Çeşitli farklı büyüklükleri hesaplamak için yapılan çok sayıda hesaplama arasında bir üçgenin hipotenüsünün bulunması da vardır. Bir üçgenin üç açısı olan bir çokyüzlü olduğunu hatırlayın. Aşağıda hipotenüsü hesaplamanın birkaç yolu vardır farklı üçgenler.
İlk önce hipotenüsü nasıl bulacağımızı görelim dik üçgen. Unutanlar için bir açısı 90 derece olan üçgene dik üçgen denir. Üçgenin üzerinde bulunan kenarı karşı taraf dik açı, hipotenüs olarak adlandırılır. Ayrıca üçgenin en uzun kenarıdır. bağlı olarak bilinen miktarlar hipotenüs uzunluğu hesaplanır aşağıdaki gibi:
- Bacakların uzunlukları bilinmektedir. Bu durumda hipotenüs Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanır: hipotenüsün karesi toplamına eşit bacak kareleri. BK ve KF'nin kenarlar ve FB'nin hipotenüs olduğu bir BKF dik üçgenini düşünürsek, o zaman FB2= BK2+ KF2 olur. Yukarıdakilerden, hipotenüsün uzunluğunu hesaplarken, bacakların değerlerinin her birinin sırayla karesinin alınması gerektiği anlaşılmaktadır. Daha sonra öğrenilen sayıları toplayın ve sonuçtan çıkarın karekök.
Bir örnek düşünün: Dik açılı bir üçgen veriliyor. Bir bacağı 3 cm, diğeri 4 cm'dir. Hipotenüsü bulun. Çözüm şuna benziyor.
FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Çıkarın ve FB=5cm elde edin.
- Hipotenüs ve bu bacağın oluşturduğu bacak (BK) ve ona bitişik açı bilinmektedir. Bir üçgenin hipotenüsü nasıl bulunur? Haydi belirtelim bilinen açıα. Bacağın uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranının bu kenar ile hipotenüs arasındaki açının kosinüsüne eşit olduğunu belirten özelliğe göre. Bir üçgen göz önüne alındığında bu şu şekilde yazılabilir: FB= BK*cos(α).
- Bacak (KF) ve aynı açı α biliniyor, ancak şimdi tam tersi olacak. Bu durumda hipotenüs nasıl bulunur? Dik üçgenin aynı özelliklerine dönelim ve bacağın uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranının bacağın karşısındaki açının sinüsüne eşit olduğunu öğrenelim. Yani FB= KF * sin (α).
Bir örneğe bakalım. Hipotenüs FB ile aynı BKF dik üçgeni verildiğinde. F açısı 30 dereceye eşit olsun, ikinci B açısı 60 dereceye karşılık gelir. Uzunluğu 8 cm'ye karşılık gelen BK ayağı da bilinmektedir. Gerekli değeri şu şekilde hesaplayabilirsiniz:
FB = BK /cos60 = 8 cm.
FB = BK /sin30 = 8 cm.
- Bilinen (R), dik açılı bir üçgenin etrafında tanımlanmıştır. Böyle bir problem göz önüne alındığında hipotenüs nasıl bulunur? Dik açılı bir üçgenin çevrelediği bir dairenin özelliğinden, böyle bir dairenin merkezinin hipotenüs noktasıyla çakıştığı ve onu ikiye böldüğü bilinmektedir. Basit kelimelerle- yarıçap hipotenüsün yarısına karşılık gelir. Dolayısıyla hipotenüs iki yarıçapa eşittir. FB=2*R. Eğer size yarıçapın değil medyanın bilindiği benzer bir problem verilirse, o zaman dik açılı bir üçgenin etrafında çevrelenen bir dairenin özelliğine dikkat etmelisiniz; bu, yarıçapın şöyle olduğunu söyler: medyana eşit, hipotenüse çizilir. Tüm bu özellikler kullanılarak problem aynı şekilde çözülür.
Soru, ikizkenar dik üçgenin hipotenüsünün nasıl bulunacağıysa, o zaman aynı Pisagor teoremine dönmeniz gerekir. Ama öncelikle şunu hatırlayalım. ikizkenar üçgen, iki kenarı eşit olan bir üçgendir. Dik üçgen durumunda aynı taraflar bacaklardır. FB2= BK2+ KF2'ye sahibiz, ancak BK= KF olduğundan aşağıdakilere sahibiz: FB2=2 BK2, FB= BK√2
Gördüğünüz gibi Pisagor teoremini ve dik üçgenin özelliklerini bilmek, hipotenüsün uzunluğunu hesaplamanın gerekli olduğu problemleri çözmek çok basittir. Tüm özellikleri hatırlamak zorsa, hipotenüsün istenilen uzunluğunu hesaplayabileceğiniz bilinen değerleri değiştirerek hazır formülleri öğrenin.
Bildiğiniz gibi geometri, problemlerin çözümünde özel dikkat ve hassasiyet gerektiren zor bir bilimdir. Daha sonra kullandığımız birçok ifade ve formül karmaşık hesaplamalar 6-7. Sınıflar için matematik ders kitaplarında sunulmaktadır. Trigonometrik fonksiyonları öğrenme sürecini daha kolay ve eğlenceli hale getirmek için bu makalede bir dik üçgenin hipotenüsünü hesaplamanın birkaç kısa yoluna bakacağız.
Bacaklara göre hipotenüs nasıl bulunur?
Küçük bir teoriyi hatırlayalım: dik üçgen denir düz şekil, üç köşesi var. Bunlardan birinin büyüklüğü 90° olup kenarlarına bacak ve hipotenüs denir. Dik açının karşısındaki taraf hipotenüs, diğer ikisi ise bitişik bacaklardır. Ana oyun kenarlar, hipotenüsün bacakların karelerinin toplamına eşit olduğunu söyleyen Pisagor teoreminde ortaya çıkar. Ancak bu sadece kafa karıştırıcı görünüyor çünkü gerçekte her şey çok daha basittir.
Geometrik bir şeklin özellikleri
Bir üçgenin hipotenüsünü bulmadan önce hangi özelliklere sahip olduğunu anlamalısınız. bu rakam. Ana olanları ele alalım:
- Bir dik üçgende her iki dar açının toplamı 90°'dir.
- 30°'lik bir açının karşısında uzanan bir bacak, hipotenüsün ½ boyutuna eşit olacaktır.
- Bacak hipotenüsün ½'sine eşitse, ikinci açı aynı değere sahip olacaktır - 30°.
Bir dik üçgende hipotenüsü bulmanın birkaç yolu vardır. En çok basit çözüm bacaklar üzerinden yapılan bir hesaplamadır. Diyelim ki A ve B taraflarının bacaklarının değerlerini biliyorsunuz. Sonra Pisagor teoremi imdadımıza yetişiyor ve bize bacağın her değerinin karesini alırsak ve elde edilen verileri özetlersek, ne olacağını bulacağımızı söylüyor. hipotenüs eşittir. Yani sadece karekök değerini çıkarmamız gerekiyor:
Örneğin, A bacağı = 3 cm ve B bacağı = 4 cm ise hesaplama şu şekilde olacaktır: sonraki görünüm:
Hipotenüs bir açıyla nasıl bulunur?
Bir dik üçgende hipotenüsün ne olduğunu bulmanın başka bir yolu da belirli bir açıyı hesaplamaktır. Bunu yapmak için değeri sinüs formülü aracılığıyla türetmemiz gerekir. Diyelim ki bacağın boyutunu (A) ve karşı açının (α) değerini biliyoruz. O halde çözümün tamamı tek bir formülde bulunur: C=A/sin(α).
Örneğin bacak uzunluğu 40 cm ve açı 45° ise hipotenüsün uzunluğu şu şekilde elde edilebilir:
40/sin(45°) = 40/0,71 = 56,33.
İstediğiniz değeri kosinüs aracılığıyla da belirleyebilirsiniz. verilen açı. Diyelim ki bir bacağın (B) ve bir dar bitişik açının (α) değerini biliyoruz. O zaman sorunu çözmek için bir formüle ihtiyacınız olacak: C=B/cos(α).
Örneğin bacak uzunluğu 50 cm ve açı 45° ise hipotenüs şu şekilde hesaplanabilir:
50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.
Böylece bir üçgende hipotenüsü bulmanın ana yollarına baktık. Bir problemi çözerken mevcut verilere odaklanmak önemlidir, o zaman bilinmeyen miktarı bulmak oldukça basit olacaktır. Sadece birkaç formülü bilmeniz yeterli ve problem çözme süreci basit ve eğlenceli hale gelecektir.
Talimatlar
Bir dik üçgenin bacaklarından biri bilinsin. Diyelim ki |BC| = b. O zaman hipotenüsün bacakların karelerinin toplamına eşit olduğuna göre Pisagor teoremini kullanabiliriz: a^2 + b^2 = c^2. İtibaren verilen denklem bilinmeyen ayağı bul |AB| = a = √ (c^2 - b^2).
Bir dik üçgenin açılarından birinin bilindiğini varsayalım, ∟α olsun. O halde AB ve BC dikdörtgendir ABC üçgeni trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak bulunabilir. Böylece şunu elde ederiz: sinüs ∟α orana eşittir karşı taraf sin α = b/c, kosinüs ∟α oranına eşittir bitişik bacak hipotenüse göre α = a / c. Buradan gerekli kenar uzunluklarını buluruz: |AB| = a = c * çünkü α, |BC| = b = c * sin α.
Bacakların oranı k = a / b bilinsin. Sorunu trigonometrik fonksiyonları kullanarak da çözüyoruz. A / b oranı, ∟α kotanjantından başka bir şey değildir: bitişik taraf ctg α = a / b. Bu durumda bu eşitlikten a = b * ctg α'yı ifade ederiz. Ve Pisagor teoremini a^2 + b^2 = c^2 yerine koyarız:
b^2 * cotg^2 α + b^2 = c^2. B^2'yi parantezlerden çıkarırsak b^2 * (ctg^2 α + 1) = c^2 elde ederiz. Buradan bacak uzunluğunu b = c / √(ctg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1) olarak kolayca elde ederiz, burada k – verilen oran bacaklar.
Benzer şekilde, eğer b/a bacaklarının oranı biliniyorsa, sorunu tanjant α = b/a kullanarak çözeriz. b = a * tan α değerini Pisagor teoremi a^2 * tan^2 α + a^2 = c^2'ye koyarız. Dolayısıyla a = c / √(tg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), burada k, bacakların verilen oranıdır.
Özel durumları ele alalım.
∟α = 30°. Sonra |AB| = a = c * çünkü α = c * √3 / 2; |BC| = b = c * sin α = c / 2.
∟α = 45°. Sonra |AB| = |BC| = a = b = c * √2 / 2.
Konuyla ilgili video
lütfen aklınızda bulundurun
Karekökler pozitif işaretle çıkarılır, çünkü uzunluk negatif olamaz. Bu açık görünüyor, ancak bu hata Sorunu otomatik olarak çözerseniz çok yaygındır.
Bir dik üçgenin bacaklarını bulmak için indirgeme formüllerini kullanmak uygundur: sin β = sin (90° - α) = cos α; cos β = cos (90° - α) = sin α.
Kaynaklar:
- Trigonometrik fonksiyonların değerlerini bulmak için Bradis tabloları
Bir dik üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiler trigonometri adı verilen matematik dalında tartışılmaktadır. Dik bir üçgenin kenarlarını bulmak için Pisagor teoremini, trigonometrik fonksiyonların tanımlarını bilmek ve trigonometrik fonksiyonların değerlerini bulmak için hesap makinesi veya Bradis tabloları gibi bazı araçlara sahip olmak yeterlidir. Aşağıda bir dik üçgenin kenarlarını bulma problemlerinin ana durumlarını ele alalım.
İhtiyacın olacak
- Hesap makinesi, Bradis tabloları.
Talimatlar
Eğer birine sorulursa keskin köşelerÖrneğin A ve hipotenüs varsa bacaklar temel trigonometri tanımlarından bulunabilir:
a= c*sin(A), b= c*cos(A).
Dar açılardan biri örneğin A ve kenarlardan biri örneğin a verilirse hipotenüs ve diğer kenar şu bağıntılardan hesaplanır: b=a*tg(A), c= a*sin(A).
Faydalı tavsiyeler
Hesaplama için gerekli açılardan herhangi birinin sinüs veya kosinüs değerini bilmiyorsanız Bradis tablolarını kullanabilirsiniz, bunlar trigonometrik fonksiyonların değerlerini sağlar. büyük sayı köşeler Ek olarak, modern hesap makinelerinin çoğu açıların sinüslerini ve kosinüslerini hesaplama yeteneğine sahiptir.
Kaynaklar:
- 2019'da dik üçgenin kenarı nasıl hesaplanır
İpucu 3: Dik üçgenin kenarlarını biliyorsanız açı nasıl bulunur?
Tre kare Açılarından biri dik (90°'ye eşit) olan açıya dikdörtgen denir. En uzun kenarı her zaman dik açının karşısında yer alır ve hipotenüs olarak adlandırılır, diğer iki kenarı ise her zaman dik açının karşısındadır. taraflar bacaklar denir. Bu üç kenarın uzunlukları biliniyorsa, üç kenarın tüm açılarının değerlerini bulun. kare ve zor olmayacak çünkü aslında sadece açılardan birini hesaplamanız gerekiyor. Bunu yapmanın birkaç yolu var.
Talimatlar
Dikdörtgen bir üçgen üzerinden trigonometrik fonksiyonların tanımlarını (α, β, γ) miktarlarını hesaplamak için kullanın. Örneğin, dar bir açının sinüsü için, karşı bacağın uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranı gibi. Bu, eğer bacakların uzunlukları (A ve B) ve hipotenüs (C) ise, örneğin A bacağının karşısında bulunan α açısının sinüsünü uzunluğu bölerek bulabileceğiniz anlamına gelir. taraflar Ve uzunluk için taraflar C (hipotenüs): sin(α)=A/C. Bu açının sinüsünün değerini bulduktan sonra sinüs - arksinüsün ters fonksiyonunu kullanarak değerini derece cinsinden bulabilirsiniz. Yani, α=arksin(sin(α))=arksin(A/C). Aynı şekilde bir üçgende dar açının boyutunu da bulabilirsiniz. kare Evet ama bu gerekli değil. Bütün açıların toplamı üç olduğundan kare a 180° ve üçte kare Açılardan biri 90° ise üçüncü açının değeri 90° ile bulunan açının değeri arasındaki fark olarak hesaplanabilir: β=180°-90°-α=90°-α.
Sinüsü tanımlamak yerine, istenen açıya bitişik bacağın uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranı olarak formüle edilen bir dar açının kosinüsü tanımını kullanabilirsiniz: cos(α)=B/ C. Ve burada tersini kullanın trigonometrik fonksiyon Açıyı derece cinsinden bulmak için (arkkosinüs): α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). Bundan sonra, bir önceki adımda olduğu gibi, geriye kalan tek şey eksik açının değerini bulmaktır: β=90°-α.
Benzer bir teğet kullanabilirsiniz - istenen açının karşısındaki bacağın uzunluğunun bitişik bacağın uzunluğuna oranıyla ifade edilir: tan(α)=A/B. Yine ters trigonometrik fonksiyonu kullanarak açıyı derece cinsinden belirleyin: α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Eksik açının formülü değişmeden kalacaktır: β=90°-α.
Konuyla ilgili video
İpucu 4: Bir dik üçgenin kenar uzunluğu nasıl bulunur?
Bir üçgenin açılarından biri dik ise bu üçgen dik açılı olarak kabul edilir. Taraf üçgen Dik açının karşısında bulunana hipotenüs, diğer ikisine ise hipotenüs denir. taraflar- bacaklar. Dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulmak için üçgen, birkaç yöntem kullanabilirsiniz.
Talimatlar
Üçüncüyü bulabilirsin taraflar diğer iki tarafın uzunluklarını bilmek üçgen. Bu, dikdörtgen bir karenin olduğunu belirten Pisagor teoremi kullanılarak yapılabilir. üçgen bacaklarının karelerinin toplamı. (a² = b²+ c²). Buradan dikdörtgenin tüm kenarlarının uzunluklarını ifade edebiliriz. üçgen:
b² = a² - c²;
c² = a² - b²
Örneğin dikdörtgen için üçgen hipotenüsün uzunluğu a (18 cm) ve bacaklardan birinin uzunluğu, örneğin c (14 cm) bilinmektedir. İle uzunluk diğer tarafta 2 cebirsel işlem yapmanız gerekir:
c² = 18² - 14² = 324 - 196 = 128 cm
c = √128 cm
Cevap: Bacak uzunluğu √128 cm veya yaklaşık 11,3 cm'dir.
Belirli bir dikdörtgenin hipotenüsünün uzunluğunu ve dar noktalarından birinin boyutunu biliyorsanız başvurabilirsiniz. üçgen. Uzunluğu c ve dar açılardan biri α'ya eşit olsun. Bu durumda 2 kişi daha bulun taraflar dikdörtgen üçgen aşağıdaki formüller kullanılarak mümkün olacaktır:
a = с*sinα;
b = с*cosα.
Şunu verebilirsiniz: Hipotenüsün uzunluğu 15 cm, dar açılardan biri 30 derecedir. Diğer iki tarafın uzunluklarını bulmak için 2 adım uygulamanız gerekir:
a = 15*sin30 = 15*0,5 = 7,5 cm
b = 15*cos30 = (15*√3)/2 = 13 cm (yaklaşık)
Bulmanın en önemsiz yolu uzunluk taraflar dikdörtgen üçgen- belirli bir şeklin çevresinden ifade etmektir:
P = a + b + c, burada P dikdörtgenin çevresidir üçgen. Bu ifadeden şunu ifade etmek kolaydır uzunluk dikdörtgenin herhangi bir kenarı üçgen.
İpucu 5: Tüm kenarları bilerek dik üçgenin açısını nasıl bulabilirsiniz?
Üç tarafın da doğrudan bilgisi kömürüçgen, açılarından herhangi birini hesaplamak için fazlasıyla yeterlidir. O kadar çok bilgi var ki, size en uygun trigonometri fonksiyonunu kullanabilmeniz için hesaplamalarda hangi tarafları kullanacağınızı bile seçme şansına sahipsiniz.
Talimatlar
Ark sinüsle uğraşmayı tercih ederseniz hipotenüs uzunluğunu (C) kullanın - en uzun olanı taraflar- ve istenilen açının (α) karşısında bulunan bacak (A). Bu bacağın uzunluğunu hipotenüsün uzunluğuna bölmek istenen açının sinüs değerini verecektir ve sinüsün tersi- arcsinüs - fonksiyonu elde edilen değerden açının değerini geri yükleyecektir. Bu nedenle hesaplamalarınızda aşağıdakileri kullanın: α = arcsin(A/C).
Ark sinüsü ark kosinüs ile değiştirmek için, hesaplamalarda istenen açıyı (α) oluşturan kenarların uzunluklarını kullanın. Bunlardan biri hipotenüs (C), diğeri ise bacak (B) olacaktır. Tanım gereği, kosinüs, hipotenüsün uzunluğuna olan açıya bitişik olan bacağın uzunluğudur ve kosinüs değerinden gelen açı, ark kosinüs fonksiyonudur. Aşağıdaki hesaplama formülünü kullanın: α = arccos(B/C).
Hesaplamalarda kullanılabilir. Bunu yapmak için iki kısa kenarın (bacakların) uzunluğuna ihtiyacınız var. Düz bir çizgide dar bir açının (α) tanjantı kömürÜçgen, karşısındaki bacağın (A) uzunluğunun bitişik bacağın (B) uzunluğuna oranıyla belirlenir. Yukarıda açıklanan seçeneklere benzer şekilde aşağıdaki formülü kullanın: α = arktan(A/B).
Formül
Hangi üçgene dik üçgen denir?
Birkaç çeşit üçgen vardır. Bazıları tamamen dar açılara sahiptir, bazıları bir geniş ve iki dar açıya sahiptir ve diğerleri iki dar ve bir düz açıya sahiptir. Bu özelliğe göre bunların her türü geometrik şekiller ve adını aldı: dar açılı, geniş açılı ve dikdörtgen. Yani açılarından biri 90° olan üçgene dik üçgen denir. İlkine benzer bir şey daha var. İki kenarı birbirine dik olan üçgene dik üçgen denir.Hipotenüs ve bacaklar
Dar açılı ve geniş üçgenler açıların köşelerini birleştiren bölümlere basitçe kenarlar denir. Tarafın başka isimleri de var. Dik açıya bitişik olanlara bacak denir. Dik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. Çeviren: Yunanca kelime"Hipotenüs" "sıkı", "bacak" ise "dik" anlamına gelir.Hipotenüs ve bacaklar arasındaki ilişkiler
Dik üçgenin kenarları, hesaplamaları büyük ölçüde kolaylaştıran belirli ilişkilerle birbirine bağlanır. Örneğin bacakların boyutlarını bilerek hipotenüsün uzunluğunu hesaplayabilirsiniz. Adını keşfeden kişinin adını taşıyan bu ilişkiye Pisagor teoremi adı verilir ve şu şekilde görünür:c2=a2+b2, burada c hipotenüs, a ve b kenarlardır. Yani hipotenüs, bacakların kareleri toplamının kareköküne eşit olacaktır. Bacaklardan herhangi birini bulmak için diğer bacağın karesini hipotenüsün karesinden çıkarmak ve elde edilen farkın karekökünü almak yeterlidir.
Bitişik ve karşı bacak
Bir dik üçgen DIA çizin. C harfi genellikle dik açının tepe noktasını, A ve B ise dar açıların köşelerini belirtir. Her a, b ve c açısının karşısındaki kenarları, karşılarındaki açıların adlarından sonra çağırmak uygundur. A açısını düşünün. A tarafı onun karşısında olacak, b tarafı da bitişik olacak. Karşı kenarın hipotenüse oranına denir. Bu trigonometrik fonksiyon şu formül kullanılarak hesaplanabilir: sinA=a/c. Bitişik bacağın hipotenüse oranına kosinüs denir. Şu formül kullanılarak hesaplanır: cosA=b/c.Böylece açıyı ve kenarlardan birini bilerek diğer tarafı hesaplamak için bu formülleri kullanabilirsiniz. Trigonometrik ilişkiler Her iki taraf da birbirine bağlıdır. Zıtın komşuya oranına teğet, komşunun zıttıya oranına kotanjant denir. Bu ilişkiler tgA=a/b veya ctgA=b/a formülleriyle ifade edilebilir.
