إجابة: السلسلة تتباعد.

المثال رقم 3

أوجد مجموع المتسلسلة $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

بما أن الحد الأدنى للجمع هو 1، فسيتم كتابة الحد الشائع للمتسلسلة تحت علامة المجموع: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. دعونا نجعل المجموع الجزئي n للسلسلة، أي. لنجمع الحدود الأولى $n$ لسلسلة أرقام معينة:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9) )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

لماذا أكتب بالضبط $\frac(2)(3\cdot 5)$، وليس $\frac(2)(15)$، سيكون واضحًا من السرد الإضافي. ومع ذلك، فإن تدوين مبلغ جزئي لم يقربنا ذرة واحدة من هدفنا. نحن بحاجة إلى العثور على $\lim_(n\to\infty)S_n$، ولكن إذا كتبنا فقط:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ فارك(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\يمين)، $$

فإن هذا السجل، الصحيح تمامًا من حيث الشكل، لن يقدم لنا شيئًا في جوهره. للعثور على النهاية، يجب أولاً تبسيط التعبير الخاص بالمجموع الجزئي.

هناك تحويل قياسي لهذا، والذي يتمثل في تحليل الكسر $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$، الذي يمثل الحد العام للسلسلة، إلى كسور أولية. تم تخصيص موضوع منفصل لمسألة تحلل الكسور المنطقية إلى أجزاء أولية (انظر على سبيل المثال المثال رقم 3 في هذه الصفحة). بتوسيع الكسر $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ إلى كسور أولية، سيكون لدينا:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

نحن نساوي بسط الكسور على الجانبين الأيسر والأيمن للمساواة الناتجة:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

هناك طريقتان للعثور على قيم $A$ و$B$. يمكنك فتح الأقواس وإعادة ترتيب المصطلحات، أو يمكنك ببساطة استبدال بعض القيم المناسبة بدلاً من $n$. فقط من أجل التنوع، في هذا المثال سنذهب في الاتجاه الأول، وفي المثال التالي سنستبدل القيم الخاصة $n$. وبفتح الأقواس وإعادة ترتيب الحدود نحصل على:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

على الجانب الأيسر من المساواة، $n$ يسبقه صفر. إذا أردت، من أجل الوضوح، يمكن تمثيل الجانب الأيسر من المساواة كـ $0\cdot n+ 2$. بما أنه على الجانب الأيسر من المساواة $n$ يسبقه صفر، وعلى الجانب الأيمن من المساواة $n$ يسبقه $2A+2B$، لدينا المعادلة الأولى: $2A+2B=0$. دعونا نقسم طرفي هذه المعادلة على الفور على 2، وبعد ذلك نحصل على $A+B=0$.

بما أن الحد الحر على الجانب الأيسر من المساواة يساوي 2، وعلى الجانب الأيمن من المساواة، فإن الحد الحر يساوي $3A+B$، ثم $3A+B=2$. لذلك، لدينا نظام:

$$ \left\(\begin(محاذاة) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(محاذاة)\right. $$

سنقوم بالإثبات باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي. في الخطوة الأولى، عليك التحقق مما إذا كانت المساواة التي تم إثباتها صحيحة $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ لـ $n=1$. نحن نعلم أن $S_1=u_1=\frac(2)(15)$، لكن هل التعبير $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ يعطي القيمة $\frac( 2 )(15)$، إذا عوضنا بـ $n=1$ فيه؟ دعونا تحقق:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

لذلك، بالنسبة إلى $n=1$، يتم تحقيق المساواة $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. وبهذا تكتمل الخطوة الأولى من طريقة الاستقراء الرياضي.

لنفترض أنه بالنسبة لـ $n=k$ فإن المساواة راضية، أي $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. دعونا نثبت أنه سيتم تحقيق نفس المساواة لـ $n=k+1$. للقيام بذلك، فكر في $S_(k+1)$:

$$ S_(ك+1)=S_k+u_(ك+1). $$

بما أن $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$، ثم $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. وفقًا للافتراض أعلاه $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$، فإن الصيغة $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ سوف تأخذ النموذج:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ فارك(1)(2(ك+1)+3)=\فارك(1)(3)-\فارك(1)(2(ك+1)+3). $$

الخلاصة: الصيغة $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ صحيحة لـ $n=k+1$. لذلك، وفقًا لطريقة الاستقراء الرياضي، فإن الصيغة $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ صحيحة لأي $n\in N$. وقد ثبت المساواة.

في دورة قياسية للرياضيات العليا، عادة ما يكونون راضين عن "شطب" المصطلحات الملغاة، دون الحاجة إلى أي دليل. إذن، حصلنا على التعبير للمجموع الجزئي n: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. لنجد قيمة $\lim_(n\to\infty)S_n$:

الاستنتاج: المتسلسلة المعطاة متقاربة ومجموعها $S=\frac(1)(3)$.

الطريقة الثانية لتبسيط صيغة المجموع الجزئي.

بصراحة، أفضل هذه الطريقة بنفسي :) دعنا نكتب المبلغ الجزئي في نسخة مختصرة:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

لقد حصلنا سابقًا على $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$، وبالتالي:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\يمين). $$

يحتوي المجموع $S_n$ على عدد محدود من الحدود، لذا يمكننا إعادة ترتيبها كما نشاء. أريد أولاً إضافة جميع مصطلحات النموذج $\frac(1)(2k+1)$، وبعد ذلك فقط انتقل إلى مصطلحات النموذج $\frac(1)(2k+3)$. وهذا يعني أننا سنعرض المبلغ الجزئي على النحو التالي:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ فارك(1)(9)+\فارك(1)(9)-\فارك(1)(11)+\ldots+\فارك(1)(2n+1)-\فارك(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1) )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

بالطبع، التدوين الموسع غير مريح للغاية، لذلك يمكن كتابة المساواة المذكورة أعلاه بشكل أكثر إحكاما:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( ك=1)^(ن)\فارك(1)(2ك+1)-\مجموع\حدود_(ك=1)^(ن)\فارك(1)(2ك+3). $$

الآن دعونا نحول التعبيرات $\frac(1)(2k+1)$ و$\frac(1)(2k+3)$ إلى شكل واحد. أعتقد أنه من المناسب تقليله إلى شكل جزء أكبر (على الرغم من أنه من الممكن استخدام أصغر، فهذه مسألة ذوق). بما أن $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (كلما كان المقام أكبر، كان الكسر أصغر)، فسنعطي الكسر $\frac(1)(2k+ 3) $ إلى النموذج $\frac(1)(2k+1)$.

سأقدم التعبير في مقام الكسر $\frac(1)(2k+3)$ كما يلي:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

ويمكن الآن كتابة المبلغ $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ كما يلي:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

إذا كانت المساواة $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ لا يثير أي أسئلة، فلننتقل. إذا كان لديك أي أسئلة، يرجى توسيع الملاحظة.

كيف حصلنا على المبلغ المحول؟ اظهر المخفي

كان لدينا سلسلة $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( ك+1)+1)$. لنقم بإدخال متغير جديد بدلاً من $k+1$ - على سبيل المثال، $t$. إذن $t=k+1$.

كيف تغير المتغير القديم $k$؟ وتغير من 1 إلى $n$. دعونا نكتشف كيف سيتغير المتغير الجديد $t$. إذا كان $k=1$، فإن $t=1+1=2$. إذا كان $k=n$، فإن $t=n+1$. لذلك، يصبح التعبير $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ الآن: $\sum\limits_(t=2)^(n) +1)\فارك(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1) )(2ر+1). $$

لدينا المجموع $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. السؤال: هل يهم أي حرف يستخدم في هذا المبلغ؟ :) وببساطة كتابة الحرف $k$ بدلاً من $t$، نحصل على ما يلي:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

هذه هي الطريقة التي نحصل بها على المساواة $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+ 1) \frac(1)(2k+1)$.

وبالتالي يمكن تمثيل المبلغ الجزئي على النحو التالي:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) ). $$

لاحظ أن المجاميع $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ و$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1) )(2k+1)$ تختلف فقط في حدود الجمع. دعونا نجعل هذه الحدود هي نفسها. "بإزالة" العنصر الأول من المجموع $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ سيكون لدينا:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

"بإزالة" العنصر الأخير من المجموع $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$، نحصل على:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3) ).$$

ثم التعبير عن المبلغ الجزئي سوف يأخذ الشكل:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ فارك(1)(3)-\فارك(1)(2n+3). $$

إذا تخطيت كل التوضيحات، فإن عملية العثور على صيغة مختصرة للمجموع الجزئي n ستأخذ الشكل التالي:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k) =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

اسمحوا لي أن أذكرك أننا قمنا بتبسيط الكسر $\frac(1)(2k+3)$ إلى الشكل $\frac(1)(2k+1)$. وبطبيعة الحال، يمكنك أن تفعل العكس، أي. قم بتمثيل الكسر $\frac(1)(2k+1)$ كـ $\frac(1)(2k+3)$. لن يتغير التعبير النهائي للمجموع الجزئي. وفي هذه الحالة سأخفي عملية إيجاد المبلغ الجزئي تحت ملاحظة.

كيف تجد $S_n$ إذا تم تحويلها إلى كسر آخر؟ اظهر المخفي

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3) ). $$

لذا، $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. أوجد الحد $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

تتقارب المتسلسلة المعطاة ومجموعها $S=\frac(1)(3)$.

إجابة: $S=\frac(1)(3)$.

سيتم مناقشة استمرار موضوع إيجاد مجموع المتسلسلة في الجزأين الثاني والثالث.

التعاريف الأساسية

تعريف. يُطلق على مجموع حدود تسلسل رقمي لا نهائي اسم سلسلة الأرقام.

في هذه الحالة، سوف نسمي أرقام أعضاء السلسلة، وun - المصطلح الشائع للسلسلة.

تعريف. المجاميع، n = 1، 2، ... تسمى المجاميع الخاصة (الجزئية) من السلسلة.

وبالتالي، من الممكن النظر في تسلسلات المجاميع الجزئية للمتسلسلات S1، S2، …، Sn، …

تعريف. تسمى المتسلسلة متقاربة إذا كانت متتابعة مجاميعها الجزئية متقاربة. مجموع المتسلسلة المتقاربة هو نهاية متتابعة مجاميعها الجزئية.

تعريف. إذا تباعدت تسلسل المجاميع الجزئية لسلسلة، أي. ليس لها نهاية، أو لها نهاية لا نهاية لها، فتسمى المتسلسلة متباعدة ولم يسند لها مجموع.

خصائص الصف

1) لن يتم انتهاك تقارب المتسلسلة أو تباعدها إذا قمت بتغيير أو تجاهل أو إضافة عدد محدود من حدود المتسلسلة.

2) النظر في سلسلتين، حيث C هو رقم ثابت.

نظرية. إذا تقاربت المتسلسلة وكان مجموعها يساوي S، فإن المتسلسلة تتقارب أيضًا ومجموعها يساوي CS. (ج 0)

3) النظر في صفين و. سيتم تسمية مجموع هذه المتسلسلة أو الفرق بينها بسلسلة يتم الحصول على العناصر فيها نتيجة جمع (طرح) العناصر الأصلية بنفس الأرقام.

نظرية. إذا كانت المتسلسلة والتقارب ومجموعهما يساوي S وعلى التوالي، فإن المتسلسلة تتقارب أيضًا ومجموعها يساوي S +.

الفرق بين سلسلتين متقاربتين سيكون أيضًا متسلسلة متقاربة.

مجموع المتسلسلة المتقاربة والمتباعدة هو متسلسلة متباعدة.

من المستحيل الإدلاء ببيان عام حول مجموع سلسلتين متباعدتين.

عند دراسة المتسلسلة، يقومون بشكل أساسي بحل مشكلتين: دراسة التقارب وإيجاد مجموع المتسلسلة.

معيار كوشي.

(الشروط الضرورية والكافية لتقارب المتسلسلة)

لكي يكون التسلسل متقاربًا، من الضروري والكافي أن يكون هناك رقم N بحيث يكون n > N وأي p > 0، حيث p عددًا صحيحًا، فإن عدم المساواة سيكون كما يلي:

دليل. (ضروري)

دع إذن لأي رقم يوجد رقم N بحيث يكون عدم المساواة

يتحقق عندما n > N . بالنسبة لـ n>N وأي عدد صحيح p>0، فإن عدم المساواة ينطبق أيضًا. وبأخذ المتباينتين بعين الاعتبار نحصل على:

وقد ثبتت الحاجة. ولن ننظر في إثبات الكفاية.

دعونا نقوم بصياغة معيار كوشي للسلسلة.

لكي تكون المتسلسلة متقاربة، من الضروري والكافي أن يوجد رقم N بحيث يكون بالنسبة لـ n>N وأي p>0 المتباينة

ومع ذلك، في الممارسة العملية، فإن استخدام معيار كوشي مباشرة ليس مريحًا للغاية. ولذلك، كقاعدة عامة، يتم استخدام اختبارات التقارب أبسط:

1) إذا كانت المتسلسلة متقاربة فمن الضروري أن يميل الحد المشترك un إلى الصفر. ومع ذلك، هذا الشرط ليس كافيا. لا يسعنا إلا أن نقول إنه إذا كان الحد المشترك لا يميل إلى الصفر، فإن المتسلسلة تتباعد بالتأكيد. على سبيل المثال، ما يسمى بالمتسلسلة التوافقية هي متباعدة، على الرغم من أن حدها الشائع يميل إلى الصفر.

سلسلة الأرقام هي تسلسل يتم اعتباره مع تسلسل آخر (ويسمى أيضًا تسلسل المجاميع الجزئية). وتستخدم مفاهيم مماثلة في التحليل الرياضي والمعقد.

يمكن حساب مجموع سلسلة الأرقام بسهولة في برنامج Excel باستخدام الدالة SERIES.SUM. دعونا نلقي نظرة على مثال لكيفية عمل هذه الوظيفة، ثم نبني رسمًا بيانيًا للوظائف. دعونا نتعلم كيفية استخدام سلسلة الأرقام عمليًا عند حساب نمو رأس المال. لكن أولاً، القليل من النظرية.

مجموع سلسلة الأرقام

يمكن اعتبار سلسلة الأرقام بمثابة نظام تقريبي للأرقام. لتعيينه، استخدم الصيغة:

فيما يلي التسلسل الأولي للأرقام في السلسلة وقاعدة الجمع:

• ∑ - علامة رياضية للمجموع؛
• أ - حجة عامة؛
• i هو متغير، وهو قاعدة لتغيير كل وسيطة لاحقة؛
• ∞ هي علامة اللانهاية، "الحد" الذي يتم عنده الجمع.

الترميز يعني: جمع الأعداد الطبيعية من 1 إلى "زائد اللانهاية". وبما أن i = 1، فإن حساب المجموع يبدأ من واحد. إذا كان هناك رقم آخر هنا (على سبيل المثال، 2، 3)، فسنبدأ في الجمع منه (من 2، 3).

وفقا للمتغير i، يمكن كتابة السلسلة موسعة:

أ 1 + أ 2 + أ 3 + أ 4 + أ 5 + ... (حتى "زائد ما لا نهاية").

يتم تعريف مجموع سلسلة الأرقام من خلال "المبالغ الجزئية". في الرياضيات يتم تعيينهم Sn. لنكتب سلسلة الأعداد على شكل مجاميع جزئية:

س 2 = أ 1 + أ 2

س 3 = أ 1 + أ 2 + أ 3

ق 4 = أ 1 + أ 2 + أ 3 + أ 4

مجموع سلسلة الأرقام هو نهاية المجاميع الجزئية S n . إذا كانت النهاية منتهية، فإننا نتحدث عن متسلسلة "متقاربة". لانهائي - حول "متباعد".

أولا، دعونا نجد مجموع سلسلة الأرقام:

لنقم الآن ببناء جدول قيم أعضاء السلسلة في Excel:

نحن نأخذ الوسيطة الأولى العامة من الصيغة: i=3.

نجد جميع القيم التالية لـ i باستخدام الصيغة: =B4+$B$1. ضع المؤشر في الركن الأيمن السفلي من الخلية B5 واضرب الصيغة.

دعونا نجد القيم. اجعل الخلية C4 نشطة وأدخل الصيغة: =SUM(2*B4+1). انسخ الخلية C4 إلى النطاق المحدد.

يتم الحصول على قيمة مجموع الوسائط باستخدام الدالة: =SUM(C4:C11). مجموعة مفاتيح التشغيل السريع ALT+"+" (زائد على لوحة المفاتيح).



الدالة ROW.SUM في Excel

للعثور على مجموع سلسلة أرقام في Excel، استخدم الدالة الرياضية SERIES.SUM. يستخدم البرنامج الصيغة التالية:

وسائط الوظيفة:

• س - قيمة متغيرة؛
• ن - درجة الوسيطة الأولى؛
• m هي الخطوة التي يتم بها زيادة الدرجة لكل حد لاحق؛
• a هي معاملات القوى المقابلة لـ x.

شروط هامة لكي تعمل الدالة:

• جميع الوسائط مطلوبة (أي أنه يجب ملء جميع الوسائط)؛
• كافة الوسائط عبارة عن قيم رقمية؛
• متجه المعاملات له طول ثابت (لن يعمل حد "اللانهاية")؛
• عدد "المعاملات" = عدد الوسائط.

حساب مجموع سلسلة في Excel

تعمل نفس الدالة SERIES.SUM مع سلسلة الطاقة (أحد متغيرات السلسلة الوظيفية). على عكس الوسائط الرقمية، فإن وسيطاتها هي وظائف.

غالبًا ما تستخدم السلسلة الوظيفية في المجال المالي والاقتصادي. يمكنك القول أن هذا هو مجال تطبيقهم.

على سبيل المثال، قاموا بإيداع مبلغ معين من المال (أ) في البنك لفترة معينة (ن). لدينا دفعة سنوية بنسبة x بالمائة. لحساب المبلغ المستحق في نهاية الفترة الأولى، يتم استخدام الصيغة:

ق 1 = أ (1 + س).

وفي نهاية الفترة الثانية والفترات اللاحقة يكون شكل التعبيرات كما يلي:

س 2 = أ (1 + س) 2 ; س 3 = أ (1 + س) 2، إلخ.

للعثور على المجموع:

ق ن = أ (1 + س) + أ (1 + س) 2 + أ (1 + س) 3 + … + أ (1 + س) ن

يمكن العثور على المبالغ الجزئية في Excel باستخدام الدالة BS().

المعلمات الأولية لمهمة التدريب:

باستخدام دالة رياضية قياسية، نجد المبلغ المتراكم في نهاية الفصل الدراسي. للقيام بذلك، في الخلية D2 نستخدم الصيغة: =B2*DEGREE(1+B3;4)

الآن في الخلية D3 سنحل نفس المشكلة باستخدام وظيفة Excel المضمنة: =BS(B3;B1;;-B2)

النتائج هي نفسها، كما ينبغي أن تكون.

كيفية ملء وسيطات الدالة BS():

1. "السعر" هو سعر الفائدة الذي يتم به الإيداع. نظرًا لأنه تم تعيين تنسيق النسبة المئوية في الخلية B3، فقد حددنا ببساطة رابطًا لهذه الخلية في حقل الوسيطة. وإذا تم تحديد عدد فيكتب الجزء المائة منه (20/100).
2. "Nper" هو عدد فترات دفع الفائدة. في مثالنا – 4 سنوات.
3. "Plt" - الدفعات الدورية. في حالتنا لا يوجد شيء. لذلك، نحن لا نملأ حقل الوسيطة.
4. "Ps" - "القيمة الحالية"، مبلغ الإيداع. نظرًا لأننا سنفترق عن هذه الأموال لفترة من الوقت، فإننا نشير إلى المعلمة بعلامة "-".

وهكذا، ساعدتنا الدالة BS في إيجاد مجموع المتسلسلة الوظيفية.

يحتوي Excel على وظائف مضمنة أخرى للعثور على معلمات مختلفة. عادةً ما تكون هذه وظائف للعمل مع المشاريع الاستثمارية والأوراق المالية ومدفوعات الإهلاك.

رسم دالة لمجموع سلسلة أرقام

دعونا نبني رسمًا بيانيًا وظيفيًا يعكس نمو رأس المال. للقيام بذلك، نحن بحاجة إلى إنشاء رسم بياني للدالة التي تمثل مجموع السلسلة التي تم إنشاؤها. على سبيل المثال، لنأخذ نفس البيانات المتعلقة بالإيداع:

السطر الأول يوضح المبلغ المتراكم بعد سنة واحدة. في الثانية - في اثنين. وما إلى ذلك وهلم جرا.

لنقم بإنشاء عمود آخر سنعكس فيه الربح:

كما كنا نظن - في شريط الصيغة.

استنادا إلى البيانات التي تم الحصول عليها، سنقوم ببناء رسم بياني للوظائف.

لنحدد نطاقين: A5:A9 وC5:C9. انتقل إلى علامة التبويب "إدراج" - أداة "الرسوم البيانية". حدد المخطط الأول:

دعونا نجعل المشكلة أكثر "تطبيقية". في المثال استخدمنا الفائدة المركبة. يتم استحقاقها على المبلغ المتراكم في الفترة السابقة.

دعونا نأخذ الفائدة البسيطة للمقارنة. صيغة الفائدة البسيطة في Excel: =$B$2*(1+A6*B6)

دعونا نضيف القيم التي تم الحصول عليها إلى مخطط "نمو رأس المال".

من الواضح ما هي الاستنتاجات التي سيستخلصها المستثمر.

الصيغة الرياضية للمجموع الجزئي لسلسلة وظيفية (بفائدة بسيطة): S n = a (1 + x*n)، حيث a هو مبلغ الإيداع الأولي، x هو الفائدة، n هي الفترة.

بغرض حساب مجموع سلسلة، كل ما عليك فعله هو إضافة عناصر الصف لعدد معين من المرات. على سبيل المثال:

في المثال أعلاه، تم ذلك بكل بساطة، حيث كان لا بد من جمعها لعدد محدود من المرات. ولكن ماذا لو كان الحد الأعلى للجمع هو ما لا نهاية؟ على سبيل المثال، إذا أردنا إيجاد مجموع المتسلسلة التالية:

وقياسا على المثال السابق يمكننا كتابة هذا المبلغ على النحو التالي:

ولكن ماذا تفعل بعد ذلك؟! في هذه المرحلة لا بد من تقديم المفهوم المجموع الجزئي للسلسلة. لذا، المجموع الجزئي للسلسلة(يُشار إليه بـ S n) هو مجموع الحدود n الأولى في السلسلة. أولئك. في حالتنا هذه:

ثم يمكن حساب مجموع السلسلة الأصلية كحد للمجموع الجزئي:

وهكذا ل حساب مجموع سلسلة، من الضروري العثور بطريقة ما على تعبير للمجموع الجزئي للمتسلسلة (S n ). في حالتنا الخاصة، السلسلة عبارة عن متوالية هندسية تنازلية ذات مقام 1/3. كما تعلم، يتم حساب مجموع العناصر n الأولى للتقدم الهندسي بواسطة الصيغة:

هنا b 1 هو العنصر الأول للتقدم الهندسي (في حالتنا هو 1) و q هو مقام التقدم (في حالتنا 1/3). لذلك، فإن المجموع الجزئي S n لمتسلسلتنا يساوي:

