Nó liên quan đến việc tạo ra các sản phẩm bánh kẹo: kẹo, món tráng miệng, bánh ngọt, v.v. Theo quy định, đại diện của nghề này có thể được tìm thấy trong các nhà hàng và tiệm bánh đắt tiền. Tuy nhiên, đôi khi những người làm bánh kẹo là những người có hoạt động kinh doanh chỉ liên quan đến việc bán các sản phẩm bánh kẹo.
Lịch sử của bánh kẹo quay trở lại thời xa xưa. Người da đỏ Maya từng phát hiện ra công thức làm sô cô la, người dân Ấn Độ cổ đại sử dụng đường mía để làm que ngọt, và người Ai Cập cổ đại đã làm đồ ngọt từ quả chà là. Sau này ở châu Âu, những người làm bánh kẹo bắt đầu nằm trong số những người được gọi là đầy tớ đặc quyền tại các triều đình hoàng gia và quý tộc.
Phải nói rằng Nghề đầu bếp bánh ngọt là một kiểu người thực tế. Điều này có nghĩa là các đại diện của nó có thiên hướng làm những công việc thực tế đòi hỏi sự khéo léo và sức mạnh thể chất. Công việc như vậy không yêu cầu giao tiếp với mọi người cũng như việc hình thành và trình bày suy nghĩ.
Nhiệm vụ của đầu bếp bánh ngọt bao gồm: nấu nướng nhiều loại bột, kem và nhân theo một công thức cụ thể, cũng như các sản phẩm làm bánh và trang trí.
Nghề đầu bếp bánh ngọt đòi hỏi ở con người sự hiện diện của một hương vị tinh tế, khứu giác tốt, trí nhớ vị giác, cũng như trí tưởng tượng sáng tạo . Người làm bánh phải hiểu rõ nguyên liệu sản phẩm khác nhau và sở hữu tất cả chúng những kiến thức cần thiết về tính năng hoạt động của thiết bị nhà bếp.
Cũng cần nhấn mạnh tầm quan trọng của sự phối hợp mắt và tay-mắt. Khá thường xuyên, những miếng bánh được cắt bằng mắt hoặc những chiếc bánh được cắt từ cả một lớp lớn. Ngoài ra, nghề như vậy đòi hỏi phải có đủ sức bền thể chất, vì bạn phải làm việc đứng trong thời gian rất dài ở tốc độ rất cao. nhiệt độ cao, xuất phát từ lò nướng. Ngoài ra, những bất lợi của nghề này bao gồm mối đe dọa đạt được thừa cân do bạn phải liên tục nếm thử một số sản phẩm nhất định để đạt được kết quả mong muốn.
Về phẩm chất cá nhân, thì điều đáng nhấn mạnh độ chính xác, phát triển trí nhớ vị giác và sự sáng tạođến mức. Bạn có thể học để trở thành thợ làm bánh kẹo ở trường kỹ thuật bằng cách đăng ký học chuyên ngành “Làm bánh kẹo”, “Kẻ làm bánh kẹo đường” hoặc “Công nghệ sản phẩm thực phẩm công cộng”.
Điều đáng nói riêng về triển vọng của nghề này. Những người làm bánh kẹo, theo quy định, bắt đầu sự nghiệp của họ trong các căng tin nhỏ, nhà hàng hoặc quán cà phê với lượng khách hàng nhỏ. Tuy nhiên kinh nghiệm có được theo thời gian và bạn có thể tiến hành thực hiện các đơn đặt hàng riêng lẻ để nướng bánh và các sản phẩm khác. Nhiều đầu bếp bánh ngọt làm việc ở các khách sạn, nhà hàng lớn cấp độ cao và cũng tham gia vào cuộc thi quốc tế. Tất nhiên rồi tiền lương những người chủ như vậy có mức lương cao hơn đáng kể so với nhân viên bình thường của các quán cà phê thông thường.
Cũng cần phải nói về ý nghĩa xã hội. Nghề đầu bếp bánh ngọt đã và sẽ luôn có nhu cầu., vì tình yêu đồ ngọt của mọi người hoàn toàn không phụ thuộc vào tình hình kinh tế của một quốc gia hoặc một khu vực cụ thể. Ví dụ, trong thời kỳ thu nhập tăng cao, doanh số bán các sản phẩm bánh kẹo độc quyền tăng lên, và trong thời kỳ khủng hoảng và suy thoái kinh tế, các sản phẩm bánh kẹo giúp mọi người đối phó với chứng trầm cảm, do đó chúng cũng rất phổ biến.
Trong tổ hợp, họ nghiên cứu các câu hỏi về việc có thể tạo ra bao nhiêu tổ hợp của một loại nhất định từ các đối tượng (phần tử) nhất định.
Sự ra đời của tổ hợp như một nhánh gắn liền với các công trình của B. Pascal và P. Fermat về lý thuyết cờ bạc. Đóng góp to lớn cho sự phát triển của các phương pháp tổ hợp đã được thực hiện bởi G.V. Leibniz, J. Bernoulli và L. Euler.
Triết gia, nhà văn, nhà toán học và vật lý học người Pháp Blaise Pascal (1623–1662) đã thể hiện sự xuất sắc của mình kỹ năng toán học. Mối quan tâm toán học của Pascal rất đa dạng. Pascal đã chứng minh một điều
Từ những định lý cơ bản của hình học xạ ảnh (định lý Pascal), thiết kế ra máy tính tổng (máy cộng Pascal), đưa ra phương pháp tính hệ số nhị thức (tam giác Pascal), là người đầu tiên định nghĩa và áp dụng chính xác phương pháp chứng minh quy nạp toán học, đã thực hiện một bước quan trọng trong sự phát triển của phân tích vi phân, đóng vai trò vai trò quan trọng nguồn gốc của lý thuyết xác suất. Trong thủy tĩnh học, Pascal đã thiết lập định luật cơ bản của nó (định luật Pascal). “Thư gửi tỉnh” của Pascal là một kiệt tác của văn xuôi cổ điển Pháp.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) là một triết gia, nhà toán học, nhà vật lý và nhà phát minh, luật sư, nhà sử học và nhà ngôn ngữ học người Đức. Trong toán học, cùng với I. Newton, ông đã phát triển vi phân và phép tính tích phân. Đóng góp quan trọngđóng góp cho tổ hợp. Đặc biệt, tên tuổi của ông gắn liền với các bài toán lý thuyết số.
Gottfried Wilhelm Leibniz có ngoại hình không mấy ấn tượng nên tạo ấn tượng về một người có vẻ ngoài khá giản dị. Một ngày nọ ở Paris anh ấy đi vào hiệu sách với hy vọng mua được một cuốn sách của một người bạn triết học của mình. Khi một vị khách hỏi về cuốn sách này, người bán sách đã xem xét anh ta từ đầu đến chân và nói một cách chế nhạo: “Tại sao bạn lại cần nó? Bạn có thực sự có khả năng đọc những cuốn sách như vậy không? Nhà khoa học chưa kịp trả lời thì chính tác giả cuốn sách đã bước vào cửa hàng với dòng chữ: “Xin chào và kính trọng Leibniz vĩ đại!” Người bán không thể hiểu rằng đây thực sự là Leibniz nổi tiếng, người có nhu cầu đọc sách rất lớn trong giới khoa học.
Trong tương lai, những điều sau đây sẽ đóng một vai trò quan trọng
Bổ đề.Đặt trong một tập hợp các phần tử và trong một tập hợp - các phần tử. Khi đó số lượng tất cả các cặp riêng biệt sẽ bằng .
Bằng chứng. Thật vậy, với một phần tử từ một tập hợp, chúng ta có thể tạo ra các cặp khác nhau như vậy và tổng cộng có trong một tập hợp các phần tử.
Vị trí, hoán vị, kết hợp
Chúng ta hãy có một bộ gồm ba yếu tố. Chúng ta có thể chọn hai trong số những yếu tố này bằng những cách nào? .
Sự định nghĩa. Vị trí của nhiều các yếu tố khác nhau Bởi phần tử là sự kết hợp được tạo thành từ các phần tử nhất định bởi > phần tử và khác nhau về bản thân các phần tử hoặc theo thứ tự của các phần tử.
Số lượng tất cả các vị trí của một tập hợp các phần tử theo phần tử được ký hiệu là (từ chữ cái đầu từ tiếng Pháp“sắp xếp”, có nghĩa là vị trí), ở đâu và .
Định lý. Số vị trí của một tập hợp các phần tử theo phần tử bằng
Bằng chứng. Giả sử chúng ta có các phần tử. Hãy để những vị trí có thể. Chúng tôi sẽ xây dựng các vị trí này một cách tuần tự. Đầu tiên, hãy xác định phần tử vị trí đầu tiên. Từ một tập hợp các phần tử nhất định, nó có thể được chọn theo nhiều cách khác nhau. Sau khi chọn phần tử thứ nhất, vẫn có cách chọn phần tử thứ hai, v.v. Vì mỗi lựa chọn như vậy mang lại một vị trí mới nên tất cả các lựa chọn này có thể được kết hợp tự do với nhau. Vì vậy chúng tôi có:
Ví dụ. Có bao nhiêu cách để một lá cờ có ba sọc ngang? màu sắc khác nhau, nếu có chất liệu năm màu?
Giải pháp. Số lượng cờ ba dải cần thiết:
Sự định nghĩa. Hoán vị của một tập hợp các phần tử là sự sắp xếp các phần tử theo một thứ tự nhất định.
Như vậy, mọi hoán vị khác nhau của tập hợp ba phần tử đều
Số lượng tất cả các hoán vị của các phần tử được chỉ định (từ chữ cái đầu của từ tiếng Pháp “hoán vị”, có nghĩa là “hoán vị”, “chuyển động”). Vì vậy, số lượng của tất cả hoán vị khác nhau tính theo công thức
Ví dụ. Có bao nhiêu cách xếp các quân xe lên bàn cờ sao cho chúng không tấn công lẫn nhau?
Giải pháp. Số lượng vị trí quân xe cần thiết
Theo định nghĩa!
Sự định nghĩa. Sự kết hợp của các phần tử khác nhau theo phần tử là sự kết hợp được tạo thành từ các phần tử nhất định theo phần tử và khác nhau ở ít nhất một phần tử (nói cách khác là tập hợp con -element của một tập hợp phần tử nhất định).
Như bạn có thể thấy, trong các kết hợp, không giống như vị trí, thứ tự của các phần tử không được tính đến. Số lượng của tất cả sự kết hợp của các phần tử, các phần tử trong mỗi phần tử, được chỉ định (từ chữ cái đầu của từ tiếng Pháp “combinasion”, có nghĩa là “sự kết hợp”).
số
Tất cả các kết hợp từ một bộ hai là .
Thuộc tính của số (\sf C)_n^k
Thật vậy, mỗi tập con phần tử của một tập hợp phần tử đã cho tương ứng với một và chỉ một tập hợp con phần tử của cùng một tập hợp.
Thật vậy, chúng ta có thể chọn các tập con của các phần tử như sau: sửa một phần tử; số tập con phần tử chứa phần tử này bằng ; số tập con phần tử - không chứa phần tử này bằng .
Tam giác Pascal
Trong tam giác này, các số cực trị ở mỗi hàng bằng 1 và mỗi số không cực trị bằng tổng của hai số ở hàng trước đó phía trên nó. Vì vậy, hình tam giác này cho phép bạn tính toán các con số.
Định lý.
Bằng chứng. Chúng ta hãy xem xét một tập hợp các phần tử và giải bài toán sau theo hai cách: có thể tạo được bao nhiêu dãy từ các phần tử của một tập hợp cho trước?
các tập hợp trong đó không có phần tử nào xuất hiện hai lần?
1 chiều. Chúng tôi chọn thành viên đầu tiên của chuỗi, sau đó là thành viên thứ hai, thứ ba, v.v. thành viên
Phương pháp 2. Trước tiên, hãy chọn các phần tử từ một tập hợp nhất định, sau đó sắp xếp chúng theo thứ tự nào đó
Nhân tử số và mẫu số của phân số này với:
Ví dụ. Có bao nhiêu cách chọn 5 trong số 36 số trong trò chơi “Sportloto”?
Số cách yêu cầu
Nhiệm vụ.
1.
Biển số xe ô tô gồm 3 chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Nga (33 chữ cái) và 4 số. Có bao nhiêu biển số xe khác nhau?
2.
Có 88 phím trên đàn piano. Có bao nhiêu cách để bạn có thể phát ra 6 âm thanh liên tiếp?
3.
Có bao nhiêu số có 6 chữ số chia hết cho 5?
4.
Có bao nhiêu cách bỏ 7 đồng xu khác nhau vào 3 túi?
5.
Bạn viết được bao nhiêu số có năm chữ số ký hiệu thập phân số 5 nào xuất hiện ít nhất một lần?
6.
Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 20 người? bàn tròn, coi các phương pháp này giống nhau liệu chúng có thể lấy được cái này từ cái kia bằng cách di chuyển theo vòng tròn không?
7.
Có bao nhiêu số có 5 chữ số chia hết cho 5 mà không viết được? số giống nhau?
8.
TRÊN giấy ca rô với cạnh ô 1 cm vẽ một hình tròn có bán kính 100 cm, đường tròn này không đi qua các đỉnh ô và không chạm vào các cạnh của ô. Vòng tròn này có thể giao nhau bao nhiêu ô?
9.
Có bao nhiêu cách sắp xếp các số thành một hàng sao cho các số đó liền kề nhau và theo thứ tự tăng dần?
10.
Có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số từ các chữ số nếu mỗi chữ số chỉ dùng được một lần?
11.
Từ chữ ROT, bằng cách sắp xếp lại các chữ cái sẽ có được các từ sau: TOP, ORT, OTR, TRO, RTO. Chúng được gọi là đảo chữ cái. Bạn có thể tạo ra bao nhiêu đảo chữ từ từ LOGARITHM?
12.
Hãy gọi chia tách biểu diễn số tự nhiên dưới dạng tổng số tự nhiên. Ví dụ: đây là tất cả các phân vùng của một số:
Các phân vùng được coi là khác nhau nếu chúng khác nhau về số lượng hoặc thứ tự các thuật ngữ của chúng.
Có bao nhiêu cách phân chia khác nhau của một số thành các số hạng?
13.
Có bao nhiêu số có ba chữ số xếp theo thứ tự chữ số không tăng?
14.
Có bao nhiêu số có bốn chữ số xếp theo thứ tự chữ số không tăng?
15.
Có bao nhiêu cách xếp 17 người vào một hàng dọc sao cho họ đứng cạnh nhau?
16.
nam và nữ được xếp ngẫu nhiên vào một hàng ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau?
17.
nam và nữ được xếp ngẫu nhiên vào một hàng ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho tất cả các bạn nữ ngồi cạnh nhau?
Ví dụ. k, o, n họ có đứng cạnh nhau không?
Ví dụ. Có bao nhiêu cách hoán vị của các chữ cái trong từ “hình nón” trong đó các chữ cái k, o, n họ có đứng cạnh nhau không?
Giải pháp.
Cho 5 chữ cái, trong đó có 3 chữ cái phải đứng cạnh nhau.
Ba chữ cái k, o, n có thể đứng cạnh một trong = 3! = 6 cách.
Với mỗi phương pháp “dán” chữ cái k, o, n chúng tôi nhận được = 3! = 6 cách
Sắp xếp lại các chữ cái, "dán" chúng ta.
Tổng số hoán vị khác nhau của các chữ cái trong từ “hình nón”, trong đó các chữ cái
k, o, n đứng cạnh nhau bằng 6 · 6 = 36 hoán vị - đảo chữ.
Trả lời: 36 đảo chữ.
Ví dụ.
Ví dụ.Đếm xem có bao nhiêu hình ảnh của các chữ cái A, B, C, D, D, E, F, Z, I, K có những chữ cái có: 1) trục đối xứng thẳng đứng; 2) trục đối xứng ngang.
Giải pháp.
1) Các chữ có trục đối xứng dọc: A, D, F – 3 chữ cái (chúng ta không tính đến độ dày của một số thành phần của chữ A, D ở bên phải).
2) Các chữ có trục đối xứng nằm ngang: V, E, ZH, Z, K – 5 chữ.
Trả lời: 1) 3 chữ cái, 2) 5 chữ cái.
Ví dụ.
Ví dụ. Cư dân trên hành tinh XO có ba chữ cái trong bảng chữ cái của họ: A, O, X. Các từ trong ngôn ngữ bao gồm không quá ba chữ cái (một chữ cái trong một từ có thể được lặp lại). Số lượng từ lớn nhất có thể có trong từ vựng của cư dân trên hành tinh này là bao nhiêu?
Giải pháp. Các từ có thể là một chữ cái, hai chữ cái hoặc ba chữ cái.
Từ có một chữ cái: A, O, X – 3 từ.
Từ có hai chữ cái: AO, AH, AA, OO, OA, OX, XX, HA, XO – 9 từ (3·3=9, chọn hai chữ cái có số lần lặp lại).
Từ có ba chữ cái: 3·9=27 từ (lựa chọn ba trong số ba từ lặp lại, chọn chữ cái đầu tiên - ba cách; thêm từng từ trong số 9 từ có thể có hai chữ cái vào mỗi chữ cái đầu tiên).
Như vậy, trong từ điển của cư dân hành tinh XO có thể có tối đa 3 + 9 + +27 = 39 từ.
Trả lời: 39 từ.
Ví dụ số 1.
Ví dụ số 1. Tất cả các vé dự thi môn Văn đều được viết trên thẻ có hai chữ số. Petya chọn ngẫu nhiên một thẻ. Mô tả các sự kiện sau đây là chắc chắn, không thể xảy ra hoặc ngẫu nhiên:
Sự kiện A - có số nguyên tố trên thẻ đã chọn;
Sự kiện B – có một số tổng hợp trên thẻ;
Sự kiện C – có một số trên thẻ không phải là số nguyên tố cũng không phải số tổng hợp;
Sự kiện D – có số chẵn hoặc số lẻ trên thẻ.
Giải pháp.
Sự kiện A và B là ngẫu nhiên vì chúng có thể xảy ra hoặc không xảy ra.
Sự kiện C không thể xảy ra: hãy nhớ định nghĩa về số nguyên tố và hợp số.
Sự kiện D là đáng tin cậy vì mọi số có hai chữ số đều là số chẵn hoặc số lẻ.
Bạn mở cuốn sách này sang bất kỳ trang nào và đọc danh từ đầu tiên bạn gặp. Hóa ra: a) cách viết của từ đã chọn có chứa một nguyên âm; b) cách viết của từ được chọn có chứa chữ “o”; c) không có nguyên âm trong cách viết của từ đã chọn; d) có dấu mềm trong cách viết của từ đã chọn.
Giải pháp.
a) Sự kiện này đáng tin cậy vì trong tiếng Nga không có danh từ nào chỉ bao gồm các phụ âm.
b) Sự việc xảy ra ngẫu nhiên.
c) Sự kiện không thể xảy ra (xem điểm a)).
d) Sự việc xảy ra ngẫu nhiên.
Ví dụ.
Ví dụ. Mô tả tổng của các sự kiện không tương thích sau đây.
“Hoàng hậu sinh con trong đêm, hoặc là con trai (sự kiện A) hoặc con gái (sự kiện B)…”
Giải pháp.
Hoàng hậu sinh được con trai hoặc con gái (A B).
Trả lời: 4 sự kiện phức tạp, là tổng của hai sự kiện không tương thích.
Ví dụ. o, t, k, r.
Ví dụ. Những chữ cái được viết trên bốn tấm thiệp o, t, k, r. Các lá bài đã được lật lại và xáo trộn. Sau đó, họ lần lượt mở các thẻ này một cách ngẫu nhiên và xếp chúng thành một hàng. Xác suất để từ "nốt ruồi" xuất hiện là bao nhiêu?
Giải pháp. Kết quả là tất cả các hoán vị có thể có của bốn phần tử ( o, t, k, r); tổng số kết quả là n = = 4! = 24.
Sự kiện A – “sau khi mở bài sẽ nhận được chữ “nốt ruồi””; = 1 (chỉ có một tùy chọn để sắp xếp các chữ cái - “nốt ruồi”; = .
Trả lời:
Ví dụ Ô, vào ngày thứ hai T, vào ngày thứ ba Với, vào ngày thứ tư P.
Ví dụ. Chúng tôi lấy bốn thẻ. Họ đã viết một lá thư vào ngày đầu tiên Ô, vào ngày thứ hai T, vào ngày thứ ba Với, vào ngày thứ tư P. Các lá bài đã được lật lại và xáo trộn. Sau đó, họ mở ngẫu nhiên hết thẻ này đến thẻ khác và đặt nó bên cạnh. Xác suất để kết quả là từ "dừng" hoặc từ "đăng" là bao nhiêu?
Giải pháp. Kết quả – tất cả các hoán vị có thể có của 4 chữ cái; tổng số kết quả
n = = 4! = 24.
Sự kiện A – “xuất hiện từ “dừng” hoặc “đăng”; số kết quả thuận lợi = 1 (“dừng”) + 1 (“hậu”) = 2 (theo quy luật tổng các kết quả loại trừ lẫn nhau).
Xác suất = .
Trả lời: 1/12.
Ví dụ số 1. Chúng tôi đã đo độ dài của các từ (số lượng chữ cái) trong đoạn trích dưới đây từ bài thơ “Người kỵ sĩ bằng đồng” của A.S. Cần xây dựng biểu đồ phân bố bội số và tần số, chọn các khoảng 1-3, 4-6, 7-9 cho phương án lấy mẫu.
“…Hắn thật khủng khiếp trong bóng tối xung quanh! 6, 2, 1, 9, 4
Thật là một suy nghĩ trên trán! 5, 4, 2, 4
Sức mạnh nào ẩn chứa trong anh ta, Và ngọn lửa nào trong con ngựa này! 5, 4, 1, 3, 7
Bạn đang cưỡi ngựa đi đâu, ngựa kiêu hãnh, 1, 1, 3, 4, 5, 5
Và bạn sẽ đặt móng guốc của mình ở đâu?..." 1, 3, 8, 2, 6
Ở bên phải của văn bản, thay vì các từ, độ dài của chúng được viết ra từng dòng. Sau khi tính toán, chúng tôi lập một bảng.