Üçgen temsil eder geometrik sayı Aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktayı birbirine bağlayan üç parçadan oluşur. Bir üçgeni oluşturan noktalara onun noktaları denir ve bölümler yan yanadır.
Üçgenin türüne (dikdörtgen, tek renkli vb.) bağlı olarak, giriş verilerine ve problemin koşullarına bağlı olarak üçgenin kenarını farklı şekillerde hesaplayabilirsiniz.
Bir makale için hızlı gezinme
Bir dik üçgenin kenarlarını hesaplamak için, hipotenüsün karesinin bacakların karelerinin toplamına eşit olduğunu belirten Pisagor teoremi kullanılır.
Bacakları "a" ve "b", hipotenüsü ise "c" olarak etiketlersek sayfalar aşağıdaki formüllerle bulunabilir:
Bir dik üçgenin (a ve b) dar açıları biliniyorsa kenarları aşağıdaki formüllerle bulunabilir:
Kırpılmış üçgen
Her iki tarafı da aynı olan üçgene eşkenar üçgen denir.
İki bacakta hipotenüs nasıl bulunur?
"a" harfi aynı sayfanın aynısı ise "b" taban, "b" tabanın karşısındaki açı, "a" ise tabandır. komşu açı sayfaları hesaplamak için kullanılabilir aşağıdaki formüller:
İki köşe ve bir kenar
Herhangi bir üçgenin bir sayfası (c) ve iki açısı (a ve b) biliniyorsa, kalan sayfaları hesaplamak için sinüs formülü kullanılır:
Üçüncü değeri y = 180 - (a + b) bulmalısınız çünkü
bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180°'dir; 
İki kenar ve bir açı
Bir üçgenin iki tarafı (a ve b) ve aralarındaki açı (y) biliniyorsa, üçüncü tarafı hesaplamak için kosinüs teoremi kullanılabilir.
Dik üçgenin çevresi nasıl belirlenir
Üçgen üçgen, biri 90 derece, diğer ikisi dar açı olan bir üçgendir. hesaplama çevreçok üçgen hakkında bilinen bilgi miktarına bağlıdır.
İhtiyacın olacak
- Duruma bağlı olarak, üçgenin üç tarafının yanı sıra dar açılarından biri de 2 becerisine sahiptir.
talimatlar
Birinci Yöntem 1: Üç sayfanın tümü biliniyorsa üçgen Daha sonra, dik veya üçgen olmamasına bakılmaksızın çevre şu şekilde hesaplanır: P = A + B + C, mümkünse c hipotenüstür; a ve b bacaklardır.
ikinci Yöntem 2.
Bir dikdörtgenin yalnızca iki kenarı varsa Pisagor teoremini kullanarak, üçgenşu formül kullanılarak hesaplanabilir: P = v (a2 + b2) + a + b veya P = v (c2 - b2) + b + c.
üçüncü Yöntem 3. Hipotenüs c ve bir dar açı olsun? Bir dik üçgen verildiğinde çevreyi şu şekilde bulmak mümkün olacaktır: P = (1 + sin?
dördüncü Yöntem 4. Dik üçgende bir bacağın uzunluğunun a'ya eşit olduğunu ve tam tersine dar bir açıya sahip olduğunu söylüyorlar. O zaman hesapla çevre Bu üçgen aşağıdaki formüle göre gerçekleştirilecektir: P = a * (1 / tg?
1/oğul? + 1)
beşte biri Yöntem 5.
Çevrimiçi üçgen hesaplama
Bacağımız önde olsun ve buna dahil olsun, o zaman aralık şu şekilde hesaplanacaktır: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)
İlgili videolar
Pisagor teoremi tüm matematiğin temelidir. Gerçek bir üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi belirler. Bu teoremin şu anda 367 kanıtı var.
talimatlar
Birinci Pisagor teoreminin klasik okul formülasyonu şu şekildedir: Hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir.
İki Catet dik üçgeninde hipotenüsü bulmak için, bacakların uzunluklarının karesine başvurmanız, bunları toplamanız ve toplamın karekökünü almanız gerekir. İfadesinin orijinal formülasyonunda piyasa, Catete'nin ürettiği 2 karenin karelerinin toplamına eşit olan hipotenüse dayanmaktadır. Bununla birlikte, modern cebirsel formülasyon, bir alan temsilinin eklenmesini gerektirmez.
ikinciÖrneğin, kenarları 7 cm ve 8 cm olan bir dik üçgen.
O zaman Pisagor teoremine göre kare hipotenüs R + S = 49 + 64 = 113 cm'ye eşittir. Hipotenüs ise 113'ün kareköküne eşittir.
Dik üçgenin açıları
Sonuç asılsız bir sayıydı.
üçüncüÜçgenin kenarları 3 ve 4 ise hipotenüs = 25 = 5. Karekökünü aldığınızda şunu elde edersiniz: doğal sayı. 3, 4, 5 sayıları x ilişkisini sağladıklarından bir Pygagor üçlüsü oluştururlar. +E? = Z, bu doğaldır.
Pisagor üçlüsünün diğer örnekleri şunlardır: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.
dördüncü Bu durumda bacaklar birbirinin aynısı ise Pisagor teoremi daha ilkel bir denkleme dönüşür. Örneğin, böyle bir elin A sayısına eşit olduğunu ve hipotenüsün C için tanımlandığını varsayalım ve sonra c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. Bu durumda A'ya ihtiyacınız yoktur.
beşte biri Pisagor teoremi - özel durum hangisi daha büyük genel teorem kosinüs, bir üçgenin üç tarafı arasındaki ilişkiyi, ikisi arasındaki herhangi bir açı için kurar.
İpucu 2: Bacaklar ve açılar için hipotenüs nasıl belirlenir
Hipotenüs, dik üçgende 90 derecelik açının karşısındaki kenardır.
talimatlar
Birinci Bilinen kateterler durumunda, dik üçgenin dar açısının yanı sıra hipotenüsün boyutu da değişebilir. orana eşit Bu açının bacakları kosinüs/sinüs, eğer açı karşıt ise/e şunları içerir: H = C1 (veya C2)/sin, H = C1 (veya C2?)/cos?. Örnek: ABC'ye hipotenüsü AB ve dik açısı C olan düzensiz bir üçgen verilsin.
B 60 derece ve A 30 derece olsun. BC sapının uzunluğu 8 cm'dir. AB hipotenüsünün uzunluğu bulunmalıdır. Bunu yapmak için yukarıdaki yöntemlerden birini kullanabilirsiniz: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.
Hipotenüs dikdörtgenin en uzun kenarıdır üçgen. Dik açıda bulunur. Bir dikdörtgenin hipotenüsünü bulma yöntemi üçgen Kaynak verilerine bağlı olarak.
talimatlar
Birinci Bacaklarınız dik ise üçgen, daha sonra dikdörtgenin hipotenüsünün uzunluğu üçgen bir Pisagor analogu tarafından keşfedilebilir - hipotenüs uzunluğunun karesi, bacakların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir: c2 = a2 + b2, burada a ve b, sağdaki bacakların uzunluğudur üçgen .
ikinci Bacaklardan biri biliniyorsa ve dar bir açıdaysa, hipotenüsü bulma formülü, belirli bir açının varlığına veya yokluğuna bağlı olacaktır. tanınmış taraf- bitişik (bacak yakın konumdadır) veya tam tersi (tersi durum belirtilen açının nego.V'sinde bulunur) paylaşıma eşit bacağın kosinüs açısındaki hipotenüsü: a = a / cos; E ise hipotenüs sinüzoidal açıların oranıyla aynıdır: da = a/sin.
İlgili videolar
Yararlı ipuçları
Kenarları 3:4:5 ile ilişkili olan açılı üçgene, bu figürlerin eski Mısır mimarları tarafından yaygın olarak kullanılması nedeniyle Mısır deltası adı verilmiştir.
Bu aynı zamanda sayfaların ve alanın tam sayılarla temsil edildiği Jero üçgenlerinin en basit örneğidir.
Açısı 90° olan üçgene dikdörtgen denir. Sağ köşenin karşısındaki tarafa hipotenüs, diğerine ise bacaklar denir.
Bazı özelliklerin bir dik üçgenin nasıl oluştuğunu bulmak istiyorsanız düzgün üçgenler yani kullanılan dar açıların toplamının 90° olması ve karşı bacağın uzunluğunun hipotenüsün yarısı olması 30° olmasıdır.
Bir makale için hızlı gezinme
Kırpılmış üçgen
Eşit üçgenin özelliklerinden biri de iki açısının eşit olmasıdır.
Dik bir eş üçgenin açısını hesaplamak için şunu bilmeniz gerekir:
- Bu 90°'den daha kötü değil.
- Akut açıların değerleri şu formülle belirlenir: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, yani.
α ve β açıları 45°'ye eşittir.
Eğer bilinen değer dar açılardan biri biliniyor, diğeri şu formül kullanılarak bulunabilir: β = 180°-90°-α veya α = 180°-90°-β.
Bu oran en çok açılardan birinin 60° veya 30° olması durumunda kullanılır.
Anahtar Kavramlar
Toplam iç köşelerüçgen 180°'dir.
Çünkü tek seviye, ikisi keskin kalıyor.
Üçgeni çevrimiçi hesaplayın
Onları bulmak istiyorsanız şunu bilmeniz gerekir:
Diğer yollar
Bir dik üçgenin dar açılarının değerleri ortalamadan hesaplanabilir - üçgenin karşı tarafındaki bir noktadan bir çizgi ve yükseklik - çizgi hipotenüsten dik açıyla çizilen bir diktir. .
Kenarortay sağ köşeden hipotenüsün ortasına kadar uzansın ve yükseklik h olsun. Bu durumda şu ortaya çıkıyor: 
- günah α = b / (2 * s); günah β = a / (2 * s).
- çünkü α = a / (2 * s); çünkü β = b / (2 * s).
- günah α = h/b; günah β = h/a.
İki sayfa
Hipotenüsün ve bacaklardan birinin uzunlukları bir dik üçgende veya her iki tarafta biliniyorsa, akut açıların değerlerini belirlemek için şunu kullanın: trigonometrik özdeşlikler:
- α = arksin (a/c), β = arksin (b/c).
- α = arcos (b/c), β = arcos (a/c).
- α = arktan (a / b), β = arktan (b / a).
Bir dik üçgenin uzunluğu
Üçgenin Alanı ve Alanı
çevre
Herhangi bir üçgenin çevresi üç kenarının uzunluklarının toplamına eşittir. Genel formülüçgen üçgeni bulmak için:
burada P üçgenin çevresi, a, b ve c kenarlarıdır.
Eşit bir üçgenin çevresi kenar uzunluklarının art arda birleştirilmesi veya kenar uzunluğunun 2 ile çarpılıp taban uzunluğunun çarpıma eklenmesiyle bulunabilir.
Bir denge üçgeni bulmanın genel formülü şöyle görünecektir:
burada P eşit bir üçgenin çevresidir, ancak ya b ya da b tabandır.
Çevre eşkenar üçgen Kenar uzunluklarının sırayla birleştirilmesiyle veya herhangi bir sayfanın uzunluğunun 3 ile çarpılmasıyla bulunabilir.
Eşkenar üçgenlerin kenarını bulmanın genel formülü şöyle görünecektir:
burada P eşkenar üçgenin çevresidir, a ise kenarlarından herhangi biridir.
bölge
Bir üçgenin alanını ölçmek istiyorsanız bunu paralelkenarla karşılaştırabilirsiniz. ABC üçgenini düşünün:
Aynı üçgeni alıp bir paralelkenar elde edecek şekilde sabitlersek, bu üçgenle aynı yüksekliğe ve tabana sahip bir paralelkenar elde ederiz:
Bu durumda ortak taraf kalıplanmış paralelkenarın köşegeni boyunca üçgenler eklenir.
Paralelkenarın özelliklerinden. Paralelkenarın köşegenlerinin her zaman ikiye bölünebildiği bilinmektedir. eşit üçgen ise her üçgenin yüzeyi paralelkenarın aralığının yarısına eşittir.
Paralelkenarın alanı taban yüksekliğinin çarpımına eşit olduğundan üçgenin alanı bu çarpımın yarısına eşit olacaktır. Böylece ΔABC için alan aynı olacaktır.
Şimdi bir dik üçgen düşünün:
Birbirinin hipotenüsü olan iki özdeş dik üçgen, onlara yaslanırsa bir dikdörtgen şeklinde bükülebilir.
Dikdörtgenin yüzeyi bitişik kenarların yüzeyi ile çakıştığı için alan verilen üçgen aynı:
Bundan herhangi bir dik üçgenin yüzeyinin bacakların çarpımının 2'ye eşit olduğu sonucuna varabiliriz.
Bu örneklerden, her üçgenin yüzeyinin uzunluğun çarpımı ile aynı olduğu ve yüksekliğin alt tabakanın 2'ye bölünmesiyle azaltıldığı sonucuna varılabilir.
Bir üçgenin alanını bulmak için genel formül şöyle görünecektir:
burada S üçgenin alanıdır, ancak tabanıdır, ancak yüksekliği a tabanına düşer.