خصائص العمل مع الأعداد العقلانية كيفية شرحها. "الأفعال ذات الأعداد العقلانية"

توفر هذه المقالة نظرة عامة خصائص العمليات مع الأعداد النسبية. أولاً يتم الإعلان عن الخصائص الأساسية التي تقوم عليها جميع الخصائص الأخرى. بعد ذلك، يتم تقديم بعض الخصائص الأخرى المستخدمة بشكل متكرر للعمليات ذات الأعداد النسبية.

التنقل في الصفحة.

دعونا القائمة الخصائص الأساسية للعمليات مع الأعداد النسبية(أ، ب، ج هي أرقام عقلانية عشوائية):

الخاصية التبادلية للجمع a+b=b+a.
خاصية مطابقةالجمع (a+b)+c=a+(b+c) .
وجود عنصر محايد بالجمع - صفر، الذي جمعه مع أي رقم لا يغير هذا الرقم، أي أ+0=أ.
لكل رقم نسبي a يوجد رقم معاكس −a مثل a+(−a)=0.
الخاصية التبادلية لضرب الأعداد النسبية a·b=b·a.
الخاصية التجميعية للضرب (a·b)·c=a·(b·c) .
وجود عنصر محايد للضرب هو وحدة الضرب التي لا يغير بها أي رقم هذا الرقم، أي أ·1=أ.
لكل رقم نسبي غير الصفر a يوجد رقم معكوس a −1 بحيث a·a −1 =1 .
أخيرًا، يرتبط جمع وضرب الأعداد النسبية بخاصية توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع: a·(b+c)=a·b+a·c.

تعتبر الخصائص المدرجة للعمليات ذات الأعداد النسبية أساسية، حيث يمكن الحصول على جميع الخصائص الأخرى منها.

خصائص هامة أخرى

بالإضافة إلى الخصائص الأساسية التسعة المدرجة للعمليات ذات الأعداد النسبية، هناك عدد من الخصائص المستخدمة على نطاق واسع جدًا. دعونا نعطيهم نظرة عامة مختصرة.

لنبدأ بالخاصية المكتوبة باستخدام الحروف as أ·(−ب)=−(أ·ب)أو بحكم الخاصية التبادلية للضرب مثل (−أ) ب=−(أ ب). إن قاعدة ضرب الأعداد النسبية بعلامات مختلفة تنبع مباشرة من هذه الخاصية؛ ويرد دليلها أيضًا في هذه المقالة. خاصية محددةيشرح القاعدة "زائد مضروبًا في ناقص يساوي ناقصًا، وناقص مضروبًا في زائد يساوي ناقصًا".

هنا الخاصية التالية: (−أ)·(−ب)=أ·ب. إنه يتبع قاعدة ضرب الأعداد النسبية السالبة؛ وفي هذه المقالة ستجد أيضًا دليلاً على المساواة المذكورة أعلاه. تتوافق هذه الخاصية مع قاعدة الضرب "ناقص ضرب ناقص زائد".

مما لا شك فيه أنه يجدر التركيز على ضرب عدد منطقي اعتباطي أ في صفر: أ·0=0أو 0 أ=0. دعونا نثبت هذه الخاصية. نحن نعلم أن 0=d+(−d) لأي عقلاني d، ثم a·0=a·(d+(−d)) . تسمح خاصية التوزيع بإعادة كتابة التعبير الناتج بالشكل a·d+a·(−d) ، وبما أن a·(−d)=−(a·d) ، إذن أ·د+أ·(−د)=أ·د+(−(أ·د)). لذلك وصلنا إلى مجموع رقمين متقابلين، يساوي a·d و -(ad·d)، مجموعهما يعطي صفرًا، مما يثبت المساواة a·0=0.

ومن السهل أن نلاحظ أننا أعلاه ذكرنا فقط خصائص الجمع والضرب، في حين لم يتم ذكر كلمة واحدة عن خصائص الطرح والقسمة. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه في مجموعة الأعداد النسبية، يتم تحديد إجراءي الطرح والقسمة على أنهما معكوس الجمع والضرب، على التوالي. أي أن الفرق a−b هو مجموع a+(−b)، والحاصل a:b هو المنتج a·b−1 (b≠0).

بالنظر إلى تعريفات الطرح والقسمة هذه، بالإضافة إلى الخصائص الأساسية للجمع والضرب، يمكنك إثبات أي خصائص للعمليات باستخدام الأعداد النسبية.

على سبيل المثال، دعونا نثبت خاصية توزيع الضرب بالنسبة إلى الطرح: a·(b−c)=a·b−a·c. سلسلة المساواة التالية تحمل: a·(b−c)=a·(b+(−c))= أ·ب+أ·(−ج)=أ·ب+(−(أ·ج))=أ·ب−أ·ج، وهو الدليل.

حقوق الطبع والنشر من قبل Smartstudents

جميع الحقوق محفوظة.
محمية بموجب قانون حق المؤلف. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من موقع www.site، بما في ذلك المواد الداخلية والمظهر، بأي شكل من الأشكال أو استخدامه دون الحصول على إذن كتابي مسبق من صاحب حقوق الطبع والنشر.

بادامشينسكايا مدرسة ثانوية №2

التطوير المنهجي

في الرياضيات
في الصف السادس

"الإجراءات ذات الأعداد العقلانية"

مُعد

مدرس الرياضيات

بابينكو لاريسا جريجوريفنا

مع. بادامشا
2014

موضوع الدرس:« العمليات مع الأعداد النسبية».

نوع الدرس :

درس تعميم وتنظيم المعرفة.

أهداف الدرس:

التعليمية:

تلخيص وتنظيم معرفة الطلاب حول قواعد العمليات مع الأعداد الموجبة والسالبة.

تعزيز القدرة على تطبيق القواعد أثناء التمارين؛

تطوير مهارات العمل المستقل؛

النامية:

يطور التفكير المنطقي, خطاب الرياضياتمهارات الحوسبة؛ - تطوير القدرة على تطبيق المعرفة المكتسبة على الحلول المشاكل التطبيقية; - توسيع آفاقك؛

رفع:

تنشئة الفائدة المعرفيةإلى هذا الموضوع.

معدات:

أوراق تحتوي على نصوص المهام والواجبات لكل طالب؛

الرياضيات. الكتاب المدرسي للصف السادس المؤسسات التعليمية/

ن.يا. فيلينكين، ف. جوخوف، أ.س. تشيسنوكوف، S. I. شفارتسبورد. - م، 2010.

خطة الدرس:

اللحظة التنظيمية.

العمل شفويا

مراجعة قواعد جمع وطرح الأعداد علامات مختلفة. تحديث المعرفة.

حل المهام وفقا للكتاب المدرسي

تشغيل الاختبار

تلخيص الدرس. تحديد الواجبات المنزلية

انعكاس

تقدم الدرس

اللحظة التنظيمية.

تحية من المعلم والطلاب.

الإبلاغ عن موضوع الدرس وخطة العمل للدرس.

اليوم لدينا درس غير عادي. سنتذكر في هذا الدرس جميع قواعد التعامل مع الأعداد النسبية والقدرة على إجراء عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة.

سيكون شعار درسنا مثلًا صينيًا:

"قل لي وسوف أنسى؛

أرني وسوف أتذكر؛

اسمحوا لي أن أفعل ذلك وسوف أفهم ".

أريد أن أدعوك في رحلة.

في منتصف الفضاء، حيث كان شروق الشمس مرئيا بوضوح، امتدت دولة ضيقة وغير مأهولة - خط أرقام. لا يعرف أين بدأ ولا يعرف أين انتهى. وكان أول من سكن هذا البلد الأعداد الطبيعية. ما هي الأعداد التي تسمى الأعداد الطبيعية وكيف يتم تحديدها؟

إجابة:

الأرقام 1، 2، 3، 4،….. تستخدم لحساب الأشياء أو للإشارة رقم سريعنصر أو آخر بين كائنات متجانسة، تسمى طبيعية (ن ).

العد الشفهي

88-19 72:8 200-60

الإجابات: 134؛ 61؛ 2180.

كان هناك عدد لا نهائي منها، لكن الدولة، على الرغم من صغر عرضها، كانت لا نهائية في الطول، بحيث يتناسب كل شيء من الواحد إلى اللانهاية ويشكل الحالة الأولى، وهي مجموعة من الأعداد الطبيعية.

العمل على مهمة.

كانت البلاد جميلة بشكل غير عادي. كانت هناك حدائق رائعة في جميع أنحاء أراضيها. هذه هي الكرز والتفاح والخوخ. سنلقي نظرة على واحد منهم الآن.

هناك 20 بالمائة من الكرز الناضج كل ثلاثة أيام. كم عدد الثمار الناضجة التي ستحصل عليها هذه الكرزة بعد 9 أيام، إذا كان بها 250 ثمرة ناضجة في بداية المراقبة؟

الإجابة: ستكون هناك 432 ثمرة ناضجة على هذا الكرز خلال 9 أيام (300؛ 360؛ 432).

عمل مستقل.

بدأت بعض الأرقام الجديدة في الاستقرار على أراضي الولاية الأولى، وشكلت هذه الأرقام مع الأرقام الطبيعية دولة جديدة، وسنكتشف أي منها من خلال حل المهمة.

الطلاب لديهم ورقتان على مكاتبهم:

1. احسب:

1)-48+53 2)45-(-23) 3)-7.5:(-0.5) 4)-4x(-15)

1)56:(-8) 2)-3,3-4,7 3)-5,6:(-0,1) 4)9-12

1)48-54 2)37-(-37) 3)-52.7+42.7 4)-6x1/3

1)-12x(-6) 2)-90:(-15) 3)-25+45 4)6-(-10)

يمارس:قم بتوصيل جميع الأعداد الطبيعية بالتسلسل دون رفع يدك وقم بتسمية الحرف الناتج.

إجابات الاختبار:

5 68 15 60

72 6 20 16

سؤال:ماذا يعني هذا الرمز؟ ما هي الأرقام التي تسمى الأعداد الصحيحة؟

الإجابات: 1) على اليسار، من أراضي الولاية الأولى، استقر الرقم 0، على يسارها -1، وحتى إلى اليسار -2، إلخ. إلى ما لا نهاية. هذه الأعداد، مع الأعداد الطبيعية، شكلت حالة موسعة جديدة، وهي مجموعة الأعداد الصحيحة.

2) تسمى الأعداد الطبيعية والأعداد المقابلة لها والصفر أعدادًا صحيحة ( ز ).

تكرار ما تم تعلمه.

1) الصفحة التالية من قصتنا الخيالية مسحورة. دعونا نحللها ونصحح الأخطاء.

27 · 4 0 -27 = 27 0 · (-27) = 0

63 3 0 · 40 (-6) · (-6) -625 124

50 · 8 27 -18: (-2)

الإجابات:

-27 4 27 0 (-27) = 0

-50 8 4 -36: 6

2) دعونا نواصل الاستماع إلى القصة.

على أماكن مجانيةتمت إضافة الكسور 2/5 إلى خط الأعداد؛ -4/5؛ 3.6؛ −2,2;... شكلت الكسور مع المستوطنين الأوائل الحالة الموسعة التالية - مجموعة من الأعداد العقلانية. ( س)

1) ما هي الأرقام التي تسمى عقلانية؟

2) هل أي عدد صحيح أو كسر عشري هو عدد نسبي؟

3) أثبت أن أي عدد صحيح أو أي كسر عشري هو عدد نسبي.

المهمة على اللوح: 8; 3 ; -6; - ; - 4,2; – 7,36; 0; .

الإجابات:

1) الرقم الذي يمكن كتابته كنسبة ، حيث a عدد صحيح و n عدد طبيعي، يسمى عددا عقلانيا .

2) نعم.

3) .

أنت الآن تعرف الأعداد الصحيحة والكسور، الإيجابية و أرقام سلبية، وكذلك الرقم صفر. كل هذه الأرقام تسمى عقلانية، والتي تترجم إلى اللغة الروسية تعني " خاضعة للعقل."

أرقام عقلانية

إيجابي صفر سلبي

كامل كسري كامل كسري

لكي تتمكن من دراسة الرياضيات بنجاح (وليس الرياضيات فقط) في المستقبل، عليك أن تعرف القواعد جيدًا العمليات الحسابيةمع أرقام عقلانية، بما في ذلك قواعد الإشارة. وهم مختلفون جدا! لن يستغرق الأمر وقتًا طويلاً حتى تشعر بالارتباك.

دقيقة التربية البدنية.

توقف ديناميكي.

مدرس:أي عمل يتطلب استراحة. دعونا نرتاح!

لنقم بتمارين التعافي:

1) واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، خمسة -

مرة واحدة! انهض، اسحب نفسك،

اثنين! انحنى، استقيم،

ثلاثة! ثلاث تصفيقات من يديك،

ثلاث إيماءات بالرأس.

أربعة يعني أيدي أوسع.

خمسة - لوح بذراعيك. سادسا - اجلس بهدوء على مكتبك.

(يقوم الأطفال بحركات تتبع المعلم حسب محتوى النص.)

2) ارمش بسرعة، أغمض عينيك واجلس هناك وقم بالعد إلى خمسة. كرر 5 مرات.

3) أغمض عينيك بإحكام، عد إلى ثلاثة، افتحها وانظر إلى المسافة، عد إلى خمسة. كرر 5 مرات.

صفحة تاريخية.

وفي الحياة، كما في القصص الخيالية، «اكتشف» الناس الأعداد العقلانية تدريجيًا. في البداية، عند حساب الأشياء، نشأت الأعداد الطبيعية. في البداية كان هناك عدد قليل منهم. في البداية، نشأت الأرقام 1 و 2 فقط. الكلمات "منفرد"، "الشمس"، "التضامن" تأتي من "solus" اللاتينية (واحد). العديد من القبائل لم يكن لديها أرقام أخرى. بدلاً من "3" قالوا "واحد-اثنين"، وبدلاً من "4" قالوا "اثنان-اثنان". وهكذا حتى السادسة. ثم جاء "الكثير". وقد صادف الناس الكسور عند تقسيم الغنائم وعند قياس الكميات. لتسهيل العمل مع الكسور، تم اختراعها الكسور العشرية. تم تقديمها إلى أوروبا عام 1585 على يد عالم رياضيات هولندي.

العمل على المعادلات

سوف تكتشف اسم عالم الرياضيات عن طريق حل المعادلات واستخدام خط الإحداثيات للعثور على الحرف المقابل لإحداثي معين.

1) -2.5 + س = 3.5 2) -0.3 س = 0.6 3) ص – 3.4 = -7.4

4) – 0.8: س = -0.4 5)أ · (-8) =0 6)م + (- )=

E A T M I O V R N U S

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

الإجابات:

6 (ج) 4)2 (ب)

-2 (ت) 5) 0 (ط)

-4(ه) 6)4(ح)

ستيفن - عالم الرياضيات والمهندس الهولندي (سيمون ستيفين)

صفحة تاريخية.

مدرس:

دون معرفة الماضي في تطور العلم، من المستحيل فهم حاضره. لقد تعلم الناس إجراء العمليات بالأرقام السالبة حتى قبل عصرنا. تخيل علماء الرياضيات الهنود أرقام إيجابيةكـ "خصائص"، والأرقام السالبة كـ "ديون". هكذا وضع عالم الرياضيات الهندي براهماجوبتا (القرن السابع) بعض القواعد لإجراء العمليات ذات الأعداد الموجبة والسالبة:

"مجموع الخاصيتين هو الملكية"

"مجموع الدينين دين"

"مجموع الممتلكات والديون يساوي الفرق بينهما"

"حاصل أصلين أو دينين هو الملكية"، "حاصل الأصول والدين هو الدين".

يا شباب، يرجى ترجمة القواعد الهندية القديمة إلى اللغة الحديثة.

رسالة المعلم:

فكيف لا توجد حياة بدونها حرارة الشمس,

بدون ثلوج الشتاء وبدون أوراق الزهور،

لا توجد عمليات بدون علامات في الرياضيات!

يُطلب من الأطفال تخمين علامة العمل المفقودة.

يمارس. املأ الحرف المفقود.

− 1,3 2,8 = 1,5

− 1,2 1,4 = − 2,6
3,2 (− 8) = − 0,4
1 (− 1,7) = 2,7
− 4,5 (− 0,5) = 9

الإجابات: 1) + 2) ∙ 3) − 4) : 5) − 6) :

عمل مستقل(اكتب إجابات المهام على الورقة):

قارن الأرقام

العثور على وحداتهم

قارن مع الصفر

العثور على مجموعهم

العثور على الفرق بينهما

العثور على العمل

العثور على الحاصل

اكتب الأرقام المقابلة لهم

العثور على المسافة بين هذه الأرقام

10) كم عدد الأعداد الصحيحة الموجودة بينهما

11) أوجد مجموع الأعداد الصحيحة الموجودة بينهما.

معايير التقييم: تم حل كل شيء بشكل صحيح - "5"

1-2 أخطاء - "4"

3-4 أخطاء - "3"

أكثر من 4 أخطاء - "2"

العمل الفرديعن طريق البطاقات(بالإضافة إلى ذلك).

البطاقة 1. حل المعادلة: 8.4 – (س – 3.6) = 18

البطاقة 2. حل المعادلة: -0.2x · (-4) = -0,8

البطاقة 3. حل المعادلة: =

إجابات على البطاقات :

1) 6; 2) -1; 3) 4/15.

لعبة "الامتحان".

عاش سكان البلاد بسعادة ولعبوا الألعاب وحلوا المسائل والمعادلات ودعونا للعب من أجل تلخيص النتائج.

يذهب الطلاب إلى السبورة ويأخذون بطاقة ويجيبون على السؤال المكتوب على ظهرها.

أسئلة:

1. أي من الرقمين السالبين يعتبر أكبر؟

2. صياغة قاعدة قسمة الأعداد السالبة.

3. صياغة قاعدة ضرب الأعداد السالبة.

4. صياغة قاعدة لضرب الأرقام بعلامات مختلفة.

5. صياغة قاعدة لتقسيم الأعداد ذات العلامات المختلفة.

6. صياغة قاعدة إضافة الأرقام السالبة.

7. قم بصياغة قاعدة لإضافة أرقام ذات علامات مختلفة.

8.كيفية العثور على طول القطعة على خط الإحداثيات؟

9. ما هي الأرقام التي تسمى الأعداد الصحيحة؟

10. ما هي الأرقام التي تسمى عقلانية؟

تلخيص.

مدرس:اليوم العمل في المنزلسوف تكون خلاقة:

قم بإعداد رسالة "الأرقام الإيجابية والسلبية من حولنا" أو قم بتأليف قصة خيالية.

« شكرا على الدرس!!!"

في هذا الدرس سوف نتذكر الخصائص الأساسية للعمليات على الأعداد. لن نقوم بمراجعة الخصائص الأساسية فحسب، بل سنتعلم أيضًا كيفية تطبيقها على الأعداد النسبية. سنقوم بتوحيد كل المعرفة المكتسبة من خلال حل الأمثلة.

الخصائص الأساسية للعمليات مع الأرقام:

الخاصيتان الأوليان هما خواص الجمع، والخاصيتان التاليتان هما خواص الضرب. الخاصية الخامسة تنطبق على كلتا العمليتين.

لا يوجد شيء جديد في هذه الخصائص. كانت صالحة لكل من الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة. وهي صحيحة أيضًا بالنسبة للأعداد النسبية وستكون صحيحة بالنسبة للأعداد التي سندرسها بعد ذلك (على سبيل المثال، الأعداد غير النسبية).

خصائص التقليب:

إعادة ترتيب الشروط أو العوامل لا يغير النتيجة.

خصائص الجمع:, .

يمكن إضافة أو ضرب أرقام متعددة بأي ترتيب.

خاصية التوزيع:.

الخاصية تربط كلا العمليتين - الجمع والضرب. وأيضا إذا قرأت من اليسار إلى اليمين تسمى قاعدة فتح القوسين، وإذا كانت في الجانب العكسي- حكم القضاء المضاعف المشتركخارج الأقواس.

تصف الخاصيتين التاليتين عناصر محايدةفي الجمع والضرب: إضافة الصفر والضرب في واحد لا يغير العدد الأصلي.

اثنين من الخصائص الأخرى التي تصف عناصر متناظرة وفي حالة الجمع والضرب، يكون مجموع الأعداد المتضادة صفرًا؛ عمل أرقام متبادلةيساوي واحدا.

العقار التالي : . إذا ضربنا العدد بصفر، فإن النتيجة ستكون دائمًا صفرًا.

الخاصية الأخيرة التي سننظر إليها هي: .

بضرب العدد في نحصل على الرقم المعاكس. هذه الخاصية لديها ميزة خاصة. جميع الخصائص الأخرى التي تم النظر فيها لا يمكن إثباتها باستخدام الخصائص الأخرى. ويمكن إثبات نفس الخاصية باستخدام الخصائص السابقة.

الضرب ب

لنثبت أنه إذا ضربنا رقمًا ما، نحصل على الرقم المعاكس. لهذا نستخدم خاصية التوزيع: .

وهذا صحيح بالنسبة لأي أرقام. دعونا نستبدل وبدلا من الرقم:

على اليسار بين قوسين يوجد مجموع الأعداد المتضادة. مجموعهم صفر (لدينا مثل هذه الخاصية). على اليسار الآن. على اليمين نحصل على: .

الآن لدينا صفر على اليسار، ومجموع رقمين على اليمين. لكن إذا كان مجموع رقمين يساوي صفرًا، فإن هذين الرقمين متضادان. لكن العدد له رقم معاكس واحد فقط: . إذن، هذا هو الأمر: .

وقد ثبت العقار.

تسمى هذه الخاصية التي يمكن إثباتها باستخدام الخواص السابقة نظرية

لماذا لا توجد خصائص الطرح والقسمة هنا؟ على سبيل المثال، يمكن كتابة خاصية التوزيع للطرح: .

ولكن منذ:

يمكن كتابة طرح أي عدد على أنه جمع عن طريق استبدال الرقم بعكسه:

يمكن كتابة القسمة على شكل ضرب بمقلوبها:

وهذا يعني أنه يمكن تطبيق خصائص الجمع والضرب على الطرح والقسمة. ونتيجة لذلك، أصبحت قائمة الخصائص التي يجب تذكرها أقصر.

جميع الخصائص التي تناولناها ليست حصريًا خصائص الأعداد النسبية. الأرقام الأخرى، على سبيل المثال، الأرقام غير المنطقية، تخضع أيضًا لجميع هذه القواعد. على سبيل المثال، مجموع العدد المقابل له هو صفر: .

الآن سوف ننتقل إلى الجزء العملي، مع حل العديد من الأمثلة.

الأرقام العقلانية في الحياة

تسمى خصائص الأشياء التي يمكننا وصفها كميًا، مع الإشارة إليها برقم ما قيم: الطول، الوزن، درجة الحرارة، الكمية.

يمكن الإشارة إلى نفس الكمية من خلال عدد صحيح أو عدد كسري، موجب أو سالب.

على سبيل المثال، طولك هو م - رقم كسري. ولكن يمكننا أن نقول أنه يساوي سم - وهذا بالفعل عدد صحيح (الشكل 1).

أرز. 1. الرسم التوضيحي على سبيل المثال

مثال آخر. درجة الحرارة السلبية على مقياس مئوية ستكون موجبة على مقياس كلفن (الشكل 2).

أرز. 2. الرسم التوضيحي على سبيل المثال

عند بناء جدار المنزل، يمكن لشخص واحد قياس العرض والارتفاع بالأمتار. نجح القيم الكسرية. سيقوم بإجراء جميع الحسابات الإضافية بأرقام كسرية (عقلانية). يمكن لشخص آخر قياس كل شيء بعدد الطوب في العرض والارتفاع. بعد أن تلقى قيمًا صحيحة فقط، سيقوم بإجراء العمليات الحسابية باستخدام الأعداد الصحيحة.

الكميات نفسها ليست عددًا صحيحًا ولا كسريًا، وليست سالبة ولا موجبة. لكن الرقم الذي نصف به قيمة الكمية هو بالفعل محدد تمامًا (على سبيل المثال، سالب وكسري). ذلك يعتمد على مقياس القياس. وعندما ننتقل من القيم الحقيقية إلى نموذج رياضي، ثم نعمل مع نوع معين من الأرقام

لنبدأ بالإضافة. يمكن إعادة ترتيب المصطلحات بأي طريقة تناسبنا، ويمكن تنفيذ الإجراءات بأي ترتيب. إذا كانت مصطلحات العلامات المختلفة تنتهي بنفس الرقم، فمن الملائم إجراء العمليات عليها أولاً. للقيام بذلك، دعونا نتبادل الشروط. على سبيل المثال:

الكسور المشتركة مع نفس القواسمسهلة الطي.

الأرقام المعاكسة تضيف ما يصل إلى الصفر. من السهل طرح الأرقام التي لها نفس العلامة العشرية. باستخدام هذه الخصائص، بالإضافة إلى قانون الجمع التبادلي، يمكنك تسهيل حساب قيمة التعبير التالي، على سبيل المثال:

من السهل إضافة الأرقام ذات ذيول عشرية تكميلية. مع كامل و في أجزاء كسرية أرقام مختلطةمريحة للعمل بشكل منفصل. نستخدم هذه الخصائص عند حساب قيمة التعبير التالي:

دعنا ننتقل إلى الضرب. هناك أزواج من الأرقام يسهل ضربها. باستخدام الخاصية التبادلية، يمكنك إعادة ترتيب العوامل بحيث تكون متجاورة. يمكن حساب عدد السلبيات في المنتج على الفور واستخلاص استنتاج حول علامة النتيجة.

خذ بعين الاعتبار هذا المثال:

إذا من العوامل يساوي الصفر، فإن الناتج يساوي صفرًا، على سبيل المثال: .

حاصل ضرب الأعداد المتبادلة يساوي واحدًا، والضرب في واحد لا يغير قيمة المنتج. خذ بعين الاعتبار هذا المثال:

دعونا نلقي نظرة على مثال باستخدام خاصية التوزيع. إذا قمت بفتح القوسين، فإن كل عملية ضرب ستكون سهلة.

الخصائص الأساسية للعمليات مع الأرقام:

خصائص التقليب:

إعادة ترتيب الشروط أو العوامل لا يغير النتيجة.

خصائص الجمع:, .

يمكن إضافة أو ضرب أرقام متعددة بأي ترتيب.

خاصية التوزيع:.

الخاصية تربط كلا العمليتين - الجمع والضرب. وكذلك إذا قرأتها من اليسار إلى اليمين تسمى قاعدة فتح القوسين، وإذا كانت في الاتجاه المعاكس تسمى قاعدة وضع العامل المشترك خارج القوسين.

تصف الخاصيتين التاليتين عناصر محايدةفي الجمع والضرب: إضافة الصفر والضرب في واحد لا يغير العدد الأصلي.

اثنين من الخصائص الأخرى التي تصف عناصر متناظرةوفي حالة الجمع والضرب، يكون مجموع الأعداد المتضادة صفرًا؛ حاصل ضرب الأعداد المتبادلة يساوي واحدًا.

العقار التالي : . إذا ضربنا العدد بصفر، فإن النتيجة ستكون دائمًا صفرًا.

الخاصية الأخيرة التي سننظر إليها هي: .

بضرب رقم في نحصل على الرقم المعاكس. هذه الخاصية لديها ميزة خاصة. جميع الخصائص الأخرى التي تم النظر فيها لا يمكن إثباتها باستخدام الخصائص الأخرى. ويمكن إثبات نفس الخاصية باستخدام الخصائص السابقة.

الضرب ب

لنثبت أنه إذا ضربنا رقمًا ما، نحصل على الرقم المعاكس. لهذا نستخدم خاصية التوزيع: .

وهذا صحيح بالنسبة لأي أرقام. دعونا نستبدل وبدلا من الرقم:

وقد ثبت العقار.

تسمى هذه الخاصية التي يمكن إثباتها باستخدام الخواص السابقة نظرية

لماذا لا توجد خصائص الطرح والقسمة هنا؟ على سبيل المثال، يمكن كتابة خاصية التوزيع للطرح: .

ولكن منذ:

يمكن كتابة طرح أي عدد على أنه جمع عن طريق استبدال الرقم بعكسه:

يمكن كتابة القسمة على شكل ضرب بمقلوبها:

الآن سوف ننتقل إلى الجزء العملي، مع حل العديد من الأمثلة.

الأرقام العقلانية في الحياة

يمكن الإشارة إلى نفس الكمية من خلال عدد صحيح أو عدد كسري، موجب أو سالب.

على سبيل المثال، طولك m هو رقم كسري. ولكن يمكننا أن نقول أنه يساوي سم - وهذا بالفعل عدد صحيح (الشكل 1).

أرز. 1. الرسم التوضيحي على سبيل المثال

مثال آخر. درجة الحرارة السلبية على مقياس مئوية ستكون موجبة على مقياس كلفن (الشكل 2).

أرز. 2. الرسم التوضيحي على سبيل المثال

عند بناء جدار المنزل، يمكن لشخص واحد قياس العرض والارتفاع بالأمتار. ينتج كميات كسرية. سيقوم بإجراء جميع الحسابات الإضافية بأرقام كسرية (عقلانية). يمكن لشخص آخر قياس كل شيء بعدد الطوب في العرض والارتفاع. بعد أن تلقى قيمًا صحيحة فقط، سيقوم بإجراء العمليات الحسابية باستخدام الأعداد الصحيحة.

الكميات نفسها ليست عددًا صحيحًا ولا كسريًا، وليست سالبة ولا موجبة. لكن الرقم الذي نصف به قيمة الكمية هو بالفعل محدد تمامًا (على سبيل المثال، سالب وكسري). ذلك يعتمد على مقياس القياس. وعندما ننتقل من الكميات الحقيقية إلى النموذج الرياضي، فإننا نعمل مع نوع معين من الأرقام

من السهل إضافة الكسور المشتركة ذات المقامات المتشابهة.

من السهل إضافة الأرقام ذات ذيول عشرية تكميلية. من الملائم العمل مع الأجزاء الصحيحة والكسرية من الأعداد الكسرية بشكل منفصل. نستخدم هذه الخصائص عند حساب قيمة التعبير التالي:

خذ بعين الاعتبار هذا المثال:

إذا كان أحد العوامل يساوي صفراً فإن الناتج يساوي صفراً، على سبيل المثال: .

حاصل ضرب الأعداد المتبادلة يساوي واحدًا، والضرب في واحد لا يغير قيمة المنتج. خذ بعين الاعتبار هذا المثال:

دعونا نلقي نظرة على مثال باستخدام خاصية التوزيع. إذا قمت بفتح القوسين، فإن كل عملية ضرب ستكون سهلة.