Ví dụ.
Ví dụ. Khi kiểm tra 70 tác phẩm bằng tiếng Nga, số lỗi chính tả của học sinh đã được ghi nhận. Chuỗi dữ liệu thu được được trình bày dưới dạng bảng tần số:
Sự khác biệt lớn nhất về số lỗi mắc phải là gì? Nhóm học sinh này thường mắc bao nhiêu lỗi? Cho biết những đặc điểm thống kê nào đã được sử dụng để trả lời các câu hỏi được đặt ra.
Giải pháp.
Chênh lệch lớn nhất về số lỗi: 6 – 0 = 6.
Số lỗi điển hình: 3 (xảy ra 26 lần trên 70).
Quy mô và thời trang được sử dụng.
Trả lời: 6; 3.
Nghiên cứu thống kê bảng tần số ngôn ngữ.
Nghiên cứu thống kê qua một số lượng lớn văn bản văn học, họ đã chỉ ra rằng tần suất xuất hiện của một chữ cái cụ thể (hoặc khoảng cách giữa các từ) có xu hướng đạt đến một số hằng số nhất định khi âm lượng của văn bản tăng lên. Các bảng chứa các chữ cái của một ngôn ngữ cụ thể và các hằng số tương ứng được gọi là bảng tần số ngôn ngữ.
Mỗi tác giả có bảng tần suất sử dụng chữ cái, từ ngữ, cách diễn đạt văn học cụ thể, v.v. Sử dụng bảng tần số này, bạn có thể xác định tác giả một cách chính xác như sử dụng dấu vân tay.
Ví dụ, lên tới Hôm nay Tranh chấp về quyền tác giả vẫn tiếp diễn" Yên lặng" Khá nhiều người cho rằng M.A Sholokhov ở tuổi 23 đã rất sâu sắc và chân thực. cuốn sách tuyệt vời Tôi không thể viết được. Nhiều lập luận và tác giả ứng cử viên khác nhau đã được đưa ra. Các cuộc tranh luận đặc biệt nảy lửa vào thời điểm trao giải cho M.A. Sholokhov giải Nobel trong văn học (1965). Phân tích thống kê cuốn tiểu thuyết và sự so sánh của nó với các văn bản mà M.A. Sholokhov không thể nghi ngờ về quyền tác giả, tuy nhiên đã xác nhận giả thuyết về M.A. Sholokhov là tác giả thực sự của “The Quiet Don”.
Ví dụ số 1.
Ví dụ số 1. Mẫu bao gồm tất cả các chữ cái có trong câu đối
“...Cây này là cây thông,
Và số phận của cây thông đã rõ ràng…”
Viết ra một loạt dữ liệu mẫu.
Tìm kích thước mẫu.
Xác định số bội và tần suất của các tùy chọn “o”.
Tần suất phần trăm cao nhất của tùy chọn mẫu là gì?
Giải pháp
1). Chuỗi dữ liệu mẫu (tùy chọn giá trị):
a, b, c, d, f, i, n, o, r, s, t, y, b, s, e, i.
2). Cỡ mẫu là tổng số chữ cái trong câu ghép: n = 30.
3). Số bội phương án “o” là 4, tần suất các phương án bằng nhau.
4). Tùy chọn “c” có tần số phần trăm cao nhất: bội số của nó là 6, tần số
, tần số phần trăm 20%.
Trả lời: 1). 16 chữ cái; 2). 30; 3). 4 và 0,133; 4). 20%.
Ví dụ số 1 (tiếp theo). Mẫu bao gồm tất cả các chữ cái có trong câu đối
Ví dụ số 1 (tiếp theo). Mẫu bao gồm tất cả các chữ cái có trong câu đối
“...Cây này là cây thông,
Và số phận của cây thông đã rõ ràng…”
Bảng chữ cái được chia theo thứ tự thành ba phần giống hệt nhau: Số 1 từ “a” đến “th”, Số 2 từ “k” đến “u”, Số 3 từ “f” đến “z”.
1).Tìm bội số và tần số (phần trăm) của phần số 3.
2).Lập bảng phân bố tần suất của các phần.
3).Cho biết vùng có tần số cao nhất.
4) .Xây dựng biểu đồ tần số với phân bố đã chọn thành các phần.
Giải pháp. Trước hết, chúng tôi lưu ý rằng nếu bảng chữ cái tiếng Nga có 33 chữ cái thì ba phần giống nhau là các phần gồm 11 chữ cái. Số chữ trong một câu ghép: n = 30.
Bảng phân bố tần số và bội số:
Ví dụ.
Ví dụ. 60 học sinh lớp 9 được kiểm tra tốc độ đọc (số từ trong một phút đọc). Dữ liệu thu được được nhóm thành 5 khu vực: Số 1- (91;100); số 2 (101;110); số 3 (111;120); số 4 (121;130); Số 5 (131;140). Kết quả là một biểu đồ của bội số (xem hình). Ước tính gần đúng: phạm vi, chế độ, giá trị trung bình số học của mẫu, giải thích tại sao các câu trả lời chỉ mang tính gần đúng.
Phạm vi A = 140-91 = 49
Phạm vi A = 140-91 = 49
Thời trang.
Giá trị trung bình.
Các giá trị thu được chỉ mang tính gần đúng vì thay vì giá trị thực, các phép tính đã sử dụng các giá trị có điều kiện - ranh giới và điểm giữa của các khoảng từng phần, nghĩa là các giá trị không được quan sát bằng thực nghiệm nhưng đã được chúng tôi chấp nhận để thuận tiện về việc trình bày dữ liệu.
Trả lời: 49; 125,5; 117,17.
A.G. Mordkovich, P.V. Sự kiện. Xác suất. Xử lý dữ liệu thống kê: Bổ sung. Các đoạn văn đại số lớp 7 – 9. giáo dục phổ thông tổ chức / A.G. Mordkovich, P.V. tái bản lần thứ 4. – M.: Mnemosyne, 2006.-112 tr.
Makarychev Yu.N. Đại số: các yếu tố của thống kê và tổ hợp và lý thuyết xác suất: sách giáo khoa. Sách dành cho học sinh lớp 7-9. giáo dục phổ thông tổ chức / Yu.N. Makarychev, N.G. được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky - tái bản lần thứ 2. – M.: Giáo dục, 2004.-78 tr.
M.V. Tkacheva, N.E. Các yếu tố thống kê và xác suất: Sách giáo khoa phổ thông lớp 7-9. các cơ quan. – M.: Giáo dục, 2004.-112 tr.
Tùy chọn 1
Số 1. Có bao nhiêu cách xếp năm cuốn sách khác nhau lên kệ?
Số 2. Có bao nhiêu số có ba chữ số số khác nhau có thể lập được từ các số 0, 1, 3, 6, 7, 9?
Số 3. Tại buổi họp mặt cựu sinh viên 9 bạn học cũ trao đổi danh thiếp. Có bao nhiêu tấm danh thiếp đã được sử dụng?
Số 4. Có bao nhiêu hoán vị của các chữ cái trong từ “hình” trong đó các chữ cái “y”, “p”, “a” nằm cạnh nhau? theo thứ tự đã chỉ định?
Tùy chọn 2
Số 1. Có bao nhiêu cách xếp sáu cuốn sách khác nhau lên kệ?
