Розглянемо розв'язання тригонометричних нерівностей виду tgx>a та tgx одиничного кола.
Для вирішення нам знадобиться креслення одиничного кола і . Радіус одиничного кола дорівнює 1, тому, відкладаючи на лінії тангенсів відрізки, довжина яких дорівнює радіусу, отримуємо відповідно точки, в яких тангенс дорівнює 1, 2, 3 і т.д., а вниз -1,-2,-3 і і т.д.
На лінії тангенсів значенням тангенсів, великим a відповідає частина, розташована вище точки а. Заштриховуємо відповідний промінь. Тепер проводимо пряму через точку О - початок відліку-і точку а на лінії тангенсів. Вона перетинає коло в точці arctga. Відповідно, на колі рішенню нерівності tgx>a відповідає дуга від точки arctg a до п/2. Щоб зважити на всі рішення (а їх з урахуванням періодичності тангенсу — нескінченна безліч), до кожного кінця інтервалу додаємо пn, де n - ціле число (n належить Z).
Для вирішення нерівності tgx>a цілком достатньо півкола від -п/2 до п/2. Але якщо потрібно визначити, наприклад, розв'язання системи нерівностей з тангенсом і синусом, то потрібне все коло.
Якщо нерівність несувора, точку з arctg a включаємо у відповідь (на малюнку її заштриховуємо, у відповідь записуємо з квадратною дужкою). Точка п/2 у відповідь ніколи не включається, оскільки не входить у область визначення тангенсу (точка виколота, дужка кругла).
Щоб розв'язати нерівність tgx>-a, міркуємо так само як і для нерівності tgx>a. Оскільки arctg(-a)=-arctg a, тільки цим і відрізняється відповідь.
У цьому випадку розв'язання нерівності tgx
Вирішення нерівності tgx<-a аналогично решению неравенства tgx
Розглянемо конкретний приклад розв'язання нерівності з тангенсом. Розв'язати нерівність tgx<-1
Таким чином, розв'язання нерівності tgx<-1 есть открытый промежуток (-п/2+пn; -п/4+пn). Розв'язання тригонометричних нерівностей за допомогою одиничного кола При розв'язанні тригонометричних нерівностей виду, де --- одна з тригонометричних функцій, зручно використовувати тригонометричне коло для того, щоб наочно надати розв'язання нерівності і записати відповідь. Основним методом розв'язання тригонометричних нерівностей є зведення їх до найпростіших нерівностей типу. Розберемо з прикладу, як вирішувати такі нерівності. Приклад Вирішіть нерівність. Рішення. Намалюємо тригонометричне коло і відзначимо у ньому точки, котрим ординату перевершує. Для вирішення цієї нерівності будуть. Зрозуміло також, що якщо деяке число відрізнятиметься від якогось числа із зазначеного інтервалу на, то також буде не менше. Отже, до кінців знайденого відрізка рішення потрібно додати. Звісно, отримуємо, що рішеннями вихідної нерівності будуть усі. Для вирішення нерівностей з тангенсом та котангенсом корисно поняття про лінію тангенсів та котангенсів. Такими є прямі та відповідно (на малюнку (1) та (2)), що стосуються тригонометричного кола. Легко помітити, що якщо побудувати промінь з початком на початку координат, що становить кут з позитивним напрямом осі абсцис, то довжина відрізка від точки до точки перетину цього променя з лінією тангенсів точно дорівнює тангенсу кута, який становить цей промінь з віссю абсцис. Аналогічне спостереження має місце й у котангенсу. Приклад Вирішіть нерівність. Рішення. Позначимо, тоді нерівність набуде вигляду найпростішого: . Розглянемо інтервал довжиною, що дорівнює найменшому позитивному періоду (НВП) тангенсу. На цьому відрізку за допомогою лінії тангенсів встановлюємо що. Згадуємо тепер, що потрібно додати, оскільки НПП функції. Отже, . Повертаючись до змінної, отримуємо, що Нерівності із зворотними тригонометричними функціями зручно вирішувати з використанням графіків зворотних тригонометричних функцій. Покажемо, як це робиться на прикладі. Розв'язання тригонометричних нерівностей графічним методом Зауважимо, що якщо --- періодична функція, то для вирішення нерівності необхідно знайти його рішення на відрізку, довжина якого дорівнює періоду функції. Усі рішення вихідної нерівності будуть складатися зі знайдених значень, а також усіх, що відрізняються від знайдених на будь-яку кількість періодів функції Розглянемо розв'язання нерівності (). Оскільки, то за нерівності рішень не має. Якщо, то безліч розв'язків нерівності - безліч всіх дійсних чисел. Нехай. Функція синус має найменший позитивний періодтому нерівність можна вирішити спочатку на відрізку довжиною, наприклад, на відрізку. Будуємо графіки функцій та (). На відрізку функція синус зростає, і рівняння, де має один корінь. На відрізку функція синус зменшується, і рівняння має корінь. На числовому проміжку графік функції розташований вище за графік функції. Тому для всіх проміжків) нерівність виконується, якщо. З огляду на періодичності функції синус всі рішення нерівності задаються нерівностями виду: . Вирішувати нерівності з тангенсом ми будемо за допомогою одиничного кола. Приклад 1:Вирішити нерівність: $(\rm tg)(x) \leq 1.$ Таким чином, рішення набуде вигляду: $x \in \left(-\frac(\pi)(2) + \pi n; \frac(\pi)(4) + \pi n\right], \ n \in Z.$ Важливо!Точки $-\frac(\pi)(2)$ і $\frac(\pi)(2)$ у тангенсу завжди (незалежно від знаку нерівності)виколоти! Приклад 2:Вирішити нерівність: $(\rm tg)(x) > – \sqrt(3).$ Зазначаємо на лінії тангенса точку $- \sqrt(3)$ і проводимо пряму з початку координат до неї. Точка перетину цієї прямої з півколом буде не зафарбованою, оскільки нерівність сувора. Область буде вище прямий і по колу, оскільки знак нерівності $>$. знайдемо точку перетину: $x_(1) = (\rm arctg)(\left(-\sqrt(3)\right)) = -\frac(\pi)(3).$ $t \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\right).$ Повертаємося до вихідної змінної: $\left(2x-\frac(\pi)(3)\right) \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\right).$ Останнє рівносильне системі нерівностей $\left\(\begin(array)(c) 2x-\frac(\pi)(3) > -\frac(\pi)(3) + \pi n, \\ 2x-\frac(\pi) (3)< \frac{\pi}{2}+\pi n, \end{array} \right.$ вирішивши яку ми отримаємо відповідь. Справді, $\left\(\begin(array)(c) 2x > \pi n, \\ 2x< \frac{5 \pi}{6} + \pi n, \end{array} \right.$ $\left\(\begin(array)(c) x > \frac(\pi n)(2), \\ x< \frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \end{array} \right. $ І остаточно отримуємо: $x \in \left(\frac(\pi n)(2); \frac(5\pi)(12) + frac(\pi n)(2)\right), \ n \in Z.$ Нерівності – це співвідношення виду a › b, де a та b – є вирази, що містять як мінімум одну змінну. Нерівності можуть бути строгими – ‹, › та нестрогими – ≥, ≤. Тригонометричні нерівності є виразами виду: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в яких F(x) представлено однією або декількома тригонометричними функціями. Прикладом найпростішої тригонометричної нерівності є: sin x ‹ 1/2. Вирішувати подібні завданняприйнято графічно, при цьому розроблені два способи. Щоб знайти проміжок, що задовольняє умовам нерівність sin x ‹ 1/2, необхідно виконати такі дії: Коли у виразі є суворі знаки, точки перетину не є рішеннями. Оскільки найменший позитивний період синусоїди дорівнює 2π, то запишемо відповідь так: Якщо знаки висловлювання несуворі, то інтервал рішень необхідно укласти в квадратні дужки- . Відповідь завдання можна також записати у вигляді чергової нерівності: Подібні завдання легко вирішуються і за допомогою тригонометричного кола. Алгоритм пошуку відповідей дуже простий: Розберемо етапи рішення на прикладі нерівності sin x › 1/2. На колі відзначені точки α та β – значення Точки дуги, розташовані вище α та β, є інтервалом розв'язання заданої нерівності. Якщо потрібно вирішити приклад для cos, то дуга відповідей розташовуватиметься симетрично осі OX, а не OY. Розглянути різницю між інтервалами рішень для sin та cos можна на схемах, наведених нижче за текстом. Графічні рішення для нерівностей тангенсу та котангенсу відрізнятимуться і від синуса, і від косинуса. Це зумовлено властивостями функцій. Арктангенс і арккотангенс є дотичні до тригонометричного кола, а мінімальний позитивний період для обох функцій дорівнює π. Щоб швидко і правильно користуватися другим способом, потрібно запам'ятати на якій осі відкладаються значення sin, cos, tg та ctg. Дотична тангенс проходить паралельно осі OY. Якщо відкласти значення arctg a на одиничному колі, друга необхідна точка буде розташовано в діагональній чверті. Кути Є точками розриву для функції, оскільки графік прагне них, але не досягає. Що стосується котангенсом дотична проходить паралельно осі OX, а функція переривається у точках π і 2π. Якщо аргумент функції нерівності представлений не просто змінною, а цілим виразом, що містить невідому, то мова вже йде про складній нерівності. Хід і порядок його вирішення дещо відрізняються від способів, описаних вище. Допустимо необхідно знайти рішення наступної нерівності: Графічне рішення передбачає побудову звичайної синусоїди y = sin x за довільно вибраними значеннями x. Розрахуємо таблицю з координатами для опорних точок графіка: В результаті має вийти красива крива. Для простоти пошуку рішення замінимо складний аргументфункції Більшість студентів тригонометричні нерівностінедолюблюють. А дарма. Як казав один персонаж, "Ви просто не вмієте їх готувати" Бо ж “готувати” і з чим подавати нерівність із синусом ми розберемося у цій статті. Вирішувати ми будемо самим простим способом- За допомогою одиничного кола. Отже, насамперед нам знадобиться наступний алгоритм. Важливо: дцей алгоритм не працюєдля нерівностей виду $ sin (x) > 1; \ sin(x) \geq 1, \ sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$. Важливо також відзначити такі випадки, які набагато зручніше вирішити логічно, не використовуючи вищезазначений алгоритм. Окремий випадок 1.
Вирішити нерівність: $\sin(x) \leq 1.$ Через те, що область значення тригонометричної функції$y=\sin(x)$ не більше за модулем $1$, то ліва частинанерівності за будь-якого$x$ з області визначення (а область визначення синусу – все дійсні числа) не більше $1$. Отже, у відповідь ми записуємо: $x \in R$. Наслідок: $\sin(x) \geq -1.$ Окремий випадок 2.Вирішити нерівність: $\sin(x)< 1.$ Застосовуючи аналогічні окремому випадку 1 міркування, отримаємо, що ліва частина нерівності менше $1$ для всіх $x \in R$, крім точок, що є рішенням рівняння $\sin(x) = 1$. Вирішуючи це рівняння, матимемо: $x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$ Отже, у відповідь ми записуємо: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$. Наслідок:аналогічно вирішується і нерівність $\sin(x) > -1.$ Приклад 1:Вирішити нерівність: $\sin(x) \geq \frac(1)(2).$ Таким чином, рішення набуде вигляду: $x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \ n \in Z.$ Приклад 2:Вирішити нерівність: $\sin(x)< -\frac{1}{2}$ Зазначимо на осі синусів координату $- \frac(1)(2)$ і проведемо пряму паралельно осі косінусів і проходить через цю точку. Зазначимо точки перетину. Вони будуть не зафарбовані, тому що нерівність сувора. Знак нерівності $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его: $\sin(x)=-\frac(1)(2)$ $x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n $. Вважаючи далі $n=0$, знаходимо першу точку перетину: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Наша область йде в негативному напрямку від першої точки, значить $n$ вважаємо рівним $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)(6) + \pi \ cdot (-1) = - \ pi + \ frac (\ pi) (6) = - \ frac (5 \ pi) (6) $. $x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \ n \in Z.$ Приклад 3:Вирішити нерівність: $1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$ Цей приклад вирішувати відразу за допомогою алгоритму не можна. Спочатку його треба перетворити. Робимо точно так, як робили б з рівнянням, але не забуваємо про знак. Розподіл чи множення на негативне число змінює його протилежний! Отже, перенесемо все, що не містить тригонометричної функції в праву частину. Отримаємо: $- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$ Розділимо ліву та праву частину на $-2$ (не забуваємо про знак!). Матимемо: $\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$ Знову вийшла нерівність, яку ми не можемо вирішити за допомогою алгоритму. Але тут вже достатньо зробити заміну змінною: $t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$ Отримуємо тригонометричну нерівність, яку можна вирішити за допомогою алгоритму: $\sin(t) \geq \frac(1)(2).$ Ця нерівність була вирішена в прикладі 1, тому запозичимо звідти відповідь: $t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$ Проте рішення ще не закінчилося. Нам потрібно повернутись до вихідної змінної. $(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$ Уявимо проміжок у вигляді системи: $\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi(array) \right.$ У лівих частинах системи стоїть вираз ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), який належить проміжку. За першу нерівність відповідає ліва межа проміжку, а за другу – права. Причому дужки відіграють важливу роль: якщо дужка квадратна, то нерівність буде несуворим, а якщо кругла, то суворим. наше завдання отримати зліва $x$ в обох нерівностях. Перенесемо $\frac(\pi)(6)$ з лівої частини в праві, отримаємо: $\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n - \frac(\pi)(6) \end(array) \right.$ Спрощуючи, матимемо: $\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n. Помножуючи ліві та праві частини на $4$, отримаємо: $\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $ Збираючи систему у проміжок, отримаємо відповідь: $x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \ n \in Z.$
Алгоритм розв'язання нерівностей з тангенсом:
Приклади розв'язання нерівностей за допомогою алгоритму.
Спосіб 1 - Вирішення нерівностей за допомогою побудови графіка функції
Спосіб 2 - Розв'язання тригонометричних нерівностей за допомогою одиничного кола
Складні тригонометричні нерівності
Алгоритм розв'язання нерівностей із синусом:
Обмеження алгоритму
Приватні випадки при вирішенні нерівності із синусом
Приклади розв'язання нерівностей за допомогою алгоритму.
Отже, розв'язанням цієї нерівності буде проміжок: