Найменший загальний знаменник використовується для спрощення рівняння.Цей метод застосовується у тому випадку, коли ви не можете записати дане рівнянняз одним раціональним виразомна кожній стороні рівняння (і скористатися методом множення навхрест). Цей метод використовується, коли вам дано раціональне рівняння з 3 або більше дробами (у разі двох дробів краще застосувати множення навхрест).
Знайдіть найменший загальний знаменник дробів (або найменший загальний кратний).НОЗ – це найменше число, Яке ділиться націло на кожен знаменник.
- Іноді НОЗ – очевидна кількість. Наприклад, якщо дано рівняння: х/3 + 1/2 = (3x +1)/6, очевидно, що найменшим загальним кратним для чисел 3, 2 і 6 буде 6.
- Якщо НОЗ не є очевидним, випишіть кратні найбільшого знаменника і знайдіть серед них такий, який буде кратним і для інших знаменників. Найчастіше НОЗ можна знайти, просто перемноживши два знаменники. Наприклад, якщо дано рівняння x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, то НОЗ = 8 * 9 = 72.
- Якщо один або кілька знаменників містять змінну, процес дещо ускладнюється (але не стає неможливим). У цьому випадку НОЗ є виразом (що містить змінну), яке ділиться на кожен знаменник. Наприклад, у рівнянні 5/(х-1) = 1/х + 2/(3x) НОЗ = 3x(х-1), тому що цей вираз поділяється на кожен знаменник: 3x(х-1)/(х-1 ) = 3x; 3x(х-1)/3х = (х-1); 3x(х-1)/х = 3(х-1).
Помножте і чисельник, і знаменник кожного дробу на число, що дорівнює результату поділу НОЗ на відповідний знаменник кожного дробу. Так як ви множите і чисельник, і знаменник на одне й те саме число, то фактично ви множите дріб на 1 (наприклад, 2/2 = 1 або 3/3 = 1).
- Таким чином, у нашому прикладі помножте х/3 на 2/2, щоб отримати 2x/6, і 1/2 помножте на 3/3, щоб отримати 3/6 (дрібні 3x +1/6 множити не треба, оскільки її знаменник дорівнює 6).
- Дійте аналогічно у випадку, коли змінна знаходиться у знаменнику. У другому прикладі НОЗ = 3x(x-1), тому 5/(x-1) помножте на (3x)/(3x) і отримайте 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x помножте на 3(x-1)/3(x-1) та отримайте 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) помножте на (x-1)/(x-1) та отримайте 2(x-1)/3x(x-1).
Знайдіть х.Тепер, коли ви привели дроби до спільного знаменника, ви можете позбавитися знаменника. Для цього помножте кожну сторону рівняння на спільний знаменник. Потім розв'яжіть отримане рівняння, тобто знайдіть «х». Для цього відокремте змінну на одній із сторін рівняння.
- У прикладі: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Ви можете скласти два дроби з однаковим знаменником, тому запишіть рівняння як: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Помножте обидві частини рівняння на 6 і позбавтеся знаменників: 2x+3 = 3x+1. Розв'яжіть та отримайте х = 2.
- У другому прикладі (зі змінною в знаменнику) рівняння має вигляд (після приведення до спільного знаменника): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Помноживши обидві сторони рівняння на НОЗ, ви позбавитеся знаменника і отримаєте: 5(3x) = 3(х-1) + 2(х-1), або 15x = 3x - 3 + 2x -2, або 15х = х - 5 . Розв'яжіть та отримайте: х = -5/14.
Інструкція
Мабуть, найочевидніший момент тут – це, звичайно, . Числові дробине становлять жодної небезпеки (дрібні рівняння, де у всіх знаменниках стоять лише числа, взагалі будуть лінійними), а от якщо у знаменнику стоїть змінна, то це обов'язково потрібно враховувати та прописувати. По-перше, це те, що х, що звертає в 0 знаменник, бути не може, і взагалі потрібно окремо прописати той факт, що ікс не може дорівнювати цьому числу. Навіть якщо у вас вийде, що при підстановці у чисельник все чудово сходиться та задовольняє умовам. По-друге, ми не можемо множити або обидві частини рівняння на , рівне нулю.
Після цього такого рівняння зводиться до перенесення всіх його членів у ліву частинутак, щоб у правій залишився 0.
Потрібно привести всі члени до спільного знаменника, домноживши, де потрібно, чисельники на вирази, що бракують.
Далі вирішуємо нормальне рівняння, написане в чисельнику. Можемо виносити спільні множникиза дужки, застосовувати скороченого множення, наводити подібні, обчислювати коріння квадратного рівняннячерез дискримінант тощо.
У результаті має вийти розкладання на множники у вигляді добутку дужок (х-(і-ий корінь)). Також сюди можуть входити багаточлени, які не мають коріння, наприклад, квадратний тричленз дискримінантом, меншим за нуль (якщо, звичайно, в завданні тільки дійсне коріння, як найчастіше і буває).
Обов'язково потрібно розкласти на множники і знаменник із знаходження там дужок, що вже містяться в чисельнику. Якщо в знаменнику стоять вирази типу (х-(число)), то краще при приведенні до спільного знаменника дужки, що стоять у ньому, не перемножувати "в лоб", а залишити у вигляді твору вихідних простих виразів.
Однакові дужки в чисельнику і знаменнику можна скоротити, прописавши попередньо, як говорилося вище, умови на х.
Відповідь записується у фігурних дужках, як безліч значень х, чи просто перерахуванням: x1=..., х2=... тощо.
Джерела:
- Дробові раціональні рівняння
Те, без чого не можна уникнути фізики, математики, хімії. Як мінімум. Вчимося основ їх вирішення.
Інструкція
У найзагальнішій і найпростішій класифікації можна розділити за кількістю змінних, які містяться, і за ступенями, у яких ці змінні стоять.
Вирішити рівняння всі його коріння або довести, що їх немає.
Будь-яке рівняння не більше P коріння, де P - максимальне дане рівняння.
Але частина цього коріння може і збігатися. Приміром, рівняння х^2+2*x+1=0, де ^ - значок зведення ступінь, згортається квадрат вирази (х+1), тобто у добуток двох однакових дужок, кожна з яких дає х=- 1 як рішення.
Якщо в рівнянні лише одна невідома, це означає, що вам вдасться в явному вигляді знайти його коріння (дійсне або комплексне).
Для цього швидше за все знадобляться, різні перетворення: скороченого множення, обчислення дискримінанта та коренів квадратного рівняння, перенесення доданків з однієї частини до іншої, приведення до спільного знаменника, множення обох частин рівняння на один і той же вираз, у квадрат та інше.
Перетворення, які впливають коріння рівняння, тотожними. Вони використовуються для спрощення процесу розв'язування рівняння.
Також ви можете замість традиційного аналітичного скористатися графічним методомі записати це рівняння у вигляді , провівши потім її дослідження.
Якщо в рівнянні невідомих більше однієї, то вам вдасться лише виразити одну з них через іншу, показавши цим набір рішень. Такі, наприклад, рівняння з параметрами, в яких є невідома x і параметр а. Вирішити параметричне рівняння- означає всім а виразити х через а, тобто розглянути всі можливі випадки.
Якщо в рівнянні стоять похідні чи диференціали невідомих (дивись картинку), вітаю, це диференціальне рівняння, і тут вам не обійтися без вищої математики).
Джерела:
Щоб вирішити задачу з дробамипотрібно навчитися робити з ними арифметичні дії. Вони можуть бути десяткові, але найчастіше використовуються натуральні дробиз чисельником та знаменником. Лише після цього можна переходити на рішення математичних завданьз дробовими величинами.
Вам знадобиться
- - Калькулятор;
- - знання властивостей дробів;
- - Вміння робити дії з дробами.
Інструкція
Дробом називають запис розподілу одного числа на інше. Найчастіше це зробити націло не можна, тому й залишають цю дію незакінченою. Число, яке є поділеним (воно стоїть над або перед знаком дробу), називаються чисельником, а друге число (під знаком дробу або після нього) – знаменником. Якщо чисельник більший за знаменник, дріб називається неправильним, і з нього можна виділити цілу частину. Якщо чисельник менше знаменника, то такий дріб називається правильним, і його ціла частинадорівнює 0.
Завданняділяться кілька видів. Визначте, до якого завдання. Найпростіший варіант- Знаходження частки числа, вираженим дробом. Для вирішення цього завдання достатньо помножити це число на дріб. Наприклад, на завезли 8 т картоплі. Першого тижня було продано 3/4 від її загальної кількості. Скільки картоплі лишилося? Щоб розв'язати це завдання, число 8 помножте на 3/4. Вийде 8∙3/4=6 т.
Якщо потрібно знайти число з його частини, помножте відому частинучисла на дріб, обернений до тієї, яка показує яка частка цієї частини в числі. Наприклад, 8 із становлять 1/3 від загальної кількості учнів. Скільки в? Оскільки 8 осіб це частина, яка становить 1/3 від усієї кількості, то знайдіть зворотний дрібяка дорівнює 3/1 або просто 3. Потім для отримання кількості учнів у класі 8∙3=24 учня.
Коли потрібно знайти якусь частину числа становить одне число від іншого, поділіть число, яке є частиною того, яке є цілим. Наприклад, якщо відстань 300 км, а автомобіль проїхав 200 км, яку частину цей складе від усього шляху? Поділіть частину шляху 200 на повний шлях 300, після скорочення дробу отримаєте результат. 200/300 = 2/3.
Щоб знайти частину невідому частку від числа, коли є відома, візьміть ціле число за умовну одиницю і відніміть від неї відому частку. Наприклад, якщо вже пройшло 4/7 частини уроку, чи ще залишилося? Візьміть весь урок як умовну одиницю та відніміть від неї 4/7. Отримайте 1-4/7=7/7-4/7=3/7.
Розв'язання рівнянь із дробамирозглянемо з прикладів. Приклади прості та показові. З їх допомогою ви найбільше зрозумілим чиномможете засвоїти, .
Наприклад, потрібно розв'язати просте рівняння x/b + c = d.
Рівняння цього називається лінійним, т.к. у знаменнику знаходяться лише числа.
Рішення виконується шляхом множення обох частин рівняння на b, тоді рівняння набуває вигляду x = b*(d – c), тобто. знаменник дробу у лівій частині скорочується.
Наприклад, як вирішити дробове рівняння:
x/5+4=9
Помножуємо обидві частини на 5. Отримуємо:
х +20 = 45
x = 45-20 = 25
Інший приклад, коли невідоме знаходиться у знаменнику:
Рівняння такого типу називаються дробово-раціональними чи просто дробовими.
Вирішувати дробове рівняння будемо шляхом позбавлення від дробів, після чого це рівняння, найчастіше, перетворюється на лінійне або квадратне, яке вирішується звичайним способом. Слід лише врахувати такі моменти:
- значення змінної, що звертає до 0 знаменник, коренем бути не може;
- не можна ділити чи множити рівняння вираз =0.
Тут набирає чинності таке поняття, як область допустимих значень(ОДЗ) – це значення коренів рівняння, у яких рівняння має сенс.
Таким чином, вирішуючи рівняння, необхідно знайти коріння, після чого перевірити їх на відповідність ОДЗ. Те коріння, яке не відповідає нашій ОДЗ, з відповіді виключається.
Наприклад, потрібно вирішити дробове рівняння:
З вищевказаного правила х може бути = 0, тобто. ОДЗ в даному випадку: х – будь-яке значення, відмінне від нуля.
Позбавляємося знаменника шляхом множення всіх членів рівняння на х
І вирішуємо нормальне рівняння
5x - 2х = 1
3x = 1
х = 1/3
Відповідь: х = 1/3
Вирішимо рівняння складніше:
Тут також є ОДЗ: х -2.
Вирішуючи це рівняння, ми не будемо переносити все в один бік і приводити дроби до спільного знаменника. Ми відразу помножимо обидві частини рівняння на вираз, який скоротить відразу всі знаменники.
Для скорочення знаменників потрібно ліву частину помножити на х+2, а праву - на 2. Отже, обидві частини рівняння треба множити на 2(х+2):
Це саме звичайне множеннядробів, які ми вже розглянули вище
Запишемо це ж рівняння, але дещо по-іншому
Ліва частина скорочується на (х+2), а права на 2. Після скорочення отримуємо звичайне лінійне рівняння:
х = 4 - 2 = 2, що відповідає нашій ОДЗ
Відповідь: х = 2.
Розв'язання рівнянь із дробамине так складно, як може здатися. У цій статті ми на прикладах показали це. Якщо у вас виникли якісь труднощі з тим, як розв'язувати рівняння з дробами, то відписуйтесь у коментарях.
Події з дробами. У цій статті розберемо приклади, докладно з поясненнями. Розглядатимемо звичайні дроби. Надалі розберемо й десяткові. Рекомендую подивитися весь та вивчати послідовно.
1. Сума дробів, різниця дробів.
Правило: при складанні дробів з рівними знаменниками, в результаті отримуємо дріб – знаменник якої залишається той самий, а чисельник її буде дорівнює сумічисельників дробів.
Правило: при обчисленні різниці дробів з однаковими знаменникамиотримуємо дріб – знаменник залишається той самий, та якщо з чисельника першого дробу віднімається чисельник другий.
Формальний запис суми та різниці дробів з рівними знаменниками:
Приклади (1):
Зрозуміло, що коли дано прості дроби, то все просто, а якщо змішані? Нічого складного.
Варіант 1- Можна перевести їх у прості і далі обчислювати.
Варіант 2– можна окремо «працювати» з цілою та дробовою частиною.
Приклади (2):
Ще:
А якщо буде дана різниця двох змішаних дробіві чисельник першого дробу буде меншим від чисельника другого? Теж можна діяти двома способами.
Приклади (3):
*Перевели в звичайні дроби, вирахували різницю, переклали отриману неправильний дрібу змішану.
*Розбили на цілі та дробові частини, отримали трійку, далі представили 3 як суму 2 і 1, причому одиницю представили як 11/11, далі знайшли різницю 11/11 і 7/11 і обчислили результат. Сенс викладених перетворень у тому, щоб узяти (виділити) одиницю і уявити її як дробу з потрібним нам знаменником, далі від цього дробу ми можемо відняти іншу.
Ще приклад:
Висновок: є універсальний підхід - для того, щоб обчислити суму (різницю) змішаних дробів з рівними знаменниками, їх завжди можна перевести в неправильні, далі виконати необхідна дія. Після цього якщо в результаті отримуємо неправильний дріб переводимо його в змішаний.
Вище ми розглянули приклади з дробами, які мають рівні знаменники. А якщо знаменники відрізнятимуться? У цьому випадку дроби наводяться до одного знаменника та виконується зазначена дія. Для зміни (перетворення) дробу використовується основна властивість дробу.
Розглянемо прості приклади:
У цих прикладах ми відразу бачимо як можна перетворити один із дробів, щоб отримати рівні знаменники.
Якщо позначити способи приведення дробів до одного знаменника, цей назвемо СПОСІБ ПЕРШИЙ.
Тобто відразу при «оцінці» дробу потрібно прикинути чи спрацює такий підхід – перевіряємо чи ділиться більший знаменник на менший. І якщо ділиться, то виконуємо перетворення - домножуємо чисельник і знаменник так, щоб у обох дробів знаменники стали рівними.
Тепер подивіться на ці приклади:
До них зазначений підхід не застосовується. Існують ще способи приведення дробів до спільного знаменника, розглянемо їх.
Спосіб ДРУГИЙ.
Помножуємо чисельник і знаменник першого дробу на знаменник другого, а чисельник і знаменник другого дробу на знаменник першого:
*Фактично ми наводимо дроби до виду, коли знаменники стають рівними. Далі використовуємо правило складання бояр з рівними знаменниками.
Приклад:
*Цей спосіб можна назвати універсальним, і він працює завжди. Єдиний мінус у тому, що після обчислень може вийде дріб, який необхідно буде ще скоротити.
Розглянемо приклад:
Видно, що чисельник і знаменник ділиться на 5:
Спосіб третій.
Необхідно знайти найменше загальне кратне (НОК) знаменників. Це буде спільний знаменник. Що за число таке? Це найменше натуральне число, Що ділиться на кожне з чисел.
Подивіться, ось два числа: 3 і 4, є безліч чисел, які діляться на них – це 12, 24, 36, … Найменше з них 12. Або 6 та 15, на них діляться 30, 60, 90…. Найменше 30. Питання – а як визначити це найменше загальне кратне?
Є чіткий алгоритм, але це можна зробити і відразу без обчислень. Наприклад, за наведеними вище прикладами (3 і 4, 6 і 15) ніякого алгоритму не треба, ми взяли великі числа (4 і 15) збільшили їх у два рази і побачили, що вони діляться на друге число, але пари чисел можуть бути і іншими, наприклад 51 та 119.
Алгоритм. Для того, щоб визначити найменше загальне кратне кількох чисел, необхідно:
- Розкласти кожне з чисел на Прості множники
— виписати розкладання ВЕЛИКОГО з них
— помножити його на множники інших чисел, що НЕ ДОСТАВЛЯЮТЬ
Розглянемо приклади:
50 та 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
у розкладанні більшого числане вистачає однієї п'ятірки
=> НОК(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 та 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
у розкладанні більшого числа не вистачає двійки та трійки
=> НОК(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Найменше загальне кратне двох простих чиселодно їх твору
Запитання! А чим корисне знаходження найменшого загального кратного, адже можна користуватися другим способом і отриманий дріб просто скоротити? Так, можна, але це не завжди зручно. Подивіться, який вийде знаменник для чисел 48 і 72, якщо їх просто перемножити 48 72 = 3456. Погодьтеся, що приємніше працювати з меншими числами.
Розглянемо приклади:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
у розкладанні більшого числа не вистачає трійки
=> НОК(51,119) = 3∙7∙17
А тепер застосуємо перший спосіб:
*Погляньте яка різниця в обчисленнях, у першому випадку їх мінімум, а в другому потрібно попрацювати окремо на листочку, та ще й дріб, який отримали скоротити необхідно. Знаходження НОК значно спрощує роботу.
Ще приклади:
*У другому прикладі і так видно, що найменше число, яке ділиться на 40 і 60, дорівнює 120.
ПІДСУМОК! ЗАГАЛЬНИЙ АЛГОРИТМ ВИЧИСЛЕНЬ!
- Наводимо дроби до звичайних, якщо є ціла частина.
- Наводимо дроби до спільного знаменника (спочатку дивимося чи ділиться один знаменник на інший, якщо ділиться то множимо чисельник і знаменник цього іншого дробу; якщо не ділиться діє через інших зазначених вище способів).
- отримавши дроби з рівними знаменниками, виконуємо дії (додавання, віднімання).
- Якщо необхідно, то результат скорочуємо.
- Якщо необхідно, то виділяємо цілу частину.
2. Добуток дробів.
Правило просте. При множенні дробів множаться їх чисельники та знаменники:
Приклади:
Калькулятор дробівпризначений для швидкого розрахунку операцій із дробами, допоможе легко дроби скласти, помножити, поділити чи відняти.
Сучасні школярі починають вивчення дробів вже у 5 класі, з кожним роком вправи з ними ускладнюються. Математичні терміниі величини, які ми дізнаємося в школі, рідко можуть стати в нагоді нам у дорослого життя. Проте дроби, на відміну логарифмів і ступенів, зустрічаються у повсякденності досить часто (вимір відстані, зважування товару тощо.). Наш калькулятор призначений для швидкого проведення операцій із дробами.
Спочатку визначимо, що таке дроби і які вони бувають. Дробами називають відношення одного числа до іншого, це число, що складається з цілої кількості часток одиниці.
Різновиди дробів:
- Звичайні
- Десяткові
- Змішані
приклад звичайних дробів:
Верхнє значення є чисельником, нижчим знаменником. Рисунок показує нам, що верхнє число ділиться на нижнє. Замість такого формату написання, коли рисочка знаходиться горизонтально, можна писати по-іншому. Можна ставити похилу лінію, наприклад:
1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1
Десяткові дробиє найпопулярнішим різновидом дробів. Вони складаються з цілої частини та дробової, відокремлені комою.
Приклад десяткових дробів:
0,2, або 6,71 або 0,125
Складаються з цілого числа та дробової частини. Щоб дізнатися про значення цього дробу, потрібно скласти ціле число і дріб.
Приклад змішаних дробів:
Калькулятор дробів на нашому сайті здатний швидко в онлайн-режимі виконати будь-які математичні операціїз дробами:
- Додавання
- Віднімання
- множення
- Поділ
Для здійснення розрахунку потрібно ввести цифри у поля та вибрати дію. У дробів необхідно заповнити чисельник і знаменник, ціле число може писатися (якщо дріб звичайна). Не забудьте натиснути кнопку «рівно».
Зручно, що калькулятор одразу надає процес вирішення прикладу з дробами, а не лише готову відповідь. Саме завдяки розгорнутому рішенню ви можете використовувати даний матеріалпри вирішенні шкільних завданьі для кращого освоєнняпройденого матеріалу.
Вам потрібно здійснити розрахунок прикладу:
Після введення показників у поля форми отримуємо:
Щоб зробити самостійний розрахунок, введіть дані у форму.
Калькулятор дробів
Введіть два дроби:| + - * : | |||||||
Супутні розділи.