الفصل رقم 9 فيبوناتشي، النسبة الذهبية والنجمة الخماسية تسلسل فيبوناتشي ليس مجرد نمط أرقام عشوائي اخترعه عالم الرياضيات الإيطالي هذا. إنها ثمرة فهم العلاقات المكانية التي تجري في الطبيعة ثم يتم تلقيها فيما بعد

حلزوني. ملف مسألة الحياة الدوامة هو واحد من السمات المميزةلجميع الكائنات الحية كمظهر من مظاهر جوهر الحياة. جي جوته متناقض وغامض رمز مقدس. يجسد اللولب في نفس الوقت رمزية الحياة والموت، ويستمر التطور

دوامة أرخميدس وقانون الأوكتاف الفن - وأعني الفن الحقيقي الجيد - يعتمد، من بين أمور أخرى، على مبادئ التوازن والديناميكيات والموقع والتكوين. ويجب أن تكون هذه العناصر متناغمة ومتفاعلة مع بعضها البعض من أجل ذلك

بناء دوامة أرخميدس تنقسم الخطوة المعطاة من دوامة أرخميدس إلى عدة، على سبيل المثال ثمانية، اجزاء متساوية. من نهاية المقطع، ارسم دائرة R = t وقسمها إلى عدد من الأجزاء المتساوية التي تم تقسيم الخطوة t إليها على الشعاع الأول، عن طريق رسم قوس نصف القطر

تسلسل فيبوناتشي يرتبط اسم عالم الرياضيات ليوناردو من بيزا، المعروف باسم فيبوناتشي (ابن بوناتشي)، بتاريخ النسبة الذهبية. وكان أشهر عالم رياضيات في العصور الوسطى. وفي عام 1202، صدر كتابه "كتاب العداد" (لوحة العد)، حيث كان هناك

التأمل في اللولب سيستغرق التأمل في اللولب وقتًا، ويجب أن يتم ذلك في غضون ساعة. ومن الأفضل اختيار ساعات الصباح أو بعد الظهر من عطلة نهاية الأسبوع للتأمل. اجعل غرفة التأمل مظلمة وأشعل شمعة. اجلس بشكل مستقيم وحاول التخلص من كل شيء

يبدأ بناء دوامة أرخميدس ببناء دائرة نصف قطرها يساوي درجة اللولب باستخدام أمر الدائرة. من وسط الدائرة عنالأمر يتم تنفيذ الجزء خط أفقي، تساوي خطوة دوامة أرخميدس الزراعة العضوية. تنقسم الدائرة والقطعة إلى 12 جزءًا متساويًا. يمكن تقسيم مقطع الخط إلى 12 جزءًا متساويًا باستخدام أمر تقسيم المنحنى إلى أجزاء n. من خلال نقاط تقسيم القطعة الزراعة العضويةباستخدام الأمر متساوي البعد، انسخ الدوائر: يجب أن يكون هناك 12 دائرة. باستخدام أمر النسخ على طول الدائرة، قم بإنشاء مصفوفة قطبية من خطوة حلزونية مقسمة إلى 12 جزءًا (الشكل 3.50).

أرز. 3.50. بناء دوامة أرخميدس

نقاط تقاطع الدرجات ودوائر أنصاف الأقطار 1/12، 2/12، 3/12، إلخ. متصلة بواسطة خط متعدد باستخدام أمر قطعة الخط، بدءًا من مركز اللولب (النقطة عن)، مع الأخذ بعين الاعتبار اتجاه دوران الجسم. باستخدام أمر NURBS، يتم الحصول على خط دوامة أرخميدس (الشكل 3.51).

لبناء عدد أكبر من المنعطفات في دوامة أرخميدس، قم ببناء دائرة نصف قطرها يساوي خطوتين من اللولب، أو ثلاث خطوات، وبالتالي، قم بتقسيم خطوتين إلى 24 جزءًا، 2.5 خطوة إلى 30 جزءًا.

أرز. 3.51. تم بناء دوامة أرخميدس باستخدام أمر NURBS

بناء حليقة ذات مركزين

أولاً، قم ببناء خط مساعد أفقي. ثم يتم وضع قطعة عليه. من المركز الأول يتم بناء دائرة نصف قطرها O 1 O 2، ومن المركز الثاني يتم بناء دائرة نصف قطرها 2O 1 O 2 (الشكل 3.52).

أرز. 3.52. بناء حليقة ذات مركزين باستخدام الدوائر

بعد إنشاء العدد المطلوب من الدوائر، تتم إزالة أجزائها الزائدة باستخدام أمر Trim Curve (الشكل 3.53).

أضف الأبعاد الشعاعية إلى أنصاف الدوائر، مع التأكد من تضاعف نصف القطر لكل دائرة لاحقة.

أرز. 3.53. حليقة ذات مركزين

العمل مع النص

يتيح لك أمر النص إنشاء نقش نصي في رسم أو جزء. يمكن أن يتكون كل نقش من عدد عشوائي من الأسطر.

لاستدعاء الأمر، انقر فوق زر النص الموجود على شريط أدوات الرموز.

بعد استدعاء الأمر، يتحول KOMPAS إلى الوضع النصي. يؤدي هذا إلى تغيير عدد وأسماء أوامر القائمة الرئيسية، بالإضافة إلى تكوين اللوحة المضغوطة.

باستخدام مجموعة من المفاتيح إقامةحدد موقع النص بالنسبة لنقطة الربط.

في الميدان ركنيمكنك إدخال زاوية ميل أسطر النص إلى المحور X لنظام الإحداثيات الحالي.

حدد نقطة ربط النص.

أدخل العدد المطلوب من الأسطر، وأنهي كل سطر منها بالضغط على أحد المفاتيح<يدخل>.

يمكنك تغيير إعدادات النص الافتراضية باستخدام عناصر التحكم الموجودة في علامة التبويب التنسيقلوحات الخصائص، بالإضافة إلى إدراج كائنات خاصة مختلفة باستخدام عناصر علامة التبويب إدراج.

لالتقاط الصورة، اضغط على الزر إنشاء كائنفي لوحة التحكم الخاصة

إجراءات أداء العمل المختبري

إنشاء جزء جديد.

قم ببناء دوامة أرخميدس حسب التعليمات.

قم بإنشاء تجعيد مخصص.

حفظ الملف.

أدخل الأبعاد المطلوبة.

أدخل تعيين المركز ودرجة اللولب باستخدام أمر النص.

قم بإنشاء نقش في القطعة يحتوي على اسم الطالب، المجموعة، رقم. العمل المختبري، رقم الخيار، تاريخ الإنشاء.

تُستخدم حلزونات أرخميدس على نطاق واسع في بناء الأشكال الهندسية للمحاثات والمبادلات الحرارية الحلزونية وأجهزة الموائع الدقيقة. في هذا المقال سوف نوضح كيفية بناء دوامة أرخميدس باستخدام التعبيرات التحليليةومشتقاتها لتحديد المنحنيات اللازمة. سنقوم أولاً بإنشاء هندسة ثنائية الأبعاد، وبعد تحديد السُمك المطلوب، سنقوم بتحويلها إلى ثلاثية الأبعاد باستخدام عملية Extrude.

ما هي دوامة أرخميدس؟

على نطاق واسع في الطبيعة، يتم استخدام اللوالب أو الزهرات في كثير من الأحيان الهياكل الهندسية. على سبيل المثال، في الهندسة الكهربائية والإلكترونية، يتم لف المحاثات باستخدام موصلات حلزونية الشكل أو تم تصميم هوائيات حلزونية. في الهندسة الميكانيكية، يتم استخدام الحلزونات في تصميم النوابض، أو التروس الحلزونية، أو حتى آليات الساعة، والتي يظهر أحدها أدناه.

مثال على دوامة أرخميدس المستخدمة في آلية الساعة. الصورة مجاملة من جروبيل فورسي. متاح تحت CC BY-SA 3.0 من ويكيميديا ​​​​كومنز.

