Тотожні перетворення висловлювань – це з змістовних ліній шкільного курсу математики. Тотожні перетворення широко використовуються при розв'язанні рівнянь, нерівностей, систем рівнянь та нерівностей. Крім того тотожні перетворення виразів сприяють розвитку кмітливості, гнучкості та раціональності мислення.
Пропоновані матеріали призначені для учнів 8 класу і включають теоретичні основи тотожних перетворень раціональних і ірраціональних виразів, типи завдань на перетворення таких виразів і текст контрольної роботи.
1. Теоретичні основи тотожних перетворень
Виразами в алгебрі називають записи, які з чисел і літер, з'єднаних знаками дій.
https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" width="77" height="21 src=">.gif" width="20" height="21 src="> – алгебраїчні вирази.
Залежно від операцій розрізняють раціональні та ірраціональні вирази.
Алгебраїчні вирази називають раціональними, якщо щодо букв, що входять до нього а, b, з, … не виконується жодних інших операцій, крім операцій складання, множення, віднімання, поділу та зведення в цілий ступінь.
Алгебраїчні вирази, що містять операції вилучення кореня зі змінної або зведення змінної до раціонального ступеня, що не є цілим числом, називаються ірраціональними щодо цієї змінної.
Тотожним перетворенням даного виразу називається заміна одного виразу іншим, тотожно рівним йому на деякій множині.
В основі тотожних перетворень раціональних та ірраціональних виразів лежать такі теоретичні факти.
1. Властивості ступенів із цілим показником:
, nÎN; а 1=а;
, nÎN, а¹0; а 0=1, а¹0;
, а¹0;
, а¹0;
, а¹0;
, а¹0, b¹0;
, а¹0, b¹0.
2. Формули скороченого множення:
де а, b, з- Будь-які дійсні числа;
Де а¹0, х 1 та х 2 – коріння рівняння 
.
3. Основна властивість дробу та дії над дробами:
, де b¹0, з¹0;
; 
;
4. Визначення арифметичного кореня та його властивості:
; , b¹0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" width="84" height="32">; 
,
де а, b- Невід'ємні числа, nÎN, n³2, mÎN, m³2.
1. Типи вправ на перетворення виразів
Існують різні типи вправ на тотожні перетворення виразів. Перший тип: явно вказано перетворення, яке необхідно виконати.
Наприклад.
1. Подайте у вигляді многочлена.
При виконанні зазначеного перетворення використовували правила множення та віднімання багаточленів, формулу скороченого множення та приведення подібних доданків.
2. Розкладіть на множники: 
.
При виконанні перетворення використовували правило винесення загального множника за дужку та 2 формули скороченого множення.
3. Скоротіть дріб:
.
При виконанні перетворення використовували винесення загального множника за дужку, переміщувальний та скорочувальний закони, 2 формули скороченого множення, дії над ступенями.
4. Винесіть множник з-під знаку кореня, якщо а³0, b³0, з³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" width="432" height="27">
Використовували правила дій над корінням та визначення модуля числа.
5. Позбавтеся ірраціональності в знаменнику дробу 
.
Другий типвправ – це вправи, у яких явно зазначено головне перетворення, яке потрібно виконати. У таких вправах вимога зазвичай сформульовано у одному з видів: спростити вираз, обчислити. При виконанні таких вправ необхідно перш за все виявити, які і в якому порядку необхідно виконати перетворення, щоб вираз набув більш компактного вигляду, ніж дане, або вийшов числовий результат.
Наприклад
6. Спростіть вираз:
Рішення:
.
Використовували правила дій над алгебраїчними дробами та формули скороченого множення.
7. Спростити вираз:
.
Якщо а³0, b³0, а¹ b.
Використовували формули скороченого множення, правила складання дробів і множення ірраціональних виразів, тотожність.
Використовували операцію виділення повного квадрата, тотожність, якщо .
Доведення:
Так як , то і або або або , тобто .
Використовували умову та формулу суми кубів.
Треба мати на увазі, що умови, що зв'язують змінні, можуть бути задані і вправах перших двох типів.
Наприклад.
10. Знайдіть, якщо .
На даному уроці будуть розглянуті основні відомості про раціональні вирази та їх перетворення, а також приклади перетворення раціональних виразів. Ця тема хіба що узагальнює вивчені до цього теми. Перетворення раціональних виразів мають на увазі додавання, віднімання, множення, розподіл, зведення в ступінь алгебраїчних дробів, скорочення, розкладання на множники і т. п. У рамках уроку ми розглянемо, що таке раціональне вираження, а також розберемо приклади на їхнє перетворення.
Тема:Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами
Урок:Основні відомості про раціональні висловлювання та їх перетворення
Визначення
Раціональний вираз- це вираз, що складається з чисел, змінних, арифметичних операцій та операції зведення у ступінь.
Розглянемо приклад раціонального виразу:
Приватні випадки раціональних виразів:
1. ступінь: 
;
2. одночлен: ;
3. дріб: .
Перетворення раціонального вираження- це спрощення раціонального вираження. Порядок дій при перетворенні раціональних виразів: спочатку йдуть дії в дужках, потім операції множення (поділу), а потім уже операції додавання (віднімання).
Розглянемо кілька прикладів перетворення раціональних выражений.
Приклад 1
Рішення:
Розв'яжемо цей приклад за діями. Першим виконується дія у дужках.
Відповідь:
Приклад 2
Рішення:
Відповідь:
Приклад 3
Рішення:
Відповідь: .
Примітка:можливо, у вас побачивши даний приклад виникла ідея: скоротити дріб перед тим, як призводити до спільного знаменника. Справді, вона є абсолютно правильною: спочатку бажано максимально спростити вираз, а потім його перетворювати. Спробуємо вирішити цей приклад другим способом.
Як бачимо, відповідь вийшла абсолютно аналогічною, а ось рішення виявилося дещо простішим.
На цьому уроці ми розглянули раціональні висловлювання та їх перетворення, і навіть кілька конкретних прикладів даних перетворень.
Список літератури
1. Башмаков М.І. Алгебра 8 клас. - М: Просвітництво, 2004.
2. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.
Раціональні вирази та дроби — наріжний пункт усього курсу алгебри. Ті, хто навчаться працювати з такими висловлюваннями, спрощувати їх і розкладати на множники, по суті зможуть вирішити будь-яке завдання, оскільки перетворення виразів є невід'ємною частиною будь-якого серйозного рівняння, нерівності і навіть текстового завдання.
У цьому відеоуроці ми подивимося, як грамотно застосовувати формули скороченого множення для спрощення раціональних виразів та дробів. Навчимося бачити ці формули там, де на перший погляд нічого немає. Заодно повторимо такий нехитрий прийом, як розкладання квадратного тричлену на множники через дискримінант.
Як ви вже напевно здогадалися за формулами за моєю спиною, сьогодні ми вивчатимемо формули скороченого множення, а, точніше, не самі формули, а їх застосування для спрощення та скорочення складних раціональних виразів. Але, перш ніж переходити до вирішення прикладів, познайомимося ближче з цими формулами або згадаємо їх:
- $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ - різниця квадратів;
- $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ — квадрат суми;
- $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ — квадрат різниці;
- $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ - сума кубів;
- $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ - Різниця кубів.
p align="justify"> Ще хотів би відзначити, що наша шкільна система освіти влаштована таким чином, що саме з вивченням цієї теми, тобто. раціональних виразів, а також коренів, модулів у всіх учнів виникає та сама проблема, яку я зараз поясню.
Справа в тому, що на початку вивчення формул скороченого множення і, відповідно, дій зі скорочення дробів (це десь 8 клас) вчителі говорять щось таке: «Якщо вам щось незрозуміло, то ви не переживайте, ми до цій темі ще повернемося неодноразово, у старших класах так точно. Ми це ще розберемо». Ну а потім на рубежі 9-10 класу ті самі вчителі пояснюють тим самим учням, які так і не знають, як вирішувати раціональні дроби, приблизно таке: «А де ви були попередні два роки? Це ж вивчалося на алгебрі у 8 класі! Чого може бути незрозумілого? Це ж так очевидно!».
Однак звичайним учням від таких пояснень анітрохи не легше: у них як була каша в голові, так і залишилася, тому прямо зараз ми розберемо два прості приклади, на підставі яких і подивимося, яким чином у справжніх завданнях виділяти ці висловлювання, які приведуть нас до формулам скороченого множення і як потім застосовувати це для перетворення складних раціональних виразів.
Скорочення простих раціональних дробів
Завдання №1
\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]
Перше, чого нам треба навчитися — виділяти у вихідних виразах точні квадрати і вищі ступеня, на основі яких ми зможемо потім застосовувати формули. Давайте подивимося:
Перепишемо вираз з урахуванням цих фактів:
\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x) \right))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \right)\left(3 ((y)^(2))+4x \right))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]
Відповідь: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.
Завдання № 2
Переходимо до другого завдання:
\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]
Спрощувати тут нічого, тому що в чисельнику стоїть константа, але я запропонував це завдання саме для того, щоб ви навчилися розкладати на множники багаточлени, що містять дві змінні. Якби замість нього був написаний нижче багаточлен, як би ми розклали його?
\[((x)^(2))+5x-6=\left(x-... \right)\left(x-... \right)\]
Давайте розв'яжемо рівняння і знайдемо $x$, які ми зможемо поставити замість точок:
\[((x)^(2))+5x-6=0\]
\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]
\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]
Ми можемо переписати тричлени таким чином:
\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\left(x-1 \right)\left(x+6 \right)\]
З квадратним тричленом ми навчилися працювати — для цього і треба було записати цей відеоурок. А що робити, якщо крім $x$ і константи є ще $y$? Давайте розглянемо як ще одні елементи коефіцієнтів, тобто. перепишемо наш вираз таким чином:
\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]
\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]
\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]
Запишемо розкладання нашої квадратної конструкції:
\[\left(x-y \right)\left(x+6y \right)\]
Якщо ми повернемося до вихідного виразу і перепишемо його з урахуванням змін, то отримаємо наступне:
\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]
Що нам дає такий запис? Нічого, тому що його не скоротити, воно ні на що не множиться та не ділиться. Однак як тільки цей дріб виявиться складовою складнішого вираження, подібне розкладання виявиться до речі. Тому як тільки ви бачите квадратний тричлен (неважливо, чи обтяжений додатковими параметрами чи ні), завжди намагайтеся розкласти його на множники.
Нюанси рішення
Запам'ятайте основні правила перетворення раціональних виразів:
- Усі знаменники і чисельники необхідно розкладати на множники через формули скороченого множення, або через дискримінант.
- Працювати потрібно за таким алгоритмом: коли ми дивимося і намагаємося виділити формулу скороченого множення, то, перш за все, намагаємося все перевести на максимально можливий ступінь. Після цього виносимо за дужку загальний ступінь.
- Дуже часто зустрічатимуться вирази з параметром: як коефіцієнти виникатимуть інші змінні. Їх ми бачимо за формулою квадратного розкладання.
Таким чином, як тільки ви бачите раціональні дроби, перше, що потрібно зробити - це розкласти і чисельник, і знаменник на множники (лінійні вирази), при цьому ми використовуємо формули скороченого множення або дискримінант.
Погляньмо на пару таких раціональних виразів і спробуємо їх розкласти на множники.
Рішення складніших прикладів
Завдання №1
\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]
Переписуємо і намагаємося розкласти кожен доданок:
Давайте перепишемо все наше раціональне вираження з урахуванням цих фактів:
\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\left(3y \right))^(3)))=\]
\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right))=-1\]
Відповідь: $-1$.
Завдання № 2
\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]
Давайте розглянемо всі дроби.
\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\left(x-2 \right))^(2))\]
Перепишемо всю конструкцію з урахуванням змін:
\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]
\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \left(x-2 \right))\]
Відповідь: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.
Нюанси рішення
Отже, чому ми щойно навчилися:
- Не кожен квадратний тричлен розкладається на множники, зокрема, це стосується неповного квадрату суми чи різниці, які часто зустрічаються як частини кубів суми чи різниці.
- Константи, тобто. Звичайні числа, які мають при собі змінних, також можуть виступати активними елементами у процесі розкладання. По-перше, їх можна виносити за дужки, по-друге, самі константи можуть бути у вигляді ступенів.
- Дуже часто після розкладання всіх елементів на множники виникають протилежні конструкції. Скорочувати ці дроби потрібно вкрай акуратно, тому що при закресленні або зверху, або знизу виникає додатковий множник $-1$ - це якраз і є наслідок того, що вони протилежні.
Вирішення складних завдань
\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]
Розглянемо кожне доданок окремо.
Перший дріб:
\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]
\[((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)\]
Весь чисельник другого дробу ми можемо переписати так:
\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]
Тепер подивимося на знаменник:
\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right) ))^(2))\]
Давайте перепишемо все раціональне вираження з урахуванням вищенаведених фактів:
\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right)))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2) )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]
\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]
Відповідь: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.
Нюанси рішення
Як ми вкотре переконалися, неповні квадрати суми чи неповні квадрати різниці, які найчастіше трапляються у реальних раціональних висловлюваннях, проте годі їх лякатися, оскільки після перетворення кожного елемента вони завжди скорочуються. Крім того, в жодному разі не варто боятися великих конструкцій у підсумковій відповіді — цілком можливо, що це не ваша помилка (особливо якщо все розкладено на множники), а це автор задумав таку відповідь.
На закінчення хотілося б розібрати ще один складний приклад, який вже не відноситься безпосередньо до раціональних дробів, проте він містить все те, що чекає на справжніх контрольних та іспитах, а саме: розкладання на множники, приведення до спільного знаменника, скорочення подібних доданків. Саме цим ми зараз і займемося.
Вирішення складного завдання на спрощення та перетворення раціональних виразів
\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]
Спочатку розглянемо і розкриємо першу дужку: в ній ми бачимо три окремі дроби з різними знаменниками, тому перше, що нам необхідно зробити - це привести всі три дроби до спільного знаменника, а для цього кожен з них слід розкласти на множники:
\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]
\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \right)\]
Перепишемо всю нашу конструкцію так:
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x -2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))-\frac(1)(x-2)=\]
\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2) )) \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]
\[=\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \right))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]
Це результат обчислень із першої дужки.
Розбираємось з другою дужкою:
\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(x+2 \) right)\]
Перепишемо другу дужку з урахуванням змін:
\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]
Тепер запишемо всю вихідну конструкцію:
\[\frac(x-2)((((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]
Відповідь: $\frac(1)(x+2)$.
Нюанси рішення
Як бачите, відповідь вийшла цілком осудна. Однак зверніть увагу: дуже часто при таких масштабних обчисленнях, коли єдина змінна опиняється лише в знаменнику, учні забувають, що це знаменник і він повинен стояти внизу дробу і пишуть цей вираз у чисельник — груба помилка.
Крім того, хотів би звернути вашу окрему увагу на те, як оформлюються такі завдання. У будь-яких складних обчисленнях всі кроки виконуються за діями: спочатку окремо рахуємо першу дужку, потім окремо другу і лише наприкінці ми об'єднуємо всі частини та рахуємо результат. Таким чином ми страхуємо себе від дурних помилок, акуратно записуємо всі викладки і при цьому анітрохи не витрачаємо зайвого часу, як це може здатися на перший погляд.
Стаття розповідає про перетворення раціональних виразів. Розглянемо види раціональних виразів, їх перетворення, угруповання, винесення за дужки загального множника. Навчимося представляти дробові раціональні вирази у вигляді раціональних дробів.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Визначення та приклади раціональних виразів
Визначення 1Вирази, складені з чисел, змінних, дужок, ступенів з діями складання, віднімання, множення, поділу з наявністю риси дробу, називають раціональними виразами.
Для прикладу маємо, що 5 , 2 3 · x - 5 , - 3 · a · b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) · (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .
Тобто це такі вирази, які не мають поділу на вирази зі змінними. Вивчення раціональних виразів починається з 8 класу, де їх називають дробовими раціональними виразами. Особливу увагу приділяють дробам у чисельнику, які перетворюють за допомогою правил перетворення.
Це дозволяє переходити до перетворення раціональних дробів довільного вигляду. Такий вираз може бути розглянуто як вираз із наявністю раціональних дробів та цілих виразів зі знаками дій.
Основні види перетворень раціональних виразів
Раціональні вирази використовуються для того, щоб виконувати тотожні перетворення, угруповання, приведення подібних, виконання інших дій з числами. Мета таких виразів – це спрощення.
Приклад 1
Перетворити раціональний вираз 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .
Рішення
Видно, що такий раціональний вираз - це різниця 3 · x x · y - 1 і 2 · x x · y - 1 . Зауважуємо, що знаменник у них ідентичний. Це означає, що приведення подібних доданків набуде вигляду
3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 · 3 - 2 = x x · y - 1
Відповідь: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .
Приклад 2
Виконати перетворення 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .
Рішення
Спочатку виконуємо дії в дужках 3 · x − x = 2 · x. Даний вираз представляємо у вигляді 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x . Ми приходимо до виразу, який містить дії з одним щаблем, тобто має додавання та віднімання.
Позбавляються від дужок за допомогою застосування властивості поділу. Тоді отримуємо, що 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x .
Групуємо числові множники зі змінною x , після цього можна виконувати дії зі ступенями. Отримуємо, що
2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x = (2 · (- 4) : 2) · (x · x 2: x) · y 4 = - 4 · x 2 · y 4
Відповідь: 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = - 4 · x 2 · y 4 .
Приклад 3
Перетворити вираз виду x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .
Рішення
Спочатку перетворюємо чисельник і знаменник. Тоді отримуємо вираз виду (x · (x + 3) - (3 · x + 1)) : 1 2 · x · 4 + 2, причому дії в дужках роблять в першу чергу. У чисельнику виконуються дії та групуються множники. Після чого отримуємо вираз виду x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .
Перетворимо на чисельнику формулу різниці квадратів, тоді отримуємо, що
x 2 - 1 2 · x + 2 = (x - 1) · (x + 1) 2 · (x + 1) = x - 1 2
Відповідь: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .
Подання у вигляді раціонального дробу
Алгебраїчна дріб найчастіше піддається спрощенню при вирішенні. Кожне раціональне призводить до цього різними способами. Необхідно виконати всі необхідні дії з багаточленами для того, щоб раціональний вираз у результаті зміг дати раціональний дріб.
Приклад 4
Подати у вигляді раціонального дробу a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a .
Рішення
Даний вираз можна подати у вигляді a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. Множення виконується насамперед за правилами.
Слід почати з множення, тоді матимемо, що
a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a - 5 · (a + 5) a + 3 · 1 a · (a + 5) = a - 5 · (a + 5) · 1 ( a + 3) · a · (a + 5) = a - 5 (a + 3) · a
Проводимо уявлення отриманого результату з вихідним. Отримаємо, що
a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a
Тепер виконуємо віднімання:
a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) · a · (a - 3) = = a + 5 · a + 3 - (a - 5) · (a - 3) a · (a - 3) · (a + 3) = a 2 + 3 · a + 5 · a + 15 - (a 2 - 3 · a - 5 · a + 15) a · (a - 3) · (a + 3) = = 16 · a a · (a - 3) · (a + 3) = 16 a - 3 · (a + 3) = 16 a 2 - 9
Після чого очевидно, що вихідний вираз набуде вигляду 16 a 2 - 9 .
Відповідь: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .
Приклад 5
Уявити x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x у вигляді раціонального дробу.
Рішення
Задане вираз записується як дріб, у чисельнику якої є x x + 1 + 1 , а знаменнику 2 · x - 1 1 + x . Необхідно зробити перетворення x x + 1 + 1 . Для цього потрібно виконати складання дробу та числа. Отримуємо, що x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 · x + 1 x + 1
Слід, що x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 2 · x - 1 1 + x
Дріб, що вийшов, може бути записана як 2 · x + 1 x + 1: 2 · x - 1 1 + x .
Після поділу прийдемо до раціонального дробу виду
2 · x + 1 x + 1: 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = 2 · x + 1 · (1 + x) (x + 1) · (2 · x - 1) = 2 · x + 1 2 · x - 1
Можна вирішити це інакше.
Замість поділу на 2 · x - 1 1 + x множимо на зворотну їй 1 + x 2 · x - 1 . Застосуємо розподільну властивість і отримуємо, що
x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 · x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = = x x + 1 · 1 + x 2 · x - 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = x · 1 + x (x + 1) · 2 · x - 1 + 1 + x 2 · x - 1 = = x 2 · x - 1 + 1 + x 2 · x - 1 = x + 1 + x 2 · x - 1 = 2 · x + 1 2 · x - 1
Відповідь: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter