يُسمى متعدد السطوح الذي يكون أحد وجوهه مضلعًا، وجميع الوجوه الأخرى مثلثات ذات قمة مشتركة، بالهرم.

تسمى هذه المثلثات التي يتكون منها الهرم وجوه جانبية، والمضلع المتبقي هو أساسالأهرامات.

في قاعدة الهرم يوجد شكل هندسي - n-gon. في هذه الحالة، يسمى الهرم أيضًا ن الكربون.

يسمى الهرم الثلاثي الذي تكون جميع أضلاعه متساوية رباعي الاسطح.

تسمى حواف الهرم التي لا تنتمي إلى القاعدة جانبي، والنقطة المشتركة بينهما هي قمة الرأسالأهرامات. وعادة ما تسمى الحواف الأخرى للهرم الأطراف على الأساس.

الهرم يسمى صحيح، إذا كان عند قاعدته مضلع منتظم وجميع الحواف الجانبية متساوية مع بعضها البعض.

تسمى المسافة من أعلى الهرم إلى مستوى القاعدة ارتفاعالأهرامات. يمكننا القول أن ارتفاع الهرم هو قطعة عمودية على القاعدة، طرفاها عند قمة الهرم وعلى مستوى القاعدة.

بالنسبة لأي هرم تنطبق الصيغ التالية:

1) S كامل = الجانب S + S الرئيسي، أين

S Total - إجمالي مساحة سطح الهرم؛

الجانب S – مساحة السطح الجانبي، أي مجموع مساحات جميع الوجوه الجانبية للهرم؛

S الرئيسي – مساحة قاعدة الهرم.

2) V = 1/3 S قاعدة N، أين

V هو حجم الهرم؛

ح – ارتفاع الهرم .

ل الهرم المنتظميحدث:

الجانب S = 1/2 P الرئيسي h، أين

P الرئيسي - محيط قاعدة الهرم؛

h هو طول الارتفاع، أي طول ارتفاع الوجه الجانبي النازل من أعلى الهرم.

يسمى جزء الهرم المحصور بين مستويين - مستوى القاعدة ومستوى القطع الموازي للقاعدة الهرم المقطوع.

تسمى قاعدة الهرم وقسم الهرم بمستوى متوازي الأسبابالهرم المقطوع. يتم استدعاء الوجوه المتبقية جانبي. المسافة بين طائرات القواعد تسمى ارتفاعالهرم المقطوع. تسمى الحواف التي لا تنتمي إلى القواعد جانبي.

بالإضافة إلى قاعدة الهرم المقطوع ن-غونس مماثلة. إذا كانت قواعد الهرم المقطوع مضلعات منتظمة، وجميع الحواف الجانبية متساوية مع بعضها البعض، فإن هذا الهرم المقطوع يسمى صحيح.

ل الهرم المقطوع التعسفيتنطبق الصيغ التالية:

1) S كامل = الجانب S + S 1 + S 2، أين

S الإجمالي - إجمالي مساحة السطح؛

الجانب S – مساحة السطح الجانبي، أي. مجموع مساحات جميع الوجوه الجانبية للهرم المقطوع، وهي شبه منحرف؛

ق 1، ق 2 - مناطق القاعدة؛

2) V = 1/3(ق 1 + ق 2 + √(ق 1 · ق 2))H، أين

V – حجم الهرم المقطوع؛

ح – ارتفاع الهرم المقطوع.

ل الهرم المقطوع المنتظمنحن ايضا لدينا:

الجانب S = 1/2(P 1 + P 2) ح،أين

ف 1، ف 2 - محيط القواعد؛

ح – apothem (ارتفاع الوجه الجانبي وهو شبه منحرف).

دعونا ننظر في العديد من المشاكل التي تنطوي على الهرم المقطوع.

مهمة 1.

في هرم مثلث مقطوع ارتفاعه يساوي 10، تكون أضلاع إحدى قاعدتيه 27 و29 و52. أوجد حجم الهرم المقطوع إذا كان محيط القاعدة الأخرى 72.

حل.

خذ بعين الاعتبار الهرم المقطوع ABCA 1 B 1 C 1 الموضح في الشكل شكل 1.

1. يمكن العثور على حجم الهرم المقطوع باستخدام الصيغة

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) حيث S 1 هي مساحة إحدى القواعد، ويمكن إيجادها باستخدام صيغة هيرون

S = √(ص(ص – أ)(ص – ب)(ص – ج)))،

لأن المسألة تعطي أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث.

لدينا: ع 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

س 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.

2. الهرم مقطوع، مما يعني أن المضلعات المتشابهة تقع عند قواعده. في حالتنا، المثلث ABC يشبه المثلث A 1 B 1 C 1. بالإضافة إلى ذلك، يمكن إيجاد معامل التشابه كنسبة محيطات المثلثات قيد النظر، وستكون نسبة مساحاتها مساوية لمربع معامل التشابه. وهكذا لدينا:

ق 1 /س 2 = (ف 1) 2 /(ف 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. وبالتالي S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.

لذا، V = 1/3 10(270 + 120 + √(270120)) = 1900.

الجواب: 1900.

المهمة 2.

في الهرم المثلث المقطوع، يتم رسم مستوى من خلال جانب القاعدة العلوية الموازي للحافة الجانبية المقابلة. ما النسبة التي يقسم بها حجم الهرم المقطوع إذا كانت أضلاع قاعدتيه المتناظرة هي النسبة 1:2؟

حل.

خذ بعين الاعتبار ABCA 1 B 1 C 1 - الهرم المقطوع الموضح في أرز. 2.

بما أن نسبة أضلاع القواعد هي 1:2، فإن مساحات القواعد تكون بنسبة 1:4 (المثلث ABC يشبه المثلث A 1 B 1 C 1).

إذن حجم الهرم المقطوع هو:

V = 1/3 س · (ق 1 + ق 2 + √( ق 1 · ق 2)) = 1/3 س · (4 ق 2 + ق 2 + 2 ق 2) = 7/3 · ح · ق 2، حيث ق 2 – مساحة القاعدة العلوية ح – الإرتفاع .

لكن حجم المنشور ADEA 1 B 1 C 1 هو V 1 = S 2 h، وبالتالي،

V 2 = V – V 1 = 7/3 · ح · ق 2 - ح · ق 2 = 4/3 · ح · ق 2.

إذن، ف2: ف1 = 3: 4.

الجواب: 3:4.

المهمة 3.

أضلاع قاعدتي الهرم الرباعي المنتظم المقطوع تساوي 2 و 1، والارتفاع 3. يتم رسم مستوى من خلال نقطة تقاطع أقطار الهرم، موازياً لقواعد الهرم، ويقسم الهرم إلى قسمين. أوجد حجم كل منهما.

حل.

خذ بعين الاعتبار الهرم المقطوع ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 الموضح في الشكل أرز. 3.

دعونا نشير إلى O 1 O 2 = x، ثم OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

خذ بعين الاعتبار المثلث B 1 O 2 D 1 والمثلث BO 2 D:

الزاوية B 1 O 2 D 1 تساوي الزاوية BO 2 D عمودية؛

الزاوية BDO 2 تساوي الزاوية D 1 B 1 O 2 والزاوية O 2 ВD تساوي الزاوية B 1 D 1 O 2 الواقعة بالعرض في B 1 D 1 || BD والقطاعات B₁D وBD₁، على التوالي.

ولذلك فإن المثلث B 1 O 2 D 1 يشبه المثلث BO 2 D ونسبة أضلاعه هي:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 أو 1/2 = x/(x - 3)، حيث x = 1.

خذ بعين الاعتبار المثلث B 1 D 1 B والمثلث LO 2 B: الزاوية B شائعة، ويوجد أيضًا زوج من الزوايا أحادية الجانب عند B 1 D 1 || LM مما يعني أن المثلث B 1 D 1 B يشبه المثلث LO 2 B الذي منه B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2 أي.

لو 2 = 2/3 · ب 1 د 1 , LN = 4/3 · ب 1 د 1 .

إذن S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

لذا، ف 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

ح 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

الجواب: 152/27؛ 37/27.

blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.

هرم. الهرم المقطوع

هرمهو متعدد الوجوه، أحد وجوهه مضلع ( قاعدة )، وجميع الوجوه الأخرى هي مثلثات ذات قمة مشتركة ( وجوه جانبية ) (الشكل 15). الهرم يسمى صحيح إذا كانت قاعدته مضلعًا منتظمًا وكان الجزء العلوي من الهرم بارزًا في وسط القاعدة (الشكل 16). يسمى الهرم الثلاثي الذي تكون جميع أضلاعه متساوية رباعي الاسطح .

الضلع الجانبيالهرم هو جانب الوجه الجانبي الذي لا ينتمي إلى القاعدة ارتفاع الهرم هو المسافة من قمته إلى مستوى القاعدة. جميع الحواف الجانبية للهرم المنتظم متساوية مع بعضها البعض، وجميع الوجوه الجانبية هي مثلثات متساوية الساقين. يسمى ارتفاع الوجه الجانبي للهرم المنتظم المرسوم من رأسه apothem . قسم قطري ويسمى جزء من الهرم بمرور مستوى على حافتين جانبيتين لا تنتميان إلى وجه واحد.

مساحة السطح الجانبيةالهرم هو مجموع مساحات كل الوجوه الجانبية. المساحة الإجمالية يسمى مجموع مساحات جميع الوجوه الجانبية والقاعدة.

نظريات

1. إذا كانت جميع الحواف الجانبية في الهرم مائلة بالتساوي على مستوى القاعدة، فإن قمة الهرم تبرز في وسط الدائرة المحددة بالقرب من القاعدة.

2. إذا كانت جميع الحواف الجانبية للهرم متساوية في الطول، فإن قمة الهرم تبرز في وسط دائرة محيطة بالقرب من القاعدة.

3. إذا كانت جميع وجوه الهرم مائلة بشكل متساوٍ على مستوى القاعدة، فإن قمة الهرم تبرز في وسط الدائرة المنقوشة في القاعدة.

لحساب حجم الهرم الاختياري، الصيغة الصحيحة هي:

أين الخامس- مقدار؛

قاعدة S- منطقة قاعدة؛

ح– ارتفاع الهرم .

بالنسبة للهرم المنتظم، الصيغ التالية صحيحة:

أين ص- محيط القاعدة؛

ح أ- apothem.

ح- ارتفاع؛

س كامل

الجانب S

قاعدة S- منطقة قاعدة؛

الخامس– حجم الهرم المنتظم .

الهرم المقطوعيسمى جزء الهرم المحصور بين القاعدة ومستوى القطع الموازي لقاعدة الهرم (الشكل 17). الهرم المقطوع المنتظم هو جزء من الهرم المنتظم المحصور بين القاعدة ومستوى القطع الموازي لقاعدة الهرم.

أسبابالهرم المقطوع - مضلعات متشابهة. وجوه جانبية - شبه منحرف. ارتفاع الهرم المقطوع هو المسافة بين قاعدته. قطري الهرم المقطوع هو الجزء الذي يربط رؤوسه التي لا تقع على نفس الوجه. قسم قطري هو مقطع من هرم مبتور بمستوى يمر بحافتين جانبيتين لا تنتميان إلى وجه واحد.

بالنسبة للهرم المقطوع، تكون الصيغ التالية صالحة:

(4)

أين س 1 , س 2- مناطق القواعد العلوية والسفلية؛

س كامل- المساحة الإجمالية؛

الجانب S- مساحة السطح الجانبية؛

ح- ارتفاع؛

الخامس– حجم الهرم المقطوع.

بالنسبة للهرم المقطوع المنتظم، تكون الصيغة صحيحة:

أين ص 1 , ص 2 – محيط القواعد.

ح أ– ذروة الهرم المقطوع المنتظم.

مثال 1.في الهرم الثلاثي المنتظم، تكون الزاوية ثنائية السطوح عند القاعدة 60 درجة. أوجد ظل زاوية ميل الحافة الجانبية لمستوى القاعدة.

حل.لنقم بعمل رسم (الشكل 18).

الهرم منتظم، مما يعني أنه يوجد في قاعدته مثلث متساوي الأضلاع وجميع أضلاعه مثلثات متساوية الساقين. زاوية ثنائي السطوح عند القاعدة هي زاوية ميل الوجه الجانبي للهرم إلى مستوى القاعدة. الزاوية الخطية هي الزاوية أبين عموديين : الخ يتم إسقاط الجزء العلوي من الهرم في مركز المثلث (مركز الدائرة المحيطة والدائرة المنقوشة للمثلث اي بي سي). زاوية ميل الحافة الجانبية (على سبيل المثال إس بي.) هي الزاوية بين الحافة نفسها وإسقاطها على مستوى القاعدة. للضلع إس بي.هذه الزاوية ستكون الزاوية إس بي دي. للعثور على الظل تحتاج إلى معرفة الساقين لذاو أو.ب.. دع طول الجزء دينار بحرينييساوي 3 أ. نقطة عنالقطعة المستقيمة دينار بحرينيوينقسم إلى أجزاء: ومن نجد لذا: منها نجد:

إجابة:

مثال 2.أوجد حجم الهرم الرباعي المنتظم إذا كان قطرا قاعدتيه سم و سم وارتفاعه ٤ سم.

حل.لإيجاد حجم الهرم المقطوع نستخدم الصيغة (4). للعثور على مساحة القواعد، عليك إيجاد جوانب مربعات القاعدة، مع معرفة أقطارها. جوانب القاعدتين تساوي 2 سم و 8 سم على التوالي، وهذا يعني مساحة القاعدتين وبتعويض جميع البيانات في الصيغة، نحسب حجم الهرم المقطوع:

إجابة: 112 سم3.

مثال 3.أوجد مساحة الوجه الجانبي لهرم مثلث منتظم مقطوع، طول أضلاع قاعدتيه ١٠ سم، ٤ سم، وارتفاع الهرم ٢ سم.

حل.لنقم بعمل رسم (الشكل 19).

الوجه الجانبي لهذا الهرم هو شبه منحرف متساوي الساقين. لحساب مساحة شبه منحرف، عليك أن تعرف القاعدة والارتفاع. يتم إعطاء القواعد حسب الشرط، ويبقى الارتفاع فقط غير معروف. سوف نجدها من أين أ 1 هعمودي من نقطة أ 1 على مستوى القاعدة السفلية، أ 1 د- عمودي من أ 1 لكل تكييف. أ 1 ه= 2 سم، لأن هذا هو ارتفاع الهرم. لايجاد ديلنقم بعمل رسم إضافي يوضح المنظر العلوي (الشكل 20). نقطة عن– إسقاط مراكز القواعد العلوية والسفلية. منذ (انظر الشكل 20) ومن ناحية أخرى نعم- نصف القطر المدرج في الدائرة و أوم- نصف القطر المدرج في دائرة:

عضو الكنيست = دي.

وفقا لنظرية فيثاغورس من

منطقة الوجه الجانبية:

إجابة:

مثال 4.في قاعدة الهرم يوجد شبه منحرف متساوي الساقين، قاعدته أو ب (أ> ب). يشكل كل وجه جانبي زاوية مساوية لمستوى قاعدة الهرم ي. أوجد المساحة الكلية للهرم.

حل.لنقم بعمل رسم (الشكل 21). المساحة الكلية للهرم سابكديساوي مجموع المساحات ومساحة شبه المنحرف ا ب ت ث.

دعونا نستخدم العبارة القائلة بأنه إذا كانت جميع وجوه الهرم متساوية في الميل على مستوى القاعدة، فإن الرأس يسقط في وسط الدائرة المنقوشة في القاعدة. نقطة عن- الإسقاط الرأسي سفي قاعدة الهرم. مثلث الاحمقهو الإسقاط المتعامد للمثلث لجنة التنمية المستدامةإلى مستوى القاعدة. باستخدام نظرية منطقة الإسقاط المتعامد لشكل مستو، نحصل على:

وكذلك يعني وهكذا تم اختصار المشكلة إلى إيجاد مساحة شبه المنحرف ا ب ت ث. لنرسم شبه منحرف ا ب ت ثبشكل منفصل (الشكل 22). نقطة عن- مركز الدائرة المرسومة على شكل شبه منحرف.

بما أنه يمكن إدراج دائرة في شبه منحرف، إذن أو من نظرية فيثاغورس لدينا

• 29.05.2016

  الدائرة المتذبذبة هي دائرة كهربائية تحتوي على ملف حث ومكثف ومصدر للطاقة الكهربائية. عندما تكون عناصر الدائرة متصلة على التوالي، تسمى الدائرة التذبذبية تسلسلية، وعندما تكون متصلة على التوازي، تسمى متوازية. الدائرة التذبذبية هي أبسط نظام يمكن أن تحدث فيه تذبذبات كهرومغناطيسية حرة. يتم تحديد تردد الرنين للدائرة من خلال ما يسمى بصيغة طومسون: ƒ = 1/(2π√(LC)) لـ ...

• 20.09.2014

  تم تصميم جهاز الاستقبال لاستقبال الإشارات في نطاق DV (150 كيلو هرتز...300 كيلو هرتز). السمة الرئيسية لجهاز الاستقبال هي الهوائي، الذي يتمتع بمحاثة أعلى من الهوائي المغناطيسي التقليدي. هذا يجعل من الممكن استخدام سعة مكثف الضبط في نطاق 4...20 pF، كما أن جهاز الاستقبال هذا يتمتع بحساسية مقبولة وكسب طفيف في مسار التردد اللاسلكي. الرسيفر يعمل بالسماعات (سماعات الرأس) ويعمل بالطاقة...

• 24.09.2014

  تم تصميم هذا الجهاز لمراقبة مستوى السائل في الخزانات، بمجرد ارتفاع السائل إلى المستوى المحدد، سيبدأ الجهاز في إصدار إشارة صوتية مستمرة، وعندما يصل مستوى السائل إلى مستوى حرج، سيبدأ الجهاز في إصدار إشارة صوتية إشارة متقطعة. يتكون المؤشر من مولدين، يتم التحكم فيهما بواسطة عنصر الاستشعار E. ويتم وضعهما في الخزان عند مستوى يصل إلى ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 هو مؤقت رقمي متعدد البرامج مصمم للعمل مع مؤشر ILC3-5\7. يوفر حساب وعرض الوقت الحالي بالساعات والدقائق ويوم الأسبوع ورقم قناة التحكم (9 منبهات). تظهر دائرة المنبه في الشكل. تم تسجيل الدائرة الدقيقة. مرنان Q1 عند 32768 هرتز. الغذاء سلبي، مجموع زائد يذهب إلى...

تعد القدرة على حساب حجم الأشكال المكانية أمرًا مهمًا عند حل عدد من المشكلات العملية في الهندسة. أحد الأشكال الأكثر شيوعًا هو الهرم. في هذه المقالة سننظر في كل من الأهرامات الكاملة والمبتورة.

الهرم كشخصية ثلاثية الأبعاد

الجميع يعرف عن الأهرامات المصرية، لذلك لديهم فكرة جيدة عن نوع الشكل الذي سنتحدث عنه. ومع ذلك، فإن الهياكل الحجرية المصرية ليست سوى حالة خاصة لفئة ضخمة من الأهرامات.

الكائن الهندسي قيد النظر في الحالة العامة هو قاعدة متعددة الأضلاع، يرتبط كل رأس منها بنقطة معينة في الفضاء لا تنتمي إلى مستوى القاعدة. يؤدي هذا التعريف إلى شكل يتكون من مثلثات n-gon وn.

يتكون أي هرم من وجوه n+1 وحواف 2*n ورؤوس n+1. بما أن الشكل المعني هو متعدد وجوه مثالي، فإن أعداد العناصر المحددة تخضع لمساواة أويلر:

2*ن = (ن+1) + (ن+1) - 2.

المضلع الموجود عند القاعدة يعطي اسم الهرم، على سبيل المثال، مثلثي، خماسي، وهكذا. تظهر الصورة أدناه مجموعة من الأهرامات ذات القواعد المختلفة.

تسمى النقطة التي يتصل عندها عدد n من مثلثات الشكل برأس الهرم. وإذا نزل منه عمودي على القاعدة وتقاطع معه عند المركز الهندسي، فإن هذا الشكل يسمى خطا مستقيما. إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط، يحدث الهرم المائل.

الشكل الصحيح الذي تتكون قاعدته من n-gon متساوي الأضلاع (متساوي الزوايا) يسمى منتظمًا.

صيغة حجم الهرم

لحساب حجم الهرم، سنستخدم حساب التكامل. للقيام بذلك، نقوم بتقسيم الشكل عن طريق قطع مستويات موازية للقاعدة إلى عدد لا نهائي من الطبقات الرقيقة. يوضح الشكل أدناه هرمًا رباعي الزوايا ارتفاعه h وطول ضلعه L، حيث يمثل الشكل الرباعي الطبقة الرقيقة من المقطع.

يمكن حساب مساحة كل طبقة باستخدام الصيغة:

ا(ض) = ا 0 *(ح-ض) 2 /ح 2 .

هنا A 0 هي مساحة القاعدة، z هي قيمة الإحداثي الرأسي. يمكن ملاحظة أنه إذا كانت z = 0، فإن الصيغة تعطي القيمة A 0.

للحصول على صيغة حجم الهرم، يجب عليك حساب التكامل على كامل ارتفاع الشكل، أي:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

باستبدال الاعتماد A(z) وحساب المشتق العكسي، نصل إلى التعبير:

V = -أ 0 *(ح-ض) 3 /(3*ح 2)| ح 0 = 1/3*أ 0 *ح.

لقد حصلنا على صيغة حجم الهرم. للعثور على قيمة V، ما عليك سوى ضرب ارتفاع الشكل في مساحة القاعدة، ثم قسمة الناتج على ثلاثة.

لاحظ أن التعبير الناتج صالح لحساب حجم الهرم من أي نوع. وهذا هو، يمكن أن يميل، ويمكن أن تكون قاعدته تعسفية n-gon.

وحجمه

يمكن تحسين الصيغة العامة للحجم التي تم الحصول عليها في الفقرة أعلاه في حالة الهرم ذو القاعدة المنتظمة. يتم حساب مساحة هذه القاعدة باستخدام الصيغة التالية:

أ 0 = ن/4*ل 2 *ctg(بي/ن).

حيث L هو طول ضلع مضلع منتظم ذو رؤوس n. الرمز pi هو الرقم pi.

باستبدال التعبير A 0 في الصيغة العامة، نحصل على حجم الهرم المنتظم:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

على سبيل المثال، بالنسبة للهرم الثلاثي، تنتج هذه الصيغة التعبير التالي:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

بالنسبة للهرم الرباعي المنتظم، تأخذ صيغة الحجم الشكل:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

يتطلب تحديد أحجام الأهرامات المنتظمة معرفة جانب قاعدتها وارتفاع الشكل.

الهرم المقطوع

لنفترض أننا أخذنا هرمًا عشوائيًا وقطعنا جزءًا من سطحه الجانبي الذي يحتوي على قمة الرأس. ويسمى الشكل المتبقي الهرم المقطوع. يتكون بالفعل من قاعدتين n-gonal وn شبه منحرف يربطهما. إذا كان مستوى القطع موازيا لقاعدة الشكل، فسيتم تشكيل هرم مقطوع بقواعد متوازية مماثلة. أي أنه يمكن الحصول على أطوال أضلاع أحدهما بضرب أطوال الآخر بمعامل معين k.

يوضح الشكل أعلاه شكلًا منتظمًا مقطوعًا، ويمكن ملاحظة أن قاعدته العلوية، مثل القاعدة السفلية، تتكون من شكل مسدس منتظم.

الصيغة التي يمكن استخلاصها باستخدام حساب التفاضل والتكامل المماثل لما ورد أعلاه هي:

V = 1/3*ح*(أ 0 + أ 1 + √(أ 0 *أ 1)).

حيث A 0 و A 1 هما منطقتا القواعد السفلية (الكبيرة) والعليا (الصغيرة) على التوالي. يشير المتغير h إلى ارتفاع الهرم المقطوع.

حجم هرم خوفو

ومن المثير للاهتمام حل مشكلة تحديد الحجم الذي يحتويه الهرم المصري الأكبر داخل نفسه.

في عام 1984، حدد علماء المصريات البريطانيون مارك لينر وجون جودمان الأبعاد الدقيقة لهرم خوفو. وكان ارتفاعه الأصلي 146.50 مترًا (حاليًا حوالي 137 مترًا). وبلغ متوسط ​​طول كل جانب من جوانب الهيكل الأربعة 230.363 مترًا. قاعدة الهرم مربعة بدقة عالية .

دعونا نستخدم الأرقام المعطاة لتحديد حجم هذا العملاق الحجري. وبما أن الهرم رباعي الزوايا منتظم، فإن الصيغة صالحة له:

وبالتعويض بالأرقام نحصل على:

الخامس 4 = 1/3*(230.363) 2 *146.5 ≈ 2591444 م3.

يبلغ حجم هرم خوفو حوالي 2.6 مليون متر مكعب. وللمقارنة نلاحظ أن حجم حوض السباحة الأولمبي يبلغ 2.5 ألف م3. أي أنه لملء هرم خوفو بالكامل، ستحتاج إلى أكثر من 1000 من هذه التجمعات!