Однією з найважливіших наук, Застосування якої можна побачити в таких дисциплінах, як хімія, фізика і навіть біологія, є математика. Вивчення цієї науки дозволяє розвинути деякі розумові якості, покращити та здатність концентруватися. Одна з тем, які заслуговують на окрему увагу в курсі «Математика» - складання та віднімання дробів. У багатьох учнів її вивчення спричиняє труднощі. Можливо, наша стаття допоможе краще зрозуміти цю тему.
Як відняти дроби, знаменники яких однакові
Дроби - це самі числа, з якими можна робити різні дії. Їхня відмінність від цілих чисел полягає в присутності знаменника. Саме тому при виконанні дій із дробами потрібно вивчити деякі їх особливості та правила. Найбільш простою нагодоює віднімання звичайних дробів, знаменники яких представлені у вигляді однакового числа Виконати цю дію не складе особливих труднощів, якщо знати просте правило:
- Для того щоб з одного дробу відняти другий, необхідно від чисельника дробу, що зменшується, відняти чисельник віднімається дробу. Це число записуємо в чисельник різниці, а знаменник залишаємо те саме: k/m - b/m = (k-b)/m.
Приклади віднімання дробів, знаменники яких однакові
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
Від чисельника дробу, що зменшується, «7» віднімаємо чисельник віднімається дробу «3», отримуємо «4». Це число записуємо в чисельник відповіді, а знаменник ставимо те саме число, що було у знаменниках першого і другого дробу - «19».
На малюнку нижче наведено ще кілька таких прикладів.
Розглянемо складніший приклад, де зроблено віднімання дробів з однаковими знаменниками:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
Від чисельника дробу, що зменшується «29» відбиранням по черзі чисельники всіх наступних дробів - «3», «8», «2», «7». У результаті отримуємо результат «9», який записуємо в чисельник відповіді, а знаменник записуємо те число, що у знаменниках всіх цих дробів, - «47».
Додавання дробів, що мають однаковий знаменник
Додавання та віднімання звичайних дробів здійснюється за одним і тим же принципом.
- Щоб скласти дроби, знаменники яких однакові, необхідно чисельники скласти. Отримане число - чисельник суми, а знаменник залишиться тим самим: k/m + b/m = (k + b)/m.
Розглянемо, як це виглядає на прикладі:
1/4 + 2/4 = 3/4.
До чисельника першого доданку дробу - «1» - додаємо чисельник другого доданку дробу - «2». Результат - «3» - записуємо в чисельник суми, а знаменник залишаємо той самий, що був у дробах, - «4».
Дроби з різними знаменниками та їх віднімання
Дія з дробами, які мають однаковий знаменникМи вже розглянули. Як бачимо, знаючи прості правила, Вирішити подібні приклади досить легко. Але що робити, якщо необхідно зробити дію з дробами, які мають різні знаменники? Багато учнів середніх шкіл утрудняються такими прикладами. Але й тут, якщо знати принцип рішення, приклади вже не будуть для вас складнощами. Тут також існує правило, без якого рішення подібних дробівпросто неможливо.
- 2/3 - у знаменнику не вистачає однієї трійки та однієї двійки:
2/3 = (2 х 3 х 2)/(3 х 3 х 2) = 12/18. - 7/9 або 7/(3 х 3) - у знаменнику не вистачає двійки:
7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18. - 5/6 або 5/(2 х 3) - у знаменнику не вистачає трійки:
5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18. - Число 18 складається з 3 х 2 х 3.
- Число 15 складається з 5 х 3.
- Загальне кратне складатиметься з наступних множників 5 х 3 х 3 х 2 = 90.
- 90 поділити на 15. Отримане число "6" буде множником для 3/15.
- 90 розділити на 18. Отримане число "5" буде множником для 4/18.
- Усі дроби, що мають цілу частину, перевести у неправильні. Говорячи простими словамиприбрати цілу частину. Для цього число цілої частини множимо на знаменник дробу, отриманий твір додаємо до чисельника. Число, яке вийде після цих дій, - чисельник неправильного дробу. Знаменник залишається незмінним.
- Якщо дроби мають різні знаменники, слід привести їх до однакового.
- Зробити додавання або віднімання з однаковими знаменниками.
- При отриманні неправильного дробу виділити цілу частину.
Щоб зробити віднімання дробів з різними знаменниками, необхідно привести їх до однакового найменшого знаменника.
Про те, як це зробити, ми поговоримо докладніше.
Властивість дробу
Для того щоб кілька дробів привести до однакового знаменника, потрібно використовувати у рішенні головну властивість дробу: після розподілу чи множення чисельника та знаменника на однакове числовийде дріб, що дорівнює даній.
Так, наприклад, дріб 2/3 може мати такі знаменники, як "6", "9", "12" і т. д., тобто вона може мати вигляд будь-якого числа, яке кратно "3". Після того, як чисельник і знаменник ми помножимо на «2», вийде дріб 4/6. Після того, як чисельник і знаменник вихідного дробу ми помножимо на «3», отримаємо 6/9, а якщо аналогічну дію зробити з цифрою «4», отримаємо 8/12. Однією рівністю це можна записати так:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Як привести кілька дробів до одного і того ж знаменника
Розглянемо, як привести кілька дробів до того самого знаменника. Наприклад візьмемо дроби, наведені на малюнку нижче. Для початку необхідно визначити, яке число може стати знаменником для всіх їх. Для полегшення розкладемо наявні знаменники на множники.
Знаменник дробу 1/2 та дробу 2/3 на множники розкласти не можна. Знаменник 7/9 має два множники 7/9 = 7/(3 х 3), знаменник дробу 5/6 = 5/(2 х 3). Тепер необхідно визначити, які множники будуть найменшими для всіх цих чотирьох дробів. Так як у першому дробі в знаменнику є число «2», значить, воно має бути присутнім у всіх знаменниках, у дробі 7/9 присутні дві трійки, значить, вони також обидві повинні бути присутніми у знаменнику. Враховуючи сказане вище, визначаємо, що знаменник складається з трьох множників: 3, 2, 3 і дорівнює 3 х 2 х 3 = 18.
Розглянемо перший дріб – 1/2. У її знаменнику є «2», але немає жодної цифри «3», а має бути дві. Для цього ми знаменник множимо на дві трійки, але, відповідно до властивості дробу, ми і чисельник маємо помножити на дві трійки:
1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.
Аналогічно робимо дії з дробами, що залишилися.
Все разом це виглядає так:
Як відняти і скласти дроби, що мають різні знаменники
Як уже говорилося вище, для того щоб зробити додавання або віднімання дробів, що мають різні знаменники, їх необхідно привести до одного знаменника, а далі скористатися правилами віднімання дробів, що мають однаковий знаменник, про який вже розповідалося.
Розглянемо це з прикладу: 4/18 - 3/15.
Знаходимо кратне чисел 18 і 15:
Після того, як знаменник буде знайдений, необхідно обчислити множник, який буде відмінним для кожного дробу, тобто число, на яке необхідно буде помножити не тільки знаменник, але і чисельник. Для цього число, яке ми знайшли (загальне кратне), ділимо на знаменник того дробу, у якого потрібно визначити додаткові множники.
Наступний етап нашого рішення – приведення кожного дробу до знаменника «90».
Як це робиться, ми вже говорили. Розглянемо, як це записується у прикладі:
(4 х 5)/(18 х 5) - (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Якщо дроби з невеликими числами, то можна спільний знаменниквизначити, як у прикладі, наведеному на зображенні нижче.
Аналогічно виробляється і мають різні знаменники.
Віднімання та мають цілі частини
Віднімання дробів та їх складання ми вже детально розібрали. Але як зробити віднімання, якщо у дробу є ціла частина? Знову ж таки, скористаємося кількома правилами:
Є й інший спосіб, за допомогою якого можна здійснити додавання та віднімання дробів з цілими частинами. Для цього проводяться окремо дії з цілими частинами, та окремо дії з дробами, а результати записуються разом.
Наведений приклад складається із дробів, які мають однаковий знаменник. У тому випадку, коли знаменники різні, їх необхідно призвести до однакового, а далі виконати дії, як показано на прикладі.
Віднімання дробів з цілого числа
Ще одним з різновидів дій з дробами є той випадок, коли дріб необхідно відібрати на перший погляд. подібний прикладздається важко вирішуваним. Однак тут усе досить просто. Для його вирішення необхідно перевести ціле число в дріб, причому з таким знаменником, який є в дробі, що віднімається. Далі робимо віднімання, аналогічне віднімання з однаковими знаменниками. На прикладі це виглядає так:
7 – 4/9 = (7 х 9)/9 – 4/9 = 53/9 – 4/9 = 49/9.
Наведене у цій статті віднімання дробів (6 клас) є основою для вирішення складніших прикладів, які розглядаються в наступних класах. Знання цієї теми використовуються згодом на вирішення функцій, похідних тощо. Тому дуже важливо розібратися та зрозуміти дії з дробами, що розглядаються вище.
Події з дробами.
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Отже, що являють собою дроби, види дробів, перетворення - ми згадали. Займемося основним питанням.
Що можна робити із дробами?Та все те, що і з звичайними числами. Складати, віднімати, множити, ділити.
Всі ці дії з десятковимидробами нічим не відрізняються від дій із цілими числами. Власне, цим вони й добрі, десяткові. Єдино, кому правильно поставити треба.
Змішані числа Як я вже казав, малопридатні для більшості дій. Їх все одно треба переводити у прості дроби.
А ось дії з звичайними дробамихитрішими будуть. І набагато важливіше! Нагадаю: всі дії з дробовими виразами з літерами, синусами, невідомими та інші та інші нічим не відрізняються від дій зі звичайними дробами! Події зі звичайними дробами - це основа для всієї алгебри. Саме тому ми дуже докладно розберемо тут всю цю арифметику.
Складання та віднімання дробів.
Скласти (відібрати) дроби з однаковими знаменниками кожен зможе (дуже сподіваюся!). Ну вже зовсім забудькуватим нагадаю: при складанні (відніманні) знаменник не змінюється. Чисельники складаються (віднімаються) і дають чисельник результату. Типу:
Коротше, в загальному вигляді:
А якщо знаменники різні? Тоді, використовуючи основну властивість дробу (ось воно і знову знадобилося!), робимо знаменники однаковими! Наприклад:
Тут нам із дробу 2/5 довелося зробити дріб 4/10. Винятково з метою зробити знаменники однаковими. Зауважу, про всяк випадок, що 2/5 та 4/10 це один і той же дріб! Тільки 2/5 нам незручно, а 4/10 дуже нічого.
До речі, у цьому є суть рішень будь-яких завдань з математики. Коли ми з незручноговирази робимо те саме, але вже зручне для вирішення.
Ще приклад:
Ситуація є аналогічною. Тут ми із 16 робимо 48. Простим множеннямна 3. Це зрозуміло. Але ось нам трапилося щось типу:
Як бути? З сімки дев'ятку важко зробити! Але ми розумні, ми знаємо правила! Перетворюємо кожнудріб так, щоб знаменники стали однаковими. Це називається «приведемо до спільного знаменника»:
Ось як! Звідки я дізнався про 63? Дуже просто! 63 це число, яке ціле ділиться на 7 і 9 одночасно. Таке число можна отримати перемноженням знаменників. Якщо ми якесь число помножили на 7, наприклад, то результат точно на 7 ділитися буде!
Якщо треба скласти (відняти) кілька дробів, немає потреби робити це попарно, по кроках. Просто треба знайти знаменник, загальний для всіх дробів, і привести кожен дріб до цього знаменника. Наприклад:
І який спільний знаменник буде? Можна, звичайно, перемножити 2, 4, 8 і 16. Отримаємо 1024. Кошмар. Простіше прикинути, що число 16 відмінно ділиться і на 2, і на 4, і на 8. Отже, з цих чисел легко отримати 16. Це число буде спільним знаменником. 1/2 перетворимо на 8/16, 3/4 на 12/16, ну і так далі.
До речі, якщо за загальний знаменник взяти 1024, теж все вийде, наприкінці все скорочується. Тільки до цього кінця не всі дістануться, через обчислення...
Дорішайте приклад самостійно. Чи не логарифм який... Повинно вийти 29/16.
Отже, зі складанням (відніманням) дробів ясно, сподіваюся? Звичайно, простіше працювати в скороченому варіанті з додатковими множниками. Але це задоволення доступне тим, хто чесно працював у молодших класах…І нічого не забув.
А зараз ми поробимо ті самі дії, але не з дробами, а з дробовими виразами. Тут виявляться нові граблі, та...
Отже, нам треба скласти два дробові вирази:
Потрібно зробити знаменники однаковими. Причому лише за допомогою множення! Така основна властивість дробу велить. Тому я не можу в першому дробі у знаменнику до ікса додати одиницю. (А ось би добре було!). А от якщо перемножити знаменники, дивишся, все й зростеться! Так і записуємо, рису дробу, зверху порожнє місцезалишимо, потім допишемо, а знизу пишемо твір знаменників, щоб не забути:
І, звичайно, нічого у правій частині не перемножуємо, дужки не відкриваємо! А тепер, дивлячись на загальний знаменник правої частини, розуміємо: щоб у першому дробі вийшов знаменник х(х+1), треба чисельник та знаменник цього дробу помножити на (х+1). А у другому дробі – на х. Вийде ось що:
Зверніть увагу! Тут з'явилися дужки! Це і є ті граблі, на які багато хто наступає. Не дужки, звичайно, а їхня відсутність. Дужки з'являються тому, що ми множимо весьчисельник та весьзнаменник! А не їхні окремі шматочки...
У чисельнику правої частини записуємо суму чисельників, все як у числових дробах, потім розкриваємо дужки у чисельнику правої частини, тобто. перемножуємо все та наводимо подібні. Розкривати дужки у знаменниках, перемножувати щось не потрібно! Взагалі, у знаменниках (будь-яких) завжди приємніший твір! Отримаємо:
Ось і отримали відповідь. Процес здається довгим та важким, але це від практики залежить. Розв'язуєте приклади, звикніть, все стане просто. Ті, хто освоїв дроби в належний час, всі ці операції однією лівою роблять на автоматі!
І ще одне зауваження. Багато хто хвацько розправляються з дробами, але зависають на прикладах з цілимичислами. Типу: 2+1/2+3/4=? Куди пристебнути двійку? Нікуди не треба пристібати, треба з двійки дріб зробити. Це не просто, а дуже просто! 2 = 2/1. Ось так. Будь-яке ціле число можна записати як дробу. У чисельнику - саме число, у знаменнику - одиниця. 7 це 7/1, 3 це 3/1 тощо. З літерами – те саме. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 тощо. А далі працюємо з цими дробами за всіма правилами.
Ну, за додаванням - віднімання дробів знання освіжили. Перетворення дробів з одного виду на інший - повторили. Можна й перевіритись. Вирішуємо трохи?)
Обчислити:
Відповіді (безладно):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Множення/розподіл дробів - у наступному уроці. Там же завдання на всі дії з дробами.
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Події з дробами. У цій статті розберемо приклади, докладно з поясненнями. Розглядатимемо прості дроби. Надалі розберемо й десяткові. Рекомендую подивитися весь та вивчати послідовно.
1. Сума дробів, різниця дробів.
Правило: при складанні дробів з рівними знаменниками, в результаті отримуємо дріб – знаменник якої залишається той самий, а чисельник її буде дорівнює сумічисельників дробів.
Правило: при обчисленні різниці дробів з однаковими знаменниками отримуємо дріб – знаменник залишається той самий, а з чисельника першого дробу віднімається чисельник другого.
Формальний запис суми та різниці дробів з рівними знаменниками:
Приклади (1):
Зрозуміло, що коли дано прості дроби, то все просто, а якщо змішані? Нічого складного…
Варіант 1- Можна перевести їх у прості і далі обчислювати.
Варіант 2– можна окремо «працювати» з цілою та дробовою частиною.
Приклади (2):
Ще:
А якщо буде дана різниця двох змішаних дробіві чисельник першого дробу буде меншим від чисельника другого? Теж можна діяти двома способами.
Приклади (3):
*Перевели у звичайні дроби, обчислили різницю, перевели отриманий неправильний дріб у змішану.
*Розбили на цілі та дробові частини, отримали трійку, далі представили 3 як суму 2 і 1, причому одиницю представили як 11/11, далі знайшли різницю 11/11 і 7/11 і обчислили результат. Сенс викладених перетворень у тому, щоб узяти (виділити) одиницю і уявити її як дробу з потрібним нам знаменником, далі від цього дробу ми можемо відняти іншу.
Ще приклад:
Висновок: є універсальний підхід - для того, щоб обчислити суму (різницю) змішаних дробів з рівними знаменниками їх можна перевести в неправильні, далі виконати необхідну дію. Після цього якщо в результаті отримуємо неправильний дріб переводимо його в змішаний.
Вище ми розглянули приклади з дробами, які мають рівні знаменники. А якщо знаменники відрізнятимуться? У цьому випадку дроби наводяться до одного знаменника та виконується зазначена дія. Для зміни (перетворення) дробу використовується основна властивість дробу.
Розглянемо прості приклади:
У цих прикладах ми відразу бачимо як можна перетворити один із дробів, щоб отримати рівні знаменники.
Якщо позначити способи приведення дробів до одного знаменника, цей назвемо СПОСІБ ПЕРШИЙ.
Тобто відразу при «оцінці» дробу потрібно прикинути чи спрацює такий підхід – перевіряємо чи ділиться більший знаменник на менший. І якщо ділиться, то виконуємо перетворення - домножуємо чисельник і знаменник так, щоб у обох дробів знаменники стали рівними.
Тепер подивіться на ці приклади:
До них зазначений підхід не застосовується. Існують ще способи приведення дробів до спільного знаменника, розглянемо їх.
Спосіб ДРУГИЙ.
Помножуємо чисельник і знаменник першого дробу на знаменник другого, а чисельник і знаменник другого дробу на знаменник першого:
*Фактично ми наводимо дроби до виду, коли знаменники стають рівними. Далі використовуємо правило складання бояр з рівними знаменниками.
Приклад:
*Цей спосіб можна назвати універсальним, і він працює завжди. Єдиний мінус у тому, що після обчислень може вийде дріб, який необхідно буде ще скоротити.
Розглянемо приклад:
Видно, що чисельник і знаменник ділиться на 5:
Спосіб третій.
Необхідно знайти найменше загальне кратне (НОК) знаменників. Це буде спільний знаменник. Що за число таке? Це найменше натуральне число, Що ділиться на кожне з чисел.
Подивіться, ось два числа: 3 і 4, є безліч чисел, які діляться на них – це 12, 24, 36, … Найменше з них 12. Або 6 та 15, на них діляться 30, 60, 90…. Найменше 30. Питання – а як визначити це найменше загальне кратне?
Є чіткий алгоритм, але це можна зробити і відразу без обчислень. Наприклад, за наведеними вище прикладами (3 і 4, 6 і 15) ніякого алгоритму не треба, ми взяли великі числа (4 і 15) збільшили їх у два рази і побачили, що вони діляться на друге число, але пари чисел можуть бути і іншими, наприклад 51 та 119.
Алгоритм. Для того, щоб визначити найменше загальне кратне кількох чисел, необхідно:
- Розкласти кожне з чисел на Прості множники
— виписати розкладання ВЕЛИКОГО з них
— помножити його на множники інших чисел, що НЕ ДОСТАВЛЯЮТЬ
Розглянемо приклади:
50 та 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
у розкладанні більшого числане вистачає однієї п'ятірки
=> НОК(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 та 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
у розкладанні більшого числа не вистачає двійки та трійки
=> НОК(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Найменше загальне кратне двох простих чиселодно їх твору
Запитання! А чим корисне знаходження найменшого загального кратного, адже можна користуватися другим способом і отриманий дріб просто скоротити? Так, можна, але це не завжди зручно. Подивіться, який вийде знаменник для чисел 48 і 72, якщо їх просто перемножити 48 72 = 3456. Погодьтеся, що приємніше працювати з меншими числами.
Розглянемо приклади:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
у розкладанні більшого числа не вистачає трійки
=> НОК(51,119) = 3∙7∙17
А тепер застосуємо перший спосіб:
*Погляньте яка різниця в обчисленнях, у першому випадку їх мінімум, а в другому потрібно попрацювати окремо на листочку, та ще й дріб, який отримали скоротити необхідно. Знаходження НОК значно спрощує роботу.
Ще приклади:
*У другому прикладі і так видно, що найменше число, Що ділиться на 40 і 60 дорівнює 120.
ПІДСУМОК! ЗАГАЛЬНИЙ АЛГОРИТМ ВИЧИСЛЕНЬ!
- Наводимо дроби до звичайних, якщо є ціла частина.
- Наводимо дроби до спільного знаменника (спочатку дивимося чи ділиться один знаменник на інший, якщо ділиться то множимо чисельник і знаменник цього іншого дробу; якщо не ділиться діє через інших зазначених вище способів).
- отримавши дроби з рівними знаменниками, виконуємо дії (додавання, віднімання).
- Якщо необхідно, то результат скорочуємо.
- Якщо необхідно, то виділяємо цілу частину.
2. Добуток дробів.
Правило просте. При множенні дробів множаться їх чисельники та знаменники:
Приклади:
Завдання. На базу привезли 13 тонн овочів. Картопля становить ¾ від усіх завезених овочів. Скільки кілограмів картоплі завезли на базу?
З твором закінчимо.
*Раніше обіцяв вам навести формальне пояснення основної властивості дробу через твір, будь ласка:
3. Розподіл дробів.
Розподіл дробів зводиться до їх множення. Тут важливо запам'ятати, що дріб є дільником (та, на яку ділять) перевертається і дія змінюється на множення:
Ця дія може бути записана у вигляді так званого чотириповерхового дробу, адже саме розподіл «:» теж можна записати як дріб:
Приклади:
На цьому все! Успіху вам!
З повагою Олександр Крутицьких.
Інструкція
Приведення до спільного знаменника.
Нехай дані дроби a/b і c/d.
Чисельник та знаменник першого дробу множиться на НОК/b
Чисельник та знаменник другого дробу множиться на НОК/d
Приклад наведено малюнку.
Для порівняння дробів їх необхідно до спільного знаменника, потім порівняти чисельники. Наприклад, 3/4< 4/5, см. .
Складання та віднімання дробів.
Для знаходження суми двох звичайних дробів їх необхідно привести до спільного знаменника, після чого скласти чисельники, знаменник без змін. Приклад додавання дробів 1/2 і 1/3 наведено на малюнку.
Різниця дробів знаходиться аналогічним чином, після знаходження спільного знаменника, чисельники дробів віднімаються, див. на малюнку.
При множенні звичайних дробів чисельники і знаменники перемножуються між собою.
Щоб розділити два дроби, необхідно дріб другого дробу, тобто. поміняти його чисельник і знаменник, після чого зробити множення отриманих дробів.
Відео на тему
Джерела:
- дробу 5 клас на прикладі
- Основні завдання на дроби
Модульє абсолютну величинувирази. Для позначення модуля застосовують прямі дужки. В'язні в них значення вважаються взятими за модулем. Рішення модуля полягає в розкритті дужок певним правиламі знаходження безлічі значень виразу. У більшості випадків модуль розкривається таким чином, що підмодульний вираз отримує ряд позитивних і негативних значеньу тому числі і нульове значення. Виходячи з даних властивостей модуля, складаються і вирішуються далі рівняння та нерівності вихідного виразу.
Інструкція
Запишіть вихідне рівняння . Для нього розкрийте модуль. Розгляньте кожен підмодульний вираз. Визначте, при якому значенні невідомих величин, що входять до нього, вираз у модульних дужках звертається в нуль.
Для цього прирівняйте підмодульний вираз до нуля і знайдіть рівняння, що вийшло. Напишіть знайдені значення. Так само визначте значення невідомої змінної для кожного модуля в заданому рівнянні.
Намалюйте числову пряму і відкладіть отримані значення. Значення змінної в нульовому модулі будуть обмеженнями при розв'язанні модульного рівняння.
У вихідному рівнянні потрібно розкрити модульні , змінюючи знак так, щоб значення змінної відповідали відображеним на числовій прямій. Розв'яжіть отримане рівняння. Знайдене значення змінної перевірте на обмеження модуля. Якщо рішення задовольняє умову, воно є істинним. Коріння, що не задовольняє обмежень, повинні відкидатися.
Аналогічним чином розкривайте модулі вихідного виразу з урахуванням знака і обчислюйте коріння рівняння, що отримується. Запишіть усі отримані корені, що задовольняють нерівності обмеження.
Дробові числа дозволяють виражати в різному вигляді точне значеннявеличини. З дробами можна виконувати ті ж самі математичні операції, що з цілими числами: віднімання, додавання, множення і розподіл. Щоб навчитися вирішувати дроби, треба пам'ятати про деякі їх особливості. Вони залежать від виду дроби, наявності цілої частини загального знаменника. Деякі арифметичні діїпісля виконання вимагають скорочення дробової частини результату.
Вам знадобиться
- - Калькулятор
Інструкція
Уважно подивіться на числа. Якщо серед дробів є десяткові та неправильні, іноді зручніше спочатку виконати дії з десятковими, а потім перевести їх у неправильний вигляд. Можете перекласти дробиу такий вид спочатку, записавши значення після коми в чисельник і поставивши 10 знаменник. При необхідності скоротите дріб, розділивши числа вище та нижче на один дільник. Дроби, у яких виділяється ціла частина, приведіть до неправильного вигляду, помноживши її на знаменник і додавши до результату чисельник. Це значення стане новим чисельником дроби. Щоб виділити цілу частину спочатку неправильної дроби, Треба поділити чисельник на знаменник. Цілий результат записати від дроби. А залишок від поділу стане новим чисельником, знаменник дробиу своїй не змінюється. Для дробів із цілою частиною можливе виконання дій окремо спочатку для цілої, а потім для дробової частин. Наприклад, сума 1 2/3 і 2 ¾ може бути обчислена:
- Переведення дробів у неправильний вигляд:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Підсумовування окремо цілих та дробових частин доданків:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Для значень під рисою знайдіть спільний знаменник. Наприклад, для 5/9 та 7/12 загальним знаменником буде 36. Для цього чисельник та знаменник першої дробитреба помножити на 4 (вийде 28/36), а другий – на 3 (вийде 15/36). Тепер можна виконати розрахунки.
Якщо ви збираєтеся обчислювати суму або різницю дробів, спочатку запишіть знайдений спільний знаменник під межу. Виконайте необхідні діїміж чисельниками, а результат запишіть над рисою новою дроби. Таким чином, новим чисельником стане різниця чи сума чисельників початкових дробів.
Для розрахунку добутку дробів перемножте чисельники дробів та запишіть результат на місце чисельника підсумкової дроби. Те саме проробіть для знаменників. При розподілі однієї дробина інший запишіть один дріб, а потім помножте його чисельник на знаменник другого. У цьому знаменник першої дробимножиться відповідно на чисельник другий. У цьому відбувається своєрідний переворот другий дроби(Дільника). Підсумковий дріб буде з результатів множення чисельників та знаменників обох дробів. Нескладно навчитися дроби, записані за умови у вигляді «чотириповерхової» дроби. Якщо поділяє дві дроби, перепишіть їх через роздільник: і продовжіть звичайне розподіл.
Для отримання кінцевого результатуотриманий дріб скоротите, розділивши чисельник і знаменник на одне ціле число, найбільше можливе даному випадку. При цьому вище та нижче риси мають бути цілі числа.
Зверніть увагу
Не виконуйте арифметичні дії з дробами, знаменники яких відрізняються. Підберіть таке число, щоб при множенні на нього чисельника та знаменника кожного дробу в результаті знаменники обох дробів дорівнювали.
При записі дробових чиселділене пишеться над межею. Ця величина позначається як чисельник дробу. Під рисою записується дільник, чи знаменник, дроби. Наприклад, півтора кілограма рису у вигляді дробу запишеться в такий спосіб: 1 ½ кг рису. Якщо знаменник дробу дорівнює 10, такий дріб називають десятковим. При цьому чисельник (ділене) пишеться праворуч від цілої частини через кому: 1,5 кг рису. Для зручності обчислень такий дріб завжди можна записати в неправильному вигляді: 1 2/10 кг картоплі. Для спрощення можна скоротити значення чисельника та знаменника, поділивши їх на одне ціле число. У даному прикладіможливий поділ на 2. В результаті вийде 1 1/5 кг картоплі. Переконайтеся, що числа, з якими ви збираєтесь виконувати арифметичні дії, представлені в одному вигляді.
Інструкція
Клацніть один раз за пунктом меню «Вставка», а потім виберіть «Символ». Це один із самих простих способіввставки дробитексту. Полягає він у наступному. У наборі готових символів є дроби. Їх кількість, як правило, невелика, але якщо вам у тексті потрібно написати ½, а не 1/2, то для вас подібний варіант буде найоптимальнішим. Крім того, кількість символів дробів може залежати від шрифту. Наприклад, для шрифту Times New Roman дробів трохи менше, ніж для того ж Arial. Варіювати шрифтами, щоб знайти найоптимальніший варіант, якщо справа стосується простих виразів.
Клацніть по меню «Вставка» та виберіть підпункт «Об'єкт». Перед вами з'явиться вікно із переліком можливих об'єктів для вставки. Виберіть серед них Microsoft Equation 3.0. Ця програма допоможе вам друкувати дроби. Причому не лише дроби, але й складні математичні висловлювання, що містять різні тригонометричні функціїта інші елементи. Двічі клацніть по цьому об'єкту лівою кнопкою мишки. Перед вами з'явиться вікно з багатьма символами.
Щоб надрукувати дріб, виберіть символ, який зображує дріб з порожнім чисельником і знаменником. Клацніть по ньому один раз лівою кнопкою миші. З'явиться додаткове меню, яке уточнює схему самої дроби. Можливо кілька її варіантів. Виберіть найбільш підходящий для вас і клікніть по ньому один раз лівою кнопкою миші.
Приклади з дробами – один із основних елементів математики. Існує багато різних типіврівнянь із дробами. Нижче наведено докладна інструкціяза рішенням прикладів такого типу.
Як вирішувати приклади з дробами – загальні правила
Для вирішення прикладів з дробами будь-яких типів, будь то додавання, віднімання, множення або поділ, необхідно знати основні правила:
- Щоб скласти дробові вирази з однаковим знаменником (знаменник – число, що у нижній частині дробу, чисельник – у верхній), потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити тим самим.
- Щоб відняти від одного дробового виразу друге (з однаковим знаменником), треба відняти їх чисельники, а знаменник залишити тим самим.
- Щоб скласти чи відняти дробові висловлювання з різними знаменниками, потрібно знайти найменший загальний знаменник.
- Щоб знайти дробовий твір, потрібно перемножити чисельники і знаменники, у своїй, якщо є можливість, скоротити.
- Для того щоб розділити дріб на дріб, потрібно помножити перший дріб на перевернути другий.
Як вирішувати приклади з дробами – практика
Правило 1, приклад 1:
Обчислити 3/4+1/4.
Згідно з правилом 1, якщо у дробів двох (або більше) однаковий знаменник, потрібно просто скласти їх чисельники. Отримаємо: 3/4 + 1/4 = 4/4. Якщо у дробу чисельник і знаменник однакові, такий дріб дорівнюватиме 1.
Відповідь: 3/4+1/4=4/4=1.
Правило 2, приклад 1:
Обчислити: 3/4 – 1/4
Користуючись правилом номер 2, для вирішення цього рівняння потрібно від 3 відібрати 1, а знаменник залишити тим самим. Отримуємо 2/4. Так як два 2 і 4 можна скоротити, скорочуємо та отримуємо 1/2.
Відповідь: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.
Правило 3, Приклад 1
Обчислити: 3/4 + 1/6
Рішення: Користуючись 3-м правилом, знаходимо найменший спільний знаменник. Найменшим загальним знаменником називається таке число, яке ділиться на знаменники всіх дробових виразівприклад. Таким чином, нам потрібно знайти таке мінімальне число, яке буде ділитися і на 4, і на 6. Таким числом є 12. Записуємо як знаменник 12. 12 ділимо на знаменник першого дробу, отримуємо 3, множимо на 3, записуємо в чисельнику 3 *3 та знак +. 12 ділимо на знаменник другого дробу, отримуємо 2, 2 множимо на 1, записуємо в чисельнику 2*1. Отже, вийшла новий дрібіз знаменником, рівним 12 і чисельником, рівним 3*3+2*1=11. 11/12.
Відповідь: 11/12
Правило 3, Приклад 2:
Обчислити 3/4 – 1/6. Цей приклад дуже схожий на попередній. Проробляємо ті самі дії, але в чисельнику замість знака +, пишемо знак мінус. Отримуємо: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.
Відповідь: 7/12
Правило 4, Приклад 1:
Обчислити: 3/4*1/4
Користуючись четвертим правилом, множимо знаменник першого дробу на знаменник другого та чисельник першого дробу на чисельник другого. 3*1/4*4 = 3/16.
Відповідь: 3/16
Правило 4, Приклад 2:
Обчислити 2/5*10/4.
Цей дріб можна скоротити. У разі твору скорочуються чисельник першого дробу та знаменник другого та чисельник другого дробу та знаменник першого.
2 скорочується з 4. 10 скорочується з 5. отримуємо 1*2/2=1*1=1.
Відповідь: 2/5*10/4 = 1
Правило 5, Приклад 1:
Обчислити: 3/4: 5/6
Користуючись 5-м правилом, отримаємо: 3/4: 5/6 = 3/4*6/5. Скорочуємо дріб за принципом попереднього прикладу та отримуємо 9/10.
Відповідь: 9/10.
Як вирішувати приклади з дробами – дробові рівняння
Дробними рівняннями називають приклади, де в знаменнику є невідоме. Для того, щоб вирішити таке рівняння, потрібно користуватися певними правилами.
Розглянемо приклад:
Розв'язати рівняння 15/3x+5 = 3
Згадаймо, не можна ділити на нуль, тобто. значення знаменника не повинно дорівнювати нулю. При вирішенні таких прикладів це потрібно обов'язково вказувати. І тому існує ОДЗ (область допустимих значень).
Таким чином, 3x+5 ≠ 0.
Звідси: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3
При x = 5/3 рівняння просто немає рішення.
Вказавши ОДЗ, найкращим способомвирішити дане рівняннябуде позбутися дробів. Для цього спочатку представимо всі дробові значення у вигляді дробу, в даному випадку число 3. Отримаємо: 15/(3x+5) = 3/1. Щоб позбавитися дробу потрібно помножити кожну з них на найменший спільний знаменник. У цьому випадку таким буде (3x+5)*1. Послідовність дій:
- Множимо 15/(3x+5) на (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
- Розкриваємо дужки: 15 * (3x + 5) = 45x + 75.
- Те саме проробляємо з правою частиною рівняння: 3*(3x+5) = 9x + 15.
- Прирівнюємо ліву та праву частину: 45x + 75 = 9x +15
- Переносимо ікси вліво, числа праворуч: 36x = – 50
- Знаходимо x: x = -50/36.
- Скорочуємо: -50/36 = -25/18
Відповідь: ОДЗ x ≠ 5/3 . x = -25/18.
Як вирішувати приклади з дробами – дробові нерівності
Дробові нерівності типу (3x-5)/(2-x)≥0 вирішуються за допомогою числової осі. Розглянемо цей приклад.
Послідовність дій:
- Прирівнюємо чисельник та знаменник до нуля: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2 - Рисуємо числову вісь, розписуючи на ній значення, що вийшло.
- Під значення малюємо кружок. Гурток буває двох типів – заповнений та порожній. Заповнений гурток означає, що це значення входить у ареал рішень. Порожнє коло свідчить, що це значення входить у ареал рішень.
- Оскільки знаменник не може бути рівним нулю, під другою буде порожній круг.
- Щоб визначити знаки, підставляємо в рівняння будь-яке число більше двох, наприклад, 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. значення негативне, отже над областю після двійки пишемо мінус. Потім замість ікса підставляємо будь-яке значення інтервалу від 5/3 до 2, наприклад 1. Значення знову негативне. Пишемо мінус. Те саме повторюємо з областю, що знаходиться до 5/3. Підставляємо будь-яке число менше 5/3, наприклад 1. Знову мінус.
- Так як нас цікавлять значення ікса, при якому вираз буде більшим або дорівнює 0, а таких значень немає (скрізь мінуси), ця нерівність не має рішення, тобто x = Ø (порожнє безліч).
Відповідь: x = Ø