Производна на формула за сложна функция. Производна на сложна функция

Просто казано, това са уравнения, в които има поне една променлива в знаменателя.

Например:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)


Пример недробни рационални уравнения:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Как се решават дробни рационални уравнения?

Основното нещо, което трябва да запомните за фракцията рационални уравнения– трябва да напишете в тях. И след като намерите корените, не забравяйте да ги проверите за допустимост. В противен случай могат да се появят външни корени и цялото решение ще се счита за неправилно.


Алгоритъм за решаване на дробно рационално уравнение:

    Запишете и "решете" ODZ.

    Умножете всеки член в уравнението по общ знаменатели намалете получените фракции. Знаменателите ще изчезнат.

    Напишете уравнението, без да отваряте скобите.

    Решете полученото уравнение.

    Проверете намерените корени с ODZ.

    Запишете в отговора си корените, които са преминали теста в стъпка 7.

Не запаметявайте алгоритъма, 3-5 решени уравнения и той ще се запомни сам.


Пример . Решете дробно рационално уравнение \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Решение:

отговор: \(3\).


Пример . Намерете корените на дробното рационално уравнение \(=0\)

Решение:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\)

ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\)
\(x+5≠0 ⇔x≠-5\)
\(x^2+7x+10≠0\)
\(D=49-4 \cdot 10=9\)
\(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\)
\(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)

Записваме и „решаваме” ОДЗ.

Разгъваме \(x^2+7x+10\) в съгласно формулата: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).
За щастие вече намерихме \(x_1\) и \(x_2\).

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)

Очевидно общият знаменател на дробите е \((x+2)(x+5)\). Умножаваме цялото уравнение по него.

\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\)
\(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)

Намаляване на дроби

\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)

Отваряне на скобите

\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)

Ние представяме подобни условия

\(2x^2+9x-5=0\)


Намиране на корените на уравнението

\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)


Един от корените не отговаря на ODZ, така че в отговора пишем само втория корен.

отговор: \(\frac(1)(2)\).

§ 1 Целочислени и дробни рационални уравнения

В този урок ще разгледаме понятия като рационално уравнение, рационално изразяване, цял израз, дробен израз. Нека разгледаме решаването на рационални уравнения.

Рационалното уравнение е уравнение, в което лявата и дясната страна са рационални изрази.

Рационалните изрази са:

Дробна.

Целочисленият израз е съставен от числа, променливи, цели степени, като се използват операциите събиране, изваждане, умножение и деление с число, различно от нула.

Например:

IN дробни изразиима деление с променлива или израз с променлива. Например:

Дробният израз няма смисъл за всички стойности на променливите, включени в него. Например изразът

при x = -9 няма смисъл, тъй като при x = -9 знаменателят отива на нула.

Това означава, че рационалното уравнение може да бъде цяло или дробно.

Цялото рационално уравнение е рационално уравнение, в което лявата и дясната страна са цели изрази.

Например:

Дробно рационално уравнение е рационално уравнение, в което лявата или дясната страна са дробни изрази.

Например:

§ 2 Решение на цяло рационално уравнение

Нека разгледаме решението на цяло рационално уравнение.

Например:

Нека умножим двете страни на уравнението по най-малкия общ знаменател на знаменателите на дробите, включени в него.

За да направите това:

1. намерете общия знаменател за знаменатели 2, 3, 6. Той е равен на 6;

2. намерете допълнителен фактор за всяка дроб. За да направите това, разделете общия знаменател 6 на всеки знаменател

допълнителен фактор за дроб

допълнителен фактор за дроб

3. умножете числителите на дробите по съответните им допълнителни множители. Така получаваме уравнението

което е еквивалентно на даденото уравнение

Нека отворим скобите отляво, преместим дясната част наляво, като променим знака на термина, когато го преместим на противоположния.

Нека приведем подобни членове на полинома и получим

Виждаме, че уравнението е линейно.

След като го решим, намираме, че x = 0,5.

§ 3 Решение на дробно рационално уравнение

Нека разгледаме решаването на дробно рационално уравнение.

Например:

1. Умножете двете страни на уравнението по най-малкия общ знаменател на знаменателите на включените в него рационални дроби.

Нека намерим общия знаменател за знаменателите x + 7 и x - 1.

То е равно на техния продукт (x + 7)(x - 1).

2. Нека намерим допълнителен множител за всяка рационална дроб.

За да направите това, разделете общия знаменател (x + 7)(x - 1) на всеки знаменател. Допълнителен фактор за дроби

равно на x - 1,

допълнителен фактор за дроб

е равно на x+7.

3. Умножете числителите на дробите по съответните им допълнителни множители.

Получаваме уравнението (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), което е еквивалентно на това уравнение

4. Умножете бинома по бинома отляво и отдясно и получете следното уравнение

5. Преместваме дясната страна наляво, променяйки знака на всеки термин, когато прехвърляме към противоположния:

6. Нека представим подобни членове на полинома:

7. Двете страни могат да бъдат разделени на -1. получаваме квадратно уравнение:

8. След като го решим, ще намерим корените

Тъй като в ур.

лявата и дясната страна са дробни изрази, а в дробни изрази за някои стойности променлив знаменателможе да отиде до нула, тогава е необходимо да се провери дали общият знаменател не отива до нула, когато x1 и x2 са намерени.

При x = -27 общият знаменател (x + 7)(x - 1) не изчезва; при x = -1 общият знаменател също не е нула.

Следователно и двата корена -27 и -1 са корени на уравнението.

Когато решавате дробно рационално уравнение, е по-добре незабавно да посочите диапазона от приемливи стойности. Елиминирайте тези стойности, при които общият знаменател отива до нула.

Нека разгледаме друг пример за решаване на дробно рационално уравнение.

Например, нека решим уравнението

Разлагаме знаменателя на дробта от дясната страна на уравнението

Получаваме уравнението

Нека намерим общия знаменател за знаменателите (x - 5), x, x(x - 5).

Това ще бъде изразът x(x - 5).

Сега нека намерим обхвата на приемливите стойности на уравнението

За да направим това, приравняваме общия знаменател на нула x(x - 5) = 0.

Получаваме уравнение, решавайки което откриваме, че при x = 0 или при x = 5 общият знаменател отива към нула.

Това означава, че x = 0 или x = 5 не могат да бъдат корените на нашето уравнение.

Вече могат да бъдат намерени допълнителни множители.

Допълнителен фактор за рационални дроби

допълнителен фактор за дробта

ще бъде (x - 5),

и допълнителния множител на дробта

Умножаваме числителите по съответните допълнителни множители.

Получаваме уравнението x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Нека отворим скобите отляво и отдясно, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Нека преместим термините отдясно наляво, променяйки знака на прехвърлените термини:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

И след като приведем подобни членове, получаваме квадратно уравнение x2 - 3x - 10 = 0. След като го решим, намираме корените x1 = -2; х2 = 5.

Но вече открихме, че при x = 5 общият знаменател x(x - 5) отива на нула. Следователно коренът на нашето уравнение

ще бъде x = -2.

§ 4 Кратко резюмеурок

Важно е да запомните:

Когато решавате дробни рационални уравнения, продължете както следва:

1. Намерете общия знаменател на дробите, включени в уравнението. Освен това, ако знаменателите на дробите могат да бъдат разложени на множители, разложете ги на множители и след това намерете общия знаменател.

2. Умножете двете страни на уравнението по общ знаменател: намерете допълнителни множители, умножете числителите по допълнителни множители.

3. Решете полученото цяло уравнение.

4. Елиминирайте от корените си тези, които карат общия знаменател да изчезне.

Списък на използваната литература:

  1. Макаричев Ю.Н., Н.Г. Миндюк, Нешков К.И., Суворова С.Б. / Под редакцията на Теляковски С.А. Алгебра: учебник. за 8 клас. общо образование институции. - М.: Образование, 2013.
  2. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 клас: В две части. Част 1: Учебник. за общо образование институции. - М.: Мнемозина.
  3. Рурукин А.Н. Разработки, базирани на уроципо алгебра: 8 клас. М.: ВАКО, 2010г.
  4. Алгебра 8 клас: урочни плановепо учебника на Ю.Н. Макаричева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворова / Авт.-съст. Т.Л. Афанасиева, Л.А. Тапилина. -Волгоград: Учител, 2005.

Вече научихме как да решаваме квадратни уравнения. Сега нека разширим изучаваните методи към рационални уравнения.

Какво е рационален израз? Вече сме се сблъсквали с тази концепция. Рационални изразиса изрази, съставени от числа, променливи, техните степени и символи на математически операции.

Съответно рационалните уравнения са уравнения от вида: , където - рационални изрази.

Преди това разглеждахме само онези рационални уравнения, които могат да бъдат сведени до линейни. Сега нека разгледаме тези рационални уравнения, които могат да бъдат сведени до квадратни.

Пример 1

Решете уравнението: .

Решение:

Една дроб е равна на 0 тогава и само ако нейният числител е равен на 0 и знаменателят й не е равен на 0.

Получаваме следната система:

Първото уравнение на системата е квадратно уравнение. Преди да го решим, нека разделим всичките му коефициенти на 3. Получаваме:

Получаваме два корена: ; .

Тъй като 2 никога не е равно на 0, трябва да бъдат изпълнени две условия: . Тъй като нито един от корените на полученото по-горе уравнение не съвпада с невалидни стойностипроменливи, които са получени чрез решаване на второто неравенство, и двете са решения дадено уравнение.

отговор:.

И така, нека формулираме алгоритъм за решаване на рационални уравнения:

1. Прехвърлете всички условия на лявата страна, така че дясната страна да се окаже 0.

2. Трансформирайте и опростете лявата страна, приведете всички дроби към общ знаменател.

3. Приравнете получената дроб на 0, като използвате следния алгоритъм: .

4. Запишете онези корени, които са получени в първото уравнение и отговарят на второто неравенство в отговора.

Нека да разгледаме друг пример.

Пример 2

Решете уравнението: .

Решение

В самото начало нека преместим всички термини на лявата страна, така че 0 остава вдясно:

Сега нека приведем лявата страна на уравнението към общ знаменател:

Това уравнение е еквивалентно на системата:

Първото уравнение на системата е квадратно уравнение.

Коефициенти на това уравнение: . Изчисляваме дискриминанта:

Получаваме два корена: ; .

Сега нека решим второто неравенство: произведението на факторите не е равно на 0 тогава и само ако никой от факторите не е равен на 0.

Трябва да бъдат изпълнени две условия: . Откриваме, че от двата корена на първото уравнение само един е подходящ - 3.

отговор:.

В този урок си спомнихме какво е рационален израз и също научихме как да решаваме рационални уравнения, които се свеждат до квадратни уравнения.

В следващия урок ще разгледаме рационалните уравнения като модели на реални ситуации, а също така ще разгледаме проблемите с движението.

Референции

  1. Башмаков M.I. Алгебра 8 клас. - М.: Образование, 2004.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др., Алгебра, 8. 5-то изд. - М.: Образование, 2010.
  3. Николски С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 клас. Урок за образователни институции. - М.: Образование, 2006.
  1. Фестивал педагогически идеи "Открит урок" ().
  2. School.xvatit.com ().
  3. Rudocs.exdat.com ().

домашна работа