Belediye eğitim kurumu "Parkanskaya 2 Nolu Ortaokulu" adını almıştır. DI. Mişçenko
Konuyla ilgili 6. sınıfta matematik dersi
"Karşılıklı olarak karşılıklı sayılar"
Öğretmenin yürüttüğü
matematik ve bilgisayar bilimi
yeterlilik kategorisi
Balan V.M.
Parkanlar 2011
Not: Maksimum dosya boyutu kısıtlamaları nedeniyle (en fazla 3MB) sunum 2 bölüme ayrılmıştır. Slaytları sırayla tek bir sunuya kopyalamanız gerekir.
6. sınıfta "Karşılıklı sayılar" konulu matematik dersi
Hedef:
- Karşılıklı sayılar kavramını tanıtın.
- Karşılıklı sayı çiftlerini tanımlamayı öğrenin.
- Kesirlerde çarpma ve azaltma işlemlerini tekrar gözden geçirin.
Ders türü : Yeni bilgilerin incelenmesi ve birincil olarak pekiştirilmesi.
Teçhizat:
- bilgisayarlar;
- sinyal kartları;
- çalışma kitapları, alıştırma kitapları, ders kitabı;
- çizim malzemeleri;
- ders sunumu (bkz.Başvuru ).
Bireysel görev:birim mesajı.
Ders ilerlemesi
1. Organizasyon anı.(3 dakika)
Merhaba arkadaşlar, oturun! Hadi dersimize başlayalım! Bugün dikkat, konsantrasyon ve tabii ki disipline ihtiyacınız olacak.(Slayt 1 )
Bu sözleri bugünkü dersin epigrafı olarak aldım:
Sayıların dünyaya hükmettiği sıklıkla söylenir;
en azından şüphe yok
rakamlar onun nasıl idare edildiğini gösteriyor.
Ve neşeli küçük adamlar yardımıma koşuyor: Karandash ve Samodelkin. Bu dersi öğretmeme yardım edecekler.(Slayt 2 )
Kalemin ilk görevi anagramları çözmektir. (Slayt 3 )
Anagramın ne olduğunu birlikte hatırlayalım mı? (Anagram, bir kelimedeki harflerin başka bir kelime oluşturacak şekilde yeniden düzenlenmesidir. Örneğin, "üfürüm" - "balta").
(Çocuklar anagramın ne olduğunu cevaplar ve kelimeleri çözerler.)
Tebrikler! Bugünkü dersin konusu: “Karşılıklı sayılar.”
Defterleri açıyoruz, numarayı yazıyoruz, harika iş ve dersin konusu. (Slayt 4 )
Çocuklar, lütfen bana bugün sınıfta ne öğrenmeniz gerektiğini söyler misiniz?
(Çocuklar dersin amacını söylerler.)
Dersimizin amacı:
- Hangi sayılara karşılıklı denildiğini öğrenin.
- Karşılıklı ters sayı çiftlerini bulmayı öğrenin.
- Kesirlerde çarpma ve azaltma kurallarını gözden geçirin.
- Geliştirmek mantıksal düşünmeöğrenciler.
2. Sözlü çalışıyoruz.(3 dakika)
Kesirlerde çarpma kuralını tekrarlayalım. (Slayt 5 )
Samodelkin'den ödev (çocuklar örnekleri okur ve çarpma işlemini gerçekleştirir):
Hangi kuralı kullandık?
Kalem daha zor bir görev hazırladı (Slayt 6 ):
Böyle bir ürünün değeri nedir?
Arkadaşlar, yeni bir konu çalışırken çok önemli olan kesirlerde çarpma ve azaltma işlemlerini tekrarladık.
3. Yeni materyalin açıklanması.(15 dakika) ( Slayt 7 )
1. 8/17 kesirini alın, pay yerine paydayı koyun veya tersini yapın. Ortaya çıkan kesir 17/8'dir.
Yazıyoruz: 17/8 kesrine 8/17 kesirinin tersi denir.
Dikkat! m/n fraksiyonunun tersi n/m fraksiyonudur. (Slayt 8 )
Arkadaşlar, verilen bir kesrin tersini nasıl elde edebiliriz?(Çocuklar cevap verir.)
