащрихована точка.
отговор: x = (…–5; –4; –3; 3; 4; 5…)
9. Намерете всички цели числа, които удовлетворяват неравенството | x | ≥ 2 и ги маркирайте на координатната права.
Решение.
Неравенство | x | ≥ 2 е еквивалентно на x ≤ – 2 или x ≥ 2. Нека означим на координатната права точките, чиито координати удовлетворяват това неравенство
Тъй като неравенството не е строго, числата – 2 и 2 се включват в множеството от цели числа, за които това неравенство ще бъде правилно. И на координатната линия обозначаваме тези точки като защрихована точка.
отговор: x = (…–5; –4; –3; –2; 2; 3; 4; 5…)
10. Намерете всички цели числа, които отговарят на неравенство 1< | x | ≤ 3 и обозначте их на координатной прямой.
Решение.
Нека първо да разгледаме лявата странанеравенства. Това означава, че разстоянието от началото до точките е по-малко от 1. Помислете за дясната страна на неравенството: разстоянието от началото до същите точки е по-малко или равно на 3.
Нека начертаем тези точки върху координатната линия:
1 и – 1 не са включени в множеството от цели числа, които удовлетворяват неравенството, тъй като неравенството е строго.
3 и – 3 са включени в множеството от цели числа, които удовлетворяват неравенството, тъй като неравенството не е строго.
отговор: x = (–3; –2; 2; 3)