Trình tự và loại của chúng. Xác định dãy số

Dãy số.

Đầu tiên, chúng ta hãy nghĩ về chính từ đó: trình tự là gì? Trình tự là khi một cái gì đó theo sau một cái gì đó. Ví dụ: một chuỗi hành động, một chuỗi các mùa. Hoặc khi có người ở phía sau ai đó. Ví dụ: dãy người xếp hàng, dãy voi trên đường đến hố tưới nước.

Hãy làm rõ ngay tính năng đặc trưng trình tự. Trước hết, thành viên chuỗiđược đặt nghiêm túc trong theo một thứ tự nhất định . Vì vậy, nếu hai người trong hàng đợi được đổi chỗ cho nhau thì điều này sẽ là khác tiếp theo. Thứ hai, mọi người thành viên chuỗi Bạn có thể chỉ định một số sê-ri:

Điều này cũng tương tự với những con số. Cho phép tới mọi người giá trị tự nhiên theo một quy tắc nào đó tuân thủ số thực. Sau đó, họ nói rằng một chuỗi số được đưa ra.

Vâng, trong vấn đề toán học không giống tình huống cuộc sống trình tự hầu như luôn luôn chứa vô số những con số.

Trong trường hợp này:

Gọi điện thành viên đầu tiên trình tự;

– thành viên thứ hai trình tự;

– thành viên thứ ba trình tự;

– thứ n hoặc thành viên chung trình tự;

Trong thực tế, trình tự thường được đưa ra công thức thuật ngữ chung, Ví dụ:

– dãy số chẵn dương:

Do đó, bản ghi xác định duy nhất tất cả các thành viên của chuỗi - đây là quy tắc (công thức) mà theo đó giá trị tự nhiên các con số được đưa vào thư từ. Do đó, chuỗi thường được biểu thị ngắn gọn bằng một thuật ngữ chung và thay vì “x” có thể sử dụng các thuật ngữ khác chữ cái Latinh, Ví dụ:

Dãy số lẻ dương:

Một trình tự phổ biến khác:

Như nhiều người có thể đã nhận thấy, biến “en” đóng vai trò như một loại bộ đếm.

Trên thực tế, chúng ta đã giải quyết các dãy số ở trường cấp hai. Hãy nhớ lại cấp số cộng. Tôi sẽ không viết lại định nghĩa; hãy đề cập đến bản chất bằng một ví dụ cụ thể. Gọi là số hạng đầu tiên và - bước chân cấp số cộng. Sau đó:

- số hạng thứ hai của cấp số nhân này;

- số hạng thứ ba của cấp số nhân này;

- thứ tư;

- thứ năm;

Và hiển nhiên số hạng thứ n đã cho tái diễn công thức

Ghi chú: V công thức hồi quy mỗi thành viên tiếp theo được thể hiện thông qua thành viên trước đó hoặc thậm chí thông qua cả một tập hợp các thành viên trước đó.

Công thức thu được ít được sử dụng trong thực tế - để có được, chẳng hạn như, bạn cần phải xem qua tất cả các thuật ngữ trước đó. Và trong toán học, người ta đã tìm ra một biểu thức thuận tiện hơn cho số hạng thứ n của cấp số cộng: . Trong trường hợp của chúng tôi:

Thay số tự nhiên vào công thức và kiểm tra tính đúng đắn của công thức được xây dựng ở trên dãy số.

Tính toán tương tự có thể được thực hiện cho cấp số nhân, số hạng thứ n được tính theo công thức , số hạng đầu tiên ở đâu và - mẫu số sự tiến triển. Trong các bài toán, số hạng đầu tiên thường bằng một.

Ví dụ:

sự tiến triển thiết lập trình tự ;

sự tiến triển thiết lập trình tự;

sự tiến triển thiết lập trình tự ;

sự tiến triển thiết lập trình tự .

Tôi hy vọng mọi người biết rằng –1 lũy thừa lẻ bằng –1, và lũy thừa chẵn – một.

Sự tiến hóa được gọi là giảm vô hạn, if (hai trường hợp cuối).

Hãy thêm hai người bạn mới vào danh sách của chúng ta, một trong số họ vừa gõ vào ma trận của màn hình:

Trình tự trong thuật ngữ toán học được gọi là “chớp mắt”:

Như vậy, các thành viên trong chuỗi có thể được lặp lại. Vì vậy, trong ví dụ đang xem xét, dãy bao gồm hai số xen kẽ vô hạn.

Liệu nó có xảy ra khi trình tự bao gồm số giống nhau? Chắc chắn. Chẳng hạn, nó hỏi số vô hạn"ba". Đối với người có thẩm mỹ, có trường hợp “en” vẫn xuất hiện chính thức trong công thức:

giai thừa:

Chỉ là một bản ghi âm cô đọng của tác phẩm:

Hoàn toàn không phải là một trò chơi chữ, nó sẽ hữu ích cho các nhiệm vụ;-) Tôi khuyên bạn nên hiểu nó, ghi nhớ nó và thậm chí sao chép nó vào một cuốn sổ. ...Một câu hỏi nảy ra trong đầu tôi: tại sao không ai tạo ra những bức vẽ graffiti hữu ích như vậy? Một người đàn ông đang đi trên một chuyến tàu, nhìn ra ngoài cửa sổ và nghiên cứu các giai thừa. Punks đang nghỉ ngơi =)

Có lẽ một số độc giả vẫn chưa hiểu hết cách mô tả các phần tử của dãy, biết phần tử chung. Cái đó trường hợp hiếm, khi ảnh điều khiển hoạt động trở lại:

Hãy giải quyết trình tự .

Trước tiên, hãy thay thế giá trị vào số hạng thứ n và cẩn thận thực hiện các phép tính:

Sau đó ta cắm số sau:

Bốn:

Chà, bây giờ không có gì phải xấu hổ khi đạt được điểm xuất sắc:

Khái niệm giới hạn dãy

Để hiểu rõ hơn về những thông tin dưới đây, nên HIỂU nó là gì giới hạn của hàm. Tất nhiên, trong khóa học tiêu chuẩn phân tích toán họcđầu tiên họ xem xét giới hạn của dãy và chỉ sau đó là giới hạn của hàm, nhưng thực tế là tôi đã nói chi tiết về bản chất của giới hạn. Hơn nữa, về lý thuyết, dãy số được coi là trường hợp đặc biệt của một hàm số, những người đã quen với giới hạn của một hàm số sẽ thấy thú vị hơn rất nhiều.

Hãy mời một người bạn đơn giản nhảy:

Điều gì xảy ra khi "en" tăng lên vô cùng? Hiển nhiên, các thành viên của dãy sẽ là vô cùng gần gũi tiếp cận số không. Đây là giới hạn của chuỗi này, được viết như sau:

Nếu giới hạn của dãy bằng 0, thì nó được gọi là vô cùng nhỏ.

Trong lý thuyết phân tích toán học, nó được đưa ra định nghĩa chặt chẽ về giới hạn chuỗi thông qua cái gọi là vùng lân cận epsilon. Bài viết tiếp theo sẽ dành cho định nghĩa này, nhưng bây giờ chúng ta hãy xem ý nghĩa của nó:

Chúng ta hãy mô tả trên trục số các số hạng của dãy và tính đối xứng lân cận đối với 0 (giới hạn):

Bây giờ hãy véo vùng màu xanh lam bằng các cạnh của lòng bàn tay và bắt đầu giảm nó, kéo nó về phía giới hạn (điểm màu đỏ). Một số là giới hạn của một chuỗi nếu CHO BẤT KỲ vùng lân cận nào được chọn trước (nhỏ như bạn muốn) sẽ ở bên trong nó vô số các thành viên của chuỗi và BÊN NGOÀI nó - chỉ cuối cùng số lượng thành viên (hoặc không có thành viên nào cả). Nghĩa là, vùng lân cận epsilon có thể rất nhỏ, thậm chí còn nhỏ hơn, nhưng “cái đuôi vô hạn” của chuỗi sớm hay muộn phải hoàn toàn đi vào vùng lân cận này.

Thậm chí còn có một nhiệm vụ như vậy - chứng minh giới hạn của dãy bằng định nghĩa.

Trình tự này cũng vô cùng nhỏ: với điểm khác biệt là các thành viên của nó không nhảy tới nhảy lui mà chỉ tiếp cận giới hạn từ bên phải.

Đương nhiên, giới hạn có thể bằng bất kỳ giới hạn nào khác số hữu hạn, ví dụ cơ bản:

Ở đây phân số có xu hướng bằng 0 và theo đó, giới hạn bằng “hai”.

Nếu trình tự tồn tại giới hạn cuối cùng , thì nó được gọi là hội tụ(đặc biệt, vô cùng nhỏ Tại ). TRONG nếu không thì – khác nhau, trong trường hợp này, có thể có hai lựa chọn: hoặc giới hạn hoàn toàn không tồn tại hoặc giới hạn là vô hạn. TRONG trường hợp sau trình tự được gọi là vô cùng lớn. Hãy phi nước đại qua các ví dụ của đoạn đầu tiên:

trình tự là vô cùng lớn, khi các thành viên của họ tự tin tiến tới “cộng vô cực”:

Một cấp số cộng với số hạng và bước đầu tiên cũng vô cùng lớn:

Nhân tiện, bất kỳ tiến trình số học nào cũng phân kỳ, ngoại trừ trường hợp có bước 0 - khi nào nên con số cụ thểđược bổ sung vô tận. Giới hạn của dãy như vậy tồn tại và trùng với số hạng đầu tiên.

Các trình tự có số phận tương tự:

Bất kỳ tiến trình hình học giảm vô hạn nào, như đã rõ từ tên, vô cùng nhỏ:

Nếu mẫu số của cấp số nhân là , thì dãy số này lớn vô cùng:

Ví dụ: nếu giới hạn hoàn toàn không tồn tại, vì các thành viên không ngừng nhảy tới “cộng vô cực” hoặc “trừ vô cực”. MỘT lẽ thường và các định lý của Matan gợi ý rằng nếu có điều gì đó phấn đấu ở đâu đó thì đây là nơi duy nhất được trân trọng.

Sau một chút tiết lộ Rõ ràng là "đèn nhấp nháy" là nguyên nhân dẫn đến việc ném không thể kiểm soát được, nhân tiện, nó tự chuyển hướng.

Thật vậy, đối với một dãy thì dễ dàng chọn một lân cận mà chỉ kẹp số –1. Kết quả là, vô số thành viên chuỗi (“những thành viên cộng”) sẽ vẫn ở bên ngoài vùng lân cận nhất định. Nhưng theo định nghĩa, “đuôi vô hạn” của dãy tại một thời điểm nhất định (số tự nhiên) phải đầy đủđi vào BẤT KỲ vùng lân cận nào trong giới hạn của bạn. Kết luận: bầu trời là giới hạn.

Giai thừa là vô cùng lớn sự liên tiếp:

Hơn nữa, nó ngày càng phát triển nhảy vọt nên là một số có trên 100 chữ số (chữ số)! Tại sao chính xác là 70? Trên đó, chiếc máy tính vi mô kỹ thuật của tôi cầu xin sự thương xót.

Với một phát bắn điều khiển, mọi thứ phức tạp hơn một chút và chúng ta vừa đi đến phần thực hành của bài giảng, trong đó chúng ta sẽ phân tích các ví dụ chiến đấu:

Cách tìm giới hạn của dãy số.

Nhưng bây giờ bạn cần có khả năng giải các giới hạn của hàm, ít nhất là ở cấp độ hai bài học cơ bản: Giới hạn. Ví dụ về giải pháp Và Giới hạn tuyệt vời. Vì nhiều phương pháp giải sẽ giống nhau. Tuy nhiên, trước hết, hãy phân tích sự khác biệt cơ bản giữa giới hạn của dãy và giới hạn của hàm:

Trong giới hạn của dãy, biến “động” “en” có thể có xu hướng chỉ đến "cộng vô cùng"- Hướng tới tăng số lượng tự nhiên .

Trong giới hạn của hàm, “x” có thể được định hướng ở bất kỳ đâu – tới “cộng/trừ vô cực” hoặc tới một số thực tùy ý.

Tiếp theo rời rạc(không liên tục), nghĩa là nó bao gồm các thành viên riêng lẻ bị cô lập. Một, hai, ba, bốn, năm, chú thỏ ra ngoài đi dạo. Đối số của một hàm được đặc trưng bởi tính liên tục, tức là “X” trơn tru, không có sự cố, có xu hướng về giá trị này hoặc giá trị khác. Và theo đó, các giá trị của hàm cũng sẽ liên tục tiến đến giới hạn của chúng.

Vì lý do sự rời rạc trong các trình tự có những thứ đặc trưng riêng, chẳng hạn như giai thừa, “đèn nhấp nháy”, tiến trình, v.v. Và bây giờ tôi sẽ cố gắng phân tích các giới hạn dành riêng cho chuỗi.

Hãy bắt đầu với sự tiến triển:

Ví dụ 1

Giải pháp: một cái gì đó tương tự như một cấp số nhân giảm vô hạn, nhưng thực sự có phải vậy không? Để rõ ràng, hãy viết ra một vài thuật ngữ đầu tiên:

Từ đó chúng ta đang nói về số lượng số hạng của cấp số nhân giảm vô hạn, được tính theo công thức.

Chúng tôi đưa ra quyết định:

Chúng tôi sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân giảm vô hạn: . TRONG trong trường hợp này: – số hạng đầu tiên, – mẫu số của cấp số cộng.

Điều quan trọng là phải đối phó với phân số bốn tầng:

Ăn.

Ví dụ 2

Viết bốn số hạng đầu tiên của dãy và tìm giới hạn của nó

Đây là một ví dụ cho quyết định độc lập. Để loại bỏ sự không chắc chắn trong tử số, bạn sẽ cần áp dụng công thức tính tổng các số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

, ở đâu là số hạng đầu tiên và a là số hạng thứ n của cấp số nhân.

Vì bên trong dãy số "en" luôn có xu hướng "cộng vô cùng", nên không có gì đáng ngạc nhiên khi độ bất định là một trong những dãy số phổ biến nhất.
Và nhiều ví dụ được giải theo cách tương tự như hàm giới hạn!

Làm thế nào để tính toán các giới hạn này? Xem ví dụ số 1-3 của bài học Giới hạn. Ví dụ về giải pháp.

Hoặc có thể một cái gì đó phức tạp hơn như ? Tham khảo Ví dụ số 3 của bài viết Các phương pháp giải giới hạn.

Từ quan điểm hình thức, sự khác biệt sẽ chỉ nằm ở một chữ cái - “x” ở đây và “en” ở đây.

Kỹ thuật này giống nhau - tử số và mẫu số phải được chia cho “en” ở mức cao nhất.

Ngoài ra, sự không chắc chắn trong các chuỗi là khá phổ biến. Cách giải giới hạn như có thể được tìm thấy trong Ví dụ số 11-13 của cùng một bài viết.

Để hiểu giới hạn, tham khảo Ví dụ số 7 của bài học Giới hạn tuyệt vời(thứ hai giới hạn tuyệt vời cũng đúng cho trường hợp rời rạc). Giải pháp sẽ lại giống như một bản sao với một chữ cái khác nhau.

Bốn ví dụ tiếp theo (Số 3-6) cũng có tính “hai mặt”, nhưng trong thực tế vì lý do nào đó chúng điển hình cho giới hạn của dãy hơn là giới hạn của hàm:

Ví dụ 3

Tìm giới hạn của dãy

Giải pháp: lúc đầu giải pháp hoàn chỉnh, sau đó nhận xét từng bước:

(1) Ở tử số, chúng ta sử dụng công thức hai lần.

(2) Chúng tôi trình bày điều khoản tương tự trong tử số.

(3) Để loại bỏ sự không chắc chắn, hãy chia tử số và mẫu số cho (“en” ở mức độ cao nhất).

Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp.

Ví dụ 4

Tìm giới hạn của dãy

Đây là ví dụ để bạn tự giải nhé công thức nhân rút gọnđể giúp đỡ.

Trong vòng s biểu thị Dãy số sử dụng phương pháp tương tự để chia tử số và mẫu số:

Ví dụ 5

Tìm giới hạn của dãy

Giải pháp Hãy sắp xếp nó theo cùng một sơ đồ:

(1) Sử dụng tính chất của độ, hãy loại bỏ mọi thứ không cần thiết khỏi các chỉ báo, chỉ để lại “en” ở đó.

(2) Chúng ta xét những dãy số mũ nằm trong giới hạn: và chọn một dãy có lớn nhất cơ sở: . Để loại bỏ sự không chắc chắn, hãy chia tử số và mẫu số cho .

(3) Chúng ta thực hiện phép chia theo từng số hạng ở tử số và mẫu số. Vì nó đang giảm vô hạn cấp số nhân, thì nó có xu hướng bằng không. Và hơn thế nữa, hằng số chia cho lũy tiến tăng dần có xu hướng bằng 0: . Chúng tôi ghi chú thích hợp và viết ra câu trả lời.

Ví dụ 6

Tìm giới hạn của dãy

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết.

Bằng cách nào đó, chữ viết tay đầy phong cách, vốn chỉ ở mức giới hạn nhất quán, vẫn bị lãng quên. Đã đến lúc khắc phục tình trạng này:

Ví dụ 7

Tìm giới hạn của dãy

Giải pháp: để thoát khỏi “đối thủ truyền kiếp” bạn cần viết giai thừa dưới dạng tích tích. Nhưng trước khi chúng ta bắt đầu vẽ graffiti toán học, hãy xem xét ví dụ cụ thể, Ví dụ: .

Yếu tố cuối cùng trong sản phẩm là sáu. Cần phải làm gì để có được số nhân trước đó? Trừ một: 6 – 1 = 5. Để có được số nhân nằm xa hơn nữa, bạn cần trừ đi một từ năm lần nữa: 5 – 1 = 4. Và cứ tiếp tục như vậy.

Đừng lo lắng, đây không phải là bài học lớp một. trường cải huấn, Trong thực tế chúng ta làm quen với một thuật toán quan trọng và phổ quát gọi điện " làm thế nào để mở rộng bất kỳ giai thừa" Hãy cùng giải quyết trận lụt tồi tệ nhất trong cuộc trò chuyện của chúng ta:

Hiển nhiên yếu tố cuối cùng trong sản phẩm sẽ là .

Làm thế nào để có được số nhân trước đó? Trừ một:

Làm thế nào để có được ông cố? Trừ một lần nữa: .

Chà, hãy tiến sâu hơn một bước:

Như vậy quái vật của chúng ta sẽ ký như sau:

Với tử số giai thừa, mọi chuyện trở nên đơn giản hơn, được chứ, lũ côn đồ nhỏ.

Chúng tôi đưa ra quyết định:

(1) Chúng tôi mô tả giai thừa

(2) Tử số có HAI số hạng. Chúng tôi loại bỏ mọi thứ có thể loại bỏ khỏi dấu ngoặc, trong trường hợp này đây là công việc. Dấu ngoặc vuông, như tôi đã nói ở đâu đó một vài lần, chỉ khác với dấu ngoặc đơn ở độ vuông góc của chúng.

(3) Rút gọn tử số và mẫu số bằng .... ...hmmm, thực sự có rất nhiều thứ lộn xộn ở đây.

(4) Rút gọn tử số

(5) Giảm tử số và mẫu số đi . Ở đây ở một mức độ nhất định may mắn. TRONG trường hợp chungở trên cùng và dưới cùng, bạn nhận được các đa thức thông thường, sau đó bạn phải thực hiện hành động tiêu chuẩn - chia tử số và mẫu số cho “en” thành lũy thừa cao nhất.

Những học sinh tiên tiến hơn có thể dễ dàng phân tích các giai thừa trong đầu có thể giải ví dụ nhanh hơn nhiều. Ở bước đầu tiên, chúng ta chia tử số cho số hạng mẫu số và thực hiện nhẩm các chữ viết tắt:

Nhưng phương pháp phân hủy vẫn triệt để và đáng tin cậy hơn.

Ví dụ 8

Tìm giới hạn của dãy

Như trong bất kỳ xã hội nào, trong số các dãy số có những cá nhân ngông cuồng.

Định lý: công việc trình tự giới hạnđến một chuỗi vô cùng nhỏ - có một chuỗi vô cùng nhỏ.

Nếu bạn chưa thực sự hiểu rõ về thuật ngữ “giới hạn” hãy nghiên cứu bài viết Về hàm cơ bản và đồ thị.

Nhân tiện, một định lý tương tự cũng đúng đối với các hàm số: tích chức năng giới hạn vô thời hạn chức năng nhỏ- là hàm vô cùng nhỏ.

Ví dụ 9

Tìm giới hạn của dãy

Giải pháp: trình tự – giới hạn: , và dãy này là vô cùng nhỏ, có nghĩa là, theo định lý tương ứng:

Định nghĩa của một dãy số được đưa ra. Ví dụ về các chuỗi tăng vô hạn, hội tụ và phân kỳ được xem xét. Một dãy chứa tất cả các số hữu tỷ được xem xét.

Sự định nghĩa .
Dãy số (xn) gọi là luật (quy tắc), theo đó, mọi người số tự nhiên n= 1, 2, 3, . . . một số x n nhất định được chỉ định.
Phần tử xn được gọi là nhiệm kỳ thứ n hoặc một phần tử của dãy.

Dãy số này được ký hiệu là số hạng thứ n được đặt trong dấu ngoặc nhọn: .
, , .

Các chỉ định sau đây cũng có thể: . Chúng chỉ ra rõ ràng rằng chỉ số n thuộc về tập hợp các số tự nhiên và bản thân dãy số này có vô số số hạng. Dưới đây là một số trình tự ví dụ: Nói cách khác, dãy số là một hàm có miền định nghĩa là tập hợp các số tự nhiên. Số phần tử của dãy là vô hạn. Trong số các phần tử cũng có thể có các thành viên có

Chúng ta sẽ chủ yếu quan tâm đến câu hỏi các dãy hành xử như thế nào khi n tiến tới vô cùng: .

Tài liệu này được trình bày trong phần Giới hạn của dãy - các định lý và tính chất cơ bản. Ở đây chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ về trình tự.

Ví dụ về trình tự

Ví dụ về dãy tăng vô hạn
.
Hãy xem xét trình tự. Thành viên chung của chuỗi này là . Hãy viết ra một vài điều khoản đầu tiên:

Có thể thấy rằng khi số n tăng thì các phần tử tăng vô hạn theo hướng
.
giá trị tích cực . Chúng ta có thể nói rằng chuỗi này có xu hướng: for . Bây giờ hãy xem xét một dãy có một số hạng chung. Đây là một số thành viên đầu tiên: Khi số n tăng lên, các phần tử của dãy này tăng vô hạn theo

giá trị tuyệt đối

, nhưng không có
.
dấu hiệu hằng = 0 . Nghĩa là, trình tự này có xu hướng: tại . = 0 Ví dụ về dãy hội tụ về số hữu hạn > 0 Hãy xem xét trình tự.

Thành viên chung của cô ấy.
.
Các thuật ngữ đầu tiên có dạng sau: = 0 Có thể thấy rằng khi số n tăng lên thì các phần tử của dãy này tiến dần đến giá trị giới hạn a
.
: Tại . Vì vậy, mỗi số hạng tiếp theo gần bằng 0 hơn số hạng trước. Theo một nghĩa nào đó, chúng ta có thể coi rằng có một giá trị gần đúng cho số a > 0 có lỗi. = 0 Rõ ràng là khi n tăng, sai số này có xu hướng bằng 0, nghĩa là bằng cách chọn n, sai số có thể được làm nhỏ đến mức mong muốn. Hơn nữa, với bất kỳ lỗi nào cho trước ε = 0 bạn có thể chỉ định một số N sao cho đối với tất cả các phần tử có số lớn hơn N:, độ lệch của số đó so với giá trị giới hạn a sẽ không vượt quá sai số ε:.

Tiếp theo, hãy xem xét trình tự.

Thành viên chung của cô ấy.

Đây là một số thành viên đầu tiên của nó:

.
Trong chuỗi này, các số hạng chẵn đều bằng 0. Các số hạng có n lẻ thì bằng nhau.
,
Do đó, khi n tăng thì giá trị của chúng tiến gần đến giá trị giới hạn a 1 = 0 . Điều này cũng xuất phát từ thực tế là:
,
Do đó, khi n tăng thì giá trị của chúng tiến gần đến giá trị giới hạn a 2 = 2 .

Bản thân dãy số, khi n tăng lên, không hội tụ về bất kỳ giá trị nào.

Dãy số có phân bố trong khoảng (0;1)
.
Bây giờ chúng ta hãy xem một trình tự thú vị hơn. Hãy lấy một đoạn trên trục số. Hãy chia nó làm đôi. Chúng tôi nhận được hai phân đoạn. Cho phép
.
Hãy chia mỗi đoạn một lần nữa. Chúng tôi nhận được bốn phân đoạn. Cho phép

.
Hãy chia mỗi đoạn một lần nữa. Hãy lấy

Và vân vân. Kết quả là chúng ta thu được một chuỗi có các phần tử được phân bố theo (0; 1) khoảng mở .

Dù chúng ta lấy điểm nào từ khoảng đóng , chúng ta luôn có thể tìm được các thành viên của dãy sẽ ở gần điểm này hoặc trùng với điểm đó một cách tùy ý. Sau đó, từ dãy ban đầu, người ta có thể chọn một dãy con sẽ hội tụ về điểm tùy ý

từ khoảng thời gian = 0 .
.
= 0 .

Nghĩa là, khi số n tăng lên thì các phần tử của dãy con sẽ ngày càng tiến gần đến điểm đã chọn trước. = 1 Ví dụ: đối với điểm a
.
bạn có thể chọn dãy sau: = 1 .

Đối với điểm a Hãy chọn dãy con sau: Các số hạng của dãy con này hội tụ về giá trị a

Vì có các dãy con hội tụ về

ý nghĩa khác nhau

, thì bản thân dãy ban đầu không hội tụ về bất kỳ số nào. Dãy số chứa tất cả các số hữu tỉ:
,
Bây giờ hãy xây dựng một dãy chứa tất cả các số hữu tỉ. Hơn nữa, mỗi số hữu tỷ sẽ xuất hiện theo trình tự như vậy vô số lần.
Số hữu tỉ r có thể được biểu diễn dưới dạng

mẫu sau số nguyên ở đâu; - tự nhiên. Chúng ta cần gán mỗi số tự nhiên n cho một cặp số p và q sao cho bất kỳ cặp p và q nào cũng có trong dãy của chúng ta. (0; 0) Để làm điều này, hãy vẽ trục p và q trên mặt phẳng. < 1 Chúng ta vẽ các đường lưới thông qua các giá trị nguyên của p và q.

Khi đó mỗi nút của lưới này sẽ tương ứng
.
số hữu tỉ . Toàn bộ tập hợp số hữu tỷ sẽ được biểu diễn bằng một tập hợp các nút. Chúng ta cần tìm cách đánh số tất cả các nút để không bỏ sót nút nào. Điều này rất dễ thực hiện nếu bạn đánh số các nút theo hình vuông, tâm của chúng nằm ở điểm(xem hình). Trong trường hợp này, phần dưới của hình vuông có q

.
chúng tôi không cần nó. Vì vậy chúng không được thể hiện trong hình.

.
Hãy chia mỗi đoạn một lần nữa. Hãy lấy

Bằng cách này, chúng ta thu được một dãy chứa tất cả các số hữu tỷ. Bạn có thể nhận thấy rằng bất kỳ số hữu tỷ nào cũng xuất hiện trong chuỗi này vô số lần. Thật vậy, cùng với nút , chuỗi này cũng sẽ bao gồm các nút , trong đó là số tự nhiên. Nhưng tất cả các nút này đều tương ứng với cùng một số hữu tỷ.

Sau đó, từ dãy đã xây dựng, chúng ta có thể chọn một dãy con (có vô số phần tử), tất cả các phần tử của dãy đó đều bằng một số hữu tỷ xác định trước. Vì dãy chúng ta xây dựng có các dãy con hội tụ về số khác nhau, thì dãy không hội tụ về bất kỳ số nào.

Phần kết luận

Ở đây chúng tôi đã đưa ra một định nghĩa chính xác về dãy số. Chúng tôi cũng nêu vấn đề về sự hội tụ của nó, dựa trên những ý tưởng trực quan. Định nghĩa chính xác sự hội tụ được thảo luận trên trang Xác định giới hạn của chuỗi. Các tính chất và định lý liên quan được nêu trên trang

Dãy số là hàm số xác định trên tập hợp số tự nhiên .

Nếu hàm được xác định trên tập số tự nhiên
, khi đó tập hợp các giá trị hàm sẽ đếm được và mỗi số
phù hợp với số
. Trong trường hợp này họ nói rằng nó được đưa ra dãy số. Các số được gọi yếu tố hoặc các thành viên của một dãy và số - nói chung hoặc -thành viên thứ của dãy. Mỗi phần tử có phần tử tiếp theo
. Điều này giải thích việc sử dụng thuật ngữ "trình tự".

Trình tự thường được xác định bằng cách liệt kê các phần tử của nó hoặc bằng cách chỉ ra quy luật tính toán phần tử có số. , tức là chỉ ra công thức của nó -thành viên thứ .

Ví dụ.Tiếp theo
có thể được đưa ra bởi công thức:
.

Thông thường các chuỗi được ký hiệu như sau: v.v., trong đó công thức của nó được chỉ định trong ngoặc thành viên thứ.

Ví dụ.Tiếp theo
‑đây là một trình tự

Tập hợp tất cả các phần tử của dãy
ký hiệu là
.

Cho phép
Và
- hai chuỗi.

VỚI ừm trình tự
Và
gọi là một dãy
, Ở đâu
, tức là..

R sự khác biệt trong số các trình tự này được gọi là trình tự
, Ở đâu
, tức là..

Nếu như Và ‑ các hằng số thì dãy
,
gọi điện kết hợp tuyến tính trình tự
Và
, tức là

công việc trình tự
Và
gọi là dãy với thành viên thứ
, tức là
.

Nếu như
, khi đó chúng ta có thể xác định riêng tư
.

Tổng, hiệu, tích, thương của các dãy
Và
họ được gọi đại sốsáng tác.

Ví dụ.Hãy xem xét trình tự
Và
, Ở đâu. Sau đó
, tức là tiếp theo
có tất cả các phần tử bằng 0.

,
, tức là mọi phần tử của tích và thương đều bằng nhau
.

Nếu bạn gạch bỏ một số phần tử của dãy
để nó vẫn còn tập vô hạn các phần tử, sau đó chúng ta nhận được một chuỗi khác gọi là tiếp theo trình tự
. Nếu bạn gạch bỏ một số phần tử đầu tiên của dãy
, Cái đó trình tự mới gọi điện phần còn lại.

Tiếp theo
giới hạnbên trên(từ bên dưới), nếu tập
giới hạn từ phía trên (từ phía dưới). Trình tự được gọi là giới hạn, nếu nó bị giới hạn trên và dưới. Một dãy bị chặn khi và chỉ nếu bất kỳ số dư nào của nó bị chặn.

Trình tự hội tụ

Họ nói rằng tiếp theo
hội tụ nếu có một số như vậy đối với bất cứ ai
có một thứ như vậy
điều đó cho bất cứ ai
, bất đẳng thức có giá trị:
.

Con số gọi điện giới hạn của chuỗi
. Đồng thời họ viết ra
hoặc
.

Ví dụ.
.

Hãy thể hiện điều đó
. Hãy đặt bất kỳ số nào
. Bất bình đẳng
biểu diễn cho
, như vậy
, định nghĩa về sự hội tụ được thực hiện cho số
. Có nghĩa,
.

Nói cách khác
có nghĩa là tất cả các thành viên của chuỗi
với số lượng đủ lớn sẽ khác rất ít so với số , tức là bắt đầu từ một số nào đó
(nếu) các phần tử của dãy nằm trong khoảng
được gọi là – lân cận của điểm .

Tiếp theo
, giới hạn của nó bằng 0 (
, hoặc
Tại
) được gọi là vô cùng nhỏ.

Liên quan đến vi phân, các phát biểu sau đây là đúng:

Tổng của hai số vô cùng nhỏ là vô cùng nhỏ;

Tích của một số lượng vô cùng nhỏ và một số lượng hữu hạn là vô cùng nhỏ.

Định lý .Để có trình tự
có giới hạn thì điều đó là cần và đủ để
, Ở đâu - không thay đổi; – vô cùng nhỏ .

Các tính chất cơ bản của dãy hội tụ:

Tính chất 3. và 4. được khái quát hóa cho trường hợp có số dãy hội tụ bất kỳ.

Lưu ý rằng khi tính giới hạn của một phân số có tử số và mẫu số là tổ hợp tuyến tính của lũy thừa , giới hạn phân số bằng giới hạn quan hệ của các thành viên cấp cao (tức là các thành viên có bằng cấp cao nhất tử số và mẫu số).

Tiếp theo
gọi điện:

Tất cả các trình tự như vậy được gọi là đơn điệu.

Định lý . Nếu trình tự
tăng đơn điệu và bị chặn ở trên, sau đó nó hội tụ và giới hạn của nó bằng chính xác của nó cạnh trên; nếu chuỗi giảm dần và giới hạn bên dưới thì nó hội tụ về cực trị của nó.

Khái niệm dãy số.

Giả sử mỗi số tự nhiên n tương ứng với một số a n , thì ta nói rằng đã cho một hàm a n =f(n), hàm này được gọi là dãy số. Ký hiệu là a n ,n=1,2,… hoặc (a n ).

Các số a 1 , a 2 , ... được gọi là thành viên của dãy hoặc các phần tử của dãy, an n là thành viên tổng quát của dãy, n là số của thành viên a n .

Theo định nghĩa, bất kỳ chuỗi nào cũng chứa vô số phần tử.

Ví dụ về dãy số.

số học cấp số nhân – cấp số có dạng:

nghĩa là, một chuỗi các số (thuật ngữ của cấp số nhân), mỗi số, bắt đầu từ số thứ hai, được lấy từ số trước bằng cách thêm vào đó một số không đổi d (bước hoặc hiệu của cấp số):
.

Bất kỳ số hạng nào của cấp số nhân đều có thể được tính bằng công thức số hạng tổng quát:

Bất kỳ thành viên nào của cấp số cộng, bắt đầu từ cấp số thứ hai, là trung bình số học của cấp số trước và thành viên tiếp theo của cấp số cộng:

Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng có thể được biểu diễn bằng công thức:

Tổng n số hạng liên tiếp của một cấp số cộng bắt đầu bằng số hạng k:

Một ví dụ về tổng của cấp số cộng là tổng của một chuỗi số tự nhiên bao gồm n:

hình học cấp số - dãy số
(thành viên của một cấp số), trong đó mỗi số tiếp theo, bắt đầu từ số thứ hai, được lấy từ số trước bằng cách nhân nó với một số nhất định q (mẫu số của cấp số), trong đó
,
:

Bất kỳ số hạng nào của cấp số nhân đều có thể được tính bằng công thức:

Nếu b 1 > 0 và q > 1, cấp số nhân là một dãy tăng nếu 0

Sự tiến triển có tên từ đặc tính đặc trưng của nó:
nghĩa là, mỗi số hạng bằng giá trị trung bình hình học của các số hạng lân cận.

Tích của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân có thể được tính bằng công thức:

Tích của các số hạng của cấp số nhân bắt đầu bằng số hạng thứ k và kết thúc bằng số hạng thứ n có thể được tính bằng công thức:

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

Nếu như

, thì khi nào
, Và

Tại
.

Giới hạn nhất quán

Một dãy được gọi là tăng nếu mỗi phần tử lớn hơn dãy trước. Một dãy được gọi là dãy giảm nếu mỗi phần tử nhỏ hơn dãy trước.

Dãy x n được gọi là bị chặn nếu có các số m và M sao cho mọi số tự nhiên n đều thỏa mãn điều kiện
.

Có thể xảy ra trường hợp tất cả các thành viên của dãy (an ) với số n tăng không giới hạn sẽ tiến tới số m nào đó.

Một số a được gọi là giới hạn của dãy X n nếu với mọi Ε>0 tồn tại một số (phụ thuộc vào Ε) n 0 =n o (Ε) sao cho
bất bình đẳng giữ
với mọi (tự nhiên)n>n 0 .

Trong trường hợp này họ viết
hoặc

Sự hội tụ của trình tự.

Dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là hội tụ về a:

Nếu một dãy không có giới hạn hữu hạn (đếm được) thì nó sẽ được gọi là phân kỳ.

Ý nghĩa hình học.

Nếu như
thì tất cả các thành viên của dãy này, ngoại trừ số cuối cùng, sẽ rơi vào một lân cận Ε tùy ý của điểm a. Về mặt hình học, giới hạn của một chuỗi có nghĩa là tất cả các giá trị của nó nằm trên một đoạn nhất định.