2. Samodelkin'den Görev:
Verilen kesrin tersi olan kesri adlandırın.(Çocuklar arar.)
Bu tür kesirlerin birbirinin tersi olduğu söylenir! (Slayt 9 )
O halde 8/17 ve 17/8 kesirleri hakkında ne söylenebilir?
Cevap: Birbirinin tersi (bunu yazıyoruz).
3. Karşıtları olan iki kesri çarparsanız ne olur?
(Slaytlarla çalışma. (Slayt 10 ))
Çocuklar! Bakın ve söyleyin bana m ve n neye eşit olamaz?
Birbiriyle karşılıklı olan tüm kesirlerin çarpımının 1'e eşit olduğunu bir kez daha tekrar ediyorum. (Slayt 11 )
4. Birin sihirli bir sayı olduğu ortaya çıktı!
Birim hakkında ne biliyoruz?
Boyanji Nadia'nın bize anlatacağı (kısa mesaj) Pisagor okulundan yüzyıllar boyunca sayıların dünyası hakkında ilginç yargılar bize ulaştı.
5. Birbirine ters olan sayıların çarpımının 1'e eşit olduğu gerçeğine karar verdik.
Bu tür sayılara ne denir?(Tanım.)
Kesirlerin karşılıklı sayılar olup olmadığını kontrol edelim: 1,25 ve 0,8. (Slayt 12 )
Sayıların karşılıklı olup olmadığını başka bir şekilde kontrol edebilirsiniz (yöntem 2).
Sonuca varalım arkadaşlar:
Sayıların karşılıklı olup olmadığı nasıl kontrol edilir?(Çocuklar cevap verir.)
6. Şimdi karşılıklı sayıları bulmayla ilgili birkaç örneğe bakalım (iki örneği ele alacağız). (Slayt 13)
4. Konsolidasyon.
(10 dakika)
1. Sinyal kartlarıyla çalışmak. Masanızda sinyal kartlarınız var. (Slayt 14)
Kırmızı - hayır. Yeşil - evet.
(Son örnek 0,2 ve 5.)
Tebrikler! Karşılıklı sayı çiftlerini nasıl tanımlayacağınızı öğrenin.
2. Ekrana dikkat! – sözlü olarak çalışıyoruz. (Slayt 15)
Bilinmeyen sayıyı bulun (denklemleri çözüyoruz, son 1/3 x = 1).(Çocuklar cevap verir.)
Dikkat soru: Bir üründeki iki sayı ne zaman 1 verir? 5. Beden eğitimi anı.
(2 dakika)
- Şimdi ekrana biraz ara verin; biraz rahatlayalım!
- Gözlerinizi kapatın, gözlerinizi çok sıkı kapatın, gözlerinizi keskin bir şekilde açın. Bunu 4 kez yapın.
- Başımızı dik tutuyoruz, gözlerimizi yukarı aşağı kaldırıyoruz, sola, sağa bakıyoruz (4 kez).
Başınızı geriye doğru eğin, çeneniz göğsünüze dayanacak şekilde öne doğru indirin (2 kez). 6. Yeni materyalleri [3], [4] birleştirmeye devam ediyoruz.
Dinlendik ve şimdi yeni materyali pekiştireceğiz.
563 No'lu ders kitabında, 564 No'lu ders kitabında - tahtada. (Slayt 16)
7. Ders özeti, Ev ödevi. (3 dakika)
Dersimiz sona eriyor. Söyleyin bana çocuklar, bugün sınıfta ne gibi yeni şeyler öğrendik?
- Birbirinin tersi olan sayılar nasıl elde edilir?
- Hangi sayılara karşılıklı denir?
- Karışık bir sayının tersi nasıl bulunur? ondalık?
Dersin amacına ulaştık mı?
Günlüklerimizi açıp ödevimizi yazalım: Sayı 591(a), 592(a,c), 595(a), madde 16.
Ve şimdi sizden bu bulmacayı çözmenizi istiyorum (eğer zaman kaldıysa).
Ders için teşekkürler! (Slayt 17)
Edebiyat:
- Matematik 5-6: ders kitabı-muhatap. L.N. Şevrin, A.G. Gein, I.O. Koryakov, M.V. Volkov, - M .: Eğitim, 1989.
- Matematik 6. sınıf: ders planları N.Ya ders kitabına göre. Vilenkina, V.I. Zhokhov. L.A. Tapilina, T.L. Afanasyeva. – Volgograd: Öğretmen, 2006.
- Matematik: Ders kitabı 6. sınıf. N.Ya.Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd.- M .: Mnemosyne, 1997.
- Kalem ve Samodelkin'in yolculuğu. Yu. – M.: Dragonfly Press, 2003.
Önizleme:
Sunum önizlemelerini kullanmak için kendiniz için bir hesap oluşturun ( hesap) Google'a gidin ve giriş yapın: https://accounts.google.com
Slayt başlıkları:
1 “Dünyayı sayıların yönettiği sıklıkla söylenir; en azından rakamların bu işin nasıl yönetildiğini gösterdiğine şüphe yok." JOHANN WOLFGANG GOETHE
3 BUGÜN DERSİN KONUSUNU ÖĞRENMEK İÇİN ANAGRAMLARI ÇÖZMENİZ GEREKİR! 1) ICHLAS SAYILARI 2) BDORB FRAKSİYONU 3) YTEANBOR TERS ÇEVİRİLMESİ 4) INOMZAV KARŞILIKLI ÇÖZDÜNÜZ MÜ? ŞİMDİ FAZLA KELİMEYİ KALDIRIN VE GERİ kalanını DOĞRU SIRAYA YERLEŞTİRİN!
4 TERSİNEBİLİR NUMARA
5 ÇARPAN KESİRLERİ HESAPLAYIN SÖZLÜ: Aferin!
6 VE ARTIK GÖREV DAHA KARMAŞIK! HESAPLA: Aferin!
1 Karşıtları olan iki kesri çarparsanız ne olur? Gelin bir göz atalım (benimle yazın): DİKKAT! BİRBİRİNİN TERSİ OLAN KESİRLERİN ÇARPIMI BİRE EŞİTTİR! BİRİM HAKKINDA NE BİLİYORUZ? HATIRLAMAK!
2 ÇARPILARI BİRE EŞİT OLAN İKİ SAYILARA KARŞILIKLI TERSİNEBİLİR SAYILAR DİLİRİZ. Karşılıklı TERSİNEBİLİR SAYILAR OLARAK DENETLENMELİDİR. Karşılıklı olup olmadıklarını kontrol edelim. 1.25 VE 0.8 BUNLARI ADİ KESİRLER ŞEKLİNDE YAZACAĞIZ: KARŞILIKLI TERSİNİR SAYILAR , ile kontrol edilebilir. çarpma:
3 Sayının tersinin 0,75 olduğunu kanıtlayalım. Yazıyoruz: , ve bunun tersi Numarayı bulalım yazdığımız sayının tersi karışık sayı formda uygunsuz kesir: Bu sayının tersi
4 SİNYAL KARTLARIYLA ÇALIŞMA EVET HAYIR SAYILAR TERS Mİ?
5 ÇALIŞMA SÖZLÜ: BİLİNMEYEN BİR NUMARA BULUN:
6 DEFTERLERDE ÇALIŞIYORUZ. DERS KİTABI SAYFASI 8 9 Hayır. 5 63
7 DERS İÇİN TEŞEKKÜR EDER MİSİNİZ?
Önizleme:
Analiz
6. sınıfta matematik dersi
Belediye eğitim kurumu "Parkanskaya 2 Nolu Ortaokulu" adını almıştır. D.I.Mişçenko"
Öğretmen Balan V.M.
Ders konusu: “Karşılıklı sayılar.”
Ders önceki derslerin üzerine kurulmuştu, öğrencilerin önceki materyali nasıl öğrendiklerini ve bu dersin sonraki derslerde nasıl "işleyeceğini" öğrenmek için öğrencilerin bilgileri çeşitli yöntemler kullanılarak test edildi.
Dersin aşamaları mantıksal olarak izlenir ve birinden diğerine yumuşak bir geçiş sağlanır. Dersin bütünlüğünü ve eksiksizliğini takip edebilirsiniz. Yeni malzemenin özümsenmesi, yaratılış boyunca bağımsız olarak ilerledi. sorunlu durum ve onun kararı. Dersin seçilen yapısının rasyonel olduğuna inanıyorum çünkü dersin tüm amaç ve hedeflerini kapsamlı bir şekilde uygulamamıza olanak sağlıyor.
Şu anda derslerde BİT kullanımı çok aktif olarak kullanılıyor, bu nedenle Balan V.M. Daha fazla netlik için multimedya kullanıldı.
Ders 6.sınıfta yapıldı, performans düzeyi bilişsel ilgi ve hafızası çok yüksek değil, aynı zamanda gerçek bilgide boşlukları olan adamlar da var. Bu nedenle dersin her aşamasında kullandık çeşitli yöntemler Materyalin monotonluğundan yorulmalarına izin vermeyen öğrencileri harekete geçirmek.
Öğrencilerin bilgilerini test etmek ve değerlendirmek için, kendi kendine test ve karşılıklı test için hazır cevapların bulunduğu slaytlar kullanıldı.
Ders sırasında öğretmen konuyu yoğunlaştırmaya çalıştı. zihinsel aktiviteöğrenciler şu teknik ve yöntemleri kullanıyor: dersin başında anagram, konuşma, öğrencilerin hikayesi “Birim hakkında ne biliyoruz?”, görünürlük, sinyal kartlarıyla çalışma.
Bu nedenle dersin yaratıcı olduğuna ve temsil ettiğine inanıyorum. tüm sistem. Ders sırasında belirlenen hedeflere ulaşıldı.
Kategori 1 matematik öğretmeni /Kurteva F.I./
Neredeyse hepsinde olduğu için modern okullar Orada gerekli ekipman Dersler sırasında çocuklara videolar ve çeşitli elektronik öğrenme kaynakları göstermek için öğrencilerin belirli bir konuya veya konuya daha fazla ilgi duyması mümkün hale gelir. Sonuç olarak, öğrenci başarısı ve okulun genel notu artar.
Ders sırasındaki görsel gösterimin tanımları, görevleri ve teoriyi daha iyi hatırlamaya ve özümsemeye yardımcı olduğu bir sır değil. Eğer buna seslendirme de eşlik ediyorsa öğrenci hem görsel hem de işitsel hafıza. Bu nedenle, video eğitimleri en çok kullanılanlardan biri olarak kabul edilir. etkili malzemeler eğitim için.
Uygun yaştaki öğrenciler için mümkün olduğunca etkili ve faydalı olması amacıyla video derslerinin karşılaması gereken bir takım kural ve gereksinimler vardır. Metnin arka planı ve rengi buna göre seçilmeli, yazı boyutu, az gören öğrencilerin okuyabileceği kadar küçük olmamalı, gözleri rahatsız edecek ve rahatsızlık yaratacak kadar büyük olmamalıdır. Özel ilgi Resimlere de dikkat edilir - bunlar ölçülü tutulmalı ve ana konudan uzaklaştırılmamalıdır.
“Karşılıklı Sayılar” video dersi böyle bir öğretim kaynağının mükemmel bir örneğidir. Bu sayede 6. sınıf öğrencisi karşılıklı sayıların ne olduğunu, onları nasıl tanıyacağını ve onlarla nasıl çalışacağını tam olarak anlayabilir.
Ders şununla başlıyor: basit örnek 8/15 ve 15/8 iki sıradan kesirin birbiriyle çarpıldığı. Daha önce öğrenildiği gibi kesirlerin çarpılması gereken kuralı hatırlamak mümkün hale gelir. Yani payda payların çarpımını ve paydada paydaların çarpımını yazmalısınız. Hatırlamaya değer olan azalma sonucunda bir tane alıyoruz.
Sonrasında bu örnek spiker, ekranda paralel olarak görüntülenen genelleştirilmiş bir tanım verir. Birbirleriyle çarpıldığında bir veren sayılara karşılıklı denir. Tanımın hatırlanması çok basittir, ancak birkaç örnek verirseniz hafızaya daha sıkı yerleşecektir.
Karşılıklı sayılar kavramını tanımladıktan sonra ekranda sayıların çarpımlarından oluşan bir dizi görüntülenir ve sonuç olarak bir verir.
