لقد سمع الكثير عن التقدم الحسابي، ولكن ليس كل شخص لديه فكرة جيدة عما هو عليه. في هذه المقالة، سنقدم التعريف المقابل، وننظر أيضًا في مسألة كيفية العثور على الفرق في التقدم الحسابي، ونقدم عددًا من الأمثلة.

التعريف الرياضي

فإذا نحن نتحدث عنهفيما يتعلق بالمتتابعة الحسابية أو الجبرية (هذه المفاهيم تحدد نفس الشيء)، فهذا يعني أن هناك بعض سلسلة أرقام، محققًا القانون التالي: كل رقمين متجاورين في السلسلة يختلفان بنفس القيمة. رياضيا يتم كتابته على النحو التالي:

هنا n يعني عدد العنصر a n في التسلسل، والرقم d هو الفرق في التقدم (يتبع اسمه من الصيغة المقدمة).

ماذا يعني معرفة الفرق د؟ حول مدى "بعد" الأرقام المجاورة عن بعضها البعض. ومع ذلك، فإن معرفة د ضرورية، ولكن لا حالة كافيةلتحديد (استعادة) التقدم بأكمله. أنت بحاجة إلى معرفة رقم آخر، والذي يمكن أن يكون أي عنصر من عناصر السلسلة قيد النظر، على سبيل المثال، 4، a10، ولكن كقاعدة عامة، يستخدمون الرقم الأول، أي 1.

صيغ لتحديد عناصر التقدم

بشكل عام، المعلومات الواردة أعلاه كافية بالفعل للانتقال إلى الحل مهام محددة. ومع ذلك، قبل تقديم التقدم الحسابي، وسيكون من الضروري إيجاد الفرق بينه، سنقدم بعض الصيغ المفيدة، وبالتالي تسهيل العملية اللاحقة لحل المشكلات.

من السهل إظهار أنه يمكن العثور على أي عنصر من عناصر التسلسل بالرقم n على النحو التالي:

أ ن = أ 1 + (ن - 1) * د

في الواقع، يمكن لأي شخص التحقق من هذه الصيغة عن طريق البحث البسيط: إذا استبدلت n = 1، فستحصل على العنصر الأول، وإذا استبدلت n = 2، فإن التعبير يعطي مجموع الرقم الأول والفرق، وهكذا.

تتكون شروط العديد من المسائل بطريقة تجعل من الضروري، في ضوء زوج معروف من الأرقام، والتي يتم تقديم أرقامها أيضًا في التسلسل، إعادة بناء سلسلة الأرقام بأكملها (ابحث عن الفرق والعنصر الأول). الآن سوف نحل هذه المشكلة بشكل عام.

لذلك، دعونا نعطي عنصرين برقمين n وm. باستخدام الصيغة التي تم الحصول عليها أعلاه، يمكنك إنشاء نظام من معادلتين:

أ ن = أ 1 + (ن - 1) * د؛

أ م = أ 1 + (م - 1) * د

للعثور على الكميات المجهولة نستخدم المعلومة خدعة بسيطةالحلول لمثل هذا النظام: طرح الجانبين الأيسر والأيمن في أزواج، ستبقى المساواة صحيحة. لدينا:

أ ن = أ 1 + (ن - 1) * د؛

أ ن - أ م = (ن - 1) * د - (م - 1) * د = د * (ن - م)

وبذلك استبعدنا مجهولاً (أ١). الآن يمكننا كتابة التعبير النهائي لتحديد d:

د = (أ ن - أ م) / (ن - م)، حيث ن > م

وصلنا جدا صيغة بسيطة: لحساب الفرق d وفقًا لشروط المشكلة، ما عليك سوى أخذ نسبة الاختلافات بين العناصر نفسها وعناصرها الأرقام التسلسلية. يجب الانتباه إلى واحد نقطة مهمةانتباه: يتم أخذ الاختلافات بين الأعضاء "الأقدم" و"الأصغر"، أي n > m ("الأقدم" تعني الوقوف بعيدًا عن بداية التسلسل، القيمة المطلقةقد يكون أكبر أو أصغر من العنصر "الأصغر").

يجب استبدال عبارة تقدم الفرق d في أي من المعادلات في بداية حل المشكلة للحصول على قيمة الحد الأول.

في عصر التطور الذي نعيشه تكنولوجيا الكمبيوتريحاول العديد من تلاميذ المدارس إيجاد حلول لمهامهم على الإنترنت، لذلك غالبا ما تنشأ أسئلة من هذا النوع: ابحث عن الفرق في التقدم الحسابي عبر الإنترنت. لمثل هذا الطلب، سيعود محرك البحث بعدد من صفحات الويب، من خلال الانتقال إليها ستحتاج إلى إدخال البيانات المعروفة من الشرط (يمكن أن يكون هذا إما فترتين من التقدم أو مجموع عدد معين منهما ) واحصل على إجابة على الفور. ومع ذلك، فإن هذا النهج في حل المشكلة غير مثمر من حيث تطوير الطالب وفهم جوهر المهمة الموكلة إليه.

الحل دون استخدام الصيغ

دعونا نحل المشكلة الأولى دون استخدام أي من الصيغ المعطاة. لنفترض أن عناصر المتسلسلة: a6 = 3، a9 = 18. أوجد فرق المتتابعة الحسابية.

العناصر المعروفة تقف بالقرب من بعضها البعض على التوالي. كم مرة يجب إضافة الفرق d إلى الأصغر للحصول على الأكبر؟ ثلاث مرات (في المرة الأولى التي نضيف فيها d، نحصل على العنصر السابع، في المرة الثانية - الثامنة، أخيرا، المرة الثالثة - التاسعة). ما العدد الذي يجب إضافته إلى ثلاثة ثلاث مرات للحصول على ١٨؟ وهذا هو الرقم خمسة. حقًا:

وبالتالي فإن الفرق المجهول د = 5.

بالطبع، كان من الممكن تنفيذ الحل بالصيغة المناسبة، لكن ذلك لم يتم عن قصد. شرح مفصليجب أن يصبح حل المشكلة واضحًا و مثال ساطعما هو التقدم الحسابي؟

مهمة مشابهة للمهمة السابقة

الآن دعونا نحل مشكلة مماثلة، ولكن نغير البيانات المدخلة. لذلك، يجب أن تجد إذا كان a3 = 2، a9 = 19.

بالطبع، يمكنك اللجوء مرة أخرى إلى طريقة الحل "المباشر". ولكن بما أن عناصر السلسلة مذكورة، وهي بعيدة نسبيا عن بعضها البعض، فإن هذه الطريقة لن تكون مريحة تماما. لكن استخدام الصيغة الناتجة سيقودنا بسرعة إلى الإجابة:

د = (أ 9 - أ 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83

هنا قمنا بالتقريب الرقم النهائي. ويمكن الحكم على مدى أدى هذا التقريب إلى الخطأ من خلال التحقق من النتيجة التي تم الحصول عليها:

أ 9 = أ 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98

وتختلف هذه النتيجة بنسبة 0.1% فقط عن القيمة الواردة في الشرط. لذلك، يمكن اعتبار التقريب المستخدم لأقرب جزء من مائة خيارًا ناجحًا.

المشاكل التي تنطوي على تطبيق الصيغة للمصطلح

دعونا نفكر المثال الكلاسيكيمهام لتحديد المجهول د: أوجد فرق المتتابعة الحسابية إذا كان a1 = 12، a5 = 40.

عندما يتم إعطاء رقمين من تسلسل جبري غير معروف، وأحدهما هو العنصر a 1، فلن تحتاج إلى التفكير لفترة طويلة، ولكن يجب عليك تطبيق صيغة الحد n على الفور. في في هذه الحالةلدينا:

أ 5 = أ 1 + د * (5 - 1) => د = (أ 5 - أ 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

لقد حصلنا على العدد الدقيق عند القسمة، فلا فائدة من التحقق من دقة النتيجة المحسوبة، كما حدث في الفقرة السابقة.

دعونا نحل مشكلة أخرى مشابهة: نحتاج إلى إيجاد الفرق بين المتتابعة الحسابية إذا كان a1 = 16، a8 = 37.

نستخدم طريقة مشابهة للطريقة السابقة ونحصل على:

أ 8 = أ 1 + د * (8 - 1) => د = (أ 8 - أ 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

ماذا يجب أن تعرفه أيضًا عن التقدم الحسابي؟

بالإضافة إلى مسائل العثور على فرق مجهول أو عناصر فردية، غالبًا ما يكون من الضروري حل مسائل مجموع الحدود الأولى للمتتابعة. ومع ذلك، فإن النظر في هذه المهام يقع خارج نطاق المقالة من أجل اكتمال المعلومات التي نقدمها صيغة عامةلمجموع أرقام n في السلسلة:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

مستوى الدخول

التقدم الحسابي. النظرية التفصيليةمع الأمثلة (2019)

تسلسل رقمي

لذلك، دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:
يمكنك كتابة أي أرقام، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده (في حالتنا، هناك). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها، يمكننا دائمًا أن نقول أي واحد هو الأول، وأي واحد هو الثاني، وهكذا حتى الأخير، أي أنه يمكننا ترقيمها. هذا مثال تسلسل رقمي:

تسلسل رقمي
على سبيل المثال، بالنسبة لتسلسلنا:

الرقم المخصص خاص برقم واحد فقط في التسلسل. بمعنى آخر، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في المتتابعة. الرقم الثاني (مثل الرقم العاشر) هو نفسه دائمًا.
الرقم ذو الرقم يسمى الحد العاشر من التسلسل.

عادة ما نسمي التسلسل بأكمله بحرف ما (على سبيل المثال،)، وكل عضو في هذا التسلسل هو نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو: .

في حالتنا:

لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا يكون فيه الفرق بين الأرقام المتجاورة متساويًا ومتساويًا.
على سبيل المثال:

إلخ.
يسمى هذا التسلسل الرقمي بالتقدم الحسابي.
تم تقديم مصطلح "التقدم" من قبل المؤلف الروماني بوثيوس في القرن السادس، وتم فهمه في المزيد من اللغات. بالمعنى الواسع، مثل تسلسل عددي لا نهائي. تم نقل اسم "الحساب" من نظرية النسب المستمرة التي درسها اليونانيون القدماء.

هذا تسلسل رقمي، كل عضو فيه يساوي الرقم السابق مضافًا إلى نفس الرقم. يُسمى هذا الرقم بفارق التقدم الحسابي ويتم تحديده.

حاول تحديد التسلسلات الرقمية التي تعتبر تقدمًا حسابيًا وأيها ليست كذلك:

أ)
ب)
ج)
د)

فهمتها؟ دعونا نقارن إجاباتنا:
يكونالتقدم الحسابي - ب، ج.
ليس كذلكالتقدم الحسابي - أ، د.

دعونا نعود إلى التقدم المعطى() وحاول إيجاد قيمة العضو العاشر الخاص به. موجود اثنينطريقة للعثور عليه.

1. الطريقة

يمكننا إضافة رقم التقدم إلى القيمة السابقة حتى نصل إلى الحد الرابع من التقدم. من الجيد أنه ليس لدينا الكثير لتلخيصه - ثلاث قيم فقط:

لذا فإن الحد العاشر للتقدم الحسابي الموصوف يساوي.

2. الطريقة

ماذا لو أردنا إيجاد قيمة الحد العاشر للتقدم؟ سيستغرق الجمع منا أكثر من ساعة، وليس حقيقة أننا لن نرتكب أخطاء عند جمع الأرقام.
بالطبع، توصل علماء الرياضيات إلى طريقة ليس من الضروري فيها إضافة فرق التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة. ألق نظرة فاحصة على الصورة المرسومة... بالتأكيد قد لاحظت بالفعل نمطًا معينًا، وهو:

على سبيل المثال، دعونا نرى مما تتكون قيمة الحد العاشر من هذه التقدم الحسابي:


بعبارة أخرى:

حاول العثور على قيمة عضو في تقدم حسابي معين بنفسك بهذه الطريقة.

هل قمت بالحساب؟ قارن ملاحظاتك بالإجابة:

يرجى ملاحظة أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة، عندما قمنا بإضافة شروط التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة بشكل تسلسلي.
دعونا نحاول "تجريد الشخصية" هذه الصيغة- لنحضرها إلى منظر عامونحصل على:

معادلة التقدم الحسابي.

يمكن أن تكون التقدمات الحسابية متزايدة أو متناقصة.

زيادة- التقدم الذي تكون فيه كل قيمة لاحقة للمصطلحات أكبر من القيمة السابقة.
على سبيل المثال:

تنازلي- التتابعات التي تكون فيها كل قيمة لاحقة للمصطلحات أقل من القيمة السابقة.
على سبيل المثال:

تُستخدم الصيغة المشتقة في حساب الحدود في كل من الحدود المتزايدة والمتناقصة للتقدم الحسابي.
دعونا نتحقق من هذا في الممارسة العملية.
لقد حصلنا على تقدم حسابي يتكون من الأرقام التالية: دعونا نتحقق من الرقم الذي سيكون عليه هذا التقدم الحسابي إذا استخدمنا صيغتنا لحسابه:

منذ ذلك الحين:

وهكذا، نحن مقتنعون بأن الصيغة تعمل في كل من التقدم الحسابي المتناقص والمتزايد.
حاول العثور على الحدين العاشر والخامس لهذا التقدم الحسابي بنفسك.