إذن مجموع سلسلتنا (S) حسب التعريف الوارد أعلاه يساوي:

الأمثلة التي تمت مناقشتها أعلاه بسيطة للغاية. عادةً ما يكون حساب مجموع المتسلسلة أكثر صعوبة، وتكمن الصعوبة الأكبر على وجه التحديد في إيجاد المجموع الجزئي للمتسلسلة. تتيح لك الآلة الحاسبة الموجودة على الإنترنت والموضحة أدناه، والتي تم إنشاؤها على أساس نظام Wolfram Alpha، حساب مجموع سلاسل معقدة للغاية. علاوة على ذلك، إذا لم تتمكن الآلة الحاسبة من العثور على مجموع المتسلسلة، فمن المحتمل أن تكون المتسلسلة متباعدة (وفي هذه الحالة تعرض الآلة الحاسبة رسالة مثل "مجموع متباعد")، أي. تساعد هذه الآلة الحاسبة أيضًا بشكل غير مباشر في الحصول على فكرة عن تقارب المتسلسلات.

للعثور على مجموع متسلسلة، تحتاج إلى تحديد متغير المتسلسلة، والحدين الأدنى والأعلى للجمع، بالإضافة إلى التعبير الخاص بالحد النوني من المتسلسلة (أي التعبير الفعلي للمتسلسلة نفسها) .

التعاريف الأساسية.

تعريف. يسمى مجموع حدود المتتابعة العددية اللانهائية سلسلة أرقام.

وفي الوقت نفسه الأرقام
سوف نسميهم أعضاء السلسلة، و ش ن- عضو مشترك في السلسلة.

تعريف. كميات
,ن = 1, 2, … وتسمى مبالغ خاصة (جزئية).صف.

وبالتالي، فمن الممكن النظر في تسلسل المبالغ الجزئية للسلسلة س 1 , س 2 , …, س ن , …

تعريف. صف
مُسَمًّى متقاربة، إذا تقاربت تسلسل مجاميعها الجزئية. مجموع المتسلسلة المتقاربةهو نهاية تسلسل مجاميعها الجزئية.

تعريف. إذا تباعدت تسلسل المجاميع الجزئية لسلسلة، أي. ليس لها حد، أو لها حد لا نهائي، فتسمى المتسلسلة متشعبولم يخصص له أي مبلغ.

خصائص الصفوف.

1) لن يتم انتهاك تقارب المتسلسلة أو تباعدها إذا قمت بتغيير أو تجاهل أو إضافة عدد محدود من حدود المتسلسلة.

2) النظر في صفين
و
، حيث C هو عدد ثابت.

نظرية. إذا كان الصف
يتقارب ومجموعه متساويس، ثم السلسلة
يتقارب أيضًا، ومجموعه يساوي Cس. (ج  0)

3) النظر في صفين
و
.كميةأو اختلافمن هذه السلسلة سوف تسمى سلسلة
حيث يتم الحصول على العناصر عن طريق إضافة (طرح) العناصر الأصلية بنفس الأرقام.

نظرية. إذا كانت الصفوف
و
تتلاقى ومجاميعها متساوية على التواليسو ، ثم السلسلة
تتقارب أيضًا ويكون مجموعها متساويًاس +  .

الفرق بين سلسلتين متقاربتين سيكون أيضًا متسلسلة متقاربة.

مجموع المتسلسلة المتقاربة والمتباعدة هو متسلسلة متباعدة.

من المستحيل الإدلاء ببيان عام حول مجموع سلسلتين متباعدتين.

عند دراسة المتسلسلة، يقومون بشكل أساسي بحل مشكلتين: دراسة التقارب وإيجاد مجموع المتسلسلة.

معيار كوشي.

(الشروط الضرورية والكافية لتقارب المتسلسلة)

من أجل التسلسل
كان متقاربا، فمن الضروري والكافي أن لأي
كان هناك مثل هذا العددن، هذا فين > نوأيص> 0، حيث p عدد صحيح، فإن عدم المساواة التالية ستظل:

.

دليل. (ضروري)

يترك
، ثم لأي رقم
هناك عدد N بحيث عدم المساواة

يتحقق عندما n > N . بالنسبة لـ n>N وأي عدد صحيح p>0، فإن عدم المساواة ينطبق أيضًا
. وبأخذ المتباينتين بعين الاعتبار نحصل على:

وقد ثبتت الحاجة. ولن ننظر في إثبات الكفاية.

دعونا نقوم بصياغة معيار كوشي للسلسلة.

من أجل السلسلة
كان متقاربا، فمن الضروري والكافي أن لأي
كان هناك رقمنبحيث فين> نوأيص>0 سوف يستمر عدم المساواة

.

ومع ذلك، في الممارسة العملية، فإن استخدام معيار كوشي مباشرة ليس مريحًا للغاية. ولذلك، كقاعدة عامة، يتم استخدام اختبارات التقارب أبسط:

1) إذا كان الصف
يتقارب، فمن الضروري أن المصطلح المشترك ش نتميل إلى الصفر. ومع ذلك، هذا الشرط ليس كافيا. لا يسعنا إلا أن نقول إنه إذا كان الحد المشترك لا يميل إلى الصفر، فإن المتسلسلة تتباعد بالتأكيد. على سبيل المثال، ما يسمى بالسلسلة التوافقية متباعدة، على الرغم من أن مصطلحها المشترك يميل إلى الصفر.

مثال.التحقيق في تقارب السلسلة

سوف نجد
- عدم استيفاء المعيار اللازم للتقارب مما يعني تباعد المتسلسلة.

2) إذا تقاربت المتسلسلة فإن متتابعة مجاميعها الجزئية تكون محدودة.

ومع ذلك، هذه العلامة ليست كافية أيضا.

على سبيل المثال، المتسلسلة 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… تتباعد، لأن تسلسل مبالغها الجزئية يختلف بسبب حقيقة أن

ومع ذلك، فإن تسلسل المبالغ الجزئية محدود، لأن
في أي ن.

سلسلة مع شروط غير سلبية.

عند دراسة المتسلسلة ذات الإشارة الثابتة، سنقتصر على دراسة المتسلسلات ذات الحدود غير السالبة، لأن ببساطة الضرب بـ -1 من هذه السلسلة يمكن أن ينتج عنه سلسلة ذات شروط سلبية.

نظرية. لتقارب السلسلة
مع المصطلحات غير السالبة، يكون ذلك ضروريًا وكافيًا لتحديد المجاميع الجزئية للسلسلة.

علامة لمقارنة المتسلسلة بعبارات غير سلبية.

دع صفين يعطى
و
في ش ن , الخامس ن  0 .

نظرية. لو ش ن  الخامس نفي أي ن، ثم من تقارب المتسلسلة
تتقارب السلسلة
، ومن اختلاف السلسلة
السلسلة تتباعد
.

دليل. دعونا نشير بواسطة س ن و  نمبالغ جزئية من السلسلة
و
. لأن حسب شروط نظرية المتسلسلة
تتقارب، ثم تتحد مجاميعها الجزئية، أي. أمام الجميع ن n  M، حيث M هو رقم معين. ولكن ش ن  الخامس ن، الذي - التي س ن   نثم المجاميع الجزئية للسلسلة
كما أنها محدودة، وهذا يكفي للتقارب.

مثال.افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

لأن
، والمتسلسلة التوافقية تتباعد، ثم تتباعد السلسلة
.

مثال.

لأن
، والمسلسل
تتقارب (مثل المتوالية الهندسية المتناقصة)، ثم المتسلسلة
يتقارب أيضا.

يتم أيضًا استخدام معيار التقارب التالي:

نظرية. لو
وهناك حد
، أينح– رقم غير الصفر ثم المتسلسلة
و
تتصرف بشكل مماثل من حيث التقارب.

علامة دالمبرت.

(جان ليرون دالمبرت (1717 - 1783) - عالم رياضيات فرنسي)

إذا لسلسلة
بشروط إيجابية هناك مثل هذا الرقمس<1, что для всех достаточно больших نعدم المساواة يحمل

ثم سلسلة
يتقارب، إذا كان هناك كبيرة بما فيه الكفاية للجميعنتم استيفاء الشرط

ثم سلسلة
يتباعد.

علامة دالمبيرت المقيدة.

إن معيار دالمبرت المحدود هو نتيجة لمعيار دالمبرت المذكور أعلاه.

إذا كان هناك حد
، اذا متى < 1 ряд сходится, а при  > 1 - يتباعد. لو = 1، فلا يمكن الإجابة على سؤال التقارب.

مثال.تحديد تقارب السلسلة .

الاستنتاج: المتسلسلة متقاربة.

مثال.تحديد تقارب السلسلة

الاستنتاج: المتسلسلة متقاربة.

علامة كوشي. (علامة جذرية)

إذا لسلسلة
مع شروط غير سلبية هناك مثل هذا الرقمس<1, что для всех достаточно больших نعدم المساواة يحمل

,

ثم سلسلة
يتقارب، إذا كان هناك كبيرة بما فيه الكفاية للجميعنعدم المساواة يحمل

ثم سلسلة
يتباعد.

عاقبة. إذا كان هناك حد
، اذا متى<1 ряд сходится, а при >الصف 1 يتباعد.

مثال.تحديد تقارب السلسلة
.

الاستنتاج: المتسلسلة متقاربة.

مثال.تحديد تقارب السلسلة
.

أولئك. اختبار كوشي لا يجيب على مسألة تقارب المتسلسلة. دعونا نتحقق من استيفاء شروط التقارب اللازمة. كما ذكرنا سابقًا، إذا تقاربت المتسلسلة، فإن الحد المشترك للمتسلسلة يميل إلى الصفر.

,

وبذلك يكون الشرط اللازم للتقارب غير متوافر، مما يعني أن المتسلسلة تتباعد.

اختبار كوشي التكاملي

لو (x) دالة موجبة مستمرة تتناقص خلال الفترةو
ثم التكاملات
و
تتصرف بشكل مماثل من حيث التقارب.

سلسلة بالتناوب.

صفوف متناوبة.

يمكن كتابة سلسلة متناوبة على النحو التالي:

أين

علامة لايبنتز.

إذا كانت علامة الصف المتناوب القيم المطلقةش أنا تتناقص
والمصطلح الشائع يميل إلى الصفر
، ثم تتقارب المتسلسلة.

التقارب المطلق والشرطي للمتسلسلات.

دعونا نفكر في بعض المتسلسلات المتناوبة (مع مصطلحات علامات عشوائية).

(1)

وسلسلة مؤلفة من القيم المطلقة لأفراد السلسلة (1):

(2)

نظرية. ومن تقارب السلسلة (2) يتبع تقارب السلسلة (1).

دليل. السلسلة (2) هي سلسلة ذات مصطلحات غير سلبية. إذا كانت المتسلسلة (2) متقاربة، فبموجب معيار كوشي لأي >0 يوجد رقم N بحيث بالنسبة لـ n>N وأي عدد صحيح p>0 تكون المتباينة التالية صحيحة:

وفقا لخاصية القيم المطلقة:

أي أنه وفقًا لمعيار كوشي، من تقارب المتسلسلة (2) يتبع ذلك تقارب المتسلسلة (1).

تعريف. صف
مُسَمًّى متقاربة تماما، إذا كانت المتسلسلة متقاربة
.

ومن الواضح أنه بالنسبة لسلسلة من الإشارات الثابتة فإن مفهومي التقارب والتقارب المطلق يتطابقان.

تعريف. صف
مُسَمًّى متقاربة مشروطة، إذا تقاربت والمتسلسلة
يتباعد.

اختبارات دالمبيرت وكوشي للمتسلسلات المتناوبة.

يترك
- سلسلة بالتناوب.

علامة دالمبرت. إذا كان هناك حد
، اذا متى<1 ряд
سوف تكون متقاربة تماما، ومتى>

علامة كوشي. إذا كان هناك حد
، اذا متى<1 ряд
ستكون متقاربة تمامًا، وإذا كانت >1 ستكون المتسلسلة متباعدة. عندما تكون =1، فإن الإشارة لا تعطي إجابة حول تقارب المتسلسلة.

خواص المتسلسلة المتقاربة تماما

1) نظرية. للتقارب المطلق للمتسلسلة
من الضروري والكافي أن يتم تمثيلها على أنها فرق بين سلسلتين متقاربتين بحدود غير سالبة.

عاقبة. المتسلسلة المتقاربة بشكل مشروط هي الفرق بين سلسلتين متباعدتين بحدود غير سالبة تميل إلى الصفر.

2) في المتسلسلة المتقاربة فإن أي تجميع لحدود المتسلسلة لا يتغير ترتيبها يحافظ على تقارب المتسلسلة وحجمها.

3) إذا كانت المتسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا، فإن المتسلسلة الناتجة منها عن طريق أي تبديل في الحدود تتقارب أيضًا تقاربًا مطلقًا ولها نفس المجموع.

من خلال إعادة ترتيب حدود متسلسلة متقاربة شرطيًا، يمكن الحصول على متسلسلة متقاربة شرطيًا لها أي مجموع محدد مسبقًا، وحتى متسلسلة متباعدة.

4) نظرية. بالنسبة لأي مجموعة من أعضاء سلسلة متقاربة تمامًا (في هذه الحالة، يمكن أن يكون عدد المجموعات محدودًا أو لا نهائيًا، ويمكن أن يكون عدد الأعضاء في المجموعة إما محدودًا أو لا نهائيًا)، يتم الحصول على سلسلة متقاربة، المجموع والتي تساوي مجموع السلسلة الأصلية.

5) إذا كانت الصفوف و متقاربة بشكل مطلق ومجاميعها متساوية على التوالي س و ، ثم سلسلة مكونة من جميع منتجات النموذج
إذا أُخذت بأي ترتيب، فإنها تتقارب أيضًا بشكل مطلق ومجموعها يساوي س - حاصل ضرب مجموع المتسلسلة المضروبة .

إذا قمت بضرب المتسلسلة المتقاربة بشكل مشروط، فيمكنك الحصول على متسلسلة متباعدة نتيجة لذلك.

التسلسلات الوظيفية

تعريف. إذا كان أعضاء السلسلة ليسوا أرقاما، بل وظائف X، ثم يتم استدعاء السلسلة وظيفي.

تعتبر دراسة تقارب المتسلسلات الوظيفية أكثر تعقيدا من دراسة المتسلسلات العددية. يمكن استخدام نفس السلسلة الوظيفية بنفس القيم المتغيرة Xتتلاقى، ومع الآخرين - تتباعد. ولذلك فإن مسألة تقارب المتسلسلة الوظيفية تتلخص في تحديد تلك القيم للمتغير X، حيث تتقارب السلسلة.

تسمى مجموعة هذه القيم منطقة التقارب.

وبما أن نهاية كل دالة متضمنة في منطقة التقارب للمتسلسلة هي رقم معين، فإن نهاية التسلسل الوظيفي ستكون دالة معينة:

تعريف. التبعية ( F ن (س) } يتقاربلتعمل F(س) على القطعة إذا كان لأي رقم >0 وأي نقطة Xمن القطعة قيد النظر يوجد رقم N = N(, x)، بحيث تكون المتراجحة

يتحقق عندما n > N .

مع القيمة المحددة >0، يكون لكل نقطة في المقطع رقم خاص بها، وبالتالي سيكون هناك عدد لا نهائي من الأرقام المقابلة لجميع نقاط المقطع. إذا اخترت الأكبر من بين كل هذه الأرقام، فسيكون هذا الرقم مناسبًا لجميع نقاط المقطع، أي. سوف تكون مشتركة لجميع النقاط.

تعريف. التبعية ( F ن (س) } يتقارب بشكل موحدلتعمل F(س) على القطعة، إذا كان لأي رقم >0 رقم N = N() بحيث تكون المتراجحة

يتم استيفاءه لـ n>N لجميع نقاط المقطع.

مثال.النظر في التسلسل

يتقارب هذا التسلسل على محور الرقم بأكمله للدالة F(س)=0 ، لأن

دعونا نرسم هذا التسلسل:

com.sinx

كما ترون، مع تزايد العدد نيقترب الرسم البياني التسلسلي من المحور X.

سلسلة وظيفية.

تعريف. المبالغ الخاصة (الجزئية).النطاق الوظيفي
يتم استدعاء الوظائف

تعريف. النطاق الوظيفي
مُسَمًّى متقاربةعند نقطة ( س=س 0 )، إذا تقاربت تسلسل مجاميعها الجزئية عند هذه النقطة. حد التسلسل
مُسَمًّى كميةصف
عند هذه النقطة X 0 .

تعريف. مجموعة من جميع القيم X، حيث تتقارب المتسلسلة
مُسَمًّى منطقة التقاربصف.

تعريف. صف
مُسَمًّى متقاربة بشكل موحدعلى الفترة إذا كانت تسلسل المجاميع الجزئية لهذه السلسلة يتقارب بشكل موحد في هذه الفترة.

نظرية. (معيار كوشي للتقارب المنتظم للمتسلسلات)

للتقارب المنتظم للسلسلة
فمن الضروري والكافي أن لأي عدد >0 هذا الرقم موجودن( )، الذي فين> نوأي كلهص>0 عدم المساواة

سوف تعقد لجميع x في الفاصل الزمني [أ, ب].

نظرية. (اختبار فايرستراس للتقارب الموحد)

(كارل تيودور فيلهلم فايرستراس (1815 – 1897) – عالم رياضيات ألماني)

صف
يتقارب بشكل منتظم ومطلق على الفترة [أ, ب]، إذا كانت وحدات حدودها على نفس القطعة لا تتجاوز الحدود المقابلة لسلسلة أرقام متقاربة ذات حدود موجبة:

أولئك. هناك عدم المساواة:

.

ويقولون أيضًا أنه في هذه الحالة السلسلة الوظيفية
هو تخصصسلسلة أرقام
.

مثال.افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب
.

لأن
دائما، فمن الواضح أن
.

علاوة على ذلك، فمن المعروف أن السلسلة التوافقية العامة عندما تتقارب =3>1، وفقًا لاختبار Weierstrass، تتقارب المتسلسلة قيد الدراسة بشكل منتظم، علاوة على ذلك، في أي فترة زمنية.

مثال.افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب .

على الفترة [-1،1] يستمر عدم المساواة
أولئك. وفقا لمعيار Weierstrass، فإن المتسلسلات قيد الدراسة تتقارب على هذا الجزء، ولكنها تتباعد على الفترات (-، -1)  (1، ).

خواص المتسلسلات المتقاربة بشكل منتظم.

1) نظرية استمرارية مجموع المتسلسلة.

إذا كان أعضاء السلسلة
- مستمر على المقطع [أ, ب] الدالة والمتسلسلة تتقارب بشكل منتظم، ثم مجموعهاس(س) هي دالة مستمرة على الفترة [أ, ب].

2) نظرية التكامل على حد حد سلسلة.

متقاربة بشكل موحد على الجزء [أ, ب] يمكن دمج سلسلة ذات حدود مستمرة حدًا تلو الآخر في هذه الفترة، أي سلسلة مكونة من تكاملات مصطلحاتها على المقطع [أ, ب] ، يتقارب مع تكامل مجموع السلسلة على هذا الجزء.

3) نظرية التمايز على حد حد سلسلة.

إذا كان أعضاء السلسلة
متقاربة على الجزء [أ, ب] تمثل الدوال المستمرة ذات المشتقات المستمرة، وسلسلة مكونة من هذه المشتقات
تتقارب بشكل منتظم على هذا الجزء، ثم تتقارب هذه المتسلسلة بشكل منتظم ويمكن تفريقها مصطلحًا تلو الآخر.

استنادا إلى حقيقة أن مجموع السلسلة هو بعض دالة المتغير X، يمكنك إجراء عملية تمثيل دالة في شكل سلسلة (توسيع الدالة إلى سلسلة)، والتي تستخدم على نطاق واسع في التكامل والتمايز والعمليات الأخرى مع الوظائف.

في الممارسة العملية، غالبًا ما يتم استخدام توسيع سلسلة الطاقة للوظائف.

سلسلة الطاقة.

تعريف. سلسلة الطاقةويسمى سلسلة من النموذج

.

لدراسة تقارب متسلسلات القوى، من المناسب استخدام اختبار دالمبيرت.

مثال.افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

نطبق علامة دالمبيرت:

.

نجد أن هذه المتسلسلة تتقارب عند
ويتباعد عند
.

الآن نحدد التقارب عند النقطتين الحدوديتين 1 و -1.

ل س = 1:
تتقارب المتسلسلة طبقا لمعيار لايبنتز (انظر علامة لايبنتز.).

عند س = -1:
تتباعد السلسلة (السلسلة التوافقية).

نظريات هابيل.

(نيلز هنريك أبيل (1802 – 1829) – عالم رياضيات نرويجي)

نظرية. إذا كانت سلسلة السلطة
يتقارب عندس = س 1 ، ثم يتقارب، علاوة على ذلك، للجميع تمامًا
.

دليل. وفقا لشروط النظرية، حيث أن شروط المتسلسلة محدودة إذن

أين ك- بعض العدد الثابت. عدم المساواة التالية صحيحة:

من هذا التفاوت يتضح أنه متى س< س 1 ستكون القيم العددية لحدود متسلسلة لدينا أقل (على الأقل ليس أكثر) من الحدود المقابلة لها على الجانب الأيمن من المتراجحة المكتوبة أعلاه، والتي تشكل متوالية هندسية. القاسم المشترك لهذا التقدم وبحسب شروط النظرية فهي أقل من واحد، وبالتالي فإن هذه المتتابعة هي متسلسلة متقاربة.

ولذلك، وبناء على معيار المقارنة، نستنتج أن السلسلة
يتقارب، وهو ما يعني السلسلة
يتقارب تماما.

وهكذا، إذا كانت سلسلة السلطة
يتقارب عند نقطة ما X 1 ، فإنها تتقارب تمامًا عند أي نقطة في الفترة التي يبلغ طولها 2 تتمركز في نقطة ما X = 0.

عاقبة. إذا كان في س = س 1 وتتباعد السلسلة، ثم تتباعد عند الجميع
.

وبالتالي، لكل سلسلة قوى هناك رقم موجب R بحيث يكون للجميع Xمثل ذلك
السلسلة متقاربة تمامًا، وللجميع
السلسلة تتباعد. في هذه الحالة، يتم استدعاء الرقم R نصف قطر التقارب. يسمى الفاصل الزمني (-R، R). فترة التقارب.

لاحظ أن هذه الفترة يمكن أن تكون مغلقة من أحد الجانبين أو كليهما، أو غير مغلقة.

يمكن العثور على نصف قطر التقارب باستخدام الصيغة:

مثال.أوجد مساحة التقارب للمتسلسلة

العثور على نصف قطر التقارب
.

ولذلك فإن هذه المتسلسلة تتقارب لأي قيمة X. يميل المصطلح الشائع لهذه السلسلة إلى الصفر.

نظرية. إذا كانت سلسلة السلطة
يتقارب للحصول على قيمة إيجابية س=س 1 ، ثم يتقارب بشكل موحد في أي فترة زمنية في الداخل
.

الإجراءات مع سلسلة السلطة.