2x küpün türevi. Türevi bulun: algoritma ve çözüm örnekleri

Oran olarak

Verilen diğer iki sayıdan üç sayıdan herhangi birini bulma görevi ayarlanabilir. Eğer a ve ardından N verilirse, üstel alma yoluyla bulunurlar. Eğer N ve sonra a, x derecesinin kökü alınarak (veya üssüne yükseltilerek) verilir. Şimdi a ve N verildiğinde x'i bulmamız gereken durumu düşünün.

N sayısı pozitif olsun: a sayısı pozitif olsun ve bire eşit olmasın: .

Tanım. N sayısının a tabanına göre logaritması, N sayısını elde etmek için a'nın yükseltilmesi gereken üssüdür; logaritma şu şekilde gösterilir:

Böylece, (26.1) eşitliğinde üs, N'nin a tabanına göre logaritması olarak bulunur. Gönderiler

sahip olmak aynı anlam. Eşitlik (26.1) bazen logaritma teorisinin ana özdeşliği olarak adlandırılır; gerçekte logaritma kavramının tanımını ifade eder. İle bu tanım Logaritmanın tabanı a her zaman pozitiftir ve birlikten farklıdır; logaritmik sayı N pozitiftir. Negatif sayıların ve sıfırın logaritması yoktur. Belirli bir tabana sahip herhangi bir sayının iyi tanımlanmış bir logaritmaya sahip olduğu kanıtlanabilir. Bu nedenle eşitlik gerektirir. Buradaki temel koşulun şu olduğuna dikkat edin: aksi takdirde Eşitlik x ve y'nin herhangi bir değeri için geçerli olduğundan sonuç doğrulanmayacaktır.

Örnek 1. Bul

Çözüm. Bir sayı elde etmek için 2 tabanının üssünü yükseltmeniz gerekir.

Aşağıdaki formda bu tür örnekleri çözerken notlar alabilirsiniz:

Örnek 2. Bulun.

Çözüm. Sahibiz

Örnek 1 ve 2'de logaritma sayısını tabanın kuvveti olarak temsil ederek istenilen logaritmayı kolayca bulduk. rasyonel gösterge. İÇİNDE genel durumörneğin, vb. için logaritma olduğundan bu yapılamaz. mantıksız anlam. Bu açıklamayla ilgili bir konuya dikkat çekelim. Paragraf 12'de herhangi bir belirleme olasılığı kavramını verdik. gerçek derece verildi pozitif sayı. Bu, genel anlamda irrasyonel sayılar olabilen logaritmanın tanıtılması için gerekliydi.

Logaritmanın bazı özelliklerine bakalım.

Özellik 1. Sayı ve taban eşitse logaritma bire eşit ve tersine, logaritma bire eşitse sayı ve taban eşittir.

Kanıt. Logaritmanın tanımına göre elimizde ve nereden

Tersine, tanım gereği Then'e izin verin

Özellik 2. Birin herhangi bir tabana göre logaritması sıfıra eşittir.

Kanıt. Logaritmanın tanımı gereği ( sıfır derece herhangi bir pozitif taban bire eşittir, bkz. (10.1)). Buradan

Q.E.D.

Tersi ifade de doğrudur: eğer ise N = 1'dir. Aslında elimizde .

Logaritmanın bir sonraki özelliğini formüle etmeden önce, a ve b sayılarının her ikisi de c'den büyük veya c'den küçükse, üçüncü c sayısının aynı tarafında yer aldığını kabul edelim. Bu sayılardan biri c'den büyük, diğeri c'den küçükse bu sayıların birlikte uzandığını söyleyeceğiz. farklı taraflar köyden

Özellik 3. Eğer sayı ve taban birin aynı tarafında yer alıyorsa logaritma pozitiftir; Sayı ve taban birin zıt taraflarında yer alıyorsa logaritma negatiftir.

Özellik 3'ün kanıtı, taban birden büyükse ve üs pozitifse veya taban birden küçükse ve üssün negatif olması durumunda a'nın kuvvetinin birden büyük olması gerçeğine dayanmaktadır. Taban birden büyükse ve üs negatifse veya taban birden küçükse ve üs pozitifse kuvvet birden küçüktür.

Göz önünde bulundurulması gereken dört durum vardır:

Biz kendimizi bunlardan ilkini analiz etmekle sınırlayacağız; gerisini okuyucu kendisi değerlendirecektir.

O halde eşitlikte üs ne negatif ne de olabilir sıfıra eşit dolayısıyla pozitiftir, yani kanıtlanması gerektiği gibidir.

Örnek 3. Aşağıdaki logaritmalardan hangilerinin pozitif, hangilerinin negatif olduğunu bulun:

Çözüm: a) 15 sayısı ve 12 tabanı birin aynı tarafında bulunduğuna göre;

b) 1000 ve 2 ünitenin bir tarafında bulunduğundan; bu durumda tabanın logaritmik sayıdan büyük olması önemli değildir;

c) 3.1 ve 0.8 birliğin zıt taraflarında yer aldığından;

G) ; Neden?

D) ; Neden?

Aşağıdaki 4-6 özelliklerine genellikle logaritma kuralları denir: bazı sayıların logaritmasını bilerek, çarpımlarının logaritmasını, bölümünü ve her birinin derecesini bulmayı sağlarlar.

Özellik 4 (çarpım logaritması kuralı). Birkaç pozitif sayının çarpımının logaritması bu temel toplamına eşit bu sayıların aynı tabana göre logaritmaları.

Kanıt. Verilen sayılar pozitif olsun.

Çarpımlarının logaritması için logaritmayı tanımlayan eşitliği (26.1) yazıyoruz:

Buradan bulacağız

Birinci ve üslü sayıların karşılaştırılması son ifadeler gerekli eşitliği elde ederiz:

Durumun gerekli olduğunu unutmayın; iki çarpımının logaritması negatif sayılar mantıklı ama bu durumda

Genel olarak, birkaç faktörün çarpımı pozitifse, logaritması bu faktörlerin mutlak değerlerinin logaritmasının toplamına eşittir.

Özellik 5 (bölümlerin logaritmasını alma kuralı). Pozitif sayıların bir bölümünün logaritması, aynı tabana göre bölünen ile bölenin logaritmaları arasındaki farka eşittir. Kanıt. Sürekli olarak buluyoruz

Q.E.D.

Özellik 6 (kuvvet logaritması kuralı). Bazı pozitif sayıların kuvvetinin logaritması logaritmaya eşit bu sayı üsle çarpılır.

Kanıt. Sayının asıl kimliğini (26.1) tekrar yazalım:

Q.E.D.

Sonuçlar. Pozitif bir sayının kökünün logaritması, radikalin logaritmasının kökün üssüne bölünmesine eşittir:

Bu sonucun geçerliliği, özellik 6'nın nasıl ve kullanıldığı hayal edilerek kanıtlanabilir.

Örnek 4. a tabanına göre logaritmayı alın:

a) (tüm b, c, d, e değerlerinin pozitif olduğu varsayılır);

b) (öyle olduğu varsayılır).

Çözüm, a) Bu ifadede kesirli kuvvetlere gitmek uygundur:

(26.5)-(26.7) eşitliklerine dayanarak artık şunu yazabiliriz:

Sayıların logaritmaları üzerinde sayıların kendilerinden daha basit işlemlerin gerçekleştirildiğini fark ettik: sayıları çarparken logaritmalar toplanır, bölünürken çıkarılır vb.

Logaritmaların hesaplama uygulamalarında kullanılmasının nedeni budur (bkz. paragraf 29).

Logaritmanın ters işlemine potansiyelleştirme denir, yani: potansiyelleştirme, bir sayının belirli bir logaritmasından sayının kendisinin bulunması işlemidir. Temel olarak, potansiyelleştirme herhangi bir özel eylem değildir: bir tabanın güce yükseltilmesiyle ilgilidir ( logaritmaya eşit sayılar). "Güçlendirme" terimi, "üstelleştirme" terimiyle eşanlamlı olarak kabul edilebilir.

Potansiyelleştirme sırasında, logaritma kurallarının tersi olan kurallar kullanılmalıdır: logaritmaların toplamını çarpımın logaritmasıyla değiştirin, logaritma farkını bölümün logaritmasıyla değiştirin, vb. Özellikle, önde bir faktör varsa Logaritmanın işareti, daha sonra kuvvetlendirme sırasında logaritmanın işareti altındaki üs derecelerine aktarılmalıdır.

Örnek 5. Eğer biliniyorsa N'yi bulun

Çözüm. Az önce belirttiğimiz potansiyel alma kuralına bağlı olarak, bu eşitliğin sağ tarafında logaritma işaretlerinin önünde duran 2/3 ve 1/3 çarpanlarını bu logaritmaların işaretleri altındaki üslere aktaracağız; alıyoruz

Şimdi logaritma farkını bölümün logaritmasıyla değiştiriyoruz:

Bu eşitlik zincirindeki son kesri elde etmek için bir önceki kesri paydadaki irrasyonellikten kurtardık (bölüm 25).

Özellik 7. Taban birden büyükse, o zaman daha büyük sayı daha büyük bir logaritmaya sahiptir (ve daha küçük bir sayı daha küçüktür), eğer taban birden küçükse, daha büyük olanın logaritması daha küçüktür (ve daha küçük olanın daha büyük bir logaritması vardır).

Bu özellik aynı zamanda her iki tarafı da pozitif olan eşitsizliklerin logaritmasını almak için bir kural olarak formüle edilmiştir:

Eşitsizliklerin logaritmaları tabana alınırken, birden büyük eşitsizliğin işareti korunur ve logaritma birden küçük bir tabana alındığında eşitsizliğin işareti ters yönde değişir (ayrıca bkz. paragraf 80).

İspat, 5 ve 3 numaralı özelliklere dayanmaktadır. If'in logaritmasını alarak elde ettiğimiz durumu düşünün.

(a ve N/M birliğin aynı tarafındadır). Buradan

Aşağıdaki durumda okuyucu bunu kendi başına çözecektir.

Tanımından yola çıkılır. Ve böylece sayının logaritması B dayalı A bir sayının yükseltilmesi gereken üs olarak tanımlanır A numarayı almak için B(logaritma yalnızca pozitif sayılar için mevcuttur).

Bu formülasyondan, hesaplama şu şekildedir: x=log a b, denklemi çözmeye eşdeğerdir a x =b.Örneğin, günlük 2 8 = 3Çünkü 8 = 2 3 . Logaritmanın formülasyonu şunu doğrulamayı mümkün kılar: b=a c, sonra sayının logaritması B dayalı A eşittir İle. Logaritma konusunun konuyla yakından ilgili olduğu da açıktır. bir sayının kuvvetleri.

Herhangi bir sayıda olduğu gibi logaritmalarla da şunları yapabilirsiniz: ekleme işlemleri, çıkarma ve mümkün olan her şekilde dönüştürün. Ancak logaritmalar tamamen sıradan sayılar olmadığı için burada kendi özel kuralları geçerlidir. ana özellikler.

Logaritmaların toplanması ve çıkarılması.

İki logaritmayı alalım aynı gerekçelerle: x'i günlüğe kaydet Ve bir y günlüğü. Daha sonra toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirmek mümkündür:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

bir günlüğe kaydet(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = x'i günlüğe kaydet 1 + x'i günlüğe kaydet 2 + x'i günlüğe kaydet 3 + ... + a x k'yi günlüğe kaydet.

İtibaren logaritma bölüm teoremi Logaritmanın bir özelliği daha elde edilebilir. Günlüğe kaydetmenin yaygın bir bilgi olduğu A 1= 0, dolayısıyla

kayıt A 1 /B= günlük A 1 - günlük bir b= - günlük bir b.

Bu, bir eşitliğin olduğu anlamına gelir:

log a 1 / b = - log a b.

Karşılıklı iki sayının logaritması aynı nedenden ötürü birbirinden yalnızca işaret açısından farklılık gösterecektir. Bu yüzden:

Günlük 3 9= - günlük 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Logaritma nedir?

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Logaritma nedir? Logaritma nasıl çözülür? Bu sorular birçok mezunun kafasını karıştırıyor. Geleneksel olarak logaritma konusunun karmaşık, anlaşılmaz ve korkutucu olduğu düşünülür. Özellikle logaritmalı denklemler.

Bu kesinlikle doğru değil. Kesinlikle! Bana inanmıyor musun? İyi. Şimdi sadece 10 - 20 dakika içinde:

1. Anlayacaksınız logaritma nedir.

2. Bütün bir sınıfı çözmeyi öğrenin üstel denklemler. Onlar hakkında hiçbir şey duymamış olsanız bile.

3. Basit logaritmaları hesaplamayı öğrenin.

Üstelik bunun için çarpım tablosunu ve bir sayının üssünü nasıl yükselteceğinizi bilmeniz yeterli...

Şüphelerin varmış gibi hissediyorum... Peki, tamam, zamanı işaretle! Hadi gidelim!

Öncelikle şu denklemi kafanızda çözün:

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Talimatlar

Verilenleri yazın logaritmik ifade. İfade 10'un logaritmasını kullanıyorsa gösterimi kısaltılır ve şu şekilde görünür: lg b ondalık logaritma. Logaritmanın tabanında e sayısı varsa, şu ifadeyi yazın: ln b – doğal logaritma. Herhangi birinin sonucunun, b sayısını elde etmek için temel sayının yükseltilmesi gereken kuvvet olduğu anlaşılmaktadır.

İki fonksiyonun toplamını bulurken, tek tek türevlerini alıp sonuçları eklemeniz yeterlidir: (u+v)" = u"+v";

İki fonksiyonun çarpımının türevini bulurken, birinci fonksiyonun türevini ikinciyle çarpmak ve ikinci fonksiyonun türevinin birinci fonksiyonla çarpımını eklemek gerekir: (u*v)" = u"*v +v"*u;

İki fonksiyonun bölümünün türevini bulmak için, bölen fonksiyonu ile bölünen türevinin çarpımından bölen türevinin çarpımı ile bölünen fonksiyonun çarpımını çıkarmak ve bölmek gerekir. tüm bunlar bölen fonksiyonunun karesine göre. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Eğer verilirse karmaşık fonksiyon o zaman türevini çarpmak gerekir dahili fonksiyon ve dıştakinin türevi. y=u(v(x)) olsun, sonra y"(x)=y"(u)*v"(x) olsun.

Yukarıda elde edilen sonuçları kullanarak hemen hemen her işlevi ayırt edebilirsiniz. O halde birkaç örneğe bakalım:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *X));
Bir noktadaki türevi hesaplamayla ilgili problemler de vardır. y=e^(x^2+6x+5) fonksiyonu verilsin, x=1 noktasında fonksiyonun değerini bulmanız gerekiyor.
1) Fonksiyonun türevini bulun: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Fonksiyonun değerini hesaplayın verilen nokta y"(1)=8*e^0=8

Konuyla ilgili video

Faydalı tavsiyeler

Temel türevler tablosunu öğrenin. Bu önemli ölçüde zaman tasarrufu sağlayacaktır.

Kaynaklar:

  • bir sabitin türevi

Peki fark nedir? IR rasyonel denklem rasyonelden mi? Bilinmeyen değişken işaretin altındaysa karekök ise denklemin irrasyonel olduğu kabul edilir.

Talimatlar

Bu tür denklemleri çözmenin ana yöntemi her iki tarafı da oluşturma yöntemidir. denklemler bir kareye. Fakat. bu doğaldır, yapmanız gereken ilk şey tabeladan kurtulmaktır. Bu yöntem teknik olarak zor değildir ancak bazen sıkıntılara yol açabilmektedir. Örneğin denklem v(2x-5)=v(4x-7) şeklindedir. Her iki tarafın karesini alırsak 2x-5=4x-7 elde ederiz. Böyle bir denklemi çözmek zor değil; x=1. Ama 1 rakamı verilmeyecek denklemler. Neden? Denklemde x'in değeri yerine bir koyarsak sağ ve sol taraflarda anlamsız ifadeler yer alır. Bu değer karekök için geçerli değildir. Bu nedenle 1 yabancı bir köktür ve bu nedenle verilen denklem kökleri yoktur.

Yani irrasyonel bir denklem her iki tarafının karesi alma yöntemi kullanılarak çözülür. Denklemi çözdükten sonra yabancı kökleri kesmek gerekir. Bunu yapmak için bulunan kökleri orijinal denklemde değiştirin.

Başka bir tane düşünün.
2х+vх-3=0
Elbette bu denklem bir önceki denklemin aynısı kullanılarak çözülebilir. Bileşikleri Taşı denklemler Karekökü olmayan , sağ tarafa ve ardından kare alma yöntemini kullanın. Ortaya çıkan rasyonel denklemi ve köklerini çözer. Ama aynı zamanda daha zarif bir tane daha. Yeni bir değişken girin; vх=y. Buna göre 2y2+y-3=0 formunda bir denklem elde edeceksiniz. Yani olağan ikinci dereceden denklem. Köklerini bulun; y1=1 ve y2=-3/2. Sonra iki tanesini çöz denklemler vх=1; vх=-3/2. İkinci denklemin kökleri yoktur; birinciden x=1 olduğunu buluruz. Kökleri kontrol etmeyi unutmayın.

Kimlikleri çözmek oldukça basittir. Bunu yapmak için yapmanız gerekenler kimlik dönüşümleri hedefe ulaşılana kadar. Böylece, en basitinin yardımıyla aritmetik işlemler eldeki görev çözülecektir.

İhtiyacın olacak

  • - kağıt;
  • - dolma kalem.

Talimatlar

Bu tür dönüşümlerin en basiti cebirsel kısaltılmış çarpmalardır (toplamın karesi (fark), kareler farkı, toplam (fark), toplamın küpü (fark) gibi). Ayrıca çok sayıda var ve trigonometrik formüller Bunlar aslında aynı kimliklerdir.

Aslında iki terimin toplamının karesi kareye eşit birinci artı birincinin ikinciyle çarpımının iki katı ve artı ikincinin karesi, yani (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.

Her ikisini de basitleştirin

Çözümün genel ilkeleri

Ders kitabına göre tekrarlayın matematiksel analiz veya yüksek matematik belirli bir integraldir. Bilindiği üzere çözüm belirli integral türevi bir integral veren bir fonksiyon var. Bu işlev antiderivatif denir. İle bu prensip ve ana integralleri oluşturur.
İntegral formuna göre tablo integrallerinden hangisinin uyduğunu belirleyin bu durumda. Bunu hemen belirlemek her zaman mümkün olmuyor. Çoğu zaman tablo biçimi ancak integrandın basitleştirilmesi için yapılan birkaç dönüşümden sonra fark edilebilir hale gelir.

Değişken Değiştirme Yöntemi

İntegral fonksiyonu ise trigonometrik fonksiyon Argümanı bazı polinomlar içeren değişkeni değiştirme yöntemini kullanmayı deneyin. Bunu yapmak için integralin argümanındaki polinomu yeni bir değişkenle değiştirin. Yeni ve eski değişkenler arasındaki ilişkiye dayanarak entegrasyonun yeni sınırlarını belirleyin. Farklılaşma verilen ifade içinde yeni bir fark bulun. Yani alacaksın yeni görünümönceki integralin herhangi bir tablodaki integrale yakın veya hatta karşılık gelen.

İkinci Tür İntegrallerin Çözülmesi

İntegral ikinci türden bir integral ise, integralin vektör biçimi ise, o zaman bu integrallerden skaler olanlara geçiş için kuralları kullanmanız gerekecektir. Böyle bir kural Ostrogradsky-Gauss ilişkisidir. Bu yasa bir vektör fonksiyonunun rotor akısından, belirli bir vektör alanının diverjansı üzerinden üçlü integrale gitmenizi sağlar.

Entegrasyon limitlerinin değiştirilmesi

Antiderivatifi bulduktan sonra integralin limitlerini yerine koymak gerekir. İlk olarak, üst limitin değerini ters türev ifadesinde değiştirin. Bir numara alacaksınız. Daha sonra, elde edilen sayıdan alt limitten elde edilen başka bir sayıyı antiderivatife çıkarın. İntegral limitlerinden biri sonsuzluk ise, bunu yerine koyarken antiderivatif fonksiyon sınıra gitmek ve ifadenin neyi hedeflediğini bulmak gerekiyor.
İntegral iki boyutlu veya üç boyutlu ise, integralin nasıl değerlendirileceğini anlamak için integralin sınırlarını geometrik olarak temsil etmeniz gerekecektir. Aslında, örneğin üç boyutlu bir integral durumunda, integralin sınırları, entegre edilen hacmi sınırlayan tüm düzlemler olabilir.