في هذه المقالة سوف نقوم بتحليل نوع واحد فقط من الحلزونات، وهي دوامة أرخميدس، والتي تم تصويرها في الآلية أعلاه. دوامة أرخميدس- هذا نوع خاصاللوالب مع مسافة ثابتة بين المنعطفات. بسبب هذه الخاصية، يتم استخدامه على نطاق واسع في تصميم الملفات والينابيع.

تتم كتابة معادلة دوامة أرخميدس في نظام الإحداثيات القطبية على النحو التالي:

حيث a وb عبارة عن معلمات تحدد نصف القطر الأولي للدوامة والمسافة بين المنعطفات، والتي تساوي 2\pi b. لاحظ أن دوامة أرخميدس تسمى أحيانًا أيضًا دوامة حسابية. يرتبط هذا الاسم بالاعتماد الحسابي للمسافة من بداية المنحنى إلى نقاط اللولب الواقعة على نفس الخط الشعاعي.

تحديد الهندسة المعلمية لدوامة أرخميدس

الآن بعد أن عرفت بالفعل ما هي دوامة أرخميدس، فلنبدأ في تحديد المعلمات وإنشاء الهندسة في COMSOL Multiphysics.

يمكن تحديد دوامة أرخميدس في كل من الإحداثيات القطبية والديكارتية.

تحتاج أولاً إلى تحويل المعادلة الحلزونية من النظام القطبيالإحداثيات إلى الديكارتية والتعبير عن كل معادلة في شكل حدودي:

\begin(align*) x_(component)=rcos(\theta) \\ y_(component)=rsin(\theta) \end(align*)

بعد تحويل المعادلة الحلزونية بالشكل البارامترى إلى النظام الديكارتيالإحداثيات سوف تأخذ الشكل:

\begin(align*) x_(component)=(a+b\theta)cos(\theta) \\ y_(component)=(a+b\theta)sin(\theta) \end(align*)

في COMSOL Multiphysics، نحتاج إلى تحديد مجموعة من المعلمات التي سيتم استخدامها لتحديد هندسة الحلزون. في حالتنا، هذان هما نصف القطر الأولي والنهائي للدوامة a_(الأولي) وa_(النهائي)، على التوالي، وعدد اللفات n. تم العثور على مؤشر نمو الحلزون b على النحو التالي:

ب=\frac(a_(النهائي)-a_(الأولي))(2 \pi n)

من الضروري أيضًا تحديد زوايا البداية والنهاية للدوامة - theta_0 وtheta_f، على التوالي. لنبدأ بهم - theta_0=0 و theta_f=2 \pi n . بناءً على المعلومات المقدمة، نحدد المعلمات اللازمة لبناء هندسة اللولب.

المعلمات المستخدمة لبناء الهندسة الحلزونية.

لنبدأ البناء لدينا عن طريق الاختيار مشكلة ثلاثية الأبعاد (مكون ثلاثي الأبعاد)وإنشاء طائرة عمل(طائرة العمل) في القسم الهندسة(الهندسة). في الهندسة ل طائرة عمليضيف المنحنى البارامترى(منحنى حدودي) والكتابة المعادلات البارامتريةالموصوفة أعلاه، لتحديد الهندسة ثنائية الأبعاد لدوامة أرخميدس. يمكن إدخال هذه المعادلات على الفور في الحقول المناسبة في علامة التبويب تعبيرأو يمكنك أولاً تعيين كل معادلة على حدة تحليليةالوظيفة التحليلية:

\begin(align*) X_(fun)=(a+bs)cos(s) \\ Y_(fun)=(a+bs)sin(s) \\ \end(align*)

تم تقديم التعبير الخاص بالمكون X في معادلة أرخميدس الحلزونيةتحليلي وظيفة.

تحليليةيمكن بعد ذلك استخدام الوظيفة كتعبير في عقدة منحنى حدودي. في علامة تبويب المعلمة، قم بتعيين المعلمة s من زاوية البداية، theta_0، إلى قيمتها النهائية، theta_f=2 \pi n.

