Завдання 1. Дві маленькі сталеві кульки кинуті одночасно з однієї і тієї ж точки з поверхні землі з початковими швидкостями і01=5м/с і v02 = 8 м/с, спрямованими під кутами «=80° і а2 = 20° до горизонту відповідно . Чому дорівнює відстань між кульками, через час / = -^с після кидка? Траєкторії кульок лежать у одній вертикальній площині. Опір повітря знехтувати. Рішення. Кульки рухаються в полі важкості Землі з постійним прискоренням g (со-v~-v л опір повітрям нехтуємо). Виберемо систему координат так, як показано на рис. 20 початок відліку помістимо в точку кидання. Для радіус-векторів кульки Виберемо систему координат. Шукаюча відстань. Проекція прискорення Шукана відстань / дорівнює модулю різниці радіус-векторів кульок в момент часу / = - с. Так як кульки були кинуті з однієї і тієї ж точки, то / * 0 | = г02, отже: / = . (Інші складові при відніманні радіус-вектопів знищилися.) У свою чергу за теоремою косінусів (див. рис. 20): Підставляючи в цю рівність числові значення величин, що входять до нього, отримаємо \v0l -v02\ = 7м/с. Тоді відстань між кульками в момент часу * Завдання 2. Два тіла кинуті вертикально вгору з поверхні землі з однієї точки вслід один за одним з інтервалом часу г, з однаковими початковими швидкостями v0. Нехтуючи опором повітря, визначити, через скільки часу вони зустрінуться? Про- те коментуйте рішення для Рішення. Направимо вісь Оу вертикально нагору, початок відліку помістимо в точку кидання. Відлік часу вестимемо, починаючи з моменту кидання першого тіла. Початкові умови руху тіл: О "о = = 0, vy0l = v0; 2) t0 = г,у02 = О, vy02 = v0. проекціях на вісь Оу з урахуванням початкових умовмають вигляд: (Зауважимо, що у2 = О при 0 Для наочності зобразимо графіки цих функцій на одному кресленні (рис. 21). З креслення видно, що «зустріч» відбудеться в певний момент часу в точці А, де перетинаються графіки yx(t ). Таким чином, ^^ умова «зустрічі»: у, (О = Уг (Л)» тобто = v0 ft -г) 2 "2 Вирішуючи це рівняння щодо / v, знаходимо: tx = - + -. Проаналізуємо по - g 2 лучене вираз при Відомо (див. Приклад 7), що час польоту тіла, кинутого вертикально, дорівнює 2v0/g Тому, якщо v0 2v0/g. Це означає, що спочатку впаде на землю перше тіло, а потім буде кинуте вгору друге. Інакше кажучи, тіла «зустряться» у точці кидання. Завдання 3. Хлопчик, перебуваючи на плоскому схилі гори з кутом нахилу (р-30°, кидає камінь у бік підйому гори, повідомивши початкову швидкість v0, спрямовану під кутом /? = 60° до горизонту. На якій відстані від хлопчика впаде камінь ? Опіром повітря знехтувати. Виберемо систему відліку так, як показано на рис. початкова швидкістькаменю складає з віссю Ох кут а = ft-(p = 30 °. Початкові умови: Рис 22 Проекції прискорення каменю без опору повітря рівні (див. рис. 22): ах = gx = -gsin #?, ау = gy = -g. Тут ми врахували, що кут між вектором g і перпендикуляром до поверхні гори. дорівнює кутунахилу гори (р- 30° (чому?), крім того, за умовою задачі (р = а. Запишемо рівняння системи (14) з урахуванням початкових умов: t2 Г x(t) = (y0cos«)/-(gsin^) >)-, y(t) = (v0sina)t-(gcosp)-. г = 0 ми відкинули, тому що воно не зв'язує-V3 g але з питанням задачі) Підставляючи знайдене значення г в рівняння для. .Масивна платформа рухається з постійною швидкістюК0 по горизонтальній підлозі. З заднього краю платформи робиться удар по м'ячу. Модуль початкової швидкості м'яча щодо платформи дорівнює у\u = 2VQ9 причому вектор і становить кут а = 60 ° з горизонтом (рис. 23). На яку максимальну висоту над підлогою підніметься м'яч? На якій відстані від краю платформи буде м'яч у момент _j. w_ ,0 приземлення. Висотою платформи і опором повітря знехтувати. Усі швидкості лежать у одній вертикальній площині. (ФЗФТШ при МФТІ, 2009). Рішення. Для опису руху м'яча та платформи введемо систему відліку, пов'язану зі статтю. Ось Ох направимо горизонтально у напрямку удару, а вісь Оу - вертикально вгору (рис. 23). Рух м'яча відбувається з постійним прискоренням а, причому ах = 0, aY = -g де g - величина прискорення вільного падіння. Проекції початкової швидкості v0 м'яча на осі Ох та Оу дорівнюють: v0,x = V0, + = -К + 2F0 cos 60° = -V0 + V0 = 0, % = К,- + =10 + sin 60° = >/ 3F0. Рівність нулю горизонтальної швидкості м'яча означає, що його рух відбувається лише по вертикалі, і він впаде у точці удару. Максимальну висоту підйому (ynvix) та час польоту м'яча знайдемо із законів кінематики рівноприскореного руху: а/ Виберемо систему координат. Шукаюча відстань. Проекція прискорення Zt Враховуючи, що при у = у ^ проекція вертикальної швидкості звертається в нуль vY = 0 , а в момент приземлення м'яча t = Гпольоту його координата по осі Оу звертається в нуль у = 0 маємо: ЗУ-т = 1 польоту 2 g 2 g - S За час польоту м'яча платформа зміститься на відстань польоту 8 У шах, яка є шуканою відстанню між м'ячем і платформою в момент приземлення м'яча. Контрольні питання 1. На рис. 24 показано траєкторію руху тіла. Його початкове положення позначено точкою А, кінцеве - точкою С. Чому рівні проекції переміщення тіла на осі Ох і Оу, модуль переміщення та пройдений тілом шлях? 2. Тіло рухається рівномірно і прямолінійно площині хоу. Його координати в залежності від часу змінюються відповідно до рівнянь: (Виміри вимірювані в СІ). Запишіть рівняння у = у(х) траєкторії тіла. Чому рівні початкові координати тіла та його координати через 2 с після початку руху? 3. Стрижень АВ, орієнтований уздовж осі Ох, рухається із постійною швидкістю v = 0,1 м/с у позитивному напрямку осі. Переднім кінцем стрижня є точка А, заднім - точка В. Чому дорівнює довжина стрижня, якщо в момент часу tA = 1 Ос після початку руху координата точки А дорівнює х = 3м, а в момент часу tB-30с координата точки В дорівнює *Л = 4,5 м? (МІЕТ, 2006 р.) 4. Як під час руху двох тіл визначається їх відносна швидкість? 5. Автобус та мотоцикл знаходяться один від одного на відстані L = 20 км. Якщо вони рухатимуться в одному напрямку з деякими швидкостями г і v2 відповідно, то мотоцикл наздожене автобус через час / = 1 год. Чому дорівнює швидкість мотоцикла щодо автобуса? 6. Що називають середньою дорожньою швидкістютіла? 7. Першу годину колії поїзд проїхав зі швидкістю 50 км/год, наступні 2 години він їхав зі швидкістю 80 км/год. Знайдіть середню швидкість поїзда за ці 3 години. Виберіть правильний варіантвідповіді та обґрунтуйте свій вибір: 1) 60 км/год; 2) 65 км/год; 3) 70 км/год; 4) 72 км/год; 5) 75 км/год. (РДТУ ім. К. Е. Ціолковського (МАТІ), 2006 р.) 8. Одну п'яту частину шляху автомобіль їхав зі швидкістю г\ = 40 км/год, а шлях, що залишився - зі швидкістю v2 = 60 км/год. Знайдіть середню швидкість автомобіля по всьому шляху. (МІФІ, 2006 р.) 9. Матеріальна точка починає рухатися по осі Ох згідно із законом *(/) = 5 + 4/-2г(м). На якій відстані від початку координат швидкість точки дорівнюватиме нулю? (МДТУ ім. Н. Е. Баумана, 2006 р.) 10. Ковзаняр, розігнавшись до швидкості v0 = 5 м/с, почав ковзати прямолінійно і рівногайно. Через час t = 20 с модуль швидкості ковзанярця став дорівнює v = 3 м/с. Чому дорівнює прискорення ковзаняра? Завдання 1. Пішохід третина всього шляху біг зі швидкістю v( =9км/ч, третина всього часу йшов зі швидкістю v2 =4 км/год, а частину, що залишилася, йшов зі швидкістю, що дорівнюєсередньої швидкості по всьому шляху. Знайдіть цю швидкість. (ЗФТШ при МФТІ, 2001) 2. Тіло, рухаючись рівноприскорено і прямолінійно зі стану спокою, пройшла відстань S за час м. Яку швидкість мало тіло в той момент, коли воно пройшло відстань S/n , де п - деяке? (МІФІ, 2006 р.) 3. Тіло падає без початкової швидкості та досягає поверхні землі через 4с. З якої висоти падало тіло? Опір повітря знехтувати. Виберіть правильний варіант відповіді та обґрунтуйте свій вибір: 1) 20м; 2) 40 м; 3) 80м; 4) 120м; 5) 160 м. (РДТУ ім. К. Е. Ціолковського (МАТІ), 2006 р.) 4. Камінь, кинутий з поверхні землі вертикально вгору, впав на землю через Т = 2с. Визначте шлях 5, пройдений каменем протягом г = 1,5с після кидка. Опір повітря знехтувати. Прискорення вільного падіння прийняти рівним g = 10м/с2. (МІЕТ, 2006 р.) Виберемо систему координат. Шукаюча відстань. Проекція прискорення 5. З однієї точки на висоті h від поверхні землі кинуті з однаковими швидкостями камінь вертикально А вгору і камінь вертикально вниз. Відомо, що камінь А досяг верхньої точки своєї траєкторії одночасно з падінням каменю на землю. Який максимальної висоти(Вважаючи від поверхні землі) досяг камінь А? Опір повітря не враховувати. (МФТІ, 1997) 6. Камінь кинутий горизонтально зі схилу гори, що утворює кут а = 45 ° з горизонтом (рис. 25). Чому дорівнює початкова швидкість v0 каменю, якщо вона впала на схил на відстані / = 50 м від точки кидання? Опір повітря знехтувати. 7. Тіло кинуто горизонтально. Через 3 с після кидка кут між напрямком повної швидкості та напрямом повного прискорення став рівним 60°. Визначте величину повної швидкості тіла у цей час. Опір повітря знехтувати. (РГУ нафти та газу ім. І. М. Губкіна, 2006 р.) Вказівка. Під повною швидкістю та повним прискоренням розумійте просто швидкість та прискорення тіла. 8. Снаряд розірвався на кілька уламків, що полетіли на всі боки з однаковими швидкостями. Уламок, що полетів вертикально вниз, досяг землі за час. Уламок, що полетів вертикально вгору, впав на землю через час t2. Скільки часу падали уламки, що полетіли горизонтально? Опір повітря не враховувати. (МФТІ, 1997 р.) 9. Камінь, кинутий під кутом до горизонту, досяг найбільшої висоти 5 м. Знайдіть повний часпольоту каменю. Опір повітря знехтувати. (РГУ нафти та газу ім. І. М. Губкіна, 2006 р.) 10. Камінь, кинутий з поверхні землі під кутом а = 30 ° до горизонту, двічі побував на одній і тій же висоті h через час = 3с і = 5с після початку руху. Знайдіть початкову швидкість каменю v0. Прискорення вільного падіння прийняти рівним g = 10м/с2. Опір повітря знехтувати. (Інститут криптографії, зв'язку та інформатики Академії ФСБ РФ, 2006) 11. З якою швидкістю v0 повинен вилетіти снаряд з гармати в момент старту ракети, щоб збити її? Ракета стартує вертикально із постійним прискоренням я = 4м/с2. Відстань від гармати до місця старту ракети (вони перебувають у одному горизонтальному рівні) дорівнює / = 9км. Гармата стріляє під кутом = 45° до горизонту. Опір повітря знехтувати.
1. Механічним рухом називають зміну положення тіла у просторі щодо інших тіл із часом. Існуютьрізні види механічного руху Якщо всі точки тіла рухаються однаково і будь-яка пряма, проведена в тілі, при його русі залишається паралельною до самої себе, то такий рух називаєтьсяпоступальним
(Рис. 1). Точки обертового колеса описують кола щодо осі цього колеса. Колесо як ціле і всі його точки здійснюютьобертальне
рух (рис. 2). Якщо тіло, наприклад кулька, підвішена на нитці, відхиляється від вертикального положення то в один, то в інший бік, то його рух єколивальним
2. (Рис. 3). До визначення поняття механічного руху входять слова «щодо інших тіл». Вони означають, щодане тіло
може лежати щодо одних тіл і рухатися щодо інших тіл. Так, пасажир, що сидить в автобусі, що рухається щодо будівель, теж рухається щодо них, але спочиває щодо автобуса. Пліт, що пливе за течією річки, нерухомий щодо води, але рухається щодо берега (рис. 4). Таким чином, говорячи про механічний рух тіла, необхідно вказувати тіло, щодо якого це тіло рухається або спочиває. Таке тіло називають тілом відліку. У наведеному прикладі з автобусом, що рухається, як тіло відліку може бути обраний будь-який будинок, або дерево, або стовп біля автобусної зупинки. Для визначення положення тіла у просторі вводятьсистему координат
Якщо тіло рухається по криволінійної траєкторії, система координат буде вже двовимірною, оскільки положення тіла характеризують дві координати X і Y (рис. 6). Таким рухом є, наприклад, рух м'яча від удару футболіста чи стріли, випущеної із лука.
Якщо розглядається рух тіла в просторі, наприклад рух літака, то система координат, пов'язана з тілом відліку, буде складатися з трьох взаємно перпендикулярних координатних осей(OX, OY та OZ) (рис. 7).
Оскільки під час руху тіла його становище у просторі, тобто. його координати, змінюються з часом, то необхідний прилад (годинник), який дозволяє вимірювати час і визначити, якому часу відповідає та чи інша координата.
Таким чином, для визначення положення тіла в просторі та зміни цього положення з часом необхідні тіло відліку,пов'язана з ним система координат та спосіб вимірювання часу,т.е.годинник, які всі разом є систему відліку(Мал. 7).
3. Вивчити рух тіла - це означає, як змінюється його становище, тобто. координата, з часом.
Якщо відомо, як змінюється координата з часом, можна визначити положення (координату) тіла будь-якої миті часу.
Основне завдання механіки полягає у визначенні положення (координати) тіла у будь-який момент часу.
Щоб зазначити, як змінюється становище тіла з часом, необхідно встановити зв'язок між величинами, що характеризують цей рух, тобто. знайти математичний описруху або, іншими словами, записати рівняння руху тіла.
Розділ механіки, який вивчає способи опису руху тіл, називають кінематикою.
4. Будь-яке тіло, що рухається, має певні розміри, і його різні частини займають різні положенняв просторі. Виникає питання, як у такому разі визначити положення тіла у просторі. У ряді випадків немає необхідності вказувати положення кожної точки тіла і для кожної точки записувати рівняння руху.
Так, оскільки при поступальний рухвсі точки тіла рухаються однаково, немає необхідності описувати рух кожної точки тіла.
Рух кожної точки тіла не потрібно описувати і при вирішенні таких завдань, коли розміри тіла можна знехтувати. Наприклад, якщо нас цікавить, з якою швидкістю плавець пропливає свою дистанцію, то розглядати рух кожної точки плавця не потрібно. Якщо ж необхідно визначити силу, що діє на м'яч, то знехтувати розмірами плавця вже не можна. Якщо ми хочемо вирахувати час руху космічного корабля від Землі до космічної станції, то корабель вважатимуться єдиним цілим і у вигляді деякої точки. Якщо ж розраховується режим стикування корабля зі станцією, то, представивши корабель як точки, вирішити це завдання неможливо.
Отже, на вирішення низки завдань, що з рухом тіл, вводять поняття матеріальної точки .
Матеріальною точкою називають тіло, розмірами якого можна знехтувати за умов даної задачі.
У наведених вище прикладах матеріальною точкою можна вважати плавця при розрахунку швидкості його руху, космічний корабельщодо часу його руху.
Матеріальна точка – це модель реальних об'єктів, реальних тіл. Вважаючи тіло матеріальною точкою, ми відволікаємося від несуттєвих на вирішення конкретного завданняознак, зокрема від розмірів тіла.
5. При переміщенні тіло послідовно проходить точки простору, з'єднавши які можна отримати лінію. Ця лінія, вздовж якої рухається тіло, називається траєкторією. Траєкторія може бути видимою або невидимою. Очевидну траєкторію описують трамвай під час руху рейками, лижник, ковзаючи лижні, крейда, яким пишуть на дошці. Траєкторія літака, що летить, в більшості випадків невидима, невидимою є траєкторія повзучої комахи.
Траєкторія руху тіла відносна: її форма залежить від вибору системи відліку. Так, траєкторією точок обода колеса велосипеда, що рухається прямою дорогою, щодо осі колеса є коло, а щодо Землі - гвинтова лінія (рис. 8 а, б).
6. Однією з характеристик механічного руху є шлях, пройдений тілом. Шляхом називають фізичну величину, рівну відстані, пройденому тілом уздовж траєкторії.
Якщо відомі траєкторія тіла, його початкове положення і пройдений ним шлях за час (t), то можна знайти положення тіла в момент часу (t). (рис. 9)
Шлях позначають буквою (l \) (іноді \ (s \)), основна одиниця колії 1 м: \ ([\, \ mathrm (l) \,] \) = 1 м. Кратна одиниця колії - кілометр (1 км = 1000 м); дольні одиниці- Дециметр (1 дм = 0,1 м), сантиметр (1 см = 0,01 м) та міліметр (1 мм = 0,001 м).
Шлях – величина відносна, значення шляху залежить від вибору системи відліку. Так, шлях пасажира, що переходить з кінця автобуса, що рухається, до його передніх дверей, дорівнює довжиніавтобуса у системі відліку, пов'язаної з автобусом. У системі відліку, пов'язаної із Землею, він дорівнює сумідовжини автобуса та шляху, який проїхав автобус щодо Землі.
7. Якщо траєкторія руху тіла невідома, значення шляху не дозволить встановити його положення в будь-який момент часу, оскільки напрям руху тіла не визначено. У цьому випадку використовують іншу характеристику механічного руху переміщення.
Переміщення – вектор, що з'єднує початкове положення тіла з його кінцевим положенням(рис. 10)
Переміщення - вектор фізична величина, має напрямок та числове значення, позначається \(\overrightarrow(s) \) . Одиниця переміщення \([\,\mathrm(s)\,] \) = 1 м.
Знаючи початкове положення тіла, його переміщення (напрямок та модуль) за деякий проміжок часу, можна визначити положення тіла наприкінці цього проміжку часу.
Слід мати на увазі, що переміщення в загальному випадкуне збігається з траєкторією, а модуль переміщення – з пройденим шляхом. Цей збіг має місце лише при русі тіла прямолінійною траєкторією в один бік. Наприклад, якщо плавець проплив 100-метрову дистанцію в басейні, довжина доріжки якого 50 м, його шлях дорівнює 100 м, а модуль переміщення дорівнює нулю.
Переміщення, як і шлях, величина відносна, залежить від вибору системи відліку.
Під час вирішення завдань користуються проекціями вектора переміщення. На малюнку 10 зображено систему координат і вектор переміщення в цій системі координат.
Координати початку переміщення - \(x_0, y_0); координати кінця переміщення - \(x_1, y_1). Проекція вектора переміщення на вісь ОХ дорівнює: (s_x = x_1-x_0 \). Проекція вектора переміщення вісь OY дорівнює: \(s_y=y_1-y_0 \) .
Модуль вектора переміщення дорівнює: \ (s = \ sqrt (s ^ 2_x-s ^ 2_y) \) .
Частина 1
1. До складу системи відліку входять
1) тільки тіло відліку
2) тільки тіло відліку та система координат
3) тільки тіло відліку та годинник
4) тіло відліку, система координат, годинник
2. Відносною величиноює: А. Шлях; Б. Переміщення.Правильну відповідь
1) тільки А
2) тільки Б
3) і А, і Б
4) ні А, ні Б
3. Пасажир метро стоїть на ескалаторі, що рухається вгору. Він нерухомий щодо
1) пасажирів, які стоять на іншому ескалаторі, що рухається вниз
2) інших пасажирів, які стоять на цьому ж ескалаторі
3) пасажирів, що крокують вгору цим же ескалатором
4) світильників на балюстраді ескалатора
4. Щодо якого тіла лежить автомобіль, що рухається автострадою?
1) щодо іншого автомобіля, що рухається з такою ж швидкістю в протилежний бік
2) щодо іншого автомобіля, що рухається з такою ж швидкістю в той самий бік
3) щодо світлофора
4) щодо пішохода, що йде вздовж дороги
5. Два автомобілі рухаються з однаковою швидкістю 20 м/с щодо Землі щодо одного напрямі. Чому дорівнює швидкість одного автомобіля у системі відліку, пов'язаної з іншим автомобілем?
1) 0
2) 20 м/с
3) 40 м/с
4) -20 м/с
6. Два автомобілі рухаються з однаковою швидкістю 15 м/с щодо Землі назустріч один одному. Чому дорівнює швидкість одного автомобіля у системі відліку, пов'язаної з іншим автомобілем?
1) 0
2) 15 м/с
3) 30 м/с
4) -15 м/с
7. Яка щодо Землі траєкторія точки лопаті гвинта вертольота, що летить?
8. М'яч падає з висоти 2 м і після удару об підлогу піднімається на висоту 1,3 м. Чому рівні шлях і модуль переміщення м'яча за весь час руху?
1) \(l \) = 3,3 м, \(s \) = 3,3 м
2) \(l \) = 3,3 м, \(s \) = 0,7 м
3) \(l \) = 0,7 м, \(s \) = 0,7 м
4) \(l \) = 0,7 м, \(s \) = 3,3 м
9. Вирішують дві задачі. 1. Розраховують швидкість руху поїзда між двома станціями. 2. Визначають силу тертя, що діє на поїзд. За розв'язання якого завдання поїзд можна вважати матеріальною точкою?
1) лише першою
2) лише другий
3) і першою, і другою
4) ні першої, ні другої
10. Точка обода колеса при русі велосипеда описує половину кола радіусу (R \). Чому рівні при цьому шлях \(l \) і модуль переміщення \(s \) точки обода?
1) \ (l = 2R \), \ (s = 2R \)
2) \ (l = \ pi R \), \ (s = 2R \)
3) \ (l = 2R \), \ (s = \ pi R \)
4) \(l=pi R \) , \(s=pi R \) .
11. Встановіть відповідність між елементами знань у лівому стовпці та поняттями у правому стовпці. У таблиці під номером елемента знань лівого стовпця запишіть відповідний номер обраного поняття правого стовпця.
ЕЛЕМЕНТ ЗНАНЬ
A) фізична величина
Б) одиниця величини
B) вимірювальний прилад
ПОНЯТТЯ
1) траєкторія
2) шлях
3) секундомір
4) кілометр
5) система відліку
12. Встановіть відповідність між величинами у лівому стовпці та характером величини у правому стовпці. У таблиці під номером елемента знань лівого стовпця запишіть відповідний номер обраного поняття правого стовпця.
ВЕЛИЧИНА
A) шлях
Б) переміщення
B) проекція переміщення
ХАРАКТЕР ВЕЛИЧИНИ
1) скалярна
2) векторна
Частина 2
13. Автомобіль звернув на дорогу, що становить кут 30° з головною дорогою, і здійснив по ній переміщення, модуль якого дорівнює 20 м. Визначте проекцію переміщення автомобіля на головну дорогуі на дорогу, перпендикулярну до головної дороги.
Відповіді
На даному уроці, тема якого: «Визначення координати тіла, що рухається» ми поговоримо про те, як можна визначати місце знаходження тіла, його координату. Поговоримо про системи відліку, розглянемо для прикладу завдання, а також пригадаємо, що таке переміщення
Уявіть: ви щосили кинули м'яч. Як визначити, де він перебуватиме за дві секунди? Можна почекати дві секунди та просто подивитися, де він. Але, навіть не дивлячись, ви приблизно можете передбачити, де буде м'яч: кидок був сильніший за звичайний, спрямований під великим кутом до горизонту, отже, полетить високо, але недалеко... Використовуючи закони фізики, можна буде точно визначити положення нашого м'яча.
Визначити положення тіла, що рухається в будь-який момент часу - це і є основне завдання кінематики.
Почнемо з того, що у нас є тіло: як визначити його становище, як пояснити комусь, де воно знаходиться? Про автомобіль ми скажемо: він на дорозі за 150 метрів перед світлофором або на 100 метрів за перехрестям (див. рис. 1).
Мал. 1. Визначення розташування машини
Або на трасі за 30 км на південь від Москви. Про телефон на столі скажемо: він сантиметрів на 30 правіше клавіатури або поруч із дальнім кутом столу (див. рис. 2).
Мал. 2. Положення телефону на столі
Зверніть увагу: ми не зможемо визначити положення автомобіля, не згадавши інші об'єкти, не прив'язавшись до них: світлофор, місто, клавіатуру. Ми визначаємо положення, чи координати, завжди щодо чогось.
Координати - це набір даних, яким визначається положення тієї чи іншої об'єкта, його адресу.
Приклади впорядкованих та невпорядкованих імен
Координата тіла – це його адреса, за якою ми його можемо знайти. Він упорядкований. Наприклад, знаючи ряд і місце, ми точно визначаємо, де знаходиться місце в залі кінотеатру (див. рис. 3).
Мал. 3. Зал кінотеатру
Буквою та цифрою, наприклад e2, точно задається положення фігури на шахівниці (див. рис. 4).
Мал. 4. Положення фігури на дошці
Знаючи адресу будинку, наприклад вулиця Сонячна 14, ми шукатимемо його на цій вулиці, на парній стороні, між будинками 12 та 16 (див. рис. 5).
Мал. 5. Пошук будинку
Назви вулиць не впорядковані, ми не шукатимемо Сонячну вулицю за абеткою між вулицями Розової та Тургенєва. Також не впорядковано номери телефонів, номерні знаки автомобілів (див. рис. 6).
Мал. 6. Неупорядковані імена
Ці номери, що йдуть поспіль, - це лише збіг, що не означає сусідства.
Ми можемо поставити положення тіла в різних системахкоординат, як нам зручно. Для того ж автомобіля, можна задати точні географічні координати(широту та довготу) (див. рис. 7).
Мал. 7. Довгота та широта місцевості
Мал. 8. Розташування щодо точки
Причому якщо ми виберемо різні такі точки, то отримаємо різні координати, хоча вони будуть задавати положення одного й того самого автомобіля.
Отже, положення тіла щодо різних тілу різних системах координат буде різним. А що таке рух? Рух – це зміна положення тіла з часом. Тому описувати рух ми в різних системах відліку по-різному, і немає сенсу розглядати рух тіла без системи відліку.
Наприклад, як рухається склянка з чаєм на столі у поїзді, якщо сам поїзд їде? Дивлячись щодо чого. Щодо столу або пасажира, що сидить поруч на сидінні, склянка спочиває (див. рис. 9).
Мал. 9. Рух склянки щодо пасажира
Щодо дерева біля залізницісклянка рухається разом із поїздом (див. рис. 10).
Мал. 10. Рух склянки разом із поїздом щодо дерева
Щодо земної осісклянку та поїзд разом з усіма точками земної поверхніще й рухатимуться по колу (див. рис. 11).
Мал. 11. Рух склянки з обертанням Землі щодо земної осі
Тому немає сенсу говорити про рух взагалі, рух розглядається у прив'язці до системи відліку.
Все, що ми знаємо про рух тіла, можна розділити на те, що спостерігається і обчислюється. Згадаймо приклад із м'ячем, який ми покинули. Спостережуване - це його становище у вибраній системі координат, коли його лише кидаємо (див. рис. 12).
Мал. 12. Спостереження
Це час, коли ми його покинули; час, що минув після кидка. Нехай на м'ячі немає спідометра, який показав би швидкість м'яча, але її модуль, як і напрямок, також можна дізнатися, використовуючи, наприклад, уповільнену зйомку.
За допомогою даних, що спостерігаються, ми можемо передбачити, наприклад, що м'яч через 5 секунд впаде за 20 м від місця кидка або через 3 секунди потрапить у верхівку дерева. Положення м'яча в будь-який момент часу - це в нашому випадку дані, що обчислюються.
Що визначає кожне нове положення тіла, що рухається? Його визначає переміщення, оскільки переміщення - це вектор, характеризує зміна становища. Якщо початок вектора поєднати з початковим положенням тіла, то кінець вектора вкаже на нове положення тіла, що перемістилося (див. рис. 13).
Мал. 13. Вектор переміщення
Розглянемо кілька прикладів визначення координати рухомого тіла з його переміщенню.
Нехай тіло рухалося прямолінійно з точки 1 до точки 2. Побудуємо вектор переміщення та позначимо його (див. рис. 14).
Мал. 14. Переміщення тіла
Тіло рухалося вздовж однієї прямої, значить нам буде достатньо однієї осі координат, спрямованої вздовж переміщення тіла. Допустимо, ми спостерігаємо за рухом з боку, сумісний початок відліку зі спостерігачем.
Переміщення – вектор, зручніше працювати з проекціями векторів на осі координат (у нас вона одна). - Проекція вектора (див. рис. 15).
Мал. 15. Проекція вектора
Як визначити координату початкової точки, точку 1? Опускаємо перпендикуляр із точки 1 на вісь координат. Цей перпендикуляр перетне вісь і позначить на осі координату точки 1. Також визначаємо координату точки 2 (див. рис. 16).
Мал. 16. Опускаємо перпендикуляри на вісь ОХ
Проекція переміщення дорівнює:
При такому напрямку осі та переміщення буде по модулю дорівнює самому переміщенню.
Знаючи початкову координату та переміщення, знайти кінцеву координату тіла – справа математики:
Рівняння
Рівняння – це рівність, що містить невідомий член. У чому його зміст?
Будь-яке завдання полягає в тому, що щось нам відомо, а щось ні, і невідоме треба знайти. Наприклад, тіло з деякої точки перемістилося на 6 м у напрямку осі координат і опинилося у точці з координатою 9 (див. рис. 17).
Мал. 17. Початкове положення точки
Як знайти, з якої точки тіло почало рух?
У нас є закономірність: проекція переміщення - це різниця кінцевої та початкової координат:
Сенс рівняння буде в тому, що переміщення та кінцеву координату ми знаємо () і можемо підставити ці значення, а початкову координату не знаємо, вона буде невідомою у цьому рівнянні:
І вже вирішуючи рівняння, отримаємо відповідь: початкова координата .
Розглянемо інший випадок: переміщення спрямоване убік, протилежний напрямосі координат.
Координати початкової та кінцевої крапоквизначаються як і, як і раніше, - опускаються перпендикуляри на вісь (див. рис. 18).
Мал. 18. Вісь спрямована в інший бік
Проекція переміщення (нічого не змінюється) дорівнює:
Зауважте, що більше, ніж , і проекція переміщення , коли вона спрямована проти осі координат, буде негативною.
Кінцева координата тіла із рівняння для проекції переміщення дорівнює:
Як бачимо, нічого не змінюється: у проекції на вісь координат кінцеве положення дорівнює початкового стануплюс проекція переміщення. Залежно від того, в яку сторону тіло перемістилося, проекція переміщення буде позитивною або негативною в системі координат.
Розглянемо випадок, коли переміщення та вісь координат спрямовані під кутом один до одного. Тепер однієї осі координат нам недостатньо, потрібна друга вісь (див. рис. 19).
Мал. 19. Вісь спрямована в інший бік
Тепер рух буде мати ненульову проекцію на кожну вісь координат. Ці проекції переміщення визначатимуться, як і раніше:
Зауважте, що модуль кожної з проекцій у цьому випадку менший від модуля переміщення. Модуль переміщення може легко знайти, використовуючи теорему Піфагора. Видно, що якщо збудувати прямокутний трикутник(див. рис. 20), то його катети дорівнюватимуть і , а гіпотенуза дорівнює модулю переміщення або, як часто записують, просто .
Мал. 20. Трикутник Піфагора
Тоді за теоремою Піфагора запишемо:
Автомобіль знаходиться за 4 км на схід від гаража. Скористайтеся однією віссю координат, спрямованої на схід, з початком відліку у гаражі. Вкажіть координату автомобіля в заданій системічерез 3 хвилини, якщо автомобіль цим часом їхав зі швидкістю 0,5 км/хв на захід.
У задачі нічого не сказано про те, що автомобіль повертав або змінював швидкість, тому вважаємо рух рівномірним прямолінійним.
Зобразимо систему координат: початок координат біля гаража, вісь х спрямована Схід (див. рис. 21).
Автомобіль спочатку був у точці та рухався за умовою завдання на захід (див. рис. 22).
Мал. 22. Рух автомобіля на захід
Проекція переміщення, як ми неодноразово писали, дорівнює:
Ми знаємо, що автомобіль проїжджав по 0,5 км щохвилини, значить, щоб знайти сумарне переміщення, потрібно швидкість помножити на кількість хвилин.
На цьому фізика закінчилася, залишилося математично висловити шукану координату. Виразимо її з першого рівняння:
Підставимо переміщення:
Залишилося підставити числа та отримати відповідь. Не забувайте, що автомобіль рухався на захід проти напрямку осі х, це означає, що проекція швидкості негативна: .
Завдання вирішено.
Головне, чим ми користувалися для визначення координати, - вираз для проекції переміщення:
І з нього ми вже висловлювали координату:
При цьому сама проекція переміщення може бути задана, може обчислюватися як , як у задачі про рівномірне прямолінійному русі, може обчислюватися складніше, що нам ще належить вивчити, але в будь-якому випадку координату тіла, що рухається (де тіло виявилося) можна визначити за початковій координаті(де тіло було) та за проекцією переміщення (куди перемістилося).
На цьому наш урок закінчено, до побачення!
Список літератури
- Соколович Ю.А., Богданова Г.С Фізика: Довідник із прикладами вирішення завдань. - 2-ге видання, переділ. – X.: Веста: Видавництво «Ранок», 2005. – 464 с.
- Перишкін А.В., Гутник О.М. Фізика: 9 клас. Підручник для загальноосвітніх установ. - 14-те вид. - М: Дрофа, 2009.
- Class-fizika.narod.ru ().
- Av-physics.narod.ru ().
- Class-fizika.narod.ru ().
Домашнє завдання
- Що таке рух, шлях, траєкторія?
- Як визначити координати тіла?
- Запишіть формулу визначення проекції переміщення.
- Як визначатиметься модуль переміщення, якщо переміщення має проекції на дві осі координат?