Площа геометричної фігури - чисельна характеристикагеометричної фігури, що показує розмір цієї фігури (частини поверхні, обмеженої замкнутим контуром даної фігури). Розмір площі виражається числом які у неї квадратних одиниць.
Формули площі трикутника
- Формула площі трикутника по стороні та висоті
Площа трикутникадорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти - Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного кола
- Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
Площа трикутникадорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола. де S - площа трикутника,
- Довжини сторін трикутника,
- Висота трикутника,
- кут між сторонами та,
- радіус вписаного кола,
R - радіус описаного кола,
Формули площі квадрата
- Формула площі квадрата по довжині сторони
Площа квадратадорівнює квадрату довжини його сторони. - Формула площі квадрата за довжиною діагоналі
Площа квадратадорівнює половині квадрата довжини його діагоналі.S = 1 2 2 де S - Площа квадрата,
- Довжина сторони квадрата,
- Довжина діагоналі квадрата.
Формула площі прямокутника
- Площа прямокутникадорівнює добутку довжин двох його суміжних сторін
де S - Площа прямокутника,
- Довжини сторін прямокутника.
Формули площі паралелограма
- Формула площі паралелограма по довжині сторони та висоті
Площа паралелограма - Формула площі паралелограма по обидва боки та кут між ними
Площа паралелограмадорівнює добутку довжин його сторін, помноженому на синус кута між ними.a · b · sin α
де S - Площа паралелограма,
- Довжини сторін паралелограма,
- Довжина висоти паралелограма,
- Кут між сторонами паралелограма.
Формули площі ромба
- Формула площі ромба по довжині сторони та висоті
Площа ромбудорівнює добутку довжини його сторони та довжини опущеної на цей бік висоти. - Формула площі ромба по довжині сторони та куту
Площа ромбудорівнює добутку квадрата довжини його сторони та синуса кута між сторонами ромба. - Формула площі ромба за довжинами його діагоналей
Площа ромбудорівнює половині добутку довжин його діагоналей. де S - Площа ромба,
- Довжина сторони ромба,
- Довжина висоти ромба,
- Кут між сторонами ромба,
1 2 - довжини діагоналей.
Формули площі трапеції
- Формула Герону для трапеції
Де S - Площа трапеції,
- Довжини основ трапеції,
- Довжини бічних сторін трапеції,
У цій статті ми розберемося, як вирахувати площафігури.
Порівняти площі різних фігур можна способом накладання. Подивіться малюнок. Ми бачимо дві фігури: трикутник та прямокутник. Для того, щоб їх порівняти, ми можемо накласти меншу фігуру на більшу. Трикутник повністю помістився у прямокутнику, це означає, що трикутник менший за прямокутник.
Але не завжди можна порівняти площі фігур у такий спосіб. Тоді можна розбити фігуру на рівні квадратиі порахувати кількість квадратів, що входять до цієї фігури.
На малюнку зображено дві постаті. Шляхом накладання ці постаті порівняти неможливо. Ми розбили ці фігури на квадрати з однаковою площею. Тепер можна порахувати кількість квадратів, що входять до цих фігур. У першу фігуру вписалося 6 квадратів, а в другу 8. Значить площу першої фігури менше площідругий.
Фігури дорівнює числу одиничних квадратів, що становлять цю фігуру.
Якщо у квадрата сторона дорівнює 1 см, то площа такого квадрата дорівнює 1 квадратного сантиметра (см 2).
Площа квадрата сторона якого дорівнює 1 дециметр дорівнює 1 квадратному дециметру (Дм 2) або 100 квадратних сантиметрів (см 2).
Площа фігури позначається великою латинською літерою S.
Допустимо нам треба знайти площу прямокутника, довжини сторін якого дорівнюють 6 і 4 см. Розділимо прямокутник на квадратні сантиметри та обчислимо його площу.
Отже, помножимо довжину прямокутника на його ширину і отримаємо площу:
S = 6 × 4 = 24 см 2
Щоб обчислити , треба виміряти його довжину та ширину в однакових одиницях виміру та знайти їх добуток.
Якщо відома площа прямокутника і ширина, то знайти довжину просто треба розділити площу на відому довжину.
Д = S ÷ Ш
або
Ш = S ÷ Д
Наприклад, площа прямокутника дорівнює 15 см2. Довжина прямокутника дорівнює 5 см. Знайдемо його ширину:
Ш = 15 ÷ 5 = 3 см
Якщо фігура складна, наприклад, така як на малюнку, то обчислити її площу можна розбивши фігуру на прямокутники, обчислити їх площу, а потім скласти отримані площі.
Отже, нашу фігуру ми можемо розбити на два прямокутники: перший площею 2 см 2 і другий площею 8 см 2:
S = 2×1 + 4×2 = 10 см 2
А як знайти. Для цього треба добудувати трикутник до прямокутника, оскільки показано малюнку.
Тепер знайдемо площу отриманого прямокутника і розділимо її навпіл:
S = (3 × 6) ÷ 2 = 9 см 2
Здається, все просто, коли трикутник прямокутний. Якщо трикутник не має прямого кута, то обчислити його площу можна так:
На наступному малюнку ми бачимо трикутник, площу якого нам треба вирахувати, він виділений жовтим кольором. Впишемо їх у прямокутник, оскільки показано малюнку. Довжина отриманого прямокутна - 5 см. Ширина - 4 см. Вершина трикутника ділить довжину прямокутника на частини 3 і 2 см.
Тепер для того, щоб знайти площу нашого трикутника, треба обчислити площі двох отриманих прямокутних трикутниківі скласти їх:
S1 = (3 × 4) ÷ 2 = 6 см 2
S2 = (2 × 4) ÷ 2 = 4 см 2
S = S1 + S2 = 6 + 4 = 10 см 2
Інструкція
Зручно діяти, якщо ваша фігура – багатокутник. Ви завжди зможете розбити його на кінцеве число, і вам достатньо пам'ятати одну лише формулу - площі трикутника. Отже, трикутника - це половина від добутку довжини його сторони на довжину висоти, проведеної до цієї сторони. Підсумовувавши площі окремих трикутників, в які вашою волею перетворена складніша, ви дізнаєтеся шуканий результат.
Складніше розв'язати завдання з визначенням площі довільної фігури. У такої фігури можуть бути не тільки, але й криволінійні межі. Є методи для приблизного обчислення. Прості.
По-перше, ви можете використовувати палетку. Це інструмент із прозорого матеріалу з нанесеною на його поверхню сіткою квадратів або трикутників відомою площею. Наклавши палетку поверх фігури, на яку шукаєте площу, ви перераховуєте кількість ваших одиниць виміру, які перекривають зображення. Поєднуйте неповністю закриті одиниці виміру один з одним, доповнюючи їх в розумі до повних. Далі, помноживши площу однієї фігури палетки на число, яке підрахували, ви дізнаєтесь про приблизну площу вашої довільної фігури. Зрозуміло, що чим частіша сітка нанесена на вашій палетці, тим точніше ваш результат.
По-друге, ви можете в межах меж довільної фігури, для якої визначаєте площу, окреслити максимальна кількістьтрикутників. Визначити площу кожного та скласти їх площі. Це буде дуже приблизний результат. Якщо ви бажаєте, то можете окремо визначити площу сегментів, обмежених дугами. Для цього уявіть собі, що сегмент – частина від . Побудуйте це коло, а потім від центру проведіть радіуси до країв дуги. Відрізки утворюють між собою кут α. Площа всього визначається π*R^2*α/360. Для кожної дрібнішої частини вашої фігури ви визначаєте площу та отримуєте загальний результат, Склавши отримані значення.
Третій спосіб складніше, але точніше і для когось, простіше. Площу будь-якої фігури можна визначити за допомогою інтегрального. Певний функціїпоказує площу від графіка функції до абсциси. Площу укладену між двома графіками, можна визначити відніманням певного інтеграла, з меншим значенням, з інтеграла в тих же межах, але з великим значенням. Для використання цього методу зручно перенести вашу довільну фігуру в систему координат і далі визначити їх функції та діяти методами вищої математики, в яку тут і зараз не заглиблюватимемося.
Знання про те, як виміряти Землю, з'явилися ще в давнину та поступово оформилися в науку геометрію. З грецької мовице слово так і перекладається – «землемірство».
Мірою протяжності плоскої ділянки Землі за довжиною та шириною є площа. У математиці вона зазвичай позначається латинською літерою S (від англ. "square" - "площа", "квадрат") або грецькою літероюσ (сигма). S позначає площу фігури на площині або площу поверхні тіла, а σ – площа поперечного перерізудроти у фізиці. Це основні символи, хоча можуть бути інші, наприклад, у сфері опору матеріалів, А - площа перерізу профілю.
Формули розрахунку
Знаючи площі простих фігур, можна знаходити параметри складніших. Античними математиками було виведено формули, якими можна легко їх обчислювати. Такими фігурами є трикутник, чотирикутник, багатокутник, коло.