Số 2. Từ các chữ số 0, 3, 4, 5, 8 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau?
Số 3. Tại hội nghị, 7 người tham gia đã trao đổi số điện thoại. Đã trao đổi bao nhiêu số điện thoại?
Số 4. Có bao nhiêu hoán vị của các chữ cái trong từ “đỉnh” trong đó các chữ cái “v”, “e”, “r” nằm cạnh nhau theo thứ tự đã cho?
Làm việc độc lập. Tổ hợp.
Tùy chọn 3
Số 1. Có bao nhiêu cách để 9 thí sinh tham gia thi đấu theo thứ tự ưu tiên vào vòng tứ kết của cuộc thi?
Số 2. Dùng các số 0, 3, 7, 8 tạo thành tất cả các số có thể hình đôi, trong đó các số không được lặp lại.
Số 3. Tại khu N cứ hai thôn nối nhau bằng một con đường. Xác định số lượng đường như vậy nếu có 10 làng trong khu vực.
Số 4. Có bao nhiêu số điện thoại có 5 chữ số bắt đầu từ số 3 trong đó tất cả các chữ số đều khác nhau?
Tùy chọn 4
Số 1. Người chuyển phát nhanh phải giao bánh pizza đến sáu địa chỉ. Anh ta có thể chọn bao nhiêu con đường?
Số 2. Sử dụng các số 0, 2, 4, 6, 8, tạo thành tất cả các số có thể số có ba chữ số, trong đó các số không được lặp lại?
Số 3. Trên mặt phẳng cho 9 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng đi qua những điểm này?
Số 4. Có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số bắt đầu bằng 36 mà tất cả các chữ số đều khác nhau?
Sắp xếp lại. Công thức tính số hoán vị
Hoán vị từ N yếu tố
Hãy để bộ X bao gồm N các phần tử.
Sự định nghĩa. Vị trí không lặp lại từN các phần tử của tập hợpX Qua N gọi điện hoán vị từ N các phần tử.
Lưu ý rằng mọi hoán vị đều bao gồm tất cả các phần tử của tập hợpX , và đúng một lần. Nghĩa là, các hoán vị chỉ khác nhau về thứ tự của các phần tử và có thể thu được từ nhau bằng cách hoán vị các phần tử (do đó có tên).
Số lượng tất cả các hoán vị từN các phần tử được biểu thị bằng ký hiệu .
Vì các hoán vị là trường hợp đặc biệt các vị trí không lặp lại tại , thì công thức tìm số chúng ta thu được từ công thức (2), thay thế vào nó :
Như vậy,
(3)
Ví dụ. Có bao nhiêu cách xếp 5 cuốn sách lên kệ?
Giải pháp. Có nhiều cách để đặt sách trên kệ cũng như có nhiều hoán vị khác nhau của năm yếu tố: cách.
Bình luận. Các công thức (1)-(3) không cần phải ghi nhớ: các bài toán liên quan đến ứng dụng của chúng luôn có thể được giải bằng cách sử dụng quy tắc tích. Nếu học sinh gặp khó khăn trong việc tạo mô hình tổ hợp của các bài toán thì tốt hơn nên thu hẹp tập hợp các công thức và quy tắc được sử dụng (để ít có cơ hội mắc lỗi). Đúng, các bài toán sử dụng hoán vị và công thức (3) thường được giải mà không gặp vấn đề gì.
Nhiệm vụ
1. F. Có bao nhiêu cách xếp hàng tại phòng vé: 1) 3 người; 2) 5 người?
Giải pháp.
Tùy chọn khác nhau Sự sắp xếp của n người trong hàng đợi chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp những người đó, tức là chúng là những hoán vị khác nhau của n phần tử.
Ba người có thể xếp hàng P3 = 3! = 6 cách khác nhau.
Đáp án: 1) 6 cách; 2) 120 cách.
2. T. Có bao nhiêu cách xếp một chiếc ghế bốn chỗ cho 4 người ngồi?
Giải pháp.
Số người bằng số ghế trên ghế nên số phương án sắp xếp bằng số hoán vị của 4 phần tử: P4 = 4! = 24.
Bạn có thể suy luận theo quy tắc nhân: người thứ nhất có thể chọn bất kỳ vị trí nào trong 4 vị trí, người thứ hai - bất kỳ vị trí nào trong 3 vị trí còn lại, người thứ ba - bất kỳ vị trí nào trong 2 vị trí còn lại, người cuối cùng sẽ chiếm 1 vị trí còn lại ; có tất cả mọi thứ = 24 cách khác nhau để xếp 4 người ngồi trên một băng ghế bốn chỗ.
Đáp số: 24 cách.
3. M. Tại Vova's để ăn trưa - món đầu tiên, thứ hai, thứ ba và bánh ngọt. Anh ấy chắc chắn sẽ bắt đầu với chiếc bánh và ăn phần còn lại theo thứ tự ngẫu nhiên. Tìm số những lựa chọn khả thi bữa trưa.
M-vấn đề từ sách giáo khoa. sách hướng dẫn của A.G. Mordkovich
T-ed. S.A.Telyakovsky
F-M.V.
Giải pháp.
Sau khi ăn bánh, Vova có thể chọn một trong ba món, sau đó là hai món và kết thúc với những món còn lại. Tổng số Các lựa chọn ăn trưa có thể: =6.
Trả lời: 6.
4. F. Có thể tạo ra bao nhiêu cụm từ đúng khác nhau (theo quan điểm của tiếng Nga) bằng cách thay đổi thứ tự các từ trong câu: 1) “Tôi đã đi dạo”; 2) “Con mèo đang đi dạo trong sân”?
Giải pháp.
Trong câu thứ hai, giới từ “in” phải luôn xuất hiện trước danh từ “yard” mà nó ám chỉ. Do đó, đếm cặp “trong sân” là một từ, có thể tìm được số hoán vị khác nhau của ba từ đó. từ có điều kiện: P3 = 3! = 6. Như vậy, trong trường hợp này bạn có thể đặt được 6 câu đúng.
Đáp án: 1) 6; 2) 6.
5. Có bao nhiêu cách dùng các chữ cái K, L, M, H để gọi tên các đỉnh của một tứ giác?
Giải pháp.
Chúng ta giả sử rằng các đỉnh của tứ giác được đánh số, mỗi đỉnh có một số không đổi. Sau đó, bài toán chuyển sang đếm số cách sắp xếp 4 chữ cái khác nhau ở 4 vị trí (đỉnh), tức là đếm số hoán vị khác nhau: P4 = 4! = 24 cách.
Đáp số: 24 cách.
6. F. Bốn người bạn mua vé xem phim: ghế thứ nhất và thứ hai ở hàng ghế đầu tiên và ghế thứ nhất và thứ hai ở hàng ghế thứ hai. Có bao nhiêu cách để bạn bè ngồi vào 4 ghế này trong rạp chiếu phim?
Giải pháp.
Bốn người bạn có thể mất 4 những nơi khác nhau P4 = 4! = 24 cách khác nhau.
Đáp số: 24 cách.
7. T. Người chuyển phát nhanh phải giao gói hàng đến 7 cơ quan khác nhau. Anh ta có thể chọn bao nhiêu con đường?
Giải pháp.
Lộ trình nên được hiểu là thứ tự mà người chuyển phát nhanh đến thăm các cơ quan. Hãy đánh số các cơ sở từ 1 đến 7, khi đó lộ trình sẽ được biểu diễn dưới dạng một dãy gồm 7 số, thứ tự của các số này có thể thay đổi. Số đường đi bằng số hoán vị của 7 phần tử: P7= 7! = 5.040.
Đáp số: 5.040 tuyến đường.
8. T. Có bao nhiêu biểu thức giống nhau tương đương với sản phẩm abcde, thu được từ nó bằng cách sắp xếp lại các thừa số?
Giải pháp.
Cho trước là tích của 5 thừa số khác nhau abcde, thứ tự của chúng có thể thay đổi (khi sắp xếp lại các thừa số thì tích không thay đổi).
Có tổng cộng P5 = 5! = 120 cách sắp xếp năm số nhân; Chúng ta coi một trong số chúng (abcde) là biểu thức gốc, 119 biểu thức còn lại giống hệt biểu thức này.
Đáp số: 119 biểu thức.
9. T. Olga nhớ rằng số điện thoại của bạn cô kết thúc bằng các số 5, 7, 8, nhưng cô quên mất thứ tự xuất hiện của các số này. Cho biết số lượng lựa chọn lớn nhất mà cô ấy sẽ phải trải qua để đến được với bạn mình.
Giải pháp.
Ba chữ số cuối số điện thoại có thể nằm ở một trong P3 = 3! = 6 lệnh có thể, trong đó chỉ có một lệnh đúng. Olga có thể gõ ngay tùy chọn đúng, cô ấy có thể gõ tùy chọn thứ ba, v.v. Số lớn nhất lựa chọn cô ấy sẽ phải quay số nếu lựa chọn đúng sẽ là người cuối cùng, tức là thứ sáu.
Trả lời: 6 lựa chọn.
10. T. Từ các số đó có thể lập được bao nhiêu số có sáu chữ số (không lặp lại): a) 1,2, 5, 6, 7, 8; b) 0, 2, 5, 6, 7, 8? Giải pháp.
a) Cho 6 chữ số: 1, 2, 5, 6, 7, 8, từ các chữ số đó bạn có thể tạo ra các số có 6 chữ số khác nhau chỉ bằng cách sắp xếp lại các chữ số này. Số các số có 6 chữ số khác nhau là P6 = 6! = 720.
b) Cho 6 chữ số: 0, 2, 5, 6, 7, 8, từ các chữ số đó tạo thành các số có 6 chữ số khác nhau. Sự khác biệt từ nhiệm vụ trước đóđó là số 0 không thể đến trước.
Bạn có thể áp dụng trực tiếp quy tắc tính tích: bạn có thể chọn bất kỳ chữ số nào trong 5 chữ số (trừ số 0) cho vị trí đầu tiên; ở vị trí thứ hai - bất kỳ chữ số nào trong số 5 chữ số còn lại (4 chữ số “khác 0” và bây giờ chúng tôi tính bằng 0); về vị trí thứ ba - bất kỳ chữ số nào trong số 4 chữ số còn lại sau hai lựa chọn đầu tiên, v.v. Tổng số lựa chọn là: = 600.
Bạn có thể sử dụng phương pháp loại bỏ các tùy chọn không cần thiết. 6 chữ số có thể sắp xếp lại P6 = 6! = 720 cách khác nhau. Trong số các phương pháp này sẽ có những phương pháp mà vị trí đầu tiên bằng 0, điều này không thể chấp nhận được. Hãy đếm số lượng các tùy chọn không hợp lệ này. Nếu có số 0 ở vị trí đầu tiên (cố định), thì năm vị trí tiếp theo có thể chứa các số “khác 0” 2, 5, 6, 7, 8 theo bất kỳ thứ tự nào. có thể xếp vào 5 vị trí thì P5 = 5! = 120, tức là số hoán vị của các số bắt đầu từ 0 là 120. Số cần tìm các số có sáu chữ số khác nhau trong trường hợp này là: P6 - P5 = 720 - 120 = 600.
Trả lời: a) 720; b) 600 số.
11. T. Có bao nhiêu số có bốn chữ số (không lặp lại) được tạo thành từ các số 3, 5, 7, 9: a) bắt đầu bằng số 3;
b) là bội số của 15?
Giải pháp.
a) Từ các số 3, 5, 7, 9 ta lập các số có bốn chữ số bắt đầu bằng số 3.
Chúng tôi sửa số 3 ở vị trí đầu tiên; sau đó trên ba phần còn lạicác số 5, 7 9 có thể xếp theo thứ tự bất kỳ ở bất kỳ vị trí nào. Tổng số phương án chọn vị trí của chúng bằng P 3 = 3!=6. Sẽ có rất nhiều số có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từcho trước các số và bắt đầu bằng số 3.
b) Chú ý rằng tổng các chữ số 3 + 5 + 7 + 9 = 24 chia hết cho 3 nên số có bốn chữ số tạo bởi các chữ số này đều chia hết cho 3. Để một số số trong các số này chia hết cho 3 đến 15 thì phải kết thúc bằng số 5.
Chúng tôi sửa số 5 trên vị trí cuối cùng; 3 chữ số còn lại có thể đặt ở 3 vị trí trước 5 Рз = 3! = 6 cách khác nhau. Sẽ có rất nhiều số có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ những số này chia hết cho 15.
Đáp án: a) 6 số; b) 6 số.
12. T. Tìm tổng các chữ số của tất cả các số có bốn chữ số tạo được từ các số 1, 3, 5, 7 (không lặp lại).
Giải pháp.
Mỗi số có bốn chữ số gồm các chữ số 1, 3, 5, 7 (không lặp lại) có tổng các chữ số bằng 1 + 3 + 5 + 7 = 16.
Từ những con số này bạn có thể suy ra P4 = 4! = 24 số khác nhau, chỉ khác nhau về thứ tự các chữ số. Tổng các chữ số của tất cả các số này sẽ bằng
16 = 384.
Đáp án: 384.
13. T. Bảy chàng trai, trong đó có Oleg và Igor, đứng thành một hàng. Tìm số sự kết hợp có thể, Nếu như:
a) Oleg phải ở cuối hàng;
b) Oleg phải ở đầu hàng và Igor phải ở cuối hàng;
c) Oleg và Igor nên đứng cạnh nhau.
Giải pháp.
a) Chỉ có 7 bạn nam ở 7 vị trí, nhưng có một phần tử cố định và không thể sắp xếp lại được (Oleg đứng ở cuối hàng). Số cách kết hợp có thể bằng số hoán vị của 6 chàng trai đứng trước Oleg: P6=6!=720.
một cặp đôi như phần tử đơn, được sắp xếp lại với năm yếu tố còn lại. Số cách kết hợp có thể xảy ra khi đó sẽ là P6 = 6! = 720.
Bây giờ hãy để Oleg và Igor đứng cạnh nhau theo thứ tự IO. Sau đó chúng ta nhận được P6 = 6 khác! = 720 sự kết hợp khác.
Tổng số kết hợp trong đó Oleg và Igor ở cạnh nhau (theo thứ tự bất kỳ) là 720 + 720 = 1.440.
Trả lời: a) 720; b) 120; c) 1.440 tổ hợp.
14. Các cầu thủ M. Eleven xếp hàng trước khi trận đấu bắt đầu. Người đầu tiên là đội trưởng, người thứ hai là thủ môn, những người còn lại là ngẫu nhiên. Có bao nhiêu phương pháp thi công?
Giải pháp.
Sau đội trưởng và thủ môn, cầu thủ thứ ba có thể chọn bất kỳ vị trí nào trong 9 vị trí còn lại, vị trí tiếp theo từ 8 vị trí, v.v. Tổng số cách xây dựng theo quy tắc tích bằng:
1 = 362.880, hay P 9 = 9! = 362.880.
Đáp số: 362.880.
15. M. Có bao nhiêu cách viết các đỉnh của hình lập phương bằng các chữ cái A, B, C, D, E, F, G, K?
Giải pháp.
Đối với đỉnh đầu tiên, bạn có thể chọn bất kỳ chữ cái nào trong số 8 chữ cái, đối với đỉnh thứ hai - bất kỳ chữ cái nào trong số 7 chữ cái còn lại, v.v. Tổng số cách theo quy tắc tích là=40 320, hoặc P8 = 8!
Đáp số: 40.320.
16. T. Lịch học thứ hai có sáu bài: đại số, hình học, sinh học, lịch sử, thể dục, hóa học. Bạn có thể lập lịch học cho ngày này bằng bao nhiêu cách sao cho hai bài học toán nằm cạnh nhau?
Giải pháp.
Tổng cộng có 6 bài học, trong đó có 2 bài toán cạnh nhau.
Đầu tiên chúng ta “dán” hai phần tử (đại số và hình học) theo thứ tự AG, sau đó theo thứ tự GA. Đối với mỗi tùy chọn “dán” chúng ta nhận được P5 = 5! = 120 tùy chọn lịch trình. Tổng số cách tạo lịch trình là 120 (AG) +120 (GA) = 240.
Đáp số: 240 cách.
17. T. Có bao nhiêu hoán vị của các chữ cái trong từ “cone” trong đó các chữ K, O, N nằm cạnh nhau?
Giải pháp.
Cho 5 chữ cái, trong đó có 3 chữ cái phải đứng cạnh nhau. Ba chữ K, O, N có thể đứng cạnh một trong P3 = 3! = 6 cách. Với mỗi cách “dán” các chữ K, O, N ta được P3 = 3! = 6 cách hoán vị các chữ cái “dán”, U, S. Tổng số hoán vị khác nhau của các chữ cái trong từ “hình nón” trong đó các chữ K, O, N đứng cạnh nhau là 6 6 = 36 hoán vị - đảo chữ cái.
Đáp số: 36 đảo chữ.
18. T. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ ngồi vào các ghế từ 1 đến 10 trong cùng một hàng trong rạp? Có bao nhiêu cách làm được điều này nếu nam ngồi ở ghế số lẻ và nữ ngồi ở ghế số chẵn?
Giải pháp.
Mỗi cách sắp xếp chỗ ngồi cho bé trai có thể kết hợp với từng cách sắp xếp chỗ ngồi cho bé gái, do đó, theo quy tắc tích, tổng số cách sắp xếp chỗ ngồi cho trẻ trong trường hợp này là 120 20= 14400.
Đáp số: 3.628.800 cách; 14.400 cách.
19. T. Năm chàng trai và bốn cô gái muốn ngồi trên một chiếc ghế dài chín chỗ sao cho mỗi cô gái ngồi giữa hai chàng trai. Họ có thể làm được điều này bằng bao nhiêu cách?
Giải pháp.
Theo điều kiện của nhiệm vụ, nam và nữ phải luân phiên nhau, tức là nữ chỉ được ngồi ở số chẵn, còn nam chỉ được ngồi ở số lẻ. Vì vậy, con gái chỉ được đổi chỗ với con gái, còn con trai chỉ được đổi chỗ với con trai. Bốn bạn nữ có thể ngồi ở 4 vị trí chẵn P4 = 4! = 24 cách và 5 bạn nam ở 5 vị trí lẻ P5 = 5! = 120 cách.
Mỗi cách xếp con gái có thể kết hợp với mỗi cách xếp con trai nên theo quy tắc tích thì tổng số cách xếp bằng: P4
20 = 2.880 cách.
Đáp số: 2.880 cách.
20. F. Phân tích các số 30 và 210 thành thừa số nguyên tố. Có bao nhiêu cách viết số đó thành tích của các thừa số đơn giản: 1) 30; 2) 210?
Giải pháp.
Hãy phân tích những số này thành thừa số nguyên tố:
30 = 2 ; 210 = 2 .
Số 30 có thể viết dưới dạng tích của thừa số nguyên tố
R 3 = 3! = 6 theo những cách khác nhau(sắp xếp lại các yếu tố).
Số 210 có thể viết dưới dạng tích của các số nguyên tố
phép nhânR
4
= 4!
= 24 cách khác nhau.
Đáp án: 1) 6 cách; 2) 24 cách.
21. F. Có thể viết được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số khác nhau có các chữ số không lặp lại bằng các số 1, 2, 3, 5?
Giải pháp.
Để một số là số chẵn thì số đó phải kết thúc bằng một chữ số chẵn, tức là 2. Hãy cố định hai chữ số đó ở vị trí cuối cùng, ba chữ số còn lại phải xuất hiện trước nó theo thứ tự bất kỳ. Số hoán vị khác nhau của 3 chữ số là P3 = 3! = 6; do đó cũng sẽ có 6 số chẵn có bốn chữ số khác nhau (số 2 được cộng vào mỗi hoán vị của ba chữ số).
Đáp số: 6 số.
22. F. Có bao nhiêu số lẻ có năm chữ số khác nhau, không có chữ số nào giống nhau, có thể viết được từ các chữ số 1,2, 4, 6, 8?
Giải pháp.
Để một số tổng hợp là số lẻ, nó phải kết thúc bằng một chữ số lẻ, tức là một. 4 chữ số còn lại có thể được sắp xếp lại, đặt mỗi cách sắp xếp lại trước đơn vị.
Tổng số các số lẻ có năm chữ số bằng số hoán vị: P4 = 4! =24.
23. F. Có thể viết được bao nhiêu số có sáu chữ số khác nhau có các chữ số không lặp lại bằng các chữ số 1; 2 3, 4, 5, 6, nếu: 1) số phải bắt đầu bằng 56; 2) số 5 và số 6 có nên ở cạnh nhau không?
Giải pháp.
Chúng tôi sửa hai chữ số 5 và 6 ở đầu số và thêm vào chúng các hoán vị khác nhau từ 4 chữ số còn lại; số các số có sáu chữ số khác nhau bằng: P4 = 4! = 24.
Tổng số các số có 6 chữ số khác nhau trong đó chữ số 5 và 6 nằm cạnh nhau (theo thứ tự bất kỳ) là 120 + 120 = 240 số. (Tùy chọn 56 và 65 không tương thích và không thể thực hiện đồng thời; chúng tôi áp dụng quy tắc tổng tổ hợp.)
Đáp án: 1) Ngày 24; 2) 240 số.
24. F. Có thể tạo ra bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số khác nhau không có chữ số giống nhau từ các số 1,2,3,4?
Giải pháp.
Số chẵn phải kết thúc bằng số chẵn. Ta sửa số 2 ở vị trí cuối cùng thì 3 số trước đó có thể sắp xếp lại P3 = 3! = 6 cách khác nhau; chúng ta có 6 số có số 2 ở cuối. Sửa số 4 vào vị trí cuối cùng ta được P3 = 3! = 6 hoán vị khác nhau của 3 chữ số đứng trước và 6 số tận cùng bằng 4.
Tổng số các số chẵn có 4 chữ số sẽ là 6 + 6 = 12 số khác nhau.
Đáp số: 12 số.
Bình luận. Chúng tôi tìm tổng số tùy chọn bằng quy tắc tổng tổ hợp (6 tùy chọn cho các số kết thúc bằng hai, 6 tùy chọn cho các số kết thúc bằng 4; các phương pháp xây dựng các số có số hai và có số 4 ở cuối là loại trừ lẫn nhau, không tương thích, do đó tổng số phương án bằng tổng số phương án có số hai ở cuối và số phương án có số 4 ở cuối). Mục 6 + 6 = 12 phản ánh tốt hơn lý do hành động của chúng ta so với mục P.
25. F. Có bao nhiêu cách viết số 1) 12 thành tích của thừa số nguyên tố? 2) 24; 3) 120?
Giải pháp.
Điểm đặc biệt của bài toán này là trong khai triển của mỗi số này đều có những thừa số giống hệt nhau, lặp lại. Khi hình thành các hoán vị khác nhau của các thừa số, chúng ta sẽ không nhận được hoán vị mới nếu hoán đổi bất kỳ hai thừa số giống nhau nào.
1) Số 12 được phân tách thành ba thừa số nguyên tố, hai trong số đó giống nhau: 12 = .
Nếu tất cả các thừa số đều khác nhau thì chúng có thể được sắp xếp lại thành tích P3 = 3! = 6 cách khác nhau. Để liệt kê các phương pháp này, chúng tôi sẽ “phân biệt” hai phương pháp có điều kiện và nhấn mạnh một trong số chúng: 12 = 2.
Khi đó có thể có 6 biến thể phân hủy thành cư dân sau đây:
Nhưng trên thực tế, việc gạch chân số không có ý nghĩa gì trong toán học nên kết quả 6 hoán vị trong ký hiệu thông thường trông như sau:
tức là, trên thực tế, chúng ta không có 6 mà là 3 hoán vị khác nhau. Số lượng hoán vị đã giảm đi một nửa do chúng ta không phải tính đến các hoán vị của hai cặp với nhau.
Hãy ký hiệu P x số hoán vị cần thiết của ba phần tử, trong đó có hai phần tử giống nhau; thì kết quả ta thu được có thể viết như sau: Рз = Р X Nhưng 2 là số hoán vị khác nhau của hai phần tử, tức là 2 == 2! = P 2 nên P3, = P x P 2 nên P x = 
. (đây là công thức tính số hoán vị có số lần lặp lại).
Người ta có thể suy luận theo cách khác, chỉ dựa trên quy tắc tích tổ hợp.
Để tạo ra tích ba yếu tố, trước tiên hãy chọn vị trí cho yếu tố 3; điều này có thể được thực hiện theo một trong ba cách. Sau đó, chúng tôi lấp đầy cả hai khoảng trống còn lại bằng số hai; điều này có thể được thực hiện theo 1 cách. Theo quy tắc tích, tổng số cách là: 3-1 = 3., Р x =20.
Cách thứ hai. Khi soạn tích năm thừa số, trước tiên ta chọn chỗ cho năm (5 cách), sau đó chọn chỗ cho ba (4 cách), và điền vào 3 chỗ còn lại bằng số hai (1 cách); theo quy tắc tích số 5 4 1 = 20.
Trả lời: 1) 3; 2) 4; 3) 20.
26. F. Có bao nhiêu cách tô màu 6 ô sao cho 3 ô màu đỏ, 3 ô còn lại được sơn (mỗi ô có một màu riêng) trắng, đen hoặc xanh lục?
Giải pháp.
Hoán vị của 6 phần tử, trong đó có 3 phần tử giống hệt nhau:
Ngược lại: để sơn màu trắng, bạn có thể chọn một trong 6 ô, đen - từ 5, xanh lục - từ 4; Ba ô còn lại được sơn màu đỏ. Tổng số cách: 6 5 4 1 = 120.
Đáp số: 120 cách.
27.T. Người đi bộ phải đi bộ một dãy nhà về phía bắc và ba dãy nhà về phía tây. Viết ra tất cả các tuyến đường dành cho người đi bộ có thể.= 4.
Đáp án: 4 con đường.
28. M. a) Trước cửa 4 phòng làm việc giống hệt nhau phải treo biển tên 4 phó giám đốc. Có bao nhiêu cách có thể thực hiện được điều này?
b) Trong 9 lớp “A” ngày thứ Tư có 5 bài: đại số, hình học, thể dục, tiếng Nga, tiếng anh. Bạn có thể tạo bao nhiêu tùy chọn lịch trình cho ngày này?
c) Có bao nhiêu cách để bốn tên trộm chạy tán loạn, từng tên một, đi khắp bốn phương?
d) Phụ tá phải giao năm bản lệnh của tướng cho năm trung đoàn. Có bao nhiêu cách anh ta có thể chọn đường giao hàng cho các bản sao của đơn đặt hàng?
Giải pháp.
a) Đối với tấm đầu tiên, bạn có thể chọn một trong 4 tủ,
Đối với cái thứ hai - bất kỳ cái nào trong số ba cái còn lại, đối với cái thứ ba - bất kỳ cái nào trong hai cái còn lại, đối với cái thứ tư - một cái còn lại; theo quy tắc
tích thì tổng số cách xếp là: 4 3 2 1 = 24, hoặc P4 = 4! = 24.= 120, hoặc P5 = 5! = 120.
Đáp án: a) 24; b) 120; c) 24; đ) 120.
Văn học
Afanasyev V.V. Lý thuyết xác suất trong các ví dụ và bài toán, - Yaroslavl: Đại học Sư phạm bang Yaroslavl, 1994.
Bavrin I. I. Toán cao cấp: Sách giáo khoa dành cho sinh viên chuyên ngành Hóa và Toán các trường đại học sư phạm - tái bản lần 2, có sửa đổi. - M.: Giáo dục, 1993.
Bunimovich E. A., Bulychev V. A. Xác suất và thống kê. Lớp 5-9: Sách giáo khoa phổ thông cơ sở giáo dục, - M.: Bustard, 2005.
Vilenkin N. Ya và những người khác. Đại số và phân tích toán học cho lớp 10: Hướng dẫn dành cho học sinh các trường, lớp có nghiên cứu chuyên sâu toán học. - M.: Giáo dục, 1992.
Vilenkin N. Ya và những người khác. Đại số và phân tích toán lớp 11: Sách giáo khoa dành cho học sinh các trường, lớp nghiên cứu chuyên sâu về toán - M.: Prosveshchenie, 1990.
Glazer G.I. Lịch sử toán ở trường: lớp 9-10. Cẩm nang dành cho giáo viên. - M.: Giáo dục 1983.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. Toán 9: Đại số. Chức năng. Phân tích dữ liệu - M.: Bustard, 2000.
Kolyagin và những người khác. Đại số và đầu bài giải tích lớp 11. Toán học ở trường - 2002 - Số 4 - trang 43,44,46.
Lyupshkas V.S. Các khóa học tự chọn trong toán học: lý thuyết xác suất: Sách giáo khoa lớp 9-11 - M., 1991.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. Các yếu tố của lý thuyết thống kê và xác suất: Sách giáo khoa dành cho học sinh lớp 7-9 - M.: Prosveshchenie, 2005.
Mordkovich A.G., Semenov P.V. Đại số và đầu bài giải tích lớp 10: Sách giáo khoa dành cho cơ sở giáo dục (cấp độ hồ sơ) – M.: Mnemosyne, 2005.
Tkacheva M.V., Fedorova N.E. Các yếu tố thống kê và xác suất: Sách giáo khoa dành cho học sinh lớp 7-9 - M.: Education, 2005.