Интервален метод е специален алгоритъм, предназначен за решаване сложни неравенстваот формата f(x) > 0. Алгоритъмът се състои от 5 стъпки:
- Решете уравнението f(x) = 0. Така, вместо неравенство, получаваме уравнение, което е много по-лесно за решаване;
- Маркирайте всички получени корени върху координатната права. Така правата линия ще бъде разделена на няколко интервала;
- Намерете кратността на корените. Ако корените са с четна множественост, тогава начертайте цикъл над корена. (Коренът се счита за кратно, ако има четен брой еднакви решения)
- Намерете знака (плюс или минус) на функцията f(x) в най-десния интервал. За да направите това, достатъчно е да замените в f(x) всяко число, което ще бъде вдясно от всички маркирани корени;
- Маркирайте знаците на останалите интервали, като ги редувате.
След това остава само да запишем интервалите, които ни интересуват. Те се отбелязват със знак „+“, ако неравенството е във вид f(x) > 0, или със знак „−“, ако неравенството е във вид f(x)< 0.
При нестроги неравенства (≤ , ≥) е необходимо в интервалите да се включат точки, които са решение на уравнението f(x) = 0;
Пример 1:
Решете неравенство:
(x - 2) (x + 7)< 0
Работим по интервалния метод.
Стъпка 1: заменете неравенството с уравнение и го решете:
(x - 2)(x + 7) = 0
Продуктът е равен на нула тогава и само ако поне един от факторите равно на нула:
x - 2 = 0 => x = 2
x + 7 = 0 => x = -7
Имаме два корена.
Стъпка 2: Маркираме тези корени на координатната линия. Ние имаме:
Стъпка 3: намираме знака на функцията на най-десния интервал (вдясно от маркираната точка x = 2). За да направите това, трябва да вземете произволно число, което повече брой x = 2. Например, нека вземем x = 3 (но никой не забранява да вземем x = 4, x = 10 и дори x = 10 000).
f(x) = (x - 2)(x + 7)
f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10
Получаваме, че f(3) = 10 > 0 (10 е положително число), така че поставяме знак плюс в най-десния интервал.
Стъпка 4: трябва да отбележите знаците на останалите интервали. Спомняме си, че при преминаване през всеки корен знакът трябва да се промени. Например, отдясно на корена x = 2 има плюс (уверихме се в това в предишната стъпка), така че трябва да има минус отляво. Това минус се простира до целия интервал (−7; 2), така че има минус вдясно от корена x = −7. Следователно вляво от корена x = −7 има плюс. Остава да маркирате тези знаци върху координатната ос.
Нека се върнем към първоначалното неравенство, което имаше формата:
(x - 2) (x + 7)< 0
Така че функцията трябва да е по-малка от нула. Това означава, че се интересуваме от знака минус, който се появява само на един интервал: (−7; 2). Това ще бъде отговорът.
Пример 2:
Решете неравенство:
(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) ≥ 0
Решение:
Първо трябва да намерите корените на уравнението
(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) = 0
Нека свием първата скоба и да получим:
(3x - 1) 2 (x - 2) = 0
х - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0
Решавайки тези уравнения получаваме:
Нека начертаем точките на числовата права:
защото x 2 и x 3 са множество корени, тогава ще има една точка на линията и над нея “ цикъл”.
Нека вземем всяко число, по-малко от най-лявата точка, и го заместваме в първоначалното неравенство. Нека вземем числото -1.
Не забравяйте да включите решението на уравнението (намерено X), защото нашето неравенство не е строго.
отговор:
()U)