Інтелект людини потребує постійних тренувань анітрохи не менше, ніж тіло в фізичних навантажень. Найкращий спосіброзвивати, розширювати здібності цієї якості психіки – розгадувати кросворди та вирішувати головоломки, найвідомішою з яких, звичайно, є кубик Рубіка. Проте не всім вдається його зібрати. Впоратися з цим завданням допоможе знання схем і формул вирішення складання цієї хитромудрої іграшки.
Що являє собою іграшка-головоломка
Механічний куб із пластмаси, зовнішні грані якого складаються з малих кубиків. Розмір іграшки визначається кількістю малих елементів:
- 2 х 2;
- 3 х 3 (початкова версія кубика Рубіка була саме 3 х 3);
- 4 х 4;
- 5 х 5;
- 6 х 6;
- 7 х 7;
- 8 х 8;
- 9 х 9;
- 10 х 10;
- 11 х 11;
- 13 х 13;
- 17 х 17.
Будь-який з малих кубів може обертатися три сторони по осях, представленим у вигляді виступів фрагмента одного з трьох циліндрів великого куба. Так конструкція може вільно обертатися, але при цьому малі деталі не випадають, а тримаються один за одного.
Кожна грань іграшки включає 9 елементів, пофарбованих в один із шести кольорів, що знаходяться один навпроти одного попарно. Класичною комбінацією відтінків є:
- червоний навпроти помаранчевого;
- білий навпроти жовтого;
- синій навпроти зеленого.
Однак сучасні версії можуть бути забарвлені в інші поєднання.
Сьогодні можна зустріти кубики Рубіка різного кольорута форм
Це цікаво. Кубик Рубіка існує навіть у версії сліпих. Там замість колірних квадратів є рельєфна поверхня.
Мета складання головоломки полягає у впорядкуванні малих квадратів так, щоб вони утворили грань великого куба одного кольору.
Історія появи
Ідея створення належить угорському архітектору Ерне Рубіку, який насправді створював не іграшку, а наочний посібник для своїх студентів. Таким цікавим способомкмітливий викладач планував пояснити теорію математичних груп(Алгебраїчних структур). Сталося це в 1974 році, а вже через рік винахід був запатентований як іграшка-головоломка - настільки прикипіли душею майбутні архітектори (і не тільки вони) до хитромудрого та яскравого посібника.
Випуск першої серії головоломки був присвячений новому 1978 році, але у світ іграшка вийшла завдяки підприємцям Тібору Лакзі та Тому Кремеру.
Це цікаво. З моменту появи кубика Рубіка (магічного куба, чарівного куба) було продано близько 350 мільйонів екземплярів по всьому світу, що ставить головоломку на перше місце за популярністю серед іграшок. Не кажучи вже про десятки комп'ютерних ігор, заснованих на такому принципі збирання.
Кубик Рубіка – це знакова іграшка для багатьох поколінь
У 80-ті роки з кубиком Рубіка познайомилися жителі СРСР, а в 1982 в Угорщині було організовано перший чемпіонат світу зі збирання головоломки на швидкість – спідкубінг. Тоді найкращий результатстановив 22,95 секунди (для порівняння: у 2017 році встановлено новий світовий рекорд: 4,69 секунди).
Це цікаво. Любителі збирати різнокольорову головоломку настільки прив'язані до іграшки, що одних змагань зі збирання на швидкість їм мало. Тому в останні рокиз'явилися чемпіонати з вирішення головоломки з закритими очима, однією рукою, ногами.
Що таке формули для кубика Рубіка
Зібрати чарівний куб - це означає скласти всі маленькі деталі так, щоб вийшла ціла грань одного кольору, потрібно скористатися алгоритмом Бога. Цей термін означає набір з мінімуму дій, які дозволять дозволити головоломку, що має кінцеве числоходів та комбінацій.
Це цікаво. Крім кубика Рубіка, алгоритм Бога застосовується до таких головоломок, як пірамідка Мефферта, Такен, Ханойська вежа та ін.
Оскільки магічний куб Рубіка був створений як математичний посібник, то його складання розкладається за формулами.
Складання кубика Рубика ґрунтується на використанні спеціальних формул
Важливі визначення
Щоб навчитися розуміти схеми вирішення головоломки, необхідно познайомитися з назвами її частин.
- Кутом називається поєднання трьох кольорів. У кубику 3 х 3 їх буде 3, у версії 4 х 4 – 4 тощо. У іграшці 12 кутів.
- Ребром позначають два кольори. Їх у кубику 8 штук.
- Центр містить один колір. Усього їх 6.
- Грані, як уже було сказано, це одночасно обертаються елементи головоломки. Ще вони називаються шарами або скибочками.
Значення у формулах
Слід зазначити, що формули зі збирання складені на латиниці - саме такі схеми широко представлені в різних посібниках з роботи з головоломкою. Але є й русифіковані версії. У переліку нижче дано обидва варіанти.
- Фронтальна грань (фронт чи фасад) – це передня грань, яка знаходиться кольором до нас [Ф] (або F – front).
- Задня грань – це грань, яка знаходиться центром від нас [З] (або B – back).
- Права Грань – грань, що знаходиться праворуч [П] (або R – right).
- Ліва Грань – грань, яка знаходиться зліва [Л] (або L – left).
- Нижня Грань – грань, яка знаходиться внизу [Н] (або D – down).
- Верхня Грань – грань, яка знаходиться вгорі [В] (або U – up).
Фотогалерея: частини кубика Рубіка та їх визначення
Для роз'яснення позначень у формулах використовуємо російську версію – так буде зрозуміліше новачкам, але для тих, хто захоче перейти на професійний рівеньспідкубінгу без міжнародної системи позначень на англійською мовоюне обійтися.
Це цікаво. Міжнародна системапозначення прийнято Світовою асоціацієюКубика (World Cube Association, WCA).
- Центральні кубики позначені у формулах однієї малою літерою- ф, т, п, л, в, н.
- Кутові - трьома літерами за найменуванням граней, наприклад, фпв, флні тощо.
- Величезними літерами Ф, Т, П, Л, В, Н позначаються елементарні операції повороту відповідної грані (шару, скибочки) куба на 90 ° за годинниковою стрілкою.
- Позначення Ф, Т, П, Л, В, Н відповідають повороту граней на 90° проти годинникової стрілки.
- Позначення Ф 2 П 2 і т. д. говорять про подвійний поворот відповідної грані (Ф 2 = ФФ).
- Літерою С позначають поворот середнього шару. Підрядковий індекс показує, з боку якої грані слід дивитися, щоб зробити цей поворот. Наприклад, С П - з боку правої грані, С Н - з боку нижньої, С "Л - з боку лівої, проти годинникової стрілки і т. д. Зрозуміло, що С Н = С", С П = С "Л і т.п.
- Літера О - поворот (обіг) всього куба навколо своєї осі. О Ф - з боку фасадної грані за годинниковою стрілкою і т.д.
Запис процесу (Ф "П") Н 2 (ПФ) означає: повернути фасадну грань проти годинникової стрілки на 90°, те ж - праву грань, повернути нижню грань двічі (тобто на 180°), повернути праву грань на 90° годинної стрілки, повернути фасадну грань на 90 ° за годинниковою стрілкою.
Невідомийhttp://dedfoma.ru/kubikrubika/kak-sobrat-kubik-rubika-3x3x3.htm
Початківцям важливо навчитися розуміти формули
Як правило, в інструкціях зі збирання головоломки в класичних кольорах рекомендується тримати головоломку жовтим центром вгору. Ця порада особливо важлива для новачків.
Це цікаво. Є сайти, які візуалізують формули. Причому швидкість процесу збирання можна встановлювати самостійно. Наприклад, alg.cubing.net
Як вирішити головоломку Рубіка
Існує два типи схем:
- для новачків;
- для професіоналів.
Їхня відмінність у складності формул, а також швидкості складання. Для новачків, звичайно, будуть кориснішими відповідні їх рівню володіння головоломкою інструкції. Але і вони, потренувавшись, через час зможуть складати іграшку за 2-3 хвилини.
Як зібрати стандартний куб 3 х 3
Почнемо зі складання класичного 3 х 3 кубики Рубика за допомогою схеми з 7 кроків.
Класичною версією головоломки є кубик Рубіка 3 х 3
Це цікаво. Зворотний процес, що застосовується для вирішення тих чи інших неправильно розташованих кубиків, є зворотною послідовністю дії, описаної формулою. Тобто формулу необхідно прочитати праворуч, а обертати шари проти годинникової стрілки, якщо було вказано пряме переміщення, і навпаки: пряме, якщо описано протилежне.
Покрокова інструкція збирання
- Починаємо зі збирання хреста верхньої грані. Потрібний кубик опускаємо вниз, повернувши відповідну бічну грань(П, Т, Л)і виводимо на фасадну грань операцією Н, Н" або Н 2 . Закінчуємо етап виведення дзеркальним поворотом (зворотним) тієї ж бічної грані, що відновлює початкове положення тоненого реберного кубика верхнього шару. Після цього проводимо операцію а) або б) першого етапу. У випадку а) кубик вийшов на фасадну грань так, що колір його передньої грані збігається з кольором фасаду. своє місце.
Збираємо хрест верхньої лінії
- Знаходиться потрібний кутовий кубик (що має кольори граней Ф, В, Л) і тим самим прийомом, який описаний для першого етапу, виводиться в лівий кут обраної фасадної грані (або жовтої). Тут може бути три випадки орієнтації цього кубика. Порівнюємо свій випадок з малюнком і застосовуємо одну з операцій другого етапу, били в. Крапками на схемі зазначено місце, на яке має стати потрібний кубик. Шукаємо на кубі решту трьох кутових кубиків і повторюємо описаний прийом для переміщення їх на свої місця верхньої грані. Результат: верхній шарпідібраний.Перші два етапи майже ні в кого не викликають труднощів: досить легко можна стежити за своїми діями, тому що вся увага звернена на один шар, а що робиться у двох, що залишилися, - зовсім неважливо.
Підбираємо верхній шар
- Наша мета: знайти необхідний кубик і спочатку вивести вниз на фасадну грань. Якщо він унизу - простим поворотом нижньої грані до збігу з кольором фасаду, а якщо він у середньому шарі, то його потрібно спочатку опустити вниз будь-якої з операцій а)або б), а потім поєднати за кольором з кольором фасадної грані та зробити операцію третього етапу а) чи б). Результат: зібрано два шари.Наведені тут формули є дзеркальними повному розумінніцього слова. Наочно побачити це можна, якщо поставити праворуч або ліворуч від кубика дзеркало (ребром до себе) і зробити будь-яку з формул, у дзеркалі: побачимо другу формулу. Тобто операції з фасадною, нижньою, верхньою (тут не бере участі), і тильною (теж не бере участь) гранями змінюють знак на протилежний: було за годинниковою стрілкою, проти годинникової, і навпаки. А ліва грань змінюється з правої, і, відповідно, змінює напрямок повороту на протилежне.
Шукаємо потрібний кубик і виводимо його вниз на фасадну грань
- До мети наводять операції, що переміщують бортові кубики однієї грані, що не порушують кінцевого рахунку порядку в зібраних шарах. Один із процесів, що дозволяє підібрати всі бортові грані, дано на малюнку. Там показано і що відбувається при цьому з іншими кубиками грані. Повторюючи процес, вибравши іншу фасадну грань, можна поставити на місце усі чотири кубики. Результат: реберні деталі стоять на своїх місцях, але два з них, або навіть усі чотири, можуть бути невірно орієнтовані. Важливо: перш ніж розпочати виконання цієї формули, дивимося, які кубики вже стоять на своїх місцях – вони можуть бути неправильно орієнтовані. Якщо жодного чи один, то пробуємо повернути верхню грань так, щоб два, що знаходяться на двох сусідніх бічних гранях (фв+пв, пв+тв, тв+лв, лв+фв), стали на свої місця, після цього орієнтуємо куб так , як показано малюнку, і виконуємо наведену цьому етапі формулу. Якщо не виходить поворотом верхньої грані поєднати деталі, що належать сусіднім граням, то виконуємо формулу за будь-якого положення кубиків верхньої грані один раз і пробуємо ще раз поворотом верхньої грані поставити на свої місця 2 деталі, що знаходяться на двох сусідніх бокових гранях.
Важливо перевірити орієнтацію кубиків на цьому етапі
- Враховуємо, що кубик, що розгортається, повинен бути на правій грані, на малюнку він позначений стрілками (кубик пв). На малюнках а, б, і представлені можливі випадки розташування невірно орієнтованих кубиків (позначені точками). Використовуючи формулу у випадку а), виконуємо проміжний поворот В", щоб вивести другий кубик на праву грань, і завершальний поворот, який поверне верхню грань в вихідне становище, у разі б) проміжний поворот 2 і завершальний теж 2 , а у випадку в) проміжний поворот потрібно виконувати три рази, після перевороту кожного кубика і завершити також поворотом В. Багатьох бентежить те, що після першої частини процесу (ПС Н ) 4 потрібний кубик розгортається як слід, але порядок у зібраних шарах порушується. Це збиває з пантелику і деяких змушує кинути на півдорозі майже зібраний куб. Виконавши проміжний поворот, не звертаючи уваги на «поломку» нижніх шарів, виконуємо операції (ПС Н) 4 з другим кубиком (друга частина процесу), і все стає на свої місця. Результат: зібрано хрест.
Результатом цього етапу буде зібраний хрест
- Кути останньої грані ставимо на свої місця, використовуючи 8-ходовий процес, зручний для запам'ятовування, - прямий, що переставляє три кутові деталі в напрямку за годинниковою стрілкою, і зворотний, що переставляє три кубики в напрямку проти годинникової стрілки. Після п'ятого етапу, як правило, хоча б один кубик та сяде на своє місце, хай і неправильно орієнтовано. (Якщо після п'ятого етапу жоден із кутових кубиків не сів на своє місце, то застосовуємо будь-який з двох процесів для будь-яких трьох кубиків, після цього точно один кубик буде на своєму місці.). Результат: всі кутові кубики зайняли свої місця, але два з них (а може й чотири) можуть бути орієнтовані неправильно.
Кутові кубики сидять на своїх місцях
- Багаторазово повторюємо послідовність поворотів ПФ "П"Ф. Повертаємо куб так, щоб кубик, який хочемо розгорнути, був у правому верхньому куткуфасаду. 8-ходовий процес (2 х 4 ходи) поверне його на 1/3 обороту за годинниковою стрілкою. Якщо кубик ще не зорієнтувався, повторюємо 8-ходівку ще раз (у формулі це відображено індексом «N»). Не звертаємо уваги на те, що нижні шари при цьому прийдуть у безлад. На малюнку показано чотири випадки розташування неправильно орієнтованих кубиків (вони позначені точками). У разі а) потрібен проміжний поворот і завершальний В", у випадку б) - проміжний і завершальний поворот В 2 , у випадку в) - поворот виконується після розвороту кожного кубика до правильної орієнтації, а завершальний В 2 у випадку г) - проміжний поворот також виконується після розвороту кожного кубика до правильної орієнтації, і завершальним в цьому випадку теж буде поворот. Результат: остання грань зібрана.
Можливі помилки показані точками
Формули для виправлення розташування кубиків можуть бути показані так.
Формули для виправлення неправильно орієнтованих кубиків на останньому етапі
Суть методу Джессіки Фрідріх
Способів складання головоломки існує кілька, але одним з найбільш запам'ятовується варіант, розроблений Джесікою Фрідріх - професором університету в Бінгемтоні (штат Нью-Йорк), що займається розробки методик приховування даних у цифрових зображеннях. Ще будучи підлітком, Джесіка настільки захопилася кубиком, що 1982 стала чемпіонкою світу з спідкубінгу і згодом не залишила свого хобі, розробивши формули для швидкого складання «магічного куба». Один із найпопулярніших варіантів складання куба називається CFOP - за першими буквами чотирьох кроківзбирання.
Інструкція:
- Збираємо хрест на верхній грані, який складається з кубиків на ребрах нижньої грані. Цей етап називається Cross – хрест.
- Збираємо нижній та середній шари, тобто грань, на якій розташований хрест, та проміжний шар, що складається з чотирьох бічних деталей. Назва цього кроку F2L (First two layers) – перші два шари.
- Збираємо грань, що залишилася, не звертаючи уваги на те, що не всі деталі на своїх місцях. Етап зветься OLL (Orient the last layer), що перекладається як "орієнтація останнього шару".
- Останній рівень – PLL (Permute the last layer) – полягає у правильній розстановці кубиків верхнього шару.
Відеоінструкції за методом Фрідріх
Спосіб, запропонований Джесікою Фрідріх, настільки сподобався спідкуберам, що найбільш просунуті любителі розробляють власні методики прискорення складання кожного з етапів, запропонованих автором.
Відео: прискорення збирання хреста
Відео: збираємо перші два шари
Відео: працюємо з останнім шаром
Відео: останній рівень збірки за Фрідріхом
2 х 2
Кубик Рубіка 2х2 або міні-кубик Рубіка також складається пошарово, починаючи з нижнього рівня.
Міні-кубик – це полегшена версія класичної головоломки
Інструкція для початківців з легкого збирання
- Збираємо нижній шар так, щоб кольори чотирьох останніх кубиків збіглися, а два кольори, що залишилися, були такими ж, як і кольори сусідніх деталей.
- Приступаємо до упорядкування верхнього шару. Звертаємо увагу, що на даному етапіціль не поєднати кольори, а поставити кубики по місцях. Починаємо з визначення кольору верху. Тут все просто: це буде колір, який не з'явився в нижньому шарі. Повертаємо будь-який з верхніх кубиків так, щоб він потрапив у положення, коли перетинаються три кольори елемента. Зафіксувавши кут, розташовуємо елементи, що залишилися. Використовуємо для цього дві формули: одна для зміни діагональних кубиків, інша – для сусідніх.
- Завершуємо верхній шар. Усі операції проводимо попарно: обертаємо один кут, а потім інший, але в протилежному напрямку(Наприклад, перший за годинниковою стрілкою, другий - проти). Можна працювати відразу з трьома кутами, але в цьому випадку комбінація буде тільки одна: або за годинниковою або проти годинникової стрілки. Між обертаннями кутів, повертаємо верхню грань, щоб кут, що відпрацьовується, опинився в правому верхньому кутку. Якщо працюємо з трьома кутами, то правильно орієнтований їх ставимо ззаду зліва.
Формули для обертання кутів:
- (ВФПВ · П "В" Ф") ² (5);
- В²Ф·В²Ф”В”Ф·В”Ф”(6);
- ФВФ² · ЛФЛ² · ВЛВ² (7).
Для повороту одразу трьох кутів:
- (ФВПВ"П"Ф"В")² (8);
- ФВ·Ф”В·ФВ²·Ф”В² (9);
- "Л"Ф"Л"Ф"В"Ф (10).
Фотогалерея: збірка кубика 2 х 2
Відео: метод Фрідріх для кубика 2 х 2
Збираємо найскладніші версії кубика
До таких відносяться іграшки з кількістю деталей від 4х4 і аж до 17х17.
Моделі кубика на багато елементів зазвичай мають кути, що округляють, для зручності маніпуляцій з іграшкою.
Це цікаво. У заразйде розробка версії 19х19.
При цьому слід пам'ятати: що створені вони були на основі кубика 3 х 3, тому збірка вибудовується за двома напрямками.
- Збираємо центр, щоб залишилися елементи кубика 3 х 3.
- Працюємо за схемами для збирання початкового варіантаіграшки (найчастіше кубери користуються способом Джесікі Фрідріх).
4 х 4
Ця версія називається «Помста Рубика».
Інструкція:
Складання моделей 5 х 5, 6 х 6 і 7 х 7 аналогічне попередньому, тільки за основу центру беремо більша кількістькубиків.
Відео: складання кубика Рубіка 5 х 5
Працюємо над вирішенням головоломки 6 х 6
Цей кубик досить незручний у роботі: велика кількістьмаленьких деталей вимагає особливої уваги. Тому відеоінструкції розділимо на чотири частини: для кожного етапу збирання.
Відео: як зібрати центр у кубику 6 х 6, частина 1
Відео: спарювання реберних елементів у кубику 6 х 6, частина 2
Відео: спарювання чотирьох елементів головоломці 6 х 6, частина 3
Відео: остаточне складання кубика Рубіка 6 х 6, частина 4
Відео: збираємо головоломку 7 х 7
Як вирішити головоломку-піраміду
Ця головоломка помилково вважається різновидом кубика Рубіка. Але насправді іграшка Мефферта, яка ще називається "Японський тетраедр" або "Молдавська пірамідка", з'явилася на кілька років раніше наочного посібникавикладача-архітектора.
Пірамідка Мефферта помилково називається головоломкою Рубіка
Для роботи з цією головоломкою важливо знати її пристрій, адже механізм роботи грає ключову рольдля збирання. Японський тетраедр складається з:
- чотирьох елементів осі;
- шести реберних;
- чотирьох кутових.
Кожна деталь осі має навернені на три сусідні грані маленькі трикутники. Тобто, кожен елемент можна обертати без загрози його випадання з конструкції.
Це цікаво. Існує 75582720 варіантів розташування елементів пірамідки. На відміну від кубика Рубіка, це не так багато. Класичний варіант головоломки налічує 43 252 003 489 856 000 можливих варіантівконфігурацій.
Інструкція та схема
Відео: проста методика складання пірамідки повністю
Метод для дітей
Використання формул і застосування способів прискорення складання для дітей, які тільки починають знайомство з головоломкою, буде занадто складним завданням. Тому завдання дорослих у тому, щоб максимально спростити пояснення.
Кубик Рубіка це не тільки можливість зайняти дитину корисною і цікавим заняттям, а й спосіб розвитку терпіння, посидючості
Це цікаво. Навчання дітей краще починати з моделі 3х3.
Інструкція (куб 3 х 3):
- Визначаємося з кольором верхньої грані та беремо іграшку так, щоб центральний кубик потрібного кольорубув угорі.
- Збираємо верхній хрест, але при цьому другий колір середнього шару був таким самим, як і колір бічних граней.
- Виставляємо кути верхньої грані. Приступаємо до другого шару.
- Збираємо останній шар, але починаємо з відновлення першої послідовності. Потім кути ставимо так, щоб вони збігалися із центральними деталями граней.
- Перевіряємо розташування середніх деталей останньої грані, змінюючи за необхідності їх розташування.
Складання кубика Рубіка в будь-якій його варіації - відмінне тренування для розуму, спосіб зняти стрес і відволіктися. Вирішувати головоломку здатна навчитися навіть дитина, використовуючи доступне для віку пояснення. Поступово можна освоювати більш хитромудрі способи складання, покращувати власні показники часу, а там і до змагань з спідкубінгу недалеко. Головне, завзятість та терпіння.
Поділіться з друзями!Розв'язання рівнянь та нерівностей з модулемчасто викликає труднощі. Однак, якщо добре розуміти, що таке модуль числа, і як правильно розкривати вирази, що містять знак модуля, то наявність у рівнянні вирази, що стоїть під знаком модуля, перестає бути перешкодою щодо його рішення.
Трохи теорії. Кожне число має дві характеристики: абсолютне значеннячисла, та його знак.
Наприклад, число +5 або просто 5 має знак "+" і абсолютне значення 5.
Число -5 має знак "-" та абсолютне значення 5.
Абсолютні значення чисел 5 та -5 дорівнюють 5.
Абсолютне значення числа х називається модулем числа та позначається | x |.
Як бачимо, модуль числа дорівнює самому числу, якщо це число більше або дорівнює нулю, і цьому числу з протилежним знакомякщо це число негативно.
Це стосується будь-яких виразів, які стоять під знаком модуля.
Правило розкриття модуля виглядає так:
|f(x)|= f(x), якщо f(x) ≥ 0 і
|f(x)|= - f(x), якщо f(x)< 0
Наприклад |x-3|=x-3, якщо x-3≥0 і |x-3|=-(x-3)=3-x, якщо x-3<0.
Щоб вирішити рівняння, що містить вираз, що стоїть під знаком модуля, потрібно спочатку розкрити модуль за правилом розкриття модуля.
Тоді наше рівняння чи нерівність перетворюється два різних рівняння, що існують на двох різних числових проміжках.
Одне рівняння існує на числовому проміжку, у якому вираз, що стоїть під знаком модуля неотрицательно.
А друге рівняння існує на проміжку, на якому вираз, що стоїть під знаком модуля негативно.
Розглянемо найпростіший приклад.
Розв'яжемо рівняння:
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. Розкриємо модуль.
|x-3|=x-3, якщо x-3≥0, тобто. якщо х≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x, якщо x-3<0, т.е. если х<3
2. Ми отримали два числові проміжки: х≥3 і х<3.
Розглянемо, які рівняння перетворюється вихідне рівняння кожному проміжку:
А) При х≥3 |x-3|=x-3, і наше уранення має вигляд:
Увага! Це рівняння існує лише на проміжку х≥3!
Розкриємо дужки, наведемо таких членів:
і розв'яжемо це рівняння.
Це рівняння має коріння:
х 1 =0, х 2 =3
Увага! оскільки рівняння x-3=-x 2 +4x-3 існує тільки на проміжку х≥3, нас цікавить тільки те коріння, яке належить цьому проміжку. Цій умові задовольняє лише х 2 =3.
Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
Увага! Це рівняння існує тільки на проміжку х<3!
Розкриємо дужки, наведемо таких членів. Отримаємо рівняння:
х 1 =2, х 2 =3
Увага! оскільки рівняння 3-х=-x 2 +4x-3 існує лише на проміжку x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
Отже: з першого проміжку беремо лише корінь х=3, з другого - корінь х=2.
Квадратне рівняння- алгебраїчне рівняння загального вигляду
де x - вільна змінна,
a, b, c, - коефіцієнти, причому
Вираз 
називають квадратним тричленом.
Способи розв'язання квадратних рівнянь.
1. СПОСІБ : Розкладання лівої частини рівняння на множники.
Розв'яжемо рівняння х 2 + 10х - 24 = 0. Розкладемо ліву частину на множники:
х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х (х + 12) - 2 (х + 12) = (х + 12) (х - 2).
Отже, рівняння можна переписати так:
(х + 12) (х - 2) = 0
Так як добуток дорівнює нулю, то принаймні один з його множників дорівнює нулю. Тому ліва частина рівняння звертається нуль при х = 2, а також при х = - 12. Це означає, що число 2 і - 12 є корінням рівняння х 2 + 10х - 24 = 0.
2. СПОСІБ : Метод виділення повного квадрата.
Розв'яжемо рівняння х 2 + 6х - 7 = 0. Виділимо у лівій частині повний квадрат.
Для цього запишемо вираз х 2 + 6х у наступному вигляді:
х 2 + 6х = х 2 + 2 х 3.
В отриманому виразі перший доданок - квадрат числа х, а другий - подвоєний добуток х на 3. Тому щоб отримати повний квадрат, потрібно додати 3 2 так як
х 2 + 2 х 3 + 32 = (х + 3) 2 .
Перетворимо тепер ліву частину рівняння
х 2 + 6х - 7 = 0,
додаючи до неї і віднімаючи 3 2 . Маємо:
х 2 + 6х - 7 =х 2 + 2 х 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.
Таким чином, дане рівняння можна записати так:
(х + 3) 2 – 16 = 0, (х + 3) 2 = 16.
Отже, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, або x + 3 = -4, x 2 = -7.
3. СПОСІБ :Розв'язання квадратних рівнянь за формулою.
Помножимо обидві частини рівняння
ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0
на 4а і маємо послідовно:
4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0,
((2ах) 2 + 2ах b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,
(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,
Приклади.
а)Розв'яжемо рівняння: 4х2+7х+3=0.
а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,
D> 0,два різні корені;
Отже, у разі позитивного дискримінанта, тобто. при
b 2 - 4ac >0, рівняння ах 2 + bх + с = 0має два різних кореня.
б)Розв'яжемо рівняння: 4х 2 - 4х + 1 = 0,
а = 4, b = - 4, с = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1 = 16 - 16 = 0,
D = 0,один корінь;
Отже, якщо дискримінант дорівнює нулю, тобто. b 2 - 4ac = 0, то рівняння
ах 2 + bх + с = 0має єдиний корінь,
в)Розв'яжемо рівняння: 2х 2 + 3х + 4 = 0,
а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.
Це рівняння коренів немає.
Отже, якщо дискримінант негативний, тобто. b 2 - 4ac< 0 , рівняння
ах 2 + bх + с = 0не має коріння.
Формула (1) коренів квадратного рівняння ах 2 + bх + с = 0дозволяє знайти коріння будь-якого квадратного рівняння (якщо вони є), у тому числі наведеного та неповного. Словесно формула (1) виражається так: коріння квадратного рівняння дорівнюють дробу, чисельник якого дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, плюс мінус корінь квадратний з квадрата цього коефіцієнта без вчетверного добутку першого коефіцієнта на вільний член, а знаменник є подвоєний перший коефіцієнт.
4. СПОСІБ: Розв'язання рівнянь із використанням теореми Вієта.
Як відомо, наведене квадратне рівняння має вигляд
х 2 + px + c = 0.(1)
Його коріння задовольняють теоремі Вієта, яка при а = 1має вигляд
x 1 x 2 = q,
x 1 + x 2 = - p
Звідси можна зробити такі висновки (за коефіцієнтами p і q можна передбачити знаки коренів).
а) Якщо зведений член qнаведеного рівняння (1) позитивний ( q > 0), то рівняння має два однакових за знаком кореня і це заздрості від другого коефіцієнта p. Якщо р< 0 , то обидва корені негативні, якщо р< 0 , то обидва корені позитивні.
Наприклад,
x 2 - 3x + 2 = 0; x 1 = 2і x 2 = 1,так як q = 2 > 0і p = - 3< 0;
x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7і x 2 = - 1,так як q = 7 > 0і p = 8> 0.
б) Якщо вільний член qнаведеного рівняння (1) негативний ( q< 0 ), то рівняння має два різних за знаком кореня, причому більший за модулем корінь буде позитивним, якщо p< 0 , або негативний, якщо p > 0 .
Наприклад,
x 2 + 4x - 5 = 0; x 1 = - 5і x 2 = 1,так як q= - 5< 0 і p = 4> 0;
x 2 - 8x - 9 = 0; x 1 = 9і x 2 = - 1,так як q = - 9< 0 і p = - 8< 0.
приклади.
1) Розв'яжемо рівняння 345х 2 - 137х - 208 = 0.
Рішення.Бо а + b + с = 0 (345 - 137 - 208 = 0),то
x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.
Відповідь: 1; -208/345.
2) Вирішимо рівняння 132х 2 - 247х + 115 = 0.
Рішення.Бо а + b + с = 0 (132 - 247 + 115 = 0),то
х 1 = 1, х 2 = c/a = 115/132.
Відповідь: 1; 115/132.
Б. Якщо другий коефіцієнт b = 2k– парне число, то формулу коренів
приклад.
Розв'яжемо рівняння 3х2 - 14х + 16 = 0.
Рішення. Маємо: а = 3, b = - 14, с = 16, k = - 7;
D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 16 = 49 - 48 = 1, D > 0,два різні корені;
Відповідь: 2; 8/3
Ст. Наведене рівняння
х 2 + рх + q = 0
збігається з рівнянням загального виду, в якому а = 1, b = рі с = q. Тому для наведеного квадратного рівняння формула коренів
Набуває вигляду:
Формулу (3) особливо зручно використовувати, коли р- парне число.
приклад.Розв'яжемо рівняння х 2 - 14х - 15 = 0.
Рішення.Маємо: х 1,2 = 7±
Відповідь: х 1 = 15; х 2 = -1.
5. СПОСІБ: Розв'язання рівнянь графічне.
приклад. Розв'язати рівняння х2 – 2х – 3 = 0.
Побудуємо графік функції у = х2 - 2х - 3
1) Маємо: а = 1, b = -2, х0 = = 1, у0 = f (1) = 12 - 2 - 3 = -4. Значить, вершиною параболи є точка (1; -4), а віссю параболи - пряма х = 1.
2) Візьмемо на осі х дві точки, симетричні щодо осі параболи, наприклад, точки х = -1 і х = 3.
Маємо f(-1) = f(3) = 0. Побудуємо на координатної площиниточки (-1; 0) та (3; 0).
3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводимо параболу (рис. 68).
Корінням рівняння х2 – 2х – 3 = 0 є абсциси точок перетину параболи з віссю х; отже, коріння рівняння таке: х1 = - 1, х2 - 3.
на вирішення математики. Швидко знайти вирішення математичного рівнянняв режимі онлайн. Сайт www.сайт дозволяє вирішити рівняннямайже будь-якого заданого алгебраїчного, тригонометричногоабо трансцендентного рівняння онлайн. При вивченні практично будь-якого розділу математики на різних етапахдоводиться вирішувати рівняння онлайн. Щоб отримати відповідь відразу, а головне точну відповідь, необхідний ресурс, що дозволяє це зробити. Завдяки сайту www.сайт вирішення рівнянь онлайнзайме кілька хвилин. Основна перевага www.сайт при вирішенні математичних рівнянь онлайн- це швидкість і точність відповіді, що видається. Сайт здатний вирішувати будь-які алгебраїчне рівняння онлайн, тригонометричні рівняння онлайн, трансцендентні рівняння онлайн, а також рівнянняз невідомими параметрами в режимі онлайн. Рівнянняслужать потужним математичним апаратом рішення практичних завдань. За допомогою математичних рівнянь можна висловити факти та співвідношення, які можуть здатися на перший погляд заплутаними та складними. Невідомі величини рівняньможна знайти, сформулювавши завдання на математичномумові у вигляді рівняньі вирішитиотримане завдання у режимі онлайнна сайті www.сайт. Будь-яке алгебраїчне рівняння, тригонометричне рівнянняабо рівняннямістять трансцендентніфункції Ви легко вирішітьонлайн та отримайте точну відповідь. Вивчаючи природничі науки, неминуче стикаєшся з необхідністю розв'язання рівнянь. При цьому відповідь має бути точною і отримати її необхідно відразу в режимі онлайн. Тому для рішення математичних рівнянь онлайнми рекомендуємо сайт www.сайт, який стане вашим незамінним калькулятором рішення алгебраїчних рівняньонлайн, тригонометричних рівняньонлайн, а також трансцендентних рівнянь онлайнабо рівняньіз невідомими параметрами. Для практичних завдань з знаходження коріння різних математичних рівняньресурсу www.. Вирішальна рівняння онлайнсамостійно, корисно перевірити отриману відповідь, використовуючи онлайн рішеннярівняньна сайті www.сайт. Необхідно правильно записати рівняння та миттєво отримаєте онлайн рішення, після чого залишиться лише порівняти відповідь з Вашим рішенням рівняння. Перевірка відповіді займе не більше хвилини, достатньо вирішити рівняння онлайнта порівняти відповіді. Це допоможе Вам уникнути помилок у рішенніі вчасно скоригувати відповідь при вирішенні рівнянь онлайнбудь то алгебраїчне, тригонометричне, трансцендентнеабо рівнянняіз невідомими параметрами.
Розв'язання показових рівнянь. приклади.
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Що таке показове рівняння? Це рівняння, в якому невідомі (ікси) та вирази з ними знаходяться в показникахякихось ступенів. І лише там! Це важливо.
Ось вам приклади показових рівнянь :
3 х · 2 х = 8 х +3
Зверніть увагу! В основах ступенів (внизу) - тільки числа. У показникахступенів (вгорі) - найрізноманітніші вирази з іксом. Якщо, раптом, у рівнянні вилізе ікс десь, крім показника, наприклад:
це буде вже рівняння змішаного типу. Такі рівняння немає чітких правил решения. Ми їх поки що розглядати не будемо. Тут ми розбиратимемося з розв'язанням показових рівняньу чистому вигляді.
Загалом навіть чисті показові рівняння чітко вирішуються далеко не завжди. Але існують певні типи показових рівнянь, які можна вирішувати і потрібно. Ось ці типи ми розглянемо.
Вирішення найпростіших показових рівнянь.
Спочатку вирішимо щось зовсім елементарне. Наприклад:
Навіть без будь-яких теорій, по простому підбору ясно, що х=2. Більше ніяк, вірно!? Жодне інше значення ікса не котить. А тепер глянемо на запис розв'язання цього хитрого показового рівняння:
Що ми зробили? Ми фактично просто викинули однакові підстави(Трійки). Зовсім викинули. І що радує, потрапили в крапку!
Справді, якщо у показовому рівнянні ліворуч і праворуч стоять однаковічисла в яких завгодно ступенях, ці числа можна забрати і прирівняти показники ступенів. Математика дозволяє. Залишається дорішати більш просте рівняння. Здорово, правда?)
Однак запам'ятаємо залізно: прибирати підстави можна тільки тоді, коли ліворуч і праворуч числа-основи перебувають у гордій самоті!Без будь-яких сусідів та коефіцієнтів. Скажімо, в рівняннях:
2 х +2 х+1 = 2 3 або
двійки прибирати не можна!
Ну ось, найголовніше ми й освоїли. Як переходити від злих показових виразівдо більш простих рівнянь.
"Ось ті рази!" – скажете ви. "Хто ж дасть такий примітив на контрольних та іспитах!?"
Вимушений погодитись. Ніхто не дасть. Але тепер ви знаєте, куди треба прагнути при вирішенні заморочених прикладів. Треба приводити його до вигляду, коли ліворуч - праворуч стоїть те саме число-основа. Далі все буде легше. Власне, це є класика математики. Беремо вихідний приклад та перетворюємо його до потрібного намвиду. За правилами математики, зрозуміло.
Розглянемо приклади, які потребують додаткових зусиль для приведення їх до найпростіших. Назвемо їх простими показовими рівняннями.
Вирішення простих показових рівнянь. приклади.
При вирішенні показових рівнянь головні правила - дії зі ступенями.Без знання цих дій нічого не вийде.
До дій зі ступенями треба додати особисту спостережливість та кмітливість. Нам потрібні однакові числа-підстави? Ось і шукаємо їх у прикладі у явному чи зашифрованому вигляді.
Подивимося, як це робиться на практиці?
Нехай нам дано приклад:
2 2х - 8 х +1 = 0
Перший пильний погляд - на основи.Вони... Вони різні! Два та вісім. Але засмучуватися - рано. Саме час згадати, що
Двійка і вісімка - родички за рівнем.) Цілком можна записати:
8 х+1 = (2 3) х+1
Якщо згадати формулку з дій зі ступенями:
(а n) m = a nm ,
то взагалі добре виходить:
8 х+1 = (2 3) х+1 = 2 3(х+1)
Вихідний приклад став виглядати так:
2 2х - 2 3(х +1) = 0
Переносимо 2 3 (х+1)вправо (елементарних дій математики ніхто не скасовував!), отримуємо:
2 2х = 2 3(х+1)
Ось практично і все. Прибираємо підстави:
Вирішуємо цього монстра та отримуємо
Це правильна відповідь.
У цьому прикладі нас врятувало знання ступенів двійки. Ми упізналиу вісімці зашифровану двійку. Цей прийом (шифрування загальних підставпід різними числами) - дуже популярний прийом у показових рівняннях! Та й у логарифмах теж. Потрібно вміти дізнаватися в числі інших чисел. Це дуже важливо для вирішення показових рівнянь.
Справа в тому, що звести будь-яке число в будь-який ступінь – не проблема. Перемножити, хоч на папірці, та й годі. Наприклад, звести 3 у п'яту ступінь зможе кожен. 243 вийде, якщо таблицю множення знаєте.) Але в показових рівняннях набагато частіше треба не зводити в ступінь, а навпаки... яке число якою міроюховається за числом 243, або, скажімо, 343... Тут вам ніякий калькулятор не допоможе.
Ступені деяких чисел треба знати в обличчя, так... Потренуємось?
Визначити, якими ступенями та яких чисел є числа:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Відповіді (безладно, природно!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Якщо придивитися, можна побачити дивний факт. Відповідей значно більше, ніж завдань! Що ж, так буває... Наприклад, 2 6 , 4 3 , 8 2 це все 64.
Припустимо, що ви взяли до відома інформацію про знайомство з числами.) Нагадаю ще, що для вирішення показових рівнянь застосуємо весьзапас математичних знань. У тому числі з молодших-середніх класів. Ви ж не відразу до старших класів пішли, вірно?)
Наприклад, при вирішенні показових рівнянь часто допомагає винесення загального множника за дужки (привіт 7 класу!). Дивимося приклад:
3 2х +4 -11 · 9 х = 210
І знову, перший погляд – на підстави! Підстави у ступенів різні... Трійка та дев'ятка. А нам хочеться, щоби були – однакові. Що ж, у разі бажання цілком здійсненне!) Тому, що:
9 х = (3 2) х = 3 2х
За тими ж правилами дій зі ступенями:
3 2х +4 = 3 2х · 3 4
Ось і добре, можна записати:
3 2х · 3 4 - 11 · 3 2х = 210
Ми навели приклад до однакових підстав. І що далі! Трійки не можна викидати... Тупик?
Зовсім ні. Запам'ятовуємо найуніверсальніше і потужне правилорішення всіх математичних завдань:
Не знаєш, що потрібно – роби, що можна!
Дивишся, все й утворюється.
Що в цьому показовому рівнянні можназробити? Та в лівій частині прямо проситься винесення за дужки! Загальний множник 3 2х явно натякає на це. Спробуємо, а далі буде видно:
3 2х (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Приклад стає все краще та краще!
Згадуємо, що для ліквідації підстав нам необхідний чистий ступінь, без жодних коефіцієнтів. Нам число 70 заважає. Ось і ділимо обидві частини рівняння на 70, отримуємо:
Оп-па! Все налагодилося!
Це остаточна відповідь.
Трапляється, однак, що вирулювання на однакові підстави виходить, а ось їх ліквідація – ніяк. Таке буває у показових рівняннях іншого типу. Освоїмо цей тип.
Заміна змінної у вирішенні показових рівнянь. приклади.
Розв'яжемо рівняння:
4 х - 3 · 2 х +2 = 0
Спочатку – як завжди. Переходимо до однієї основи. До двійки.
4 х = (2 2) х = 2 2х
Отримуємо рівняння:
2 2х - 3 · 2 х +2 = 0
А ось тут і зависнемо. Попередні прийоми не спрацюють, як не крутись. Прийде діставати з арсеналу ще один могутній і універсальний спосіб. Називається він заміна змінної.
Суть способу проста напрочуд. Замість одного складного значка (у нашому випадку – 2 х) пишемо інший, простіше (наприклад – t). Така, здавалося б, безглузда заміна призводить до потрясних результатів!) Просто все стає зрозумілим!
Отже, нехай
Тоді 2 2х = 2 х2 = (2 х) 2 = t 2
Замінюємо в нашому рівнянні всі ступені з іксами на t:
Ну що, осяює?) Квадратні рівняння не забули ще? Вирішуємо через дискримінант, отримуємо:
Тут, головне, не зупинятися, як буває... Це ще не відповідь, нам потрібний ікс, а не t. Повертаємося до іксів, тобто. робимо зворотну заміну. Спочатку для t 1:
Отже,
Один корінь знайшли. Шукаємо другий, з t 2:
Гм... Зліва 2 х, праворуч 1... Проблема? Та ні! Досить (з дій зі ступенями, так ...), що одиниця - це будь-якечисло в нульового ступеня. Будь-яке. Яке треба, таке й поставимо. Нам потрібна двійка. Значить:
Ось тепер все. Отримали 2 корені:
Це відповідь.
При розв'язанні показових рівняньнаприкінці іноді виходить якийсь незручний вираз. Типу:
З сімки двійка через простий ступіньне виходить. Чи не родичі вони... Як тут бути? Хтось, може, й розгубиться... А ось людина, яка прочитала на цьому сайті тему "Що таке логарифм?" , тільки скупо посміхнеться та запише твердою рукоюабсолютно вірна відповідь:
Такої відповіді у завданнях "В" на ЄДІ бути не може. там конкретне числопотрібно. А ось у завданнях "С" – запросто.
У цьому уроці наведено приклади розв'язання найпоширеніших показових рівнянь. Виділимо головне.
1. Насамперед дивимося на підставиступенів. Розуміємо, чи не можна їх зробити однаковими.Пробуємо це зробити, активно використовуючи дії зі ступенями.Не забуваємо, що числа без іксів теж можна перетворювати на міру!
2. Пробуємо привести показове рівняння до виду, коли ліворуч і праворуч стоять однаковічисла в яких завгодно ступенях. Використовуємо дії зі ступенямиі розкладання на множники.Те, що можна порахувати в числах - вважаємо.
3. Якщо друга рада не спрацювала, пробуємо застосувати заміну змінної. У результаті може вийти рівняння, яке легко вирішується. Найчастіше – квадратне. Або дробове, що теж зводиться до квадратного.
4. Для успішного розв'язання показових рівнянь треба ступеня деяких чисел знати "на обличчя".
Як завжди, наприкінці уроку вам пропонується трохи вирішити.) Самостійно. Від простого – до складного.
Розв'язати показові рівняння:
Складніше:
2 х+3 - 2 х+2 - 2 х = 48
9 х - 8 · 3 х = 9
2 х - 2 0,5 х +1 - 8 = 0
Знайти твір коріння:
2 3-х + 2 х = 9
Вийшло?
Ну, тоді найскладніший приклад(вирішується, правда, в умі...):
7 0.13х + 13 0,7 х +1 + 2 0,5 х +1 = -3
Що вже цікавіше? Тоді ось вам злий приклад. Цілком тягне на підвищену трудність. Нам'якну, що в цьому прикладі рятує кмітливість і найуніверсальніше правило вирішення всіх математичних завдань.)
2 5х-1 · 3 3х-1 · 5 2х-1 = 720 х
Приклад простіше, для відпочинку):
9 · 2 х - 4 · 3 х = 0
І на десерт. Знайти суму коренів рівняння:
х·3 х - 9х + 7·3 х - 63 = 0
Так-так! Це рівняння змішаного типу! Які ми у цьому уроці не розглядали. А що їх розглядати, їх вирішувати треба!) Цього уроку цілком достатньо для вирішення рівняння. Ну і, кмітливість потрібна... І хай допоможе вам сьомий клас (це підказка!).
Відповіді (безладно, через точку з комою):
1; 2; 3; 4; рішень немає; 2; -2; -5; 4; 0.
Все вдало? Чудово.
Чи є проблеми? Чи не питання! У Особливому розділі 555 усі ці показові рівняння вирішуються з докладними поясненнями. Що навіщо і чому. Ну і, звичайно, там є додаткова цінна інформація щодо роботи з усілякими показовими рівняннями. Не лише з цими.)
Останнє цікаве питання на міркування. На цьому уроці ми працювали з показовими рівняннями. Чому я тут жодного слова не сказав про ОДЗ?В рівняннях - це дуже важлива штука, між іншим.
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.