Вимагає знання основних формул тригонометрії - суму квадратів синуса та косинуса, вираз тангенсу через синус та косинус та інші. Для тих, хто їх забув або не знає, рекомендуємо прочитати статтю " ".
Отже, основні тригонометричні формули ми знаємо, настав час використовувати їх на практиці. Розв'язання тригонометричних рівняньпри правильному підході – досить цікаве заняття, як, наприклад, зібрати кубик Рубіка.
З самого назви видно, що тригонометричне рівняння – це рівняння, у якому невідоме перебуває під знаком тригонометричної функції.
Існують так звані найпростіші тригонометричні рівняння. Ось як вони виглядають: sinx = a, cos x = a, tg x = a. Розглянемо, як вирішити такі тригонометричні рівнянняДля наочності будемо використовувати вже знайоме тригонометричне коло.
sinх = а
cos x = a
tg x = a
cot x = a
Будь-яке тригонометричне рівняння вирішується у два етапи: наводимо рівняння до найпростішого виду і далі вирішуємо його, як найпростіше тригонометричне рівняння.
Існує 7 основних методів, за допомогою яких вирішуються тригонометричні рівняння.
Метод заміни змінної та підстановки
Розв'язання тригонометричних рівнянь через розкладання на множники
Приведення до однорідного рівняння
Розв'язання рівнянь, через перехід до половинного кута
Введення допоміжного кута
Розв'язати рівняння 2cos 2 (x + /6) – 3sin(/3 – x) +1 = 0
Використовуючи формули наведення отримаємо:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Замінимо cos(x + /6) на y для спрощення та отримуємо звичайне квадратне рівняння:
2y 2 – 3y + 1 + 0
Коріння якого y 1 = 1, y 2 = 1/2
Тепер йдемо у зворотному порядку
Підставляємо знайдені значення y та отримуємо два варіанти відповіді:
Як розв'язати рівняння sin x + cos x = 1?
Перенесемо все вліво, щоб праворуч залишився 0:
sin x + cos x - 1 = 0
Скористайтеся вищерозглянутими тотожностями для спрощення рівняння:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Робимо розкладання на множники:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Отримуємо два рівняння
Рівняння є однорідним щодо синуса і косинуса, якщо його члени щодо синуса і косинуса однієї й тієї ж ступеня однієї й тієї ж кута. Для вирішення однорідного рівняння, надходять так:
а) переносять усі його члени до лівої частини;
б) виносять усі загальні множники за дужки;
в) прирівнюють усі множники та дужки до 0;
г) у дужках отримано однорідне рівняння меншою мірою, його у свою чергу ділять на синус або косинус у старшому ступені;
д) вирішують отримане рівняння щодо tg.
Розв'язати рівняння 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Скористаємося формулою sin 2 x + cos 2 x = 1 і позбудемося відкритої двійки праворуч:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Ділимо на cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Замінюємо tg x на y та отримуємо квадратне рівняння:
y 2 + 4y +3 = 0, коріння якого y 1 =1, y 2 = 3
Звідси знаходимо два рішення вихідного рівняння:
x 2 = arctg 3 + k
Розв'язати рівняння 3sin x – 5cos x = 7
Переходимо до x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Переносимо все вліво:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Ділимо на cos(x/2):
tg 2 (x/2) - 3tg(x/2) + 6 = 0
Для розгляду візьмемо рівняння виду: a sin x + b cos x = c,
де a, b, c – деякі довільні коефіцієнти, а x – невідоме.
Обидві частини рівняння розділимо на:
Тепер коефіцієнти рівняння відповідно до тригонометричних формул мають властивості sin і cos, а саме: їх модуль не більше 1 і сума квадратів = 1. Позначимо їх відповідно як cos і sin , де - це і є так званий допоміжний кут. Тоді рівняння набуде вигляду:
cos * sin x + sin * cos x = С
або sin(x + ) = C
Рішенням цього найпростішого тригонометричного рівняння буде
х = (-1) k * arcsin С - + k, де
Слід зазначити, що позначення cos і sin взаємозамінні.
Розв'язати рівняння sin 3x – cos 3x = 1
У цьому рівнянні коефіцієнти:
а = , b = -1, тому ділимо обидві частини на = 2
При вирішенні багатьох математичних завдань, особливо тих, що зустрічаються до 10 класу, порядок виконуваних дій, що призведуть до мети, визначено однозначно. До таких завдань можна віднести, наприклад, лінійні та квадратні рівняння, лінійні та квадратні нерівності, дробові рівняння та рівняння, що зводяться до квадратних. Принцип успішного вирішення кожної із згаданих завдань полягає в наступному: треба встановити, до якого типу належить розв'язувана задача, згадати необхідну послідовність дій, які призведуть до потрібного результату, тобто. відповіді, та виконати ці дії.
Очевидно, що успіх чи неуспіх у вирішенні того чи іншого завдання залежить головним чином від того, наскільки правильно визначено тип рівняння, що вирішується, наскільки правильно відтворена послідовність всіх етапів його вирішення. Зрозуміло, у своїй необхідно володіти навичками виконання тотожних перетворень і обчислень.
Інша ситуація виходить з тригонометричними рівняннями.Встановити факт те, що рівняння є тригонометричним, дуже неважко. Складнощі з'являються щодо послідовності дій, які призвели до правильної відповіді.
На вигляд рівняння часом буває важко визначити його тип. А не знаючи типу рівняння, майже неможливо вибрати із кількох десятків тригонометричних формул потрібну.
Щоб розв'язати тригонометричне рівняння, треба спробувати:
1. привести всі функції, що входять до рівняння до «однакових кутів»;
2. привести рівняння до «однакових функцій»;
3. розкласти ліву частину рівняння на множники тощо.
Розглянемо основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь
I. Приведення до найпростіших тригонометричних рівнянь
Схема розв'язання
Крок 1Виразити тригонометричну функцію через відомі компоненти.
Крок 2Знайти аргумент функції за формулами:
cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Крок 3Знайти невідому змінну.
приклад.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Рішення.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Відповідь: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
ІІ. Заміна змінної
Схема розв'язання
Крок 1Привести рівняння до виду алгебри щодо однієї з тригонометричних функцій.
Крок 2Позначити отриману функцію змінної t (якщо необхідно ввести обмеження на t).
Крок 3Записати та вирішити отримане рівняння алгебри.
Крок 4.Зробити зворотну заміну.
Крок 5.Вирішити найпростіше тригонометричне рівняння.
приклад.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Рішення.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Нехай sin(x/2) = t, де | t | ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 чи е = -3/2, не задовольняє умові |t| ≤ 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Відповідь: x = π + 4πn, n Є Z.
ІІІ. Метод зниження порядку рівняння
Схема розв'язання
Крок 1Замінити дане рівняння лінійним, використовуючи при цьому формули зниження ступеня:
sin 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Крок 2Вирішити отримане рівняння за допомогою методів І та ІІ.
приклад.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Рішення.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 · cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Відповідь: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Однорідні рівняння
Схема розв'язання
Крок 1Привести це рівняння до виду
a) a sin x + b cos x = 0 (однорідне рівняння першого ступеня)
або на вигляд
б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (однорідне рівняння другого ступеня).
Крок 2Розділити обидві частини рівняння на
а) cos x ≠ 0;
б) cos 2 x ≠ 0;
і отримати рівняння щодо tg x:
а) a tg x + b = 0;
б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
Крок 3Вирішити рівняння відомими способами.
приклад.
5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 = 0.
Рішення.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3 sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Нехай tg x = t, тоді
t 2 + 3t - 4 = 0;
t = 1 або t = -4, отже
tg x = 1 або tg x = -4.
З першого рівняння x = π/4 + πn, n º Z; з другого рівняння x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Відповідь: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Метод перетворення рівняння за допомогою тригонометричних формул
Схема розв'язання
Крок 1Використовуючи всілякі тригонометричні формули, привести дане рівняння до рівняння, яке вирішується методами I, II, III, IV.
Крок 2Вирішити отримане рівняння відомими методами.
приклад.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Рішення.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 або 2cos x + 1 = 0;
З першого рівняння 2x = π/2 + πn, n Є Z; із другого рівняння cos x = -1/2.
Маємо х = π/4 + πn/2, n Є Z; із другого рівняння x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Через війну х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Відповідь: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Вміння та навички вирішувати тригонометричні рівняння є дуже 
важливими, їхній розвиток потребує значних зусиль, як з боку учня, так і з боку вчителя.
З рішенням тригонометричних рівнянь пов'язані багато завдань стереометрії, фізики, та інших. Процес розв'язання таких завдань хіба що містить у собі багато знання й уміння, які набувають щодо елементів тригонометрії.
Тригонометричні рівняння займають важливе місце у процесі навчання математики та розвитку особистості загалом.
Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати тригонометричні рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Методи розв'язання тригонометричних рівнянь
Вступ 2
Методи розв'язання тригонометричних рівнянь 5
Алгебраїчний 5
Розв'язання рівнянь за допомогою умови рівності однойменних тригонометричних функцій 7
Розкладання на множники 8
Приведення до однорідного рівняння 10
Введення допоміжного кута 11
Перетворення твору на суму 14
Універсальна підстановка 14
Висновок 17
Вступ
До десятого класу порядок дій багатьох вправ, що веде до мети, зазвичай однозначно визначений. Наприклад, лінійні та квадратні рівняння та нерівності, дробові рівняння та рівняння, що приводяться до квадратних, тощо. Не розбираючи докладно принципу вирішення кожного зі згаданих прикладів, відзначимо те загальне, що необхідне їх успішного рішення.
Найчастіше треба встановити, якого типу належить завдання, згадати послідовність дій, які ведуть мети, і здійснити ці действия. Очевидно, що успіх чи неуспіх учня в оволодінні прийомами розв'язання рівнянь залежить головним чином від того, наскільки він зуміє правильно визначити тип рівняння та згадати послідовність усіх етапів його розв'язання. Вочевидь, у своїй передбачається, що учень має навичками виконання тотожних перетворень і обчислень.
Зовсім інша ситуація виходить, коли школяр зустрічається із тригонометричними рівняннями. При цьому встановити факт, що рівняння є тригонометричним, неважко. Складнощі виникають при знаходженні порядку дій, які б призвели до позитивного результату. І тут перед учнем постають дві проблеми. На вигляд рівняння важко визначити тип. А не знаючи типу, майже неможливо вибрати потрібну формулу з кількох десятків, що є у розпорядженні.
Щоб допомогти учням знайти вірну дорогу у складному лабіринті тригонометричних рівнянь, їх спочатку знайомлять із рівняннями, які після введення нової змінної наводяться до квадратних. Потім вирішують однорідні рівняння та приведені до них. Все закінчується, зазвичай, рівняннями, на вирішення яких треба розкласти на множники ліву частину, прирівнявши потім кожен із множників нанівець.
Розуміючи, що розібраних на уроках півтора десятка рівнянь явно недостатньо, щоб пустити учня в самостійне плавання тригонометричним "морем", вчитель додає від себе ще кілька рекомендацій.
Щоб розв'язати тригонометричне рівняння, треба спробувати:
Привести всі функції, що входять до рівняння до «однакових кутів»;
Привести рівняння до "однакових функцій";
Розкласти ліву частину рівняння на множники тощо.
Але, незважаючи на знання основних типів тригонометричних рівнянь і кількох принципів пошуку їх вирішення, багато учнів, як і раніше, опиняються в глухому куті перед кожним рівнянням, що незначно відрізняється від тих, що вирішувалися раніше. Залишається незрозумілим, чого слід прагнути, маючи те чи інше рівняння, чому в одному випадку треба застосовувати формули подвійного кута, в іншому - половинного, а в третьому - формули додавання і т.д.
Визначення 1.Тригонометричним називається рівняння, в якому невідоме міститься під знаком тригонометричних функцій.
Визначення 2.Говорять, що в тригонометричному рівнянні однакові кути, якщо всі тригонометричні функції, що входять до нього, мають рівні аргументи. Говорять, що в тригонометричному рівнянні однакові функції, якщо воно містить лише одну з тригонометричних функцій.
Визначення 3.Ступенем одночлена, що містить тригонометричні функції, називається сума показників ступенів тригонометричних функцій, що входять до нього.
Визначення 4.Рівняння називається однорідним, якщо всі одночлени, що входять до нього, мають один і той самий ступінь. Цей ступінь називається порядком рівняння.
Визначення 5.Тригонометричне рівняння, що містить лише функції sinі cos, називається однорідним, якщо всі одночлени щодо тригонометричних функцій мають однаковий ступінь, а самі тригонометричні функції мають рівні кути та число одночленів на 1 більше за порядок рівняння.
Методи розв'язання тригонометричних рівнянь.
Розв'язання тригонометричних рівнянь складається з двох етапів: перетворення рівняння для отримання його найпростішого виду та рішення отриманого найпростішого тригонометричного рівняння. Існує сім основних методів розв'язання тригонометричних рівнянь.
I. Алгебраїчний метод.Цей метод добре відомий із алгебри. (Метод заміни змінний та підстановки).
Розв'язати рівняння.
1)
Введемо позначення x=2 sin3 t, отримаємо
Вирішуючи це рівняння, отримуємо: 
або 
тобто. можна записати
При записі отриманого рішення через наявність знаків 
ступінь 
записувати немає сенсу.
Відповідь: 
Позначимо 
Отримуємо квадратне рівняння 
. Його корінням є числа 
і 
. Тому дане рівняння зводиться до найпростіших тригонометричних рівнянь. 
і 
. Вирішуючи їх, знаходимо, що 
або 
.
Відповідь: 
; 
.
Позначимо 
не задовольняє умову 
Значить 
Відповідь: 
Перетворимо ліву частину рівняння:
Таким чином, це вихідне рівняння можна записати у вигляді:
, тобто.
Позначивши 
, отримаємо 
Вирішивши дане квадратне рівняння маємо:
не задовольняє умову 
Записуємо рішення вихідного рівняння:
Відповідь: 
Підстановка 
зводить дане рівняння до квадратного рівняння 
. Його корінням є числа 
і 
. Оскільки 
, то задане рівняння коренів немає.
Відповідь: коріння немає.
II. Розв'язання рівнянь за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій.
а) 
, якщо
б) 
, якщо
в) 
, якщо 
Використовуючи ці умови, розглянемо рішення наступних рівнянь:
6) 
Користуючись сказаним у п. а) отримуємо, що рівняння має рішення в тому і лише в тому випадку, коли 
.
Вирішуючи це рівняння, знаходимо 
.
Маємо дві групи рішень: 
.
7) Розв'язати рівняння: 
.
Користуючись умовою п. б) виводимо, що 
.
Вирішуючи ці квадратні рівняння, отримуємо:
.
8) Розв'язати рівняння 
.
З цього рівняння виводимо, що . Вирішуючи це квадратне рівняння, знаходимо, що 
.
III. Розкладання на множники.
Цей метод розглядаємо на прикладах.
9) Розв'язати рівняння 
.
Рішення. Перенесемо всі члени рівняння вліво: .
Перетворимо і розкладемо на множники вираз у лівій частині рівняння: 
.
.
.
1)
2) 
Т.к. 
і 
не приймають значення нуль
одночасно, то розділимо обидві частини
рівняння на 
, 
Відповідь: 
10) Розв'язати рівняння:
Рішення.
або 
Відповідь: 
11) Розв'язати рівняння
Рішення:
1)
2)
3)
, 
Відповідь: 
IV. Приведення до однорідного рівняння.
Щоб розв'язати однорідне рівняння треба:
Перенести всі його члени до лівої частини;
Винести всі спільні множники за дужки;
Прирівняти всі множники та дужки до нуля;
Дужки, прирівняні до нуля, дають однорідне рівняння меншою мірою, яке слід розділити на 
(або 
) у старшому ступені;
Вирішити отримане рівняння алгебри щодо 
.
Розглянемо приклади:
12) Розв'язати рівняння:
Рішення.
Розділимо обидві частини рівняння на 
, 
Вводячи позначення 
, ім'ям
коріння цього рівняння: 
звідси 1) 
2) 
Відповідь: 
13) Розв'язати рівняння:
Рішення. Використовуючи формули подвійного кута та основне тригонометричне тотожність, наводимо дане рівняння до половинного аргументу:
Після приведення подібних доданків маємо:
Розділивши однорідне останнє рівняння на 
, отримаємо
Позначу 
, отримаємо квадратне рівняння 
, корінням якого є числа 
Таким чином 
Вираз 
звертається в нуль при 
, тобто. при 
, 
.
Отримане нами рішення рівняння не включає дані числа.
Відповідь: 
, .
V. Введення допоміжного кута.
Розглянемо рівняння виду
Де a, b, c- Коефіцієнти, x- Невідоме.
Розділимо обидві частини цього рівняння на 
Тепер коефіцієнти рівняння мають властивості синуса і косинуса, саме: модуль кожного їх вбирається у одиниці, а сума їх квадратів дорівнює 1.
Тоді можна позначити їх відповідно 
(тут 
- Допоміжний кут) і наше рівняння набуває вигляду: .
Тоді 
І його рішення
Зауважимо, що введені позначення взаємозамінні.
14) Розв'язати рівняння: 
Рішення. Тут 
тому ділимо обидві частини рівняння на 
Відповідь: 
15) Розв'язати рівняння
Рішення. Оскільки 
, то дане рівняння рівносильне рівнянню
Оскільки 
, то існує такий кут, що 
, 
(Тобто. 
).
Маємо 
Оскільки 
, то остаточно отримуємо:
.
Зауважимо, що рівняння виду мають рішення тоді і лише тоді, коли 
16) Розв'язати рівняння:
Для розв'язання цього рівняння згрупуємо тригонометричні функції з однаковими аргументами
Розділимо обидві частини рівняння на два
Перетворимо суму тригонометричних функцій на твір:
Відповідь: 
VI. Перетворення твору на суму.
Тут застосовуються відповідні формули.
17) Розв'язати рівняння:
Рішення. Перетворимо ліву частину на суму:
VII.Універсальна підстановка.
, 
ці формули вірні всім 
Підстановка 
називається універсальною.
18) Розв'язати рівняння: 
Рішення: Замінимо та 
на їх вираз через 
і позначимо 
.
Отримуємо раціональне рівняння 
, яке перетворюється на квадратне 
.
Корінням цього рівняння є числа 
.
Тому завдання звелося до розв'язання двох рівнянь 
.
Знаходимо, що 
.
Значення виду 
вихідного рівняння не задовольняє, що перевіряється перевіркою - підстановкою даного значення tу вихідне рівняння.
Відповідь: 
.
Зауваження. Рівняння можна було вирішити іншим способом.
Розділимо обидві частини цього рівняння на 5 (тобто на 
): 
.
Оскільки 
, то існує таке число 
, що 
і 
. Тому рівняння набуває вигляду: 
або 
. Звідси знаходимо, що 
де 
.
19) Розв'язати рівняння 
.
Рішення. Оскільки функції 
і 
мають найбільше значення, що дорівнює 1, то їх сума дорівнює 2, якщо 
і 
одночасно, тобто 
.
Відповідь: 
.
При вирішенні цього рівняння застосовувалася обмеженість функцій та .
Висновок.
Працюючи над темою «Рішення тригонометричних рівнянь» кожному вчителю корисно виконувати такі рекомендації:
Систематизувати методи розв'язання тригонометричних рівнянь.
Вибрати собі кроки з виконання аналізу рівняння та ознаки доцільності використання тієї чи іншої метод решения.
Продумати способи самоконтролю своєї діяльності щодо реалізації методу.
Навчитися складати «свої» рівняння на кожен із методів, що вивчаються.
Додаток №1
Розв'яжіть однорідні або приведені до однорідним рівняння.
1. | Відп. |
Відп. |
|
Відп. |
|
5. | Відп. |
Відп. |
|
7. | Відп. |
Відп. |
|
Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!
Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.
Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.
Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.
Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.
Урок комплексного застосування знань.
Цілі уроку.
- Розглянути різні методи розв'язання тригонометричних рівнянь.
- Розвиток творчих здібностей учнів шляхом розв'язання рівнянь.
- Заохочування учнів до самоконтролю, взаємоконтролю, самоаналізу своєї навчальної діяльності.
Обладнання: проектор, екран, довідковий матеріал.
Хід уроку
Вступна розмова.
Основним методом розв'язання тригонометричних рівнянь є зведення їх найпростішим. При цьому застосовуються звичайні способи, наприклад розкладання на множники, а також прийоми, які використовуються тільки для вирішення тригонометричних рівнянь. Цих прийомів досить багато, наприклад різні тригонометричні підстановки, перетворення кутів, перетворення тригонометричних функцій. Безладне застосування будь-яких тригонометричних перетворень зазвичай не спрощує рівняння, а катастрофічно його ускладнює. Щоб виробити загалом план розв'язання рівняння, намітити шлях зведення рівняння до найпростішого, потрібно насамперед проаналізувати кути – аргументи тригонометричних функцій, які входять у рівняння.
Сьогодні ми поговоримо про методи розв'язання тригонометричних рівнянь. Правильно вибраний метод часто дозволяє суттєво спростити рішення, тому всі вивчені нами методи завжди потрібно тримати у зоні своєї уваги, щоб вирішувати тригонометричні рівняння найбільш підходящим методом.
ІІ. (За допомогою проектора повторюємо методи розв'язання рівнянь.)
1. Метод приведення тригонометричного рівняння до алгебраїчного.
Необхідно висловити всі тригонометричні функції через одну, з тим самим аргументом. Це можна зробити за допомогою основного тригонометричного тотожності та його наслідків. Отримаємо рівняння з однією тригонометричною функцією. Взявши її за нову невідому, отримаємо рівняння алгебри. Знаходимо його коріння і повертаємося до старої невідомої, вирішуючи найпростіші тригонометричні рівняння.
2. Метод розкладання на множники.
Для зміни кутів часто бувають корисні формули приведення, суми та різниці аргументів, а також формули перетворення суми (різниці) тригонометричних функцій на твір і навпаки.
sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x
3. Метод запровадження додаткового кута.
4. Метод використання універсальної підстановки.
Рівняння виду F(sinx, cosx, tgx) = 0 зводяться до алгебраїчного за допомогою універсальної тригонометричної підстановки
Виразивши синус, косинус та тангенс через тангенс половинного кута. Цей прийом може призвести до рівняння високого порядку. Рішення якого складне.