Belirli kalıplara bağlı kalmayacak genel bir örnek vermek gerekirse sayısal değerler 0'dan farklı olan a ve b değişkenleri kullanılıyor. Neden? Sonuçta, 6. sınıftaki okul çocukları, herhangi bir kesirin paydasının sıfıra eşit olamayacağının ve karşılıklı sayıları göstermek için bu değerleri paydaya yerleştirmeden yapamayacağınızın farkında olmalıdır.
Bu formülü çıkardıktan ve yorumladıktan sonra konuşmacı ilk görevi düşünmeye başlar. Önemli olan, verilen bir sayının tersini bulmanız gerektiğidir. karışık fraksiyon. Bunu çözmek için kesir yazılır yanlış biçimde ve pay ile payda yer değiştirir. Elde edilen sonuç cevaptır. Öğrenci karşılıklı sayıların tanımını kullanarak bunu bağımsız olarak kontrol edebilir.
Video eğitimi bu örnekle sınırlı değildir. Bir öncekinin ardından ekranda üç kesirin çarpımını bulmanız gereken başka bir görev görüntülenir. Öğrenci dikkat ederse bu kesirlerden ikisinin karşılıklı olduğunu, dolayısıyla çarpımlarının bire eşit olacağını görecektir. Çarpma özelliğine göre önce karşılıklı ters kesirleri çarpabilir, son olarak da sonucu yani 1'i ilk kesirle çarpabilirsiniz. Spiker, baştan sona tüm süreci adım adım ekranda göstererek detaylı bir şekilde açıklıyor. Son olarak örnek çözülürken esas alınan çarpma özelliğinin teorik olarak genelleştirilmiş bir açıklaması yapılmıştır.
Bilginizi kesinlikle pekiştirmek için ders sonunda sunulacak tüm soruları cevaplamaya çalışmalısınız.
Karşılıklı - veya karşılıklı olarak karşılıklı - sayılar, çarpıldığında 1 veren bir sayı çiftidir. Aslında, genel görünüm karşılıklılar sayılardır. karakteristik özel durum karşılıklı sayılar – bir çift. Tersler, örneğin sayılardır; .
Bir sayının tersi nasıl bulunur
Kural: 1'i (bir) belirli bir sayıya bölmeniz gerekir.
Örnek No.1.
8 sayısı verilmiştir. Tersi 1:8 veya (ikinci seçenek tercih edilir, çünkü bu gösterim matematiksel olarak daha doğrudur).
Ters sayıyı ararken ortak kesir, o zaman bunu 1'e bölmek pek uygun değil çünkü kayıt zahmetlidir. Bu durumda, işleri farklı şekilde yapmak çok daha kolaydır: kesir basitçe ters çevrilir, pay ve payda yer değiştirir. Eğer verilirse uygun kesir, daha sonra ters çevrildikten sonra ortaya çıkan kesir uygunsuzdur, yani. bütün bir parçanın izole edilebildiği bir parça. Bunu yapıp yapmayacağınıza, her birinde karar vermeniz gerekir. özel durumözellikle. Dolayısıyla, ters çevrilmiş kesirle (örneğin çarpma veya bölme) bazı eylemler gerçekleştirmeniz gerekiyorsa, parçanın tamamını seçmemelisiniz. Ortaya çıkan kesir ise nihai sonuç, o zaman belki de parçanın tamamının izole edilmesi arzu edilir.
Örnek No. 2.
Bir kesir verildi. Bunun tersini yapın: .
Ondalık kesrin tersini bulmanız gerekiyorsa ilk kuralı (1'i sayıya bölmek) kullanmalısınız. Bu durumda 2 yoldan biriyle hareket edebilirsiniz. Birincisi, 1'i bu sayıya bir sütuna bölmektir. İkincisi, payı 1, paydası ondalık sayı olan bir kesir oluşturmak ve ardından pay ve paydayı 10, 100 veya 1 ve gerektiği kadar sıfırdan oluşan başka bir sayı ile çarparak kurtulmaktır. ondalık nokta paydada. Sonuç, sonuç olan sıradan bir kesir olacaktır. Gerekirse kısaltmanız, bir bölümün tamamını seçmeniz veya ondalık biçime dönüştürmeniz gerekebilir.
Örnek No. 3.
Verilen sayı 0,82'dir. Karşılıklı sayı: 
. Şimdi kesri azaltıp tamamını seçelim: .
İki sayının karşılıklı olup olmadığı nasıl kontrol edilir
Doğrulama ilkesi karşılıklı sayıların belirlenmesine dayanmaktadır. Yani sayıların birbirinin tersi olduğundan emin olmak için çarpmanız gerekir. Sonuç bir ise sayılar birbirinin tersidir.
Örnek No. 4.
0,125 ve 8 sayıları verildiğinde bunlar karşılıklı mıdır?
Muayene. 0,125 ile 8'in çarpımını bulmak gerekir. Açıklık sağlamak için bu sayıları sıradan kesirler biçiminde sunalım: (1. kesri 125'e düşürün). Sonuç: 0,125 ve 8 sayıları karşılıklıdır.
Karşılıklı sayıların özellikleri
Mülk No.1
0 dışında herhangi bir sayının karşılığı vardır.
Bu sınırlama, 0'a bölemeyeceğiniz gerçeğinden kaynaklanmaktadır ve sıfır için karşılıklı sayıyı belirlerken, paydaya taşınması gerekecek, yani. aslında ona bölün.
Mülk No.2
Karşılıklı bir çift sayının toplamı her zaman 2'den az değildir.
Matematiksel olarak bu özellik şu eşitsizlikle ifade edilebilir: .
Mülk No.3
Bir sayıyı ikiyle çarpmak karşılıklı sayılar bir ile çarpmaya eşdeğerdir. Bu özelliği matematiksel olarak ifade edelim: .
Örnek No. 5.
İfadenin değerini bulun: 3,4·0,125·8. 0,125 ve 8 sayıları karşılıklı olduğundan (bkz. Örnek 4), 3,4'ü 0,125 ile ve ardından 8 ile çarpmaya gerek yoktur. Yani buradaki cevap 3.4 olacaktır.
Karşılıklı sayıların tanımını verip örnekler verelim. Bir doğal sayının tersini ve ortak bir kesrin tersini nasıl bulacağımıza bakalım. Ayrıca karşılıklı sayıların toplamının özelliğini yansıtan bir eşitsizliği yazıp ispatlıyoruz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Karşılıklı sayılar. Tanım
Tanım. Karşılıklı sayılarKarşılıklı sayılar çarpımı bire eşit olan sayılardır.
a · b = 1 ise, b sayısının a sayısının tersi olması gibi, a sayısının da b sayısının tersi olduğunu söyleyebiliriz.
Karşılıklı sayıların en basit örneği iki birimdir. Aslında 1 · 1 = 1, dolayısıyla a = 1 ve b = 1 birbirinin tersi sayılardır. Diğer bir örnek ise 3 ve 1 3, - 2 3 ve - 3 2, 6 13 ve 13 6, log 3 17 ve log 17 3 sayılarıdır. Yukarıdaki sayı çiftlerinden herhangi birinin çarpımı bire eşittir. Bu koşul karşılanmazsa, örneğin 2 ve 2 3 sayıları için, o zaman sayılar karşılıklı olarak ters değildir.
Karşılıklı sayıların tanımı herhangi bir sayı için geçerlidir - doğal, tam sayı, gerçek ve karmaşık.
Belirli bir sayının tersi nasıl bulunur?
düşünelim genel durum. Orijinal sayı a'ya eşitse ters sayısı 1 a veya a - 1 olarak yazılır. Aslında, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .
Doğal sayılar ve sıradan kesirler için tersini bulmak oldukça basittir. Hatta bunun apaçık olduğu bile söylenebilir. İrrasyonel veya karmaşık bir sayının tersi olan bir sayı bulursanız bir dizi hesaplama yapmanız gerekecektir.
Pratikte karşılıklı sayıyı bulmanın en yaygın durumlarını ele alalım.
Ortak bir kesrin tersi
Açıkçası, a b ortak kesirinin tersi, b a kesiridir. Yani bir kesrin tersini bulmak için kesri ters çevirmeniz yeterlidir. Yani pay ve paydayı değiştirin.
Bu kurala göre herhangi bir sıradan kesrin tersini neredeyse anında yazabilirsiniz. Yani, 28 57 fraksiyonu için karşılıklı sayı 57 28 fraksiyonu ve 789 256 fraksiyonu için 256 789 sayısı olacaktır.
Bir doğal sayının tersi
Herhangi bir doğal sayının tersini, bir kesrin tersini bulmayla aynı şekilde bulabilirsiniz. A doğal sayısını sıradan bir kesir olan a 1 biçiminde temsil etmek yeterlidir. O zaman ters sayısı 1a olacaktır. İçin doğal sayı 3'ün karşılığı 1 3 kesridir, 666 sayısı için tersi 1 666'dır, vb.
Üniteye özel dikkat gösterilmelidir, çünkü tekil, bunun tersi de kendisine eşittir.
Her iki bileşenin eşit olduğu başka karşılıklı sayı çifti yoktur.
Karışık bir sayının tersi
Karışık sayı abc şeklindedir. Ters sayısını bulmak için, karışık sayıyı uygunsuz bir kesir olarak göstermeniz ve ardından elde edilen kesir için ters sayıyı seçmeniz gerekir.
Örneğin, 7 2 5'in karşılıklı sayısını bulalım. Öncelikle 7 2 5'i bileşik bir kesir olarak düşünelim: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5.
Uygunsuz kesir 37 5'in tersi 5 37'dir.
Ondalık sayının tersi
Ondalık sayı aynı zamanda kesir olarak da gösterilebilir. Ondalık sayının tersini bulmak, ondalık sayıyı kesir olarak temsil etmek ve karşılığını bulmak anlamına gelir.
Örneğin 5, 128 kesri var. Ters sayısını bulalım. Öncelikle ondalık kesri sıradan bir kesire dönüştürün: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Ortaya çıkan kesir için karşılıklı sayı 125 641 kesri olacaktır.
Başka bir örneğe bakalım.
Örnek. Bir ondalık sayının tersini bulma
Periyodik ondalık kesir 2, (18)'in karşılıklı sayısını bulalım.
Ondalık kesirin sıradan kesire dönüştürülmesi:
2, 18 = 2 + 18 · 10 - 2 + 18 · 10 - 4 +. . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11
Çeviriden sonra 24 11 kesrinin ters sayısını rahatlıkla yazabiliriz. Bu sayının 11 24 olacağı kesin.
Sonsuz ve periyodik olmayan bir ondalık kesir için, karşılıklı sayı, payda bir birim ve paydada kesirin kendisi olacak şekilde kesir olarak yazılır. Örneğin sonsuz kesir 3 için 6025635789. . . karşılıklı sayı 1 3, 6025635789 olacaktır. . . .
Aynı şekilde irrasyonel sayılar, periyodik olmayana karşılık gelir sonsuz kesirler Karşılıklı sayılar kesirli ifadeler olarak yazılır.
Örneğin, π + 3 3 80'in karşılığı 80 π + 3 3 olacaktır ve 8 + e 2 + e sayısının karşılığı 1 8 + e 2 + e kesri olacaktır.
Kökleri olan karşılıklı sayılar
İki sayının türü a ve 1 a'dan farklıysa sayıların karşılıklı olup olmadığını belirlemek her zaman kolay değildir. Bu özellikle notasyonlarında kök işareti bulunan sayılar için geçerlidir, çünkü genellikle paydadaki kökten kurtulmak gelenekseldir.
Hadi pratiğe dönelim.
Şu soruyu cevaplayalım: 4 - 2 3 ve 1 + 3 2 sayıları karşılıklı mıdır?
Sayıların karşılıklı olup olmadığını öğrenmek için çarpımlarını hesaplayalım.
4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1
Çarpım bire eşittir, yani sayılar karşılıklıdır.
Başka bir örneğe bakalım.
Örnek. Kökleri olan karşılıklı sayılar
5 3 + 1'in karşılığını yazın.
Karşılıklı sayının 1 5 3 + 1 kesrine eşit olduğunu hemen yazabiliriz. Ancak daha önce de söylediğimiz gibi paydadaki kökten kurtulmak adettir. Bunu yapmak için pay ve paydayı 25 3 - 5 3 + 1 ile çarpın. Şunu elde ederiz:
1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6
Üssü olan karşılıklı sayılar
Diyelim ki a sayısının bazı kuvvetlerine eşit bir sayı var. Başka bir deyişle, a sayısının n üssüne yükseltilmesi. a n sayısının tersi a - n sayısıdır. Hadi kontrol edelim. Aslında: a n · a - n = an n 1 · 1 a n = 1 .
Örnek. Üssü olan karşılıklı sayılar
5 - 3 + 4'ün karşılıklı sayısını bulalım.
Yukarıda yazdıklarımıza göre gereken sayı 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4
Logaritmalarla karşılıklı sayılar
Bir sayının b tabanına göre logaritmasının tersi sayıdır logaritmaya eşit b sayılarından a tabanına.
log a b ve log b a karşılıklı olarak ters sayılardır.
Hadi kontrol edelim. Logaritmanın özelliklerinden log a b = 1 log b a sonucu çıkar, bu da log a b · log b a anlamına gelir.
Örnek. Logaritmalarla karşılıklı sayılar
Log 3 5 - 2 3'ün karşılığını bulun.
Sayı olarak, ters logaritma 3 sayısının 3 tabanına göre 5 - 2 sayısı, 3 sayısının 5 - 2'nin 3 tabanına göre logaritmasıdır.
Karmaşık bir sayının tersi
Daha önce belirtildiği gibi, karşılıklı sayıların tanımı yalnızca aşağıdakiler için geçerli değildir: gerçek sayılar, ama aynı zamanda karmaşık olanlar için de.
Karmaşık sayılar genellikle şu şekilde temsil edilir: cebirsel form z = x + ben y . Verilen sayının tersi bir kesirdir
1 x + ben y . Kolaylık olması açısından pay ve paydayı x - i y ile çarparak bu ifadeyi kısaltabilirsiniz.
Örnek. Karmaşık bir sayının tersi
z = 4 + i şeklinde bir karmaşık sayı olsun. Bunun tersini bulalım.
z = 4 + i'nin karşılığı 1 4 + i'ye eşit olacaktır.
Pay ve paydayı 4 - i ile çarpın ve şunu elde edin:
1 4 + ben = 4 - ben 4 + ben 4 - ben = 4 - ben 4 2 - ben 2 = 4 - ben 16 - (- 1) = 4 - ben 17 .
Ayrıca cebirsel form karmaşık bir sayı trigonometrik veya gösterme formu aşağıdaki gibi:
z = r çünkü φ + i sin φ
z = r e ben φ
Buna göre ters sayı şöyle görünecektir:
1 r cos (- φ) + i sin (- φ)
Şundan emin olalım:
r çünkü φ + ben günah φ 1 r çünkü (- φ) + ben günah (- φ) = r r çünkü 2 φ + günah 2 φ = 1 r e ben φ 1 r e ben (- φ) = r r e 0 = 1
Temsili örneklere bakalım karmaşık sayılar trigonometrik ve üstel formda.
2 3 cos π 6 + i · sin π 6'nın ters sayısını bulalım.
r = 2 3, φ = π 6 olduğunu düşünürsek ters sayıyı yazıyoruz
3 2 çünkü - π 6 + i günah - π 6
Örnek. Karmaşık bir sayının tersini bulun
2 · e i · - 2 π 5'in tersi hangi sayı olacaktır?
Cevap: 1 2 e i 2 π 5
Karşılıklı sayıların toplamı. Eşitsizlik
Karşılıklı olarak ters iki sayının toplamı ile ilgili bir teorem vardır.
Karşılıklı sayıların toplamı
İki pozitif ve karşılıklı sayının toplamı her zaman 2'den büyük veya eşittir.
Teoremin bir kanıtını verelim. Bilindiği üzere herhangi bir pozitif sayılar a ve b, geometrik ortalamadan büyük veya ona eşit aritmetik ortalamadır. Bu bir eşitsizlik olarak yazılabilir:
a + b 2 ≥ a b
Eğer b sayısı yerine a'nın tersini alırsak eşitsizlik şu şekilde olacaktır:
a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2
Q.E.D.
Hadi verelim pratik örnek, bu özelliği gösteriyor.
Örnek. Karşılıklı sayıların toplamını bulun
2 3 sayılarının toplamını ve tersini hesaplayalım.
2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6
Teoremin dediği gibi, ortaya çıkan sayı ikiden büyüktür.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.