Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версія роботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF
Вступ
Геометрія - одне з найважливіших компонент математичного освіти, необхідна придбання конкретних знання просторі і практично значимих умінь, формування мови описи об'єктів навколишнього світу, у розвиток просторової уяви та інтуїції, математичної культури, і навіть для естетичного виховання. Вивчення геометрії робить внесок у розвиток логічного мислення, формування навичок доказу.
У курсі геометрії 7 класу систематизуються знання про найпростіші геометричні фігури та їх властивості; запроваджується поняття рівності фігур; виробляється вміння доводити рівність трикутників з допомогою вивчених ознак; вводиться клас завдань на побудову за допомогою циркуля та лінійки; вводиться одне з найважливіших понять - поняття про паралельні прямі; розглядаються нові цікаві та важливі властивості трикутників; розглядається одна з найважливіших теорем у геометрії – теорема про суму кутів трикутника, яка дозволяє дати класифікацію трикутників по кутах (гострокутний, прямокутний, тупокутний).
Протягом занять, особливо під час переходу від однієї частини заняття до іншої, зміну діяльності постає питання підтримки інтересу до занять. Таким чином, актуальнимстає питання про застосування на заняттях з геометрії завдань, у яких є умова проблемної ситуації та елементи творчості. Таким чином, метоюданого дослідження є систематизація завдань геометричного змісту з елементами творчості та проблемних ситуацій.
Об'єкт дослідження: Завдання з геометрії з елементами творчості, цікавості та проблемних ситуацій
Завдання дослідження:Проаналізувати існуючі завдання з геометрії, спрямовані на розвиток логіки, уяви та творчого мислення. Показати, як цікавими прийомами можна розвинути інтерес до предмета.
Теоретична та практична значущість дослідженняполягає в тому, що зібраний матеріал може бути використаний у процесі додаткових занять з геометрії, а саме на олімпіадах та конкурсах з геометрії.
Обсяг та структура дослідження:
Дослідження складається із вступу, двох розділів, висновків, бібліографічного списку, містить 14 сторінок основного машинописного тексту, 1 таблицю, 10 малюнків.
Глава 1. ПЛОСЬКІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА ВИЗНАЧЕННЯ
1.1. Основні геометричні фігури в архітектурі будівель та споруд
У навколишньому світі існує безліч матеріальних предметів різних форм і розмірів: житлові будинки, деталі машин, книги, прикраси, іграшки тощо.
У геометрії замість слова предмет кажуть геометрична фігура, розділяючи геометричні фігури на плоскі і просторові. У цій роботі буде розглянуто один із найцікавіших розділів геометрії - планіметрія, в якій розглядаються лише плоскі фігури. Планіметрія(від латів. planum — «площина», др.-грец. μετρεω — «вимірюю») — розділ евклідової геометрії, що вивчає двовимірні (одноплощинні) фігури, тобто фігури, які можна розташувати в межах однієї площини. Плоскою геометричною фігурою називається така, всі точки якої лежать на одній площині. Подання про таку фігуру дає будь-який малюнок, зроблений на аркуші паперу.
Але перш, ніж розглядати пласкі фігури, необхідно познайомитися з простими, але дуже важливими постатями, без яких пласкі фігури просто не можуть існувати.
Найпростішою геометричною фігурою є крапка.Це одна з головних постатей геометрії. Вона дуже маленька, але її завжди використовують для побудови різних форм на площині. Крапка - це головна фігура для всіх побудов, навіть найвищої складності. З точки зору математики точка — це абстрактний просторовий об'єкт, який не має таких характеристик, як площа, обсяг, але при цьому залишається фундаментальним поняттям у геометрії.
Пряма- одне з фундаментальних понять геометрії. При систематичному викладі геометрії пряма лінія зазвичай приймається за одне з вихідних понять, яке лише опосередковано визначається аксіомами геометрії (евклідової). Якщо основою побудови геометрії служить поняття відстані між двома точками простору, то пряму лінію можна визначити, як лінію, шлях уздовж якої дорівнює відстані між двома точками.
Прямі в просторі можуть займати різні положення, розглянемо деякі з них і наведемо приклади, що зустрічаються в архітектурному вигляді будівель та споруд (табл. 1):
Таблиця 1
|
Паралельні прямі |
Властивості паралельних прямих |
|
|
Якщо прямі паралельні, їх однойменні проекції паралельні: |
Єсентуки, будівля грязелікарні (фото автора) |
|
|
Пересічні прямі |
Властивості прямих, що перетинаються |
Приклади в архітектурі будівель та споруд |
|
Прямі, що перетинаються, мають загальну точку, тобто точки перетину їх однойменних проекцій лежать на загальній лінії зв'язку: |
Будинки "гори" на Тайвані https://www.sro-ps.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane |
|
|
Схрещувальні прямі |
Властивості прямих, що схрещуються |
Приклади в архітектурі будівель та споруд |
|
Прямі, що не лежать в одній площині і не паралельні між собою, є схрещуються. Але не є спільною лінією зв'язку. Якщо прямі, що перетинаються і паралельні, лежать в одній площині, то прямі, що схрещуються, лежать у двох паралельних площинах. |
Робер, Гюбер - Вілла Мадама під Римом https://gallerix.ru/album/Hermitage-10/pic/glrx-172894287 |
1.2. Плоскі геометричні фігури. Властивості та визначення
Спостерігаючи за формами рослин і тварин, гір і звивинами річок, за особливостями ландшафту та далекими планетами, людина запозичила у природи її правильні форми, розміри та властивості. Матеріальні потреби спонукали людину будувати житла, виготовляти знаряддя праці та полювання, ліпити з глини посуд та інше. Усе це поступово сприяло з того що людина дійшла усвідомлення основних геометричних понять.