دعونا نقارن النتائج:

خاصية التقدم الحسابي

دعونا نعقد المشكلة - سنستمد خاصية التقدم الحسابي.
لنفترض أن لدينا الشرط التالي:
- التقدم الحسابي، العثور على القيمة.
من السهل أن تقول وتبدأ في العد وفقًا للصيغة التي تعرفها بالفعل:

دعونا آه إذن:

صحيح تماما. اتضح أننا نجده أولاً ثم نضيفه إلى الرقم الأول ونحصل على ما نبحث عنه. إذا تم تمثيل التقدم بقيم صغيرة، فلا يوجد شيء معقد في الأمر، ولكن ماذا لو تم إعطاؤنا أرقامًا في الشرط؟ موافق، هناك احتمال ارتكاب خطأ في الحسابات.
فكر الآن فيما إذا كان من الممكن حل هذه المشكلة في خطوة واحدة باستخدام أي صيغة؟ بالطبع نعم، وهذا ما سنحاول إبرازه الآن.

دعونا نشير إلى الحد المطلوب للمتتابعة الحسابية، فصيغة إيجاده معروفة لدينا، وهي نفس الصيغة التي استنتجناها في البداية:
، ثم:

• المصطلح السابق للتقدم هو:
• المصطلح التالي للتقدم هو:

دعونا نلخص المصطلحات السابقة واللاحقة للتقدم:

اتضح أن مجموع الحدود السابقة واللاحقة للتقدم هو القيمة المزدوجة لمصطلح التقدم الموجود بينهما. وبعبارة أخرى، للعثور على قيمة مصطلح التقدم مع القيم السابقة والمتعاقبة المعروفة، تحتاج إلى إضافتها والقسمة عليها.

هذا صحيح، لقد حصلنا على نفس الرقم. دعونا تأمين المواد. احسب قيمة التقدم بنفسك، فالأمر ليس بالأمر الصعب على الإطلاق.

أحسنت! أنت تعرف كل شيء تقريبًا عن التقدم! يبقى أن نكتشف صيغة واحدة فقط، والتي، وفقًا للأسطورة، تم استنتاجها بسهولة لنفسه من قبل أحد أعظم علماء الرياضيات في كل العصور، "ملك علماء الرياضيات" - كارل غاوس...

عندما كان كارل غاوس يبلغ من العمر 9 سنوات، سأل المعلم، المنشغل بفحص عمل الطلاب في الفصول الأخرى، المشكلة التالية في الفصل: "احسب مجموع كل الأعداد الطبيعيةمن إلى (وفقا لمصادر أخرى تصل إلى) شاملا. تخيل مفاجأة المعلم عندما أعطى أحد طلابه (كان هذا كارل غاوس) بعد دقيقة واحدة الإجابة الصحيحة على المهمة، في حين أن معظم زملاء الفصل المتهورين، بعد حسابات طويلة، حصلوا على نتيجة خاطئة...

لاحظ الشاب كارل غاوس نمطًا معينًا يمكنك ملاحظته بسهولة أيضًا.
لنفترض أن لدينا تقدمًا حسابيًا يتكون من حدود -th: نحتاج إلى إيجاد مجموع هذه الحدود للتقدم الحسابي. بالطبع، يمكننا جمع كل القيم يدويًا، لكن ماذا لو كانت المهمة تتطلب إيجاد مجموع حدودها، كما كان غاوس يبحث عنها؟

دعونا تصور التقدم المعطى لنا. ألق نظرة فاحصة على الأرقام المميزة وحاول إجراء عمليات رياضية مختلفة معهم.


هل حاولت ذلك؟ ماذا لاحظت؟ يمين! مجموعهما متساويان

أخبرني الآن، كم عدد هذه الأزواج الموجودة إجمالاً في التقدم الممنوح لنا؟ بالطبع، بالضبط نصف جميع الأرقام، وهذا هو.
بناءً على حقيقة أن مجموع حدين من المتتابعة الحسابية متساويان، والأزواج المتشابهة متساوية، نحصل على ذلك المبلغ الإجمالييساوي:
.
وبالتالي، فإن صيغة مجموع الحدود الأولى لأي تقدم حسابي ستكون:

في بعض المسائل لا نعرف الحد الرابع، ولكننا نعرف الفرق في التقدم. حاول استبدال صيغة الحد الـ في صيغة المجموع.
ماذا حصلت؟

أحسنت! الآن دعنا نعود إلى المشكلة التي تم طرحها على كارل غاوس: احسب بنفسك ما يساوي مجموع الأرقام التي تبدأ من الرقم ومجموع الأرقام التي تبدأ من الرقم.

كم حصلت؟
وجد غاوس أن مجموع الحدود متساوي، ومجموع الحدود. هل هذا ما قررته؟

في الواقع، تم إثبات صيغة مجموع حدود التقدم الحسابي من قبل العالم اليوناني القديم ديوفانتوس في القرن الثالث، وطوال هذا الوقت الناس بارعالاستفادة الكاملة من خصائص التقدم الحسابي.
على سبيل المثال، تخيل مصر القديمةوالأكثر البناء على نطاق واسعذلك الوقت - بناء الهرم... والصورة تظهر أحد جوانبه.

تقول أين التقدم هنا؟ انظر بعناية وابحث عن نمط في عدد الكتل الرملية في كل صف من جدار الهرم.


لماذا لا يكون التقدم الحسابي؟ احسب عدد الكتل اللازمة لبناء جدار واحد إذا تم وضع الطوب في القاعدة. أتمنى ألا تقوم بالعد أثناء تحريك إصبعك عبر الشاشة، هل تتذكر الصيغة الأخيرة وكل ما قلناه عن التقدم الحسابي؟

في هذه الحالة، يبدو التقدم كما يلي: .
فرق التقدم الحسابي.
عدد حدود التقدم الحسابي.
لنستبدل بياناتنا في الصيغ الأخيرة (احسب عدد الكتل بطريقتين).

الطريقة 1.

الطريقة 2.

والآن يمكنك الحساب على الشاشة: مقارنة القيم التي تم الحصول عليها مع عدد الكتل الموجودة في هرمنا. فهمتها؟ أحسنت، لقد أتقنت مجموع الحدود النونية للتقدم الحسابي.
بالطبع، لا يمكنك بناء هرم من الكتل الموجودة في القاعدة، ولكن من؟ حاول حساب عدد الطوب الرملي اللازم لبناء جدار بهذه الحالة.
هل تمكنت؟
الإجابة الصحيحة هي الكتل:

تمرين

المهام:

1. ماشا تستعد لفصل الصيف. كل يوم تقوم بزيادة عدد القرفصاء. كم مرة ستمارس ماشا تمرين القرفصاء في الأسبوع إذا كانت تمارس القرفصاء في الجلسة التدريبية الأولى؟
2. ما هو مجموع جميع الأعداد الفردية الموجودة في.
3. عند تخزين السجلات، يقوم القائمون على قطع الأشجار بتكديسها بطريقة تجعل كل منها الطبقة العليايحتوي على سجل واحد أقل من السابق. كم عدد جذوع الأشجار الموجودة في البناء الواحد، إذا كان أساس البناء عبارة عن جذوع الأشجار؟

الإجابات:

1. دعونا نحدد معلمات التقدم الحسابي. في هذه الحالة
   (الأسابيع = الأيام).

   إجابة:في غضون أسبوعين، يجب على ماشا أن تفعل القرفصاء مرة واحدة في اليوم.

2. أولاً رقم غريب، الرقم الأخير.
   فرق التقدم الحسابي.
   عدد الأعداد الفردية هو النصف، ومع ذلك، دعونا نتحقق من هذه الحقيقة باستخدام صيغة إيجاد الحد العاشر للتقدم الحسابي:

   الأرقام تحتوي على أرقام فردية.
   دعنا نستبدل البيانات المتاحة في الصيغة:

   إجابة:مجموع جميع الأعداد الفردية الموجودة فيه متساوي.

3. دعونا نتذكر مشكلة الأهرامات. في حالتنا، أ، نظرًا لأن كل طبقة عليا يتم تقليلها بسجل واحد، فهناك في المجمل مجموعة من الطبقات، أي.
   دعنا نستبدل البيانات في الصيغة:

   إجابة:هناك سجلات في البناء.

دعونا نلخص ذلك

1. - تسلسل رقمي يكون فيه الفرق بين الأرقام المتجاورة متساويًا ومتساويًا. يمكن أن تكون متزايدة أو متناقصة.
2. إيجاد الصيغةيُكتب الحد العاشر من المتتابعة الحسابية بالصيغة - حيث يوجد عدد الأرقام في المتتابعة الحسابية.
3. خاصية أعضاء التقدم الحسابي- - أين هو عدد الأرقام في التقدم.
4. مجموع شروط التقدم الحسابييمكن العثور عليها بطريقتين:
   
   ، أين هو عدد القيم.

التقدم الحسابي. المستوى المتوسط

تسلسل رقمي

دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:

يمكنك كتابة أي أرقام، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده. لكن يمكننا دائمًا أن نقول أي واحد هو الأول، وأي واحد هو الثاني، وما إلى ذلك، أي أنه يمكننا ترقيمها. وهذا مثال على تسلسل رقمي.

تسلسل رقميهي مجموعة من الأرقام، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.

بمعنى آخر، يمكن ربط كل رقم بعدد طبيعي معين، وعدد فريد. ولن نخصص هذا الرقم لأي رقم آخر من هذه المجموعة.

الرقم الذي يحمل الرقم يسمى العضو العاشر في التسلسل.

عادة ما نسمي التسلسل بأكمله بحرف ما (على سبيل المثال،)، وكل عضو في هذا التسلسل هو نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو: .

من الملائم جدًا أن يتم تحديد الحد الرابع من التسلسل بواسطة صيغة ما. على سبيل المثال، الصيغة

يحدد التسلسل:

والصيغة هي التسلسل التالي:

على سبيل المثال، التقدم الحسابي هو متتابعة (الحد الأول هنا يساوي، والفرق هو). أو (، الفرق).

صيغة الحد النوني

نحن نطلق على الصيغة المتكررة، والتي من أجل معرفة الحد العاشر، تحتاج إلى معرفة الحد السابق أو عدة حدود سابقة:

للعثور، على سبيل المثال، على الحد العاشر للتقدم باستخدام هذه الصيغة، سيتعين علينا حساب التسعة السابقة. على سبيل المثال، السماح لها. ثم:

حسنًا، هل أصبح من الواضح الآن ما هي الصيغة؟

في كل سطر نضيف إليه مضروبًا في عدد ما. أيها؟ بسيط جدًا: هذا هو رقم العضو الحالي مطروحًا منه:

أكثر ملاءمة الآن، أليس كذلك؟ نتحقق:

قرر بنفسك:

في المتوالية الحسابية، أوجد صيغة الحد النوني وأوجد الحد المائة.

حل:

الحد الأول متساوي. ما هو الفرق؟ إليك ما يلي:

(ولهذا سمي فرقا لأنه يساوي اختلاف فترات المتوالية المتعاقبة).

لذلك، الصيغة:

فإن الحد المائة يساوي:

ما هو مجموع جميع الأعداد الطبيعية من إلى؟

وفقا للأسطورة ، عالم رياضيات عظيمقام كارل غاوس، وهو صبي يبلغ من العمر 9 سنوات، بحساب هذا المبلغ في بضع دقائق. ولاحظ أن مجموع الرقمين الأول والأخير متساوي، ومجموع الثاني وما قبل الأخير هو نفسه، ومجموع الثالث والثالث من النهاية هو نفسه، وهكذا. كم عدد هذه الأزواج في المجموع؟ هذا صحيح، بالضبط نصف عدد جميع الأرقام، أي. لذا،

الصيغة العامة لمجموع الحدود الأولى لأي تقدم حسابي ستكون:

مثال:
أوجد مجموع الكل أرقام مزدوجة، مضاعفات.

حل:

أول رقم من هذا القبيل هو هذا. يتم الحصول على كل واحدة لاحقة عن طريق الإضافة إلى التاريخ السابق. وبالتالي فإن الأعداد التي تهمنا تشكل متوالية حسابية مع الحد الأول والفرق.

صيغة الحد العاشر لهذا التقدم:

كم عدد المصطلحات الموجودة في التقدم إذا كان يجب أن تتكون جميعها من رقمين؟

سهل جدا : .

سيكون الفصل الأخير من التقدم متساويًا. ثم المبلغ:

إجابة: .

الآن قرر بنفسك:

1. في كل يوم يركض الرياضي أمتارًا أكثر من اليوم السابق. ما إجمالي عدد الكيلومترات التي سيجريها في الأسبوع، إذا كان قد ركض في اليوم الأول كيلومترًا م؟
2. يقطع الدراج كيلومترات أكثر كل يوم مقارنة باليوم السابق. في اليوم الأول سافر كيلومترا. كم عدد الأيام التي يحتاجها للسفر لقطع كيلومتر واحد؟ ما عدد الكيلومترات التي سيقطعها في اليوم الأخير من رحلته؟
3. ينخفض ​​سعر الثلاجة في المتجر بنفس المقدار كل عام. حدد مقدار انخفاض سعر الثلاجة كل عام إذا تم طرحها للبيع مقابل روبل، وبعد ست سنوات تم بيعها مقابل روبل.

الإجابات:

1. الشيء الأكثر أهمية هنا هو التعرف على التقدم الحسابي وتحديد معالمه. في هذه الحالة (الأسابيع = الأيام). تحتاج إلى تحديد مجموع الشروط الأولى لهذا التقدم:
   .
   إجابة:
2. هنا يتم تقديمه: يجب العثور عليه.
   من الواضح أنك تحتاج إلى استخدام نفس صيغة المجموع كما في المشكلة السابقة:
   .
   استبدال القيم:

   من الواضح أن الجذر غير مناسب، لذا فإن الإجابة هي.
   لنحسب المسار الذي تم قطعه خلال اليوم الأخير باستخدام صيغة الحد العاشر:
   (كم).
   إجابة:

3. منح: . يجد: .
   لا يمكن أن يكون الأمر أبسط:
   (فرك).
   إجابة:

التقدم الحسابي. باختصار عن الأشياء الرئيسية

هذا تسلسل رقمي يكون فيه الفرق بين الأرقام المتجاورة متساويًا ومتساويًا.

يمكن أن يكون التقدم الحسابي متزايدًا () ومتناقصًا ().

على سبيل المثال:

صيغة لإيجاد الحد النوني للتقدم الحسابي

يتم كتابته بواسطة الصيغة، حيث يوجد عدد الأرقام المتتالية.

خاصية أعضاء التقدم الحسابي

يتيح لك العثور بسهولة على مصطلح التقدم إذا كانت المصطلحات المجاورة له معروفة - أين يوجد عدد الأرقام في التقدم.

مجموع شروط التقدم الحسابي

هناك طريقتان لمعرفة المبلغ:

أين هو عدد القيم.

أين هو عدد القيم.

على سبيل المثال، التسلسل \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... هي متوالية حسابية لأن كل منها العنصر التالييختلف عن السابق بثلاثة (يمكن الحصول عليه من السابق بإضافة ثلاثة):

في هذا التقدم، يكون الفرق \(d\) موجبًا (يساوي \(3\)) وبالتالي فإن كل حد تالٍ أكبر من الحد السابق. تسمى مثل هذه التقدمات زيادة.

ومع ذلك، يمكن أن يكون \(d\) كذلك رقم سلبي. على سبيل المثال، في التقدم الحسابي \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... فرق التقدم \(d\) يساوي سالب ستة.

وفي هذه الحالة، سيكون كل عنصر تالٍ أصغر من العنصر السابق. وتسمى هذه التقدمات متناقص.

تدوين التقدم الحسابي

تتم الإشارة إلى التقدم بحرف لاتيني صغير.

يتم استدعاء الأرقام التي تشكل تقدمًا أعضاء(أو العناصر).

ويشار إليها بنفس الحرف كمتتالية حسابية، ولكن بمؤشر رقمي يساوي رقم العنصر بالترتيب.

على سبيل المثال، يتكون التقدم الحسابي \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) من العناصر \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) وهكذا.

بمعنى آخر، بالنسبة للتقدم \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

حل مسائل التقدم الحسابي

من حيث المبدأ، فإن المعلومات المقدمة أعلاه كافية بالفعل لحل أي مشكلة تقدم حسابي تقريبًا (بما في ذلك تلك المقدمة في OGE).

مثال (أوجي). يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط \(b_1=7; d=4\). ابحث عن \(b_5\).
حل:

إجابة: \(b_5=23\)

مثال (أوجي). معطاة الحدود الثلاثة الأولى للمتتابعة الحسابية: \(62; 49; 36…\) أوجد قيمة الحد السالب الأول من هذه المتوالية..
حل:

	لقد حصلنا على العناصر الأولى من المتتابعة ونعلم أنها متوالية حسابية. أي أن كل عنصر يختلف عن جاره بنفس العدد. دعنا نكتشف أي منها عن طريق طرح العنصر السابق من العنصر التالي: \(d=49-62=-13\).
	الآن يمكننا استعادة تقدمنا ​​إلى العنصر (السلبي الأول) الذي نحتاجه.
	مستعد. يمكنك كتابة إجابة.

إجابة: \(-3\)

مثال (أوجي). بمعرفة عدة عناصر متتالية للتقدم الحسابي: \(...5; x; 10; 12.5...\) أوجد قيمة العنصر المحدد بالحرف \(x\).
حل:

	للعثور على \(x\)، نحتاج إلى معرفة مدى اختلاف العنصر التالي عن العنصر السابق، بمعنى آخر، اختلاف التقدم. لنجدها من عنصرين متجاورين معروفين: \(d=12.5-10=2.5\).
	والآن يمكننا بسهولة العثور على ما نبحث عنه: \(x=5+2.5=7.5\).
	مستعد. يمكنك كتابة إجابة.

إجابة: \(7,5\).

مثال (أوجي). يتم إعطاء التقدم الحسابي الشروط التالية: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) أوجد مجموع الحدود الستة الأولى من هذا التقدم.
حل:

	علينا إيجاد مجموع الحدود الستة الأولى للتقدم. ولكننا لا نعرف معانيها؛ فلدينا العنصر الأول فقط. لذلك نقوم أولاً بحساب القيم واحدة تلو الأخرى باستخدام ما هو معطى لنا: \(ن=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(ن=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(ن=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) وبعد حساب العناصر الستة التي نحتاجها، نجد مجموعها.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	تم العثور على المبلغ المطلوب.

إجابة: \(S_6=9\).

مثال (أوجي). في التقدم الحسابي \(a_(12)=23\); \(أ_(16)=51\). أوجد الفرق في هذا التقدم.
حل:

إجابة: \(د=7\).

صيغ مهمة للتقدم الحسابي

كما ترون، يمكن حل العديد من المسائل المتعلقة بالتقدم الحسابي ببساطة عن طريق فهم الشيء الرئيسي - وهو أن التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة من الأرقام، ويتم الحصول على كل عنصر لاحق في هذه السلسلة عن طريق إضافة نفس الرقم إلى العنصر السابق (الرقم اختلاف التقدم).

ومع ذلك، في بعض الأحيان تكون هناك مواقف يكون فيها اتخاذ القرار "المباشر" غير مريح للغاية. على سبيل المثال، تخيل أننا في المثال الأول لا نحتاج إلى العثور على العنصر الخامس \(b_5\)، ولكن العنصر الثلاثمائة والسادس والثمانين \(b_(386)\). هل يجب أن نضيف أربع \(385\) مرات؟ أو تخيل أنك تحتاج في المثال قبل الأخير إلى إيجاد مجموع العناصر الثلاثة والسبعين الأولى. سوف تتعب من العد..

لذلك، في مثل هذه الحالات، لا يقومون بحل الأمور "مباشرة"، بل يستخدمون صيغًا خاصة مشتقة من التقدم الحسابي. وأهمها هي صيغة الحد n من التقدم وصيغة مجموع \(n\) الحدود الأولى.

صيغة الحد \(n\)الثالث: \(a_n=a_1+(n-1)d\)، حيث \(a_1\) هو الحد الأول من التقدم؛
\(n\) – عدد العنصر المطلوب;
\(a_n\) – مدة التقدم بالرقم \(n\).

تسمح لنا هذه الصيغة بالعثور بسرعة على العنصر الثلاثمائة أو العنصر المليون، بمعرفة العنصر الأول فقط والفرق في التقدم.

مثال. يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط: \(b_1=-159\); \(د=8.2\). ابحث عن \(b_(246)\).
حل:

إجابة: \(ب_(246)=1850\).

صيغة مجموع الحدود n الأولى: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\)، حيث

\(a_n\) – الحد الأخير الملخص؛

مثال (أوجي). يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط \(a_n=3.4n-0.6\). أوجد مجموع الحدود \(25\) الأولى لهذا التقدم.
حل:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		لحساب مجموع أول خمسة وعشرين حدًا، علينا معرفة قيمة الحدين الأول والخامس والعشرين. يتم إعطاء تقدمنا ​​من خلال صيغة الحد n اعتمادًا على رقمه (لمزيد من التفاصيل، انظر). لنحسب العنصر الأول عن طريق استبدال \(n\) بواحد.
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		والآن دعونا نوجد الحد الخامس والعشرين بالتعويض بخمسة وعشرين بدلاً من \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		حسنًا، يمكننا الآن حساب المبلغ المطلوب بسهولة.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		الجواب جاهز.

إجابة: \(س_(25)=1090\).

بالنسبة لمجموع \(n\) الحدود الأولى، يمكنك الحصول على صيغة أخرى: تحتاج فقط إلى \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) بدلاً من \(a_n\) استبدل الصيغة \(a_n=a_1+(n-1)d\). نحصل على:

صيغة مجموع حدود n الأولى: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)، حيث

\(S_n\) – المبلغ المطلوب لعناصر \(n\) الأولى؛
\(a_1\) – الحد المجمع الأول؛
\(د\) - فرق التقدم؛
\(n\) – عدد العناصر في المجموع.

مثال. أوجد مجموع الحدود \(33\)-ex الأولى للتقدم الحسابي: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
حل:

إجابة: \(S_(33)=-231\).

مشاكل التقدم الحسابي الأكثر تعقيدًا

الآن لديك كل شيء المعلومات الضروريةلحل أي مشكلة تقدم حسابي تقريبًا. دعونا ننهي الموضوع من خلال النظر في المسائل التي لا تحتاج فيها إلى تطبيق الصيغ فحسب، بل تحتاج أيضًا إلى التفكير قليلاً (قد يكون هذا مفيدًا في الرياضيات ☺)

مثال (أوجي). أوجد مجموع كل الحدود السلبية للتقدم: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
حل:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		المهمة مشابهة جدًا للمهمة السابقة. نبدأ في حل نفس الشيء: أولاً نجد \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		الآن نود استبدال \(d\) في صيغة المجموع... وهنا يظهر فارق بسيط - نحن لا نعرف \(n\). بعبارة أخرى، لا نعرف عدد الحدود التي يجب إضافتها. كيفية معرفة ذلك؟ دعونا نفكر. سوف نتوقف عن إضافة العناصر عندما نصل إلى العنصر الإيجابي الأول. أي أنك بحاجة إلى معرفة عدد هذا العنصر. كيف؟ دعونا نكتب الصيغة لحساب أي عنصر من عناصر التقدم الحسابي: \(a_n=a_1+(n-1)d\) في حالتنا.
\(a_n=a_1+(n-1)د\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		نحتاج أن يصبح \(a_n\) أكبر من الصفر. دعونا نكتشف ماذا سيحدث \(n\) هذا.
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		نقسم طرفي المتراجحة على \(0.3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		ننقل ناقص واحد، دون أن ننسى تغيير العلامات
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		دعونا نحسب...
\(ن>65,333…\)		...ويتضح أن العنصر الموجب الأول سيكون له الرقم \(66\). وبناء على ذلك، فإن آخر سالب له \(n=65\). فقط في حالة، دعونا التحقق من هذا.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		لذلك نحن بحاجة إلى إضافة العناصر \(65\) الأولى.
\(س_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		الجواب جاهز.

إجابة: \(S_(65)=-630.5\).

مثال (أوجي). يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). أوجد المجموع من \(26\)العنصر \(42\) شاملاً.
حل:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	في هذه المشكلة، تحتاج أيضًا إلى إيجاد مجموع العناصر، ولكن ليس بدءًا من العنصر الأول، بل من \(26\)الرقم. لمثل هذه الحالة ليس لدينا صيغة. كيف تقرر؟ من السهل - للحصول على المجموع من \(26\)إلى \(42\)، يجب عليك أولاً العثور على المجموع من \(1\)إلى \(42\)ثم طرحه منه المجموع من الأول إلى (25) (انظر الصورة).
	بالنسبة لتقدمنا ​​\(a_1=-33\)، والفرق \(d=4\) (بعد كل شيء، الأربعة هي التي نضيفها إلى العنصر السابق للعثور على العنصر التالي). معرفة هذا دعونا نجد المبلغالعناصر \(42\)-y الأولى.
\(س_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	الآن مجموع العناصر \(25\) الأولى.
\(س_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	وأخيرًا، نحسب الإجابة.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

إجابة: \(س=1683\).

بالنسبة للتقدم الحسابي، هناك العديد من الصيغ الأخرى التي لم نأخذها في الاعتبار في هذه المقالة بسبب فائدتها العملية المنخفضة. ومع ذلك، يمكنك العثور عليها بسهولة.

مجموع التقدم الحسابي.

مجموع التقدم الحسابي هو شيء بسيط. سواء في المعنى أو في الصيغة. ولكن هناك كل أنواع المهام حول هذا الموضوع. من الأساسية إلى الصلبة تماما.

أولا، دعونا نفهم معنى وصيغة المبلغ. ومن ثم سنقرر. من أجل متعتك الخاصة.) معنى المبلغ بسيط مثل مو. للعثور على مجموع التقدم الحسابي، تحتاج فقط إلى إضافة جميع حدوده بعناية. إذا كانت هذه المصطلحات قليلة، فيمكنك الإضافة بدون أي صيغ. ولكن إذا كان هناك الكثير، أو الكثير... فالإضافة مزعجة.) في هذه الحالة، تأتي الصيغة للإنقاذ.

صيغة المبلغ بسيطة:

دعونا نتعرف على نوع الحروف المضمنة في الصيغة. وهذا سوف يوضح الأمور كثيرا.

س ن - مجموع التقدم الحسابي. نتيجة الإضافة الجميعالأعضاء، مع أولاًبواسطة آخر.هذا مهم. يضيفون بالضبط الجميعالأعضاء على التوالي، دون تخطي أو تخطي. وعلى وجه التحديد، بدءا من أولاً.في مسائل مثل إيجاد مجموع الحدين الثالث والثامن، أو مجموع الحدود من الخامس إلى العشرين - التطبيق المباشرالصيغ سوف تكون مخيبة للآمال.)

أ 1 - أولاًعضو في التقدم . كل شيء واضح هنا، الأمر بسيط أولاًرقم الصف.

ن- آخرعضو في التقدم . العدد الأخير من السلسلة. اسم ليس مألوفًا جدًا، ولكن عند تطبيقه على المبلغ فهو مناسب جدًا. ثم سوف ترى بنفسك.

ن - رقم العضو الأخير. من المهم أن نفهم أن هذا الرقم موجود في الصيغة يتزامن مع عدد المصطلحات المضافة.

دعونا نحدد المفهوم آخرعضو ن. سؤال صعب: أي عضو سوف الأخيرإذا أعطيت لا نهاية لهاالتقدم الحسابي؟)

للإجابة بثقة، عليك أن تفهم المعنى الأساسي للتقدم الحسابي و... اقرأ المهمة بعناية!)

في مهمة إيجاد مجموع التقدم الحسابي، يظهر الحد الأخير دائمًا (بشكل مباشر أو غير مباشر)، والتي ينبغي أن تكون محدودة.خلاف ذلك، مبلغ نهائي محدد ببساطة غير موجود.بالنسبة للحل، لا يهم ما إذا كان التقدم معطى: محدود أو لانهائي. لا يهم كيف يتم تقديمها: سلسلة من الأرقام، أو صيغة للحد n.

الشيء الأكثر أهمية هو أن نفهم أن الصيغة تعمل من الحد الأول للتقدم إلى الحد ذو الرقم ن.في الواقع، يبدو الاسم الكامل للصيغة كما يلي: مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي.عدد هؤلاء الأعضاء الأوائل ، أي. ن، يتم تحديده فقط من خلال المهمة. في إحدى المهام، غالبًا ما يتم تشفير كل هذه المعلومات القيمة، نعم... ولكن لا يهم، في الأمثلة أدناه نكشف عن هذه الأسرار.)

أمثلة على المهام على مجموع التقدم الحسابي.

أولاً، معلومات مفيدة:

الصعوبة الرئيسية في المهام التي تنطوي على مجموع التقدم الحسابي هي التعريف الصحيحعناصر الصيغة.

يقوم كتاب المهام بتشفير هذه العناصر نفسها باستخدام خيال لا حدود له.) الشيء الرئيسي هنا هو عدم الخوف. فهم جوهر العناصر، يكفي فك رموزها ببساطة. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة بالتفصيل. لنبدأ بمهمة تعتمد على GIA حقيقي.

1. يتم إعطاء التقدم الحسابي بالشرط: a n = 2n-3.5. أوجد مجموع حدوده العشرة الأولى.

أحسنت. سهل.) لتحديد المبلغ باستخدام الصيغة، ما الذي نحتاج إلى معرفته؟ العضو الأول أ 1،الفصل الأخير ننعم رقم العضو الأخير ن.

أين يمكنني الحصول على رقم العضو الأخير؟ ن؟ نعم، هناك، بشرط! تقول: أوجد المبلغ أول 10 أعضاء.حسنًا، ما هو الرقم الذي سيكون معه؟ آخر،العضو العاشر؟) لن تصدق، رقمه هو العاشر!) لذلك بدلاً من نسوف نعوض في الصيغة 10، وبدلا من ذلك ن- عشرة. وأكرر أن عدد العضو الأخير يتطابق مع عدد الأعضاء.

يبقى أن نحدد أ 1و 10. يمكن حساب ذلك بسهولة باستخدام صيغة الحد n، الواردة في بيان المشكلة. لا أعرف كيف تفعل هذا؟ احضروا الدرس السابق فبدونه لا سبيل.

أ 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

10=2·10 - 3.5 =16.5

س ن = س 10.

لقد اكتشفنا معنى جميع عناصر الصيغة لمجموع التقدم الحسابي. كل ما تبقى هو استبدالهم والعد:

هذا كل شيء. الجواب: 75.

مهمة أخرى تعتمد على GIA. أكثر تعقيدًا بعض الشيء:

2. بالنظر إلى المتوالية الحسابية (a n) التي يكون الفرق فيها 3.7؛ 1 =2.3. أوجد مجموع حدوده الخمسة عشر الأولى.

نكتب على الفور صيغة المجموع:

تتيح لنا هذه الصيغة إيجاد قيمة أي حد من خلال رقمه. نحن نبحث عن بديل بسيط:

أ 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

يبقى استبدال جميع العناصر في صيغة مجموع التقدم الحسابي وحساب الإجابة:

الجواب: 423.

بالمناسبة، إذا كان في صيغة المبلغ بدلا من ننحن ببساطة نعوض بصيغة الحد n ونحصل على:

دعونا نحضر مماثلة، نحصل عليها صيغة جديدةمجموع شروط التقدم الحسابي:

كما ترون، فإنه ليس مطلوبا هنا الفصل الدراسي التاسع ن. في بعض المشاكل، تساعد هذه الصيغة كثيرًا، نعم... يمكنك تذكر هذه الصيغة. هل من الممكن في اللحظة المناسبةفمن السهل عرضه، كما هو الحال هنا. بعد كل شيء، عليك دائمًا أن تتذكر صيغة المجموع وصيغة الحد النوني.)

الآن المهمة في شكل تشفير قصير):

3. أوجد مجموع الأعداد الموجبة المكونة من رقمين والتي هي من مضاعفات العدد ثلاثة.

رائع! لا عضوك الأول ولا الأخير ولا التقدم على الإطلاق... كيف تعيش!؟

سيتعين عليك التفكير برأسك وسحب جميع عناصر مجموع التقدم الحسابي من الحالة. نحن نعرف ما هي الأعداد المكونة من رقمين. وهي تتكون من رقمين.) ما هو الرقم المكون من رقمين أولاً؟ 10، على الأرجح.) أ آخررقم مزدوج؟ 99 بالطبع! والأرقام الثلاثة ستتبعه..

مضاعفات الثلاثة... حسنًا... هذه أرقام تقبل القسمة على ثلاثة، هنا! العشرة لا تقبل القسمة على ثلاثة، 11 لا تقبل القسمة... 12... لا تقبل القسمة! لذلك، هناك شيء آخذ في الظهور. يمكنك بالفعل كتابة سلسلة وفقًا لشروط المشكلة:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

هل ستكون هذه المتسلسلة متوالية حسابية؟ بالتأكيد! ويختلف كل مصطلح عن السابق بثلاثة فقط. إذا أضفت 2 أو 4 إلى حد ما، على سبيل المثال، النتيجة، أي. الرقم الجديد لم يعد يقبل القسمة على 3. يمكنك على الفور تحديد الفرق في التقدم الحسابي: د = 3.سيكون في متناول اليدين!)

لذا، يمكننا تدوين بعض معلمات التقدم بأمان:

ماذا سيكون الرقم؟ نآخر عضو؟ أي شخص يعتقد أن 99 مخطئ للغاية... الأرقام دائمًا تكون متتالية، لكن أعضاؤنا يقفزون فوق الثلاثة. أنها لا تتطابق.

هناك حلان هنا. إحدى الطرق هي للمجتهدين للغاية. يمكنك تدوين التقدم وسلسلة الأرقام بأكملها وحساب عدد الأعضاء بإصبعك.) الطريقة الثانية للمفكرين. عليك أن تتذكر صيغة الحد n. إذا طبقنا الصيغة على مشكلتنا، نجد أن 99 هو الحد الثلاثون للتقدم. أولئك. ن = 30.

دعونا نلقي نظرة على صيغة مجموع التقدم الحسابي:

نحن ننظر ونبتهج.) لقد أخرجنا من بيان المشكلة كل ما هو ضروري لحساب المبلغ:

أ 1= 12.

30= 99.

س ن = س 30.

كل ما تبقى هو الحساب الأولي. نستبدل الأرقام في الصيغة ونحسب:

الجواب: 1665

نوع آخر من الألغاز الشائعة:

4. بالنظر إلى التقدم الحسابي:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

أوجد مجموع الحدود من عشرين إلى أربعة وثلاثين.

ننظر إلى صيغة المبلغ و... نشعر بالانزعاج.) دعني أذكرك، الصيغة تحسب المبلغ من الأولعضو. وفي المشكلة تحتاج إلى حساب المبلغ منذ العشرين..الصيغة لن تعمل.

يمكنك، بالطبع، كتابة التقدم بأكمله في سلسلة، وإضافة مصطلحات من 20 إلى 34. لكن... إنه أمر غبي إلى حد ما ويستغرق وقتًا طويلاً، أليس كذلك؟)

هناك المزيد حل أنيق. دعونا نقسم سلسلتنا إلى قسمين. الجزء الأول سيكون من الفصل الأول إلى التاسع عشر.الجزء الثاني - من العشرين إلى الرابعة والثلاثين.ومن الواضح أنه إذا حسبنا مجموع مصطلحات الجزء الأول ق1-19لنضفها مع مجموع حدود الجزء الثاني ق 20-34فنحصل على مجموع التقدم من الفصل الأول إلى الرابع والثلاثين ق1-34. مثله:

ق1-19 + ق 20-34 = ق1-34

من هذا يمكننا أن نرى أن العثور على المبلغ ق 20-34يستطيع طرح بسيط

ق 20-34 = ق1-34 - ق1-19

ويعتبر كلا المبلغين على الجانب الأيمن من الأولعضو، أي. تنطبق تماما عليهم الصيغة القياسيةالمبالغ. دعونا نبدأ؟

نستخرج معلمات التقدم من بيان المشكلة:

د = 1.5.

أ 1= -21,5.

لحساب مجموع أول 19 وأول 34 حدًا، سنحتاج إلى الحدين 19 و34. نحسبها باستخدام صيغة الحد النوني، كما في المسألة الثانية:

19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

لم يبق شيء. من مجموع 34 حدًا اطرح مجموع 19 حدًا:

ق 20-34 = ق 1-34 - ق 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

الجواب: 262.5

ملاحظة هامة! هناك خدعة مفيدة للغاية في حل هذه المشكلة. بدلا من الحساب المباشر ما تحتاجه (س20-34)،لقد عدنا شيء يبدو أنه ليس هناك حاجة إليه - س 1-19.وبعد ذلك قرروا ق 20-34، والتخلص من ما هو غير ضروري من النتيجة الكاملة. هذا النوع من "الخدعة بأذنيك" غالبًا ما ينقذك من المشاكل الشريرة.)

نظرنا في هذا الدرس إلى المسائل التي يكفي أن نفهم فيها معنى مجموع التقدم الحسابي. حسنًا، أنت بحاجة إلى معرفة بعض الصيغ.)

نصيحة عملية:

عند حل أي مشكلة تتضمن مجموع التقدم الحسابي، أوصي بكتابة الصيغتين الرئيسيتين من هذا الموضوع على الفور.

صيغة الحد التاسع :

ستخبرك هذه الصيغ على الفور بما يجب البحث عنه وفي أي اتجاه يجب التفكير فيه لحل المشكلة. يساعد.

والآن مهام الحل المستقل.

5. أوجد مجموع الأعداد المكونة من رقمين والتي لا تقبل القسمة على ثلاثة.

رائع؟) التلميح مخفي في ملاحظة المشكلة رقم 4. حسنًا، المشكلة رقم 3 ستساعدك.

6. يُعطى التقدم الحسابي بالشرط: a 1 = -5.5؛ ن+1 = ن +0.5. أوجد مجموع حدوده الـ 24 الأولى.

غير عادي؟) هذا صيغة التكرار. يمكنك أن تقرأ عنها في الدرس السابق. لا تتجاهل الرابط، فمثل هذه المشكلات غالبًا ما توجد في أكاديمية الدولة للعلوم.

7. قام فاسيا بتوفير المال لقضاء العطلة. بقدر 4550 روبل! وقررت أن أمنح الشخص المفضل لدي (نفسي) بضعة أيام من السعادة). عش بشكل جميل دون حرمان نفسك من أي شيء. أنفق 500 روبل في اليوم الأول، وفي كل يوم لاحق أنفق 50 روبل أكثر من اليوم السابق! حتى نفاد المال. كم عدد أيام السعادة التي عاشها فاسيا؟

هل الأمر صعب؟) هل سيساعد؟ صيغة إضافيةمن المهمة 2.

الأجوبة (في حالة الفوضى): 7، 3240، 6.

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

يشير مفهوم التسلسل الرقمي إلى أن كل رقم طبيعي يتوافق مع بعض القيمة الفعلية. يمكن أن تكون هذه السلسلة من الأرقام تعسفية أو بها خصائص معينة- التقدم. في الحالة الأخيرةيمكن حساب كل عنصر (عضو) لاحق في التسلسل باستخدام العنصر السابق.

التقدم الحسابي - التسلسل القيم العدديةوالتي يختلف فيها الأعضاء المجاورون لها عن بعضهم البعض نفس العدد (خاصية مماثلةجميع عناصر السلسلة، بدءًا من الثاني، لها). هذا الرقم– الفرق بين الحد السابق واللاحق ثابت ويسمى فرق التقدم.

فرق التقدم: التعريف

خذ بعين الاعتبار تسلسلًا يتكون من قيم j A = a(1)، a(2)، a(3)، a(4) ... a(j)، j ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية N. عملية حسابية التقدم، حسب تعريفه، هو تسلسل، فيه a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – أ(ي-1) = د. القيمة d هي الفرق المطلوب لهذا التقدم.

د = أ(ي) – أ(ي-1).

تسليط الضوء على:

• تقدم متزايد، وفي هذه الحالة d > 0. مثال: 4، 8، 12، 16، 20، ...
• انخفاض التقدم، ثم د< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

تطور الفرق وعناصره التعسفية

إذا كان هناك حدين تعسفيين للتقدم معروفين (i-th، k-th)، فيمكن تحديد الفرق في تسلسل معين بناءً على العلاقة:

أ(i) = أ(ك) + (i – ك)*د، وهو ما يعني د = (أ(i) – أ(ك))/(ط-ك).

اختلاف التقدم ومدته الأولى

سيساعد هذا التعبير في تحديد قيمة غير معروفة فقط في الحالات التي يكون فيها رقم عنصر التسلسل معروفًا.

فرق التقدم ومجموعه

مجموع التقدم هو مجموع شروطه. لحساب القيمة الإجماليةمن عناصره j الأولى، استخدم الصيغة المناسبة:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j، ولكن منذ ذلك الحين a(j) = a(1) + d(j – 1)، ثم S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2أ(1) + د(- 1))/2)*ي.