Cùng với sự tiến bộ và chuyển động quay Trong cơ học các vật thể, chuyển động dao động cũng được quan tâm đáng kể. Rung động cơ học là những chuyển động của các vật thể lặp lại chính xác (hoặc xấp xỉ) trong những khoảng thời gian bằng nhau. Quy luật chuyển động của một vật dao động được xác định bằng một hàm tuần hoàn thời gian x = f (t). Biểu diễn đồ họa chức năng này mang lại đại diện trực quan về quá trình dao động theo thời gian.

Ví dụ về hệ dao động đơn giản bao gồm tải trọng tác dụng lên một lò xo hoặc con lắc toán học(Hình 2.1.1).

Các dao động cơ học, giống như các quá trình dao động của bất kỳ vật nào khác bản chất vật lý, có thể có miễn phí Và bị ép. Rung động miễn phí được cam kết dưới ảnh hưởng nội lực hệ sau khi hệ mất cân bằng. Dao động của vật nặng vào lò xo và dao động của con lắc đều là dao động tự do. Dao động xảy ra dưới tác dụng bên ngoài lực thay đổi định kỳ được gọi là bị ép .

Loại quá trình dao động đơn giản nhất là đơn giản dao động điều hòa , được mô tả bởi phương trình

x = x mcos(ω t + φ 0).

Đây x- Vật bị dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng x m - biên độ dao động, tức là độ dịch chuyển cực đại so với vị trí cân bằng, ω - tuần hoàn hoặc tần số tròn do dự, t- thời gian. Đại lượng dưới dấu cosin φ = ω t+ φ 0 được gọi là giai đoạn quá trình điều hòa. Tại t= 0 φ = φ 0 nên φ 0 được gọi là giai đoạn đầu. Khoảng thời gian tối thiểu để lặp lại một chuyển động của cơ thể được gọi là chu kỳ dao động T. Đại lượng vật lý, nghịch đảo của chu kỳ dao động được gọi là tần số rung:

Tần số dao động f cho biết có bao nhiêu dao động xảy ra trong 1 s. Đơn vị tần số - hertz(Hz). Tần số dao động f liên quan đến tần số tuần hoàn ω và chu kỳ dao động T tỷ lệ:

Trong hình. 2.1.2 chỉ ra các vị trí của vật ở những khoảng thời gian bằng nhau trong quá trình dao động điều hòa. Một bức ảnh như vậy có thể thu được bằng thực nghiệm bằng cách chiếu sáng một vật dao động bằng những tia sáng ngắn có chu kỳ ( ánh sáng nhấp nháy). Các mũi tên biểu thị vectơ vận tốc của vật tại các thời điểm khác nhau.

Cơm. 2.1.3 minh họa sự thay đổi xảy ra trên đồ thị của một quá trình điều hòa nếu biên độ dao động thay đổi x m, hoặc khoảng thời gian T(hoặc tần số f), hoặc giai đoạn đầu φ 0 .

Khi vật dao động điều hòa theo một đường thẳng (trục CON BÒ ĐỰC) vectơ vận tốc luôn hướng dọc theo đường thẳng này. Tốc độ υ = υ x chuyển động của cơ thể được quyết định bởi biểu hiện

Trong toán học, quy trình tìm giới hạn của một tỷ số tại Δ t→ 0 được gọi là tính đạo hàm của hàm số x (t) theo thời gian t và được ký hiệu là hoặc là x"(t) hoặc cuối cùng, như . Đối với định luật điều hòa của chuyển động, việc tính đạo hàm dẫn đến kết quả sau:

Sự xuất hiện của số hạng + π / 2 trong đối số cosin có nghĩa là có sự thay đổi trong pha ban đầu. Giá trị tốc độ tuyệt đối tối đa υ = ω x m đạt được tại những thời điểm khi cơ thể đi qua vị trí cân bằng ( x= 0). Gia tốc được xác định tương tự Một = Mộtx vật thể khi dao động điều hòa:

do đó gia tốc Một bằng đạo hàm của hàm υ ( t) theo thời gian t, hoặc đạo hàm bậc hai của hàm x (t). Tính toán cho:

Dấu trừ trong biểu thức này có nghĩa là gia tốc Một (t) luôn có dấu dấu hiệu ngược lại sự bù đắp x (t), và do đó, theo định luật II Newton, lực làm vật thực hiện dao động điều hòa luôn hướng về vị trí cân bằng ( x = 0).

Cùng một cơ thể có thể tham gia đồng thời hai hoặc nhiều chuyển động. Một ví dụ đơn giản là chuyển động của quả bóng được ném nghiêng một góc so với phương ngang. Chúng ta có thể giả sử rằng quả bóng tham gia vào hai chuyển động độc lập vuông góc với nhau: chuyển động đều theo chiều ngang và biến đổi đều theo chiều dọc. Cùng một cơ thể ( điểm vật chất) có thể tham gia vào hai (hoặc nhiều) chuyển động dao động.

Dưới cộng các dao động hiểu định nghĩa về định luật tạo ra dao động nếu hệ dao động tham gia đồng thời vào một số quá trình dao động. Có hai trường hợp giới hạn: cộng các dao động theo một hướng và cộng các dao động vuông góc lẫn nhau.

2.1. Bổ sung các dao động điều hòa theo một hướng

1. Cộng hai dao động cùng chiều(dao động cùng hướng)

có thể thực hiện bằng phương pháp sơ đồ vector (Hình 9) thay vì cộng hai phương trình.

Hình 2.1 thể hiện các vectơ biên độ MỘT 1(t) và MỘT 2 (t) các dao động được thêm vào tại một thời điểm tùy ý trong thời gian t, khi pha của các dao động này lần lượt bằng nhau Và . Việc bổ sung các dao động đi đến định nghĩa . Hãy lợi dụng thực tế là trong sơ đồ vectơ, tổng các hình chiếu của các vectơ được thêm vào bằng phép chiếu tổng vectơ những vectơ này.

Kết quả dao động trong sơ đồ vectơ tương ứng với vectơ biên độ và pha.

Hình 2.1 – Bổ sung các dao động cùng hướng.

Độ lớn vectơ MỘT(t) có thể tìm được bằng định lý cosine:

Pha của dao động thu được được tính theo công thức:

.

Nếu tần số của các dao động cộng thêm ω 1 và ω 2 không bằng nhau thì cả pha φ(t) và biên độ MỘT(t) Những biến động sinh ra sẽ thay đổi theo thời gian. Dao động cộng thêm được gọi là không mạch lạc trong trường hợp này.

2. Hai dao động điều hòa x 1 và x 2 được gọi là mạch lạc, nếu độ lệch pha của chúng không phụ thuộc vào thời gian:

Nhưng vì để thỏa mãn điều kiện kết hợp của hai dao động này thì tần số tuần hoàn của chúng phải bằng nhau.

Biên độ của dao động thu được bằng cách cộng các dao động cùng hướng có tần số bằng nhau (dao động điều hợp) bằng:

Pha ban đầu của dao động thu được rất dễ tìm thấy nếu bạn chiếu các vectơ MỘT 1 và MỘT 2 trên trục tọa độ OX và OU (xem Hình 9):

.

Vì thế, dao động thu được bằng cách cộng hai dao động điều hòa cùng hướng có tần số bằng nhau cũng là dao động điều hòa.

3. Chúng ta hãy nghiên cứu sự phụ thuộc của biên độ của dao động thu được vào độ lệch pha ban đầu của các dao động được thêm vào.

Nếu , trong đó n là số nguyên không âm

(n = 0, 1, 2…), thì tối thiểu. Các dao động được thêm vào tại thời điểm bổ sung là phản pha. Khi biên độ kết quả bằng không.

Nếu như , Cái đó , tức là biên độ kết quả sẽ là tối đa. Tại thời điểm bổ sung, các dao động được thêm vào là trong một giai đoạn, tức là đang trong giai đoạn. Nếu biên độ của các dao động cộng thêm là như nhau , Cái đó .

4. Bổ sung các dao động đồng hướng với tần số không bằng nhau nhưng tương tự nhau.

Tần số của các dao động cộng thêm không bằng nhau nhưng độ lệch tần số nhỏ hơn nhiều so với cả ω 1 và ω 2. Điều kiện về độ gần của các tần số được thêm vào được viết bằng các quan hệ.

Một ví dụ về việc bổ sung các dao động cùng hướng có tần số tương tự là chuyển động của một vật nằm ngang con lắc mùa xuân, độ cứng của lò xo hơi khác nhau k 1 và k 2.

Cho biên độ của các dao động cộng thêm bằng nhau , và các pha ban đầu bằng 0. Khi đó phương trình dao động cộng thêm có dạng:

, .

Dao động kết quả được mô tả bởi phương trình:

Phương trình dao động thu được phụ thuộc vào tích của hai hàm điều hòa: một hàm có tần số , cái còn lại có tần số , trong đó ω gần với tần số của các dao động cộng thêm (ω 1 hoặc ω 2). Dao động kết quả có thể được coi là dao động điều hòa có biên độ thay đổi tuân theo định luật điều hòa. Như là quá trình dao động gọi điện nhịp đập. Nói đúng ra, sự biến động dẫn đến trường hợp chung không phải là dao động điều hòa.

Giá trị tuyệt đối của cosin được lấy vì biên độ là đại lượng dương. Bản chất của sự phụ thuộc x res. trong quá trình đập được thể hiện ở hình 2.2.

Hình 2.2 – Sự phụ thuộc của chuyển vị vào thời gian trong quá trình đập.

Biên độ của nhịp thay đổi chậm theo tần số. Giá trị tuyệt đối của cosin được lặp lại nếu đối số của nó thay đổi một lượng π, nghĩa là giá trị của biên độ thu được sẽ được lặp lại sau một khoảng thời gian τ b, gọi là giai đoạn nhịp(Xem Hình 12). Giá trị của nhịp có thể được xác định từ mối quan hệ sau:

Giá trị là thời gian đập.

Kích cỡ là chu kỳ dao động thu được (Hình 2.4).

2.2. Bổ sung các dao động vuông góc lẫn nhau

1. Một mô hình trong đó có thể biểu diễn phép cộng các dao động vuông góc lẫn nhau được trình bày trên Hình 2.3. Một con lắc (một điểm vật chất có khối lượng m) có thể dao động dọc theo trục OX và OU dưới tác dụng của hai lực đàn hồi hướng vuông góc với nhau.

Hình 2.3

Dao động gấp khúc có dạng:

Tần số dao động được xác định là , , trong đó , là hệ số độ cứng của lò xo.

2. Xét trường hợp cộng hai dao động vuông góc với nhau có cùng tần số , tương ứng với điều kiện (lò xo giống hệt nhau). Khi đó phương trình dao động cộng thêm sẽ có dạng:

Khi một điểm tham gia vào hai chuyển động cùng một lúc, quỹ đạo của nó có thể khác nhau và khá phức tạp. Phương trình quỹ đạo của các dao động thu được trên mặt phẳng OXY khi cộng hai dao động vuông góc với nhau có tần số bằng nhau có thể được xác định bằng cách loại trừ thời gian t khỏi phương trình ban đầu của x và y:

Loại quỹ đạo được xác định bởi sự khác biệt về pha ban đầu của các dao động được thêm vào, phụ thuộc vào điều kiện ban đầu(xem § 1.1.2). Hãy xem xét các lựa chọn có thể.

a) Nếu , trong đó n = 0, 1, 2…, tức là các dao động được thêm vào cùng pha thì phương trình quỹ đạo sẽ có dạng:

(Hình 2.3 a).

Hình 2.3.a	Hình 2.3b

b) Nếu (n = 0, 1, 2...), tức là các dao động cộng thêm ngược pha thì phương trình quỹ đạo được viết như sau:

(Hình 2.3b).

Trong cả hai trường hợp (a, b), chuyển động thu được của điểm sẽ là dao động dọc theo đường thẳng đi qua điểm O. Tần số của dao động thu được bằng tần số của các dao động cộng thêm ω 0, biên độ được xác định bởi mối quan hệ.

MỘT) Vật tham gia vào hai dao động điều hòa cùng tần sốw , nhưng có biên độ và pha ban đầu khác nhau.

Phương trình của các dao động này sẽ được viết như sau:

x 1 = a 1 cos(wt + j 1)

x 2 = a 2 cos(wt + j 2),

Ở đâu x 1 Và x 2- chuyển vị; một 1 Và một 2- biên độ; w- tần số tròn của cả hai rung động; j 1 Và j 2- các pha dao động ban đầu.

Hãy cộng các dao động này bằng sơ đồ vector. Chúng ta hãy biểu diễn cả hai dao động dưới dạng vectơ biên độ. Đối với điều này từ điểm tùy ýÔi, nằm trên trục X, chúng ta hãy vẽ hai vectơ 1 và 2 tương ứng ở các góc j 1 Và j 2 với trục này (Hình 2).

Hình chiếu của các vectơ này lên trục X sẽ bằng với sự bù đắp x 1 Và x 2 theo biểu thức (2). Khi cả hai vectơ đều quay ngược chiều kim đồng hồ với vận tốc góc w hình chiếu của các đầu của chúng lên trục X sẽ thực hiện dao động điều hòa. Vì cả hai vectơ đều quay cùng vận tốc góc w, thì góc giữa chúng j=j 1 -j 2 vẫn không đổi. Cộng cả hai vectơ 1 và 2 theo quy tắc hình bình hành, ta thu được vectơ . Như có thể thấy trong Hình 2, hình chiếu của vectơ này lên trục X bằng tổng các hình chiếu của các số hạng của vectơ x=x 1 +x 2.Ở phía bên kia: x=a·cos(wt+j o).

Do đó, vectơ quay với cùng tốc độ góc như vectơ 1 và 2 và thực hiện một dao động điều hòa, xảy ra dọc theo cùng một đường thẳng với các thành phần của dao động và với tần số bằng tần số của dao động ban đầu. Đây ồ - pha ban đầu của dao động thu được.

Như có thể thấy trong Hình 2, để xác định biên độ của dao động thu được, bạn có thể sử dụng định lý cosine, theo đó chúng ta có:

a 2 = a 1 2 + a 2 2 - 2a 1 a 2 cos

a = a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cos(j 2 - j 1)(3)

Từ biểu thức (3), rõ ràng biên độ của dao động thu được phụ thuộc vào độ lệch pha ban đầu ( j 2 - j 1) thành phần dao động. Nếu các pha ban đầu bằng nhau ( j 2 = j 1), thì từ công thức (3) rõ ràng là biên độ MỘT bằng tổng một 1 Và một 2. Nếu độ lệch pha ( j 2 - j 1) bằng ±180 o (tức là cả hai dao động cùng pha), thì biên độ của dao động thu được bằng giá trị tuyệt đối sự khác biệt về biên độ của các thuật ngữ rung : a = |a 1 - a 2 |.

b) Vật tham gia vào hai dao động có cùng biên độ, cùng pha, bằng 0 và các tần số khác nhau.

Các phương trình cho các dao động này sẽ như sau:

x 1 = а·sinw 1 t,

x 2 = a·sinw 2 t.

Người ta cho rằng w 1 có sự khác biệt nhỏ về kích thước so với w 2. Thêm các biểu thức này, chúng tôi nhận được:

x=x 1 +x 2 =2a cos[(w 1 -w 2)/2]t+sin[(w 1 +w 2)/2]t=

=2a vì[(w 1 -w 2)/2]tội lỗi gì thế (4)

Chuyển động kết quả là một dao động phức tạp được gọi là nhịp đập(Hình 3) Vì giá trị w 1 - w 2 nhỏ so với kích thước w 1 + w 2, thì chuyển động này có thể được coi là một dao động điều hòa có tần số bằng một nửa tổng tần số của các dao động cộng thêm w=(w 1 +w 2)/2, và biên độ thay đổi.

Từ (4) suy ra biên độ của dao động thu được thay đổi tùy theo định luật tuần hoàn cô sin. Chu kỳ đầy đủ những thay đổi về giá trị của hàm cosine xảy ra khi đối số thay đổi 360 0 và hàm chuyển qua các giá trị từ +1 đến -1. Trạng thái của hệ thống đập tại các thời điểm tương ứng với giá trị được chỉ định Các hàm cosin trong công thức (4) không khác nhau. Nói cách khác, các chu kỳ nhịp xảy ra với tính tuần hoàn tương ứng với sự thay đổi đối số cosin trong công thức (4) bằng 180 0. Như vậy, thời kỳ T a sự thay đổi biên độ trong nhịp (chu kỳ nhịp) được xác định từ điều kiện:

T a = 2p/(w 1 - w 2).

Xem xét rằng w=2pn, chúng tôi nhận được:

T a = 2 p /2 p (n 1 - n 2) = 1/(n 1 - n 2). (5)

Tần số thay đổi biên độ của dao động thu được bằng độ chênh lệch tần số của các dao động cộng thêm:

n=1/T a =n 1 -n 2.

Phép cộng dao động điều hòa một hướng.

nhịp đập

Chúng ta hãy xem xét một hệ thống dao động với một bậc tự do, trạng thái của nó được xác định bởi sự phụ thuộc của một đại lượng nhất định vào thời gian. Giả sử dao động trong hệ thống này là tổng của hai dao động điều hòa có cùng tần số, nhưng biên độ và pha ban đầu khác nhau, tức là.

Vì “bù đắp” hệ thống dao động từ vị trí cân bằng xảy ra dọc theo một “hướng” duy nhất, thì trong trường hợp này người ta nói đến việc bổ sung các dao động điều hòa theo một hướng. Trên sơ đồ vectơ các dao động cộng thêm sẽ được biểu diễn dưới dạng hai vectơ và , quay tương đối với nhau một góc (Hình 6.1). Vì tần số của các dao động được thêm vào là như nhau nên vị trí tương đối của chúng sẽ không thay đổi bất cứ lúc nào và dao động thu được sẽ được biểu thị bằng một vectơ, bằng với số tiền vectơ và . Cộng các vectơ theo quy tắc hình bình hành và sử dụng định lý cosin, ta được

. (6.3)

Như vậy, Khi cộng hai dao động điều hòa cùng hướng với cùng tần số thì thu được một dao động điều hòa có cùng tần số, biên độ và pha ban đầu của chúng được xác định bằng biểu thức(6.2), (6.3).

Hai dao động điều hòa xảy ra cùng tần số và có độ lệch pha không đổi gọi là mạch lạc. Do đó, khi thêm các dao động kết hợp, sẽ thu được một dao động điều hòa có cùng tần số, biên độ và pha ban đầu của dao động này được xác định bởi biên độ và pha ban đầu của các dao động được thêm vào.

Nếu các dao động cộng thêm có tần số khác nhau nhưng có cùng biên độ , sau đó, sử dụng biểu thức đã biết từ lượng giác cho tổng cosin của hai góc, chúng ta thu được

Từ biểu thức thu được, rõ ràng là dao động thu được không hài hòa.

Cho tần số của các dao động được thêm vào gần nhau sao cho và . Trường hợp này được gọi là nhịp của hai tần số.

Đã chỉ định , Và , chúng ta có thể viết

. (6.5)

Từ biểu thức (6.5), suy ra rằng dao động thu được có thể được biểu diễn dưới dạng dao động điều hòa với tần số trung bình nhất định, biên độ của dao động này thay đổi chậm (theo tần số) theo thời gian. Thời gian gọi điện giai đoạn nhịp, MỘT – nhịp tần số. Biểu đồ nhịp được thể hiện trong Hình 6.2. Đánh đập xảy ra khi âm thanh đồng thời của hai âm thoa có cùng âm sắc. Chúng có thể được quan sát bằng máy hiện sóng bằng cách cộng các dao động điều hòa của hai máy phát được điều chỉnh ở cùng tần số. Trong cả hai trường hợp, tần số của nguồn rung sẽ hơi khác nhau, dẫn đến nhịp đập.

Vì dao động xảy ra với tần số khác nhau, thì độ lệch pha của các dao động thêm vào sẽ thay đổi theo thời gian, do đó các dao động không kết hợp. Sự thay đổi thời gian biên độ của các dao động thu được là hệ quả đặc trưng của sự không mạch lạc của các dao động cộng thêm.

Việc bổ sung các dao động rất thường được quan sát thấy trong mạch điện và đặc biệt là trong các thiết bị liên lạc vô tuyến. Trong một số trường hợp, điều này được thực hiện có chủ đích để thu được tín hiệu với các thông số đã chỉ định. Ví dụ, trong máy thu dị âm, tín hiệu nhận được được thêm (trộn) với tín hiệu dao động cục bộ để thu được dao động tần số trung gian do quá trình xử lý tiếp theo. Trong các trường hợp khác, việc bổ sung các dao động xảy ra một cách tự phát khi, ngoài tín hiệu hữu ích, một số loại nhiễu nào đó xuất hiện ở đầu vào của thiết bị. Trong thực tế, toàn bộ sự đa dạng của các dạng tín hiệu điện là kết quả của việc cộng hai hoặc hơn dao động điều hòa.

Bổ sung rung động

Cộng hai dao động điều hòa có cùng biên độ và tần số

Hãy xem một ví dụ sóng âm, khi nào hai nguồn tạo ra sóng có cùng biên độ A và tần số?. Chúng tôi sẽ lắp đặt một lớp màng nhạy cảm cách xa các nguồn. Khi sóng “truyền” một quãng đường từ nguồn đến màng, màng sẽ tiến tới chuyển động dao động. Tác động của mỗi sóng lên màng có thể được mô tả bằng các mối quan hệ sau bằng cách sử dụng các hàm dao động:

x1(t) = A cos(?t + ?1),

x2(t) = A cos(?t + ?2).

x(t) = x1(t) + x2(t) = A (1.27)

Biểu thức trong ngoặc đơn có thể được viết khác bằng cách sử dụng hàm lượng giác tổng cosin:

Để đơn giản hóa hàm (1.28), chúng tôi đưa ra các đại lượng mới A0 và?0 thỏa mãn điều kiện:

A0 = ?0 = (1,29)

Thay biểu thức (1.29) vào hàm (1.28), ta thu được

Vậy tổng các dao động điều hòa có cùng tần số? có dao động điều hòa cùng tần số không? Trong trường hợp này, biên độ của dao động tổng A0 và pha ban đầu?0 được xác định bởi hệ thức (1.29).

Cộng hai dao động điều hòa có cùng tần số nhưng khác biên độ và pha ban đầu

Bây giờ hãy xem xét tình huống tương tự, thay đổi biên độ dao động trong hàm số (1.26). Đối với hàm x1 (t), chúng ta thay biên độ A bằng A1 và đối với hàm x2 (t) A bằng A2. Khi đó hàm (1.26) sẽ được viết dưới dạng sau

x1(t) = A1 cos(?t + ?1), x2(t) = A2 cos (?t + ?2); (1.31)

Hãy tìm tổng các hàm điều hòa (1.31)

x= x1 (t) + x2 (t) = A1 cos(?t + ?1) + A2 cos (?t + ?2) (1,32)

Biểu thức (1.32) có thể được viết khác bằng cách sử dụng hàm lượng giác cosin của tổng:

x(t) = (A1cos(?1) + A2cos(?2)) cos(?t) - (A1sin(?1) + A2sin(?2)) sin(?t) (1.33)

Để đơn giản hóa hàm (1.33), chúng tôi đưa ra các đại lượng mới A0 và?0 thỏa mãn điều kiện:

Chúng ta bình phương từng phương trình của hệ (1.34) và cộng các phương trình thu được. Sau đó, chúng ta nhận được mối quan hệ sau đây cho số A0:

Hãy xét biểu thức (1.35). Hãy để chúng tôi chứng minh rằng số lượng dưới gốc không thể âm. Vì cos(?1 - ?2) ? -1, có nghĩa đây là đại lượng duy nhất có thể ảnh hưởng đến dấu của số nằm dưới gốc (A12 > 0, A22 > 0 và 2A1A2 > 0 (theo định nghĩa biên độ)). Hãy xem xét trường hợp quan trọng (cosine bằng trừ một). Dưới gốc là công thức tính bình phương của hiệu, luôn là một đại lượng dương. Nếu chúng ta bắt đầu tăng dần cosine thì số hạng chứa cosine cũng sẽ bắt đầu tăng dần, khi đó giá trị dưới gốc sẽ không đổi dấu.

Bây giờ chúng ta hãy tính mối quan hệ của đại lượng?0 bằng cách chia phương trình thứ hai của hệ (1.34) cho phương trình thứ nhất và tính arctang:

Bây giờ hãy thay thế các giá trị từ hệ thống (1.34) thành hàm (1.33)

x = A0(cos(?0) cos?t - sin(?0) sin?t) (1.37)

Chuyển đổi biểu thức trong ngoặc bằng công thức tổng cosine, chúng ta nhận được:

x(t) = A0 cos(?t + ?0) (1,38)

Và một lần nữa hóa ra tổng của hai hàm điều hòa có dạng (1.31) cũng bằng hàm điều hòa cùng một loại. Chính xác hơn là việc cộng thêm hai dao động điều hòa có cùng tần số? cũng là dao động điều hòa có cùng tần số?. Trong trường hợp này, biên độ của dao động thu được được xác định theo hệ thức (1.35) và pha ban đầu - theo hệ thức (1.36).