Чотирикутники:
Паралелограм(ін.-грец. παραλληλόγραμμον від παράλληλος - паралельний і γραμμή - риса, лінія) - це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, тобто лежать на паралельних прямих.
Ознаки паралелограма:
Чотирикутник є паралелограмом, якщо виконується одна з наступних умов: 1. Якщо в чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, то чотирикутник – паралелограм. 2. Якщо чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, цей чотирикутник - паралелограмм. 3. Якщо в чотирикутнику дві сторони рівні та паралельні, то цей чотирикутник – паралелограм.
Паралелограм, у якого всі кути прямі, називається прямокутником.
Паралелограм, у якого всі сторони рівні, називається ромбом.
Трапеція-це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не є паралельними. Так само, трапецією називається чотирикутник, у якого одна пара протилежних сторін паралельна і сторони не рівні між собою.
Трикутник— це найпростіша геометрична фігура, утворена трьома відрізками, які з'єднують три точки, що не лежать на одній прямій. Вказані три точки називаються вершинами трикутника, а відрізки - сторонами трикутник.Саме через свою простоту трикутник став основою багатьох вимірів. Землеміри при своїх обчисленнях площ земельних ділянок та астрономи при знаходженні відстаней до планет та зірок використовують властивості трикутників. Так виникла наука тригонометрія - наука про вимір трикутників, про вираз сторін через його кути. Через площу трикутника виражається площа будь-якого багатокутника: достатньо розбити цей багатокутник на трикутники, обчислити їхні площі та скласти результати. Щоправда, вірну формулу для площі трикутника вдалося знайти не одразу.
Особливо активно властивості трикутника досліджувалися у XV-XVI століттях. Ось одна з найкрасивіших теорем того часу, що належить Леонарду Ейлеру:
Величезна кількість робіт з геометрії трикутника, проведене в XY-XIX століттях, створило враження, що про трикутник вже відомо все.
Багатокутникце геометрична фігура, яка зазвичай визначається як замкнута ламана.
Коло— геометричне місце точок площини, відстань від яких до заданої точки, яка називається центром кола, не перевищує заданого невід'ємного числа, що називається радіусом цього кола. Якщо радіус дорівнює нулю, то коло вироджується у крапку.
Існує велика кількість геометричних фігур, всі вони відрізняються параметрами та властивостями, часом дивуючи своїми формами.
Щоб краще запам'ятати та відрізняти плоскі фігури за властивостями та ознаками, я вигадав геометричну казку, яку хотів би представити вашій увазі у наступному параграфі.
Глава 2. ЗАВДАННЯ-ГОЛОВОЛОМКИ З ПЛОСКИХ ГЕОМЕТРИЧНИХ ФІГУР
2.1.Головоломки на побудову складної фігури з набору плоских геометричних елементів.
Вивчивши плоскі фігури, я задумався, а існують якісь цікаві завдання з плоскими фігурами, які можна використовувати як завдання-ігри або завдання-головоломки. І першим завданням, яке я знайшов, була головоломка "Танграм".
Це китайська головоломка. У Китаї її називають «чи тао ту», тобто розумова головоломка із семи частин. У Європі назва «Танграм» виникла, найімовірніше, від слова «тань», що означає «китаєць» та кореня «грама» (грец. – «буква»).
Для початку необхідно накреслити квадрат 10х10 і розділити його на сім частин: п'ять трикутників 1-5 , квадрат 6 та паралелограм 7 . Суть головоломки у тому, щоб, використовуючи всі сім частин, скласти фігурки, показані на рис.3.
Рис.3. Елементи гри «Танграм» та геометричні фігури
Рис.4. Завдання «Танграм»
Особливо цікаво складати з плоских постатей «образні» багатокутники, знаючи лише контури предметів (рис.4). Кілька таких завдань-обрисів я вигадав сам і показав ці завдання своїм однокласникам, які із задоволенням почали розгадувати завдання і склали багато цікавих фігур-багатогранників, схожих на обриси предметів навколишнього світу.
Для розвитку уяви можна використовувати такі форми цікавих головоломок, як завдання на розрізання і відтворення заданих фігур.
Приклад 2. Завдання на розрізання (паркетування) можуть здатися, здавалося б, дуже різноманітними. Однак у більшості в них використовується лише кілька основних типів розрізань (як правило, ті, за допомогою яких з одного паралелограма можна отримати інший).
Розглянемо деякі прийоми розрізань. При цьому розрізані фігури називатимемо багатокутників.
Мал. 5. Прийоми розрізань
На рис.5 представлені геометричні фігури, з яких можна зібрати різні орнаментальні композиції та скласти орнамент своїми руками.
Приклад 3. Ще одне цікаве завдання, яке можна самостійно придумати та обмінюватися з іншими учнями, при цьому хто більше збере розрізані фігури, той оголошується переможцем. Завдань такого типу може бути чимало. Для кодування можна взяти всі існуючі геометричні фігури, що розрізаються на три чи чотири частини.
Рис.6.Приклади завдань на розрізання:
------ - відтворений квадрат; - Розріз ножицями;
Основна фігура
2.2.Рівновеликі і рівноскладені фігури
Розглянемо ще один цікавий прийом на розрізання плоских фігур, де основними героями розрізань будуть багатокутники. При обчисленні площ багатокутників використовується простий прийом, який називається методом розбиття.
Взагалі багатокутники називаються рівноскладеними, якщо певним чином розрізавши багатокутник F на кінцеве число частин, можна, розташовуючи ці частини інакше, скласти їх багатокутник Н.
Звідси випливає наступна теорема:рівноскладені багатокутники мають однакову площу, тому вони вважатимуться рівновеликими.
На прикладі рівноскладених багатокутників можна розглянути і цікаве розрізання, як перетворення «грецького хреста» в квадрат (рис.7).
Рис.7. Перетворення «грецького хреста»
У разі мозаїки (паркету), складеної з грецьких хрестів, паралелограм періодів є квадратом. Ми можемо вирішити задачу, накладаючи мозаїку, складену з квадратів, на мозаїку, утворену за допомогою хрестів, так, щоб при цьому конгруентні точки однієї мозаїки збіглися з конгруентними точками іншої (рис.8).
На малюнку конгруентні точки мозаїки з хрестів, саме центри хрестів, збігаються з конгруентними точками «квадратної» мозаїки - вершинами квадратів. Паралельно зсунувши квадратну мозаїку, ми завжди матимемо рішення задачі. Причому завдання має кілька варіантів рішень, якщо при складанні орнаменту паркету використовується колір.
Рис.8. Паркет, зібраний із грецького хреста
Ще один приклад рівноскладених фігур можна розглянути на прикладі паралелограма. Наприклад, паралелограм рівно складений із прямокутником (рис.9).
Цей приклад ілюструє метод розбиття, що полягає в тому, що для обчислення площі багатокутника намагаються розбити його на кінцеве число частин таким чином, щоб з цих частин можна було скласти простіший багатокутник, площа якого нам вже відома.
Наприклад, трикутник рівноскладний з паралелограмом, що має ту саму основу і вдвічі меншу висоту. З цього положення легко виводиться формула площі трикутника.
Зазначимо, що для наведеної вище теореми справедлива і зворотна теорема:якщо два багатокутники рівновеликі, то вони рівноскладені.
Цю теорему, доведену у першій половині ХІХ ст. угорським математиком Ф.Бойяї та німецьким офіцером і любителем математики П.Гервіном, можна уявити й у такому вигляді: якщо є торт у формі багатокутника та багатокутна коробка, зовсім іншої форми, але тієї ж площі, то можна так розрізати торт на кінцеву кількість шматків (не перевертаючи їх кремом вниз), що їх вдасться покласти в цю коробку.
Висновок
Наприкінці зазначу, що завдань на плоскі постаті досить представлено різних джерелах, але інтерес представили мені ті, виходячи з яких мені довелося вигадувати свої завдання-головоломки.
Адже вирішуючи такі завдання, можна не просто накопичити життєвий досвід, а й набути нових знань та вмінь.
У головоломках при побудові дій-ходів використовуючи повороти, зрушення, переноси на площині або їх композиції, у мене вийшли самостійно створені нові образи, наприклад фігурки-багатогранники з гри «Танграм».
Відомо, що основним критерієм рухливості мислення людини є здатність шляхом відтворювальної та творчої уяви виконати у встановлений час певні дії, а в нашому випадку - ходи фігур на площині. Тому вивчення математики і, зокрема, геометрії в школі дасть мені ще більше знань, щоб надалі застосувати їх у своїй майбутній професійній діяльності.
бібліографічний список
1. Павлова, Л.В. Нетрадиційні підходи до навчання кресленню: навчальний посібник/Л.В. Павлова. – Нижній Новгород: Вид-во НДТУ, 2002. – 73 с.
2. Енциклопедичний словник молодого математика / Упоряд. А.П. Савин. - М: Педагогіка, 1985. - 352 с.
3.https://www.srops.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane
4.https://www.votpusk.ru/country/dostoprim_info.asp?ID=16053
Додаток 1
Анкета-опитувальник для однокласників
1. Чи знаєте ви, що таке головоломка "Танграм"?
2. Що таке «грецький хрест»?
3. Чи було б вам цікаво дізнатися, що таке «Танграм»?
4. Чи було б вам цікаво дізнатися, що таке «грецький хрест»?
Було опитано 22 учні 8 класу. Результати: 22 учні не знають, що таке «Танграм» та «грецький хрест». 20-ти учням було б цікаво дізнатися про те, як за допомогою головоломки "Танграм", що складається з семи плоских фігур, отримати складнішу фігуру. Результати опитування узагальнені на діаграмі.
Додаток 2
Елементи гри «Танграм» та геометричні фігури
Перетворення «грецького хреста»
1. Поняття геометричної фігури.
3. Паралельні та перпендикулярні прямі.
4. Трикутники.
5. Чотирикутники.
6. Багатокутники.
7. Коло і коло.
8. Побудова геометричних постатей на площині.
9. Перетворення геометричних фігур. Концепція перетворення
Основна література;
додаткова література
Поняття геометричної фігури
Геометричну фігурувизначають як будь-яку множину точок.
Відрізок, пряма, коло, куля- геометричні фігури.
Якщо всі точки геометричної фігури належать до однієї площини, вона називається плоский .
Наприклад, відрізок, прямокутник – це плоскі фігури. Існують фігури, які не є плоскими. Це, наприклад, куб, куля, піраміда.
Оскільки поняття геометричної фігури визначено через поняття множини, можна говорити, що одна фігура включена до іншої (чи міститься у інший), можна розглядати об'єднання, перетин і різницю фігур.
Наприклад,об'єднання двох променів АВі МК(рис. 1) є пряма КВ,а їх перетин є відрізок АМ.
К А М В
Випуклими фігурами є площина, пряма, промінь, відрізок, точка. Неважко переконатися, що опуклою фігурою є коло (рис. 3). Якщо продовжити відрізок XY до перетину з колом, то отримаємо хорду АВ.Оскільки хорда міститься у колі, то відрізок XY теж міститься у колі і, отже, коло – опукла фігура.
Для багатокутників відоме інше визначення: багатокутник називається опуклим, якщо він лежить по одну сторону від кожної прямої, що містить його бік .
Так як рівносильність цього визначення і вище для багатокутника доведена, то можна користуватися і тим, і іншим.
Ґрунтуючись на цих поняттях, розглянемо інші геометричні фігури, що вивчаються у шкільному курсі планіметрії. Розглянемо їх визначення та основні властивості, приймаючи їх без доказів. Знання цього матеріалу та вміння застосовувати до вирішення нескладних геометричних завдань є тією основою, на якій можна будувати методику навчання молодших школярів елементам геометрії.
Кути
Нагадаємо, що кут - це геометрична фігура, яка складається з точки та двох променів, що виходять із цієї точки.
Промені називаються сторонами кута, які загальне початок - його вершиною.
Кут позначають по-різному: вказують або його вершину, або його сторони, або три точки: вершину і дві точки на сторонах кута: А, K (l, l), АВС.
Кут називається розгорнутим , якщо його сторони лежать на одній прямій.
Кут, що становить половину розгорнутого кута, називається прямим. Кут, менший за прямий, називається гострим.Кут, більший за прямий, але менший за розгорнутий, називається тупим .
Крім поняття кута, даного вище, геометрії розглядають поняття плоского кута.
Плоский кут - це частина площини, обмежена двома різними променями, що виходять із однієї точки.
Кути, які розглядають у планіметрії, не перевершують розгорнутого.
Два кути називаються суміжними, якщо вони одна сторона загальна, інші сторони цих кутів є додатковими напівпрямими.
Сума суміжних кутів дорівнює 180°. Справедливість цієї властивості випливає з визначення суміжних кутів.
Два кути називаються вертикальними,якщо сторони одного кута є додатковими напівпрямими сторонами іншого. Кути АОВ та СОВ, а також кути АОС та D0В – вертикальні (рис. 4).
Відрізок позначається як і, як і пряма. Відрізок - це частина прямої разом з точками, що обмежують цю частину. Зрозуміло, що дві точки не повинні збігатися, тобто лежати в тому самому місці на прямій. Якщо на прямій ви поставили крапку, то цією точкою пряма розбивається на два промені, протилежно спрямованих. Крапки позначаються великими латинськими літерами, прямі позначаються латинськими малими літерами. Що через ці дві точки проходить пряма, і до того ж лише одна. Начебто це зрозуміло.
У площині, як і в прямій, не можна бачити ні початку, ні кінця. Ми розглядаємо лише частину площини, яка обмежена замкненою ламаною лінією. Відрізок, промінь, ламана лінія – найпростіші геометричні фігури на площині. Крапка - найдрібніша геометрична фігура, що є основою інших фігур у будь-якому зображенні або кресленні.
Зазвичай у відрізка прямий неважливо, в якому порядку розглядаються його кінці: тобто відрізки AB(displaystyle AB) і BA(displaystyle BA) являють собою один і той же відрізок. Наприклад, спрямовані відрізки AB(\displaystyle AB) та BA(\displaystyle BA) не збігаються. Подальше узагальнення призводить до поняття вектора - класу всіх рівних по довжині та спрямованих спрямованих відрізків.
Промінь з початком у точці O, що містить точку A, позначається промінь ОА. Ти вийшов із квартири, купив у магазині хліб, зайшов у під'їзд і розмовляв із сусідом. Яка лінія вийшла? Завдання: де пряме, промінь, відрізок, крива?
Ланки ламаної (схожі на ланки ланцюга) - це відрізки, з яких складається ламана. Сумежні ланки - це ланки, які мають кінець однієї ланки є початком іншого. Сумежні ланки не повинні лежати на одній прямій. Сусідні вершини – це точки кінців однієї сторони багатокутника. Син на підготовку до школи ходить. Дано в книзі «Раз-ступенька, Два-ступеня…» (Петерсон і Холіна) завдання «Знайди прямі, промені та відрізки».
Пряма – одне з фундаментальних понять геометрії. Однак можна сказати, що це геометрична фігура, яка виходить із відрізка необмеженим продовженням його в обидві сторони. Крива або лінія - геометричне поняття, що визначається в різних розділах геометрії по-різному, іноді визначається як «довжина без ширини» або як «кордон фігури».
Кандинський систематизував свої погляди на живопис у книзі «Крапка і лінія на площині» (1926). Різноманітність ліній залежить від кількості цих сил та їх комбінацій. Зрештою всіх форм ліній можна звести до двох випадків:1.
Отже, горизонталь – це холодна основа, яка може бути продовжена на площині в різних напрямках. Холод та площинність – це основні звучання даної лінії, вона може бути визначена як найкоротша форма необмеженої холодної можливості руху. Повністю протилежна цій лінії і зовні, і внутрішньо стоїть до неї під прямим кутом вертикаль, в якій площинність замінюється висотою, тобто холод теплом.
Навіть серед найпростіших постатей виділяється найпростіша – це точка. Всі інші фігури складаються з багатьох точок. У геометрії прийнято позначати крапки великими (великими) латинськими літерами. Пряма - це нескінченна лінія, на якій якщо взяти дві будь-які точки, то найкоротша відстань між ними проходитиме саме по цій прямій.
Наприклад, пряма a, пряма b. Однак у деяких випадках і двома більшими. Інакше відрізок матиме нульову довжину і, по суті, буде точкою. Позначають відрізки великими двома літерами, якими позначаються кінці відрізка.
Основні геометричні поняття
Таким чином, якщо відрізок обмежений з обох кінців, то промінь тільки з одного, а інший бік променя нескінченна, як у прямої. Позначають промені як і прямі: або однією маленькою літерою, або двома великими.
У геометрії є такий розділ, який займається вивченням різних фігур на площині та називається планіметрією. Вам вже відомо, що фігурою називають довільну множину точок, що знаходяться на площині. З вище вивченого матеріалу вам вже відомо, що точка відноситься до головних геометричних фігур. Адже побудова складніших геометричних постатей складається з безлічі точок, притаманних даної постаті.
Фігура, яка має два промені та вершину, називається кутом. Місце з'єднання променів є вершиною цього кута, а його сторонами вважаються промені, які цей кут утворюють. Також до простих геометричних фігур належить і трикутник, що вже вивчається вами. Це один із видів багатокутників, у якого частина площини обмежена трьома точками та трьома відрізками, які з'єднують ці точки попарно.
У багатокутнику всі точки, які з'єднують відрізки, є його вершинами. А відрізки, у тому числі складається багатокутник, є його сторонами. А ось одна з відомих картин, створена ще на початку минулого століття Малевичем, славить таку геометричну фігуру, як квадрат.
Надалі будуть визначення для різних фігур крім двох — точка та пряма. Значить іноді позначити пряму можемо і двома великими латинськими літерами, наприклад, пряма (AB), так як ніяка інша пряма через ці дві точки не може бути проведена. 2) Всі прямі (a), (b) і (c) перетинаються! Це вивчення фігур, їх властивостей та взаємного розташування. Перші геометричні факти знайдено у вавилонських клинописних таблицях та єгипетських папірусах (III тисячоліття до нашої ери), а також в інших джерелах.
Крапка - це найменша геометрична фігура, яка є основою всіх інших побудов (фігур) у будь-якому зображенні чи кресленні. Частину пряму, обмежену двома точками і точки називають відрізком. Площина, як і пряма, - це вихідне поняття, яке не має визначення.
Геометричні фігури є комплексом точок, ліній, тіл або поверхонь. Ці елементи можуть розташовуватися як у площині, і у просторі, формуючи кінцеву кількість прямих.
Термін "фігура" має на увазі під собою кілька множин точок. Вони повинні розташовуватися на одній або кількох площинах і одночасно обмежуватись конкретним числом закінчених ліній.
Основними геометричними фігурами вважаються точка та пряма. Вони розміщуються на площині. Крім них, серед простих фігур виділяють промінь, ламану лінію та відрізок.
Крапка
Це одна з головних постатей геометрії. Вона дуже маленька, але її завжди використовують для побудови різних форм на площині. Крапка - це головна фігура для всіх побудов, навіть найвищої складності. У геометрії її прийнято позначати буквою латинської абетки, наприклад, A, B, K, L.
З точки зору математики точка - це абстрактний просторовий об'єкт, що не має таких характеристик, як площа, обсяг, але при цьому залишається фундаментальним поняттям в геометрії. Цей нульмерний об'єкт просто немає визначення.
Пряма
Ця фігура повністю розташовується в одній площині. У прямій немає конкретного математичного визначення, оскільки вона складається з величезної кількості точок, що розташовуються на одній нескінченній лінії, у якої немає межі та меж.
Існує ще й відрізок. Це теж пряма, але вона починається і закінчується з точки, отже, має геометричні обмеження.
Також лінія може перетворитися на спрямований промінь. Таке відбувається, коли пряма починається з точки, але чіткого закінчення немає. Якщо ж поставити крапку посередині лінії, вона розіб'ється на два промені (додаткових), причому протилежно спрямованих друг до друга.
Декілька відрізків, які послідовно з'єднуються один з одним кінцями в загальній точці і розташовуються не на одній прямій, прийнято називати ламаною лінією.
Кут
Геометричні фігури, назви яких ми розглянули вище, вважають ключовими елементами, що використовуються при побудові складніших моделей.
Кут - це конструкція, що складається з вершини та двох променів, які виходять з неї. Тобто сторони цієї постаті поєднуються в одній точці.
Площина
Розглянемо ще одне первинне поняття. Площина - це постать, яка не має ні кінця, ні початку, так само як і прямий, і точки. Під час розгляду цього геометричного елемента береться до уваги лише його частина, обмежена контурами ламаної замкнутої лінії.
Будь-яку гладку обмежену поверхню можна вважати площиною. Це може бути прасувальна дошка, аркуш паперу або навіть двері.
Чотирикутники
Паралелограм - це геометрична фігура, протилежні сторони якої паралельні один одному попарно. Серед приватних видів цієї конструкції виділяють ромб, прямокутник та квадрат.
Прямокутник - це паралелограм, у якого всі сторони стикаються під прямим кутом.
Квадрат - це чотирикутник з рівними сторонами та кутами.
Ромб – це постать, у якої всі грані рівні. При цьому кути можуть бути різними, але попарно. Кожен квадрат вважається ромбом. Але у протилежному напрямі це правило діє не завжди. Не кожен ромб є квадратом.
Трапеція
Геометричні фігури бувають абсолютно різними та химерними. Кожна з них має своєрідну форму та властивості.
Трапеція - це постать, яка чимось схожа на чотирикутник. Вона має дві паралельні протилежні сторони і при цьому вважається криволінійною.
Коло
Ця геометрична фігура має на увазі розташування на одній площині точок, рівновіддалених від її центру. При цьому заданий ненульовий відрізок називається радіусом.
Трикутник
Це проста геометрична фігура, яка дуже часто зустрічається та вивчається.
Трикутник вважається підвидом багатокутника, розташованим на одній площині та обмеженим трьома гранями та трьома точками дотику. Ці елементи попарно з'єднані між собою.
Багатокутник
Вершинами багатокутників називають точки, що з'єднують відрізки. А останні, своєю чергою, прийнято вважати сторонами.
Об'ємні геометричні фігури
- призма;
- сфера;
- конус;
- циліндр;
- піраміда;
Ці тіла мають щось спільне. Всі вони обмежуються замкнутою поверхнею, всередині якої є безліч точок.
Об'ємні тіла вивчають у геометрії, а й у кристалографії.
Цікаві факти
Напевно, вам буде цікаво ознайомитися з інформацією, наданою нижче.
- Геометрія сформувалася як наука ще у давні віки. Це явище прийнято пов'язувати з розвитком мистецтва та різноманітних ремесел. А назви геометричних фігур свідчать про використання принципів визначення подібності та схожості.
- У перекладі з давньогрецької термін «трапеція» означає столик для трапези.
- Якщо ви візьмете різні фігури, периметр яких буде однаковим, то найбільша площа гарантовано буде біля кола.
- У перекладі з грецької термін «конус» позначає соснову шишку.
- Існує відома картина Каземира Малевича, яка, починаючи з минулого століття, притягує до себе погляди багатьох живописців. Робота «Чорний квадрат» завжди була містичною та загадковою. Геометрична фігура на білому полотні захоплює та вражає одночасно.
Існує велика кількість геометричних фігур. Усі вони відрізняються параметрами, а часом навіть дивують формами.
2.1. Геометричні фігури на площині
Останніми роками намітилася тенденція включення значного за обсягом геометричного матеріалу у початковий курс математики. Але щоб познайомити учнів з різними геометричними фігурами, міг навчити їх правильно зображати, йому потрібна відповідна математична підготовка. Вчитель має бути знайомий із провідними ідеями курсу геометрії, знати основні властивості геометричних фігур, вміти їх побудувати.
При зображенні плоскої фігури немає ніяких геометричних проблем. Креслення служить або точну копію оригіналу, або представляє йому подібну фігуру. Розглядаючи на кресленні зображення кола, ми отримуємо таке ж зорове враження, ніби розглядали коло-оригінал.
Тому вивчення геометрії починається з планіметрії.
Планіметрія – це розділ геометрії, у якому вивчаються постаті площині.
Геометричну фігуру визначають як будь-яку множину точок.
Відрізок, пряма, коло – геометричні постаті.
Якщо всі точки геометричної фігури належать до однієї площини, вона називається плоскою.
Наприклад, відрізок, прямокутник – це пласкі фігури.
Існують фігури, які не є плоскими. Це, наприклад, куб, куля, піраміда.
Оскільки поняття геометричної фігури визначено через поняття множини, можна говорити, що одна фігура включена до іншої, можна розглядати об'єднання, перетин і різницю фігур.
Наприклад, об'єднанням двох променів АВ і МК є пряма КВ, які перетин є відрізок АМ.
Розрізняють опуклі та неопуклі фігури. Фігура називається опуклою, якщо вона разом з будь-якими двома своїми точками містить також відрізок, що з'єднує їх.
Фігура F 1 – опукла, а фігура F 2 – непукла.
Випуклими фігурами є площина, пряма, промінь, відрізок, точка. неважко переконається у тому, що опуклою фігурою є коло.
Якщо продовжити відрізок XY до перетину з колом, отримаємо хорду АВ. Оскільки хорда міститься у колі, то відрізок XY теж міститься у колі, отже, коло – опукла постать.
Основні властивості найпростіших фігур на площині виражаються в наступних аксіомах:
1. Якою б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій і не належать їй.
Через будь-які дві точки можна провести пряму, і лише одну.
Ця аксіома виражає основну властивість належності точок і прямих на площині.
2. З трьох точок на прямій одна і лише одна лежить між двома іншими.
Цією аксіомою виражається основна властивість розташування точок на прямій.
3. Кожен відрізок має певну довжину, більшу за нуль. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, куди він розбивається будь-якою його точкою.
Очевидно, що аксіома 3 виражає основну властивість виміру відрізків.
Цією пропозицією виражається основна властивість розташування точок щодо прямої на площині.
5. Кожен кут має певну градусну міру, більшу за нуль. Розгорнутий кут дорівнює 180 о. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних заходів кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.
Ця аксіома виражає основну властивість виміру кутів.
6. На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок заданої довжини, і лише один.
7. Від будь-якої напівпрямої в задану напівплощину можна відкласти кут із заданим градусним заходом, меншим за 180 О, і тільки один.
У цих аксіомах відбиваються основні властивості відкладання кутів та відрізків.
До основних властивостей найпростіших постатей належить існування трикутника, рівного даному.
8. Яким би не був трикутник, існує рівний йому трикутник у заданому розташуванні щодо даної напівпрямої.
Основні властивості паралельних прямих виражаються наступною аксіомою.
9. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше однієї прямої, паралельної даній.
Розглянемо деякі геометричні фігури, що вивчаються у початковій школі.
Кут – це геометрична фігура, яка складається з точки та двох променів, що виходять із цієї точки. Промені називаються сторонами кута, які загальне початок – його вершиною.
Кут називається розгорнутим, якщо його сторони лежать на одній прямій.
Кут, що становить половину розгорнутого кута, називається прямим. Кут, менший за прямий, називається гострим. Кут, більший за прямий, але менший за розгорнутий, називається тупим.
Крім поняття кута, даного вище, геометрії розглядають поняття плоского кута.
Плоский кут – це частина площини, обмеження двома різними променями, що виходять із однієї точки.
Існує два плоскі кути, утворені двома променями із загальним початком. Вони називаються додатковими. На малюнку зображено два плоскі кути зі сторонами ОА і ОВ, один із них заштрихований.
Кути бувають суміжні та вертикальні.
Два кути називаються суміжними, якщо в них одна сторона загальна, інші сторони цих кутів є додатковими напівпрямими.
Сума суміжних кутів дорівнює 180 градусів.
Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є додатковими напівпрямими сторонами іншого.
Кути АОД та СОВ, а також кути АОС та ДОВ – вертикальні.
Вертикальні кути рівні.
Паралельні та перпендикулярні прямі.
Дві прямі на площині називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.
Якщо пряма паралельна прямий в, то пишуть а II в.
Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.
Якщо пряма а перпендикулярна до прямої, то пишуть в.
Трикутники.
Трикутників називається геометрична фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох попарно з'єднують їх відрізків.
Будь-який трикутник поділяє площину на дві частини: внутрішню та зовнішню.
У будь-якому трикутнику виділяють такі елементи: сторони, кути, висоти, бісектриси, медіани, середні лінії.
Висотою трикутника, опущеної з цієї вершини, називаються перпендикуляр, проведений з цієї вершини до прямої, що містить протилежну сторону.
Бісектриса трикутника називається відрізок бісектриси кута трикутника, що з'єднує вершину з точкою на протилежній стороні.
Медіаною трикутника, проведеної з даної вершини, називається відрізок, що з'єднує цю вершину із серединою протилежної сторони.
Середньою лінією трикутника називається відрізок, що з'єднує середини двох сторін.
Чотирикутники.
Чотирьохкутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох послідовно з'єднують їх відрізків, причому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій, а відрізки, що їх з'єднують, не повинні перетинатися. Дані точки називаються вершинами трикутника, а що з'єднують з відрізки – його сторонами.
Сторони чотирикутника, що виходять із однієї вершини, називаються протилежними.
У чотирикутника АВСД вершини А та В – сусідні, а вершини А та С – протилежні; сторони АВ та ВС – сусідні, ВС та АТ – протилежні; відрізки АС та ВД – діагоналі даного чотирикутника.
Чотирьохкутники бувають опуклі та невипуклі. Так, чотирикутник АВСД – опуклий, а чотирикутник КРМТ – непуклий.
Серед опуклих чотирикутників виділяють паралелограми та трапеції.
Паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні.
Трапецією називається чотирикутник, у якого лише дві протилежні сторони паралельні. Ці паралельні сторони називаються основами трапеції. Дві інші сторони називаються бічними. Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін, називається середньою лінією трапеції.
ВС та АТ – основи трапеції; АВ та СД – бічні сторони; КМ – середня лінія трапеції.
З множини паралелограмів виділяють прямокутники і ромби.
Прямокутником називається паралелограм, у якого всі кути прямі.
Ромб називається паралелограм, у якого всі сторони рівні.
З множини прямокутників виділяють квадрати.
Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні.
Окружність.
Колом називається фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від цієї точки, яка називається центром.
Відстань від точок до її центру називається радіусом. Відрізок, що з'єднує дві точки кола, називається хордою. Хорда, що проходить через центр, називається діаметром. ОА – радіус, ЦД – хорда, АВ – діаметр.
Центральним кутом у колі називається плоский кут з вершиною у її центрі. Частина кола, розташована всередині плоского кута, називається дугою кола, що відповідає цьому центральному куту.
За новими підручниками у нових програмах М.І. Моро, М.А. Бантової, Г.В. Бельтюкова, С.І. Волковий, С.В. Степанової у 4 класі даються завдання на побудову, такі, яких раніше у програмі з математики у початковій школі не було. Це такі завдання, як:
Побудувати перпендикуляр до прямої;
Розділити відрізок навпіл;
Побудувати трикутник з трьох сторін;
Побудувати правильний трикутник, рівнобедрений трикутник;
Побудувати шестикутник;
Побудувати квадрат, використовуючи властивості діагоналей квадрата;
Побудувати прямокутник, користуючись властивістю діагоналей прямокутника.
Розглянемо побудову геометричних постатей на площині.
Розділ геометрії, що вивчає геометричні побудови, називається конструктивною геометрією. Основним поняттям конструктивної геометрії є поняття "побудувати фігуру". Основні пропозиції формуються як аксіом і зводяться до наступним.
1. Кожна ця фігура побудована.
2. Якщо побудовано дві (або більше) фігури, то побудовано об'єднання цих фігур.
3. Якщо побудовано дві фігури, можна встановити, чи буде їх перетин пустим безліччю чи ні.
4. Якщо перетин двох побудованих фігур не порожній, то він побудований.
5. Якщо побудовано дві фігури, можна встановити, чи буде їх різниця порожнім безліччю чи ні.
6. Якщо різниця двох побудованих фігур не є порожньою множиною, вона побудована.
7. Можна побудувати точку, що належить пробудованій фігурі.
8. Можна побудувати точку, що не належить побудованій фігурі.
Для побудови геометричних фігур, які мають деякі зазначені властивості, користуються різними креслярськими інструментами. Найпростішими є: одностороння лінійка (надалі просто лінійка), двостороння лінійка, косинець, циркуль та інших.
Різні креслярські інструменти дозволяють виконувати різні побудови. Властивості креслярських інструментів, які використовуються для геометричних побудов, також виражаються у формі аксіом.
Оскільки в шкільному курсі геометрії розглядаються побудови геометричних фігур за допомогою циркуля та лінійки, ми також зупинимося на розгляді основних побудов, які виконують саме ці креслення інструментами.
Отже, за допомогою лінійки можна виконати такі геометричні побудови.
1. побудувати відрізок, що з'єднує дві побудовані точки;
2. побудувати пряму, яка проходить через дві побудовані точки;
3. побудувати промінь, що виходить із побудованої точки і проходить через побудовану точку.
Циркуль дозволяє виконати такі геометричні побудови:
1. побудувати коло, якщо побудовано її центр і відрізок, рівний радіусу кола;
2. побудувати будь-яку з двох додаткових дуг коло, якщо побудовано центр кола та кінці цих дуг.
Елементарні завдання на побудову.
Завдання на побудову – це, мабуть, найдавніші математичні завдання, допомагають краще зрозуміти властивості геометричних фігур, сприяють розвитку графічних умінь.
Завдання на побудову вважається вирішеною, якщо вказано спосіб побудови фігури та доведено, що в результаті виконання зазначених побудов дійсно виходить фігура з необхідними властивостями.
Розглянемо деякі елементарні завдання на побудову.
1. Побудувати на даній прямий відрізок ЦД, що дорівнює даному відрізку АВ.
Можливість лише побудови випливає з аксіоми відкладання відрізка. За допомогою циркуля та лінійки воно здійснюється наступним чином. Нехай дані пряма а і відрізок АВ. Зазначаємо на прямій точку С і будуємо з центром у точці С коло з прямою а позначаємо Д. Отримуємо відрізок ЦД, що дорівнює АВ.
2. Через дану точку провести пряму, перпендикулярну до цієї прямої.
Нехай дані точки О і пряма а. Можливі два випадки:
1. Точка Про лежить на прямій а;
2. Точка Про лежить на прямий а.
У першому випадку з позначимо точку С, що не лежить на прямій а. З точки С як із центру списуємо коло довільного радіусу. Нехай А та В – точки її перетину. З точок А та В описуємо коло одного радіусу. Нехай точка О - точка їх перетину, відмінна від С. Тоді напівпряма СО - це бісектриса розгорнутого кута, а також перпендикуляр до прямої а.
У другому випадку з точки Про як з центру проводимо коло, що перетинає пряму а, а потім з точок А і тим самим, радіусом проводимо ще два кола. Нехай О – точка їх перетину, що у полуплоскости, відмінну від тієї, у якій лежить точка О. Пряма ОО/ і є перпендикуляр до цієї прямої а. Доведемо це.
Позначимо через точку перетину прямих АВ і ГО/. Трикутники АОВ та АО/В дорівнюють по трьох сторонах. Тому кут ОАС дорівнює куту О/АС рівні по обидва боки і кут між ними. Звідси з кути АСО та АСО/ рівні. Оскільки кути суміжні, всі вони прямі. Таким чином, ОС є перпендикуляром до прямої а.
3. Через цю точку провести пряму, паралельну даній.
Нехай дані пряма а і точка А поза цією прямою. Візьмемо на прямий а якусь точку В і з'єднаємо її з точкою А. Через точку А проведемо пряму С, що утворює з АВ такий самий кут, який АВ утворює з даної прямої а, але на протилежному боці від АВ. Побудована пряма буде паралельна прямій а., що випливає з рівності навхрест кутів, що лежать, утворених при перетині прямих а і з січною АВ.
4. Побудувати дотичну до кола, що проходить через дану на ній точку.
Дано: 1) коло Х (О, год)
2) точка А х
Побудувати: дотичну АВ.
Побудова.
2. коло Х (А, год), де год – довільний радіус (аксіома 1 циркуля)
3. точки М і N перетину кола х 1 і прямої АТ, тобто (М, N) = х 1 АТ (аксіома 4 загальна)
4. коло х (М, r 2), де r 2 – довільний радіус, такий що r 2 r 1 (аксіома 1 циркуля)
І зовні – своєю відкритою поведінкою, а внутрішньо – своїми психічними процесами та почуттями. Висновки по першому розділу Для розвитку всіх пізнавальних процесів молодшого школяра необхідно дотримуватись таких умов: 1. Навчальна діяльність має бути цілеспрямованою, викликати та підтримувати постійний інтерес у учнів; 2. Розширювати та розвивати пізнавальні інтереси у...
Усьому тесту загалом, що свідчить, що вони рівні розвитку розумових операцій порівняння і узагальнення вище, ніж в слабоуспевающих школярів. Якщо аналізувати індивідуальні дані щодо субтестів, то труднощі при відповідях на окремі питання говорять про слабке володіння даними логічними операціями. Дані труднощі найчастіше зустрічаються саме у школярів, які слабо встигають. Це...
Молодший школяр. Об'єкт дослідження: розвиток образного мислення учнів 2 класу середньої школи №1025. Метод: Тестування. Глава 1. Теоретичні засади дослідження образного мислення 1.1. Поняття про мислення Наше пізнання навколишньої дійсності починається з відчуттів та сприйняття та переходить до мислення. Функція мислення – розширення меж пізнання шляхом виходу за...