إعدادات المنحنى البارامترى.

بمجرد تعيين كافة المعلمات والنقر فوق الزر "إنشاء محدد"، سيتم إنشاء المنحنى الموضح في لقطة الشاشة أعلاه. الآن دعونا نضبط سمك اللولب للحصول على شكل متين ثنائي الأبعاد.

حتى هذه النقطة، كانت معلمات المنحنى لدينا هي نصف القطر الأولي (a_(الأولي)) والنهائي (a_(النهائي)) وعدد اللفات n. الآن نريد إضافة شيء آخر - سمك اللولب.

دعونا نتذكر مرة أخرى الخاصية الرئيسية للدوامة - المسافة بين المنعطفات ثابتة وتساوي 2\pi b. ما يعادل \frac(a_(نهائي)-a_(الأولي))(n). لإضافة سمك إلى معادلاتنا، نمثل المسافة بين اللفات كمجموع سمك اللولب والفجوة سميكة + الفجوة.

يتم تحديد المسافة بين المنعطفات من خلال سمك اللولب وحجم الفجوة.

\begin(align*) المسافة=\frac(a_(الأولي)-a_(النهائي))(n) \\ الفجوة=مسافة سميكة \end(align*)

بعد ذلك نعبر عن معدل نمو الحلزوني بدلالة السمك:

\begin(align*) distance=2\pi b \\ b=\frac(فجوة+سميكة)(2\pi) \end(align*)

تحتاج أيضًا إلى التعبير عن الزاوية النهائية للدوامة من حيث زاوية البداية ونصف القطر النهائي:

\begin(align*) \theta_(final)=2 \pi n \\ a_(final)=\text(المسافة الإجمالية)+a_(initial) \\ a_(final)=2 \pi bn+a_(initial) \\ n=\frac(a_(نهائي)-a_(أولي))(2 \pi b) \\ \theta_(نهائي)=\frac(2 \pi (a_(نهائي)-a_(أولي)))( 2 \pi b) \\ \theta_(final)=\frac(a_(final)-a_(initial))(b) \end(align*)

هل تريد تعيين زاوية بداية غير صفرية للدوامة؟ إذا كان الأمر كذلك، فسوف تحتاج إلى إضافتها إلى التعبير لتحديد الزاوية النهائية: theta_f=\frac(a_(النهائي)-a_(الأولي))(ب)+theta_0.

إن تكرار المنحنى الحلزوني مرتين بإزاحة -\frac(سميك)(2) و+\frac(سميك)(2) بالنسبة للمنحنى الأولي يسمح لك ببناء حلزوني بسمك معين. لوضع اللوالب الداخلية والخارجية بشكل صحيح، عليك التأكد من أن بدايات هذه المنحنيات متعامدة مع الخط الذي تقع عليه نقاط بدايتها. يمكن القيام بذلك عن طريق ضرب مسافة الإزاحة \pm\frac(thick)(2) في متجه الوحدة الطبيعي للمنحنى الأولي للحلزون. معادلات المتجهات العادية في الصورة البارامترية:

n_x=-\frac(dy)(ds) \quad \text(and) \quad n_y=\frac(dx)(ds)

حيث s هي المعلمة المستخدمة في عقدة المنحنى البارامترى. للحصول على التطبيع ناقلات الوحدة، فمن الضروري تقسيم هذه التعبيرات على طول العمودي:

\sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2 )

المعادلات البارامترية المحدثة لدوامة أرخميدس:

\begin(align*) x_(component)=(a+bs)cos(s)-\frac(dy/ds)(\sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2))\ فارك(سميك)(2) \\ y_(مكون)=(a+bs)sin(s)+\frac(dx/ds)(\sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2 ))\فارك(سميك)(2)\نهاية(محاذاة*)

إن كتابة مثل هذه التعبيرات الطويلة أمر غير مريح تمامًا، لذلك نقدم الترميز التالي:

\begin(align*) N_x=-\frac(dy/ds)(\sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2)) \\ N_y=\frac(dx/ds)(\ sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2 )) \end(align*)

حيث يتم تعريف N_x وN_y تحليليوظائف في COMSOL Multiphysics، تشبه X_(fun) وY_(fun) في المثال الأول. داخل الدالة، يتم استخدام عامل المشتقة، d(f(x),x)، كما هو موضح في لقطة الشاشة أدناه.

أمثلة على عامل المشتقة المستخدمة فيتحليلي المهام

يمكن استخدام الوظائف X_(fun) وY_(fun) وN_x وN_y في التعبيرات لتحديد منحنى حدودي، كما في إحدى الطرق:

\begin(align*) x_(lower)=X_(متعة)(s)+N_x(s)\frac(سميك)(2) \\ y_(lower)=Y_(متعة)(s)+N_y(s) \frac(سميك)(2) \end(محاذاة*)

وهكذا في الآخر:

\begin(align*) x_(upper)=X_(متعة)(s)-N_x(s)\frac(سميك)(2) \\ y_(upper)=Y_(متعة)(s)-N_y(s) \frac(سميك)(2) \end(محاذاة*)

تعبيرات للمنحنى البارامترى المنزاح الثانى.

لتوصيل الأطراف، سنضيف منحنيين بارامتريين آخرين باستخدام تغييرات طفيفةالمعادلات أعلاه. بالنسبة للمنحنى الذي سيربط اللولب في المركز، تحتاج إلى تحديد X_(fun) و Y_(fun) و N_x و N_y لـ القيمة البدائيةالزاوية، ثيتا. يجب إعطاء المنحنى الذي سيربط الأطراف قيمة ثيتا النهائية. وبناء على ذلك فإن معادلات المنحنى عند المركز هي:

\begin(align*) X_(fun)(theta_0)+s\cdot N_x(theta_0)\cdot\frac(سميك)(2) \\ Y_(fun)(theta_0)+s\cdot N_y(theta_0)\cdot \frac(سميك)(2) \end(محاذاة*)

معادلات المنحنى في النهاية:

\begin(align*) X_(fun)(theta_f)+s\cdot N_x(theta_f)\cdot\frac(سميك)(2) \\ Y_(fun)(theta_f)+s\cdot N_y(theta_f)\cdot \frac(سميك)(2) \end(محاذاة*)

في هذه المعادلات، تتراوح المعلمة s من -1 إلى 1، كما هو موضح في لقطة الشاشة أدناه.

معادلات المنحنى الذي يربط الحلزون في المركز.

ونتيجة لذلك، أصبح لدينا خمسة منحنيات تحدد خط الوسط للدوامة وأضلاعها الأربعة. خط الوسطيمكن تعطيل (تعطيل الوظيفة) أو حتى إزالتها، لأنها ليست ضرورية. عن طريق إضافة عقدة تحويل إلى الصلبة، نقوم بإنشاء واحد كائن هندسي. الخطوة الأخيرة هي بثق ملف التعريف هذا باستخدام العملية بثقوإنشاء كائن ثلاثي الأبعاد.

ممتلىء تسلسل هندسيوالهندسة اللولبية الممدودة (المبثوقة) ثلاثية الأبعاد.

ملخص لمحاكاة دوامة أرخميدس في COMSOL Multiphysics

في هذه المذكرة، قمنا بدراسة الخطوات الرئيسية لإنشاء دوامة أرخميدس البارامترية. مع هذا النموذج يمكنك تجربته معان مختلفةالمعلمات، وحاول أيضًا حل مشكلة التحسين باستخدام هذه المعلمة. نأمل أن تكون هذه المقالة مفيدة وسوف تقوم بالتقديم هذه التقنيةفي نماذجها اللاحقة.

موارد إضافية حول التصميم الحلزوني والحساب

• لتحسين مهاراتك في النمذجة الحلزونية، راجع النماذج التعليمية التالية:
• تعرف على تجربة أحد مستخدمينا: