Розберемо два види розв'язання систем рівняння:
1. Рішення системи шляхом підстановки.
2. Рішення системи методом почленного складання (віднімання) рівнянь системи.
Для того, щоб вирішити систему рівнянь методом підстановкипотрібно слідувати простому алгоритму:
1. Висловлюємо. З будь-якого рівняння виражаємо одну змінну.
2. Підставляємо. Підставляємо в інше рівняння замість вираженої змінної отримане значення.
3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною. Знаходимо рішення системи.
Щоб вирішити систему методом почленного складання (віднімання)потрібно:
1.Вибрати змінну у якої робитимемо однакові коефіцієнти.
2.Складаємо або віднімаємо рівняння, в результаті отримуємо рівняння з однією змінною.
3. Вирішуємо отримане лінійне рівняння. Знаходимо рішення системи.
Рішенням системи є точки перетину графіків функції.
Розглянемо докладно з прикладів рішення систем.
Приклад №1:
Вирішимо методом підстановки
Вирішення системи рівнянь методом підстановки2x+5y=1 (1 рівняння)
x-10y=3 (2 рівняння)
1. Висловлюємо
Видно що у другому рівнянні є змінна x з коефіцієнтом 1, звідси виходить що найлегше висловити змінну x з другого рівняння.
x=3+10y
2.Після того, як висловили підставляємо в перше рівняння 3+10y замість змінної x.
2(3+10y)+5y=1
3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною.
2(3+10y)+5y=1 (розкриваємо дужки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Рішенням системи рівняння є точки перетинів графіків, отже нам потрібно знайти x і у, тому що точка перетину складається з x і y.Знайдемо x, в першому пункті де ми виражали туди підставляємо y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Точки прийнято записувати першому місці пишемо змінну x, але в другому змінну y.
Відповідь: (1; -0,2)
Приклад №2:
Вирішимо методом почленного складання (віднімання).
Рішення системи рівнянь шляхом складання3x-2y=1 (1 рівняння)
2x-3y=-10 (2 рівняння)
1.Вибираємо змінну, припустимо, вибираємо x. У першому рівнянні у змінної x коефіцієнт 3, у другому 2. Потрібно зробити коефіцієнти однаковими, при цьому маємо право домножити рівняння чи розділити будь-яке число. Перше рівняння примножуємо на 2, а друге на 3 і отримаємо загальний коефіцієнт 6.
3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2
2x-3y=-10 | *3
6x-9y=-30
2.З першого рівняння віднімемо друге, щоб позбавитися від змінної x.Вирішуємо лінійне рівняння.
__6x-4y=2
5y = 32 | :5
y=6,4
3. Знаходимо x. Підставляємо у будь-яке з рівнянь знайдений y, допустимо у перше рівняння.
3x-2y=1
3x-2 * 6,4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 +12,8
3x = 13,8 |: 3
x = 4,6
Точкою перетину буде x = 4,6; y=6,4
Відповідь: (4,6; 6,4)
Хочеш готуватися до іспитів безкоштовно? Репетитор онлайн безкоштовно. Без жартів.
На етапі підготовки до заключного тестування учням старших класів необхідно підтягнути знання на тему «Показові рівняння». Досвід минулих років свідчить про те, що подібні завдання викликають у школярів певні труднощі. Тому старшокласникам, незалежно від рівня їх підготовки, необхідно ретельно засвоїти теорію, запам'ятати формули та зрозуміти принцип розв'язання таких рівнянь. Навчившись справлятися з цим видом завдань, випускники зможуть розраховувати на високі бали під час здачі ЄДІ з математики.
Готуйтеся до екзаменаційного тестування разом із «Шкілковим»!
При повторенні пройдених матеріалів багато учнів стикаються з проблемою пошуку необхідних вирішення рівнянь формул. Шкільний підручник не завжди знаходиться під рукою, а відбір необхідної інформації на тему в Інтернеті займає довгий час.
Освітній портал «Школкове» пропонує учням скористатися нашою базою знань. Ми реалізуємо новий метод підготовки до підсумкового тестування. Займаючись на нашому сайті, ви зможете виявити прогалини у знаннях та приділити увагу саме тим завданням, які викликають найбільші труднощі.
Викладачі «Школково» зібрали, систематизували та виклали весь необхідний для успішної здачі ЄДІ матеріал у максимально простій та доступній формі.
Основні визначення та формули представлені у розділі «Теоретична довідка».
Для кращого засвоєння матеріалу рекомендуємо попрактикуватися у виконанні завдань. Уважно перегляньте наведені на цій сторінці приклади показових рівнянь із рішенням, щоб зрозуміти алгоритм обчислення. Після цього починайте виконання завдань у розділі «Каталоги». Ви можете почати з найлегших завдань або одразу перейти до розв'язання складних показових рівнянь із кількома невідомими або . База вправ на нашому сайті постійно доповнюється та оновлюється.
Ті приклади з показниками, які викликали у вас складнощі, можна додати до «Вибраного». Так ви можете швидко знайти їх та обговорити рішення з викладачем.
Щоб успішно здати ЄДІ, займайтеся на порталі «Школкове» щодня!
Безкоштовний калькулятор, що пропонується до вашої уваги, має багатий арсенал можливостей для математичних обчислень. Він дозволяє використовувати онлайн калькулятор у різних сферах діяльності: освітній, професійноїі комерційної. Звичайно, застосування калькулятора онлайн особливо популярно у студентіві школярів, він значно полегшує їм виконання найрізноманітніших розрахунків.
Водночас калькулятор може стати корисним інструментом у деяких напрямках бізнесу та для людей різних професій. Безумовно, необхідність застосування калькулятора у бізнесі чи праці визначається передусім видом самої діяльності. Якщо бізнес та професія пов'язані з постійними розрахунками та обчисленнями, то варто випробувати електронний калькулятор та оцінити ступінь його корисності для конкретної справи.
Даний онлайн калькулятор може
- Коректно виконувати стандартні математичні функції, записані одним рядком типу - 12*3-(7/2) і може обробляти числа більше, ніж рахуємо величезні числа в онлайн калькуляторі Ми навіть не знаємо, як таке число назвати правильно ( тут 34 знаки і це зовсім не межа).
- Крім тангенсу, косинуса, синусата інших стандартних функцій - калькулятор підтримує операції з розрахунку арктангенса, арккотангенсата інших.
- Доступні в арсеналі логарифми, факторіалита інші цікаві функції
- Даний онлайн калькулятор вміє будувати графіки!!!
Для побудови графіків, сервіс використовує спеціальну кнопку (графік намальований сірий) або буквене представлення цієї функції (Plot). Щоб побудувати графік в онлайн-калькуляторі, достатньо записати функцію: plot(tan(x)),x=-360..360.
Ми взяли найпростіший графік для тангенсу і після коми вказали діапазон змінної X від -360 до 360.
Побудувати можна абсолютно будь-яку функцію, з будь-якою кількістю змінних, наприклад: plot(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4)або ще складнішу, яку зможете придумати. Звертаємо увагу на поведінку змінної X - вказаний проміжок від і до двох точок.
Єдиний мінус (хоча важко назвати це мінусом) цього онлайн калькулятора це те, що він не вміє будувати сфери та інші об'ємні фігури – лише площину.
Як працювати з математичним калькулятором
1. Дисплей (екран калькулятора) відображає введений вираз і результат розрахунку звичайними символами, як ми пишемо на папері. Це поле призначене для перегляду поточної операції. Запис відображається на дисплеї в міру набору математичного виразу у рядку введення.
2. Поле введення виразу призначене для запису виразу, який слід обчислити. Тут слід зазначити, що математичні символи, що використовуються в комп'ютерних програмах, не завжди збігаються з тими, які ми застосовуємо на папері. В огляді кожної функції калькулятора ви знайдете правильне позначення конкретної операції та приклади розрахунків у калькуляторі. На цій сторінці нижче наводиться перелік усіх можливих операцій у калькуляторі, а також із зазначенням їх правильного написання.
3. Панель інструментів – це кнопки калькулятора, які замінюють ручне введення математичних символів, що позначають відповідну операцію. Деякі кнопки калькулятора (додаткові функції, конвертер величин, розв'язання матриць та рівнянь, графіки) доповнюють панель завдань новими полями, де вводяться дані для конкретного розрахунку. Поле «History» містить приклади написання математичних виразів, а також шість останніх записів.
Зверніть увагу, при натисканні кнопок виклику додаткових функцій, конвертера величин, розв'язання матриць та рівнянь, побудови графіків вся панель калькулятора зміщується вгору, закриваючи частину дисплея. Заповніть необхідні поля та натисніть клавішу "I" (на малюнку виділено червоним кольором), щоб побачити дисплей у повний розмір.
4. Цифрова клавіатура містить цифри та знаки арифметичних дій. Кнопка «С» видаляє запис у полі введення виразу. Щоб видаляти символи по одному, потрібно використовувати стрілку праворуч від рядка введення.
Намагайтеся завжди закривати дужки наприкінці виразу. Для більшості операцій це некритично, калькулятор online розрахує все правильно. Однак у деяких випадках можливі помилки. Наприклад, при зведенні в дрібний ступінь незакриті дужки призведуть до того, що знаменник дробу в показнику ступеня піде в знаменник основи. На дисплеї дужка, що закриває, позначена блідо-сірим кольором, її потрібно закрити, коли запис закінчено.
| Клавіша | Символ | Операція |
|---|---|---|
| pi | pi | Постійна pi |
| е | е | Число Ейлера |
| % | % | Відсоток |
| () | () | Відкрити/Закрити дужки |
| , | , | Кома |
| sin | sin(?) | Синус кута |
| cos | cos(?) | Косінус |
| tan | tan(y) | Тангенс |
| sinh | sinh() | Гіперболічний синус |
| cosh | cosh() | Гіперболічний косинус |
| tanh | tanh() | Гіперболічний тангенс |
| sin -1 | asin() | Зворотний синус |
| cos -1 | acos() | Зворотний косинус |
| tan -1 | atan() | Зворотній тангенс |
| sinh -1 | asinh() | Зворотний гіперболічний синус |
| cosh -1 | acosh() | Зворотний гіперболічний косинус |
| tanh -1 | atanh() | Зворотній гіперболічний тангенс |
| x 2 | ^2 | Зведення у квадрат |
| х 3 | ^3 | Зведення у куб |
| x y | ^ | Зведення у ступінь |
| 10 x | 10^() | Зведення в ступінь на підставі 10 |
| e x | exp() | Зведення на ступінь числа Ейлера |
| vx | sqrt(x) | Квадратний корінь |
| 3 vx | sqrt3(x) | Корінь 3-го ступеня |
| y vx | sqrt(x,y) | Вилучення кореня |
| log 2 x | log2(x) | Двійковий логарифм |
| log | log(x) | Десятковий логарифм |
| ln | ln(x) | Натуральний логарифм |
| log y x | log(x, y) | Логарифм |
| I/II | Згортання/виклик додаткових функцій | |
| Unit | Конвертер величин | |
| Matrix | Матриці | |
| Solve | Рівняння та системи рівнянь | |
| Побудова графіків | ||
| Додаткові функції (дзвінок II) | ||
| mod | mod | Поділ із залишком |
| ! | ! | Факторіал |
| i/j | i/j | Уявна одиниця |
| Re | Re() | Виділення цілої дійсної частини |
| Im | Im() | Виняток дійсної частини |
| |х| | abs() | Модуль числа |
| Arg | arg() | Аргумент функції |
| nCr | ncr() | Біномінальний коефіцієнт |
| gcd | gcd() | НІД |
| lcm | lcm() | НОК |
| sum | sum() | Сумарне значення всіх рішень |
| fac | factorize() | Розкладання на прості множники |
| diff | diff() | Диференціювання |
| Deg | Градуси | |
| Rad | Радіани | |
Рівняння
Як розв'язувати рівняння?
У цьому розділі ми згадаємо (чи вивчимо – вже кому як) найпростіші рівняння. Отже, що таке рівняння? Говорячи людською мовою, це якийсь математичний вираз, де є знак рівності та невідомий. Яке, як правило, позначається буквою «х». Розв'язати рівняння- це знайти такі значення ікса, які при підстановці в вихідневираз, дадуть нам вірну тотожність. Нагадаю, що тотожність – це вираз, який не викликає сумніву навіть у людини, абсолютно не обтяженої математичними знаннями. Типу 2 = 2, 0 = 0, ab = ab і т.д. То як вирішувати рівняння?Давайте розберемося.
Рівняння бувають всякі (ось здивував, так?). Але все їхнє нескінченне різноманіття можна розбити всього на чотири типи.
4. Усі інші.)
Усіх інших, зрозуміло, найбільше, так...) Сюди входять і кубічні, і показові, і логарифмічні, і тригонометричні та інші. З ними ми у відповідних розділах щільно попрацюємо.
Відразу скажу, що іноді й рівняння перших трьох типів так накрутить, що й не впізнаєш їх… Нічого. Ми навчимося їх розмотувати.
І навіщо нам ці чотири типи? А потім, що лінійні рівняннявирішуються одним способом, квадратнііншим, дробові раціональні - третім,а іншіне наважуються зовсім! Ну, не те, щоб зовсім ніяк не наважуються, це я даремно математику образив.) Просто для них існують свої спеціальні прийоми і методи.
Але для будь-яких (повторюю - для будь-яких!) рівнянь є надійна та безвідмовна основа для вирішення. Працює скрізь і завжди. Ця основа – звучить страшно, але штука дуже проста. І дуже (дуже!)важлива.
Власне, рішення рівняння і складається з цих перетворень. на 99%. Відповідь на запитання: " Як розв'язувати рівняння?" лежить, саме, у цих перетвореннях. Натяк зрозумілий?)
Тотожні перетворення рівнянь.
У будь-яких рівнянняхдля знаходження невідомого треба перетворити та спростити вихідний приклад. Причому так, щоб при зміні зовнішнього вигляду суть рівняння не змінювалася.Такі перетворення називаються тотожнимичи рівносильними.
Зазначу, що ці перетворення відносяться саме до рівнянь.У математиці ще є тотожні перетворення виразів.Це інша тема.
Зараз ми з вами повторимо всі базові тотожні перетворення рівнянь.
Базові тому, що їх можна застосовувати до будь-якимрівнянням – лінійним, квадратним, дробовим, тригонометричним, показовим, логарифмічним тощо. і т.п.
Перше тотожне перетворення: до обох частин будь-якого рівняння можна додати (забрати) будь-яке(але те саме!) число чи вираз (зокрема і вираз із невідомим!). Суть рівняння від цього змінюється.
Ви, між іншим, постійно користувалися цим перетворенням, тільки думали, що переносите якісь складові з однієї частини рівняння до іншої зі зміною знака. Типу:
Справа знайома, переносимо двійку вправо, і отримуємо:
Насправді ви відібраливід обох частин рівняння двійку. Результат виходить той самий:
х+2 - 2 = 3 - 2
Перенесення доданків ліворуч-праворуч зі зміною знака є просто скорочений варіант першого тотожного перетворення. І навіщо нам такі глибокі знання? - Запитайте ви. В рівняннях навіщо. Переносьте, заради бога. Тільки знак не забувайте міняти. А от у нерівностях звичка до перенесення може і в безвихідь поставити….
Друге тотожне перетворення: обидві частини рівняння можна помножити (розділити) на те саме відмінне від нулячисло чи вираз. Тут вже з'являється зрозуміле обмеження: на нуль множити безглуздо, а ділити взагалі не можна. Це перетворення ви використовуєте, коли вирішуєте щось круте, типу
Зрозуміло, х= 2. А як ви його знайшли? Підбором? Чи просто осяяло? Щоб не підбирати і не чекати осяяння, потрібно зрозуміти, що ви просто поділили обидві частини рівнянняна 5. При розподілі лівої частини (5х) п'ятірка скоротилася, залишився чистий ікс. Чого нам і потрібно. А при розподілі правої частини (10) на п'ять, вийшла, звісно, двійка.
Ось і все.
Смішно, але ці два (всього два!) тотожні перетворення лежать в основі рішення всіх рівнянь математики.Ось як! Чи має сенс подивитися на прикладах, що і як, правда?)
Приклади тотожних перетворень рівнянь. Основні проблеми.
Почнемо з першогототожного перетворення. Перенесення вліво-вправо.
Приклад для молодших.)
Допустимо, треба вирішити ось таке рівняння:
3-2х = 5-3х
Згадуємо заклинання: "з іксами - вліво, без іксів - вправо!"Це заклинання - інструкція із застосування першого тотожного перетворення.) Який вираз з іксом у нас справа? 3х? Відповідь неправильна! Праворуч у нас - 3х! Мінустри ікс! Отже, при перенесенні вліво, символ зміниться на плюс. Вийде:
3-2х +3х = 5
Так, ікси зібрали в купку. Займемося числами. Зліва стоїть трійка. З яким знаком? Відповідь "з ніякою" не приймається!) Перед трійкою дійсно нічого не намальовано. А це означає, що перед трійкою стоїть плюс.Так уже математики домовились. Нічого не написано, отже, плюс.Отже, у праву частину трійка перенесеться з мінусом.Отримаємо:
-2х +3х = 5-3
Залишилися дрібниці. Зліва – привести подібні, праворуч – порахувати. Відразу виходить відповідь:
У цьому прикладі вистачило одного тотожного перетворення. Друге не знадобилося. Ну і добре.)
Приклад для старших.)
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.