Щоб знайти площу складною плоскої фігуриїї розбивають на безліч простих фігур, таких як трикутники, трапеції або прямокутники. Потім математичними методамививодять формулу для площі цієї постаті. Подібний метод використовують не тільки в геометрії, але і в математичний аналіздля обчислення площ фігур, обмежених кривими.
Трикутник
Почнемо з найпростішої фігури – трикутника. Вони бувають прямокутні, рівнобедрені та рівносторонні. Візьмемо будь-який трикутник ABCзі сторонами AB=a, BC=b та AC=c (∆ABC). Щоб знайти його площу, згадаємо відомі з шкільного курсуматематики теореми синусів та косинусів. Відпускаючи всі викладки, прийдемо до наступним формулам:
- S=√ - відома всім формула Герона, де p=(a+b+c)/2 - напівпериметр трикутника;
- S=a h/2 де h - висота, опущена на бік a;
- S=a b (sin γ)/2, де γ - кут між сторонами a та b;
- S=a b/2, якщо ∆ ABC - прямокутний (тут a і b - катети);
- S=b² (sin (2 β))/2, якщо ∆ ABC - рівнобедрений (тут b - одне з «стегон», β - кут між «стегнами» трикутника);
- S=a² √¾, якщо ∆ ABC - рівносторонній (тут a - сторона трикутника).
Чотирикутник
Нехай є чотирикутник ABCD, який має AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Щоб знайти площу S довільного 4-кутника, потрібно розділити його діагоналлю на два трикутники, площі яких S1 і S2 в загальному випадкуне рівні.
Потім за формулами обчислити їх і скласти, тобто S = S1 + S2. Однак, якщо 4-кутник належить до певного класу, його площа можна знайти за заздалегідь відомими формулами:
- S=(a+c) h/2=e h, якщо 4-кутник - трапеція (тут a і c - основи, e - середня лініятрапеції, h - висота, опущена однією з підстав трапеції;
- S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, якщо ABCD - паралелограм (тут φ - кут між сторонами a та b, h - висота, опущена на бік a, d1 та d2 - діагоналі);
- S=a b=d²/2, якщо ABCD - прямокутник (d - діагональ);
- S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, якщо ABCD - ромб (a - сторона ромба, φ - один із його кутів, P - периметр);
- S=a²=P²/16=d²/2, якщо ABCD – квадрат.
Багатокутник
Щоб знайти площу n-кутника, математики розбивають його на найпростіші рівні фігури-трикутники, знаходять площу кожного їх потім складають. Але якщо багатокутник належить до класу правильних, використовують формулу:
S=a n h/2=a² n/=P²/, де n – кількість вершин (або сторін) багатокутника, a – сторона n-кутника, P – його периметр, h – апофема, тобто відрізок, проведений з центру багатокутника до однієї з сторін під кутом 90°.
Коло
Коло - це досконалий багатокутник, що має нескінченне числосторін. Нам необхідно обчислити межу виразу праворуч у формулі площі багатокутника при числі сторін n, що прагне нескінченності. У цьому випадку периметр багатокутника перетвориться на довжину кола радіуса R, який буде межею нашого кола, і дорівнюватиме P=2 π R. Підставимо цей вираз у зазначену вище формулу. Ми отримаємо:
S = (π² R² cos (180 ° / n)) / (n sin (180 ° / n)).
Знайдемо межу цього виразу при n→∞. Щоб це зробити, врахуємо, що lim (cos (180°/n)) за n→∞ дорівнює cos 0°=1 (lim - знак межі), а lim = lim при n→∞ дорівнює 1/π (ми переклали градусний західв радіанну, використовуючи співвідношення π рад = 180 °, і застосували перший чудовий межа lim(sin x)/x=1 при x→∞). Підставивши в останній вираздля S отримані значення, прийдемо до відомої формули:
S=π² R² 1 (1/π)=π R².
Одиниці виміру
Застосовуються системні та позасистемні одиниці виміру. Системні одиницівідносяться до СІ (Система Міжнародна). Це квадратний метр (кв. метр, м²) та одиниці, похідні від нього: мм², см², км².
У квадратних міліметрах (мм²), наприклад, вимірюють площу перерізу проводів в електротехніці, квадратних сантиметрах(см²) - перерізи балки в будівельній механіці, квадратних метрах(м²) - квартири або будинки, квадратних кілометрах(км²) – території у географії.
Однак іноді використовуються і позасистемні одиниці вимірювання, такі як: сотка, ар(а), гектар(га) та акр(ас). Наведемо такі співвідношення:
- 1 сотка = 1 а = 100 м ² = 0,01 га;
- 1 га = 100 а = 100 соток = 10000 м ² = 0,01 км ² = 2,471 ас;
- 1 ас = 4046.856 м ² = 40,47 а = 40,47 соток = 0,405 га.
Певний інтеграл. Як обчислити площу фігури
Переходимо до розгляду додатків інтегрального обчислення. На цьому уроці ми розберемо типове та найбільш поширене завдання – як за допомогою певного інтегралу обчислити площу плоскої фігури. Нарешті шукаючі сенсв вищої математики- Нехай знайдуть його. Чи мало. Доведеться ось у житті наближати дачна ділянкаелементарними функціями та знаходити його площу за допомогою певного інтегралу.
Для успішного освоєння матеріалу необхідно:
1) Розбиратися в невизначеному інтеграліхоч би на середньому рівні. Таким чином, чайникам для початку слід ознайомитись з уроком Не.
2) Вміти застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца та обчислювати певний інтеграл. Налагодити теплі дружні стосункиз певними інтегралами можна на сторінці Певний інтеграл. Приклади рішень.
Насправді, для того щоб знаходити площу фігури не треба так багато знань з невизначеного і певного інтегралу. Завдання «обчислити площу за допомогою певного інтегралу» завжди передбачає побудову кресленнятому набагато більше актуальним питаннямбудуть ваші знання та навички побудови креслень. У зв'язку з цим корисно освіжити в пам'яті графіки основних елементарних функцій, а, як мінімум, вміти будувати пряму, параболу та гіперболу. Зробити це можна (багатьом – потрібно) за допомогою методичного матеріалута статті про геометричні перетворення графіків.
Власне, із завданням знаходження площі за допомогою певного інтеграла всі знайомі ще зі школи, і ми мало підемо вперед від шкільної програми. Цієї статті взагалі могло б і не бути, але справа в тому, що завдання зустрічається в 99 випадків зі 100, коли студент страждає від ненависної вежі із захопленням освоює курс вищої математики.
Матеріали даного практикуму викладено легко, докладно і з мінімумом теорії.
Почнемо з криволінійної трапеції.
Криволінійною трапецієюназивається плоска фігура, обмежена віссю , прямими і графіком безперервної на відрізку функції , яка не змінює знак на цьому проміжку. Нехай ця фігура розташована не нижчеосі абсцис:
Тоді площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу. Будь-який певний інтеграл (який існує) має дуже хороший геометричний зміст. На уроці Певний інтеграл. Приклади рішенья говорив, що певний інтеграл це число. А зараз настав час констатувати ще один корисний факт. З погляду геометрії певний інтеграл – це ПЛОЩА.
Тобто, певному інтегралу (якщо він існує) геометрично відповідає площа деякої фігури. Наприклад, розглянемо певний інтеграл. Підінтегральна функція задає на площині криву, що знаходиться вище за осі (бажаючі можуть виконати креслення), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площівідповідної криволінійної трапеції.
Приклад 1
Це типове формулювання завдання. Перший і найважливіший моментрішення – побудова креслення. Причому креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.
При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочаткукраще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім– параболи, гіперболи, графіки інших функцій. Графіки функцій вигідніше будувати крапково, з технікою поточкової побудови можна ознайомитись у довідковий матеріал Графіки та властивості елементарних функцій. Там же можна знайти дуже корисний стосовно нашого уроку матеріал – як швидко побудувати параболу.
У цій задачі рішення може виглядати так.
Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння задає вісь):
Штрихувати криволінійну трапецію я не буду, тут очевидно, про яку площу йдеться. Рішення продовжується так:
На відрізку графік функції розташований над віссютому:
Відповідь:
У кого виникли труднощі з обчисленням певного інтегралу та застосуванням формули Ньютона-Лейбніца 
, зверніться до лекції Певний інтеграл. Приклади рішень.
Після того, як завдання виконане, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальна вийшла відповідь. У даному випадку«На вічко» підраховуємо кількість клітин у кресленні – ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, очевидно, що десь припущена помилка - у розглянуту фігуру 20 клітинок явно не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.
Приклад 2
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями, , і віссю
Це приклад для самостійного рішення. Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.
Що робити, якщо криволінійна трапеція розташована під віссю?
Приклад 3
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями і координатними осями.
Рішення: Виконаємо креслення: 
Якщо криволінійна трапеція розташована під віссю(або, принаймні, не вищеданої осі), то її площу можна знайти за формулою:
В даному випадку: 
Увага! Не слід плутати два типи завдань:
1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без жодного геометричного сенсу, він може бути негативним.
2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому у щойно розглянутій формулі фігурує мінус.
На практиці найчастіше фігура розташована і у верхній і нижній півплощині, а тому, від найпростіших шкільних завдань переходимо до більш змістовних прикладів.
Приклад 4
Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями , .
Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення Загалом кажучи, при побудові креслення у завданнях на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи та прямий. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний. Вирішуємо рівняння:
Отже, нижня межа інтегрування , верхня межаінтегрування.
Цим способом краще, наскільки можна, не користуватися.
Набагато вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Техніка поточкової побудови для різних графіків детально розглянута у довідці Графіки та властивості елементарних функцій. Тим не менш, аналітичний спосібзнаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними). І такий приклад ми теж розглянемо.
Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і лише потім параболу. Виконаємо креслення: 
Повторюся, що за поточечному побудові межі інтегрування найчастіше з'ясовуються «автоматом».
А тепер робоча формула: Якщо на відрізку деяка безперервна функція більше або дорівнюєдеякою безперервної функції, то площа фігури, обмеженою графікамиданих функцій і прямими , , можна знайти за формулою: 
Тут уже не треба думати, де розташована постать - над віссю або під віссю, і, грубо кажучи, важливо, який графік Вище(щодо іншого графіка), а який – НИЖЧЕ.
У прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому необхідно відняти
Завершення рішення може мати такий вигляд:
Потрібна фігура обмежена параболою зверху і прямою знизу.
На відрізку , за відповідною формулою:
Відповідь:
Насправді шкільна формуладля площі криволінійної трапеції у нижній напівплощині (див. простенький приклад №3) – окремий випадокформули 
. Оскільки вісь задається рівнянням, а графік функції розташований не вищеосі , то 
А зараз пара прикладів для самостійного вирішення
Приклад 5
Приклад 6
Знайти площу фігури, обмеженою лініями , .
У ході вирішення завдань на обчислення площі за допомогою певного інтегралу іноді трапляється кумедний казус. Креслення виконано правильно, розрахунки – правильно, але через неуважність… знайдено площу не тієї фігури, саме так кілька разів лажався ваш покірний слуга. Ось реальний випадокіз життя:
Приклад 7
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , , .
Рішення: Спочатку виконаємо креслення: 
…Ех, креслення хрінонький вийшов, але начебто все розбірливо.
Фігура, площу якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором(Уважно дивіться на умову – чим обмежена фігура!). Але на практиці через неуважність нерідко виникає «глюк», що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!
Цей приклад ще корисний і тим, що в ньому площа фігури вважається за допомогою двох певних інтегралів. Дійсно:
1) На відрізку над віссю розташований графік прямий;
2) На відрізку над віссю розташований графік гіперболи.
Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:
Відповідь:
Переходимо ще до одного змістовного завдання.
Приклад 8
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями ,
Представимо рівняння в «шкільному» вигляді і виконаємо поточковий креслення: 
З креслення видно, що верхню межу ми «хороший»: .
Але чому дорівнює нижня межа?! Зрозуміло, що це ціле число, але яке? Можливо? Але де гарантія, що креслення виконано з ідеальною точністю, цілком може виявитися . Або корінь. А якщо ми взагалі неправильно збудували графік?
У таких випадках доводиться витрачати додатковий часта уточнювати межі інтегрування аналітично.
Знайдемо точки перетину прямої та параболи.
Для цього розв'язуємо рівняння: 
,
Справді, .
Подальше рішення тривіально, головне, не заплутатися у підстановках та знаках, обчислення тут не найпростіші.
На відрізку 
, за відповідною формулою: 
Відповідь: 
Ну, і на закінчення уроку, розглянемо два завдання складніше.
Приклад 9
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , ,
Рішення: Зобразимо цю фігуруна кресленні. 
Блін, забув графік підписати, а переробляти картинку, вибачте, не хоче. Чи не креслярський, коротше, сьогодні день =)
Для поточкового побудови необхідно знати зовнішній виглядсинусоїди (і взагалі корисно знати графіки всіх елементарних функцій), а також деякі значення синуса, їх можна знайти в тригонометричної таблиці. У ряді випадків (як у цьому) допускається побудова схематичного креслення, на якому принципово правильно повинні бути відображені графіки та межі інтегрування.
З межами інтегрування тут проблем немає, вони випливають з умови: – «ікс» змінюється від нуля до «пі». Оформляємо подальше рішення:
На відрізку графік функції розташований над віссю, тому: