جدول دائرة الأرقام على دائرة الإحداثيات. حماية المعلومات الشخصية

دائرة الأرقامهي دائرة الوحدة التي تتوافق نقاطها مع أرقام حقيقية معينة.

دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها 1.

منظر عام لدائرة الأعداد.

1) يؤخذ نصف القطر كوحدة قياس.

2) يتم تقسيم الأقطار الأفقية والرأسية دائرة الرقمبمقدار أربعة أرباع (انظر الصورة). ويطلق عليهم على التوالي الربع الأول والثاني والثالث والرابع.

3) يُشار إلى القطر الأفقي بالرمز AC، وتكون النقطة A أقصى اليمين.
يُشار إلى القطر العمودي بـ BD، حيث تكون النقطة B هي أعلى نقطة.
على التوالى:

الربع الأول هو القوس AB

الربع الثاني – قوس قبل الميلاد

الربع الثالث - قرص مضغوط القوس

الربع الرابع - قوس DA

4) نقطة بداية دائرة الأعداد هي النقطة أ.

يمكن إجراء العد على طول دائرة الأرقام إما في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة.
يسمى العد من النقطة A عكس اتجاه عقارب الساعة اتجاه إيجابي.
يسمى العد من النقطة A في اتجاه عقارب الساعة الاتجاه السلبي.

دائرة الرقم على مستوى الإحداثيات.

يتوافق مركز نصف قطر دائرة الأرقام مع الأصل (رقم 0).

القطر الأفقي يتوافق مع المحور س، عمودي – محاور ذ.

نقطة البداية A لدائرة الأعداد تقع على المحور سولها إحداثيات (1؛ 0).

قيمسوذفي أرباع دائرة الأرقام:

القيم الأساسية لدائرة الأرقام:

أسماء ومواقع النقاط الرئيسية على دائرة الأعداد:

كيف تتذكر أسماء دوائر الأرقام

هناك العديد من الأنماط البسيطة التي ستساعدك على تذكر الأسماء الأساسية لدائرة الأرقام بسهولة.

قبل أن نبدأ، دعونا نذكرك: يتم العد في الاتجاه الإيجابي، أي من النقطة A (2π) عكس اتجاه عقارب الساعة.

1) لنبدأ مع النقاط المتطرفةعلى محاور الإحداثيات.

نقطة البداية هي 2π (أقصى اليمين على المحور X، يساوي 1).

كما تعلم، 2π هو محيط الدائرة. هذا يعني أن نصف الدائرة هو 1π أو π. محور Xيقسم الدائرة إلى النصف بالضبط. وبناء على ذلك، أقصى نقطة على اليسار على المحور Xيساوي -1 يسمى π.

أعلى نقطة على المحور في، يساوي 1، يقسم نصف الدائرة العلوي إلى نصفين. هذا يعني أنه إذا كان نصف الدائرة هو π، فإن نصف نصف الدائرة هو π/2.

وفي الوقت نفسه، π/2 هو أيضًا ربع الدائرة. لنعد ثلاثة أرباع من الأول إلى الثالث - وسنصل إلى أدنى نقطة على المحور في، يساوي -1. أما إذا كان يشتمل على ثلاثة أرباع، فإن اسمه 3ط/2.

2) الآن دعنا ننتقل إلى النقاط المتبقية. يرجى ملاحظة: جميع النقاط المتقابلة لها نفس البسط - وهذه نقاط متقابلة بالنسبة للمحور في، سواء بالنسبة إلى مركز المحاور، أو بالنسبة إلى المحور X. سيساعدنا هذا في معرفة قيم نقاطهم دون حشو.

ما عليك سوى أن تتذكر معنى نقاط الربع الأول: π/6، π/4 وπ/3. وبعد ذلك سوف "نرى" بعض الأنماط:

- نسبة إلى المحور yعند نقاط الربع الثاني، مقابل نقاط الربع الأول، تكون الأرقام في البسط أقل بمقدار 1 من حجم المقامات. على سبيل المثال، خذ النقطة π/6. النقطة المقابلة لها بالنسبة للمحور فيلديه أيضًا 6 في المقام و5 في البسط (1 أقل). أي أن اسم هذه النقطة هو: 5π/6. النقطة المقابلة لـ π/4 لها أيضًا 4 في المقام و3 في البسط (1 أقل من 4) - أي أنها نقطة 3π/4.
النقطة المقابلة لـ π/3 لها أيضًا 3 في المقام، و1 أقل في البسط: 2π/3.

- نسبة إلى مركز محاور الإحداثياتكل شيء هو العكس: الأرقام في بسط النقاط المقابلة (في الربع الثالث) بمقدار 1 قيمة أكبرالقواسم. لنأخذ النقطة π/6 مرة أخرى. النقطة المقابلة لها بالنسبة للمركز لديها أيضًا 6 في المقام، وفي البسط يكون الرقم أكبر بمقدار 1 - أي 7π/6.

النقطة المقابلة للنقطة π/4 لها أيضًا 4 في المقام، وفي البسط يكون الرقم 1 إضافي: 5π/4.
النقطة المقابلة للنقطة π/3 لها أيضًا 3 في المقام، وفي البسط يكون الرقم 1 إضافي: 4π/3.

- نسبة إلى المحور X(الربع الرابع)الأمر أكثر تعقيدًا. هنا تحتاج إلى إضافة رقم أقل بمقدار 1 إلى قيمة المقام - سيكون هذا المجموع مساوياً للجزء الرقمي من البسط نقطة معاكسة. لنبدأ مرة أخرى مع π/6. لنضيف إلى قيمة المقام التي تساوي 6 رقمًا أقل من هذا الرقم بمقدار 1 - أي 5. نحصل على: 6 + 5 = 11. وهذا يعني أنه مقابل للمحور Xسيكون للنقطة 6 في المقام و11 في البسط - أي 11π/6.

النقطة π/4. نضيف إلى قيمة المقام رقما أقل 1: 4 + 3 = 7. وهذا يعني أنه مقابل للمحور Xتحتوي النقطة على 4 في المقام و7 في البسط - أي 7π/4.
النقطة π/3. المقام هو 3. أضف إلى 3 واحدًا عدد أصغر- أي 2. نحصل على 5. وهذا يعني أن النقطة المقابلة لها لديها 5 في البسط - وهذه هي النقطة 5π/3.

3) نمط آخر لنقاط منتصف الأرباع. من الواضح أن مقامهم هو 4. دعونا ننتبه إلى البسطين. بسط منتصف الربع الأول هو 1π (لكن ليس من المعتاد كتابة 1). بسط منتصف الربع الثاني هو 3π. بسط منتصف الربع الثالث هو 5π. بسط منتصف الربع الرابع هو 7π. اتضح أن بسط الأرباع الوسطى تحتوي على الأعداد الأربعة الفردية الأولى بترتيب تصاعدي:
(1)ط، 3ط، 5ط، 7ط.
وهذا أيضًا بسيط جدًا. وبما أن نقاط المنتصف لجميع الأرباع تحتوي على 4 في المقام، فإننا نعرفها بالفعل الأسماء الكاملة: π/4، 3π/4، 5π/4، 7π/4.

مميزات دائرة الأعداد. المقارنة مع خط الأعداد.

كما تعلمون، على خط الأعداد، كل نقطة تتوافق مع المفرد. على سبيل المثال، إذا كانت النقطة A على الخط تساوي 3، فلا يمكن أن تساوي أي رقم آخر.

الأمر مختلف على دائرة الأعداد لأنها دائرة. على سبيل المثال، من أجل الانتقال من النقطة A من الدائرة إلى النقطة M، يمكنك القيام بذلك كما لو كنت على خط مستقيم (تمرير قوس فقط)، أو يمكنك الالتفاف حول دائرة كاملة، ثم الوصول إلى النقطة M. خاتمة:

دع النقطة M تساوي عددا ما. كما نعلم، محيط الدائرة هو 2π. هذا يعني أنه يمكننا كتابة نقطة على الدائرة t بطريقتين: t أو t + 2π. هذه قيم متكافئة.
أي أن t = t + 2π. الفرق الوحيد هو أنك في الحالة الأولى وصلت إلى النقطة M فورًا دون عمل دائرة، وفي الحالة الثانية قمت بعمل دائرة، ولكن انتهى بك الأمر عند نفس النقطة M. يمكنك عمل مئتين أو ثلاث أو مائتين من هذا القبيل دوائر. إذا قمنا بالإشارة إلى عدد الدوائر بالحرف ك، ثم نحصل على تعبير جديد:
ر = ر + 2π ك.

ومن هنا الصيغة:

معادلة الدائرة العددية
(المعادلة الثانية موجودة في قسم "جيب التمام، جيب التمام، الظل، ظل التمام"):

س 2 + ص 2 = 1

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقوم بتقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد إلكترونيإلخ.

كيف نستخدم معلوماتك الشخصية:

• تم جمعها من قبلنا معلومات شخصيةيسمح لنا بالاتصال بك وإبلاغك بذلك عروض فريدة من نوعهاوالترقيات وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية مثل التدقيق وتحليل البيانات و دراسات مختلفةمن أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر، وفقا للقانون، الإجراء القضائي، ف محاكمةو/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات الواردة من الوكالات الحكوميةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الخلف المعني.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

في هذه المقالة سوف نقوم بتحليل تعريف دائرة الأرقام بتفصيل كبير، ومعرفة خصائصها الرئيسية وترتيب الأرقام 1،2،3، وما إلى ذلك. تعرف على كيفية وضع علامة على أرقام أخرى على دائرة (بما في ذلك pi).

دائرة الأرقام تسمى دائرة وحدة نصف القطر التي تتوافق نقاطها ، مرتبة حسب القواعد التالية:

1) نقطة الأصل في أقصى يمين الدائرة؛

2) عكس اتجاه عقارب الساعة - الاتجاه الإيجابي؛ في اتجاه عقارب الساعة - سلبي.

3) إذا رسمنا المسافة \(t\) على الدائرة في الاتجاه الموجب، فسنصل إلى نقطة قيمتها \(t\)؛

4) إذا رسمنا المسافة \(t\) على الدائرة في الاتجاه السلبي، فسنصل إلى نقطة قيمتها \(–t\).

لماذا سميت الدائرة بدائرة الأعداد؟
لأنه يحتوي على أرقام. بهذه الطريقة، تكون الدائرة مشابهة لمحور الأرقام - على الدائرة، كما هو الحال على المحور، هناك نقطة محددة لكل رقم.

لماذا تعرف ما هي دائرة الأرقام؟
باستخدام دائرة الأعداد، يتم تحديد قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام. لذلك، لمعرفة علم المثلثات و اجتياز امتحان الدولة الموحدةللحصول على أكثر من 60 نقطة، يجب أن تفهم ما هي دائرة الأرقام وكيفية وضع النقاط عليها.

ماذا تعني عبارة "...من وحدة نصف القطر..." في التعريف؟
وهذا يعني أن نصف قطر هذه الدائرة يساوي \(1\). وإذا بنينا مثل هذه الدائرة التي مركزها نقطة الأصل فإنها ستتقاطع مع المحورين عند النقطتين \(1\) و\(-1\).

ليس من الضروري رسمها بشكل صغير؛ يمكنك تغيير "حجم" الأقسام على طول المحاور، ثم ستكون الصورة أكبر (انظر أدناه).

لماذا نصف القطر واحد بالضبط؟ وهذا أكثر ملاءمة، لأنه في هذه الحالة، عند حساب المحيط باستخدام الصيغة \(l=2πR\)، نحصل على:

طول دائرة الأعداد هو \(2π\) أو \(6.28\) تقريبًا.

ماذا تعني عبارة "... التي تتوافق نقاطها مع الأعداد الحقيقية"؟
كما ذكر أعلاه، على دائرة الأرقام لأي رقم حقيقيسيكون هناك بالتأكيد "مكانه" - النقطة التي تتوافق مع هذا الرقم.

لماذا تحديد الأصل والاتجاه على دائرة الأعداد؟
الهدف الرئيسيدائرة الأرقام - كل رقم يحدد نقطته بشكل فريد. ولكن كيف يمكنك تحديد مكان وضع النقطة إذا كنت لا تعرف من أين تعد ومن أين تتحرك؟

من المهم هنا عدم الخلط بين الأصل على خط الإحداثيات وعلى دائرة الأرقام - فهذان اثنان أنظمة مختلفةالعد التنازلي! ولا تخلط أيضًا بين \(1\) على المحور \(x\) و\(0\) على الدائرة - فهذه نقاط على كائنات مختلفة.

ما هي النقاط التي تتوافق مع الأرقام \(1\) و\(2\) وما إلى ذلك؟
تذكر أننا افترضنا أن دائرة الأعداد يبلغ نصف قطرها \(1\)؟ ستكون هذه هي قطعة الوحدة الخاصة بنا (قياسًا على محور الأعداد)، والتي سنرسمها على الدائرة.

لتحديد نقطة على دائرة الأرقام المقابلة للرقم 1، عليك الانتقال من 0 إلى مسافة تساوي نصف القطر في الاتجاه الإيجابي.

لتحديد نقطة على الدائرة المقابلة للرقم \(2\)، تحتاج إلى قطع مسافة تساوي نصف قطرين من نقطة الأصل، بحيث يكون \(3\) مسافة تساوي ثلاثة أنصاف أقطار، وما إلى ذلك.

عند النظر إلى هذه الصورة، قد يكون لديك سؤالين:
1. ماذا يحدث عندما "تنتهي" الدائرة (أي نقوم بدورة كاملة)؟
الجواب: دعنا نذهب للجولة الثانية! وعندما ننتهي من الجزء الثاني، سننتقل إلى الجزء الثالث، وهكذا. لذلك، على الدائرة يمكنك التقديم عدد لا نهائيأرقام.

2. أين سيكونون؟ أرقام سلبية?
الجواب: هناك حق! ويمكن أيضًا ترتيبها عن طريق حساب العدد المطلوب من أنصاف الأقطار من الصفر، ولكن الآن في اتجاه سلبي.

لسوء الحظ، من الصعب الإشارة إلى الأعداد الصحيحة في دائرة الأعداد. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن طول دائرة الأعداد لن يساوي عددًا صحيحًا: \(2π\). وفي غاية أماكن مريحة(عند نقاط التقاطع مع المحاور) لن تكون هناك أيضًا أعداد صحيحة، بل كسور

درس وعرض حول موضوع: "دائرة الأرقام على المستوى الإحداثي"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الأدلة وأجهزة المحاكاة في متجر Integral عبر الإنترنت للصف العاشر من 1C
مسائل جبرية مع المعلمات، الصفوف 9-11
نحن نحل المشاكل في الهندسة. مهام البناء التفاعلية للصفوف 7-10

ما سوف ندرسه :
1. التعريف.
2. إحداثيات مهمة لدائرة الأعداد.
3. كيف تجد إحداثيات دائرة الأرقام؟
4. جدول الإحداثيات الرئيسية لدائرة الأرقام.
5. أمثلة على حل المشكلات.

تعريف دائرة الأعداد على المستوى الإحداثي

لنضع دائرة الأرقام في المستوى الإحداثي بحيث يتطابق مركز الدائرة مع أصل الإحداثيات، ويُؤخذ نصف قطرها كقطعة وحدة. تتم محاذاة نقطة البداية لدائرة الأرقام A مع النقطة (1؛0).

كل نقطة على دائرة الأعداد لها إحداثيات x وy الخاصة بها في المستوى الإحداثي، و:
1) لـ $x > 0$، $y > 0$ - في الربع الأول؛
2) مقابل $x 0$ - في الربع الثاني؛
3) لـ $x 4) لـ $x > 0$، $y
بالنسبة لأي نقطة $M(x; y)$ على دائرة الأرقام، يتم تحقيق المتباينات التالية: $-1
تذكر معادلة دائرة الأعداد: $x^2 + y^2 = 1$.

من المهم بالنسبة لنا أن نتعلم كيفية إيجاد إحداثيات النقاط الموجودة على دائرة الأعداد الموضحة في الشكل.

لنجد إحداثيات النقطة $\frac(π)(4)$

النقطة $M(\frac(π)(4))$ هي منتصف الربع الأول. دعونا نسقط MR المتعامد من النقطة M إلى الخط المستقيم OA ونأخذ في الاعتبار المثلث OMP بما أن القوس AM نصف القوس AB، فإن $∠MOP=45°$.
إذن المثلث OMP متساوي الساقين المثلث الأيمنو$OP=MP$، أي عند النقطة M يكون الإحداثي والإحداثي متساويين: $x = y$.
بما أن إحداثيات النقطة $M(x;y)$ تلبي معادلة دائرة الأعداد، فللعثور عليها عليك حل نظام المعادلات:
$\begin (الحالات) x^2 + y^2 = 1,\\ x = y. \النهاية (الحالات)$
بعد أن قررت هذا النظام، نحصل على: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
وهذا يعني أن إحداثيات النقطة M، المقابلة للرقم$\frac(π)(4)$، سيكون $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))(2);\frac(\sqrt(2)) (2))$.
يتم حساب إحداثيات النقاط الموضحة في الشكل السابق بطريقة مماثلة.

إحداثيات النقاط على دائرة الأعداد

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة

مثال 1.
أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الأعداد: $P(45\frac(π)(4))$.

حل:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
هذا يعني أن الرقم $45\frac(π)(4)$ يتوافق مع نفس النقطة على دائرة الأرقام مثل الرقم $\frac(5π)(4)$. بالنظر إلى قيمة النقطة $\frac(5π)(4)$ في الجدول، نحصل على: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

مثال 2.
أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الأعداد: $P(-\frac(37π)(3))$.

حل:

لأن الأرقام $t$ و $t+2π*k$، حيث k عدد صحيح، تتوافق مع نفس النقطة على دائرة الأعداد، ثم:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
هذا يعني أن الرقم $-\frac(37π)(3)$ يتوافق مع نفس النقطة على دائرة الأرقام مثل الرقم $–\frac(π)(3)$، والرقم –$\frac(π) (3)$ يتوافق مع نفس النقطة $\frac(5π)(3)$. بالنظر إلى قيمة النقطة $\frac(5π)(3)$ في الجدول، نحصل على:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

مثال 3.
ابحث عن النقاط على دائرة الأعداد ذات الإحداثية $y =\frac(1)(2)$ واكتب الأرقام $t$ التي تتوافق معها؟

حل:
يتقاطع الخط المستقيم $y =\frac(1)(2)$ مع دائرة الأرقام عند النقطتين M وP. وتتوافق النقطة M مع الرقم $\frac(π)(6)$ (من بيانات الجدول). هذا يعني أي رقم بالشكل: $\frac(π)(6)+2π*k$. النقطة P تقابل الرقم $\frac(5π)(6)$، وبالتالي أي رقم على الصورة $\frac(5π)(6) +2 π*k$.
لقد تلقينا، كما يقال غالبًا في مثل هذه الحالات، سلسلتين من القيم:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ و $\frac(5π)(6) +2π*k$.
الإجابة: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ و $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

مثال 4.
ابحث عن النقاط في دائرة الأعداد التي تحتوي على الإحداثي الإحداثي $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ واكتب الأرقام $t$ التي تتوافق معها.

حل:

الخط المستقيم $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ يتقاطع مع دائرة الأعداد عند النقطتين M وP. والمتباينة $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ تقابل إلى نقاط القوس PM. النقطة M تتوافق مع الرقم $3\frac(π)(4)$ (من بيانات الجدول). هذا يعني أي رقم على شكل $-\frac(3π)(4) +2π*k$. النقطة P تقابل الرقم $-\frac(3π)(4)$، وبالتالي أي رقم على الصورة $-\frac(3π)(4) +2π*k$.

ثم نحصل على $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≥t≥\frac(3π)(4) +2πk$.

الإجابة: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≥t≥\frac(3π)(4) +2πk$.

مشاكل لحلها بشكل مستقل

1) أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الأعداد: $P(\frac(61π)(6))$.
2) أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الأعداد: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) ابحث عن النقاط على دائرة الأعداد ذات الإحداثية $y = -\frac(1)(2)$ واكتب الأرقام $t$ التي تتوافق معها.
4) ابحث عن النقاط على دائرة الأعداد ذات الإحداثي $y ≥ -\frac(1)(2)$ واكتب الأرقام $t$ التي تتوافق معها.
5) ابحث عن النقاط على دائرة الأعداد التي تحتوي على الإحداثي الإحداثي $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ واكتب الأرقام $t$ التي تتوافق معها.

يتم تخصيص الكثير من الوقت لدائرة الأرقام في الصف العاشر. هذا يرجع إلى أهمية هذا كائن رياضيلكامل دورة الرياضيات.

قيمة عظيمة ل امتصاص جيدالمواد لديها الاختيار الصحيح للوسائل التعليمية. وتشمل هذه الأدوات الأكثر فعالية دروس الفيديو. في مؤخرايصلون إلى ذروة الشعبية. لذلك، لم يتخلف المؤلف عن الزمن وقام بتطوير مثل هذا الدليل الرائع لمساعدة معلمي الرياضيات - درس فيديو حول موضوع "دائرة الأرقام على المستوى الإحداثي".

يستمر هذا الدرس 15:22 دقيقة. انها عمليا الحد الأقصى للوقتوالتي يمكن للمدرس أن ينفق عليها بشكل مستقل في شرح المادة المتعلقة بالموضوع. نظرا لأن شرح المواد الجديدة يستغرق الكثير من الوقت، فمن الضروري اختيار المهام والتمارين الأكثر فعالية للتوحيد، وكذلك تحديد درس آخر حيث سيقوم الطلاب بحل المهام حول هذا الموضوع.

يبدأ الدرس بصورة دائرة أرقام في نظام الإحداثيات. يبني المؤلف هذه الدائرة ويشرح أفعاله. ثم يقوم المؤلف بتسمية نقاط تقاطع دائرة الأعداد مع محاور الإحداثيات. يوضح ما يلي إحداثيات نقاط الدائرة في الأرباع المختلفة.

بعد ذلك، يذكرك المؤلف كيف تبدو معادلة الدائرة. ويعرض على المستمعين نموذجين يصوران بعض النقاط على الدائرة. بفضل هذا، على الخطوة التاليةيوضح المؤلف كيفية العثور على إحداثيات النقاط على الدائرة المقابلة لها أرقام معينةتم وضع علامة على القوالب. ينتج عن ذلك جدول قيم للمتغيرين x و y في معادلة الدائرة.

بعد ذلك، نقترح النظر في مثال حيث يكون من الضروري تحديد إحداثيات النقاط على الدائرة. وقبل البدء في حل المثال تم تقديم بعض الملاحظات التي تساعد في حله. ومن ثم يظهر على الشاشة حل كامل ومنظم بشكل واضح ومصور. توجد أيضًا جداول هنا تسهل فهم جوهر المثال.

ثم يتم النظر في ستة أمثلة أخرى، وهي أقل كثافة في العمل من الأول، ولكنها لا تقل أهمية وانعكاسا الفكرة الرئيسيةدرس. هنا يتم عرض الحلول في بالكامل، مع قصة مفصلةومع عناصر الوضوح. أي أن الحل يحتوي على رسومات توضح تقدم الحل، و التدوين الرياضي، تشكيل المعرفة الرياضية لدى الطلاب.

قد يقتصر المعلم على الأمثلة التي تمت مناقشتها في الدرس، ولكن هذا قد لا يكون كافيا لتعلم المواد عالية الجودة. لذلك، فإن اختيار المهام التي يجب تعزيزها أمر في غاية الأهمية.

يمكن أن يكون الدرس مفيدا ليس فقط للمعلمين، الذين يكون وقتهم محدودا باستمرار، ولكن أيضا للطلاب. وخاصة أولئك الذين يتلقون التربية الأسريةأو يشارك في التعليم الذاتي. يمكن استخدام المواد من قبل الطلاب الذين فاتتهم درس حول هذا الموضوع.

فك تشفير النص:

موضوع درسنا هو "الدائرة الرقمية على المستوى الإحداثي"

نحن بالفعل على دراية بنظام الإحداثيات المستطيل الديكارتي xOy (x o y). في نظام الإحداثيات هذا، سنضع دائرة الأرقام بحيث يكون مركز الدائرة محاذيًا لأصل الإحداثيات، وسيتم أخذ نصف قطرها كقطعة مقياس.

يتم دمج نقطة البداية A لدائرة الأرقام مع نقطة ذات إحداثيات (1;0)، وB - مع نقطة (0;1)، وC - مع (-1;0) (ناقص واحد، صفر)، وD - مع (0؛ - 1)(صفر، ناقص واحد).

(انظر الشكل 1)

نظرًا لأن كل نقطة في دائرة الأرقام لها إحداثياتها الخاصة في نظام xOy (x o y)، فبالنسبة لنقاط الربع الأول yx أكبر من الصفر وy أكبر من الصفر؛

ثانيا، ikx أقل من الصفر و yk أكبر من الصفر،

لنقاط الربع الثالث ikx أقل من الصفر وyk أقل من الصفر،

وفي الربع الرابع ikx أكبر من الصفر وyk أقل من الصفر

بالنسبة لأي نقطة E (x;y) (مع الإحداثيات x, y) من دائرة الأرقام، فإن المتباينات -1≥ x≥ 1، -1≤y≥1 (x أكبر من أو يساوي سالب واحد، ولكن أقل من أو يساوي واحدًا؛ y أكبر من أو يساوي سالب واحد، ولكن أقل من أو يساوي واحدًا).

تذكر أن معادلة الدائرة التي نصف قطرها R ومركزها عند نقطة الأصل لها الصيغة x 2 + y 2 = R 2 (مربع x زائد مربع y يساوي مربع er). ومن أجل دائرة الوحدة R = 1، إذن نحصل على x 2 + y 2 = 1

(مربع x زائد مربع y يساوي واحدًا).

دعونا نجد إحداثيات النقاط على دائرة الأرقام، والتي يتم عرضها في مخططين (انظر الشكل 2، 3)

دع النقطة E، التي تقابل

(باي بأربعة) - منتصف الربع الأول الموضح في الشكل. من النقطة E نخفض الخط المتعامد EK إلى الخط المستقيم OA وننظر إلى المثلث OEK. الزاوية AOE = 45 0، بما أن القوس AE يساوي نصف القوس AB. ولذلك، فإن المثلث OEK هو مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين، حيث OK = EC. وهذا يعني أن الإحداثي والإحداثي للنقطة E متساويان، أي. × يساوي اللعبة. لإيجاد إحداثيات النقطة E نحل نظام المعادلات: (x يساوي yrek - المعادلة الأولى للنظام وx مربع زائد مربع yrek يساوي واحد - المعادلة الثانية للنظام). ، بدلاً من x نعوض بـ y، نحصل على 2y 2 = 1 (اثنان مربع yyrek يساوي واحدًا)، حيث y = = (y يساوي واحدًا مقسومًا على جذر اثنين يساوي جذر اثنين مقسومًا على اثنين) (الإحداثي موجب) وهذا يعني أن النقطة E في نظام مستطيلالإحداثيات لها إحداثيات (،)(جذر اثنين مقسومًا على اثنين، جذر اثنين مقسومًا على اثنين).

بالتفكير بطريقة مماثلة، نجد إحداثيات النقاط المقابلة للأرقام الأخرى للتخطيط الأول ونحصل على: النقطة المقابلة هي بالإحداثيات (-،) (ناقص جذر اثنين مقسومًا على اثنين، جذر اثنين مقسومًا على اثنين) ; لـ - (- ,-) (ناقص جذر اثنين مقسومًا على اثنين، ناقص جذر اثنين مقسومًا على اثنين)؛ لـ (سبعة باي على أربعة) (،)(جذر اثنين مقسومًا على اثنين، ناقص جذر اثنين مقسومًا على اثنين).

دع النقطة D تتوافق مع (الشكل 5). دعونا نسقط العمودي من DP(de pe) إلى OA وننظر إلى المثلث ODP. وتر هذا المثلث OD يساوي نصف قطر دائرة الوحدة، أي واحد، والزاوية DOP تساوي ثلاثين درجة، لأن القوس AD = digi AB (a de يساوي ثلث a be)، و القوس AB يساوي تسعين درجة. لذلك، DP = (de pe يساوي نصف O de يساوي نصفًا) بما أن الساق الواقعة مقابل الزاوية الثلاثين درجة تساوي نصف الوتر، أي أن y = (y يساوي نصفًا) . بتطبيق نظرية فيثاغورس، نحصل على OR 2 = OD 2 - DP 2 (o pe² يساوي o de² ناقص de pe²)، لكن OR = x (o pe يساوي x). وهذا يعني x 2 = OD 2 - DP 2 =

هذا يعني أن x 2 = (مربع x يساوي ثلاثة أرباع) وx = (x يساوي جذر ثلاثة في اثنين).

X موجب، لأن هو في الربع الأول. لقد وجدنا أن النقطة D في نظام إحداثي مستطيل لها إحداثيات (،) جذر ثلاثة مقسومًا على اثنين، نصف.

بالتفكير بطريقة مماثلة، سنجد إحداثيات النقاط المقابلة للأرقام الأخرى للتخطيط الثاني ونكتب جميع البيانات التي تم الحصول عليها في الجداول:

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

مثال 1. أوجد إحداثيات النقاط على دائرة الأرقام: أ) C 1 ()؛

ب) ج 2 ()؛ ج) ج 3 (41π)؛ د) ج 4 (- 26π). (Tse واحد يقابل خمسة وثلاثين pi في أربعة، وtse اثنان يقابل ناقص تسعة وأربعين pi في ثلاثة، وtse ثلاثة يقابل واحد وأربعين pi، وtse أربعة يقابل ناقص ستة وعشرين pi).

حل. دعونا نستخدم العبارة التي تم الحصول عليها سابقًا: إذا كانت النقطة D من دائرة الأرقام تتوافق مع الرقم t، فإنها تتوافق مع أي رقم من النموذج t + 2πk(te زائد ذروتين)، حيث ka هو أي عدد صحيح، أي. kϵZ (كا ينتمي إلى z).

أ) نحصل على = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4. (خمسة وثلاثون باي في أربعة يساوي خمسة وثلاثين في أربعة، مضروبًا في باي يساوي مجموع ثمانية وثلاثة أرباع، مضروبًا في باي يساوي ثلاثة باي في أربعة زائد حاصل ضرب اثنين باي في أربعة). وهذا يعني أن الرقم خمسة وثلاثين باي في أربعة يتوافق مع نفس النقطة على دائرة الأعداد مثل الرقم ثلاثة باي في أربعة. باستخدام الجدول 1، نحصل على C 1 () = C 1 (- ;) .

ب) شبيهة بالإحداثيات C 2: = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8) وهذا يعني أن الرقم

يتوافق مع نفس النقطة على دائرة الأرقام مثل الرقم. والرقم يتوافق مع نفس النقطة الموجودة على دائرة الأعداد مثل الرقم

(أظهر التصميم الثاني والجدول 2). بالنسبة لنقطة ما لدينا x = , y =.

ج) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20. وهذا يعني أن الرقم 41π يتوافق مع نفس النقطة على دائرة الأرقام مثل الرقم π - هذه نقطة ذات إحداثيات (-1؛ 0).

د) - 26π = 0 + 2π ∙ (- 13)، أي أن الرقم - 26π يتوافق مع نفس النقطة على دائرة الأعداد مثل الرقم صفر - هذه نقطة بإحداثيات (1;0).

مثال 2. ابحث عن النقاط الموجودة على دائرة الأرقام ذات الإحداثيات y =

حل. الخط المستقيم y = يقطع دائرة الأعداد بنقطتين. النقطة الأولى تمثل رقمًا، والنقطة الثانية تمثل رقمًا،

لذلك، نحصل على جميع النقاط عن طريق إضافة دورة كاملة 2πk حيث يظهر k عددها الثورات الكاملةيجعل نقطة، أي. نحصل عليها،

ولأي رقم جميع الأرقام من النموذج + 2πk. في كثير من الأحيان في مثل هذه الحالات يقولون أنهم تلقوا سلسلتين من القيم: + 2πk، + 2πk.

مثال 3. ابحث عن النقاط على دائرة الأرقام التي تحتوي على الإحداثي السيني x = واكتب الأرقام التي تتوافق معها.

حل. مستقيم X= يتقاطع مع دائرة الأعداد في نقطتين. نقطة واحدة تقابل رقمًا (انظر التخطيط الثاني)،

وبالتالي أي رقم على الصورة + 2πk. والنقطة الثانية تقابل رقمًا، وبالتالي أي رقم على الصورة + 2πk. يمكن تغطية هاتين السلسلتين من القيم في إدخال واحد: ± + 2πk (زائد ناقص اثنين pi بمقدار ثلاثة زائد اثنين pi).

مثال 4. ابحث عن النقاط ذات الإحداثيات على دائرة الأعداد في> واكتب الأرقام التي تتوافق معها.

الخط المستقيم y = يتقاطع مع دائرة الأعداد عند نقطتين M و P. والمتباينة y > تقابل نقاط القوس المفتوح MR، وهذا يعني أقواس بلا نهايات (أي بدون u)، عند التحرك حول الدائرة عكس اتجاه عقارب الساعة ، بدءًا من النقطة M وينتهي عند النقطة P. وهذا يعني أن جوهر التدوين التحليلي للقوس MR هو عدم المساواة< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

مثال5. ابحث عن النقاط الإحداثية على دائرة الأعداد في < и записать, каким числам t они соответствуют.

الخط المستقيم y = يقطع دائرة الأعداد عند نقطتين M و P. والمتباينة y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид

2πك< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).

مثال 6. ابحث عن النقاط ذات الإحداثي الإحداثي على دائرة الأعداد X> واكتب الأرقام التي تتوافق معها.

الخط المستقيم x = يتقاطع مع دائرة الأعداد عند نقطتين M و P. المتباينة x > تتوافق مع نقاط القوس المفتوح PM عند التحرك على طول الدائرة عكس اتجاه عقارب الساعة مع البداية عند النقطة P التي تقابلها، والنهاية عند النقطة م، وهو ما يتوافق. وهذا يعني أن جوهر التدوين التحليلي لقوس PM هو عدم المساواة< t <

(te أكبر من ناقص اثنين باي في ثلاثة، ولكن أقل من اثنين باي في ثلاثة)، والترميز التحليلي للقوس نفسه له الشكل + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

مثال 7. ابحث عن النقاط ذات الإحداثي الإحداثي على دائرة الأعداد X < и записать, каким числам t они соответствуют.

الخط المستقيم x = يقطع دائرة الأعداد عند نقطتين M و P. المتباينة x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <

(te أكبر من اثنين pi في ثلاثة، ولكن أقل من أربعة pi في ثلاثة)، والترميز التحليلي للقوس نفسه له الشكل + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).