Тук предлагаме да разгледаме общ знак за съществуването на крайна граница за последователността, 
.
Определение 3.5.
Последователност 
,
, се нарича фундаментален, ако за произволно число 
има такъв номер 
това е за всички 
неравенството е в сила 
.
Дефиницията на фундаментална последователност често се използва удобно в следната форма.
Определение 3.6.
Последователност 
е основен, ако за произволно число 
има такъв номер 
това е за всички 
и всяко естествено число 
неравенството е в сила 
.
Теорема 3.13 (Критерий на Коши). За да може една последователност да се сближи, е необходимо и достатъчно тя да бъде фундаментална.
Доказателство. Необходимост.
Нека последователността 
,
, се сближава, тоест съществува
. Да изберем 
. Тогава има такъв номер 
това е за всички 
важи неравенството: 
.
Нека 
И 
, Тогава
=
,
което означава, че последователността е фундаментална.
Адекватност.
Нека последователността 
е фундаментален. Нека докажем, че се събира. Трудността се състои в намирането на такъв номер А, което е неговата граница.
Нека разделим аргумента на няколко стъпки.
а) Нека докажем, че фундаменталният характер на редицата предполага нейната ограниченост. Нека помислим ε =1, тогава има такова число п 1 че пред всички
п,
м
≥
п 1
неравенството е в сила 
. Пред всички п≥
п 1
справедливо:
.
Нека , а, тогава за всеки естествен 
неравенствата са изпълнени 
, т.е 
ограничен.
б) Да изберем естествено п.
Помислете за комплекта 
- набор от стойности на членове на последователност, чиито номера не са по-малки от избрания п. Чрез доказаното в а) множеството X 1
ограничен. И от очевидните инвестиции 
следва, че всяко от тези множества е ограничено.
в) Разгледайте две нови последователности. За тази цел за всеки комплект 
да отбележим: 
,
. От влаганията, дадени в b) следва, че последователността 
увеличава ( 
), и последователността 
намалява ( 
). Ето защо 
, тоест последователностите са монотонни и ограничени и следователно се събират. Имайте предвид също, че за всички естествени пнеравенствата са очевидни 
.
г) Нека докажем, че разликата на тези две последователности клони към нула: 
. Нека използваме условието за фундаменталност. За произволно число 
има такъв номер 
това е за всички к
≥
п ε
неравенствата са изпълнени 
. Тези неравенства ни позволяват да заключим, че
при п≥
п ε
. следователно 
.
д) Чрез доказаното в част в) последователността 
се сближава, нека 
. защото 
и след това от неравенствата 
а от лемата за двама полицаи следва, че 
. Достатъчността е доказана. Теоремата е доказана.
3.9. Последователности. Частични ограничения
Определение 3.7.
Нека 
,
, е някаква числова последователност и нека 
,
е строго нарастваща последователност от естествени числа. След това последователност от формата 
,
, се нарича подпоследователност на последователността 
.
Ако една последователност няма граница, това не изключва възможността за съществуване на граница за някаква подпоследователност.
Определение 3.8. Частична граница на последователност е границата на някаква конвергентна подпоследователност.
Пример 3.18.
Нека 
. Тази последователност се разминава (вижте раздел 3.2), но нейните подпоследователности 
И 
се събират съответно до 1 и -1. Така че тези числа са частични граници на редицата 
.
Теорема 3.14.
Нека последователността 
,
, се свежда до числото а.
Тогава всяка негова подпоследователност също се събира към а.
Доказателство.Нека 
,
, - подпоследователност на последователността 
,
. 
защото 
е строго нарастваща последователност от естествени числа, тогава 
пред всички 
(това се доказва лесно по индукция). Да изберем 
. По дефиниция на конвергенция адо 
за всички 
.Теоремата е доказана.
неравенството ще бъде изпълнено Задача 3.14
Докажете, че за сходимостта на една последователност е необходимо и достатъчно всяка от нейните подпоследователности да се събира.
Задача 3.15. 
а
И
а
Докажете това от условията 
а.
следва, че Задача 3.16.
Дайте пример за редица, която има точно десет частични граници. Задача 3.17.
Дайте пример за редица, за която всяко реално число е частична граница.
Нека разгледаме въпроса за съществуването на частични граници в случай на ограничена последователност. Теорема 3.15 (Болцано-Вайерщрас).
Доказателство.
Всяка ограничена последователност съдържа конвергентна подпоследователност. 
Поради ограничения характер на последователността, можем да посочим следните числа 
че за всеки 
неравенствата са изпълнени 
. Разделете сегмента 
наполовина. Тогава поне една половина ще съдържа безкраен брой членове на редицата. Това следва от факта, че последователността се състои от безкраен брой членове и има само две половини. Нека изберем тази половина и я означим с
, ако и двете са такива, то всяка от тях. 
След това сегмент 
Нека отново разделим наполовина и изберем половината, съдържаща безкраен брой членове на редицата. Нека го обозначим с
. Продължавайки този процес, 
, който съдържа безкрайно много членове на тази последователност. Всеки от построените сегменти се съдържа в предходния. Дължина на секцията 
равно на 
, тоест клони към нула с нарастване 
. Прилагайки лемата на Кантор върху вложени сегменти, получаваме, че последователностите 
И 
клонят към общата граница, ние го означаваме с А.
Нека сега конструираме конвергент към Аподпоследователност. като 
изберете произволен член от последователността 
съдържащи се в 
. като 
изберете такъв член на последователността 
, който се съдържа в 
и номер 
което е повече 
(тук се използва сегментът 
съдържа безкрайно много членове на редицата). Аргументирайки подобно, на
-та стъпка като 
изберете такъв член на последователността 
, който се съдържа в 
и номер 
което е повече 
. 
Нека припомним, че всеки от построените сегменти съдържа безкрайно много членове на редицата, което определя възможността за такъв избор. защото 
, А 
.Теоремата е доказана.
, тогава по лемата за двама полицаи 
Означаваме множеството от всички частични граници на последователност с
. Доказаната теорема на Болцано-Вайерщрас може да бъде преформулирана, както следва: 
всяка ограничена последователност има множество
частичните ограничения не са празни. 
Допълнително отбелязваме, че от ограничеността на редицата, съгласно теоремата за пределно преминаване в неравенства, следва, че множеството е ограничено 
. Така че има много
има прецизни горни и долни ръбове.
Определение 3.9. 
,
Нека 
, е ограничена последователност и нека 
,
е множеството от всички негови частични граници. Ценности 
.
се наричат съответно долна и горна граница на редицата 
,
От това определение не следва пряко, че числата 
принадлежат на много
, но все пак справедливо Теорема 3.16.
Доказателство.Горната и долната граница на ограничена последователност са нейните частични граници. 
Нека покажем, че има такава подпоследователност 
, Какво 
<
. защото 
, тогава по дефиниция на точната горна граница има 
от 
, за което 
. На следващо място, има 
, за което 
, и като цяло, за всеки 
ще има
.
, удовлетворяващи неравенствата: 
Тъй като всеки 
е частична граница, след това всеки квартал 
съдържа безкрайно много членове на последователност 
. На следващо място, има 
. Следователно има число 
. На следващо място, има
; 
.
има номер 
И 
Продължаване на разсъжденията, за всички
; 
.
помислете 
, отговарящи на условията
Построената по този начин подпоследователност 
.
удовлетворява неравенствата 
.Теоремата е доказана.
От доказаната теорема, в частност, следва, че няма последователност, така че множеството от всички частични граници на която да е ограничен интервал.
Ще обозначим горната и долната граница на редицата с 
И 
съответно. Като едно от характерните свойства на тези величини доказваме следната теорема.
Теорема 3.17
.
Нека 
– ограничена последователност, 
;
. Тогава за всяко положително число 
всяко от неравенствата 
И 
удовлетворява само краен набор от членове на последователността.
Доказателство.
Да приемем обратното. Нека наборът от числа 
членове на редицата, удовлетворяващи неравенството 
, безкрайно. Нека подредим тези числа в строго възходящ ред: 
След това подпоследователността 
, отговарящи на условията 
. Според теоремата на Болцано-Вайерщрас от нея може да се изолира конвергентна подпоследователност, границата 
което е повече от 
. Това е ясно 
, а това противоречи на факта, че 
- горен ръб. Полученото противоречие доказва теоремата.
Определение. Последователността (x n) се извиква фундаментален (последователност на Коши), ако за всяко e > 0 има число Нтака че за всички числа п, отговарящи на условието п>=Н, и за всяко естествено число стр(p=1,2,3...) неравенството е вярно:
|x n + p – x n |< e.
Теорема. (критерий на Коши) . За да бъде последователността (x n) конвергентна, е необходимо и достатъчно тя да бъде фундаментална.
Доказателство.
1) Необходимост. Нека x n à а. Фиксираме произволно e > 0. Тъй като последователността (x n ) се сближава до границата А, тогава за число, равно на e/2, има число Нтакъв, че пред всички п >= Н:
|x n – a|< д/2. (1)
Ако стрвсяко естествено число, тогава за всички n>=N ще бъде:
|x n + p – а| < e/2. (2)
Тъй като модулът на сумата на две числа не превишава сумата на техните модули, тогава от неравенствата (1) и (2) получаваме за всички n >= N и за всяко естествено число стрще получим:
|x n + p – x n | = |<= |x n + p – а+ | a|< | + |x n – < e, Þ |x n + p – x n |
2) e - това означава, че това е фундаментална последователност.Адекватност< 1.
. Нека сега (x n ) е фундаментална последователност. Например, за e =1 има n 1 такова, че n > n 1 и m > n 1 има |x n - x m | Фиксирайки m o > n 1 имаме |x n - xм< 1 и Þ |x n | < 1+ |xФиксирайки m o > n 1 имаме |x n - xо |
о |<= M, где M=max{|x1|,…|xn1|,1+|xФиксирайки m o > n 1 имаме |x n - xÞ |x n |
o |) за всички nÎN, т.е. (x n) – ограничено. Това означава, че според теоремата на Болцано-Вайерщрас съществува конвергентна последователност ( x n Това означава, че според теоремата на Болцано-Вайерщрас съществува конвергентна последователност (к), а k –> а.
. Нека покажем, че (x n) се свежда до
За дадено e > 0: "e > 0 $K(e)О N:
|Това означава, че според теоремата на Болцано-Вайерщрас съществува конвергентна последователност ("k>K(e) Þ а| < e;
к –
В допълнение, поради фундаменталния характер на (x n), $n e = n(e): n k ,n > n e Þ |x n – xп< e/2
к | пДа сложим пд. тогава за n > пд имаме:
|x n – a|<= |x n – xÞ |x n – xко | + |x Þ |x n – x ko – a|< e. А это и означает, что лим x n = един #
15. Две определения за граница на функция в точка и тяхната еквивалентност.
Деф.1. (според Коши). Нека е дадена функцията y=f(x): X à Y и точка ае границата за множеството X. Числото Анаречен граница на функцията y=f(x) в точкатаа , ако за всяко e > 0 е възможно да се определи d > 0 така, че за всички xÎX, удовлетворяващи неравенствата 0< |x-а| < d, выполняется |f(x) – А| < e.
Деф.2 (според Хайне). Номер Асе нарича граница на функцията y=f(x) в точката а, ако за произволна последователност (x n )Ì X, x n ¹a "nОN, сходна към а, последователността от стойности на функцията (f(x n)) се сближава с числото А.
Теорема. Определянето на границата на функция по Коши и по Хайне са еквивалентни.
Доказателство.Нека A=lim f(x) е границата на функцията y=f(x) според Коши
и (x n )Ì X, x n ¹a "nОN – последователност, сходна към а, x n à а.
Като е дадено e > 0, намираме d > 0, така че при 0< |x-а| < d, xÎX имеем |f(x) – А| < e,
и от това d намираме число n d =n(d) такова, че за n>n d имаме 0< |x n -а| < d.
Но тогава |f(x n) – А| < e, т.е. доказано, что f(x n)à А.
Нека сега числото Асега има ограничение на функцията според Хайне, но Ане е граница на Коши. Тогава има e o > 0 такова, че за всички nОN съществуват x n ОX,
0 < |x n -a| < 1/n, для которых |f(x n)-A| >= e o . Това означава, че е намерена последователността (x n )Ì X, x n ¹a "nОN, x n à атакова, че
последователност (f(x n)) не се сближава с А. #
Уникалност на лимита на функция в точка. Локална ограниченост на функция, която има краен предел. Локално запазване на знака на функция, която има нулева граница.
Теорема 1. Ако $ лим f(x) = b О Рза x à a, тогава тази граница единственият.
Доказателство: Нека не е така.
лим f(x) = b 1 и лим f(x) = b 2 за x à a. b 1 ¹b 2
"(x n )О D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 1 (дефиниция по Хайне)
"(x n )О D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 2 (дефиниция по Хайне)
За определена последователност (x n )М D(f). x n ’ à a, x n ¹ a Þ
Þ f(x n ’) à b 1 и f(x n ’)à b 2. Тогава, съгласно теоремата за уникалността на границата на редицата, b 1 =b 2. #
Деф. За функция f(x) се казва, че е локално ограничена за x à a, ако има числа d > 0 и M > 0, така че за 0< |x-a| < d, xÎX имеем |f(x)|<=M.
Теорема 1 (за локалната ограниченост). Ако функция f(x) има граница в точка a, тогава тя е локално ограничена за x à a.
Доказателство:Ако съществува lim f(x) = A за x à a, тогава, например, за e=1 съществува d>0, така че за 0< |x-a| < d, xÎX, имеем |f(x)-A| < 1, а это значит,
|f(x)|<|A|+1=M. #
Теорема 2 (за запазване на локален знак). Ако лим f(x) = A за x à a и A¹0, тогава съществува d>0 такова, че for
0 < |x-a| < d, xÎX и A>0 имаме f(x)>A/2 и при 0< |x-a| < d, xÎX и A<0 имеем
f(x)< a/2, т.е. (0 < |x-a| < d)L(xÎX) Þ |f(x)| >|A|/2.
Доказателство:Нека вземем e=|A|/2. Има d>0 такова, че за
0 < |x-a| < d, xÎX имеем
A-|A|/2 За A>0 от лявото неравенство получаваме f(x) > A/2, а за A<0 из правого неравенства получаем f(x) < A/2. # КРИТЕРИЙ НА КОШИ 1) K.K конвергенция на числова последователност: по ред за числа (реални или комплексни) xn,n=1, 2, . . ., имаше ограничение, е необходимо и достатъчно за всеки да съществува число N, такова че за всички Критерият за сходимост на числова редица се обобщава в критерий за сходимост на точки от пълна метрика. пространство. Последователност на точките (x p)пълен показател пространството се сближава тогава и само ако за някое съществува такова Н,че неравенството важи за всички 2) K.K. граница на съществуване на функции на n променливи Нека f е дефинирано върху множество от X-мерно пространство Rnи приема числови (реални или комплексни) стойности, А -гранична точка на множество X (или символ, в този случай X е неограничен). Крайна граница съществува тогава и само ако за всеки има такава U=U(а) .
точки а,че за всяко и неравенството е в сила Този критерий се обобщава за по-общи съпоставяния: нека X-топологичен А -, нейната гранична точка, в която има преброимост, Y- пълен показател интервал и f - Xв Y. (a).точки, атакуващи, че неравенството е валидно за всички X- 3) Q. за равномерна сходимост на семейство функции. Нека нейната гранична точка, в която има преброимост,някакъв комплект, топологичен пространство, което удовлетворява първата аксиома за изброимост в граничната точка, R е пълна метрика. интервал, f().
x, y топологичен пространство, което удовлетворява първата аксиома за изброимост в граничната точка, R е пълна метрика. интервал, f(),
- преобразуване на множеството Семейство от преобразувания f( U=U(преобразуване за фиксирано множество X в H, е равномерно сходно на X, ако за всяко съществува такова съседство y 0 преобразуване за фиксирано множество X в H, е равномерно сходно на X, ако за всяко съществува такова съседство).точки и всички неравенства са изпълнени нейната гранична точка, в която има преброимост,По-специално, ако че за всички и всички числа неравенството е в сила Н, 4) К. към конвергенцията на редица: числова серия се сближава тогава и само ако за всяко такова число съществува че за всяко и всички цели числа неравенството е в сила За множество серии се извиква подобен критерий за сходимост. Критерий на Коши-Щолц. Например, за да конвергирани върху правоъгълни частични суми Н,необходимо и достатъчно е да има такова нещо за всички неравенството беше изпълнено 5) Q. за равномерна конвергенция на редица: нека са функции, дефинирани на определено множество X и приемащи числени стойности. За поредицата се сближиха равномерно на снимачната площадка X,необходимо и достатъчно е такъв брой да съществува за всички Н,че за всички цели Този критерий се разпростира и върху множество серии, не само до числени серии, но също така и до серии, чиито членове принадлежат на банахови пространства, т.е. и стр(x).са преобразуване на множеството X в определен рояк. 6) Q. за конвергенцията на неправилни интеграли: нека функция f да бъде дефинирана на полуинтервал, да приема числени стойности върху него и да бъде интегрируема за всеки (Риман или Лебег) на интервала [ а, в].
За да се конвергирани, е необходимо и достатъчно за всеки да съществува такова, че за всички, които отговарят на условието, неравенството е в сила Критерият е формулиран по подобен начин за неправилни интеграли от други типове и също така е обобщен за случая, когато функцията f зависи от няколко променливи и нейните стойности лежат в банахово пространство. 7) K.K за равномерна сходимост на несобствени интеграли: нека функцията f( топологичен пространство, което удовлетворява първата аксиома за изброимост в граничната точка, R е пълна метрика. интервал, f().за всеки фиксиран къде нейната гранична точка, в която има преброимост,някои набори, дефинирани на полуинтервал, приемат числени стойности и могат да бъдат интегрирани върху всеки интервал [ а, в].
За да се се сближава равномерно в множеството Y, е необходимо и достатъчно за всяко да има такова, че за всяко удовлетворяващо условията и всички неравенства са изпълнени Този критерий се простира и до неправилни интеграли от други типове, до случая на функции на няколко променливи и до функции, чиито стойности лежат в банахови пространства. Лит.: C a u c h u A. L., Analyse algebrique, P., 1821; Stolz O., "Math. Ann.", 1884, Bd 24, S. 154-71; Dieudonne J., Основи на съвременния анализ, прев. от англ., М., 1964; Ильин В.А., Позня до Е.Г., Основи на математическия анализ, 3 изд., том 1, М., 1971, том 2, М., 1973 г.; Кудрявцев Л. Д., Курс на математическия анализ, t. .
1 - 2, М., 1981; 16] Николски С.М., Курс на математическия анализ, 2 изд., том 1-2, М., 1975; Уитакър Е. - Т., Вацон Дж. - Н., Курс на съвременния анализ, прев. от английски, 2 изд., част 1, М., 1963. Л. Д. Кудрявцев. Математическа енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. Критерият за сходимост на положителните редове (критерий на Коши) е основният критерий за сходимост на числовите редове, установен от Огюстен Коши. Положителна редица се сближава тогава и само ако последователността от нейните частични суми е ограничена отгоре... Уикипедия Критерият за стабилност на Найкуист на Михайлов е един от начините за преценка на стабилността на система за управление със затворен контур чрез фазовия отговор на отворения контур. Това е един от критериите за стабилност на честотата. Използване на този критерий за оценка на стабилността... ... Wikipedia Критерият за стабилност на Найкуист на Михайлов е един от начините за преценка на стабилността на система за управление със затворен контур чрез амплитудно-фазовия честотен спектър на нейното отворено състояние. Е един от критериите за честота... ... Wikipedia Критерият на Коши е поредица от твърдения в математическия анализ: Критерият за конвергенция на последователност (виж Фундаментална последователност), на която се основава определението за пълно пространство. Критерий за сближаване на положителните знаци... ... Wikipedia Критерият за подобие е безразмерна величина, съставена от размерни физически параметри, които определят разглежданото физическо явление. Равенството на всички критерии за сходство от един и същи тип за две физични явления и системи е необходимо и... ... Wikipedia Критерият за стабилност на Найкуист на Михайлов е един от начините за преценка на стабилността на система за управление със затворен контур чрез фазовия отговор на отворения контур. Това е един от критериите за стабилност на честотата. Използвайки този критерий, оценката на стабилността е много ... ... Wikipedia - (Ca) критерий за подобие в механиката на непрекъснатата среда, изразяващ отношението на кинетичната енергия към енергията на компресия на средата. Използва се при изследване на вибрациите на еластични тела и течението на еластични течности. Числото на Коши се изразява по следния начин: , където... ... Wikipedia Този термин има и други значения, вижте знака на Коши. Тестът за интеграл на Коши Маклорен е тест за сходимостта на намаляваща редица от положителни числа. Тестът на Коши на Maclaurin позволява да се намали проверката на сходимостта на редица до... ... Wikipedia Терминът "тест на Коши" може да се отнася до едно от следните твърдения: Радикален тест на Коши Интеграл на Маклорен Тест на Коши Критерий на Коши Вижте също теоремата на Коши ... Wikipedia Последователност (xn)удовлетворява Състояние на Коши, ако за всяко положително реално число ε > 0
съществува естествено число N ε такова, че Наричат се също и последователности, удовлетворяващи условието на Коши фундаментални последователности. Условието на Коши може да се представи в друга форма. Нека m > n.< n
,
то поменяем n
и m
местами. Случай нас не интересует, поскольку при этом неравенство (1) выполняется автоматически. Имеем: Тук p е естествено число. Тогава условието на Коши може да се формулира по следния начин: Състояние на КошиКонсистенцията удовлетворява за и всяко естествено p . Числото, което се появява в условието на Коши, зависи от ε. Тоест, това е функция на реална променлива ε, чийто диапазон е набор от естествени числа. Числото може да бъде написано и във формата , както е обичайно за означаване на функции. Доказателство на критерия на Коши за сходимост на редица при . Нека използваме свойствата на неравенствата и приложим (1.1): Тогава за всеки имаме: Къде . Необходимостта е доказана. Доказателство за достатъчност Нека последователността удовлетворява . Нека докажем, че то се свежда до крайно число. Разделяме доказателството на три части. Първо доказваме, че последователността е ограничена. След това прилагаме , според който ограничена последователност има подпоследователност, която се свежда до крайно число. И накрая, ще покажем, че цялата редица се събира към това число. Нека приложим теоремата на Болцано-Вайерщрас. Според тази теорема една ограничена последователност има подпоследователност, която се свежда до някакво крайно число a. Нека обозначим такава подпоследователност като . Нека вземем члена на конвергентната подпоследователност като член и заменим ε чрез εНека поправим n. Тогава (2.3.1) е неравенство, съдържащо последователност, в която краен брой първи членове с са изключени.Краен брой първи членове не оказват влияние върху сходимостта (вижте Влияние на краен брой членове върху сходимостта на последователност). Следователно ограничението за съкратена последователност все още е a. свойства на граници, свързани с неравенства аритметични свойства на границите , за , от (2.3.1) имаме: Критерият на Коши за сходимост на редица предполага най-общия критерий за сходимост на редица от числа. Теорема 4 (Критерий на Коши). За да може редицата от числа Y1 an да се сближи, е необходимо и достатъчно за всяко число e > O да съществува число N = N(e), така че за всяко n > N неравенството да е валидно за всички Използване на частичните суми 5P +P и Sn-\ разглежданата редица J2 в> неравенството (1) може да се запише във вида От критерия на Коши следва необходимия критерий за сходимост на числова редица. Теорема 5. Ако тестът за сравнение на сериите с положителни членове Тестът на Д'Аламберт Критерият на Коши за сходимостта на редица се сближава, тогава Приемайки в Теорема 4, получаваме неравенство, което е в сила поради произвола на число e > 0, това означава, че Следствие. Ако lim an е различно от нула или не съществува, тогава серията Пример 1. Числовата серия се разминава, тъй като Пример 2. Серията се разминава, тъй като не съществува. Коментирайте. Теорема 5 предоставя необходимо условие за сходимост на редица, но не е достатъчно, т.е. условието lim o„ = 0 може да бъде изпълнено и за дивергентна редица. Пример 3. Да разгледаме числова редица, наречена хармонична редица. За хармоничната серия необходимото условие за конвергенция е изпълнено, тъй като Използвайки критерия на Коши, показваме, че тази серия се разминава. Нека сложим p-n. Тогава полученото неравенство е изпълнено за произволно голямо n. От това следва, че за e ^ 5 и p = n неравенството (1) не е валидно. Така, поради критерия на Коши, хармоничната серия се разминава. Важна забележка. В известен смисъл редицата е обобщение на крайна сума. Въпреки това, за разлика от последния, термините, в които могат да бъдат групирани и пренаредени напълно произволно, поради което сумата, както знаем, не се променя, действията с членове на произволна серия трябва да се извършват внимателно - последствията може да не винаги бъдете предвидими. Ако в дивергентна серия (необходимият критерий за сходимост не е изпълнен) групираме съседни групи по двойки, тогава получаваме конвергентна редица. всякакъв брой и дори се разминава. По-специално, серията, получена чрез пренареждане на нейните членове, се сближава до половината от сумата на първоначалната (пример от § 9). Показателен е фактът, че в тези примери членовете на реда имат различни знаци. Теорема 6 (сравнителен тест). Нека са дадени две серии, чиито членове an и 6„ са положителни. Ако неравенството е в сила за всички числа n, то от сходимостта на реда Y1 6n следва сходимостта на реда an, а от дивергенцията на реда Y1 On следва дивергенцията на реда Y1 6„. M Нека съставим частични суми от редове (1) и (2) От условие (3) на теоремата следва, че 5П ^ Sn за всички 1) Да приемем, че ред (2) се събира, т.е. има граница на неговите n-ти частични сборове Така че, тъй като всички членове на тези редове са положителни, тогава, поради неравенство (3), следва, че По този начин всички частични суми 5P на ред (1) са ограничени и нарастват с нарастване на n, тъй като. Следователно последователността от частични суми е сходна, което означава сходимост на редицата an. В този случай при преминаване към границата в неравенството получаваме, че По силата на неравенството получаваме Сравнителен тест за редица с положителни членове D. „Тест на Аламберт Тест на Коши Критерий на Коши за сходимостта на редицата, т.е. серия bn се разминава. Коментирайте. Теорема 6 остава валидна в случая, когато неравенството an ^ bn е изпълнено не за всички n, а само като се започне от определено число A:, тоест за всички n ^ Jfc, тъй като промяната на крайния брой членове на серията прави не нарушава конвергенцията му. Примери. Проверете следната серия за конвергенция: Имаме Тъй като числовата серия се сближава, тогава при сравнение оригиналната серия (4) също се сближава. ) също се разминава. I Теорема 6 остава валидна в случай на по-общо неравенство Пример 3. Изследвайте ред 4 за сходимост Използвайки неравенството sin x ^ x, което е валидно за всички, ние откриваме, че тъй като редът се сближава чрез сравнение (тук A = y) тази редица (5) също се сближава: Ако има крайна ненулева граница, тогава сериите (1) и (2) се сближават или се разминават едновременно. От съществуването на горната граница следва, че за всяко число e > O, има число N. такова, че за всички n > N неравенството или Следователно Ако серията (2) се сближава, тогава серията се сближава. Но оттогава, по силата на теорема 6, серията (. 1) също ще се сближи, ако серията (2) се разминава, а серията (e се счита за толкова малка, че. Тъй като n е за всички, съгласно теорема 6, ред (1) се разминава. Коментирайте. Условието на лемата е еквивалентно на факта, че последователностите сс и Lbn at са еквивалентни или, което е същото, в случай I = 0, сходимостта на ред (2) предполага сходимост на ред (1). Обратното не е вярно. В случай на L = +oo, дивергенцията на серия (1) предполага дивергенция на серия (2). Обратното не е вярно. Примери. Разгледайте следната числова серия за сходимост: 4 Нека сравним тази серия с хармоничната серия. Тъй като хармоничната серия се разминава, тази серия също се разминава. Тогава оригиналната серия се събира. §5. Тест на D'Alembert oo Теорема 7 (тест на D'Alembert). Нека е дадена серия an, където всички an > 0. Ако съществува n =\ граница, тогава серията се събира и се разминава.4 Нека съществува граница, където Вземете q такава, че. Тогава за произволно число, например за e = , има такова число N, че за всички n ^ N неравенството ще се проведе. По-специално ще имаме откъде за всички От това неравенство, давайки последователно стойностите на n N, ние получаваме Членовете на серията не надвишават съответните членове на серията, която се сближава като серия, съставена от членове на геометрична прогресия със знаменател. За сравнение, серията се сближава, което означава, че оригиналната серия an също се сближава , В случай, че започва от определено число N, неравенството ще бъде изпълнено, или Следователно, се разминава, тъй като необходимото - знак за конвергенция. Коментирайте. Ако или не съществува, тогава тестът на Д’Аламбер не дава отговор относно конвергенцията или дивергенцията на реда. Примери. Разгледайте следната серия за сходимост: За дадена серия имаме Сравнителен тест за серии с положителни членове Тест на Д'Аламбер Тест на Коши Критерий на Коши за сходимост на редица Чрез теста на Д'Аламбер серията се сближава.
извършено 
За да има граница U=Uнеобходимо и достатъчно е да има квартал за всички 
това е за всички
набор от естествени числа и Н,тогава последователността се сближава равномерно в множеството X тогава и само ако за всяко съществува такова число
че с всички и всеки цял
че с всички и всеки цял 
И. М. Виноградов.
Книги
(1)
|x n - x m |< ε
при n >N ε, m > N ε.
;
.
Ако m
(2)
, ако за всеки има естествено число такова, чеКритерий на Коши за сходимост на последователност
За да има една последователност краен предел, е необходимо и достатъчно тя да удовлетворява условието на Коши.
.
Доказателство за необходимост
(1.1)
Нека последователността се сближава до крайна граница a:
Това означава, че има някаква функция, така че за всяко важат следните неравенства:
Нека последователността се сближава до крайна граница a:
Вижте Определение за ограничение на последователността.
.
Нека покажем, че последователността удовлетворява . За да направим това, трябва да намерим функция, така че за всяко , да са изпълнени следните неравенства:
Последното неравенство е валидно за .
Нека го заменим с.в ,
(2.1.1)
Нека последователността се сближава до крайна граница a:
;
;
;
;
.
Това показва, че за условията на последователността са ограничени. Тъй като за , има само краен брой членове, тогава цялата последователност е ограничена.
.
Тогава
Нека последователността се сближава до крайна граница a:
Нека покажем, че цялата редица се свежда до числото a. 1
Тъй като последователността удовлетворява , има някаква функция, за която са валидни следните неравенства за всяко: /2
:
(2.3.1)
Нека последователността се сближава до крайна граница a:
Нека последователността се сближава до крайна граница a:
Кандидатстване
Нека последователността се сближава до крайна граница a:
Нека последователността се сближава до крайна граница a:
И
Нека използваме очевидното неравенство: .